Bài tập điển hình CM hình phẳng OXY Đoàn Trí Dũng

MỘT SỐ BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
RÈN LUYỆN CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG
Biên soạn: Đoàn Trí Dũng
Bài 1: Tam giác ABC, đường cao AK, BD và CE. I là tâm ngoại tiếp. Chứng minh rằng:
a) BDEC là tứ giác nội tiếp.
b) IA ^ DE .
c) IA là trung trực của MN.
d) AM AN .
e) A M 2 = A N 2 = A E .A B = A D .A C = A H .A K .
a) Học sinh tự chứng minh.
N
A
0
Ï
Ô–IA C = 90 - –A BC
b) Ì
D
 IA ^ DE .
–A BC = –A DE
Ô
Ó
c) Dây cung MN vuông góc với bán kính IA nên theo tính chất
E H
giữa dây cung và tâm, ta có IA đi qua trung điểm của MN. Do
M
I
đó IA là trung trực của MN.
d)
Vì câu c) nên ta có câu d).
C
B

K
1
1
e) –A ME = sdA N , –A BM = sdA M mà AM AN .
2
2
Như vậy –A ME = –A BM  DA ME ∽ DA BM  A M 2 = A E .A B .
Vì BDEC là tứ giác nội tiếp nên AE .AB

AD.AC .

Vì BEHK là tứ giác nội tiếp nên AE .AB

AH .AK .

Kiến thức cần nhớ:
∑

Khái niệm góc dưới đáy ở tâm phụ với góc nội tiếp chắn cung: –IA C = 900 - –A BC .

∑

Tam giác đồng dạng chung góc với tỷ số bình phương: DA ME ∽ DA BM  A M 2 = A E .A B .

Bài 2: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AE. E trung điểm BD. Đường tròn cắt AC tại G.
a) EA EG .
b) EG là tiếp tuyến của đường tròn tâm F.
c) EC .AD EG.AC .
a) AGDE nội tiếp nên –AGE = –ADE . Mà
A

–ADE = –ABE = –EAG  EA = EG .
b) –EGD = –EAD = –EAB = –DCG .
Mà
0
G
–DCG = –FGC = 90 - –DGF
do
đó
–EGD = 900 - –DGF  EG ^ GF .

B

E

D

F

C

c) –GEC = –GAD  DGEC ∽ DDAC . Ta có
điều phải chứng minh.


Bài 3: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I. Các đường cao hạ vuông góc là AD, BK, BE, CF. M , N , P là các
trung điểm. Chứng minh rằng:
a) DE ^ A C , DF ^ A B .
b) MP , MN là các trung trực của DE , DF .
c) M là tâm ngoại tiếp tam giác DEF .
d) DDEF ∽ DABC .

e) K , E , M thẳng hàng.
a) –A DE = –A BE = 900 - –BA E = –A CD

A

K
N

E

P
H

B

D

I

C

M

mà

–A CD = 900 - –DA C  DE ^ A C .
Tương tự ta có DF ^ AB .
b) MP // AC nên MP ^ DE . Mặt khác P là tâm đường
tròn ngoại tiếp tứ giác AEDB nên P nằm trên trung
trực của DE. Vậy MP là trung trực của DE. Tương tự

cho MN.
c) Vì câu b) nên có câu c).

F

( )

d) Ta có –DEF = –A BC , –DFE = –A CB  DDEF ∽ DA BC g.g .

e) –MEF = 900 - –EDF = 900 - –BA C = –A BK = –A EK = 1800 - –KEF  đpcm.
Bài 4: MD và ME vuông góc với AC và BC. P và Q lần lượt là trung điểm của AB và DE.
a) BM .DE BA.EM .
b) DA PM ∽ DDQM .
c) PQ ^ QM .
A

M

P
D
Q
B

E

C

ÔÏ–EMD = –DCB = –A MB
 DEMD ∽ DBMA do đó ta suy
a) Ì

ÔÓ–DEM = –DCM = –A BM
ra BM .DE BA.EM .
b) Từ câu a) ta suy ra DA PM ∽ DDQM .
c) DA PM ∽ DDQM  DA DM ∽ DPQM  –PQM = –A DM .
Vậy PQ ^ QM .
Kiến thức cần nhớ: Kỹ thuật co dãn tam giác đồng dạng và kỹ thuật
đổi đỉnh chéo tam giác đồng dạng.

