bai tap phuong trinh mu BPT MU LOG

Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT


Bài 1. Giải các phương trình:
a) x 2 x = x(3 − x) + 2( 2 x − 1)
b) 3 x −1 x 2 + x(3 x − 2 x ) = 2(2 x − 3 x −1 )

Giải
a)Ta có:
2 x x = x ( 3 − x ) + 2 ( 2 x − 1)
⇔ ( x − 2 ) 2 x = − ( x − 1) ( x − 2 )
⇔ ( x − 2 ) ( 2 x + x − 1) = 0
x = 2
⇔ x
 2 = 1 − x ( *)

Xét hàm số f ( x) = 2 x là hàm đồng biến ∀x ∈ R
g ( x) = 1 − x là hàm nghịch biến ∀x ∈ R

Ta có f (0) = g (0) nên x = 0 là nghiệm duy nhất của (*).
Vậy: phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 0 hoặc x = 2

(

)

(

3x −1 x 2 + x 3x − 2 x = 2 2 x − 3x −1

b)

)

3x 2 x
2
x + 3 x − 2 x x = 2.2 x − 3x
3
3
2
1
⇔ 3x  x 2 + x + ÷ = 2 x ( x + 2 )
3
3
⇔

3x
⇔ ( x + 1) ( x + 2 ) = 2 x ( x + 2 )
3
 3x

⇔ ( x + 2 )  ( x + 1) − 2 x  = 0
3

x + 2 = 0
⇔  3x
 ( x + 1) − 2 x = 0
 3
 x = −2


⇔  2  x x + 1
=
(**)
 3 ÷
3


Giải (**)

- 10 -


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit
x

2
 
x +1
g ( x) =
luôn đồng biến trên R
3
Ta có: f (1) = g (1) nên x = 1 là nghiệm duy nhất của (**)
Vậy: phương trình đã cho có 2 nghiệm x = −2 hoặc x = 1

Xét hàm số f ( x) =  ÷ luôn nghịch biến trên R
3

Bài 2. Giải các phương trình:
a) (cos 72 0 ) x + (cos 36 0 ) x = 3.2 − x (1)

(
c) (
b)

) +(
3) +(

2− 3
2−

x

)
3)

2+ 3

x

2+

x

x

=2
= 2x

Giải

a)Ta có: 72 0 + 108 0 = 180 0
⇔ 72 0 + 3.36 0 = 180 0
⇔ 72 0 = 180 0 - 3.36 0
⇔ cos72 0 = - cos3. 36 0
⇔ 2 cos 2 36 0 - 1= - ( 4 cos 3 36 0 - 3. cos 36 0 )
⇔ 4 cos 3 36 0 + 2 cos 2 36 0 - 3 cos 36 0 - 1 = 0
⇔ ( cos 36 0 + 1)(4 cos 2 36 0 - 2 cos 36 0 - 1) = 0
cos 36 0 = −1
(l)
⇔ 
2
0
0
(2)
4 cos 36 − 2 cos 36 − 1 = 0

1+ 5
0
2
cos36 =
1+ 5 
5 −1
4
0
⇒ cos72 = 2 
−1 =
Từ (2) ta có: 
÷
÷
4


1− 5
 4 
0
(l )
cos36 =

4

Phương trình (1) trở thành :
x

x

x

x

 5 −1
1+ 5 
−x

 +

 4 
 4  = 3. 2





 5 −1
1+ 5 
 +
 =3
⇔
 2 
 2 





(3)

x

 5 −1
 (t > 0)
Đặt : t = 

2



- 11 -


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit
x

 5 −1   1 + 5 
1+ 5 
1

 =
⇒
Ta có : 
.
=
1
÷

÷
÷

÷


t
 2   2 
 2 

Khi đó phương trình (3) trở thành :
 3+ 5
t =
1
2
2
t + = 3 ⇔ t - 3t + 1 = 0 ⇔ 
t

