Phng trỡnh - Bt phng trỡnh - H phng trỡnh cha tham s Luyn thi THPT Quc gia 2016
CHUYấN :
BI TON THAM S TRONG PHNG TRèNH,
BT PHNG TRèNH V H PHNG TRèNH
I- Lí THUYT: Mt s dng toỏn v phng phỏp tng ng:
Cho hm số y f (x ) liên tục trên tập D. Gi s trờn D tn ti min f x ; max f x , nu khụng
xD
xD
ta cn lp bng bin thiờn v a ra kt lun.
Dng 1:
Phương trình f x m có nghiệm x D
Phng phỏp: ycbt min f x m max f x
xD
Dng 2:
xD
Bât phương trình f x m có nghiệm x D
Phng phỏp: ycbt min f x m
xD
Dng 3:
Bât phương trình f x m nghiệm đúng x D
Phng phỏp: ycbt m max f x
xD
Dng 4:
Bât phương trình f x m có nghiệm x D
Phng phỏp: ycbt m max f x
xD
Dng 5:
Bât phương trình f x m nghiệm đúng x D
Phng phỏp: ycbt min f x m
xD
Dng 6:
Cho hm số y f x đơn điệu trên tập D
f u f v u v
Khi đó:
* THUT TON: gii cỏc bi toỏn tỡm giỏ tr tham s m phng trỡnh (PT), bt phng
trỡnh (BPT) cú nghim ta cú th thc hin theo cỏc bc sau:
Thuật ton 1:
i vi bi toỏn khụng cn t n ph
Bc 1: Bin i a PT v dng f x g m hoặc f x g m ; hoặc f x g m
Bc 2: Lp bng bin thiờn ca hm s y f x , có tập xc định Df .
Suy ra: min f x , max f x . (nu cú)
xD
xD
Bc 3: S dng cỏc nhn xột v phng phỏp ó nờu phn trờn, a ra kt lun.
Thuật ton 2:
i vi bi toỏn t n ph
Bc 1: t n ph t x . T iu kin rng buc ca x suy ra min giỏ tr t x .
Giỏo viờn: Lấ B BO...0935.785.115...
-1-
CLB Giỏo viờn tr TP Hu
Phng trỡnh - Bt phng trỡnh - H phng trỡnh cha tham s Luyn thi THPT Quc gia 2016
Gi s: x Df t X .
Bc 1: Lỳc ny, bin i a PT v dng f t h m ,
hoặc f t h m ; hoặc f t h m .
Lỳc ny bin lun iu kin cú nghim ca PT f t h m vi t X .
Cỏc bc cũn li tng t thut toỏn 1.
* Vi h phng trỡnh cú cha tham s, t duy, hoc l da vo iu kin cú nghim ca cỏc
dng h c thự, hoc a v phng trỡnh cha 1 n (cú th l n ph) v xột iu kin cú
nghim trờn min giỏ tr ca n (hoc n ph) ú.
II- CC BI TP MINH HO:
Bi tp 1: Tìm cc gi trị của m để phương trình: x 9 x x 2 9x m có nghiệm.
Bi gii: Điều kiện: 0 x 9
Pt x 9 x 2 x (9 x ) x 2 9x m 9 2 x (9 x ) x 2 9x m (*)
Đặt t x (9 x )
0 x 9
* Tỡm iu kin ca t :
Cỏch 1: Theo BDT Cauchy: t x (9 x )
Cỏch 2: Ta cú t /
2x 9
2
2 x 9x
x 9x
9
9
0 t
2
2
2
0x 9
2
BBT:
Do đó: 0 t 9
2
* Lúc đó phương trình (*) trở thnh: 9 2t t 2 m t 2 2t 9 m (**)
Xét hm số f (t ) t 2 2t 9
0 t 9 2 . Ta có: f (t) 2t 2 0 t 1
/
Lp bng bin thiờn:
Giỏo viờn: Lấ B BO...0935.785.115...
