skkn ứng dụng đường tròn lượng giác để giải các bài toán dao động điều hòa

Sáng kiến kinh nghiệm

GV Trần Huy Dũng

2012

PHẦN I: MỞ ĐẦU.
1) LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Trong vật lý học, đặc biệt là cơ học, việc xác định
các vị trí và thời gian để tìm ra quy luật chuyển động của vật là rất
quan trọng. Trong chương trình vật lý 12 có rất nhiều các bài tập
liên quan tới giải các hàm dao động điều hòa (sine, cosine) để tính
thời gian, quãng đường... Nhưng việc giải các hàm sine và cosine
để từ đó xác định khoảng thời gian và quãng đường dẫn tới nhiều
khó khăn. Chính vì vậy tôi chọn đề tài: “Ứng dụng đường tròn
lượng giác để giải các bài toán dao động điều hòa”
2) MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Việc nghiên cứu đề tài này nhằm giúp các em học sinh có một cách
tiếp cận mới, nhẹ nhàng về mặt toán học, có cái nhìn trực quan hơn về các bài toán
dao động và đặc biệt rút ngắn thời gian khi làm bài thi.
3) ĐỒI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
- Các tiết bài tập vật lý về dao động điều hòa, một số các bài tập dòng
điện xoay chiều và dao động điện từ.
- Chú trọng các khó khăn khi giải các bài toán liên quan tới lập
phương trình dao động, xác định thời gian, quãng đường…
4) PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
- Phương pháp điều tra: Thực trạng các tiết dạy trong chương trình vật
lý lớp 12 ( cả cơ bản và nâng cao).
- Phương pháp gợi mở phát huy tính tích cực của học sinh.
- Phương pháp thống kê so sánh.
5) NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.

Chương 1: Cơ sở lí luận liên quan đến đề tài.
Chương 2: Cơ sở lý thuyết.
Chương 3: Áp dụng phương pháp đường tròn lượng giác để giải bài tập
dao động điều hòa.
Chương 4: Kết luận và kiến nghị.

1


Sáng kiến kinh nghiệm

GV Trần Huy Dũng

2012

PHẦN II: NỘI DUNG
Chương 1: Cơ sở lí luận liên quan đến đề tài.
1) Cơ sở lý luận:
- Môn học vật lý cũng như các môn học khác ở bậc
THPT đóng một vai trò rất quan trong trong việc hình thành kiến thức
phổ thông. Các kiến thức và kỹ năng này rất cần thiết để các em có
thể tiếp cận nhanh với các chương trình học ở bậc cao hơn, cũng như
giúp các em có một nền tảng kiến thức để có thể học và trở thành các
kỹ sư, kỹ thuật viên lành nghề, đáp ứng nhu cầu ngày một cao của
một xã hội công nghiệp hiện đại.
- Việc giải tốt các bài tập vật lỳ có thể giúp các em hiểu rõ bản chất của
những vấn đề lý thuyết mà các em còn khúc mắc trong các tiết bài học. Ngoài ra việc
giải tốt các bài tập vật lý còn giúp các em tăng niềm say mê học tập và nghiên cứu vật
lý.
2) Cơ sở thực tiễn:

- Theo nhận định các bài thi tốt nghiệp THPT, đại học môn vật lý những
năm gần đây tương đối dài và khó. Vì vậy việc tìm các phương pháp giải nhanh và
chính xác là rất cần thiết, có thể giúp các em tiết kiệm được thời gian làm bài mà vẫn
hiểu rõ bản chất vật lý của bài toán.
- Thống kê điểm thi giữa kỳ và cuối kỳ I môn vật lý ở trường THPT
Thống Nhất B hai năm gần còn thấp so với một số môn học khác.
- Kịnh nghiệm giải bài toán dao động bằng đường tròn lượng giác này,
đã được tôi chia sẻ trên trang web thuvienvatly.com từ năm 2007. Qua đó tôi đã nhận
được nhiều sự hưởng ứng và đồng tình của nhiều em học sinh và quý các thầy cô ở
các trường THPT khác.
Vì vậy việc vận dụng các phương pháp phù hợp để giải các bài toán vật
lý sẽ góp phần không nhỏ trong việc nâng cao chất lượng dạy và học môn vật lý.

