Trần vui tuyển tập các bài toán Pisa

TRẦN VUI

®¸NH GI¸ HIÓU BIÕT TO¸N
CñA HäC SINH 15 TuæI
CHƢƠNG TRÌNH ĐÁNH GIÁ HỌC SINH QUỐC TẾ

PIS
A


www.VIETMATHS.com

PROGRAMME FOR INTERNATIONAL STUDENT ASSESSMENT

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC
TRẦN VUI

®¸NH GI¸ HIÓU BIÕT TO¸N
CñA HäC SINH 15 TUæI
1


www.VIETMATHS.com

CHƢƠNG TRÌNH ĐÁNH GIÁ HỌC SINH QUỐC TẾ

PISA

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC

2

www.VIETMATHS.com

Bản quyền thuộc Nhà xuất bản Giáo dục
_________________________________________________________________
. . . . . /GD

Mã số: . . . . . . . .
3


www.VIETMATHS.com

LỜI NÓI ĐẦU
Ngày nay, trong bối cảnh kinh tế hội nhập và cạnh tranh toàn cầu, nâng cao và
bảo đảm chất lƣợng giáo dục là một trong những yêu cầu mà một đát nƣớc cần
phải quan tâm. Các chƣơng trình đánh giá học sinh quốc tế phần lớn không chỉ
đơn thuần là sự xếp hạng mà nó còn nêu ra đƣợc những điểm mạnh và điểm yếu
của hệ thống giáo dục của các quốc gia tham gia khảo sát để không ngừng cải
thiện chất lƣợng giáo dục..
Chƣơng trình Đánh giá Học sinh Quốc tế (Programme for International Student
Assessment: PISA) của Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế (Organization for
Economic Co-operation and Development: OECD) đƣợc thiết lập vào năm 1997,
nó thể hiện một cam kết bới các chính phủ của các quốc gia thành viên OECD để
giám sát các kết quả đầu ra của các hệ thống giáo dục theo thành quả học tập của
học sinh trong một khuôn khổ quốc tế chung. Trƣớc hết, OECD/PISA là một nổ
lực hợp tác nhằm tập hợp các tinh hoa khoa học từ các nƣớc tham gia và đƣợc
chung sức định hƣớng bởi các chính phủ của mình trên cơ sở các quyền lợi đƣợc
chia sẻ và định hƣớng chiến lƣợc. Các chuyên gia từ các nƣớc thành viên làm việc

trong các nhóm công tác có gắn kết với các mục tiêu chiến lƣợc của OECD/PISA,
những chuyên gia này có chuyên môn giỏi và có kỹ thuật tốt trong lĩnh vực đánh
giá so sánh quốc tế. Thông qua việc tham gia vào các nhóm chuyên gia này, các
nƣớc bảo đảm rằng các công cụ đánh giá của OECD/PISA là có giá trị quốc tế và
đã có cân nhắc đến tình hình chƣơng trình và văn hóa của các nƣớc thành viên
OECD.
Đánh giá OECD/PISA đƣợc tổ chức thƣờng xuyên ba năm một lần. Mục đích của
OECD/PISA là đánh giá ba lĩnh vực: đọc hiểu, hiểu biết toán và hiểu biết khoa
học. Tùy năm tổ chức, PISA sẽ tập trung vào đánh giá một trong ba lĩnh vực đó.
PISA 2000 tập trung vào đọc hiểu, PISA 2003 đặt trọng tâm vào hiểu biết toán và
PISA 2006 đi sâu hơn vào hiểu biết khoa học.
Hiểu biết toán đƣợc xác định nhƣ là năng lực của học sinh để xác định và hiểu vai
trò của toán học trong cuộc sống, để đƣa ra những phán xét có cơ sở, để sử dụng
và gắn kết với toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống. Đánh giá
4


www.VIETMATHS.com

toán PISA mong muốn tìm kiếm học sinh 15 tuổi cần có những hiểu biết toán học
nào để chuẩn bị cho cuộc sống trƣởng thành mà các em sắp sửa bƣớc vào.
Cuốn sách này đƣợc viết theo cách tổng hợp và nổ lực vận dụng những kết quả
nghiên cứu của PISA trong những năm gần đây vào bối cảnh giáo dục toán của
Việt Nam.
Chúng tôi hi vọng rằng cuốn sách này sẽ cung cấp những kiến thức cơ bản về
đánh giá hiểu biết toán theo khuôn khổ của PISA để ngƣời học tham khảo và tự
mình vận dụng vào đổi mới dạy học một cách phù hợp. Các vấn đề đƣợc trình bày
trong cuốn sách này liên quan đến một lĩnh vực mới đáp ứng cho nhiều đối tƣợng
liên quan đến giáo dục Toán ở bậc trung học. Để kịp thời phục vụ cho bạn đọc
chúng tôi đã mạnh dạn viết cuốn sách này, nhƣng do thời gian biên soạn có hạn,

nên chắc chắn cuốn sách sẽ còn nhiều thiếu sót. Rất mong đƣợc các thầy, cô giáo,
các nhà giáo dục, các em học sinh và sinh viên đóng góp ý kiến để nếu đƣợc tái
bản lần sau, cuốn sách sẽ đƣợc hoàn thiện hơn.
Huế, ngày 21 tháng 9 năm 2008
Tác giả

5


www.VIETMATHS.com

MỤC LỤC
Chƣơng 1: Giới thiệu chƣơng trình đánh giá học sinh quốc tế
Chƣơng 2: Hiểu biết toán
Chƣơng 3: Đánh giá hiểu biết toán
Chƣơng 4: Các bài toán thực hành và nhận xét về các khía cạnh toán
Chƣơng 5: Phân tích bốn ý tƣởng bao quát trong chƣơng trình toán
Chƣơng 6: Các bài toán với thang mức điểm tham khảo
Chƣơng 7: Những xu hƣớng dạy học chuẩn bị học sinh cho đánh giá quốc tế

