SKKN kĩ THUẬT sử DỤNG bất ĐẲNG THỨC CAUCHY KHI GIẢI các bài TOÁN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.12 MB, 36 trang )
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Mã số: ……………….
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY KHI GIẢI CÁC BÀI
TOÁN
Người thực hiện: Nguyễn Kiều Linh
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý Giáo dục
Phương pháp giảng dạy bộ môn : Toán
Phương pháp giáo dục
Lĩnh vực khác
Sản phẩm đính kèm:
Mô hình
Phần mềm
Phim ảnh
Hiện vật khác: Đĩa CD Rom
Năm học 2012-2013
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
1
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CÁ NHÂN:
1. Họ và tên : Nguyễn Kiều Linh
2. Ngày tháng năm sinh : 01-08-1987
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ : Tổ 31- Ấp 3- Xã Hiệp Phước - Huyện Nhơn Trạch- Tỉnh Đồng Nai
5. Điện thoại : + Cơ quan:
+ Di động:0986892792
6. Chức vụ: Giáo viên
7. Đơn vị công tác : Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO:
-
Học vị ( hoặc trình độ chuyên môn nghiệp vụ) cao nhất: Đại học Sư phạm
Chuyên ngành: Toán học
Năm nhận bằng : 2011
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC:
-
Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : 1 năm
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
2
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
“ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY KHI GẢI CÁC BÀI TOÁN ”
PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU
A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
- Bất đẳng thức là nội dung rất khó trong chương trình THPT, nó có mặt hầu hết trong bộ
môn toán sơ cấp và đóng một vai trò hết sức quan trọng.Tuy nhiên bất đẳng thức rất khó
định hướng giải không những thế còn đòi hỏi ta cần phải nhớ thêm những bất đẳng thức phụ
rất khó nhớ.Gần như học sinh không có hướng giải và rất lúng túng khi gặp loại toán này
ngay cả đó là bài toán rất đơn giản
- Bất đẳng thức cũng là câu khó nhất trong các đề thi ĐH những nằm gần đây và các kì thi
học sinh giỏi các cấp trong và ngoài nước trong khi đó thời lượng học lại rất ít và sơ sài làm
cho học sinh chưa hiểu sâu về nó.
- Chính vì lí do đó tôi viết đề tài này nhằm cung cấp thêm cho hoc sinh cũng như các đồng
nghiệp về kiến thức và kĩ năng khi giải các bài toán về bất đẳng thức, tuy nhiên là vấn đề
khó và rộng nên tôi chọn viết về bất đẳng thức Cauchy.Vì đây là một bất đẳng thức rất quan
trọng và thông dụng mà các em hoc sinh đã được học trong trường phổ thông
B. NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG:
-Trong xu thế đổi mới phương pháp dạy và học của Bộ Giáo dục và đào tạo trong
những năm vừa qua thì phương pháp tạo cho học sinh có khả năng tư duy từ một số bài toán
cơ bản để từ đó học sinh có thể tự nghiên cứu, tìm tòi, sáng tạo “Biến lạ thành quen” được
các giáo viên chú ý và được Bộ khuyến khích nhất. Vì thế hầu hết các giáo viên đều chọn
phương pháp giảng dạy theo một chuyên đề về một mảng kiến thức nào đó trong trường phổ
thông.
C.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
1) Tìm hiểu việc giải một số bài toán thông qua một bài cơ bản của học sinh:
-Qua thời gian công tác tại trường, tôi nhận thấy rằng việc hình thành chùm bài
toán thông qua một hay một số bài toán cơ bản của học sinh còn rất hạn chế.
-Hầu hết việc tự đọc sách giáo khoa và sách tham khảo của các em còn rất ít, khả
năng tự thay đổi điều kiện của các bài toán để hình thành bài toán mới của học
sinh còn lúng túng, bỡ ngỡ.
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
3
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
2) Tìm hiểu những phương pháp các giáo viên đã vận dụng:
-Qua thời gian tìm hiểu và trao đổi, hầu hết các giáo viên trong trường đã vận
dụng những phương pháp mới, tích cực, phát huy tính tích cực của học trong việc
hình thành chùm bài toán từ bài toán cơ bản. Tuy nhiên việc vận dụng nó một
cách có hiệu quả thì vẫn còn gặp nhiều khó khăn.
D. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
I. TÁC DỤNG CỦA BÀI TẬP TOÁN HỌC
1. Phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh
2. Giúp học sinh hiểu rõ và khắc sâu kiến thức
3. Hệ thống toán kiến thức đã học: một số đáng kể bài tập đòi hỏi học sinh phải vận
dụng tổng hợp kiến thức của nhiều nội dung trong bài. Dạng bài tập tổng hợp học
sinh phải huy động vốn hiểu biết trong nhiều chương.
4. Cung cấp kiến thức mới, mở rộng sự hiểu biết của học sinh.Rèn luyện một số kỹ
năng, kỹ xảo, kỹ năng giải từng loại bài tập khác nhau.
5. Phát triển tư duy: học sinh được rèn luyện các thao tác tư duy như: phân tích, tổng
hợp, so sánh, quy nạp, diễn dịch...
6. Giúp giáo viên đánh giá được kiến thức và kỹ năng của học sinh. Học sinh cũng tự
kiểm tra biết được những lỗ hổng kiến thức để kịp thời bổ sung .
7. Rèn cho học sinh tính kiên trì, chịu khó, cẩn thận, chính xác khoa học... Làm cho các
em yêu thích bộ môn, say mê khoa học (những bài tập gây hứng thú nhận thức)
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
- Phương pháp giải toán hình học không gian.
- Phương pháp giải hệ phương trình, bất phương trình.