2


Sáng kiến kinh nghiệm

GV Trần Huy Dũng

Chương 2: Cơ sở lý thuyết.
Sự tương tự giữa dao động điều hòa
và chuyển động tròn đều.
-A
Một vật chuyển động tròn đều với
tốc độ góc  , bán kính quỹ đạo là A, ban đầu
vật ở tại vị trí hợp với trục ox một góc  như
hình vẽ 1. Khi đó hình chiếu của chuyển động
của vật trên các trục tọa độ ox, oy lần lượt là:
- Hình chiếu trên trục ox là: x  A cos t   

2012

y

M

K

A
o

H

x

Hình 1

- Hình chiếu trên trục oy là: y  A sin t   
Như vậy hình chiếu của một vật chuyển động tròn đều lên các trục tọa
độ là một dao động điều hòa với tần số góc  và biên độ dao động A.
Ngược lại một dao động điều hòa có dạng x  A cos t    được điểu diễn
qua một chuyển động tròn đều của một chất điểm M đều như hình 2:
- Bán kính của đường tròn bằng với biên độ dao động: R = A
- Vị trí ban đầu của chất điểm M trên đường tròn hợp với chiều dương
trục ox một góc  .
- Tốc độ quay của chất điểm M trên đường tròn bằng 
- Thời gian để chất điểm M quay hết một vòng (3600) là một chu kỳ T
- Chiều quay của chất điểm M được quy ước ngược chiều kim đồng
hồ.

- Khi chất điểm M thuộc nửa trên của đường tròn, quan sát hình 2,
hình chiếu H sẽ chuyển động ngược chiều dương ox. Khi đó trường hợp này tương
ứng với vật dao động điều hòa đang đi ngược chiều dương ( v  0 ).
- Ngược lại khi chất điểm M thuộc nửa dưới của đường tròn, quan sát
hình 2, hình chiếu H sẽ chuyển động cùng chiều dương ox. Khi đó trường hợp này
tương ứng với vật dao động điều hòa đang đi cùng chiều dương ( v  0 ).
y

M

K
-A



I
o

Li độ x

A
H

M
Hình 2

3

x

Sáng kiến kinh nghiệm

GV Trần Huy Dũng

2012

Chương 3: Áp dụng phương pháp đường tròn lượng giác để giải bài tập dao
động điều hòa.
1) Ứng dụng để viết phương trình dao động điều hòa.
Ví dụ: Một lò xo có độ cứng K = 50 N/m đặt nằm ngang,
một đầu cố định vào tường, đầu còn lại gắn vật khối lượng m =
500g. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một khoảng x = 3 cm và
truyền cho vật một vận tốc v = 10 cm/s theo chiều dương. Viết
phương trình dao động của vật.
Bài giải
 Giải bài toán bằng phương pháp đường tròn.
- Tần số góc của dao động điều hòa:


K
10(rad / s)
m

- Biên độ dao động của vật được tính bởi công thức:
A2 = x2 + v2/ω2 = 3 + 1 = 4
Vậy A = 2 (cm)
- Tam giác vuông OxA có
cos  

x

3

   300   .
2
6
Hình 3

- Lý luận để chọn nghiệm của bài toán (phần này chỉ mang tính chất giải
thích, khi làm bài trắc nghiệm các em học sinh chỉ cần quan sát hình và chọn ra
nghiệm của bài toán)
Có hai vị trí trên đuờng tròn ở hình 3, mà ở đó đều có vị trí x = 3 cm.


Trên hình 3 thì vị trí B có   300   , tương ứng với trường hợp (1) vật
6

dao động đi theo chiều dương, còn vị trí A có   300 


6

, ứng với trường hợp (2)

vật dao động đang đi theo chiều âm. Như vậy vị trí B là phù hợp với yêu cầu của
đề bài.
Vậy ta chọn   



6

và nghiệm của bài toán x = 2 cos (10t - π/6) (cm).

* Giải toán bằng phương pháp đại số cơ bản.
- Tần số góc của dao động điều hòa:


K
10(rad / s)
m

- Biên độ dao động của vật được tính bởi công thức:
A2 = x2 + v2/ω2 = 3 + 1 = 4
4


Sáng kiến kinh nghiệm

GV Trần Huy Dũng

2012

Vậy A = 2 (cm)
- Phương trình dao động có dạng x  A cos t    , tại thời điểm ban đầu t = 0
vật có li độ x = 3 cm và biên độ A = 2, khi đó thế vào phương trình ta được:
3  2 cos   cos  

3


    ( rad )
2
6

- Tại thời điểm ban đầu vật chuyển động theo chiều dương ( v > 0). Phương
trình vận tốc của vật dao động điều hòa có dạng v   A sin t    .
- Tại thời điểm ban đầu t = 0, v > 0, A = 2 cm,   10rad thế vào phương
trình vận tốc ta được: 2.10.sin   0  sin   0
TH1:  