-2-
CLB Giỏo viờn tr TP Hu
Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
KÕt luËn: Ph¬ng tr×nh ®± cho cã nghiÖm x 0; 9 khi chØ khi PT (**) cã nghiÖm t 0; 9
2
ycbt 9 m 10.
4
Bài tập 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
4
x2 1 x m .
Bài giải: Điều kiện: x 0 .
Xét hàm số f x 4 x 2 1 x trên 0; .
x
Ta có: f / x
2
4
2
x 1
3
1
2 x
0x x
4
x2 1
3
3
x 6 x 2 1 x 2 x 2 1 (vô nghiệm)
Suy ra, f / x không đổi dấu trên 0; , mà
f / 1
1
4
2 8
1
0 f / x 0, x 0; . Do đó f x nghịch biến trên
2
0; .
Ta có BBT: lim f x 0 .
x
Dựa vào BBT ta có yêu cầu bài toán 0 m 1 .
Bài tập 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
x2 x 1 x2 x 1 m .
Bài giải:
Xét hàm số f x x 2 x 1 x 2 x 1 trên .
Ta có:
f / x
2x 1
2
2 x x 1
2x 1
2
2 x x 1
0 2x 1 x 2 x 1 2x 1 x 2 x 1
2x 12x 1 0
2x 12x 1 0
2
2
vô nghiệm.
2
2
1
3
1
3
x 2x 1 x
x
0
2
x
1
2
4
2
4
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
-3-
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Suy ra, f / x không đổi dấu trên 0; , mà f / 0 1 0 f / x 0, x . Do đó
f x đồng biến trên .
Ta có BBT: lim f x 1; lim f x 1 .
x
x
Dựa vào BBT ta có yêu cầu bài toán 0 m 1 .
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x x x 12 m
5 x 4 x .
Bài giải: Điều kiện: x 0; 4 .
Phương trình m
x x x 12
5x 4 x
Xét hàm số f x x x x 12
m x x x 12
5x 4 x
5 x 4 x , x 0; 4
Ta có:
3
1
f / x x
2
2 x 12
Dễ thấy
1
1
, x 0; 4
5 x 4 x x x x 12
2 4 x 2 5 x
5 x 4 x , x 0; 4 f / x 0, x 0; 4 . Do đó f x đồng biến trên
0; 4 . Suy ra phương trình f x m có nghiệm trên
f 0 m f 4 2 3
0; 4
5 2 m 12.
Nhận xét: Ta có thể giải như sau:
x x x 12
. Ta có hàm số g x x x x 12 đồng biến và
5x 4 x
nhận giá trị dương trên 0; 4 , hàm số h x 5 x 4 x nghịch biến và nhận giá trị
x x x 12
dương trên 0; 4 . Suy ra f x
đồng biến trên 0; 4 . Suy ra phương trình
5x 4 x
f x m có nghiệm trên 0; 4 f 0 m f 4 2 3 5 2 m 12.
Phương trình m
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
-4-
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Bài tập 4: Tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt: m x 2 2 x m .
Bài giải: Vì
m
x 2 2 0, x nên phương trình
Xét hàm số f x
Ta có: f
x
x2 2 1 x m
/
x
x2 2 1
x2 2 1
2
x 2
x 2 2 1 0, x .
, x .
2 x2 2
x
do
2
x 2 1
2
x 2
0
.
x 2
BBT: lim f x 1; lim f x 1 .
x
x
Yêu cầu bài toán 2 m 2 .
Bài tập 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 3 3x 4 m
x x 1 1 .
Bài giải: Điều kiện: x 1 .
Phương trình m
Xét hàm số f x
Ta có: f
/
x
x 3 3x 4
x x 1 1
x 3 3x 4
x x 1 1
do
x x 1 1 0, x 1 .
, x 1; .
1
1
x x 1 1 3x 2 3 x 3 3x 4
2 x 2 x 1
x x 1 1
2
.
Với x 1 thì x x 1 1 0 , 3x 2 3 0 , x 3 3x 4 0 (xét biến thiên) và
1
1
0 . Suy ra f / x 0, x 1 . Do đó f x đồng biến trên 1; .
2 x 2 x 1
BBT: lim f x .
x
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
-5-
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Yêu cầu bài toán m 1 .