- Phương pháp phân tích tổng hợp
Và nhiều phương pháp khác.
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
4
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
III. MỘT SỐ LƯU Ý ĐỂ GIÚP HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP TỐT
- Nắm chắc lý thuyết
- Nắm được các dạng bài tập cơ bản. Nhanh chóng xác định bài tập bài tập cần giải thuộc
dạng nào.
- Nắm được một số phương pháp giải thích hợp với từng dạng bài tập. Nắm được các
bước giải một bài tập nói chung và từng dạng bài tập nói riêng.
- Biết được một số thủ thuật và phép biến đổi toán học, cách giải phương trình và hệ
phương trình bậc 1, 2...
IV. NHỮNG CHÚ Ý KHI CHỮA BÀI TẬP
1. Xác định rõ mục đích của bài tập, mục đích của tiết bài tập
- Ôn tập kiến thức gì?
- Bồi dưỡng kiến thức cơ bản?
- Bổ sung kiến thức bị thiếu hụt ?
- Hình thành phương pháp giải với một dạng bài tập nào đó?
2. Chọn chữa các bài tập tiêu biểu, điển hình, tránh trùng lập về kiến thức cũng như về
dạng bài tập. Chú ý các bài:
- Có trọng tâm kiến thức toán học cần khắc sâu
- Có phương pháp giải mới.
- Dạng bài quan trọng, phổ biến, hay được ra thi
3. Phải nghiên cứu chuẩn bị trước thật kỹ càng:
-Tính trước kết quả
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
5
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
-Giải bằng nhiều cách khác nhau
-Dự kiến trước những sai lầm học sinh hay mắc phải
4. Giúp học sinh nắm chắc phương pháp giải bài tập cơ bản:
- Chữa bài mẫu thật kỹ
- Cho bài tập tương tự về nhà làm (sẽ chữa vào giờ sau)
- Khi chữa bài tập tương tự có thể:
+ Cho học sinh lên giải trên bảng
+ Chỉ nói hướng giải, các bước đi và đáp số
+ Chỉ nói những điểm mới cần chú ý
- Ôn luyện thường xuyên
5. Dùng hình vẽ và sơ đồ trong giải bài tập có tác dụng:
- Cụ thể hoá các vấn đề, quá trình trừu tượng
- Trình bày bảng ngắn gọn
- Học sinh dễ hiểu bài
- Giải được nhiều bài tập khó
6. Dùng phấn màu khi cần làm bật các chi tiết đáng chú ý:
- Phần tóm tắt đề
- Viết kết quả bài toán…
7. Tiết kiệm thời gian:
- Đề bài có thể photo phát cho học sinh, hoặc viết trước ra bảng, bìa cứng.
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
6
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
- Tận dụng các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập
- Không sa đà vào giải đáp những thắc mắc không cần thiết
8. Gọi học sinh lên bảng
- Những bài đơn giản, ngắn gọn có thể gọi bất cứ học sinh nào, nên ưu tiên những học
sinh trung bình, yếu
- Những bài khó, dài nên chọn học sinh khá giỏi
- Phát hiện nhanh những lỗ hổng kiến thức, sai sót của học sinh để bổ sung, sửa chữa
kịp thời
9. Chữa bài tập cho học sinh yếu
- Đề ra yêu cầu vừa phải
- Đề bài cần đơn giản, ngắn gọn, ít sử lý số liệu
- Không giải nhiều phương pháp
- Tránh những bài khó học sinh không hiểu được
- Bài tương tự chỉ cho khác chút ít
- Nâng cao trình độ dần từng bước
10. Sửa bài tập với lớp có nhiều trình độ khác nhau
V. CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TẬP TRÊN LỚP
1.Tóm tắt đầu bài một cách ngắn gọn trên bảng.
2.Xử lý số liệu dạng thô thành dạng cơ bản (có thể làm bước này trước khi tóm tắt đầu
bài)
3.Gợi ý và hướng dẫn học sinh suy nghĩ tìm lời giải:
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
7
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
- Phân tích các dữ kiện của đề bài từ đó cho ta biết được những gì
- Liên hệ với những bài tập cơ bản đã giải
- Quy luận ngược từ yêu cầu của bài toán
4.Trình bày lời giải
5.Tóm tắt, hệ thống những vấn đề cần thiết, quan trọng rút ra từ bài tập (về kiến thức, kỹ
năng, phương pháp)
VI. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP
1. Lựa chọn các bài tập tiêu biểu, điển hình. Biên sọan hệ thống bài tập đa cấp để tiện
cho sử dụng
- Sắp xếp theo từng dạng bài toán
- Xếp theo mức độ từ dễ đến khó
- Hệ thống bài tập phải bao quát hết các kiến thức cơ bản, cốt lõi nhất cần cung cấp
cho học sinh.Tránh bỏ sót, trùng lặp, phần thì qua loa, phần thì quá kỹ.
2. Bài tập trong một học kỳ,một năm học phải kế thừa nhau, bổ sung lẫn nhau
3. Đảm bảo tính phân hoá, tính vừa sức với ba loại trình độ học sinh.
4. Đảm bảo sự cân đối về thời gian học lý thuyết và làm bài tập.
E. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI.
- Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy ở trường THPT, cùng với một chút kinh
nghiệm trong thời gian giảng dạy, tôi đã tổng hợp , khai thác và hệ thống hoá lại các kiến
thức thành một chuyên đề: “KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY KHI
GIẢI CÁC BÀI TOÁN’’.