6

 sin   0,5  0 (loại)



TH2:     sin   0,5  0 (nhận)
6

Vậy phương trình dao động của vật: x = 2 cos (10t - π/6) (cm).
Nhận xét: Với cách giải bằng phương pháp đại số, việc phải lí luận để chọn
nghiệm của bài toán dựa vào phương trình vận tốc làm cho nhiều học sinh gặp khó
khăn, đặc biệt các học sinh yếu về môn toán. Bên cạnh đó, qua những năm giảng
dạy tôi nhận thấy nhiều học sinh đã học thuộc cách chọn nghiệm mà không hề qua
lí luận như sau: “sau khi bấm máy và thu được hai nghiệm của bài toán, nếu vật đi
theo chiều dương thì chọn   0 , còn nếu vật đi theo chiều âm thì chọn nghiệm
  0 ”.
Các bài toán áp dụng:
Bài 1: Một lò xo độ cứng K = 50 N/m treo thẳng đứng, đầu trên cố định vào

tường, đầu dưới gắn vật m =0,5 kg khi đó lò xo giãn ra một đoạn Δl . Đưa vật về vị
trí ban đầu lúc lò xo chưa bị giãn rồi thả cho vật dao động. Chọn chiều dương từ
trên xuống. Viết phương trình dao động của vật.
đs. ptdđ: x = 10 cos(10t + π)
Bài 2: Lò xo có chiều dài ban đầu là 30 cm,. Khi treo vật m thì lò xo dài
40cm. Truyền cho vật khi đang nằm cân bằng một vận tốc 40cm/s hướng thẳng
lên. Chọn chiều dương hướng xuống. Viết phương trình dao động của vật. Lấy g =
10m/s2
đs: ptdđ: x = 4 cos(10t + π/2) (cm)

5


Sáng kiến kinh nghiệm

GV Trần Huy Dũng

2012

2) Ứng dụng để tính khoảng thời gian.
Ví dụ 1: Vật dao động điều hòa với phương trình x  A cos t    . Tính:
a) Thời gian vật đi từ VTCB đến A/2
b) Thời gian vật đi từ 

3A
A
đến theo chiều dương.
2
2

c) Tính vận tốc trung bình của vật khi vật đi từ VTCB đến A/2.
Bài giải
a) Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến A/2, tương
ứng với vật chuyển động trên đường tròn từ A đến
B được một góc 300 (bạn đọc tự tính) như hình vẽ 4.
Nhận thấy:
Vật quay một vòng 3600 hết một chu kỳ T

6

Vật quay 300 ( ) hết khoảng thời gian t
Từ đó ta tính được t 

30T T

360 12
Hình 4

 Với phương pháp giải toán đại số cơ bản ta phải giải phương trinh:



 
0
- Tại VTCB: cos t      0  t1  2
và t2  2
A






 
A 1

 t1  3
- Tại vị trí li độ x = A/2: cos t    
và t2  3
2A 2



- Khoảng thời gian chuyển động từ VTCB đến vị trí li độ A/2 là hiệu hai
thời điểm t  t  t 0 . Tuy nhiên việc xác định chính xác để chọn lựa được hai giá trị
trong bốn nghiệm của bài toán là rất khó khăn cho các em học sinh. Do đó để tính
khoảng thời gian chuyển động, thông thường người ta sử dụng đường tròn lượng
giác.
b) Khi vật đi từ vị trí 

3A
A
đến , tương ứng với
2
2

vật chuyển động trên đường tròn từ A đến B (thuộc nửa
dưới của đường tròn) được một góc
π/6 + π/6 = 300 + 60 0 = 900
Nhận thấy:
Vật quay một vòng 3600 hết một chu kỳ T

Vậy khi vật quay 900 hết khoảng thời gian t
Ta tính được t 

90T T

360 4

6

Hình 5


Sáng kiến kinh nghiệm

c) Vận tốc trung bình của vật: vtb 

GV Trần Huy Dũng

2012

S
A / 2 6A


t T /12 T

Ví dụ 2: Một bóng đèn ống được nối vào nguồn điện xoay chiều u =
120 2 cos100  t(V). Biết rằng đèn chỉ sáng nếu hiệu điện thế hai cực u  2 V.
Thời gian đèn sáng trong 1s là:
Bài giải