 3− 5
t =
2


• Với t =

3+ 5
ta có phương trình :
2
2

x

 5 −1
 5 −1
6 + 2 5  5 +1 

 = 3+ 5 =


=
=

÷
 2 
 2 
 2 ÷
4
2







⇔ x = −2

• Với t =

3− 5
ta có phương trình:
2
2

x

 5 −1
6 − 2 5  5 −1 
3− 5


=
= 
÷
 2  =
÷
4
2



 2 
⇔x=2

Vậy: phương trình có 2 nghiệm là x = −2 hoặc x = 2

(

b)

2− 3

Đặt t =
⇒

(

(

) (
x

+

2− 3

2+ 3

2+ 3

)

x

)

x

= 2 (1)

(t>0)

) = 1t
x

Phương trình (1) trở thành:
1
t+ =2
t
⇔ t 2 − 2t + 1 = 0
⇔ t =1

Với t = 1 ta có:
( 2 − 3 ) x =1 ⇔ x =0

- 12 -

−2

Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Vậy: nghiệm của phương trình là x =0
c)

(

2− 3

) (
x

+

2+ 3

)

x

x

= 2x
x

 2− 3   2+ 3 
÷ +
÷ =1
⇔


÷ 
÷
2
2

 

x

x

 2− 3   2+ 3 
÷ +
÷
Xét hàm f ( x) = 

÷ 
÷
2
2

 

f ( x) là hàm giảm trên R.

Ta có: f(2) =1 nên phương trình f(x) =1 có nghiệm duy nhất là x=2.
Vậy: phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 2.
Bài 3. Giải phương trình: 4 x

2

−3 x+ 2

+ 4x

2

+6 x+5

= 42x

2

+3 x +7

+1

Giải

4x

2 −3 x + 2

+ 4x

⇔ 4x

2 −3 x + 2

⇔ 4x

2 −3 x + 2

(

⇔ 4x

(
(

2 + 6 x +5

+ 4x

(

2 +6 x +5

. 1 − 4x

2 +6 x +5

= 4x

2 +6 x+5

2 +3 x + 7

2 −3 x + 2

+1

.4 x

2 +6 x+5

+1

) + ( 4 − 1) = 0
− 1) = 0
x2 + 6 x + 5

)(
− 1) = 0
 x + 6x + 5 = 0
⇔
 x − 3x + 2 = 0
− 1) = 0

− 1 4x

 4 x2 + 6 x +5
⇔ 2
 x −3 x + 2
 4
 x = ±1
⇔  x = 2
 x = −5

= 42 x

2 −3 x + 2

2
2

 x = ±1

Vậy: nghiệm của phương trình là  x = 2
 x = −5

Bài 4. Giải phương trình:

x log 2 9 = x 2 .3 log2 x − x log 2 3
Giải

Ta có:
- 13 -


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit

x log2 9 = x 2 .3log 2 x − x log2 3
⇔ 32 log2 x = x 2 3log2 x − 3log2 x

Đặt t = log 2 x ⇒ x= 2 t
Khi đó, ta được :
32t = 22t .3t − 3t
⇔ 32t + 3t = 22t.3t
⇔ 9t + 3t = ( 4.3)

t

t

t

9
3
⇔  ÷ +  ÷ = 1
 12   12 
t

t

3 1
 ÷ +  ÷ = 1 (*)
4 4

⇔

t

t

3 1
Xét hàm số f (t ) =  ÷ +  ÷ luôn nghịch biến trên R
4  4

Ta có : f (1) = 1 nên t = 1 là nghiệm duy nhất của (*)
Khi t = 1 ta có : x = 2

Vậy: phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 1
Bài 5. Giải phương trình: 2 x − 21− x + 3x − 31− x + 5 x −1 − 5− x = 0
Giải
Ta có : 2 x − 21− x + 3x − 31− x + 5 x −1 − 5− x = 0