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
8
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
- Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một cái nhìn tổng
quát và một số phương pháp để giải. Học sinh có thể nhận dạng và trình bày bài toán đúng
trình tự, đúng logic. Hy vọng đề tài nhỏ này sẽ giúp các em học sinh có một cái nhìn toàn
diện, hiểu rõ bản chất và nắm được các kĩ thuật khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải
các bài toán từ đơn giản cho đến phức tạp
F. NHIỆM VỤ- YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI:
- Xuất phát từ lý do chọn đề tài, chuyên đề thực hiện nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên thực
hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ
năng phân tích để đi đến một hướng giải đúng và thích hợp khi gặp bài toán bất đẳng thức từ
phức tạp đưa về dạng đơn giản, cơ bản và giải được một cách dễ dàng. Muốn vậy người giáo
viên phải hướng cho học sinh biết các dạng toán và phương pháp phân tích bài toán.
- Yêu cầu của chuyên đề: Nội dung, phương pháp rõ ràng, không phức tạp phù hợp với đối
tượng học sinh trường THPT, có sáng tạo đổi mới. Giới thiệu được các dạng phương trình
cơ bản, đưa ra được giải pháp và một số ví dụ minh hoạ.
- Đề tài này dùng cho các đối tượng hs trung bình,khá, giỏi,bồi dưỡng học sinh giỏi và làm
tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán.
-Trong đề tài này tôi chỉ sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải (mặc dù ta có thể sử dụng
các bất đẳng thức khác chẳng hạn như Cauchy-Schwarz để giải thì rất ngắn gọn) với mục
đích giúp các em hs hiểu rõ hơn về bất đẳng thức Cauchy
G.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
1)Phương pháp:
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .
- Tổng hợp so sánh, rút kết kinh nghiệm.
2)Cách thực hiện:
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
9
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn.
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng và rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy.
H.ĐỐI TƯỢNG VÀ CƠ SỞ NGHIÊN CỨU:
1) Đối tượng: Học sinh khối 3 khối
2) Cơ sở nghiên cứu: Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm.
PHẦN II. NỘI DUNG
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
1.Dạng Tổng Quát:
Cho n số a1 , a2 ,..., an 0 thì ta có:
a1 a2 ... an n
a1a2 ...an
n
a1 a2 ... an n n a1a2 ...an
a a ... an
1 2
a1a2 ...an (n 2)
n
n
2.Dạng cụ thể thường gặp(2 số, 3 số)
Cho a, b 0 ta có :
1) a b 2 ab
ab
2)
ab
2
2
Cho a, b, c 0
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
10
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
1) a b c 3 3 abc
abc
2)
abc
3
3
3.Một số bđt phụ thường dùng :
Với mọi số thực a, b, c ta luôn có :
1) (a b)2 4ab
( a b) 2
2
(a b c) 2
ab bc ca
3) a 2 b2 c 2
3
(a b c d )2
ab bc cd da
4) a 2 b2 c 2 d 2
4
2) a 2 b 2
Chú ý :Dấu bằng của các bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi các số đó bằng
nhau.Vì vậy khi áp dụng bđt cauchy ta cần lưu ý điều này.Sau đây là một số bài
toán
Bài 1.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của :
1
x
a) x ( x 0)
b) 2 x
1
( x 0)
x2
c) 3 x
1
( x 1)
2x
Giải
a) Áp dụng bđt cauchy cho 2 số dương x và
1
1
1
ta có : x 2 x. 2
x
x
x
1
x 1 (thỏa x>0).Vậy giá trị nhỏ nhất là 2 khi x=1
x
1
1
2
?
b) Làm tương tự câu a ta có : 2 x 2 2 2 x. 2 2
x
x
x
Dấu " " xảy ra x
Như vậy ta không tìm được kết quả cụ thể vì biểu thức vẫn còn chứa x.Để ý trong
biểu thức có x2 vì vậy ta cần tìm cách làm mất x như
1
1
1
x x 2 3 3 x.x. 2 3
2
x
x
x
1
Dấu " " xảy ra x 2 x 1 (thỏa x>0).Vậy giá trị nhỏ nhất là 3 khi x=1
x
1
1
c) Ta có 3x 2 3x. 6
2x
2x
1
1
x
Dấu " " xảy ra 3x
(không thỏa x 1).Với cách làm như vậy ta
2x
6
sau : 2 x
không thể tìm được dấu bằng thỏa yêu cầu.Nghĩa là biểu thức đã cho luôn lớn hơn
6 giá trị nhỏ nhất không phải là 6 .Ta dự đoán dấu bằng khi x =1.Ta có :
1
5x x
1 5x x 1
5x
x 1 5x
5
7
( )
( ) 2 .
1 1
2x
2 2 2x 2
2 2x
2
2 2x 2
2
2
x 1
7
x 1 (thỏa x 0).Vậy giá trị nhỏ nhất là
Dấu " " xảy ra
khi x=1
2 2x
2
3x
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
1
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
Nhận xét :Khi tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất ta phải luôn đảm bảo dấu bằng
xảy ra
Bài 2.Cho 2 số không âm a và b thỏa a+b=5.CMR :
a) ab
25
4
b) a 2b
500
27
c) a 2b3 108
Giải
ab
2
2
a) Ta có ab
. Dấu " " xảy ra a b
2
2
4
2
5
25
5
a a b 2a b
đến đây
3
3
3
3
b) Nhận thấy có a2b ta phân tích như sau: a 2b aab
không xuất hiện a+b như mong muốn mà lại là 2a+b.Vậy ta cần chia đôi a ra như
sau:
3
a a
2 2 b a b 3 125
a 2b a a
500
b
a 2b
4
22
3
27
27
3
10
a
a
b
3
Dấu " " xảy ra 2
a b 5 b 5
3
c) Phân tích tương tự ta
5
a a b b b
5
a 2b 3 a a b b b 2 2 3 3 3 a b
2 3
có:
1 a b 108
108 2 2 3 3 3
5
5
a b
a 2
Dấu " " xảy ra 2 3
a b 5 b 3
Bài 3.CMR :
a) Với a >1 thì : a
27
5
3
2(a 1)(a 1)
2
b) a, b, c dương và thỏa a>b, a >c thì: 2a
1
4
(a b)(a c)(b c)
Giải
a) Ta cần phải phân tích và áp dụng sao cho mẫu số bị triệt tiêu như sau:
a 1 a 1 a 1
27
27
2 a
(a 1)
.