Hình vẽ 6 dưới đây mô tả những vùng (tô đậm) mà ở đó U  60 2 V khi đó
đèn sáng. Vùng còn lại do U < 60 2 V nên đèn tắt. Mỗi vùng sáng ứng với một
góc quay 1200. Hai vùng sáng có tổng góc quay là 2400.
Chu kỳ của dòng điện : T = 1/60 s
Đầu tiên ta đi tính thời gian sáng của đèn
trong một chu kỳ:
Nhận thấy:
Vật quay 3600 hết một chu kỳ T
Vật quay 2400 hết thời gian t
Ta dễ dàng tính được
t

240T 2T
1


(s) .
360
3 90

Để tính thời gian sáng của đèn trong 1 (s)
ta lý luận như sau:
1 chu kỳ T có thời gian 1/60s
Hình 6
Vậy 1s sẽ có 60 chu kỳ
Một chu kỳ đèn sáng 1/90s. Vậy thời gian đèn sáng trong 1s (60 chu kỳ) là:
t  60.

1 2
 ( s)

90 3

Các bài toán áp dụng tương tự:
Bài 1: Một đèn ống mắc vào mạng điện xoay chiều 200V-50Hz. Hiệu điện
thế để đèn sáng khi hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu đèn là 100 2 V. Xác định
khoảng thời gian đèn sáng trong một chu kỳ của dòng điện.
Bài 2: Một tụ điện có điện dung 10 F được tích điện đến hiệu điện thế xác
định. Sau đó mắc hai bản cực tụ điện vào một cuộn dây thuần cảm có độ tự càm
1H. Bỏ qua điện trở các dây nối, lấy  2  10 . Sau khoảng thời gian ngắn nhất là bao
nhiêu (kể từ lúc nối), điện tích trên tụ điện có giá trị ban đầu?
Bài 3: Lập biểu thức tính thời gian từ lúc vật chuyển động qua vị trí cân
bằng theo chiều âm cho tới vị trí - A/2. Biết vật đã đổi chiều chuyển động một lần.
đs: t = 5T/12
Bài 34: Lập biểu thức tính tốc độ trung bình từ lúc vật chuyển động qua vị
trí cân bằng theo chiều âm cho tới vị trí + A/2. Biết vật đã đổi chiều chuyển động
một lần.
đs: vtb  30 A / 7T
7


Sáng kiến kinh nghiệm

GV Trần Huy Dũng

2012

3) Ứng dụng để tính quãng đường vật đi được.
Ví dụ: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 4 cos(2πt + π/3).
Tính quãng đường mà vật đi được trong thời gian 3,75s.
Bài giải.

Dễ dàng nhận thấy, trong thời gian 1 chu kỳ T vật dao động đi được quãng
đường 4A
2

Chu kỳ dao động của vật: T    1( s)
Khoảng thời gian 3,75s = 3 chu kỳ T + 0,75s
+ Quãng đường trong 3s = quãng đường vật đi trong 3 chu kỳ = 3 × 4A = 48
+ Quãng đường vật đi được trong 0,75s được xác định theo hình vẽ 7:

Hình 7

S0,75s = AO + OB + BO + OC = AO + 4 + 4 + OC = 10 + 2 3 cm
trong đó OA = 4. sin 300 = 2 cm và OC = 4 . sin 600 = 2 3 cm
Vậy tổng quãng đường mà vật đi được: S = 58 + 2 3 cm = 61,6 cm
Bài tập áp dụng tương tự:
Bài 1: Vật dao động theo phương trình x = 5cos(2πt + π/6) (cm). Tính quãng
đường mà vật đi được trong 20,75s.
Bài 2: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình : x =
6sin(4πt + π/6 )cm. Tính quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 = 5/24 s đến thời
điểm t2 = 74/24 s.
Bài 3: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = A cosωt(cm).
a) Hãy xác định quãng đường dài nhất mà vật có thể đi được trong khoảng
thời gian t = T/3 (trong đó T là chu kỳ dao động của vật).
b) Hãy xác định quãng đường ngắn nhất mà vật có thể đi được trong khoảng
thời gian t = T/3 (trong đó T là chu kỳ dao động của vật).
đs: a) S = A 3 ; b) S = A