⇔ 2 x + 3x − 5− x = 21− x + 31− x − 5− (1− x )
Xét hàm số

f (t ) = 2t + 3t − 5− t

Ta có: f ' (t ) = 2t ln 2 + 3t ln 3 + 5t ln 5 > 0
Vậy

f(t) là hàm số đồng biến trên R

Từ (*) ta có : f(x)=f(1-x)
Mà f(t) là hàm số đồng biến nên ta được:

x = 1− x
⇔x=

1
là nghiệm duy nhất của phương trình.
2

- 14 -

(*)

Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Bài 6. Giải các phương trình:
a) 8 − x.2 x + 23− x − x = 0
b) 3.4 + (3 x − 10).2 + 3 − x = 0
x

x

Giải
a)

8 − x.2 x + 23− x − x = 0

8
−x=0
2x
8.2 x − x.22 x + 8 − x.2 x
⇔
=0
2x
⇔ 8(2 x + 1) − x.2 x (2 x + 1) = 0
⇔ 8 − x.2 x +

⇔ (2 x + 1)(8 − x.2 x ) = 0
⇔ 8 − x.2 x = 0
⇔ x.2 x = 8
Ta có

x=0

(*)
không là nghiệm của phương trình

Chia 2 vế phương trình cho x ta được:

8
x
x
Xét : f ( x ) = 2 luôn đồng biến trên R \ { 0}
8
g ( x ) = luôn nghịch biến trên R \ { 0}
x
2x =

Ta có: f(2) = g(2)
Vậy: x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
b) 3.4 x + (3 x − 10).2 x + 3 − x = 0
 Cách 1:

3.4 x + (3 x − 10).2 x + 3 − x = 0
⇔ 3.4 x + 3 x.2 x − 10.2 x + 3 − x = 0

- 15 -


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit

⇔ (3.4 x − 10.2 x + 3) + (3 x.2 x − x) = 0
1


⇔ 3(2 x − 3)  2 x − ÷+ x (3.2 x − 1) = 0
3

⇔ (2 x − 3)(3.2 x − 1) + x(3.2 x − 1) = 0
⇔ (3.2 x − 1)(2 x + x − 3) = 0

(3.2 x − 1) = 0 (1)
⇔ x
 2 + x − 3 = 0 (2)
 Giải (1): 3.2 x − 1 = 0

⇔ 2x =

1
3

⇔ x = log 2
 Giải (2):

1
= − log 2 3
3

2x + x − 3 = 0

⇔ 2x = −x + 3
Xét f ( x) = 2 x luôn đồng biến trên R

g ( x) = − x + 2 luôn nghịch biến trên R

Ta có f (1) = g (1)
Do đó: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (2)
Vậy: phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = − log 2 3, x = 1
 Cách 2:

3.4 x + (3 x − 10).2 x + 3 − x = 0
Đặt t = 2 x (t > 0) , ta có pt: 3.t 2 + (3 x − 10).t + 3 − x = 0
Ta có: ∆ = (3x − 10) 2 − 12(3 − x)

= 9 x 2 − 48 x + 64
= (3 x − 8)2

t = − x + 3
Khi đó: (**) ⇔ 
t = 1
 3

- 16 -

(**)


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit

1
1
x
, ta có phương trình: 2 =
3
3

• Với t =

1
= − log 2 3
3
− x + 3 , ta có pt: 2 x = − x + 3 (3)

⇔ x = log 2
• Với

t=

Xét f ( x) = 2 x luôn đồng biến trên R

g ( x) = − x + 2 luôn nghịch biến trên

R

Ta có f (1) = g (1)
Do đó: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (3)
Vậy: phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = − log 2 3, x = 1
Bài 7. Giải các phương trình:
x

1
a)   = − x
2
1 2
x

b) 3 = x
3
c)

