DÙNG CÔNG CỤ LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN

DÙNG CÔNG CỤ LƯỢNG
GIÁC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Bài toán 1: Tìm GTLN và GTNN của
hàm số:
trên .
Lời giải:
Cách 1: ( Phương pháp hàm số)
Tập xác định: (TXĐ)
Ta có:
v
Lập bảng biến thiên suy ra:
GTLN của
GTNN của
Cách 2: ( Phương pháp tam thức bậc 2)
TXĐ:
Để tồn tại GTLN và GTNN của thì
phương trình có nghiệm.
có nghiệm.
Vậy
GTLN của
GTNN của
Cách 3: ( Phương pháp lượng giác hóa)
TXĐ:
Đặt với
Áp dụng bất đẳng thức (BĐT)
Bunnhiacopxki ta được:
Vậy
GTLN của
GTNN của

Chú ý:
1. Ở cách và cách , khi ta tìm ra được
thì ta giải phương trình
và để tìm giá trị của
thỏa mãn GTLN và GTNN đó!
2. Nguyên nhân dẫn đến ý tưởng đặt
là do trong hàm số
có xuất hiện lượng
sẽ có dạng lượng giác là
với cách đặt trên.
Từ đó có thể đưa hàm số về dạng bậc
nhất . Với thì
sẽ đi từ .
Trên đây là một ví dụ đơn giản về ứng
dụng của công cụ lượng giác. Ở những
bài toán sau ta sẽ thấy được công cụ
lượng giác sẽ rất có hiệu quả!
Bài toán 2: Cho hai số thực thay đổi
và thỏa mãn hệ thức . Tìm
GTLN và GTNN của biểu thức:
(Câu IV.2, Đề thi Đại học khối B 2008)
Lời giải:
Dựa vào điều kiện nên ta có
thể đặt với
Sau đó chú ý
Biểu thức đã cho có thể đưa về dạng
phương trình bậc nhất đối với .
Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương
trình đó ta tìm được GTLN và GTNN của
biểu thức .

Ngoài ra, bài toán trên cũng có thể giải
theo cách sau:
Đưa biểu thức về dạng
Suy ra:
với mọi
Viết lại
Đặt
Cách 1: Xét đạo hàm của hàm số
.
Sau đó lập bảng biến thiên và đưa ra kết
luận. (Như đã trình bày ở bài toán 1)
Cách 2: Dùng phương pháp tam thức bậc
2. ( Như đã trình bài ở bài toán 1).
Kết quả: GTLN của
hoặc
GTNN của
hoặc
Bài toán 3: Cho là hai số thực không
âm thay đổi. Tìm GTLN và GTNN của
biểu thức:
(Câu IV.2, Đề thi Đại học khối D 2008)
Lời giải:
Cách 1:
Đặt với
Ta có:
Ta có: . Do
Vậy
GTLN của
GTNN của
Cách 2: Nhận thấy rằng

Đặt với
Thế vào biểu thức , rút gọn và dùng
những BĐT cơ bản ta suy ra kết quả như
trên.
Cách 3: ( phương pháp đại số)
Nếu nhận thấy được rằng có thể đưa biểu
thức về dạng:
Đặt
Nhận xét rằng:
với
Vậy
GTLN của
GTNN của