6


www.VIETMATHS.com

Chƣơng 1
GIỚI THIỆU CHƢƠNG TRÌNH ĐÁNH GIÁ
HỌC SINH QUỐC TẾ
1. Tổng quan
Chƣơng trình Đánh giá Học sinh Quốc tế PISA là một nổ lực hợp tác của các quốc

gia thành viên của tổ chức OECD để đánh giá các học sinh ở tuổi 15 đƣợc chuẩn
bị tốt nhƣ thế nào để đáp ứng những thách thức của các xã hội ngày nay. Đánh giá
PISA chọn một tiếp cận rộng cho việc đánh giá kiến thức và các kỹ năng phản ánh
những thay đổi hiện nay trong chƣơng trình, di chuyển xa hơn tiếp cận dựa vào
nhà trƣờng về phía sử dụng kiến thức trong các nhiệm vụ và thách thức thƣờng
ngày. Các kỹ năng này phản ánh khả năng của học sinh tiếp rục việc học trong
suốt cuộc đời của mình bằng cách áp dụng những gì các em học đƣợc ở nhà
trƣờng vào trong các môi trƣờng ngoài nhà trƣờng, bằng cách đánh giá các lự
chọn và quyết định của mình. Đánh giá này đƣợc chung sức định hƣớng bởi các
nƣớc tham gia, đƣa những quan tâm chiến lƣợc của các quốc gia gần lại với nhau
với tinh hoa khoa học ở mức độ quốc gia và quốc tế.
OECD/PISA kết hợp đánh giá các lĩnh vực cụ thể nhƣ đọc hiểu, hiểu biết toán và
hiểu biết khoa học với các lĩnh vực quan trọng xuyên suốt chƣơng trình, đó cũng
là một ƣu tiên giữa các nƣớc OECD với nhau. Những lĩnh vực này đƣợc phủ
thông qua một đánh giá về học tự điều chỉnh và công nghệ thông tin, đƣợc bổ
sung vào năm 2003 bằng một đánh giá về các kỹ năng giải quyết vấn đề. Các kết
quả sẽ đƣợc kết hợp với các thông tin về hoàn cảnh của học sinh, gia đình và nhà
truwongf đƣợc thu thập bằng các bảng hỏi. OECD/PISA dựa vào: i) các cơ cấu tốt
về bảo đảm chất lƣợng để chuyển thể, lấy mẫu và thu thập dữ liệu; ii) các đo
lƣờng để đạt đƣợc sự phong phú của ngôn ngữ và văn hóa trong các công cụ đánh
giá, đặc biệt thông qua sự tham gia của các quốc gia trong các quá trình phát triển
và hoàn thiện và trong các hội đồng văn hóa; iii) phƣơng pháp phân tích dữ liệu
mới nhất. Sự kết hợp những đo lƣờng này tạo nên các công cụ và sản phẩm chất

7


www.VIETMATHS.com

lƣợng cao với các mức độ tuyệt vời về độ tin cậy và tính giá trị để nâng cao sự

hiểu biết về các hệ thống giáo dục và các đặc trƣng của học sinh.
PISA đặt nền tảng trên mô hình học tập suốt đời ở đó kiến thức và các kỹ năng
mới cần thiết cho việc thích nghi thành công với một thế giới đang thay đổi là
không ngừng đạt đƣợc trong suốt cuộc sống. PISA tập trung vào những việc mà
học sinh 15 tuổi sẽ cần trong tƣơng lai và tìm kiếm để đánh giá những gì các em
có thể làm đƣợc với những gì đã học đƣợc. Đánh giá có am hiểu đến mẫu số
chung của các chƣơng trình cấp quốc gia. Nhƣ vậy, PISA đánh giá kiến thức của
học sinh, và cũng xem xét khả năng của các em để phản ánh và để áp dụng kiến
thức và kinh nghiệm của mình vào các vấn đề thực tế. Ví dụ, để hiểu và đánh giá
những lời khuyên có tính khoa học về an toàn thực phẩm, một trƣởng thành những
chỉ cần biết một vài sự kiện cơ bản về thành phần của các chất dinh dƣỡng mà còn
có khả năng áp dụng những thông tin đó. Thuật ngữ ”hiểu biết” đƣợc dùng để
tóm gọn khái niệm rộng hơn này về kiến thức và kỹ năng.
PISA đƣợc thiết kế để thu thập thông tin kịp thời và hiệu quả theo các chu kỳ ba
năm. Nó thể hiện các dữ liệu về đọc hiểu, hiểu biết toán và khoa học của học sinh,
các trƣờng và các quốc gia. Nó cung cấp những kiến thức sâu sắc về các yếu tố
ảnh hƣởng đến sự phat strieenr của các kỹ năng ở nhà và ở trƣờng. Nó xem xét
những yếu tố này tƣơng tác nhƣ thế nào và những thực hiện nào cho phát triển
chiến lƣợc.
PISA 2003 mở rộng khuôn khổ cho đánh giá hiểu biết toán sâu hơn, cũng nhƣ
khuôn khổ cho một đánh giá mới về giải quyết vấn đề nhƣ là một năng lực xuyên
suốt chƣơng trình. Trong mỗi lĩnh vực, khuôn khổ đánh giá xác định nội dung học
sinh cần đạt đƣợc, những quá trình học sinh cần thể hiện và những tình huống mà
kiến thức và kỹ năng đƣợc áp dụng. Cuối cùng, nó minh họa các lĩnh vực này và
các khía cạnh của chúng với các nhiệm vụ mẫu.
2. NHỮNG KHÍA CẠNH CƠ BẢN CỦA PISA
PISA một đánh giá chuẩn hóa quốc tế đƣợc chung sức phát triển bởi các nƣớc
tham gia và tổ chức kiểm tra cho các học sinh 15 tuổi ở các trƣờng.

8

www.VIETMATHS.com

Khảo sát đƣợc thực hiện ở 43 nƣớc vào lần đánh giá đầu tiên năm 2000, ở 41
nƣớc ở lần đánh giá thứ hai vào năm 2003, ở 57 nƣớc vào lần đánh giá thứ ba vào
năm 2007 và đã có 62 nƣớc đăng ký tham gia lần đánh giá thứ tƣ năm 2009.
Các bài kiểm tra đƣợc tổ chức một cách tiêu biểu cho khoảng từ 4,500 đến 10,000
học sinh của mỗi nƣớc.
2.1. OECD/PISA LÀ GÌ?

PISA, viết tắt của The Programme for International Student Assessment, là
chƣơng trình đánh giá học sinh quốc tế do các quốc gia công nghiệp phát triển
thuộc tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD và một số quốc gia khác tiến
hành ba năm một lần. Ý tƣởng bắt đầu từ năm 1997 nhƣng cuộc điều tra đầu tiên
đƣợc tiến hành vào năm 2000, phải mất 3 năm để xây dựng và thống nhất các tiêu
chí và cách thức điều tra. Và kể từ đó đến nay đã có ba cuộc điều tra, lần cuối vào
năm 2006. Cứ phải sau một năm kể từ ngày điều tra, vào lúc 10 giờ sáng giờ Paris
ngày 04 tháng 12, kết quả điều tra sẽ đƣợc công bố trên toàn thế giới.
Điều tra là để đánh giá trình độ học sinh 15 tuổi của các nƣớc tham gia trong bốn
lĩnh vực là toán, khoa học, đọc hiểu và giải quyết vấn đề. Lần đầu tiên năm 2000,
điều tra đặt trọng tâm vào môn đọc hiểu; lần thứ hai năm 2003 đặt trọng tâm vào
hiểu biết toán và lần gần đây nhất năm 2006 là vào hiểu biết khoa học. Học sinh,
ngoài làm bài kiểm tra, phải trả lời phiếu điều tra về hoàn cảnh gia đình, môi
trƣờng và động lực học tập và cách quản lý quỹ thời gian…
Điều tra PISA đối với các học sinh ở độ tuổi 15 là để đánh giá khả năng ứng dụng
kiến thức và kỹ năng học đƣợc vào các tình huống thực tiễn của cuộc sống. PISA
không phải và không hề là một cuộc sát hạch khả năng học thuộc lòng lƣợng kiến
thức trong sách vở. Tổng thƣ ký của OECD, Angel Gurria, phát biểu rằng: “PISA
là một công cụ hỗ trợ các chính phủ đƣa ra các lựa chọn chính sách giáo dục. Và