3
2(a 1)(a 1)
3
3
3
(a 1)(a 1)3
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
1
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
Áp dụng bđt cauchy cho 5 số dương trên ta
có :
a 1 a 1 a 1
27
a 1 a 1 a 1
27
5 5 (a 1)
5
3
3
3
3
(a 1)(a 1)
3
3
3 (a 1)(a 1)3
27
5
a 1
27
. Dấu " " xảy ra a 1
a 2 (thỏa
a
3
2(a 1)(a 1)
2
3
(a 1)(a 1)3
(a 1)
mãn)
b) Tương tự cách suy nghĩ và phân tích như trên ta có :
2a
1
1
(a b) (a c) (b c)
(a b)(a c)(b c)
(a b)(a c)(b c)
Áp dụng bđt cauchy cho 4 số dương trên ta có :
(a b) (a c) (b c)
1
1
4 4 (a b)(a c)(b c)
4
(a b)(a c)(b c)
(a b)(a c )(b c )
1
bc
1
2
Dấu " " xảy ra a b a c b c
(thỏa mãn)
(a b)(a c)(b c)
a 3
2
Bài 4.
a, b 0
1 17
CMR : P ab
ab 4
a b 1
Cho
a b 1
1
Cách làm sai : P 2 ab 2 Dấu " " xảy ra
1 hệ này vô
ab
ab ab
nghiệm.Nghĩa là P không thể bằng 2 mà hoàn toàn lớn hơn 2.Ta dự đoán dấu bằng
1
2
xảy ra khi a=b=
1
1
1
15
1
4, ab .Vì vậy ta phải tách
để xuất
ab
4
ab 16ab 16ab
1
1
ab như đoán.Ta làm như
16ab 4
1
1
15
1
2 ab.
sau : P ab ab
ab
16ab 16ab
16ab
hiện
2
15
ab
16
2
2
1
15
17
16 16( 1 )2 4
2
1
16ab ab
1
Dấu " " xảy ra a b 1 a b
2
a b
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
1
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
a, b, c 0
1 1 1
CMR : P a b c 10
a b c
a b c 1
Bài 5.Cho
Giải
1 1 1
abc
1
1
1
6.
Cách làm sai : P 6 6 abc
a b c Hệ vô nghiệm nên
abc
a b c 1
không thể chỉ ra được dấu bằng.Vậy P không thể bằng 6 mà hoàn toàn lớn hơn 6
Phân tích giống bài trên để các số hạng đảm bảo bằng nhau và với dự đoán dấu
1
3
1
1 1 8 1 1 1
P abc
( )
9a 9b 9c 9 a b c
bằng xảy ra khi a=b=c= như sau :
1 1 1 8 3 111
24
24
3
2 3
2
10
abc
9a 9b 9c 9 a b c
9 abc
9.
3
a b c 1
1
Dấu " " xảy ra
1
1
1 a b c .Vậy giá trị nhỏ nhất của P
3
a b c 9a 9b 9c
6 6 abc
là 10
Tất nhiên ta có thể giải ngắn gọn như
1
a
1 1
b c
sau : P 1 1
3
3
3
1
1 9 10
abc
abc
3
Cách giải dài dòng như vậy với mục đích để các bạn hiểu rõ hơn vấn đề khi áp
dụng bđt ta luôn phải đảm bảo rằng dấu bằng xảy ra.Các số hạng khi dùng bdt
cauchy khi phải được đảm bảo bằng nhau.Kể từ sau bài này các bạn sẽ không thắc
mắc rằng tại sao ta lại phải làm như vậy.
Bài 6.CMR :
1
2
1
1 1
6
1 2ab a b
1
1 1
2) Nếu a, b dương thỏa a b 1thì 2 2 6
a b
a b
1
10 10
1
48
3) Nếu a, b dương thỏa a b thì 2 2
2
a b
a
b
1) Nếu a, b dương thỏa a 2 b 2 thì
Giải
1
2
1) Dễ dàng dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b= .Khi áp dụng ta luôn phải đảm bảo
điều này
1
2
Ta có 2ab a 2 b 2 1 2ab
1
0 .Áp dụng bđt cauchy cho 3 số dương ta
2
có :
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
1
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
1
1 1
3
3
1 2ab a b
(1 2ab)ab
3
3
1 1 2ab ab
2
2
1 1
1
1 2ab a b
1
Dấu " " xảy ra 1 2ab 2ab a b
2
1
2
2
a b
2
3
1
(1 2ab)(2ab)
2
2
6
3
Rõ ràng ta đã đoán được dấu bằng và khi áp dụng luôn phải đảm bảo điều đó nên
công việc tìm ra dấu bằng ở bước cuối chỉ ghi lại mà thôi.
1
2
2) Tiếp tục dự đoán dấu bằng a=b= .Ta có :
1
1 1
3
2
a b a b 3 (a 2 b2 )ab
3
2
3
1 2 2
(a b )(2ab)
2
3
1 a b 2ab
2
2
2
3
2
2
3
3
1
( a b) 4
8
6
1 1
1
a 2 b2 a b
1
Dấu " " xảy ra a 2 b 2 2ab a b
2
a b 1
Ta cần chú ý những kĩ thuật để đưa về để sử dụng giả thiết của bài toán
1
4
3) Tiếp tục dự đoán dấu bằng a=b= .Các số hạng đề cho không bằng nhau như dự
đoán của ta vì vậy ta cần phải phân tích để đảm bảo dấu bằng trước khi làm.
