skkn HƯỚNG dẫn GIẢI NHANH một số bài tập CON lắc đơn

HƯỚNG DẪN GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TẬP
CON LẮC ĐƠN
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Hiện nay, khi mà hình thức thi trắc nghiệm khách quan được áp dụng trong các
kì thi tốt nghiệp và tuyển sinh đại học, cao đẳng thì yêu cầu về việc nhận dạng để
giải nhanh các câu trắc nghiệm, đặc biệt là các câu trắc nghiệm định lượng là rất
cần thiết để có thể đạt được kết quả cao trong kì thi.
Để giúp các em học sinh nhận dạng được các câu trắc nghiệm định lượng từ đó
có thể giải nhanh và chính xác từng câu, tôi xin tập hợp ra đây các bài tập điển hình
trong sách giáo khoa, trong sách bài tập, trong các đề thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển
sinh đại học – cao đẳng trong những năm qua về con lắc đơn và phân chúng thành
những dạng cơ bản từ đó đưa ra công thức giải cho từng dạng. Hy vọng rằng tập tài
liệu này giúp ích được một chút gì đó cho các quí đồng nghiệp trong quá trình giảng
dạy và các em học sinh trong quá trình kiểm tra, thi cử.
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Qua vài năm được nhà trường phân công dạy vật lí khối 12 tôi nhận thấy đa số
học sinh có các điểm yếu sau:
- Kỹ năng áp dụng kiến thức toán học vào bài toán vật lí chưa tốt
- Học sinh không nhớ các kiến thức vật lí lớp 10, 11
- Học sinh không ghi nhớ các công thức đặc trưng cho từng dạng bài tập nên
làm các bài thi trắc nghiệm còn chậm và không đạt được kết quả cao
Thông qua đề tài này tôi muốn học sinh khắc phục được các điểm yếu trên, nâng
cao được khả năng tư duy logic và đạt được kết quả cao trong các kì thi tốt nghiệp,
cao đẳng và đại học

1


1.1 Kiến thức vật lí
Chu kì: T  2

l
g

1
Động năng: Wd  mv 2
2

1
Thế năng: Wt  mgl( 1  cos  )  mgl 2
2

(  nhỏ)

1
1 2
Cơ năng: W = Wd  Wt  mgl02  mvmax
 mgl( 1  cos 0 )
2
2
r
r
Định luật II Nintơn: Fhl  ma
Gia tốc hướng tâm: a ht 

v2
r

Công thức sự nở dài: l  l0 ( 1   t )
Gia tốc trọng trường: g h  G

M
(R  h) 2

r
r
Trọng lực: P  mg
r
r
Lực điện trường: Fd  qE
r
r
Fd cùng phương với E
r
r
Nếu q > 0: Fd cùng hướng với E
r
r
Nếu q < 0: Fd ngược hướng với E
r
r
Lực quán tính: Fqt  ma

Lực quán tính ngược hướng với vectơ gia tốc
Trong chuyển động nhanh dần: vectơ gia tốc cùng hướng chuyển động
Trong chuyển động chậm dần: vectơ gia tốc ngược hướng chuyển động
1.2 Kiến thức toán học
Định lí hàm số cosin: Trong tam giác ABC có a 2  b2  c2  2bc.cos A
2

Định lí Pitago: Trong tam giác vuông ABC (A=900) có a 2  b2  c2
r r r
Cho a  b  c
r
r r r
r
Nếu b và c cùng hướng: a = b + c

r
r r r
r
Nếu b và c ngược hướng: a = b  c
r
r r
Nếu b vuông góc với c : a  b 2  c 2
r r
r
r
r
Nếu b hợp với c một góc  : a  b 2  c2  2 b c cos 

2. NỘI DUNG, BIỆN PHÁP THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
2.1 Sự phụ thuộc của chu kì vào chiều dài khi gia tốc trọng trường không đổi
Bài toán 1: Tại cùng một nơi, con lắc đơn chiều dài l 1 dao động điều hòa với
chu kì T1 . Tính chu kì T2 khi con lắc có chiều dài l 2
Tại cùng một nơi nên gia tốc trọng trường không đổi

T1  2

l1
;
g

T2  2

l2
g

T2  T1

l2
l1



T2

T1

l2
l1

( chu kì tỉ lệ thuận với căn bậc hai

của chiều dài )
Kết luận:

Ví dụ 1: Một con lắc đơn có độ dài 1m dao động điều hòa với chu kì 2s. Tại cùng vị
trí thì con lắc đơn dài 3m sẽ dao động điều hòa với chu kì bao nhiêu?