trong thời đại toàn cầu hóa kinh tế với mức độ cạnh tranh ngày càng gay gắt nhƣ
ngày nay, một nền giáo dục có chất lƣợng là tài sản có giá nhất cho cả xã hội và
từng cá nhân trong xã hội đó.”
Và cũng không phải và không hề ngẫu nhiên khi hội đồng PISA chọn đọc hiểu,
hiểu biết toán, hiểu biết khoa học và giiar quyết vấn đề làm các môn điều tra.
Theo nhƣ lý giải của hội đồng PISA, những kiến thức và kỹ năng ấy là tối cần
thiết cho một học sinh bƣớc vào cuộc sống trƣởng thành. Và đó cũng là những kỹ
9


www.VIETMATHS.com

năng và kiến thức nền tảng không thể thiếu cho quá trình học tập suốt đời.
Ông Tổng thƣ ký của OECD, nói thêm rằng “điều tra PISA không chỉ để xếp
hạng, điều quan trọng là nó chỉ ra điểm mạnh, điểm yếu của hệ thống giáo dục của
các quốc gia, đồng thời chỉ ra hƣớng đi cải cách hệ thống giáo dục ấy”.
2.2. TÓM TẮT CÁC KHÍA CẠNH CƠ BẢN

Những điều cơ bản


Một đánh giá chuẩn hóa quốc tế đƣợc chung sức biên soạn bởi những
nƣớc tham gia và tổ chức kiểm tra cho những học sinh 15 tuổi trong các
chƣơng trình giáo dục.



Một khảo sát trong 43 nƣớc vào lần đánh giá đầu tiên năm 2000, ở 41
nƣớc ở lần đánh giá thứ hai vào năm 2003, ở 57 nƣớc vào lần đánh giá thứ
ba vào năm 2007 và đã có 62 nƣớc đăng ký tham gia lần đánh giá thứ tƣ

năm 2009.



Các bài kiểm tra đƣợc tổ chức một cách đặc thù cho khoảng từ 4.500 đến
10.000 học sinh trong một nƣớc.

Nội dung


OECD/PISA 2003 gồm các lĩnh vực của đọc hiểu, hiểu biết toán và hiểu
biết khoa học mà không nặng về việc thành thạo chƣơng trình ở trƣờng,
nhƣng lại chú trọng vào các kiến thức quan trọng và những kỹ năng cần
thiết cho cuộc sống trƣởng thành. Kỳ kiểm tra các khả năng xuyên suốt
chƣơng trình tiếp tục là một phần chính của OECD/PISA thông qua việc
đánh giá về một lĩnh vực mới là giải quyết vấn đề.



Chú trọng vào việc thành thạo các quá trình, việc hiểu các khái niệm và
khả năng xử lý các tình huống khác nhau trong mỗi lĩnh vực.

Các phƣơng pháp


Các bài kiểm tra bằng giấy bút đƣợc sử dụng, với những đánh giá kéo dài
tổng cộng hai giờ cho mỗi học sinh.



Các câu hỏi của bài kiểm tra là một sự hỗn hợp các câu hỏi nhiều lựa chọn
và các câu hỏi đòi hỏi học sinh xây dựng các câu trả lời của mình. Các câu
10


www.VIETMATHS.com

hỏi đƣợc tổ chức theo các nhóm dựa trên một sự chuyển tải từ một tình
huống thực tế.


Tổng cộng khoảng chừng bảy giờ của các câu hỏi kiểm tra đƣợc tổ chức,
với những học sinh khác nhau nhận các tổ hợp các câu hỏi kiểm tra khác
nhau.



Các học sinh trả lời một bản hỏi về bản thân trong 30 phút, cung cấp thông
tin về bản thân và gia đình các em. Các hiệu trƣởng tả lời một bản hỏi 20
phút về nhà trƣờng của mình.

Quy trình đánh giá


Đánh giá tiến hành ba năm một lần: 2000, 2003 và 2006.



Mỗi trong các quy trình này sẽ quan tâm sâu đến một lĩnh vực chính, và sẽ
dành hai phần ba thời gian kiểm tra cho lĩnh vực đó; những lĩnh vực khác

cung cấp một hồ sơ tóm tắt về các kỹ năng. Những lĩnh vực chính là đọc
hiểu năm 2000, hiểu biết toán năm 2003 và hiểu biết khoa học năm 2006.

Sản phẩm


Một hồ sơ cơ bản về kiến thức và những kỹ năng của những học sinh 15
tuổi.



Những chỉ số có tính tình huống liên quan đến các kết quả về các đặc
trƣng của học sinh và nhà trƣờng.



Những chỉ số xu hƣớng chỉ những kết quả thay đổi theo thời gian.



Một nền tảng tri thức cơ bản về phân tích chính sách và nghiên cứu.

Mục đích đầu tiên của đánh giá OECD/PISA là để xác định phạm vi mà những
ngƣời trẻ tuổi đã đạt đƣợc những kiến thức và các kỹ năng rộng hơn trong đọc
hiểu, hiểu biết toán và hiểu biết khoa học mà các em sẽ cần đến trong cuộc sống
trƣởng thành. Đánh giá về các khả năng xuyên suốt chƣơng trình đã đƣợc tạo
thành một phần chính của PISA 2003 thông qua đánh giá về giải quyết vấn đề.
Những lý do chính cho tiếp cận đƣợc định hƣớng một cách rộng rãi nhƣ thế này là
nhƣ sau:


Mặc dù việc tiếp thu đƣợc các kiến thức cụ thể là quan trọng trong việc
học ở trƣờng, việc áp dụng của các kiến thức đó trong cuộc sống trƣởng
11


www.VIETMATHS.com

thành phụ thuộc một cách thực sự đến việc tiếp thu các khái niệm và kỹ
năng rộng hơn. Trong toán học, việc có khả năng suy luận một cách định
lƣợng và trình bày các mối quan hệ hay tính phụ thuộc là có khuynh
hƣớng chọn lựa nhiều hơn là khả năng trả lời các câu hỏi trong sách giáo
khoa quen thuộc khi chúng ta cần triển khai các kỹ năng toán học trong
cuộc sống thƣờng ngày. Trong việc đọc, khả năng để phát triển các lý giải
về bài viết và phản ánh về nội dung và chất lƣợng của bài viết là những kỹ
năng trọng tâm. Trong khoa học, có những kiến thức cụ thể, nhƣ là tên các
cây và các động vật, là ít có giá trị hơn việc hiểu các chủ đề rộng hơn nhƣ
sự tiêu thụ năng lƣợng, sự đa dạng sinh học và sức khỏe con ngƣời trong
việc nghĩ về các vấn đề đang đƣợc tranh luận trong cộng đồng ngƣời lớn.
Trong giải quyết vấn đề, việc nhận ra một vấn đề, thiết lập bản chất chính
xác của nó, dùng kiến thức này để lên một phƣơng án để giải nó, điều
chỉnh lời giải để phù hợp hơn với bài toán gốc và giao tiếp lời giải với
những ngƣời khác đƣợc xem nhƣ là các kỹ năng cơ bản cho việc học
tƣơng lai.


