Đề tài Geometry - Tứ giác (Bài thu hoạch học phần Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3)

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
……….˜&™……….

BÀI THU HOẠCH
Học phần: Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3
Đề tài:
“ Geometry - Tứ giác”
Đa giác

Tứ giác

Hình bình hành

Hình chữ nhật

Diều

Hình thang

Hình thoi

Hình thang cân

Hình vuông
Người thực hiện:
Lê Thị Thu Thảo
Lớp: Toán 3A

HUẾ, 11 – 2013

Lời nói đầu
Trong hình học phẳng, khi học về đa giác thì tứ giác là một phần quan trọng
mà chúng ta được nghiên cứu bởi tính đặc biệt của nó. Ứng với mỗi tính chất, đặc
điểm sẽ đưa ra các hình dạng khác nhau và tên gọi khác nhau mà nếu không hiểu
rõ sẽ khiến người học gặp khó khăn trong việc giải quyết các bài học liên quan.
Nhằm khắc phục tình trạng này, tôi muốn giới thiệu đến người đọc chương
8 – Tứ giác trong sách của glencoe. Với cách dẫn dắt tự nhiên đi từ đặt vấn đề đến
khái niệm, các tính chất, định lý được trình bày một cách rõ ràng, tỉ mỉ, kèm theo
các ví dụ được hướng dẫn cụ thể, chi tiết chắc chắn rằng sẽ giúp độc giả dễ dàng
tiếp cận, hiểu sâu vấn đề.
Chương 8 sẽ đem đến cho độc giả cái nhìn tổng quát, toàn diện và có hệ
thống về tứ giác, đặc biệt từ đó thiết lập được mối liên hệ giữa các hình tứ giác
thông qua các đặc tính riêng của chúng. Hy vọng tài liệu này sẽ là một công cụ
hữu ích giúp độc giả học tốt hình học phẳng hơn.
Do sự hạn chế về thời gian nên khồng thể tránh có sai sót. Rất mong nhận
được những ý kiến đóng góp của quý bạn đọc để tài liệu được hoàn thiện, chất
lượng hơn.

1


MỤC LỤC
Chương I: GIỚI THIỆU TÁC GIẢ TÁC PHẨM............................................... 4
I. Tác giả........................................................................................................... 4
II. Tác phẩm. .................................................................................................... 5
Chương II: NỘI DUNG CHƯƠNG 8 TỨ GIÁC. ............................................. 6
Bài 8-1
Góc của đa giác.................................................................................. 6

I. Đặt vấn đề ..................................................................................................... 6
II. Tổng số đo các góc trong và góc ngoài. ...................................................... 6
III. Bài tập tổng hợp. ........................................................................................ 9
Bài đọc thêm: ĐIỀU TRA BẢNG ĐIỆN TỬ ................................................ 13
Bài 8-2 Hình bình hành. ................................................................................... 14
I. Đặt vấn đề ................................................................................................... 14
II. Tính chất của hình bình hành. ................................................................... 14
III. Bài tập tổng hợp. ...................................................................................... 18
Bài 8.3 Các thử nghiệm về hình bình hành ...................................................... 21
I. Đặt vấn đề ................................................................................................... 21
II. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành............................................................ 22
III. Bài tập tổng hợp. ...................................................................................... 26
Bài 8-4 Hình chữ nhật ...................................................................................... 30
I. Đặt vấn đề ................................................................................................... 30
II. Tính chất của hình chữ nhật. ..................................................................... 30
III. Bài tập tổng hợp. ...................................................................................... 34
BÀI 8-5 Hình thoi và hình vuông .................................................................. 37
I. Đặt vấn đề ................................................................................................... 37
II. Tính chất của hình thoi và hình vuông. ..................................................... 38
III. Bài tập tổng hợp. ...................................................................................... 41
Bài đọc thêm: Hoạt động hình học ................................................................ 45
BÀI 8-6 Hình thang ....................................................................................... 46
I. Đặt vấn đề. .................................................................................................. 46
II. Tính chất và đường trung bình của hình thang. ........................................ 46
III. Bài tập tổng hợp. ...................................................................................... 49
Bài đọc thêm: Đọc toán học........................................................................... 54
BÀI 8-7
Chứng minh tọa độ với tứ giác ....................................................... 55
I. Đặt vấn đề. .................................................................................................. 55
II. Chứng minh tọa độ. ................................................................................... 56

III. Bài tập tổng hợp. ...................................................................................... 58
Ôn tập và thực hành ........................................................................................... 61
Chương III: Kết luận ........................................................................................... 67
I. Ưu điểm .......................................................................................................... 68
II. Nhược điểm................................................................................................... 68
III. So sánh với toán hình học THPT ở Việt Nam ............................................. 68
1. Giống nhau: ................................................................................................ 68

2


2. Khác nhau: .................................................................................................. 68
IV. Bài học kinh nghiệm .................................................................................... 69
Tài liệu tham khảo ................................................................................................. 69

3


Chương I: GIỚI THIỆU TÁC GIẢ TÁC
PHẨM.
I. Tác giả.
Cindy J. Boyd

•
•
•
•

Giáo viên toán học, Trung học Abilene
1995 Disney Quốc gia Toán học Giáo viên của năm

Người chiến thắng ba thời gian của Texas giải thưởng của Tổng thống
cho giảng dạy
Tác giả trên Glencoe Hình học