T2  T1

l2
3
2
2 3s
l1
1

Bài toán 2: Tại cùng một nơi, con lắc đơn chiều dài l 1 dao động điều hòa với
chu kì T1 ; chiều dài l 2 dao động điều hòa với chu kì T2 . Tính chu kì T khi con
lắc có chiều dài l 1 + l 2 ; chu kì T khi con lắc có chiều dài l 1 - l 2 (với l 1 > l 2 ) và
chu kì T* khi con lắc có chiều dài l 1 . l 2
3


T1  2

l1
2
2 l
 T1  4  1 ;
g
g

T   2

l
l
l1  l2

2
2 l  l2
 4 2 1  4 2 2  T12  T22
 T  4  1
g
g
g
g

T   2

l
l
l1  l2
2
2 l  l2
 4 2 1  4 2 2  T12  T22
 T  4  1
g
g
g
g

T*  2

T2  2

l2
2
2 l

 T2  4  2
g
g

l1.l2
l .l
l
l g
g
 T*2  42 1 2  42 1 .42 2 . 2  T12T22 2
g
g
g
g 4
4

Kết luận:

T  T12  T22

; T  T12  T22

và

T* 

T1T2 g
2

Ví dụ 2: Tại cùng một nơi, một con lắc đơn có độ dài l1 dao động với chu kì

T1 = 0,8 s. Một con lắc đơn khác có độ dài l2 dao động với chu kì T2 = 0,6
s. Tính chu kì của con lắc đơn có độ dài l1 + l2 ;

l1 - l2 và l1.l2

( lấy

g=10m/s2 và 2  10 )
T  T12  T22  (0, 8)2  (0, 6)2  1s
T  T12  T22  (0, 8)2  (0, 6)2  0, 53s

T* 

T1T2 g 0,8.0,6. 10

 0,24s
2
2. 10

Bài tốn 3: Ở cùng một vị trí, con lắc đơn ở nhiệt độ t1 dao động điều hòa với
chu kì T1 . Tính chu kì T2 khi con lắc ở nhiệt độ t2 (cho chất làm dây treo có hệ
số nở dài  )
l1 = l0 (1  t 1 ) ;
T2

T1

Kết luận:

l2


l1

l2 = l0 (1  t 2 )

l 0 (1  t 2 )

l 0 (1  t 1 )

T2  T1

1  t 2
1  t 1

1  t 2
1  t1

4


Ví dụ 3: Một con lắc đơn ở 200C dao động điều hòa với chu kì 2s. Tại cùng vị trí,
tính chu kì con lắc khi ở 320C. Cho chất làm dây treo có hệ số nở dài là 2.105 K 1

T2  T1

1  t 2
1  2.105.32
 2.
 2, 00024s
1  t 1

1  2.105.20

2.2 Sự phụ thuộc của chu kì vào gia tốc trọng trường khi chiều dài không đổi
Bài toán 4: Tại vị trí có gia tốc trọng trường g 1 con lắc dao động điều hòa với
chu kì T1 . Tính chu kì T2 của con lắc đó tại vị trí có gia tốc trọng trường g 2
( coi chiều dài dây treo không đổi )
T1  2

l
;
g1

T2  2

l
g2



T2

T1

g1
g2

( chu kì tỉ lệ nghịch với

căn bậc hai của gia tốc trọng trường )
Kết luận:

T2  T1

g1
g2

Ví dụ 4: Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì 1,5s trên trái đất. Tính chu kì
dao động của con lắc đó trên mặt trăng. Biết rằng gia tốc trọng trường của mặt trăng
nhỏ hơn của trái đất 5,9 lần (coi chiều dài con lắc không đổi)
1: trái đất ;
g2 