2−x = x
Giải
x

1
a) Gọi y =  ÷ là ( C ) và y = − x là ( C1 )
2
TXĐ: D = R
x

1
Khi đó nghiệm của phương trình  ÷ = − x là hoành độ giao điểm của hai
2
đồ thị hàm số ( C ) và ( C1 )

x

1
y = ÷
2

y = −x
- 17 -


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit

x

1
Nhìn vào đồ thị suy ra phương trình  ÷ = − x vô nghiệm
2
1 2
x
b) 3 = x
(1)
3
TXĐ: D = R

Vẽ đồ thị của hàm số

1
3

y = 3x và y = x 2 trên cùng hệ trục tọa độ

Khi đó nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C) và (C ’)
y

y = 3x

y=

1 2
x
3

x

Dựa vào đồ thị ta thấy chỉ có một giao điểm có hoành độ x = −1 .
Suy ra x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)
Vậy: nghiệm của phương trình là T={-1}
c)

2− x = x
x

1

1
⇔  ÷ = x2
2
TXĐ : D = [ 0,+∞ )

(*)

 Cách 1 :

1
Xét x = , ta có : VT = VP =
2
Vậy x =

1

 1 2

 
2

1
là nghiệm của pt (*)
2

1
 Xét x > , ta có :
2

x > 2−x

x>

1
2

⇔

1
x > 
2

( sai )

- 18 -

1
2

1

⇔

2

1
1
x >  > 
2
2

x

⇔


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit

1
không là nghiệm của phương trình.
2

Vậy: x >

1
 Xét x < , ta có : x <
2
1

2

⇔

1
2

1

 1 2
x < 
2

⇔

x

− x ( sai )
1
1
x <  <  ⇔ x < 2
2
2
1
Vậy: x <
không là nghiệm của phương trình.
2

Kết luận: phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =

1
2

 Cách 2 :
Ta nhận thấy x =

1
là nghiệm của (1).
2
x

1
Vẽ đồ thị của hàm số f(x) =   và g(x) = x (x ≥ 0).
2
x
1
f ( x) =  ÷
2

g ( x) = x

Dựa vào đồ thị ta suy ra x =

1
là nghiệm duy nhất của (1).
2

Bài 8. Giải các phương trình:
x

a) x

= xx

b) 2 x = sin x 2
c) 3

sin x

= cos x
Giải

a)

x

x

= xx

(*)

Điều kiện: x > 0

- 19 -


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit

(*) ⇔

x

x

=x

x
2

 x = 1 là một nghiệm của phương trình (*)

x=

 x ≠ 1 , (*) ⇔

x > 0

⇔
x2
x
=


4

x
2
x > 0


⇔  x = 0
 x = 4


⇔

x=4

Vậy: nghiệm của phương trình là x = 1 và x = 4

| x |≥ 0 ⇒ 2| x| ≥ 20 = 1

b) Ta có:

Điều kiện: x ≥ 0
Dấu “=” xảy ra khi |x| = 0

(1)

Ta có: | s inx 2 |≤ 1. Dấu “=” xảy ra khi sinx2 = ±1
Từ (1) và (2) suy ra

| x |= 0

2
s inx = ±1

(vô nghiệm)

Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Ta có :

3

sin x

= cos x (1)

Điều kiện: x ≥ 0
Ta có: sin x ≥ 0 ⇒ 3

sin x

≥ 1 và cos x ≤ 1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi sin x = 0 và cos x = 1
sin x = 0
⇔
 cos x = 1
Khi đó: (1)
sin x = 0
⇔
sin x = 0

 x = kπ
⇔
sin x = 0
 x = k 2π 2 (k ∈ N )
⇒
 x = lπ (l ∈ Z )

⇔ l = k 2π ⇒ k = 0(k ∈ Z ) ⇔ x = 0
- 20 -

(2)


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Vậy: nghiệm của pt (1) là x = 0
Bài 9. Giải và biện luận theo tham số a phương trình:

a ( 2 x − 2) + 1 = 1 − 2 x
Giải

(

)

a 2x − 2 + 1 = 1 − 2x
1 − 2 x ≥ 0
⇔
x
x
a 2 − 2 + 1 = 1 − 2

(

)

(

)

2

 x ≤ 0 (*)
⇔ 2
t − ( a + 2 ) t + 2a = 0 (**)