John A. Carter, Tiến sĩ

•
•

Giám đốc Toán, Adlai E. Trung học Stevenson, Lincolnshire, IL
Tác giả trên Glencoe Đại số 1, Glencoe Đại số 2, Glencoe Hình học,
và Glencoe chi tiết khái niệm toán học

Jerry Cummins

•
•
•

Tổng thống vừa qua, NCSM
Tư vấn toán học
Tác giả về hình học Glencoe, Glencoe Đại số: Các khái niệm và ứng
dụng, và Hình học Glencoe: Các khái niệm và ứng dụng

Alfinio Flores, Tiến sĩ

•
•
•

Giáo sư, Đại học bang Arizona
Tác giả của nhiều bài viết chuyên nghiệp
Tác giả trên Glencoe Hình học

4


Carol Malloy, Tiến sĩ

•
•
•

Phó Giáo sư Toán học Giáo dục, Đại học Bắc Carolina tại Chapel Hill
Tác giả trên Glencoe trước Đại số, Hình học Glencoe, Glencoe Đại số:
Các khái niệm và ứng dụng, và Hình học Glencoe: Các khái niệm và
ứng dụng
Tư vấn nội dung trên Glencoe Toán: Ứng dụng và khái niệm (khóa
học 1-3), Glencoe Đại số 1, và Glencoe Đại số 2

II. Tác phẩm.
“Geometry” được nhóm tác giả Geolence biên soạn vào năm 2004, sách
dày 888 trang, bao gồm 13 chương. Nội dung cơ bản của mỗi chương như sau:

•

Chương 1: Điểm, đường thẳng, mặt
phẳng và góc
Chương 2: Lập luận và chứng minh.
Chương 3: Đường thẳng song song và

vuông góc.
Chương 4: Tam giác đông dạng.
Chương 5: Các mối quan hệ trong tam
giác.
Chương 6: Tỉ lệ và sự đồng dạng.
Chương 7: Tam giác đồng dạng và lượng
giác.
Chương 8: Tứ giác.
Chương 9: Phép biến hình.
Chương 10: Đường tròn.
Chương 11: Diện tích đa giác.
Chương 12: Diện tích các mặt.

•

Chương 13: Thể tích.

•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

5

Chương II: NỘI DUNG CHƯƠNG 8
TỨ GIÁC.
Bài 8-1: Góc của đa giác.
I. Đặt vấn đề
Những gì bạn sẽ học
• Tính tổng số đo của các góc bên trong của một đa
giác.
• Tính tổng số đo của các góc ngoài của một đa
giác.

Làm thế nào một vỏ sò minh họa các góc của
một đa giác?
Vỏ sò này giống như một hình đa giác 12 mặt với đường
chéo rút ra từ một trong các đỉnh. Mỗi đường chéo của
một đa giác là một đoạn nối bất kỳ hai đỉnh
không liên tục. ví dụ AB là một trong các đường
chéo của đa giác này.

II. Tổng số đo các góc trong và góc ngoài.
TỔNG SỐ ĐO CỦA CÁC GÓC TRONG của đa giác với hơn ba đường chéo.
Các đa giác dưới đây cho thấy tất cả các đường chéo có thể rút ra từ một đỉnh.

Trong mỗi trường hợp, đa giác được chia thành hình tam giác. Mỗi góc của đa giác
được tạo thành từ một hoặc nhiều góc của tam giác. Tổng sồ đo các góc của mỗi đa
giác có thể được tìm thấy bằng cách thêm các số đo các góc của một tam giác. Từ
tổng các số đo các góc trong một tam giác là 180, chúng ta dễ dàng tìm thấy tổng
này.
Làm bảng tính tổng số đo các góc trong vài đa giác lồi.

6


Đa giác lồi
Tam giác
Tứ giác
Ngũ giác
Lục giác
Thất giác
Bát giác

Số cạnh

Số tam giác

Tổng số đo các góc

3
4
5
6
7
8

1
2
3
4
5

6

(1 . 180) hoặc 180
(2 . 180) hoặc 360
(3 . 180) hoặc 540
(4 . 180) hoặc 720
(5 . 180) hoặc 900
(6 . 180) hoặc 1080

Quan sát một mô hình trong tổng số đo các góc. Trong mỗi trường hợp, tổng số đo
các góc là 2 ít hơn số lượng các cạnh là 180. vì vậy, trong một n-giác, tổng số đo các
góc sẽ là (n-2)180 hoặc 180(n-2).

Định lý 8.1
Định lý tổng góc trong: Nếu một đa giác lồi có n cạnh và S là tổng số đo các góc
trong của nó, khi đó S = 180(n-2)
Ví dụ:
n =5
S = 180(n-2)
=180(5-2) hoặc 540
Ví dụ 1:
Góc trong của các đa giác đều
Hóa học: phân tử benzene, C6H6, bao gồm sáu nguyên tử cacbon trong một mô
hình lục giác thường với 1 nguyên tử hidro gắn liền với mỗi nguyên tử
cacbon.Tìm tổng số đo các góc trong của hình lục giác.
Khi phần tử là 1 đa giác lồi, chúng ta có thể sử dụng
định lý tổng các góc trong.
S=180(n-2)
Định lý góc trong
=180(6-2)

n=6
=180(4) hoặc 720 Rút gọn.
Tổng số đo các góc trong là 720
Định lý tổng góc trong cũng có thể được sử dụng để tìm số cạnh trong một đa
giác thường nếu bạn có số đo của 1 góc trong.
Ví dụ 2:
Các cạnh của một đa giác
Số đo 1 góc trong của 1 đa giác đều là 108.Tìm số cạnh của đa giác
Sử dụng định lý tổng các góc trong để viết một phương trình để giải cho n.số cạnh.
S = 180(n-2)
Định lý tổng các góc trong
(108) n = 180(n-2)
S=180n
108n = 180n-360
Tính chất phân phối
7


0 = 72n-360
360 = 72n
5=n
Đa giác có 5 cạnh.