2: mặt trăng

g1
g
 1  5,9
5,9
g2

T2  T1

g1
 1, 5 5, 9  3, 64s
g2

Bài toán 5: Chu kì dao động điều hòa của con lắc khi ở gần mặt đất là T0 . Tính
chu kì Th của con lắc khi nó ở độ cao h so với mặt đất ( bỏ qua sự thay đổi
chiều dài dây treo )
GM

g0  2
R

Th

T0

;

GM
;
gh 
(R  h)2

g0  h  R 


gh  R 

2

g0
R h
h

 1
gh
R
R
5

Kết luận:

Th  T0 (1 

h
)
R

Ví dụ 5: Một con lắc đơn ở gần mặt đất dao động điều hòa với chu kì 2s. Tính chu
kì của nó ở độ cao 320m (bỏ qua sự thay đổi chiều dài dây treo và cho bán kính trái
đất là 6400km)
Th  T0 (1 

h
0, 32
)  2(1 
)  2, 0001s
R
6400

Ví dụ 6: Hỏi phải đưa con lắc đơn lên đến độ cao nào để chu kì của nó tăng thêm
0,004% so với chu kì của con lắc ấy tại mặt đất. Biết bán kính trái đất là 6400km và
bỏ qua sự thay đổi nhiệt độ

Th  T0
 0, 004%  4.105
T0
Th  T0(1 

h
h Th  T0
)

 4.105  h  4.105.R  0, 256km  256m
R
R
T0

2.3 Con lắc đơn mang điện tích dao động điều hòa bên trong điện trường đều
Bài toán 6: Con lắc đơn chiều dài l, vật nhỏ khối lượng m mang điện tích q dao
r
động điều hòa bên trong điện trường đều có vectơ cường độ điện trường E .
Tính chu kì T/ của con lắc khi
r
r
a. Fd và P cùng hướng
r
r
b. Fd và P ngược hướng
r
r
c. Fd và P vuông góc
r
r
d. Fd và P hợp với nhau góc 
r
r r
P /  P  Fd ;

r
r
a. Fd và P cùng hướng:

P/
g  ;
m
/

T /  2

l
g/

P /  P  Fd  mg  q E ;

g/  g 

qE
m

6


T /  2

r
r
b. Fd và P ngược hướng:

l
qE
g
m
g/  g 

P/  P  Fd  mg  q E ;
l
qE
g
m

T /  2

r
r
c. Fd và P vuông góc: P /  P 2  Fd2  m 2g 2  q 2 E 2 ;

T /  2

qE
m

q 2E2
g  g  2
m
/

2

l
q 2E2
g  2
m
2

r
r
d. Fd và P hợp với nhau góc  :

P /  P2  Fd2  PFd cos   m2g2  q2E2  mg q Ecos 
g 
/

m 2g 2  q 2 E 2  mg q E cos 
m

T /  2

 g2 

q 2 E 2 g q E cos 

m2
m

l
q 2 E 2 g q E cos 
g  2 
m

m
2

r
r
Kết luận: Fd và P cùng hướng:

T /  2

r
r
Fd và P ngược hướng: T /  2

l
qE
g
m

l
qE
g
m

7


r
r
Fd và P vuông góc:

T /  2

l
q 2E2
g 
m2
2

r
r
Fd và P hợp với nhau góc  : T/  2

l
q 2E2 g q Ecos 
g 

m2
m
2

Ví dụ 7: Một con lắc đơn có chiều dài dây treo 50cm và vật nhỏ có khối lượng
0,01kg mang điện tích q  5.106 C , được coi là điện tích điểm. Con lắc dao động
điều hòa trong điện trường đều mà vectơ cường độ điện trường có độ lớn
E=104 V/m . Lấy g  10  m / s 2  ,   3,14 . Tính chu kì dao động điều hòa của con
lắc khi
r
a. E hướng thẳng đứng xuống dưới
r
r
r

r
Vì q > 0 nên Fd cùng hướng E => Fd hướng thẳng đứng xuống dưới => Fd cùng

r
hướng P => T /  2

l
0,5
 2
 1,15s
qE
5.106.104
10 
g
0,01
m

r
b. E hướng thẳng đứng lên trên
r
r
r
r
Vì q > 0 nên Fd cùng hướng E => Fd hướng thẳng đứng lên trên => Fd ngược