Bài tập 6: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
4 x x 5 m .
Bài giải: Điều kiện: x 5; 4 .
Xét hàm số f x 4 x x 5, x 5; 4 .
Ta có: f / x
1
1
2 4 x
2 x 5
4 x x 5
2 4 x. x 5
0.
x 5; 4
1
4 x x 5
x .
4 x x 5
2
BBT:
x
-1
2
-5
+
f'(x)
0
4
_
3 2
f(x)
3
3
Yêu cầu bài toán m 3 2 .
Bài tập 7: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx x 3 m 1 .
Bài giải: Điều kiện: x 3 .
Bất phương trình m
Xét hàm số f x
Ta có: f
/
x
x 3 1
do x 1 0, x 3 .
x 1
x 3 1
, x 3; .
x 1
5 x 0
0 x 3 5x
2 x 4.
x
3
5
x
x 3
5x x 3
2 x 1
2
BBT: lim f x 0 .
x
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
-6-
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
2
Yêu cầu bài toán m .
3
Đề 13: (Dự bị- 2004) Chứng minh rằng với mọi m 0 thì phương trình sau luôn có nghiệm:
5
x 2 m 2 x 2 4 2 m 3 0
3
Bài giải: TXĐ: D .
Đặt
x2 4 t 2.
5
Phương trình đã cho tương đương với: t 2 4 m 2 t 2 m 3 0
3
(1)
5
Xét hàm số f t t 2 4 m 2 t 2 m 3 , ta có f t liên tục trên 2; và
3
4
lim f t . Ta sẽ chứng minh f 2 0, m 0 . Thật vậy: f 2 m 3 2m 2 .
3
m 0
4
3
2
/
2
Xét hàm số g m m 2m , m 0 . Ta có: g m 3m 4m 0
.
m 4
3
3
t
BBT:
Dựa vào BBT, ta suy ra f 2 g m 0, m 0 . Suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
x 3 6x
x 36 x m .
Bài giải: Điều kiện: x 3; 6 .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
-7-
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Đặt t x 3 6 x t 2 9 2 x 36 x .
Ta có: t /
1
2 x 3
1
6x x 3
0
2 6 x
2 6 x x 3
x 3; 6
3
6x x 3
x .
6 x x 3
2
3
3 2, min t t 3 t 6 3 hay x 3; 6 t 3; 3 2 .
Suy ra: max
t
t
3;6
3;6
2
t2 9
Lúc đó phương trình trở thành: t
m t 2 2t 9 2m .
2
Xét hàm số f t t 2 2t, t 3; 3 2 . Ta có: f / t 2t 2 0 t 1 3; 3 2 .
BBT:
t
3 2
3
f'(t)
+
18-6 2
f(t)
3
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán f 3 9 2m f 3 2
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 x 2 2x 3 m 1
6 2 9
m 3.
2
x 3 1x m 1 0 .
Bài giải: Điều kiện: x 3;1 .
Đặt t x 3 1 x t 2 4 2 x 31 x .
Ta có: t /
1
2 x 3
1
1x x 3
2 1x
2 1x x 3
x 3;1
1x x 3
x 1 .
1x x 3
0
Suy ra: max
t t 1 2 2, min
t t 3 t 1 2 hay x 3;1 t 2;2 2 .
3;1
3;1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
-8-
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Hoặc: Do t 2 4 2 x 31 x 4 t 2
và t x 3 1 x 2
x 3 1 x 2
2 t 2;2 2 .
Lúc đó phương trình trở thành: t 2 m 1t m 3 0 m
t2 t 3
t 1
do t 1 0, t 2;2 2 .
t2 t 3
t 2 2t 2
/
Xét hàm số f t
, t 2;2 2 . Ta có: f t
0, t 2;2 2 .
2
t 1
t
1
BBT:
t
2 2
2
f'(t)
+
12 2+13
7
f(t)
3
12 2 13
.
7
Bài tập 3: (CĐ 2011) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 3 m
6 x 2 4 x 2x 2 m 4
4 x 2x 2 .