Do tổ chức ở tầm quốc tế, nên nếu chú trọng đến nội dung trong chƣơng
trình sẽ thu hẹp sự quan tâm vào những yếu tố chƣơng trình chung cho tất
cả hoặc hầu hết các quốc gia. Điều đó sẽ tạo nên nhiều cuộc thƣơng lƣợng
và kết quả trong một đánh giá mà giá trị là quá hạn chế để các chính phủ

mong muốn học về các thế mạnh và đổi mới trong hệ thống giáo dục của
các quốc gia khác.



Những kỹ năng tổng quát, chung là cốt yếu cho học sinh phát triển. Chúng
bao gồm giao tiếp, thích ứng, linh hoạt, giải quyết vấn đề và sử dụng công
nghệ thông tin. Những kỹ năng này đƣợc phát triển xuyên suốt chƣơng
trình và một đánh giá những kỹ năng tổng quát đó đòi hỏi một quan tâm
xuyên suốt chƣơng trình.

Học sinh không thể học ở trƣờng học mọi thứ mà các em sẽ cần biết trong đời
sống trƣởng thành. Những gì các em phải gặt hái đƣợc là những điều kiện tiên
quyết cho việc học thành công trong tƣơng lai. Học sinh phải có khả năng tổ
chức và điều chỉnh việc học của chính mình, học độc lập hay theo nhóm, và để
vƣợt qua những khó khăn trong quá trình học tập. Điều này đòi hỏi các em
12


www.VIETMATHS.com

phải cảnh giác về các quá trình tƣ duy và các phƣơng pháp học tập của mình.
Hơn nữa, việc học xa hơn sẽ xảy ra nhiều hơn trong những tình huống có
nhiều ngƣời cùng làm việc vơi snhau và phụ thuộc vào nhau. Để đánh giá các
khía cạnh này, một công cụ tìm kiếm thông tin về việc học tự điều chỉnh đƣợc
đƣa vào nhƣ là một thành phần tự chọn của đánh giá PISA 2000 và là một
phần chính của PISA 2003.
PISA không chỉ đơn thuần là đánh giá xuyên quốc gia về các kỹ năng đọc,
toán và khoa học của học sinh 15 tuổi. Nó là là một chƣơng trình phát triển lâu
dài dẫn đến sự phát triển một cơ cấu thông tin để giám sát các xu hƣớng về

kiến thức và kỹ năng ở nhiều quốc gia cũng nhƣ ở những nhóm nhỏ khác nhau
ở mỗi quốc gia.
Thời gian tổng cộng cho các bài kiểm tra PISA là 120 phút cho mỗi học sinh,
nhƣng thông tin thu đƣợc là có giá trị gần bảy giờ của các đề kiểm tra. Bộ tổng
thể các câu hỏi đƣợc phân thành nhiều tập đề kiểm tra có liên kết với nhau.
Mỗi tập đề sẽ đƣợc kiểm tra bởi một số đủ các học sinh cho những ƣớc lƣợng
phù hợp để tạo nên các mức độ thành quả ở tất cả các câu hỏi của học sinh
trong mỗi nƣớc và trong mỗi nhóm nhỏ trong một nƣớc (nhƣ nam, nữ, học
sinh với hoàn cảnh văn hóa kinh tế khác nhau). Học sinh cũng dùng 30 phút để
trả lời một bản hỏi về hoàn cảnh.
Đánh giá PISA đƣa ra ba loại kết quả chính:


các chỉ số cơ bản cung cấp một hiện trạng cơ bản về kiến thức và kỹ
năng của học sinh;



các chỉ số tình huống chỉ các kỹ năng nhƣ vậy liên quan đến các biến
số nhân khẩu học, xã hội, kinh tế và giáo dục;



các chỉ số về các xu hướng nổi trội lên từ bản chất không ngừng của
việc thu thập dữ liệu và điều đó chỉ ra các thay đổi trong các mức độ
đầu ra và các phân bố, và trong mối quan hệ giữa các biến số và kết
quả cơ bản về mức độ học sinh và mức độ nhà trƣờng.

Mặc dù các chỉ số là phƣơng tiện thỏa đáng để thu hút chú ý đến các vấn đề quan
trọng, nhƣng chúng thƣờng không có khả năng cung cấp các câu trả lời cho các

13


www.VIETMATHS.com

câu hỏi chiến lƣợc. Vì thế PISA cũng đã phát triển một kế hoạch phân tích định
hƣớng chiến lƣợc sẽ đi xa hơn việc báo cáo các chỉ số.
3. TỔNG QUAN VỀ CÁI GÌ ĐƢỢC ĐÁNH GIÁ TRONG MỖI LĨNH VỰC
Hình A thể hiện một định nghĩa về bốn lĩnh vực đƣợc đánh giá trong PISA. Tất cả
các định nghĩa đều chú trọng vào kiến thức và các kỹ năng thiết thực cho phép
con ngƣời tham gia tích cực vào xã hội. Sự tham gia nhƣ vậy đòi hỏi nhiều hơn là
chỉ có khả năng tiến hành các nhiệm vụ đƣợc đặt ra từ bên ngoài nhƣ một ngƣời
chủ chẳng hạn. Điều cũng có nghĩa là con ngƣời đang đƣợc trang bị để tham gia
vào các quá trình đƣa ra quyết định. Trong những nhiệm vụ phức tạp hơn trong
PISA, học sinh sẽ đƣợc yêu cầu phản ánh và đánh giá tình huống chứ không phải
chỉ trả lời các câu hỏi mà chỉ có các câu trả lời “đúng”.
Hình A. Định nghĩa của các lĩnh vực
►

Hiểu biết toán
Hiểu biết toán là năng lực của một cá nhân để xác định và hiểu vai trò của
toán học trong cuộc sống, để đƣa ra những phán xét có cơ sở, để sử dụng và
gắn kết với toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống của cá
nhân đó với tƣ cách là một công dân có tính xây dựng, biết quan tâm và biết
phản ánh.