r
hướng P => T /  2

l
0,5

 2
 1,99s
5.106.104
qE
10 
g
0,01
m

r
c. E có phương nằm ngang
r
Vì Fd cùng phương
T /  2

l
(qE) 2
g2 
m2

 2

với

r
E

=>

0,5

(5.106.104 )2
102 
0,012

r
Fd

vuông

góc

với

r
P

=>

 1,33s

8


r
r
d. E hợp với P một góc 300
r
r
r
r

Vì q > 0 nên Fd cùng hướng E => Fd hợp với P một góc 300 =>   300 =>
T /  2

l
(qE) 2 g q E cos 
g 

m2
m

 2

0,5
(5.106.104 )2 10.5.106.104.cos300
10 

0,012
0,01
2

2

 1,23s
2.4 Con lắc đơn dao động đều trong hệ quy chiếu không quán tính
Bài toán 7: Một con lắc đơn chiều dài l được treo trên trần của một thang máy.
Tính chu kì dao động điều hòa T/ của con lắc khi thang máy
a. đi lên nhanh dần đều với gia tốc có độ lớn là a
b. đi lên chậm dần đều với gia tốc có độ lớn là a
c. đi xuống nhanh dần đều với gia tốc có độ lớn là a
d. đi xuống chậm dần đều với gia tốc có độ lớn là a

r
r/ r r
r / P/ r r
l
r
r
g  ga ;
T /  2 /
P  P  Fqt  mg  ma ;
m
g
r
Chọn chiều dương cùng chiều g
r
r
a. Thang máy đi lên nhanh dần  a cùng hướng chuyển động  a hướng thẳng
đứng lên trên  g/  g  a  T /  2

l
ga

r
r
b. Thang máy đi lên chậm dần  a ngược hướng chuyển động  a hướng thẳng

đứng xuống dưới  g/  g  a  T /  2

l
ga

r
r
c. Thang máy đi xuống nhanh dần  a cùng hướng chuyển động  a hướng thẳng

đứng xuống dưới  g/  g  a  T /  2

l
ga

r
r
d. Thang máy đi xuống chậm dần  a ngược hướng chuyển động  a hướng

thẳng đứng lên trên  g/  g  a  T /  2

l
ga
9


Kết luận: - Thang máy đi lên nhanh dần đều hoặc thang máy đi xuống
chậm dần đều: T /  2

l
ga

- Thang máy đi lên chậm dần đều hoặc thang máy đi xuống
nhanh dần đều: T /  2

l

ga

Ví dụ 8: Một con lắc đơn treo trong thang máy ở nơi có gia tốc trọng trường 10
m/s2. Khi thang máy đứng yên con lắc dao động với chu kì 2 s. Lấy 2  10 . Tính
chu kì dao động của con lắc trong các trường hợp:
a) Thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc 2 m/s2.
b) Thang máy đi lên chậm dần đều với gia tốc 5 m/s2.
c) Thang máy đi xuống nhanh dần đều với gia tốc 4 m/s2.
d) Thang máy đi xuống chậm dần đều với gia tốc 6 m/s2.

T  2

T 2g 22.10
l
 1m
l  2 
4
4.10
g

a) T /  2

l
1
 2
 1,83s
ga
10  2

b) T /  2

l
1
 2
 2,83s
g a
10  5

c) T /  2

l
1
 2
 2,58s
g a
10  4

d) T /  2

l
1
 2
 1,58s
ga
10  6

Ví dụ 9: Một con lắc đơn được treo vào trần một thang máy. Khi thang máy chuyển
động thẳng đứng đi lên nhanh dần đều với gia tốc có độ lớn a thì chu kì dao động
điều hòa của con lắc là 2,52 s. Khi thang máy chuyển động thẳng đứng đi lên chậm

10


dần đều với gia tốc cũng có độ lớn a thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là
3,15 s. Tính chu kì dao động điều hòa của con lắc khi thang máy đứng yên
Gọi T1 là chu kì dao động điều hòa của con lắc khi thang máy đi lên nhanh dần đều
T2 là chu kì dao động điều hòa của con lắc khi thang máy đi lên chậm dần đều
T là chu kì dao động điều hòa của con lắc khi thang máy đứng yên