Trừ 108n ở mỗi vế
Cộng 360 cho mỗi vế
Chia mỗi vế cho 72

Trong ví dụ 2, định lý tổng các góc trong đã được áp dụng cho 1 đa giác thường.
Trong ví dụ 3, chúng tôi sẽ áp dụng định lý này để giải một tứ giác không phải là đa
giác

Ví dụ 3 :
Các góc trong
ĐẠI SỐ Tìm số đo của mỗi góc trong.
Khi n=4, tổng số đo các góc trong là 180(4-2) hoặc 360.
Viết một phương trình thể hiện tổng số đo của các
góc trong của đa giác.
360 = sđ∠A + sđ∠B + sđ∠C + sđ∠D Tổng số đo các góc.
360 = x + 2x + 2x + x
Thay thế.
360 = 6x
Cộng các số hạng.
60 = x
Chia mỗi bên cho 6.
Sử dụng giá trị của x để tìm số đo của mỗi góc
sđ∠A=60, sđ∠B=2.60 hoăc 120, sđ∠C=2.60 hoặc 120 và sđ∠D=60.

TỔNG SỐ ĐO CỦA CÁC GÓC NGOÀI Định lý tổng các góc trong có liên
hệ giữa các góc trong của 1 đa giác lồi với số cạnh.Có một mối quan hệ nào giữa
các góc ngoài của 1 đa giác lồi không?

Hoạt động hình học
Tổng các góc ngoài của một đa giác
Thu thập dữ liệu
•
Vẽ 1 hình tam giác,tứ giác lồi,ngũ giác lồi,
1 hình lục giác lồi và 1 hình 7 góc lồi.
•
Mở rộng các cạnh của một đa giác để tạo
chính xác 1góc ngoài tại mỗi đỉnh.
•

Sử dụng một thước đo độ để đo mỗi góc ngoài
của mỗi đa giác và ghi trên bản vẽ của bạn.
Phân tích dữ liệu.
1. Sao chép và hoàn thành bảng.
Đa giác
Tam giác
Số góc ngoài
Tổng số đo các
góc ngoài

Tứ giác

Ngũ giác

8

Lục giác

Thất giác


2. Bạn có thể rút ra giả thuyết gì?
Các hoạt động hình học cho thấy định lý 8.2

Định lý 8.2
Định lý tổng các góc ngoài
Nếu một đa giác là lồi, thì tổng
số đo của các góc ngoài,ứng với
mỗi đỉnh là 360o

Ví dụ:

sđ∠1 + sđ∠2 + sđ∠3 + sđ∠4 + sđ∠5 = 360
Ví dụ 4
Các góc ngoài
Tìm số đo của mỗt góc ngoài và góc trong của
hình bát giác đều lồi ABCDEFGH.
Tại mỗi đỉnh, mở rộng một bên để tạo thành một
góc ngoài.Tổng số đo của các góc ngoài là 360.
Một bát giác đều lồi có 8 góc ngoài bằng nhau.
8n=360
n=số đo của mỗi góc ngoài.
n=45
Chia mỗi bên cho 8.
Số đo của mỗi góc ngoài là 45.Vì mỗi góc ngoài và góc trong tương ứng của nó tạo
thành một cặp tuyến tình(đường thẳng),số đo của góc trong là 180 - 45 hoặc 135.

III. Bài tập tổng hợp.
Kiểm tra sự hiểu biết
Kiểm tra khái niệm
1. Giải thích lý do tại sao định lý tổng các góc trong và định lý tổng các góc ngoài
chỉ áp dụng cho đa giác lồi.
2. Xác định xem định lý tổng các góc trong và định lý tổng các góc ngoài,áp dụng
cho đa giác không điều như thế nào.giải thích
3. Vẻ một đa giác lồi và đa giác lồi đó không phải là điều với cùng số cạnh.tính tổng
mỗi góc trong.

Hướng dẫn thực hành
Tìm tổng số đo các góc trong của mỗi đa giác lồi.
4. Ngũ giác.

5. Hình mười hai góc.
Số đo của một góc trong của một góc trong của một đa giác đều được đưa ra.
Tìm số cạnh của mỗi đa giác .
6. 60
7. 90

9


ĐẠI SỐ

Tìm số đo của mỗi góc trong.

Tìm số đo của mỗi góc ngoài và mỗi góc trong với số cạnh được đưa ra của mỗi
đa giác đều.
10. 6
11.18
ỨNG DỤNG
12. BỂ CÁ Các đa giác đều ở bên phải là cơ sở
của một bể cá.Tìm tổng số đo các góc trong
của ngũ giác.