Với t = 2 x , t > 0
Giải phương trình ( **) ta có

∆ = ( a + 2 ) − 8a = a 2 − 4a + 4 = ( a − 2 ) ≥ 0 ∀a ∈ R
2

2

a = 2 ⇒ ∆ = 0 nên phương trình ( **) có nghiệm kép
−b a + 2
t=
=
=2
2a
2
Khi đó 2 x = 2 ⇒ x = 1 (loại)



a ≠ 2 suy ra ∆ > 0 nên ( **) có 2 nghiệm phân biệt



t=
Suy ra

a+2m

( a − 2)

2

2

t = a
t = 2


 Với t = a ⇒ 2 x = a
⇒ x = log 2 a

So sánh với điều kiện ( *) ta có


log 2 a ≤ 0 ⇔ 0 < a ≤ 1
Với t = 2 ⇒ 2 x = a

⇒ x = 1 (loại)
Kết luận :
+ 0 < a ≤ 1 thì phương trình có 1 nghiệm x = log 2 a

+ a ∉ ( 0,1) thì phương trình đã cho vô nghiệm.

- 21 -


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Bài 10. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

1
 
 3

x2 −2 x

= m2 + m +1

(1)
Giải

Điều kiện: m 2 + m +1 > 0 ∀m ∈¡
2
2
(1) ⇔ x − 2 x = log 1 ( m + m +1)

(2)

3

Xét hàm số

f ( x) = x 2 − 2 x
 f1 ( x) = x 2 − 2 x, ∀x ∈ ( −∞, 0] ∪ [ 2, +∞ )
⇔
2
 f 2 ( x) = − x + 2 x, ∀x ∈ ( 0, 2 )

Ta có :
f '1 ( x ) = 2 x − 2

f '1 ( x ) = 0 ⇔ x = 1

f '2 ( x ) = −2 x + 2
f '2 ( x ) = 0 ⇔ x =1
Bảng biến thiên
−∞

x
f '1 ( x )

−

f '2 ( x )

+

f ( x)

0

+∞

−

1
0

+

+

+

0

−

−

+∞

2

+∞

1

0

0

0 < log 1 ( m 2 + m + 1) < 1
3

log 1 ( m 2 + m + 1) > 0
 3
⇔
2
log 1 ( m + m + 1) < 1
 3
m2 + m + 1 < 1

⇔ 2
1
m + m + 1 >
3

- 22 -


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit

m 2 +m < 0

⇔ 2
2
m +m + > 0
3

⇔−1 < m < 0
Vậy: với −1 < m < 0 thì phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Bài 11. Giải các phương trình:
2
a ) 1 + 2 log x 2.log 4 (10 − x ) =
log 4 x
b) log 27 ( x 2 − 5 x + 6) 3 = log

x −1
+ log 9 ( x − 3) 2
2

3

Giải
a) 1+ 2log x 2 .log 4 (10 − x) =

2
log 4 x

(1)

0 < x ≠ 1
 x < 10

Điều kiện: 
(1) ⇔ 1+

log 4 (10 − x)
2
=
log 4 x

log 4 x

⇔ log 4 x + log 4 (10 − x) =2
⇔ log 4 [ x(10 − x)] =2
⇔ x(10-x)= 42
⇔ x2-10x+16=0
x = 2
⇔
x = 8

b) log 27 ( x 2 − 5 x + 6)3 = log

Điều kiện:

3

x −1
+ log 9 ( x − 3) 2
2

(*)

 x2 − 5x + 6 > 0
2 > x > 1

 x −1 > 0 ⇔ 
 x>3
 x−3 ≠ 0


Từ (*) ta được
log 3 ( x − 2)( x − 3) = log 3

x −1
+ log 3 x − 3
2

- 23 -


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit
1
⇔ log 3 ( x − 2)( x − 3) = log 3 ( x − 1) x − 3
2
1
⇔ ( x − 2)( x − 3) = ( x − 1) x − 3 (**)
2