T  2

l
1
1 g
 2  2.
g
T
4 l

T1  2

l
1
1 g a
 2  2.
;
ga
T1 4
l

T2  2

l
1
1 g a
 2  2.
g a
T2 4
l

1
1
1 2g 2
TT 2
2,52.3,15. 2
 2  2.
 2  T 1 2

 2,78s
2
T1 T2 4 l
T
T12  T22
(2,52)2  (3,15) 2



Bài toán 8: Một con lắc đơn được treo trên trần của một ôtô. Tính chu kì dao
động điều hòa T/ của con lắc khi ôtô chuyển động thẳng biến đổi đều trên
đường ngang với gia tốc có độ lớn a

r r r
P/  P  Fqt

r
Ôtô chuyển động thẳng biến đổi đều trên đường ngang => a có phương ngang
r
r
r
=>
có phương ngang =>
vuông góc với
=>
Fqt
Fqt
P
P 
/

P F
2

2
qt

Kết luận:

 m g m a ;
2 2

T /  2

2 2

l
 2
g/

P/
g 
 g2  a 2 ;
m
/

T /  2

l
g/

l
g 2  a2

Ví dụ 10: Treo con lắc đơn vào trần một ôtô tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8
m/s2. Khi ôtô đứng yên thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là 2 s. Nếu ôtô

11


chuyển động thẳng nhanh dần đều trên đường nằm ngang với gia tốc 2 m/s2 thì chu
kì dao động điều hòa của con lắc bằng bao nhiêu?
l

T 2g 22.9,8
T  2
l 2 
 0,993m
g
4
42

T /  2

l
g a
2

2

0,993

 2

(9,8)  2
2

2

 1,98s

2.5 Các bài toán về năng lượng, vận tốc và lực căng dây
Bài toán 9: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc  0 . Xác định li
độ góc  khi vật có động năng bằng n lần thế năng

Wd  nWt

1
1
02
2
2
2
W  Wd  Wt  nWt  Wt  ( n  1)Wt  mgl0  ( n  1). mgl   
2
2
n1
Kết luận:



0
n1

Ví dụ 11: Một con lắc đơn dđđh với biên độ góc là 90. Xác định li độ góc khi thế
năng bằng

1
lần động năng
2

1
Wt  Wd  Wd  2Wt  n  2
2


0
9

 5,20
n 1
3

Bài toán 10: Một con lắc đơn dao động điều hòa với tốc độ lớn nhất là v max .
Xác định vận tốc khi vật có thế năng bằng n lần động năng ( Wt  nWd )
1 2
1
v 2max
2
2
W  Wd  Wt  Wd  nWd  (n  1)Wd  mv max  (n  1). mv  v 
2
2
n 1

Kết luận:

v

vmax
n1

12

Ví dụ12: Một con lắc đơn dđđh, khi đi qua VTCB đạt tốc độ là 10 cm/s. Tính vận
tốc khi vật có động năng bằng thế năng
Wt  Wd  n  1

v

v max
10

 5 2cm / s
n 1
2

Bài toán 11: Con lắc đơn có chiều dài dây treo l dao động điều hòa với biên độ
góc  0 tại nơi có gia tốc trọng trường g. Tính tốc độ v  của vật tại vị trí có li
độ góc  . Từ đó suy ra tốc độ con lắc tại VTCB
W  W d  W t  mgl( 1  cos 0 ) 


v   2gl(cos   cos 0 )

Tại VTCB (   0 ): vV T CB 

Kết luận:

1
mv2  mgl( 1  cos  )
2

2gl( 1  cos 0 )

v   2gl(cos   cos 0 ) ;

vV T C B  2gl( 1  cos 0 )

Ví dụ 13: Một con lắc chiều dài 0,5m dao động với biên độ góc là 90 tại nơi có gia
tốc trọng trường 9,8 m/s2. Tính tốc độ con lắc khi nó có li độ góc là 40 và tốc độ lớn
nhất của con lắc
v   2gl(cos   cos 0 )  2.9, 8.0, 5(cos 4 0  cos 90 )  0, 31m / s
vmax  vV T CB  2gl( 1  cos 0 )  2.9,8.0,5( 1  cos 9 0 )  0,35m / s