Bài giải: Điều kiện: x 1; 4 .
Đặt t 4 x 2x 2 t 2 2 x 2 4 x 2x 2.
Ta có: t /
1
2 4 x
1
2x 2
2 4 x 2x 2
4 x . 2x 2
0 2 4 x 2x 2
x 1; 4
x 3.
4
4
x
2
x
2
Suy ra: max
t t 3 3, min
t t 1 3 hay x 1; 4 t 3; 3 .
1;4
1;4
Lúc đó phương trình trở thành: t 2 4t 4 m .
Xét hàm số f t t 2 4t 4, t 3; 3 . Ta có: f / t 2t 4 0 t 2 2;2 2 .
BBT:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
-9-
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
t
3
2
3
_
f'(t)
0
+
1
f(t)
7-4 3
0
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 0 m 1.
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
x2 7 m x2 x 1 x4 x2 1 m
Bài giải: Điều kiện: x .
Phương trình x 2
x
2
x 1 x2 x 1 m
Đặt t x 2 x 1 x 2 x 1 t /
x2 x 1 2 .
x2 x 1 x2 x 1 2 7 0
2x 1
2
2 x x 1
2x 1
2
2 x x 1
.
Ta có: t / 0 2x 1 x 2 x 1 2x 1 x 2 x 1
2x 12x 1 0
2
2
2x 1 x 2 x 1 2x 1 x 2 x 1
2x 12x 1 0
2
2
2
2
2x 12x 1 0 vô nghiệm.
1
1
3
1
1
3
x 0
x x x x
2
2
4
2
2
4
Suy ra t / x không đổi dấu trên , mà t / 0 1 0 suy ra t / x 0, x vậy t x đồng
biến trên .
Ta có lim t x 1; lim t x 1 . Vậy t 1;1 .
x
x
Lúc đó: t 2 2x 2 2 2 x 2 x 1 x 2 x 1 nên phương trình trở thành:
t2 2
t 2 12
do t 2 0, t 1;1 .
m t 2 7 0 2m
2
t 2
t 2 12
t 2 4t 12
/
Xét hàm số f t
0
, t 1;1. Ta có: f t
2
t 2
t
2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
-10-
t 2
t 6 .
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
BBT:
t
-1
1
_
f'(t)
13
f(t)
13
3
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán
13
13
13
2m 13 m .
3
2
6
x 2 2 4 x 2 2x m x 0 .
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
Bài giải: Điều kiện: x 2 .
Phương trình
x 2
x 2
24
m 0 (do x 2 )
x
x
x 2
x 2
x 2
2
, khi đó 0 t 4
)
4 1 1, x 1 (hoặc khảo sát u x
x
x
x
x
Phương trình trở thành: t 2 2t m 0 m t 2 2t, t 0;1 .
2
/
Xét hàm số f t t 2t, t 0;1 f t 2t 2 0 t 1 0;1 .
BBT:
Đặt t
4
t
0
1
_
f'(t)
f(t)
0
-1
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 1 m 0 0 m 1 .
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
m
x 2 24 x2 4 x 2 24 x2 4 .
Bài giải: Điều kiện: x 2 .
+ Ta thấy x 2 không phải là nghiệm của phương trình.
x 2
x 2
4
+ Xét x 2 , phương trình m
2 4
2 (do x 2 )
x 2
x 2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
-11-
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
x 2
4
x 2
x 2
, khi đó
)
1
1, x 2 t 1 (hoặc khảo sát u x
x 2
x 2
x 2
x 2
1
t 2 2t
Phương trình trở thành: m 2 t 2 m
, t 1; .
t
2t 1
Đặt t
4
t 2 2t
2t 2 2t 2
/
Xét hàm số f t
, t 1; f t
0, t 1; .
2
2t 1
2
t
1
BBT: lim f t .
t
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 1 m 0 0 m 1 .
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 5x 2 6x 7 m x 1 x 2 2 .
Bài giải: Điều kiện: x .
Để ý rằng 5x 2 6x 7 3 x 1 2 x 2 2 .