►

Đọc hiểu

Đọc hiểu là năng lực của một cá nhân để hiểu, sử dụng và phản ánh về các
bài viết, để đạt đƣợc các mục đích của một ngƣời, để phát triển kiến thức
tiềm năng của một ngƣời và để tham gia vào xã hội.

►

Hiểu biết Khoa học
Hiểu biết khoa học là năng lực để sử dụng kiến thức khoa học, để xác định
các câu hỏi và rut sra những kết luận dựa trên chứng cứ để hiểu và giúp đƣa
ra những quyết định về thế giới tự nhiên và những thay đổi đƣợc thực hiện
thông qua hoạt động của con ngƣời.

►

Các Kỹ năng Giải quyết Vấn đề
Các ký năng giải quyết vấn đề là năng lực của một cá nhân để sử dụng các
quá trình nhận thức để đối mặt và giải quyết các bối cảnh thực tế xuyên
14


www.VIETMATHS.com

suốt các môn học ở đó còn đƣờng tìm ra lời giải là không rõ ràng ngay tức
thì và ở đó các lĩnh vực hiểu biết hay chƣơng trình có thể áp dụng đƣợc
không chỉ nằm trong một lĩnh vực toán, khoa học hay đoc.
Hiểu biết toán đƣợc gắn liền với khả năng của học sinh để phân tích, suy luận và
giao tiếp các ý tƣởng một cách hiệu quả khi các em đặt, thiết lập, giải và giải thích
các lời giải cho các vấn đề toán trong nhiều trƣờng hợp khác nhau. Hiểu biết toán
đƣợc đánh giá liên quan đến:


Nội dung toán học, nhƣ đƣợc xác định chủ yếu theo bốn “ý tƣởng bao
quát” (đại lƣợng, không gian và hình, thay đổi các quan hệ và tính không
chắc chắc). Và chỉ quan hệ thứ yếu với các “mạch nội dung chƣơng
chƣơng” (nhƣ số, đại số, hình học, thống kê).



Quá trình toán học đƣợc xác định bởi các năng lực toán học chung.
Những năng lực này bao gồm: việc dùng ngôn ngữ toán, mô hình hóa và
các kỹ năng giải quyết vấn đề. Tuy nhiên, những kỹ năng đó không bị tách
ra khỏi các câu hỏi kiểm tra khác, bởi vì ngƣời ta đã thừa nhận rằng rằng
một loạt các năng lực sẽ đƣợc cần đến để thể hiện bất kỳ một nhiệm vụ
toán học nào. Hơn nữa các câu hỏi đƣợc tổ chức thành “các cụm năng lực”
xác định loại kỹ năng tƣ duy cần đến.



Bối cảnh trong đó toán học đƣợc sử dụng, dựa trên khoảng cách của
chúng đến học sinh. Khuôn khổ PISA xác định năm bối cảnh: cá nhân,
giáo dục / nghề nghiệp, công cộng và khoa học.

Ở phần này chúng tôi chỉ trình bày những nét chung về hiểu biết toán học. Phần
chi tiết của hiểu biết toán học sẽ đƣợc trình bày ở chƣơng 2. Các lĩnh vực đọc
hiểu, khoa học và giải quyết vấn đề không đƣợc trình bày chi tiết trong cuốn sách
này.

15

www.VIETMATHS.com

Chƣơng 2
HIỂU BIẾT TOÁN
Mục đích của đánh giá OECD/PISA là để thiết lập các chỉ số của lĩnh vực mà các
hệ thống giáo dục ở các nƣớc tham gia chuẩn bị cho các học sinh 15 tuổi đóng
các vai trò có tính xây dựng nhƣ là các công dân của xã hội. Những đánh giá này
không bị hạn chế vào những nội dung chƣơng trình mà học sinh đã học, mà lại
chú trọng vào việc xác định những gì mà các em có thể sử dụng những điều đã
học trong những tình huống gần gũi với cuộc sống thƣờng ngày của mình.
1. ĐỊNH NGHĨA VỀ LĨNH VỰC

Lĩnh vực hiểu biết toán theo OECD/PISA đƣợc hiểu là những khả năng của học
sinh để phân tích, suy luận và giao tiếp các ý tƣởng một cách hiệu quả khi các em
đặt, thiết lập, giải và giải thích các vấn đề toán học trong nhiều tình huống khác
nhau.
Đánh giá OECD/PISA tập trung vào các bài toán thực tế, tiến xa hơn những loại
tình huống và vấn đề thƣờng hay gặp trong lớp học. Trong các bối cảnh thực tế,
các công dân thƣờng đối mặt với các tình huống khi đi mua sắm, đi lại, nấu
nƣớng, giải quyết các vấn đề tài chính cá nhân, phán xét các vấn đề chính trị… ở
đó việc áp dụng suy luận định lƣợng và không gian hay những năng lực toán học
khác sẽ giúp làm sáng tỏ, thiết lập và giải một bài toán. Những việc sử dụng toán
nhƣ vậy dựa trên những kỹ năng đƣợc học và đƣợc thực hành thông qua các loại
bài toán xuất hiện một ccahs tiêu biểu trong các sách giáo khoa và lớp học. Tuy
nhiên, những bài toán thực tế đòi hỏi khả năng áp dụng những kỹ năng đó trong
một hoàn cảnh ít đƣợc cơ cấu hơn, ở đó các hƣớng giải quyết là không rõ ràng
lắm, và học sinh phải đƣa ra quyết định là kiến thức toán nào sẽ phù hợp, và nó có
thể đƣợc áp dụng một cách hữu ích nhƣ thế nào.
Hiểu biết toán theo OECD/PISA gắn liền với phạm vi mà các em học sinh 15 tuổi
có thể đƣợc xem xét nhƣ là các công dân biết phản ánh, hiểu biết và là những

khách hàng thông minh. Các công dân ở mỗi nƣớc phải đƣơng đầu với vô số
nhiệm vụ, liên quan đến số, không gian, xác suất hay những khái niệm toán học
khác. Ví dụ, các sản phẩm nghe nhìn (báo, tạp chí, truyền hình và internet) đƣợc
16