 Trường hợp:
Từ (**) ta có

2>x>1

2( x − 2) = 1 − x

⇔x=

5
(nhận)
3

 Trường hợp:

x>3

Từ (**) ta được

2( x − 2) = x − 1
⇔ x = 3 (loại)

Vậy: phương trình có nghiệm x =

5
3

Bài 12. Giải các phương trình:
a ) lg 2 + lg(4 − x −1 + 9) = 1 + lg(2 − x −1 + 1)
b) log 2 (9 x − 2 + 7) = 2 + log 2 (3 x −2 + 1)

Giải
a) lg 2 + lg(4− x −1 + 9) = 1 + lg(2− x −1 + 1)

(2)

(2) ⇔ 2 ( 4− x −1 + 9 ) = 10 ( 2− x −1 + 1)
2
⇔ 2 ( 2− x −1 ) + 9  = 10 ( 2− x −1 + 1) (*)



Đặt t = 2− x −1 , t > 0

( *) ⇔ 2 ( t 2 + 9 ) = 10 ( t + 1)
⇔ 2t 2 − 10t + 8 = 0
t = 1
⇔
t = 4

• Với t = 1
⇔ 2− x −1 = 1
⇔ − x − 1 = 0 ⇒ x = −1

• Với t = 4
⇔ 2− x −1 = 4
⇔ − x − 1 = 2 ⇒ x = −3

- 24 -


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Vậy: phương trình đã cho có nghiệm là x = -1 và x = -3
x −2
x −2
b) log 2 (9 + 7) = 2 + log 2 (3 + 1)

⇔ log 2 (9 x −2 + 7) = log 2 4 + log 2 (3 x − 2 + 1)
⇔ log 2 (9 x −2 + 7) = log 2 4(3x −2 + 1)
⇔ 9 x − 2 + 7 = 4(3x −2 + 1)
⇔ 9 x − 2 + 7 = 4.3x − 2 + 4 (*)

Đặt t = 3x− 2 (t >0), khi đó:
⇔ t 2 + 7 = 4.t + 4
⇔ t 2 − 4.t + 3 = 0
t = 1
⇔
(nhận)
t = 3

• Với t = 1 , ta có phương trình: 3x− 2 = 1
⇔ x−2=0
⇔x=2

• Với t = 3 , ta có phương trình: 3x−2 = 3
⇔ x − 2 =1
⇔ x=3

Vậy: phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1, x = 3
Bài 13. Giải các phương trình:
a ) lg 4 ( x − 1) 2 + lg 2 ( x − 1) 3 = 25
2
2
b) log 3 x + 7 (4 x + 12 x + 9) + log 2 x +3 (6 x + 23x + 21) = 4

c) (x + 2) log 3 ( x + 1) + 4(x + 1) log 3 ( x + 1) - 16 = 0
2

Giải
a) lg ( x − 1) + lg ( x − 1) = 25 ( 1)
4

2

2

3

ĐK: x − 1 > 0 ⇔ x > 1
4
2
(1) ⇔ 16 lg ( x − 1) + 9 lg ( x − 1) = 25

( 2)

2
Đặt t = lg ( x − 1) , t ≥ 0

Khi đó
(2) ⇔ 16t 2 + 9t − 25 = 0

- 25 -


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit
( n)
t = 1

⇔
t = − 25 (l )
16


2
Với t = 1 ⇔ lg ( x − 1) = 1

 x − 1 = 10
lg ( x − 1) = 1
⇔
⇔
 x −1 = 1
lg
x
−
1
=
−
1
(
)

10

 x = 11
⇔
 x = 11
10


(n )
( n)