8

Sáng kiến kinh nghiệm

GV Trần Huy Dũng

2012

4) Ứng dụng để tính độ lệch pha, xác định trạng thái dao động của vật.
Bài toán 1: Nguồn sóng O dao động theo phương trình


u  6 cos  4 t   (cm) . Biết sóng truyền đi với vận tốc độ 2m/s. Ở thời điểm t sóng
4


tại O dang dao động qua vị trí u = 3cm theo chiều âm, thì tại M cách nguồn 0,5 m
sóng đang ở trạng thái nào?
Bài giải.
Trạng thái
dđ tại M

2

2

 0,5( s )
- Chu kỳ sóng: T 
 4

- Bước sóng:   v.T  2.0,5  1 (m)
- Độ lệch pha giữa hai điểm M và O:

 

2 d





y

O 

-6
-3

2 .0,5

1

- Nhìn hình vẽ 8 ta nhận thấy điểm M đang
Đi qua vị trí có li độ - 3 và đang đi về biên âm.

6
x
3

Trạng thái
dđ tại O
Hình 8

Bài toán 2: Trong máy phát điện xoay chiều 3 pha, khi cường độ dòng điện
trong một pha đạt giá trị cực đại thì cường độ dòng điện trong hai pha còn lại có
giá trị bao nhiêu?
I2
- Dòng điện trong các pha:
i1  I 0 cos t 

300

2 

i2  I 0 cos  t 

3 


I1=I0

-I0/2

2 

i3  I 0 cos  t 

3 

0

30
- Giả sử tại thời điểm t dòng điện i1 đạt cực đại

I1
Quan sát hình vẽ 9 ta dễ dàng tính được i2 = i3 = -I0/2
Hình 9
Bài toán tương tự:
Bài 1: Có hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số và cùng biên độ.
Tại thời điểm t vật 1 đang ở vị trí có li độ x = A/2 và đang chuyển động ngược
chiều dương, trong khi đó vật 2 đang chuyển động theo chiều dương tại vị trí có li
độ x = A 3 /2 . Hãy xác định độ lệch pha của vật 2 so với vật 1.

đs: Δφ = π/2 rad
Bài 2: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x  5cos(2 t ) (cm). Nếu
tại thời điểm nào đó vật đang có li độ x = 3 cm và dang chuyển động theo chiều
dương thì sau 0,25 s vật đang ở vị trí nào và đang chuyển động theo chiều nào?
đs: Vật đang ở li độ 4 cm và đi ngược chiều dương.

9


Sáng kiến kinh nghiệm

GV Trần Huy Dũng

2012

Chương 4: Kết luận
- Như vậy chỉ với các phép toán sine , cosine cơ bản
của hệ thức lượng trong tam giác vuông của lớp 9, kết hợp với
phương pháp dùng đường tròn lượng giác ta đã có thể giải nhanh
các bài toán dao động điều hòa. Vì sự đơn giản trong các phép
tình, phương pháp này có thể đem lại cho các học sinh có khả

năng tính toán chưa tốt, vẫn có thể giải nhanh được một số bài
toán khá phức tạp về dao động điều hòa.
- Với chỉ một đường tròn và một phép tính “tam suất” rất đơn giản,
các em học sinh có thể nhanh chóng làm được các bài toán dao động khá phức tạp.
Tuy nhiên như đã mô tả trên các hình vẽ, việc giải bài toán bằng phương pháp này
còn giúp học sinh quan sát được chuyển động của các vật dao động điều hòa. Như
vậy về bản chất vật lý của bài toán dễ dàng được học sinh quan sát một cách trực
quan hơn.
- Bằng khả năng của mình, tôi đã cố gắng trình bày vấn đề một cách
hoàn chỉnh và rõ ràng nhất. Nhưng chắc chắn trong đề tài này không tránh khỏi
những hạn chế và thiếu sót. Rất mong sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô giáo và
các em học sinh.
Thống Nhất, ngày 15 tháng 5 năm 2012
Người thực hiện
GV Trần Huy Dũng

10


Sáng kiến kinh nghiệm

GV Trần Huy Dũng

2012

CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1. Sách giáo khoa Vật Lí 12 Nâng Cao – Nhà xuất bản giáo dục

2008.
2. Sách giáo khoa Vật Lí 12 Cơ Bản

_ Nhà xuất bản giáo dục

2008.
3. Sách Bài Tập Vật Lí 12 Nâng Cao

– Nhà xuất bản giáo dục

2008.
4. Sách giáo khoa Vật Lí 12 Cơ Bản

_ Nhà xuất bản giáo dục

2008.
5. Giải tốn vật lý 12 (3 tập)
_ Nhà xuất bản giáo dục 2003.
5. Fundamentals of Physics – Halliday – Resnick – Walker.

11