THỰC HÀNH VÀ ÁP DỤNG
Tìm tổng số đo các góc trong của mỗi đa giác lồi.
13. 32_cạnh
14. 18_cạnh
15. 19_cạnh
16. 27_cạnh
17. 2y_cạnh
18. 2x_cạnh

19. LÀM VƯỜN Carlotta đang thiết kế một khu vườn cho sân sau của mình. Cô ấy
muốn một vườn hoa có hình dạng như một hình bát giác đều. Tính tổng số đo các
góc trong của hình bát giác.
Cho trước số đo một góc trong của một đa giác đều. Tìm số cạnh của mỗi đa
giác.
20. 140
21. 170
22. 160
23. 165
ĐẠI SỐ

24. 157

1
2

25. 176

2
5

Tìm số đo mỗi góc trong, sử dụng thông tin đưa ra.

28. Hình bình hành MNPQ với
sđ∠M = 10x và sđ∠N = 20x.

29. Hình thang cân TWYZ với
sđ∠Z ≅ ∠Y, sđ∠Z = 30x,
∠T ≅ ∠W, và sđ∠T = 20x.

10


30. Hình thập giác trong đó số đo của các góc trong là x + 5, x + 10, x + 20, x +
30, x + 35, x + 40, x + 60, x + 70, x + 80,và x + 90.
31. Đa giác ABCD với sđ∠A = 6x, sđ∠B = 4x + 13, sđ∠C = x + 9,
sđ∠D = 2x – 8, và sđ∠E = 4x – 1.
32. Tứ giác trong đó số đo của mỗi góc liên tiếp là bội số liên tiếp của x.
33. Tứ giác trong đó số đo của mỗi góc liên tiếp tăng 10°.
Tìm số đo của mỗi góc ngoài và mỗi góc trong của mỗi đa giác đều.
34. Thập giác
35. Lục giác
36. Hình chin cạnh
37. Hình tám cạnh
Tìm số đo của mỗi góc trong và mỗi góc ngoài, cho trước số cạnh của mỗi đa
giác đều. Làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2.
38. 11
39. 7
40. 12
41. CHỨNG MINH Sử dụng đại số để chứng minh định lý tổng các góc ngoài.

42. KIẾN TRÚC Tòa nhà Lầu Năm Góc
ở Washington được thiết kế trông giống
như hình ngũ giác đều. Tìm số đo của mỗi
góc trong và mỗi góc ngoài của sân.

43. Hai công thức có thể được sử dụng để tính số đo góc trong của đa giác đều:
s=

180(n − 2)

360
và s = 180 .Chứng minh rằng nó tương đương.
n
n

44. Trả lời các câu hỏi đã được đặt ra vào đầu các bài học.
Làm thế nào một vỏ sò minh họa các góc của đa giác?
Bao gồm trong câu trả lời của bạn:
• Giải thích cách hình tam giác có liên quan đến định lý tổng góc trong, và
• Mô tả làm thế nào để tìm số đo của mỗi góc ngoài của một đa giác.

11


45. Một ngũ giác đều và một phần vuông tương hổ
tại đỉnh X. Các cạnh XY và XZ là các cạnh của một đa giác
đều thứ ba tại đỉnh X. Số cạnh của đa giác này là bao nhiêu?
A. 19
B. 20
C. 28
D. 32
46. Nếu 6x + 3y = 48 và

9y
= 9, thì x = ?
2x

CỦNG CỐ KỸ NĂNG CỦA BẠN
Ôn tập tổng hợp
Trong ΔABC, cho độ dài của các cạnh, tìm số đo của góc đưa ra làm tròn đến

chữ số thập phân thứ hai.
47. a = 6, b = 9, c = 11; sđ∠C
48. a = 15, b = 23, c = 25,1; sđ∠B
49. a = 47, b = 53, c = 56; sđ∠A
50. a = 12, b = 14, c = 16; sđ∠C
Giải ΔFGH mô tả dưới đây. Số đo các góc làm tròn đến độ gần nhất và độ dài
của cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai.
51. f = 15, g = 17, sđ∠F = 54
52. sđ∠F = 47, sđ∠H = 78, g = 31
53. sđ∠G = 56, sđ∠H = 67, g = 63

54. g = 30, h = 32, sđ∠G = 65

55. CHỨNG MINH Viết một chứng minh hai cột.
Giả thiết: JL // KM
JK // LM
Chứng minh: ΔJKL ≅ ΔMLK.

Cho đường ngang tạo thành mỗi cặp góc.
Xác định tên các cặp góc đặc biệt.
56. ∠3 và ∠11
57. ∠6 và ∠7
58. ∠8 và ∠10
59. ∠12 và ∠16

Chuẩn bị cho bài học tiếp theo
12


KỸ NĂNG CẦN CÓ

Trong hình, AB // DC và AD // BC .Tên tất cả các cặp
góc đối với từng loại yêu cầu.
60. Các góc trong liên tiếp.
61. Các góc so le trong.
62. Các góc tương ứng.
63. Các góc so le ngoài.