www.VIETMATHS.com

chứa đầy thông tin dƣới dạng bảng, sơ đồ và đồ thị về những vấn đề nhƣ thời tiết,
kinh tế, y học và thể thao… Các công dân tiếp nhận một cách dồn dập với những
thông tin về các vấn đề nhƣ “sự nóng lên toàn cầu và hiệu ứng nhà kính”, “phát
triển dân số, “tràn dầu và biển”, “sự biến mất của nông thôn”. Cuối cùng là các
công dân cần để đọc các biểu mẫu, để hiểu ra đƣợc các bảng giờ tàu, máy bay và
xe buýt, để thực hiện thành công các giao dịch ngân hàng liên quan đến tiền bạc,
để xác định giá cả tốt nhất ở các nơi mua sắm…
Hiểu biết toán theo OECD/PISA tập trung vào khả năng của những học sinh
15 tuổi (lứa tuổi mà nhiều học sinh đang hoàn thành việc học toán phổ cập
chính thức) sử dụng kiến thức toán và hiểu biết của các em để làm cho những
vấn đề này có ý nghĩa và tiến hành các nhiệm vụ hệ quả của chúng.
Định nghĩa về hiểu biết toán của OECD/PISA là:
Hiểu biết toán là năng lực của một cá nhân để xác định và hiểu vai trò của
toán học trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét có cơ sở, để sử dụng
và gắn kết với toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống của
cá nhân đó với tư cách là một công dân có tính xây dựng, biết quan tâm và
biết phản ánh.
Một số chú thích có thể giúp chúng ta sáng tỏ hơn về định nghĩa của phạm vi.
Hiểu biết toán…
Thuật ngữ “hiểu biết toán” đƣợc chọn để nhấn mạnh kiến thức toán đƣợc đặt vào
việc sử dụng có tính vận hành trong vô vàn tình huống khác nhau theo các cách
thay đổi, phản ánh và sâu sắc. Dĩ nhiên để những việc sử dụng nhƣ vậy là có thể

phát triển đƣợc, nhiều kiến thức và kỹ năng toán học nền tảng đƣợc cần đến, và
những kỹ năng nhƣ vậy tạo thành một phần của định nghĩa của chúng ta về hiểu
biết toán. Hiểu biết theo nghĩa ngôn ngữ học bao hàm nhƣng không đƣợc thu hẹp
về một vốn từ vựng phong phú và một kiến thức thực lực về các quy tắc ngữ pháp,
ngữ âm, chính tả… Để giao tiếp, con ngƣời kết hợp những yếu tố này theo những
cách sáng tạo khi đáp ứng mỗi tình huống thực tế mà họ phải đối mặt. Cũng nhƣ
vậy, hiểu biết toán không thể quy gọn về mà phải bao hàm các kiến thức về các
thuật ngữ toán học, sự kiện và các quy trình, cũng nhƣ các kỹ năng trong việc thể
hiện những phép toán nào đó và tiến hành các phƣơng pháp. Hiểu biết toán gắn
17


www.VIETMATHS.com

liền với việc kết hợp sáng tạo các thành phần này trong khi đáp ứng các đòi hỏi
đặt ra bởi tình huống bên ngoài.
… cuộc sống…
Thuật ngữ “cuộc sống” có nghĩa là môi trƣờng tự nhiên, xã hội và văn hóa mà cá
nhân đó sống trong đó. Nhƣ Freudenthal (1983) đã khẳng định: “Các khái niệm,
các cấu trúc và các ý tƣởng toán học của chúng ta đƣợc khám phá nhƣ là các công
cụ để tổ chức các hiện tƣợng trong thế giới vật chất, xã hội và tinh thần.”
… để sử dụng và gắn kết với…
Thuật ngữ “để sử dụng và gắn kết với” bao gồm việc dùng toán học và giải quyết
các bài toán, và cũng hàm ý một sự liên quan có tính cá nhân rộng hơn thông qua
giao tiếp, liên quan đến, đánh giá và ngay cả đam mê toán học. Nhƣ thế, định
nghĩa về hiểu biết toán bao gồm việc sử dụng có tính vận hành toán học theo một
nghĩa hẹp cũng nhƣ sự chuẩn bị cho việc học xa hơn, và những yếu tố giải trí và
thẩm mỹ.
… cuộc sống của cá nhân đó…
Câu “cuộc sống của cá nhân đó” bao gồm hiểu biết toán là khả năng để đặt, thiết

lập, giải quyết, và giải thích các vấn đề bằng cách dùng toán học theo nhiều tình
huống và bối cảnh khác nhau. Bối cảnh thay đổi từ những cái có tính toán học
thuần túy đến những bối cảnh mà mới thoạt đầu ta không thấy có cấu trúc toán
học nào hiện diện hay rõ ràng, ngƣời đặt và ngƣời giải quyết vấn đề phải giới
thiệu cấu trúc toán học một cách thành công. Cũng quan trọng để nhấn mạnh rằng
định nghĩa này không chỉ quan tâm đến việc biết toán ở một mức tối thiểu nào đó;
mà còn là việc làm và sử dụng toán trong các tình huống từ đời sống thƣờng ngày
đến những tình huống không quen thuộc, từ đơn giản đến phức tạp.
Các thái độ và cảm xúc liên quan đến toán học nhƣ tự tin, tò mò, các cảm giác về
sở thích và phù hợp, mong ƣớc để làm và hiểu các sự việc, không phải là các
thành phần của định nghĩa về hiểu biết toán nhƣng dẫu sao chúng vẫn là những
đóng góp cho định nghĩa. Về nguyên tắc là có thể đạt đƣợc hiểu biết toán mà
không có những thái độ và cảm xúc nhƣ vậy. Tuy nhiên, trong thực tế, không có
vẻ nhƣ là hiểu biết nhƣ thế sẽ đƣợc tận dụng và đƣa vào thực hành bởi những ai
không có tí gì về tự tin, tò mò, các cảm giác thích thú và phù hợp, mong ƣớc để
làm và hiểu các sự việc mà chứa đựng các thành phần toán học. Ngƣời ta thừa
18


www.VIETMATHS.com

nhận sự quan trọng của các thái độ và cảm xúc này nhƣ là những tƣơng quan của
hiểu biết toán. Chúng không phải là một bộ phận của đánh giá hiểu biết toán,
nhƣng sẽ đƣợc đề cập trong những thành phần khác của OECD/PISA.
2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CHO KHUÔN KHỔ TOÁN PISA
Định nghĩa về hiểu biết toán của PISA là nhất quán với lý thuyết có tính tích hợp
và mở rộng về cấu trúc và sử dụng ngôn ngữ nhƣ đã đƣợc phản ánh trong những
nghiên cứu về hiểu biết văn hóa xã hội gần đây. Trong cuốn Mở đầu cho một
Chương trình Hiểu biết (Preamble to a Literacy Program) (1998) của James Gee,
thuật ngữ “hiểu biết” chỉ việc sử dụng ngôn ngữ của loài ngƣời. Khả năng để đọc,