Ta có :
1
10 10 1
4
4
4
4 2
2
2
2
2
a b
a
b a b
a
a
b
b a
b
2
1
4
4
4
4
44
5
5
Mà 2 2
5 1
a
a
b
b 5 (a 2 b 2 ) a a b b
a b
(a 2 b 2 )(2ab)
2
2.44
5
5
Và
a 2 b 2 2ab
2
2
2
2
a
b
2
5
5
2.44
40
( a b) 4
4
4
4
1
10 10
2
8 .Vậy 2 2
48
ab
a b
a
b
ab
2
4
4
1
a 2 b2 a b
1
Dấu " " xảy ra a b
ab
4
1
a b
2
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
1
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
Bài 7.CMR :
2
1
1
1
1
1) Nếu 3 số dương thỏa a+b+c=1 thì 2 2 2
30
a b c a
b
c
1
1
1
1
11
2) Nếu 3 số dương thỏa a+b+c=3 thì
2
2
2
abc(a b c ) a b b c c a 6
Giải
1) Nếu làm như sau để cố gắng đưa về giả thiết:
1
1
ta sẽ không
2
2
( a b c) 2
a b c
3
2
được kết quả gì vì ta đang cần dấu ,tai sao vậy?vậy sai ở đâu.Rất đơn giản các
bạn cứ tưởng tượng là dấu ta đánh giá chỉ là 1 phần nhỏ không đủ sức để kéo
toàn bộ bài thành dấu được.Vì dấu nói chung là mạnh hơn ở bài này.Ta cần
làm như sau để trung hòa 2 dấu đó lại,sau đó dư lại dấu nào thì đó là dấu của toàn
bộ bài toán.
2
1
1
2
2
2
a b c a
1
1 1 1
A 2
2
2
a b c a b c
1
1
b
c
2
2
2
ab
bc
ac
1
1
1
1
1
1
1 1 1 1
2
2
2
ab
ab
bc
bc
ac
ac a b c
a b c
7
3
7
3
3
abc
7
abc 7 1 2
(a 2 b 2 c 2 )ab.bc.ca
(a b 2 c 2 )(3ab)(3bc)(3ca)
3
27
7
7
9
9
4
4
2
2
2
1
2
1 a b c 3ab 3bc 3ca
7
. (a b c) ab bc ca
7
4
.
27.4
27
4
7
7
9
9 30
4
4
2
1
4
1
(a b c)
7
7
(a b c) 2
(a b c) 2
4
4
27.4
3
27.4
3
1) Đặt A
1
Dấu " " xảy ra a b c
3
Nhận xét :Bài này hơi khó và ta cần chú ý bđt
a 2 b2 c 2
(a b c) 2
ab bc ca
3
Với giả thiết cho a+b+c=1 mà biểu thức cần chứng minh gồm có a 2 b 2 c 2 nằm ở
dưới mẫu.Theo tự nhiên nếu áp dụng ngay để đưa về giả thiết ta sẽ được dấu mà
đề bài lại cần chiều ngược lại.vì vậy cần phải trung hòa đi đại lượng a 2 b 2 c 2 về
(a+b+c)2 rồi sau đó mới đánh giá tiếp được.Các bạn nên xem lại câu 2 và câu 3 của
bài 6 đơn giản hơn để hiểu rõ vấn đề.
2) Đặt B=
1
1
1
1
11
2
2
abc(a b c ) a b b c c a 6
2
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
1
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
B
1
2
2
2
1
1
1
2
2
abc(a b c ) 3(a b) 3(b c) 3(c a) 3(a b) 3(b c) 3(c a)
44
8
1
27abc(a b c )(a b)(b c)(c a) 3 (a b)(b c)(c a)
4
1
1
3
3
3
(a b b c c a )
(a 2 b 2 c 2 ) c(a b) b(a c) a(b c)
3
2
2
2
2
2
4
2
2
1
4
3
3
3
2
2
2
a b c 2 c(a b) 2 b(a c) 2 a(b c)
4
4
44
4
1
2
1
44
1
4434 1 11
4
4
4
4
4
4 8
(a b c)2 ab bc ca 2 4 4 (a b c)2 2 4 .3 2 6
3
Dấu bằng xảy ra a b c 1
44
Bài 8.CMR :
1
1 1 14
3
6(a b ) a b 3
1
1
1
5
2) Nếu 2 số dương a và b thỏa mãn a+b=2 thì 3 3
a b a b b a 2
1) Nếu 2 số dương a và b thỏa mãn a+b=1 thì
3
Giải
1
1 1
1) Đặt A=
3
3
6(a b ) a b
Ta có:
A
7
1
1 1
1
1
1
1
1 1 1
3
3
3
6(a b ) a b 6(a b ) 3a 3a 3a 3b 3b 3b
1
3
7
6(a 3 b3 )3a.3a.3a.3b.3b.3b
7
3 7 2(a 3 b3 )a 3b3
7
3 7 2(a 3 b3 ) ab(a b) ab(a b) ab(a b)) (vì
7
a3 b3 ab(a b) ab(a b) ab(a b)
37 2
4
a+b=1)
4
Dấu bằng xảy ra a b
1
2) Đặt B= a 3 b3
1
a b
7
( a b) 3
37 2
4
4
7 14
1 3
3
2
1
2
1
b a
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
1
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
B
1
1
1
1
1
5
3
3
3
a b 2a b 2a b 2b a 2b a 5 (a b )2a b .2a b .2b a .2b a
3
5
5
Gv:Nguyễn Kiều Linh
16(a 3 b3 )a3b3
5
5
2(a 3 b3 )ab(a b)ab(a b)ab(a b)