Bài 5: Hình vuông ABCD. E là điểm bất kỳ trên đoạn BC. Đường tròn đường kính AE cắt BD tại F. Tiếp
tuyến tại A của đường tròn cắt CD tại G. Chứng minh rằng:
a) DFAE vuông cân.
b) FA = FE = FC .
c) FA G 450 đồng thời AGDF nội tiếp.
d) G , F , E thẳng hàng.
e) F là trung điểm GE .


a) FABE nội tiếp đường tròn đường kính AE do đó tam giác
A

B

E

d) AGDF nội tiếp nên –GFA = –GDA = 900 . Do đó ta có
G , F , E thẳng hàng.
e) GAE vuông cân nên ta có đpcm.

F
G

FAE vuông. Lại có –FEA = –FBA = 450 do vậy tam giác
FAE vuông cân.
b) Vì F nằm trên trung trực của AC nên FA = FE = FC .
c) DEAB = DGAD  GAE là tam giác vuông cân do đó
–FA G = 900 - –FA E = 450 nên AGDF nội tiếp.

C

D

Bài 6: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I, AD là đường kính. AE kéo dài cắt đường tròn tại K, J là trung
điểm BC. G là trọng tâm tam giác ABC.
a) BHCD là hình bình hành.
b) A H
c) EH

2IJ .
EK .

d) KA là phân giác góc BK M .
e) IH

3IG .
A
F

H
M
I

G
B

E

K

C

J

a) BH ^ A C ,CD ^ A C  BH // CD. Tương tự BD // CH do
đó BHCD là hình bình hành.
b) BHCD là hình bình hành cho nên J là trung điểm của HD. Do
đó ta có điều phải chứng minh.
c) –EBH = –EAC = –EBK . Ta có điều phải chứng minh.
d) –BKA = –BCA = –AKM . Ta có điều phải chứng minh.
AG 2
e) Ta có:
mà J là trung điểm của HD do đó G là trọng
AJ
3
tâm tam giác AHD. Ta có điều phải chứng minh.

D

Bài 7: Tam giác OAB vuông cân tại O. Kẻ đường thẳng bất kỳ qua A cắt OB tại M. Kẻ đường thẳng
qua B vuông góc AM tại H cắt đường tròn đường kính OB tại K và cắt OA tại I.
a) IM ^ AB .

b) OMI là tam giác vuông cân.
c) HO là phân giác góc MHI .
d) OKH là tam giác vuông cân.


a) M là trực tâm tam giác ABI do đó ta có điều phải chứng minh.
b) IM ^ AB do đó –MIO = 900 - –OA B = 450 . Ta có điều phải chứng
minh.

A

E

c) OMHI nội tiếp có OM

OI nên HO là phân giác góc MHI .
d) –OHK = –OMI = 45 và –OKH = 900 do đó ta có điều phải chứng
minh.
0

M

O

B
H
K

I

Bài 8: Tam giác vuông ABC có I là trung điểm của BC. Phân giác góc A cắt đường tròn tại D, hạ DE
và DF vuông góc với các cạnh của tam giác.
a) FAED là hình vuông.
b) E , I , F thẳng hàng.
A
a) Vì có ba góc vuông nên DEAF là hình chữ nhật. Mặt khác vì
AD là phân giác nên DE DF vì vậy FAED là hình vuông.
b) –EIB = –EDB = 900 - –EBD = 900 - –DCF = –CDF
= –CIF do đó ta có điều phải chứng minh.
E
I

B

C
F

D

Bài 9: Tam giác ABC cân. A D, BF ,CE là các đường cao. I là trung điểm AH và điểm J thỏa mãn
DJ DB . Hạ JK vuông góc với BF. G là trung điểm AB.
a) IG ^ GD, IE ^ ED .
b) IGED nội tiếp.
c) JKF là tam giác vuông cân.
d) DK là phân giác góc JDF .
A

I
G

F
H

B

đó –JFK = –JCB = –JBC = 450 . Ta có điều phải chứng minh.
d) K và D cùng thuộc trung trực của JF nên ta có điều phải chứng
minh.

J

E

D

a) IG // BH và GD // AC mặt khác BH ^ AC  GI ^ GD .
–IEH = –IHE = –DHC = 900 - –ECD = 900 - –DEC do đó
ta có IE ^ ED .
b) Từ câu a) ta có câu b).
c) B , E , J , F ,C cùng nằm trên đường tròn tâm D đường kính BC do

K
C

Bài 10: Hình vuông ABCD. N là trung điểm CD. Đường tròn đường kính BN cắt AC tại E. BE cắt AD
tại M, MN cắt đường tròn tại I.


a)
b)

c)
d)
e)

A

MDNE nội tiếp.
BEN là tam giác vuông cân.
MF , NE , BI đồng quy tại H.
BI BC .
FEI là tam giác vuông.