Bài đọc thêm: ĐIỀU TRA BẢNG ĐIỆN TỬ
Các góc của đa giác
Ta có thể tìm thấy số đo các góc trong và ngoài cùng với tổng của các góc trong của
bất kỳ đa giác đều với n cạnh bằng bảng điện tử.
Ví dụ
Thiết kế một bảng điện tử bằng cách sử dụng các bước sau đây.
• Ghi tên các cột như trong bảng dưới đây.
• Nhập các chữ số 3-10 trong cột đầu tiên.
• Số lượng các hình tam giác hình thành bởi đường chéo từ cùng một đỉnh trong một
đa giác là2 ít hơn số cạnh. Viết một công thức cho di động B1 trừ 2 ứng với mỗi số
trong di động A1.
• Nhập một công thức cho di động C1 để bảng tính sẽ tìm tổng các số đo của các
góc trong. Hãy nhớ rằng công thức là S = (n - 2)180.
• Tiếp tục nhập công thức để việc tính toán được thực hiện. Sau đó, sao chép những
công thức đó thông qua hàng 9. Bảng điện tử cuối cùng sẽ xuất hiện như dưới đây.

13


Bài tập
1. Viết công thức để tìm số đo của mỗi góc bên trong trong đa giác.
2. Viết công thức để tính được tổng số đo của các góc bên ngoài.
3. Số đo của mỗi góc trong là bao nhiêu nếu số cạnh là 1? 2?

4. Số cạnh có thể nhận giá trị là 1 và 2 hay không? Giải thích.
Đối với bài tập 5-8, sử dụng bảng điện tử.
5. Có bao nhiêu hình tam giác ở trong một đa giác với 15 cạnh?
6. Tìm số đo các góc ngoài của một đa giác với 15 cạnh.
7. Tìm số đo các góc bên trong của một đa giác với 110 cạnh.
8. Nếu số đo của các góc bên ngoài là 0, tìm số đo của các góc ngoài. Điều này có
thể không? Giải thích.

Bài 2 Hình bình hành.
I. Đặt vấn đề
Những gì bạn sẽ học
• Nhận biết và áp dụng các tính chất của
các cạnh và các góc của hình bình hành.
• Nhận biết và áp dụng các tính chất của
các đường chéo của hình bình hành.

Làm thế nào mà hình bình hành được
sử dụng để đại diện cho dữ liệu?
Các hình ảnh cho thấy phần trăm của 500
công ty toàn cầu có sử dụng Internet để tìm
nhân viên tiềm năng.Mặt trên của nêm của
pho mát là tất cả các đa giác với một hình dạng
tương tự. Tuy nhiên, kích thước của đa giác
thay đổi để phản ánh các dữ liệu. Đa giác này là gì?

II. Tính chất của hình bình hành.
SỐ CẠNH VÀ SỐ GÓC CỦA HÌNH BÌNH HÀNH Một tứ giác với cạnh đối
diện song song thì được gọi là hình bình hành.

Khái niệm quan trọng

• Từ

Một hình bình hành là một
tứ giác với cả hai cặp
cạnh đối diện song song.

Ký hiệu:

14

▱ABCD


• Ví dụ
Hai cặp cạnh song song.
AB và DC
AD và BC

Hoạt động này sẽ giúp bạn đưa ra phỏng đoán về hai cạnh và góc của một hình bình
hành .

Hoạt động hình học
Tính chất của hình bình hành
Xây dựng một mô hình
Bước 1 Dựng hai bộ giao nhau của các đường thẳng
song song trên giấy. Ký hiệu các đỉnh FGHJ.
Bước 2 Dấu vết FGHJ. Ký hiệu hình bình hành
thứ hai PQRS sao cho sđ∠F và sđ∠P là bằng nhau
Bước 3 Xoay ▱ PQRS trên ▱ FGHJ để so sánh
các cạnh và các góc.

Phân tích
1. Liệt kê tất cả các đoạn thẳng bằng nhau.
2. Liệt kê tất cả các góc bằng nhau
3. Mô tả các mối quan hệ về góc bạn quan sát được.
Các Hoạt động Hình học dẫn đến bốn tính chất của hình bình hành.

Khái niệm quan trọng

Tính chất của hình bình hành

Định lý
8.3 Hai cạnh đối diện của một hình
bình hành là bằng nhau.

Ví dụ
AB ≅ DC

8.4 Các góc đối diện trong một
hình bình hành là bằng nhau.

∠A ≅ ∠C

8.5 Góc liên tiếp trong một
hình bình hành là bù nhau.

AD ≅ BC

∠B ≅ ∠D
sđ∠A + sđ∠B = 180
sđ∠B + sđ∠C = 180

sđ∠C + sđ∠D = 180
sđ∠D + sđ∠A = 180
15


8.6 Nếu một hình bình hành có
một góc vuông, thì nó có bốn góc
vuông.

sđ∠G = 90
sđ∠H = 90
sđ∠L = 90
sđ∠K = 90

Ví dụ 1
Chứng minh định lý 8.4
Viết một chứng minh hai cột cho định lý 8.4
Giả thiết:
▱ABCD
Kết luận:

∠A ≅ ∠C
∠D ≅ ∠B

Chứng minh:
Phát biểu
1. ▱ABCD

Lý do
1. Giả thiết

2. AB \\ DC , AD \\ BC
∠A và ∠D là bù nhau

2. Định nghĩa của hình bình hành
3. Nếu các đường thẳng song song

∠D và ∠C là bù nhau

được cắt bởi một đường ngang,

∠C và ∠B là bù nhau

các góc trong liên tiếp là phụ nhau

3. ∠A ≅ ∠C

4.Phần bù của các góc giống nhau

∠D ≅ ∠B

là bằng nhau.