(chú ý với a+b=2)
5
5
a3 b3 ab(a b) ab(a b) ab(a b
2
4
4
5
(a b)3
2
4
Dấu bằng xảy ra a b 1
5
4
5
13
5
2
44
5
2
Nhận xét:Bài này giống kiểu bài số 7 đó là ta cần trung hòa biểu thức a 3 b3 về
(a b) 3 rồi mới tiếp tục đánh giá với nguyên tắc luôn phải đảm bảo dấu bằng trong
quá trình áp dụng bđt cauchy
Bài 9.Cho a, b là số dương.CMR
1) a 3 b3 ab 2 a 2b
2) a 4 b 4 ab3 a 3b
Giải
1) Bài này có nhiều cách giải nhưng ở đây ta sẽ sử dụng bđt cauchy giải để các bạn
nắm được những kĩ thuật cần thiết.Ta thấy dấu bằng xảy ra khi a=b và vế phải
xuất hiện ab 2 a 2b vì vậy ta cần áp dụng sao cho xuất hiện chúng.Ta làm như sau :
Ta có :
a3 b3 b3 3 3 a3b3b3 3ab2 ( 1)
Tương tự :
a3 a3 b3 3 3 a3a3b3 3a 2b (2)
Cộng vế theo vế (1) và (2) ta có : 3(a3 b3 ) 3(ab2 ab2 ) a 3 b3 ab 2 a 2b
Dấu bằng xảy ra khi a=b
2) Phân tích và cách làm tương tự ta có :
a4 a4 a4 b4 4 4 a4 a4 a4b4 4a3b
a4 b4 b4 b4 4 4 a4b4b4b4 4ab3
Suya ra : a 4 b 4 ab3 a 3b
Dấu bằng xảy ra khi a=b
Đến đây ta có bài toán tổng quát sau : a n bn abn1 a n1b (n 2)
Các bạn hãy tự chứng minh trong trường hợp n=5, n=6,….,bằng cách làm tương tự
Bài 10(ĐH khối A 2006) :Cho 2 số thực khác không thỏa
2
2
mãn : ( x y) xy x y xy .Hãy tìm giá trị lớn nhất của
A
1 1
x3 y 3
Giải
1
x
Từ giả thiết chia cho x 2 y 2 ta được
1 1
1
1
2 2
y x
y
xy
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
1
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
1
x
Để gọn bài toán ta đặt: a , b
1
giả thiết a b a 2 b 2 ab
y
Lúc này A a3 b3 (a b)(a 2 ab b2 ) (a b)(a b) (a b)2
Đến đây ta tìm GTLN của A (a b)2 .Từ giả thiết ta cần tìm cách đưa về dạng
xuất hiện
( a b)
Đến đây rất quen thuộc với bđt (a b)2 4ab .
3
1
a b a 2 b 2 ab (a b) 2 3ab (a b) 2 (a b) 2 ( a b) 2
4
4
1
(a b) (a b) 2 0 0 a b 4 A (a b) 2 16
4
1
Vậy GTLN là 16 khi a=b=2 hay x y
2
x, y, z 0
1 1 1 15
Bài 11.Cho
3 CMR : P x y z
x y z 2
x y z 2
Giải
Ta thấy dấu bằng khi x y z
1
vì vậy ta cần tách sao cho các số hạng đảm bảo
2
bằng nhau
1
1
1
3
3
3
1 1 1
9
6 6 xyx
3
4x 4 y 4z 4x 4 y 4z
4x 4 y 4z
4 x.4 y.4 z
9
9
9 15
3
3
3
3
x
y
z
2 2
4 xyz
4
3
1
Dấu bằng xảy ra khi x y z
2
P x y z
x, y, z 0
1
1
1 3 17
2
2
2
Bài 12.Cho
3 CMR : P x 2 y 2 z 2
y
z
x
2
x y z 2
Giải
1
Ta thấy dấu bằng khi x y z nên các biểu thức trong căn bằng nhau nên ta có
2
thể áp dụng
1
1
1
1
1
z 2 2 3 6 ( x 2 2 )( y 2 2 )( z 2 2 )
2
z
x
y
z
x
1
1
1
...
Ta nhận thấy để dấu bằng đảm bảo ta cần phân tích : x 2 2 x 2
2
y
16 y
16 y 2
1 4 42 4 43
P3
3
x2
1
y2
y2
16 sô
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
1
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
x2
1
1
1
x2
2
17
17 x
17
...
17
y2
16 y 2 16 y 2
1616 y 32
Tương tư ta có : y 2
z2
Gv:Nguyễn Kiều Linh
1
y2
17
17
z2
1616 z 32
1
z2
17
17
x2
1616 x32
P 3 17
6
17
x2
y2
z2
3 6 173
16 32
16 32
16 32
16 y 16 z 16 x
1
3 173
6
3
17
x yz
1648
3
90
1
3 173
6
17
17
1
1648
2
90
1
16 ( xyz )30
48
3 17
2
Dấu bằng xảy ra khi x y z
1
2
x, y , z 0
CMR :
x y z 1
Bài 13(ĐH khối A 2003) Cho
P x2
1
1
1
y 2 2 z 2 2 82
2
x
y
z
Giải
Tương tự cách phân tích bài trên ta có :
P3
1
x2
x2
3
Ta có : x 2
y2
1
1
1
1
1
z 2 2 3 6 ( x 2 2 )( y 2 2 )( z 2 2 )
2
y
z
x
y
z
1
1
1
1
1
1
x2
...