2
Phương trình 2
2
x 2 2 3 x 1 m x 1 x 2 2 (*)
2
Do x 1 không là nghiệm của phương trình (*), nên (*) tương đương:
2
x2 2
x 1
3.
m
x 1
x2 2
Đặt t
x 1
x2 2
, khi đó t /
2x
2
x 2
3
0 x 2.
BBT: lim t x 1; lim t x 1 .
x
x
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
-12-
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
6
Vậy x t 1;
.
2
2
6
.
3t m, t 1;
t
2
Phương trình trở thành:
2
6
3t 2 2
/
f t
0
Xét hàm số f t 3t, t 1;
2
t
2
t
t 6
3 .
t 6
3
BBT: lim f t ; lim f t .
t 0
t 0
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán m ; 2 6 2 6; .
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
1
x x 1 m x
4 x x 1 1 .
x 1
Bài giải: Điều kiện: x 1 .
Phương trình
m x
x 1
Đặt t
4
x x 1
1
x x 1 m x
4 x x 1
x 1
1
x 1
x x 1
1
4 x x 1 x x 1
1
x 1
4 x x 1 1 m x
x
x 1
4
x 1
1m .
x
x 1
, khi đó t 0;1 .
x
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
-13-
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
1
1
Phương trình trở thành: 2 t 1 m m 2 t 1, t 0;1 .
t
t
1
2
Xét hàm số f t 2 t 1, t 0;1 f / t 2 1 0, t 0;1 .
t
t
BBT: lim f t .
t 0
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán m 1.
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
x 2
2
x 1
x2 1
2
18 x 2 1
2
x 2 x 1
m.
Bài giải: Điều kiện: x .
2
x 2
18
Phương trình
1
m (*)
x 2 1
x 2
1
2
x 1
Đặt t
x 2
x2 1
, khi đó t /
1 2x
x2 1
3
0x
1
.
2
BBT: lim t x 1; lim t x 1 .
x
x
Vậy x t 1; 5 .
Phương trình trở thành: t 1
2
18
m, t 1; 5 .
t 1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
-14-
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
2
18
18
Xét hàm số f t t 1
, t 1; 5 f / t 2 t 1
0 t 2.
2
t 1
t 1
BBT: lim f t .
t 1
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán m 7 .
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: tan2 x cot2 x m tan x cot x 3 0 .
Bài giải: Điều kiện: x k
.
2
Đặt t tan x cot x t tan x
1
1
tan x
2
tan x
tan x
suy ra: t 2 2 tan2 x cot2 x .
t2 1
, t 2.
Phương trình trở thành: t mt 1 0 m
t
2
Xét hàm số f t
t2 1
t2 1
, t 2 f / t 2 0, t 2 .
t
t
BBT: lim f t ; lim f t .
t
t
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán m
5
5
hoặc m .
2
2
Bài tập 3: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh 3 tan x 1 sin x 2 cos x m sin x 3 cos x (1) cã
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
-15-
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Phng trỡnh - Bt phng trỡnh - H phng trỡnh cha tham s Luyn thi THPT Quc gia 2016
nghiệm duy nhất x 0; .
2
Bi gii: Xét x 0; , khi đó sin x 0, cos x 0, tan x 0 v sin x 3 cos x 0.
2
(sin x 2 cos x )
tan x 2
m 3 tan x 1
m (2)
(sin x 3 cos x )
tan x 3
t 2
Đặt t tan x t 0 x 0;
. Lúc đó, PT (2) trở thnh: 3 t 1
m (3)
2
t 3
t 2
3
t 2 3 t 1
Xét hm số f (t ) 3 t 1
t 0. Ta có: f / (t )
.
0, t 0
2
t 3
2 t 1 t 3 (t 3)
PT (1) 3 tan x 1
Lp bng bin thiờn: lim f t .
t
Ta có, ứng với mỗi t 0 tho mn PT (3), ta được đúng một nghiệm x 0;
có nghiệm duy nhất x 0;
suy ra ycbt l m 2.