Ví dụ 2
Tính chất của hình bình hành
ĐẠI SỐ Tứ giác LMNP là một hình bình hành. Tìm sđ∠PLM, sđ∠LMN, và d.
sđ∠MNP = 66 + 42 hoặc 108
∠PLM ≅ ∠MNP

Định lý cộng góc

Định lý 8.3

sđ∠PLM = sđ∠MNP

Định nghĩa của các góc bằng nhau

sđ∠PLM = 108

Thay thế

sđ∠PLM + sđ∠LMN = 180

Định lý 8.5

108 + sđ∠LMN = 180
sđ∠LMN = 72
LM ≅ PN
LM = PN
2d = 22
d = 11

Thay thế

Trừ 108 ở mỗi vế
Định lý 8.3.
Định nghĩa của các đoạn bằng nhau
Thay thế
Thay thế

16

ĐƯỜNG CHÉO CỦA HÌNH BÌNH HÀNH
Trong bình hành JKLM, ……… là đường chéo.
Định lý 8.7 phát biểu mối quan hệ giữa
đường chéo của một hình bình hành.

Định lý 8.7
Các đường chéo của một hình bình hành
chia đôi mỗi cạnh.
Ví dụ: RQ ≅ QT và SQ ≅ QU

Ví dụ 3
Đường chéo của một hình bình hành
Tọa độ giao điểm các đường chéo của hình bình hành ABCD có đỉnh A (2, 5), B (6,
6), C (4, 0), và D (0, -1) là gì?
A. (4, 2)

B. (4.5, 2)

7
6

C. ( ,

−5
)
2

D. (3, 2.5)

Đọc thử nghiệm
Khi đường chéo của một hình bình hành chia đôi mỗi cạnh, điểm giao nhau là
trung điểm của AC và BD .
Giải quyết thử nghiệm
Tìm trung điểm của AC .
(

x1 + x 2 y1 + y 2
2+4 5+0
,
)=(
,
)
2
2
2
2

Công thức trung điểm.

= (3, 2.5)
Tọa độ giao điểm các đường chéo của hình bình hành ABCD là (3, 2.5). Câu trả lời
là D.
Định lý 8.8 mô tả một đặc tính của các đường chéo của một hình bình hành.

Định lý 8.8
Mỗi đường chéo của một hình bình hành chia
hình bình hành thành hai tam giác bằng nhau.
Ví dụ: ΔACD ≅ ΔCAB.

17


III. Bài tập tổng hợp.
Kiểm tra sự hiểu biết
Kiểm tra khái niệm
1. Mô tả các đặc tính của các cạnh và góc của một hình bình hành.
2. Mô tả các đặc tính các đường chéo của một hình bình hành.
3. Vẽ một hình bình hành với một cạnh gấp đôi cạnh còn lại.

Hướng dẫn thực hành
Hoàn thành từng phát biểu về ▱QRST.
Chứng minh cho câu trả lời của bạn.
4. SV ≅ ?
5.ΔVRS ≅ ?
6. ∠TSR là bù với ?
Sử dụng ▱JKLM để tìm số đo hoặc giá trị nếu
JK = 2b + 3 và JM = 3a.
7. sđ∠MJK
8. sđ∠JML
9. sđ∠JKL
11. a

10. sđ∠KJL
12. b

CHỨNG MINH Viết chứng minh theo yêu cầu
13. hai cột
14. Đoạn

Giả thiết: ▱VZRQ và ▱WQST
Giả thiết: ▱XYRZ, WZ ≅ WS
Chứng minh: ∠Z ≅ ∠T
Chứng minh: ∠XYR ≅ ∠S

15. NHIỀU LỰA CHỌN Tìm tọa độ giao điểm các đường chéo của hình
bình hành GHJK với đỉnh G (- 3, 4), H (1, 1), J (3,- 5), và K (-1,- 2).
A. (0, 0.5)
B. (6, - 1)
C. (0, - 0.5)
D. (5, 0)

Thực hành và áp dụng
Hoàn thành mỗi phát biểu về ▱ABCD.
Biện minh cho câu trả lời của bạn.
18


16. ∠DAB ≅ ?

17. ∠ABD ≅ ?

18. AB \\ ?

19. BG ≅ ?
21. ∠ACD ≅ ?

20. ΔABD ≅

ĐẠI SỐ Sử dụng ▱MNPR để tìm mỗi số đo hoặc giá trị.

22. sđ∠MNP

23. sđ∠NRP

24. sđ∠RNP

25. sđ∠RMN

26. sđ∠MQN
28. x
30. w

27. sđ∠MQR
29. y
31. z

VẼ Đối với bài tập 32 và 33, sử dụng các thông tin sau đây
Khung của một máy vẽ truyền là một hình bình hành.
32. Tìm x và EG nếu EJ = 2x + 1 và JG = 3x.
33. Tìm y và FH nếu HJ =

1
1
y + 2 và JF = y - .
2
2

34. ĐẠI SỐ Hình bình hành ABCD có các đường chéo AC và BD giao nhau tại
điểm P. Nếu AB = 3a + 18, AC = 12a, PB = a + 2b, và PD = 3b + 1, tìm a, b , và
DB.