82 82 x 2
...
82 82 81 160
2
2
2
2
2
x
81x 81x
81 x
1814x 4 2 4 81
4 3x
81 sô
Tương tự : y 2
z2
1
1
1
1
82 82 z 2
...
82 82 81 160
2
2
2
z
81z 81z
81 z
P 3 6 823
82
1
81 x
81 160
1
1
3 6 823
160
81 160
81 y 81 z
81
82
1
81 ( xyz )160
243
x yz
81
3
480
243
1
3 823
6
82
1
3 823
6
1
1
1
1
82 82 y 2
...
82 82 81 160
2
2
2
81 y 81 y
81 y
y
82
1
81
3
480
82
243
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
2
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
Dấu bằng xảy ra khi x y z
1
3
x, y , z 0
x y z 3
Bài 14.Cho
CMR : P 4x 9 y 16z 4z 9x 16 y 4 y 9z 16x 3 29
Giải
Tương tự ta
có :
P3
4 x 9 y 16 z . 4 z 9 x 16 y . 4 y 9 z 16 x 3 6 (4 x 9 y 16 z )(4 z 9 x 16 y )(4 y 9 z 16 x
4
4
1
1
Ta có : 4(4 x 9 y 16 z ) 41x 42... 4 34 x 9 y ... 9 y 16 z ... 16 z
4 sô
19 4 4 2 4 943 14 4 4 2 4 44 3
3
16 sô
9 sô
4(4 x 9 y 16 z ) 29
4
4
1
1
x
x
(4
...4
)( 9 y... 9 y )( 16 z... 16 z ) 29
1
2
3
29
4 sô
19 4 2 943 14 4 2 44 3
29
4
29
44 x.99 x.1616 x
47.99
Tương tự ta có : (4 z 9 x 16 y )
(4 y 9 z 16 x )
29
P3 6
4
3
29
44 x.99 x.1616 x
47.99
16 soá
9 sô
(4 x 9 y 16 z )
29
29
4
29
4
29
29
44 z.99 x.1616 y
47.99
44 y.99 z.1616 x
47.99
44( x y z ).99( x y z ).1616( x y z )
29
3 6
21 27
4 .9
4
29
3
4
6
3
29
3
29
412.927.1648
421.927
4121648
3 29
421.
Dấu bằng xảy ra khi x y z 1
Bài này khó hơn 2 bài trước ở chỗ ta phải nhân thêm 4 mới tách ra 29 số hạng rồi
mới sử áp dụng bđt
3 bài trên ta có thể dùng phương pháp tọa độ sẽ ngắn gọn hơn.chẳng hạn bài 14 ta
làm nhưr sau :
r
ur
Chọn u (2 x ;3 y ; 4 z ) v (2 z ;3x ; 4 y ) w (2 y ;3z ; 4 x )
r r ur r r ur
P u v w u v w (2 x 2 y 2 z ) 2 (3x 3 y 3z ) 2 (4 x 4 y 4 z ) 2
(3 3 2 x.2 y.2 z ) 2 (3 3 3x.3 y.3z ) 2 (3 3 4 x.4 y.4 z ) 2
9 3 4 x y z 9 3 9 x y z 9 3 16 x y z
9.4 9.9 9.16 3 29
Dấu bằng xảy ra khi x y z 1
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
2
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
Tuy nhiên với cách giải phía trên để các bạn hiểu rõ kĩ thuật khi dùng bđt
cauchy.Các bạn hãy thử làm bài 12 và bài 13 kết hợp phương pháp tọa độ thử
xem.
a, b, c 0
Tìm giá trị lớn nhất của P 3 a b 3 b c 3 c a
a b c 1
Bài 15.Cho
Giải
1
3
Ta đoán dấu bằng xảy ra khi a b c a b b c c a
2
3
2
.Ta có
3
9
22 3 9 3
22 3 9 3
22
P 3 a b 3 b c 3 c a 3 . 3 ( a b)
. (b c)
. (c a)
4
33
4
33
4
33
2 2
2 2
2 2
ab
ab
ab
9
9
9
3 33 .
3 33 .
3 3 3 9 . 2(a b c) 4 3 18.
3 .
4
3
4
3
4
3
4
3
1
Vậy GTLN là 3 18 khi a=b=c=
3
vì vậy ta phải áp dụng bđt với số
a, b, c 0
Tìm giá trị lớn nhất của P a b b c c a (các bạn tự
a b c 1
Bài 16.
giải)
a, b, c, d 0
Tìm GTLN của
a b c d 1
Bài 17.
P abc bcd cd a d a b
(các bạn tự giải)
a, b, c 0
1
1
1
1
Bài 18.
Tìm giá trị lớn nhất của P 2 2 2 (các bạn tự
a b c
ab bc ca
a b c 1
giải)
Bài 19.Cho a, b, c 0 .CMR a3 b3 c3 a 2 bc b2 ca c 2 ab
Giải
Ta có : a a a a b c 6 a12b3c3 6a 2 bc
3
3
3
3
3
3
6
Tương tự : a3 b3 b3 b3 b3 c3 6 6 a3b12c3 6b 2 ac
a3 b3 c3 c3 c3 c3 6 6 a3b3c12 6c 2 ab
6(a3 b3 c3 ) 6 (a 2 bc b 2 ca c 2 ab )
a3 b3 c3 a 2 bc b2 ca c 2 ab
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
2
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
x, y , z 0
CMR : x 4 y 4 z 4 xyz
x y z 1
Bài 20.