viết, nghe và nói một ngôn ngữ là công cụ quan trọng nhất mà thông qua nó hoạt
động xã hội của loài ngƣời đƣợc dàn xếp. Thực ra, mỗi ngôn ngữ của nhân loại và
việc sử dụng ngôn ngữ có một thiết kế rắc rối gắn chặt với các cách phức tạp theo
nhiều chức năng. Để một ngƣời là hiểu biết trong một ngôn ngữ suy ra rằng ngƣời
đó biết nhiều nguồn thiết kế của ngồn ngữ và có thể sử dụng các nguồn đó cho
nhiều chức năng xã hội khác nhau. Một cách tƣơng tự, việc xem toán học nhƣ là
một ngôn ngữ kéo theo học sinh phải học và thiết kế những khía cạnh liên quan
đến bài làm toán (các thuật ngữ, các sự kiện, các dấu hiệu và các ký hiệu, các quy
trình và kỹ năng trong việc thể hiện các phép toán nào đó trong những lĩnh vực
hẹp của toán học cụ thể, và cấu trúc của những ý tƣởng đó trong mỗi lĩnh vực
hẹp), và các em cũng phải học để sử dụng các ý tƣởng nhƣ vậy để giải quyết các
vấn đề không quen thuộc trong nhiều tình huống đƣợc xác định theo các chức
năng xã hội. Chú ý rằng, việc thiết kế các yếu tố toán học bao gồm việc biết các
thuật ngữ, các quy tắc và khái niệm cơ bản thƣờng đƣợc dạy trong trƣờng học, và
cũng liên quan đến việc biết cấu trúc của các em hay làm thế nào để dùng những
khía cạnh đó để giải quyết vấn đề. Những khái niệm trƣờng học này liên quan đến
vai trò bên trong của “thiết kế các khía cạnh” và “các chức năng” hỗ trợ cho cơ
cấu OECD/PISA có thể đƣợc minh họa bởi ví dụ sau đây.
Ví dụ Toán 1: Đèn đƣờng
Hội đồng thành phố quyết định dựng một cây đèn đƣờng trong một công
viên nhỏ hình tam giác sao cho nó chiếu sáng toàn bộ công viên. Ngƣời ta
nên đặt nó ở đâu?
19


www.VIETMATHS.com

Vấn đề mang tính xã hội này có thể đƣợc giải quyết bằng phƣơng án chung đƣợc
sử dụng bởi các nhà toán học sau đây, mà cơ sở toán học sẽ xem nhƣ là toán học
hóa.

Toán học hóa có thể đƣợc đặc trƣng qua năm khía cạnh sau đây:
1. Bắt đầu bằng một vấn đề có tình huống thực tế;
Đặt cây đèn đường ở chỗ nào trong công viên.
2. Tổ chức vấn đề theo các khái niệm toán học;
Công viên có thể được thể hiện như là một tam giác, và việc chiếu sáng từ
một cây đèn như là một hình tròn mà cây đèn là tâm của nó.
3. Không ngừng cắt tỉa để thoát dần ra khỏi thực tế thông qua các quá trình
nhƣ đặt giả thiết về các yếu tố quan trọng của vấn đề, tổng quát hóa và
hình thức hóa (nó coi trọng các yếu tố toán học của tình huống và chuyển
thể vấn đề thức tế sang bài toán đại diện trung thực cho tình huống);
Vấn đề được chuyển thành việc xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp
tam giác.
4. Giải quyết bài toán; và
Dùng kiến thức tâm của một đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm
các đường trung trực của các cạnh tam giác, dựng hai đường trung trực
của hai cạnh tam giác. Giao điểm của hai đường trung trực là tâm của
đường tròn.
5. Làm cho lời giải của bài toán là có ý nghĩa đối với tình huống thực tế.
Liên hệ kết quả này với công viên thực tế. Phản ánh về lời giải và nhận ra,
ví dụ, nếu một trong ba góc của công viên là tù, thì lời giải này sẽ không
hợp lý vì cây đèn sẽ nằm ra ngoài công viên. Nhận ra rằng vị trí, và kích
thước của các cây trong công viên là những yếu tố khác ảnh hưởng đến
tính hữu ích của lời giải toán học.
Những quá trình theo một nghĩa rộng đặc trƣng hóa việc các nhà toán học thƣờng
làm toán nhƣ thế nào, con ngƣời sử dụng toán học nhƣ thế nào trong nhiều nghề
nghiệp chính hiện nay, và những công dân có hiểu biết và phản ánh nên dùng toán
học để tham gia một cách hoàn toàn và có năng lực vào thế giới thực tế. Thực ra,
học để toán học hóa nên là mục đích giáo dục đầu tiên cho tất cả học sinh.
20

www.VIETMATHS.com

Ngày nay và trong tƣơng lai có thể nhìn thấy trƣớc đƣợc, mọi quốc gia đều cần
đến những công dân có hiểu biết một cách toán học để đối mặt với một xã hội
đang thay đổi nhanh và phức tạp. Thông tin xâm nhập đƣợc đang phát triển một
cách cực kỳ nhanh, và các công dân cần phải có khả năng để đƣơng đầu với thông
tin này. Những tranh cãi mang tính xã hội liên quan đến thông tin có tính số lƣợng
để ủng hộ cho những tuyên bố. Một ví dụ về nhu cầu của hiểu biết toán học là yêu
cầu thƣờng xuyên đối với những cá nhân đƣa ra các phán xét và đánh giá tính
chính xác của các kết luận và khẳng định trong các khảo sát và nghiên cứu. Có
khả năng để đánh giá tính đúng đắn của những tuyên bố từ các cuộc tranh luận
nhƣ vậy là một khía cạnh phê phán của một công dân có trách nhiệm.
Những bƣớc của quá trình toán học hóa đƣợc thảo luận trong cơ cấu này là những
thành phần cơ bản của việc dùng toán trong những tình huống phức tạp nhƣ vậy.
Thất bại khi dùng các khái niệm toán học có thể dẫn đến các quyết định cá nhân
nhầm lẫn, một sự dễ tin vào khoa học giả tạo, và đƣa ra quyết định thiếu hiểu biết
trong cuộc sống dân chủ và chuyên nghiệp.
Một công dân hiểu biết một cách toán học nhận ra rằng sự thay đổi nhanh chóng
nhƣ thế nào đang xảy ra và nhu cầu kéo theo là mở ra việc học lâu dài. Thích ứng
với những thay đổi này theo cách thực tế, linh hoạt và sáng tạo là một điều kiện
cần thiết cho một công dân thành công. Các kỹ năng học ở nhà trƣờng có lẽ sẽ
không đủ để phục vụ cho những nhu cầu của các công dân trong phần lớn cuộc
sống trƣởng thành của mình.
Những đòi hỏi về một công dân có năng lực và phản ánh cũng ảnh hƣởng đến lực
lƣợng lao động. Ngƣời ta không còn mong đợi các ngƣời làm việc tiến hành
những động tác lập đi lập lại trong suốt cuộc đời của họ. Thay vào đó, họ tham gia
một cách tích cực vào việc thúc đẩy đầu ra từ nhiều máy móc công nghệ cao, đối
mặt với các “trận lụt” thông tin, và tham gia giải quyết vấn đề theo nhóm. Xu
hƣớng là càng ngày sẽ càng có nhiều nghề nghiệp đòi hỏi khả năng hiểu, giao tiếp,