35. ĐẠI SỐ Trong hình bình hành ABCD, AB = 2x + 5, sđ∠BAC = 2y, sđ∠B =
120, sđ∠CAD = 21, và CD = 21. Tìm x và y.

TỌA ĐỘ HÌNH HỌC Đối với bài tập 36-38,
xét ▱EFGH.
36. Sử dụng các công thức tính khoảng cách để
chứng minh rằng đường chéo chia đôi mỗi cạnh.
37. Xác định xem các đường chéo của
hình bình hành này là bằng nhau.
38. Tìm hệ số góc của EH và EF là
các cạnh liên tiếp vuông góc? Giải thích.
39. Xác định mối quan hệ giữa
ACBX, ABYC, và ABCZ nếu ΔXYZ
là tam giác đều và A, B, và C tương ứng là
trung điểm của XZ , XY và ZY .
CHỨNG MINH Viết chứng minh theo yêu cầu.
40. Chứng minh hai cột của Định lý 8.3 41. Chứng minh hai cột của định lý 8.5
19


42. Chứng minh đoạn của định lý 8.6
44. Chứng minh hai cột của định lý 8.8

43. Chứng minh đoạn của định lý 8.7

CHỨNG MINH
Viết một chứng minh hai cột.
45. Giả thiết: ▱DGHK, FH GD , DJ HK 46. Giả thiết: ▱BCGH, HD ≅ FD
Chứng minh: ΔDJK ≅ ΔHFG

Chứng minh: ∠F ≅ ∠GCB

47. Tìm tỷ số giữa MS và SP, cho
1
MN.
4

MNPQ là một hình bình hành với MR =

48. Trả lời các câu hỏi đã được đặt ra vào đầu bài học.
Làm thế nào là hình bình hành được sử dụng để đại diện cho dữ liệu?
Bao gồm trong câu trả lời của bạn:
• Tính chất của hình bình hành, và
• Một màn hình hiển thị các dữ liệu trong hình ảnh với một hình bình hành khác
nhau.
49. PHẢN ỨNG NHANH Hai số đo góc liên tiếp của hình bình hành là
(3x + 42) ° và (9x + 18) °. Tìm số đo của các góc.
50. ĐẠI SỐ Chu vi của hình chữ nhật ABCD
bằng bao nhiêu để p và x =

y
Giá trị của
5

y theo số hạng của p là gì?
A.

p
3

B.

5p
12

C.

5p
8

D.

5p
6

CỦNG CỐ KỸ NĂNG CỦA BẠN
Tìm tổng số đo của các góc trong của mỗi đa giác lồi.
51. 14 cạnh
52. 22 cạnh
53. 17 cạnh
54. 36 cạnh
Xác định xem định lý Sin hoặc định lý Cos nên được sử dụng để giải mỗi tam
giác như thế nào. Sau đó giải quyết mỗi tam giác. Tròn đến chữ số thập phân
thứ hai.

20


Sử dụng Tam giác Pascal cho bài tập 58 và 59.
58. Tìm tổng của 30 số đầu tiên ở bên ngoài đường chéo của tam giác Pascal.

59. Tìm tổng của 70 số đầu tiên trong đường chéo thứ hai.

Chuẩn bị cho bài học tiếp theo
KỸ NĂNG CẦN CÓ
Các đỉnh của một tứ giác là A (- 5,- 2), B (- 2, 5),
C (2,- 2), và D (- 1,- 9). Xác định xem mỗi đoạn là một cạnh hoặc một đường
chéo của tứ giác, và tìm hệ số góc của mỗi đoạn.
60. AB
61. BD
62. CD

Bài 8.3 Các thử nghiệm về hình bình hành
I. Đặt vấn đề
Những gì bạn sẽ học
• Nhận biết các điều kiện bảo đảm một
tứ giác là một hình bình hành.
• Chứng minh rằng một tập các điểm tạo thành
một hình bình hành trong mặt phẳng tọa độ.

Làm thế nào một hình bình hành được sử
dụng trong kiến trúc?
Mái của cây cầu được bao phủ
Có vẻ như là một hình bình hành. Mỗi
cặp cạnh đối diện giống nhau là có cùng
chiều dài. Làm thế nào chúng ta có thể
biết chắc chắn nếu hình này thực sự là
một hình bình hành?

21

II. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
ĐIỀU KIỆN ĐỐI VỚI MỘT HÌNH BÌNH HÀNH Theo định nghĩa, các cạnh
đối diệncủa một hình bình hành là song song. Vì vậy, nếu một tứ giác có mỗi cặp
cạnh đối diện song song đó là một hình bình hành. Các kiểm tra khác có thể được sử
dụng để xác định xem một tứ giáclà một hình bình hành.