Giải
1
3
Ta thấy dấu bằng xảy ra khi x y z ,vế phải xuất hiện xyz là bậc 3 trong khi
vế trái là bậc 4 vì vậy cần bổ sung cho bậc chúng bằng nhau.vì x+y+z=1 nên xyz
có thể ghi lại (x+y+z)xyz
Vậy ta cần CM : x 4 y 4 z 4 ( x y z ) xyz
x 4 x 4 y 4 z 4 4 4 x8 y 4 z 4 4 x 2 yz
Ta có :
x 4 y 4 y 4 z 4 4 4 x 4 y 8 z 4 4 xy 2 z
Tương tự :
x 4 y 4 z 4 z 4 4 4 x 4 y 4 z 8 4 xyz 2
4( x 4 y 4 z 4 ) 4( x 2 yx xy 2 z xyz 2 ) 4( x y z ) xyz 4 xyz
x 4 y 4 z 4 xyz
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=
a, b, c 0
Bài 21.
a b c 12
2
2
2
1
3
Tìm GTLN của P a 3 b2 c 2 b 3 c 2 a 2 c 3 a 2 b2
Giải
Ta dự đóa dấu bằng xảy ra khi
x=y=z=2 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 2a 2 2b 2 2c 2 8
Pa
3
b2 c2 b
3
c2 a2 c
3
a2 b2
3
a 3 (b 2 c 2 )
3
b 3 (c 2 a 2 )
3
c 3 (a 2 b 2 )
Ta gặp khó khăn vì xuất hiện bậc 3 mà ta lai cần bậc 2.Ta hãy để ý và làm như
sau :
P 6 c 6 (a 2 b 2 )2 6 b6 (c 2 a 2 )2 6 a 6 (b 2 c 2 )2
16
1
1
(2c 2 )3 .(a 2 b 2 ) 2 .8 6 (2b 2 )3 .(c 2 a 2 ) 2 .8 6 (2a 2 )3 .(b 2 c 2 ) 2 .8
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 6c 2a 2b 8 1 6b 2c 2a 8 1 6a 2 2b 2 2c 2 8
.
.
.
2
6
2
6
2
6
1
(10a 2 10b2 10c 2 24) 12
12
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2
Bài 22.Cho a, b ,c >0.CMR
a2
b2
c2
abc
bc ca ab
2
Giải
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
2
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gv:Nguyễn Kiều Linh
Ta thấy dấu bằng xảy ra khi a=b=c.Ta cần áp dụng sao cho xuất hiện vế phải, nhận
thấy rằng mẫu số của VT gần giống với VP.Vì vậy ta sẽ áp dụng sao cho làm mất
mẫu số ở VT nhưng sẽ xuất hiện điều cần CM ở VP
Ta có:
a2
bc
a2 b c
2
.
a
bc
4
bc 4
b2
ca
b2 c a
2
.
b
Tương tự
ca
4
ca 4
c2
ab
c2 a b
2
.
c
ab
4
ab 4
a2
b2
c2
abc
Cộng vế theo vế và thu gọn ta được:
bc ca ab
2
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Nếu có thêm giả thiết abc=1 thì ta có kết quả:
a2
b2
c2
a b c 3 3 abc 3
bc ca ab
2
2
2
1
x
1
y
1
z
Với kết quả trên nếu đặt a , b , c abc xyz 1
Và ta có bài toán Olympic toán quốc tế 1995 sau:
1
1
1
3
3
3
x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) 2
3
Bài 23.Cho a, b, c 0. CMR
1 1 1
9
a b c abc
Giải
Ta tiếp tục thấy dấu bằng xảy ra khi a=b=c.
1 1 1
3
3
9
3
a b c
abc a b c a b c
3
1 1 1
Chú ý:bđt trên có thể ghi lại (a b c)( ) 9 và có dạng tổng quát là:
a b c
1 1
1
(a1 a2 ... an )( ... ) n 2
a1 a2
an
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c.
Bài 24.Cho a, b, c 0. CMR (a b c)(
1
1
1
9
)
ab bc ca
2
Giải
Ta có:
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
2
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
(a b c)(
Gv:Nguyễn Kiều Linh
1
1
1
1
1
1
1
1
9
) [(a b) (b c) (c a )](
) .9
ab bc ca
2
ab bc ca
2
2
( Theo kết quả bài 23)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c.
Bài 25.Cho a, b, c 0. CMR
a
b
c
3
bc ca ab 2
Giải
a
b
c
3
a
b
c
3
1
1
1 3
bc ca ab 2
bc
ca
a b
2
abc bca ca b 9
1
1 9
1
(a b c)
bc
ca
ab
2
ab bc ca 2
Đây rõ ràng lại là kết quả của bài 24 vừu CM ở trên
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c.
x, y , z 0
CMR
x y z xyz
Bài 26.Cho
1) x y z 3 3
2) xy yz zx 9
Giải
1) x y z 3 3 xyz ( x y z ) 27 xyz 27( x y z ) x y z 3 3
3
1
x
1
y
1
z
1
x
1
y
1
z
2) xy yz zx xyz ( ) ( x y z )( ) 9 (theo kết quả bài 23)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z= 3
a, b, c 0
1 1 1
CMR : a b c 10
a b c
a b c 1
Bài 27.Cho
Giải
Ta có:
abc
1 1 1
1
1 1 8
8 8
a b c
a b c
9a 9b 9c 9a 9b 9c
1
1 1
1 1 1
6 6 abc
2
9a 9b 9c
9a 9b 9c
8 1 1 1 8
9
8
Và theo kết quả bài 23ta có: ( ) .
9 a b c
9 abc
1 1 1
1
a b c 10 Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=
a b c
3
Mà: a b c
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giải các bài toán
2