2
. Do đó, PT (1)
2
khi v chỉ khi PT (3) có nghiệm duy nhất t 0. Dựa vo BBT,
Bi tp 3: Tỡm m phng trỡnh sau cú ỳng hai nghim phõn bit:
x 6 2x 5 3x 4 mx 3 3x 2 2x 1 0 (1)
Bi gii:
+ Rừ rng x 0 khụng l nghim ca phng trỡnh (1).
1
1
1
+ Vi x 0 , phng trỡnh (1) x 3 3 2 x 2 2 3 x m 0 (2)
x
x
x
t t x
1
1
1
t x x 2 t 2.
x
x
x
Phng trỡnh (2) tr thnh: t t 2 3 2 t 2 2 3t m 0 t 3 2t 2 6t 4 m 0 (3)
Giỏo viờn: Lấ B BO...0935.785.115...
-16-
CLB Giỏo viờn tr TP Hu
Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
1
, ta có với mỗi t 2 cho ta 1 giá trị của x ; với mỗi t thoả mãn t 2
x
cho ta 2 giá trị x . Do đó, (1) có đúng hai nghiệm phân biệt (3) chỉ có các nghiệm t1 2 và
Từ phép đặt t x
t2 2 , hoặc (3) có đúng 1 nghiệm t thoả mãn t 2 . Ta xét hai trường hợp:
8 m 0
TH 1: (3) có đúng hai nghiệm t1 2 và t2 2
không tồn tại m .
m
0
TH 2: (3) có đúng một nghiệm t và thoả mãn t 2 .
Ta có (3) m t 3 2t 2 6t 4 .
t 2 22
3
Xét hàm số f t t 3 2t 2 6t 4, t 2 f / t 3t 2 4t 6 0
.
2
22
t
3
BBT: lim f t ; lim f t .
t
t
m f 2 22
m 16 44 22
3
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán
.
27
m 0
m f 2
Bài tập 3: (ĐH A - 2002) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc 1; 3 3 :
log23 x log23 x 1 2m 1 0 .
Bài giải: Điều kiện: x 0 .
Đặt t log23 x 1 x 1; 3 3 0 log3 x 3 0 log23 x 3
2
1 log3 x 1 4 t 1;2 .
Phương trình trở thành: t 2 t 2 2m 2m t 2 t 2, t 1;2 .
Xét hàm số f t t 2 t 2, t 1;2 f / t 2t 1 0, t 1;2 .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
-17-
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
BBT:
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 0 2m 4 0 m 2 .
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc 0;1 :
41x 41x m 1 22x 22x 2m .
Bài giải: Điều kiện: x .
Phương trình đã cho 4 4x 4x 4 m 1 2x 2x 2m
Đặt t 2x 2x , x 0;1 t / x 2x 2x
min
t x t 0 0
0;1
ln 2 0, x 0;1
3
max
t
x
t
1
2
0;1
3
x 0;1 : t 0;
2
Phương trình trở thành: 2 t 2 2 2 m 1t m
3
m t2 t 2
, t 0; .
2
2
2t 1
3
t2 t 2
, t 0; .
2
2t 1
t 1 11
2
2t 2t 5
2
f / t
0
2
t 1 11 0; 3
2t 1
2
2
BBT:
Xét hàm số f t
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
-18-
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Phng trỡnh - Bt phng trỡnh - H phng trỡnh cha tham s Luyn thi THPT Quc gia 2016
Da vo bng bin thiờn, yờu cu bi toỏn
2 11 m
2 2 11 m 4 .
2
2
Bi tp 3: Cho phương trình: log22 x log 1 x 2 3 m log2 x 3 (1)
2
Tìm cc gi trị của m để có phương trình nghiệm x 32; .
Bi gii: Từ điều kiện bi ra, ta thấy log2x 5, suy ra log2x 3 2 nên m 0.