Hoạt động hình học
Thử nghiệm cho một hình bình hành
Mô hình
• Cắt hai ống hút có cùng chiều dài và hai ống hút
khác với cùng chiều dài khác trên.
• Nối các ống hút bằng cách chèn thêm một đường
ống trong một đầu của mỗi cạnh của ống hút để
tạo thành một tứ giác như một hiển thị ở bên phải.
• Dịch chuyển các cạnh để tạo thành các tứ giác
có hình dạng khác nhau.
Phân tích
1. Đo khoảng cách giữa các cạnh đối diện của tứ giác trong ít nhất ba nơi. Lặp lại
quá trình này đối với một vài hình. Những gì bạn có thể kết luận về các cạnh đối
diện?
2. Phân loại các tứ giác mà bạn tạo thành.
3. So sánh số đo của các cặp cạnh đối diện.
4. Đo bốn góc trong một số các tứ giác. Các mối quan hệ bạn tìm thấy là gì?
Đưa ra một phỏng đoán
5. Điều kiện cần để chứng minh rằng một tứ giác là một hình bình hành?

Khái niệm quan trọng
Định lý
8.9 Nếu cả hai cặp cạnh đối diện của một tứ giác

là bằng nhau, thì tứ giác là một hình bình hành.
8.10 Nếu cả hai cặp góc đối diện của một tứ giác
là bằng nhau, thì tứ giác là một hình bình hành.
8.11 Nếu các đường chéo của một tứ giác chia đôi
mỗi đường, thì tứ giác
là một hình bình hành.

22

Ví dụ


8.12 Nếu một cặp cạnh đối diện của một tứ giác
là vừa song song và
bằng nhau, thì tứ giác là một hình bình hành.

Ví dụ 1
Viết một chứng minh
CHỨNG MINH
Viết một đoạn chứng minh cho định lý 8.10
Giả thiết :
∠A ≅ ∠C, ∠B ≅ ∠D
Chứng minh :
ABCD là một hình bình hành.
Đoạn chứng minh:
Bởi vì hai điểm xác định một đường thẳng, chúng ta có thể nối AC . Bây giờ chúng
ta có hai hình tam giác.Chúng ta biết tổng số đo các góc của một tam giác là 180, vì
vậy tổng các số đo góc của hai tam giác là 360. Do đó, sđ∠A + sđ∠B + sđ∠C +
sđ∠D = 360.
Từ ∠A ≅ ∠C và ∠B ≅ ∠D, sđ∠A = sđ∠C và sđ∠B = sđ∠D. thay thế để tìm m

mà sđ∠A + sđ∠A + sđ∠B + sđ∠B = 360, hoặc 2(sđ∠A) + 2(sđ∠B) = 360.
Chia mỗi vế của phương trình cho 2 sđ∠A + sđ∠B = 180. Điều này có nghĩa
rằng, các góc liên tiếp là bù nhau và AD \\ BC .
Tương tự như vậy, 2sđ∠A + 2sđ∠D = 360, hoặc sđ∠A + sđ∠D = 180. những góc
liên tiếp bù nhau chứng minh rằng AB \\ DC . Các cạnh đối diện là song song, vì
vậy ABCD là một hình bình hành.
Ví dụ 2
Tính chất của hình bình hành
NGHỆ THUẬT Một số tấm trong các tác phẩm điêu khắc xuất hiện để
được hình bình hành. Mô tả thông tin cần thiết để xác định xem những tấm
là hình bình hành.

Một tấm là một hình bình hành nếu cả hai cặp cạnh đối diện là bằng nhau, hoặc
nếu một cặp cạnh đối diện vừa bằng nhau và song song. Nếu đường chéo chia
đôi mỗi đường, hoặc nếu cả hai cặp góc đối diện là bằng nhau, thì tấm đó là một
hình bình hành.

23


Ví dụ 3
Tính chất của hình bình hành
Xác định xem tứ giác là một hình bình hành.
Chứng minh cho câu trả lời của bạn.
Mỗi cặp góc đối diện có cùng một số đo.
Vì vậy, chúng bằng nhau. Nếu cả hai cặp
góc đối diện là bằng nhau, thì tứ giác là
một hình bình hành.
Một tứ giác là một hình bình hành nếu có một trong những điều sau đây là đúng.

Tóm tắt khái niệm
1. Cả hai cặp cạnh đối diện là song song. (Định nghĩa)
2. Cả hai cặp cạnh đối diện là bằng nhau. (Định lý 8.9)
3. Cả hai cặp góc đối diện là bằng nhau. (Định lý 8.10)
4. Đường chéo chia đôi mỗi đường. (Định lý 8.11)
5. Một cặp cạnh đối diện vừa song song và bằng nhau. (Định lý 8.12)
Ví dụ 4
ĐẠI SỐ
a.

Tìm số đo
Tìm x và y để mỗi tứ giác là một hình bình hành.

Các cạnh đối diện của một hình bình hành là bằng nhau.
Định lý 8.9
EF ≅ DG
DE ≅ FG

Định lý 8.9

EF = DG
Định nghĩa các đoạn ≅ DE = EG
Định nghĩa các đoạn ≅
4y = 6y – 42
Thay thế
6x – 12 = 2x + 36 Thay thế
-2y = -42
Trừ 6y.
4x = 48
Trừ 2x và cộng 12.

y = 21
Chia cho -2.
x = 12
Chia cho 4.
Vì vậy, khi x là 12 và y là 21, DEFG là một hình bình hành.
b.

Đường chéo trong một hình bình hành chia đôi mỗi đường.
Định lý 8.9
Định lý 8.9
QT ≅ TS
RT ≅ TP
QT = TS

Định nghĩa các đoạn ≅ RT = TP
24

Định nghĩa các đoạn ≅