Q

B
E

M
H
I

D

F

N

a) Học sinh tự chứng minh.
b) EBCN là tứ giác nội tiếp nên –EBN = –ECN = 450
vậy ta có điều phải chứng minh.

c) MF , NE , BI là ba đường cao nên đồng quy.
d) –IBN = –NEC = –NBC do đó DIBN = DCBN do
đó ta có điều phải chứng minh.
e) –EIB = –ECB = 450 , –FIB = –FNE = –FCB = 450
do đó ta có điều phải chứng minh.

C

Bài 11: Tam giác vuông ABC có đường cao AH. Đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB và AC tại D
và E. Gọi M là trung điểm BC.
a) D, H , E thẳng hàng.
b) AM ^ DE .
A
ÏÔ–A HD = 1800 - 2–HA B
a) Ì
 D, H , E thẳng hàng.
0
–
A
HE
=
180
2
–
HA
E
ÔÓ
E
F
1

b) –A EH = –A HD = 900 - –HA B = –A BH
2
B
C
H
M
€ –A EH = 900 - –MCA = 900 - –MA C .
Ta có điều phải chứng minh.
D
Bài 12: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I.
Hạ các đường DG , DM , DJ , DK vuông góc với các cạnh tương
ứng. Chứng minh rằng:
a) G , M , J , K thẳng hàng.
b) JM // EF.
c) IA ^ JM .

A

E

F
H
G

B

J

M

K

I
D

C

0
Ï
Ô–GMB = –GDB = 90 - –A BD
a) Ì
do đó G , M , J thẳng hàng. Tương tự, ta có được điều phải
–
DMJ
=
–
DHJ
=
–
A
DG
=
–
A
BD
Ô
Ó
chứng minh.
b) –HJM = –HDM = –HAE = –HFE do đó JM // EF.

c) FE ^ IA  IA ^ JM .
Bài 13: Trực tâm H. Gọi M và N là các điểm đối xứng của D qua AB và AC.
a) M , F , E , N thẳng hàng.
b) GI // EF.
c) A, F , D,C , N cùng thuộc một đường tròn.
d) H là tâm nội tiếp của tam giác DEF.
A
Ï
Ô–MFG = –BFD = –BCA
a) Ì
ta có điều phải
–CFE = –CBE = 900 - –BCA
N
Ô
Ó
chứng minh.
E
b) Học sinh tự chứng minh.
F
I
H
c) –DAN = 2–DAI = 2–DFC = –DFN ta có điều
M
phải chứng minh.
d) Học sinh tự chứng minh.
G
B

D

C

Bài 14: Hình vuông ABCD. E bất kỳ trên BC.
Dựng AF vuông góc AE. I là trung điểm EF. Kẻ
EG // CD. EF cắt AD tại J.
a) AECF nội tiếp.
b) AEF là tam giác vuông cân.
FA 2 FK .FC .
EGFK là hình thoi.
EK = BE + DK .
Tam giác CKE có chu vi bằng nửa chu vi
ABCD.
g) GJK là tam giác vuông cân.

c)
d)
e)
f)

F

J

A
G

I

B

E

D
K

C

a) Học sinh tự chứng minh.
b) DABE = DADF do đó ta có điều phải chứng minh.
c) FA 2 = FI .FE = FK .FC .
d) –GEI = –KFE = –KEI do đó ta có điều phải chứng minh.
e) EK = EG = FK = FD + DK = BE + DK .
1
f) C DCKE = EC + CK + EK = BE + DK + CK + EC = C A BCD .
2
g) Học sinh tự chứng minh.
Bài 15: Tâm nội tiếp là I. Đường tròn nội tiếp tiếp xúc các cạnh tại D và E. Đường thẳng qua I vuông


góc AI cắt các cạnh tại F và G. BI cắt DE tại H. M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
a) DFIB ∽ DGCI .
b)
c)
d)
e)

BF .CG = IF 2 = IG 2 .
IHEC nội tiếp.
BH ^ HC .

MH // AB.

A

D

H

F
I

B

a) –GIC = –A IC - 900 = 1800 -

M

A C
B
- - 900 = .
2 2
2

Ta có điều phải chứng minh.
b) Từ câu a) ta có câu b).
B C
A
c) –HIC = –DIB = + = 900 - = –HEA ta có
2 2
2

điều phải chứng minh.
d) Từ câu c) ta có câu d).
e) –
do đó ta có điều phải
=–
=
chứng minh.

E
G

C