PT (1) log22 x 2 log2 x 3 m log2 x 3
log22 x 2 log2 x 3 m 2 log2 x 3
2
Đặt t log2 x
t 5. PT (2) trở thnh:
Xét hm số f t
t 1
t 3
(2)
t 2 2t 3 m 2 t 3 m 2
2
t 5. Ta có: f t
/
4
t 3
2
t 1
(3)
t 3
0 t 5
Lp bng bin thiờn:
Lúc đó, phương trình (1) có nghiệm x 32; khi chỉ khi PT (3) có nghiệm t 5;
ycbt 1 m 2 3. Kết hợp m 0, suy ra: 1 m 3.
Bi tp 3: Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim:
4m 3
x 3 3m 4 1 x m 1 0 (1)
Bi gii: iu kin: x 3;1 .
(1) m 4 x 3 3 1 x 1 3 x 3 4 1 x 1 m
Vỡ
2
x 3
1x
2
3 x 3 4 1x 1
4 x 3 3 1x 1
x 3 2 sin
4 nờn ta cú th t
, 0; .
2
1 x 2 cos
Khi ú ta cú phng trỡnh: m
6 sin 8 cos 1
(2). t t tan , khi ú t 0;1
2
8 sin 6 cos 1
2t
1 t2
7t 2 12t 9
v sin
, (2) tr thnh: m 2
, t 0;1 .
; cos
1 t2
1 t2
5t 16t 7
Giỏo viờn: Lấ B BO...0935.785.115...
-19-
CLB Giỏo viờn tr TP Hu
Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
7t 2 12t 9
52t 2 8t 60
Xét hàm số f t 2
, t 0;1 f / t
0, t 0;1 .
2
2
5t 16t 7
5t 16t 7
Do đó, f t nghịch biến trên
0;1 .
BBT:
t
0
1
_
f'(t)
9
7
f(t)
7
9
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán
7
9
m .
9
7
Nhận xét: Hoàn toàn ta có thể khảo sát trực tiếp hàm số g x
3 x 3 4 1x 1
4 x 3 3 1x 1
trên
3;1 để tìm điều kiện có nghiệm của phương trình.
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
m2
3
x2
2m 1 3 5
3
x2
3 5
3
x2
0 (1)
Bài giải: Điều kiện: x .
3 5
(1) 2m 2m 1
2
3 5
Đặt t
2
3
3
x2
3 5
2
3
x2
0.
x2
t 1, x .
1
t2 1
Khi đó phương trình trở thành: 2m 2m 1 t 0 2m
, t 1.
t
t 2
3
3 5
Với t 1 : t
2
t 1 thì ta có 2 giá trị x .
x2
x log33 5 t . Do đó với t 1 ta có duy nhất x 0 , với
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
2
-20-
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
t2 1
t 2 4t 1
Xét hàm số f t
, t 1 f / t
0, t 1 .
2
t 2
t 2
BBT:
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 2m 0 m 0 .
1
Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thoả mãn x :
2
92x
2
x
2 m 1 62x
2
x
m 1 42x
2
x
0.
Bài giải: Điều kiện: x .
2x 2 x
9
Chia 2 vế của bất phương trình cho 42x x , ta được:
4
2
2x 2 x
3
Đặt t
2
. Ta có: x
2x 2 x
3
2 m 1
2
m 1 0
1
2x 2 x 0 t 1 .
2
t 2 2t 1
, t 1; .
Bất phương trình trở thành: t 2 m 1t m 1 0 m
2t 1
2
Xét hàm số f t
t 2 2t 1
2t 2 2t 4
, t 1; f / t
0 t 2 1; .
2
2t 1
2t 1
BBT: lim f t .
t
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán m 3 .
Bài tập 3: (Cao Đẳng - 2013) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
x 2 m
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
x 1 m 4 .
-21-
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Bài giải: Điều kiện: x 1 .
Đặt t x 1 x 1 t 0
t3 t 4
Bất phương trình trở thành: t 1 m t m 4 m
, t 0. .
t 1
2
t 1 2t 2 5t 5
t3 t 4
/
Xét hàm số f t
, t 0 f t
0 t 1 0; .
2
t 1
t 1
BBT:
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán m 2 .
Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x 1;1
m 1 x 12 1 x 2 16x 3m 1 x 2m 15 .
Bài giải: Điều kiện: x 1;1 .