Bài toán 12: Con lắc đơn vật nhỏ khối lượng m dao động điều hòa với biên độ
góc  0 tại nơi có gia tốc trọng trường g. Tính lực căng dây T tác dụng vào
vật tại vị trí có li độ góc  . Từ đó suy ra Tmax và Tmin
r r
r
Định luật II Niutơn: P  T  ma
r
Chọn chiều dương cùng chiều lực căng T . Chiếu biểu thức định luật II Niutơn
r
lên giá của T ta được
P cos   T  ma ht


mv 2

 mg cos   T  2mg(cos   cos  0 )
l

T  mg(3 cos   2 cos  0 )

13


Lực căng lớn nhất khi vật ở VTCB (   0 )  Tmax  mg(3  2 cos  0 )
Lực căng nhỏ nhất khi vật ở biên (   0 )  Tmin  mg cos 0
T  mg(3 cos   2 cos  0 )

Kết luận:

Tmax  mg(3  2 cos 0 ) ;

Tmin  mg cos 0

Ví dụ 14: Một con lắc đơn có vật khối lượng 50g dao động ở nơi có gia tốc trọng
trường 9,8 m/s2 với biên độ góc 90. Tính lực căng tại VTCB, biên và vị trí có li độ
góc là 40

TVTCB  Tmax  mg(3  2 cos 0 )  0, 05.9, 8(3  2 cos 9 0)  0, 5N
Tmin  mg cos 0  0, 05.9, 8. cos 90  0, 48N
T  mg(3 cos   2 cos 0 )  0, 05.9, 8(3 cos 40  2 cos 90 )  0, 498N
Ví dụ 15: Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với biên độ góc 0 tại nơi có gia
tốc trọng trường là g. Biết lực căng dây lớn nhất bằng 1,02 lần lực căng dây nhỏ
nhất. Tính 0

Tmax  1,02.Tmin  mg(3  2cos 0 )  1,02.mgcos 0  cos 0 

3
3,02

=> 0  6,60

III. HIỆU

UẢ CỦA ĐỀ TÀI

Sau khi ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm trên vào việc giảng dạy học sinh tại
trường THPT Trị An tôi nhận thấy phần lớn học sinh nắm được các dạng bài tập về
con lắc đơn và thuộc các công thức đặc trưng của mỗi dạng, từ đó vận dụng kiến
thức này vào thi cử và đạt được kết quả cao
Ngoài việc giúp học sinh phân dạng và giải nhanh các bài tập con lắc đơn, sáng
kiến kinh nghiệm trên còn rèn luyện cho học sinh kỹ năng ứng dụng kiến thức toán
học vào các bài tập vật lí và khả năng tổng hợp các kiến thức đã học
IV. ĐỀ XU T, KHU

N NGH KHẢ N NG ÁP D NG

14


- Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần ôn tập cho học sinh một số kiến thức
toán học và vật lí đã học có liên quan
- Trong những tiết dạy tự chọn, giáo viên cần phân loại các dạng bài tập và chỉ rõ
các công thức cần ghi nhớ của từng dạng
- Ngoài bài tập SGK, SBT giáo viên nên ra đề cương ôn tập để các em ôn luyện
thêm.
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa 10 - Lương Duyên Bình - Nhà xuất bản giáo dục - 2006
2. Sách giáo khoa 11 - Lương Duyên Bình - Nhà xuất bản giáo dục - 2006
3. Sách giáo khoa 12 - Lương Duyên Bình - Nhà xuất bản giáo dục - 2006
4. Sách bài tập 12 - Vũ Quang - Nhà xuất bản giáo dục - 2006
5. Sách giáo viên 12 - Lương Duyên Bình - Nhà xuất bản giáo dục - 2006

6. Hướng dẫn ôn tập thi tốt nghiệp THPT – Nguyễn Trọng Sửu - Nhà xuất bản
giáo dục - 2009
7. Các đề thi tốt nghiệp, cao đẳng và đại học

NGƯỜI THỰC HIỆN

Nguyễn Tiến Dũng

15