sử dụng và giải thích các khái niệm và quy trình dựa trên tƣ duy toán học. Những
bƣớc của quá trình toán học hóa là những tòa nhà của loại tƣ duy toán học này.
Cuối cùng, những công dân có hiểu biết toán cũng phát triển một đánh giá cao về
toán nhƣ là một ngành học cơ hoạt, luôn thay đổi và phù hợp mà có thể phục vụ
các nhu cầu của họ.
21


www.VIETMATHS.com

Vấn đề có tính điều hành đƣợc đối mặt bởi OECD/PISA là làm thế nào để đánh
giá những học sinh 15 tuổi có hiểu biết toán hay không theo nghĩa khả năng của
các em để toán học hóa. Thật không may, trong một đánh giá bị hạn chế bởi thời
gian, việc toán học hóa là khó thực hiện, bởi vì với hầu hết các tình huống thực tế
phức tạp thì quá trình đầy đủ từ việc đƣa ra bài toán từ thực tế và ngƣợc lại
thƣờng liên quan đến sự hợp tác và tìm kiếm các nguồn tƣ liệu phù hợp, và mất
khá nhiều thời gian.
Để minh họa việc toán học hóa trong một bài tập giải quyết vấn đề mở rộng, ta xét
ví dụ “Hội chợ” sau đây đƣợc thực hiện bởi các em học sinh lớp 8 (Romberg,
1994):
Ví dụ Toán 2: Bảng trò chơi ở Hội chợ
Ở một hội chợ, các ngƣời chơi ném các đồng xu vào một bảng đƣợc kẻ
những ô vuông. Nếu một đồng xu dính vào biên, nó bị loại. Nếu lăn ra
khỏi bảng, nó sẽ đƣợc ném lại. Nhƣng nếu đồng xu nằm lọt vào trong ô
vuông, ngƣời chơi thắng đƣợc đồng xu lại và thêm một phàn thƣởng.
Xác suất để thắng ở trò chơi này là bao nhiêu?

Rõ ràng là bài tập này đƣợc đặt trong tình huống thực tế. Trƣớc hết, học sinh bắt
đầu nhận ra rằng xác suất để thắng phụ thuộc vào kích cỡ tƣơng ứng của các ô
vuông và đồng xu (xác định các biến số quan trọng). Kế đến, chuyển dich vấn đề

thực tế thành bài toán, học sinh sẽ nhận thấy rằng cso thể tốt hơn là chỉ cần xét
mối quan hệ giữa một hình vuông và một hình tròn nhỏ hơn (cắt gọt bớt thực tế).
Rồi các em quyết định xây dựng một ví dụ cụ thể (sử dụng phƣơng pháp giải
quyết vấn đề “nếu bạn không thể giải đƣợc vấn đề đã cho, hãy giải một bài toán
mà bạn có thể”). Chú ý rằng tất cả những việc làm sau đây đƣợc tiến hành cho ví
22


www.VIETMATHS.com

dụ cụ thể này, không phải cho cái bảng chơi và phần thƣởng. Trong ví dụ này, ta
xét bán kính của đồng xu là 3 cm và cạnh của hình vuông là 10 cm. Các em đã
nhận ra là để thắng, tâm của đồng xu phải cách mỗi cạnh ít nhất 3 cm; nếu không
thì cạnh của hình vuông sẽ cắt đồng xu. Không gian mẫu là hình vuông cạnh 10
cm, và không gian sự cố thắng là một hình vuông cạnh 4 cm. Các mối quan hệ
đƣợc chỉ ra trong sơ đồ dƣới đây.

Xác suất thắng thu đƣợc từ tỉ số diện tích của hình vuông không biến cố và không
gian mẫu (trong ví dụ p = 16/100). Từ đó học sinh xem xét những đồng xu có kích
cỡ khác, và tổng quát hóa bài toán bằng cách diễn đạt lời giả của mình theo ngôn
ngữ đại số. Cuối cùng học sinh mở rộng những kết quả của mình cho nhiều tình
huống thực hành; các em làm các bảng và thử lại một cách thực nghiệm (làm cho
lời giải toán có ý nghĩa theo tình huống thực tế).
Chú ý rằng mỗi trong năm khía cạnh của toán học hóa đều đƣợc thể hiện rõ trong
lời giả này. Mặc dầu bài toán là phức tạp, tất cả học sinh 15 tuổi nên hiểu đƣợc
những yếu tố toán học cần thiết để giải bài toán này. Tuy nhiên, hãy lƣu ý rằng
trong lớp học này học sinh đã cùng nhau làm việc với bài toán này trong ba ngày.
Một cách lý tƣởng, là để đánh giá liệu các học sinh 15 tuổi có thể dùng kiến thức
toán tích lũy đƣợc để giải các bài toán mà các em gặp phải trong cuộc sống của
mình hay không, ngƣời ta nên thu thập các thông tin về khả năng của các em trong

việc toán học hóa các tình huông sphuwcs tạp nhƣ vậy. Rõ ràng điều đó là không
thực tiễn. Thay vào đó, OECD/PISA đã lựa chọn để chuẩn bị các câu hỏi để đánh
giá các phần khác nhau của quá trình này. Phần sau đây mô tả phƣơng án đƣợc
chọn để xây dựng các câu hỏi kiểm tra một cách cân đối sao cho một bộ các câu
23


www.VIETMATHS.com

hỏi này sẽ phủ cả năm khía cạnh của toán học hóa. Mục đích là dùng các câu trả
lời cho các câu hỏi này để xác định vị trí của các học sinh theo mức độ thành thạo
trong cơ cấu của OECD/PISA về hiểu biết toán.
3. TỔ CHỨC CỦA LĨNH VỰC
Khuôn khổ toán học PISA đƣa ra lý do và mô tả về một đánh giá lĩnh vực mà các
em học sinh 15 tuổi có thể xử lý toán học theo một cách có cơ sở khi các mặt với
các vấn đề thực tế, hay theo một nghĩa rộng hơn, là một đánh giá về học sinh 15
tuổi hiểu biết một cách toán học nhƣ thế nào. Để mô tả phạm vi đƣợc đánh giá rõ
ràng hơn, chúng ta cần phân biêt ba thành phần sau:


các bối cảnh hay các tình huống mà những vấn đề đƣợc xác định từ đó,



nội dung toán học phải đƣợc sử dụng để giải quyết các vấn đề, đƣợc tổ
chức bằng những ý tưởng bao quát,



và quan trọng nhất là: các năng lực đƣợc kích hoạt để nối kết với cuộc

sống thực tế, ở đó các vấn đề đƣợc sản sinh ra, và với toán học các vấn đề
đƣợc giải quyết.

Những thành phần này đƣợc trình bày theo dạng trực quan ở sơ đồ dƣới đây.

24