Bất phương trình m
1 x 3 1 x 16x 12 1 x 2 2m 15 .
2 9 1 x 6 1 x 1 x 1 x m 3 1 x 1 x 2 5 0
Đặt t 3 1 x 1 x t / x
3
2 1x
1
2 1x
0, x 1;1
suy ra min
t x t 1 2; max
t x t 1 3 2 x 1;1 t 2; 3 2
x 1;1
x 1;1
2t 2 5
Bất phương trình trở thành: 2t m t 2 5 0 m
, t 2; 3 2 .
t 2
2
Xét hàm số f t
2t 2 5
2t 2 8t 5
, t 2; 3 2 f / t
0, t 2; 3 2 .
2
t 2
t 2
BBT:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
-22-
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán m min f t f 3 2
t 2;3 2
Bài tập 3: T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh: m
31
3 2 2
.
x 2 2x 2 1 x (2 x ) 0 (1) cã
nghiÖm x 0;1 3 .
Bài giải: §Æt t x 2 2x 2 x 0;1 3 . Ta cã t /
x 1
2
x 2x 2
0 x 1.
Ta cã b°ng biÕn thiªn:
Tõ ®ã: 1 t 2.
Víi 1 t 2, ta biÕn ®æi: t x 2 2x 2 t 2 x 2 2x 2 x (2 x ) t 2 2.
t2 2
BPT (1) trë th¯nh: m(t 1) t 2 m
(2)
t 1
t2 2
t 2 2t 2
/
XÐt h¯m sè f (t )
1
t
2
.
Ta
cã:
f
(
t
)
0, t 1;2 .
2
t 1
(t 1)
Suy ra h¯m sè f (t ) ®ång biÕn trªn 1;2 .
XÐt b°ng biÕn thiªn:
2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
-23-
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Lóc ®ã, BPT (1) cã nghiÖm x 0;1 3 khi chØ khi BPT (2) cã nghiÖm t 1;2 .
§iÒu n¯y x±y ra khi m max
f (2) 2 .
t 1;2
3
Nhận xét: Nếu đề bài yêu cầu tìm m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng x 0;1 3
1
thì yêu cầu bài toán m f 1 .
2
x 2y xy 0
Bài tập 1: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
.
x
1
2
y
1
m
1
Bài giải: Điều kiện x 1; y .
2
x 2 y
(1)
x y
x 2 y 0
x 4y
Hệ
4y 1 2y 1 m (2)
x 1 2y 1 m
x 1 2y 1 m
(do
1
x y 0, x 1; y )
2
Từ (1) ta thấy với mỗi y
(2) có nghiệm y
1
sẽ cho ta một x 1 . Vì vậy hệ đã cho có nghiệm phương trình
2
1
.
2
1
Xét hàm số f y 4y 1 2y 1, y ; .
2
2
1
3 1
0 y ; .
Ta có: f / y
4 2
4y 1
2y 1
BBT: lim f y .
y
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
-24-
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
1
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán m
.
2
2x y m 0 (1)
Bài tập 1: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
.
y
xy
2
(2)
Bài giải: Điều kiện xy 0 .
y 2
Phương trình (2) xy 2 y
y 2 4y 4 (do y 0 không thoả mãn phương trình)
x
y
y 2 4y 4
4y 4
Thay vào phương trình (1) ta được:
y m 0 m
, y 2.
y
y
Xét hàm số f y
Ta có: f / y
4y 4
, y ;2 .
y
4
0, y ;2 \ 0 .
y2
BBT: lim f y 4; lim f y ; lim f y .
y
y 0
y 0
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán m 4 hoặc m 2 .
2
3
x
1
y m 0 (1)
Bài tập 1: Tìm m để hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
.
x xy 1
(2)
Bài giải: Điều kiện xy 0 .
x 1
Phương trình (2) xy 1 x
x 2 2x 1 (do x 0 không thoả mãn phương trình)
y
x
Thay vào phương trình (1) ta được: 3x 2 6x
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
x 2 2x 1
m 3.
x
-25-
CLB Giáo viên trẻ TP Huế