11

10
2
2
b) log 3 x +7 (4 x +12 x +9) + log 2 x +3 (6 x + 23 x + 21) = 4

Vậy: phương trình có nghiệm là x = 11 hoặc x =

⇔log 3 x +7 (2 x + 3) 2 + log 2 x +3 (2 x + 3)(3 x + 7) = 4 (*)
−7

x > 3

 0 < 3 x + 7 ≠ 1  x ≠ −2
⇔
Điều kiện: 
0 < 2 x + 3 ≠ 1  x > −3

2
 x ≠ −1


Phương trình (*) tương đương
2 log 3 x +7 (2 x +3) + log 2 x +3 (3 x + 7) +1 = 4
⇔2 log 3 x +7 (2 x + 3) + log 2 x +3 (3 x + 7) −3 = 0(*)
1
Đặt t = log 3 x +7 (2 x + 3) ⇒ log 2 x +3 (3 x + 7) = . Khi đó:
t

1
(*) ⇔2t + −3 = 0

t

⇔2t 2 −3t +1 = 0
t = 1
⇔ 1
t =
 2
log 3 x + 7 (2 x + 3) = 1
⇔
log 3 x + 7 (2 x + 3) = 1

2

- 26 -


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit

 2 x + 3 = 3x + 7
⇔
2 x + 3 = 3x + 7
x = −4
⇔ 2
4 x +9 x + 2 = 0

x = −4

⇔x = −2

1

x = −
4


(l )
(l )
( n)

Vậy: phương trình đã cho có 1 nghiệm là: x = −

1
4

c) (x + 2) log 32 ( x + 1) + 4(x + 1) log 3 ( x + 1) - 16 = 0 (*)
Điều kiện: D = ( − 1,+∞ )
Đặt t = log 3 ( x + 1)
Phương trình (*) trở thành : (x + 2)t 2 + 4(x + 1)t – 16 = 0
∆' = 4(x + 1) 2 + 16(x + 2)

= 4x 2 + 8x + 4 + 16x +32
= 4x 2 + 24x + 36
= (2x + 6) 2 ≥ 0 ∀x ∈ D .
+ ∆' =0 ⇒ x = -3 ( loại).
4

t
=

+ ∆' >0: pt có 2 nghiệm phân biệt:  x + 2
t = −4

 t = -4 ⇒ log 3 ( x + 1) = −4 ⇔ x + 1 = 3 −4 =
⇔x=−

t=

1
81

80
(nhận).
81

4
4
⇒ log 3 ( x + 1) =
(1)
x+2
x+2

Ta thấy x = 2 là nghiệm của phương trình (1).
Đặt h(x) = log 3 ( x + 1) và g(x) =
Ta có: h’(x) =

4
.
x+2

1
>0 ∀x ∈ (−1,+∞) ⇒ h(x) đồng biến trên (-1,+ ∞ ).

( x + 1) ln 3

- 27 -


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit

g’(x) =

−4
<0 ∀x ∈ (−1,+∞) ⇒ g(x) nghịch biến trên (-1,+ ∞ ).
( x + 2) 2

Vậy: phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 2.
Kết luận: Phương trình đã cho có 2 nghiệm : x = Bài 14. Giải các phương trình sau:
a ) log 3 x = log 2 (1 + x )
b) 2log3(cotx) = log2(cosx) (1)
Giải
a) log 3 x = log 2 (1 + x ) (1)
Điều kiện : x > 0
t
Đặt t = log 3 x ⇔ x = 3
(1) ⇔ t = log 2 (1 + 3t )
⇔ 1 + 3t = 2t

⇔ 2t − 3t − 1 = 0

(*)

Ta thấy t = 2 là một nghiệm của phương trình

Đặt
f ( x) = 2t − 3t − 1
3t ln 3
>0
2
Nên (*) có nghiệm là t = 2
 t =2⇒ x =9
⇒ f ′( x) = 2t ln 2 −

Vậy: nghiệm của phương trình là x = 9
b) 2log3(cotx) = log2(cosx) (1)
s inx > 0
cos x > 0

Điều kiện: 

(1) ⇔ log 3 (cot 2 x ) = log 2 (cos x)
Đặt t = log2(cosx) ⇒ cos x = 2t
⇒ cos 2 x = 4t

Khi đó ta có phương trình log 3

4t
=t
1 − 4t

4t
⇔
= 3t
t

1− 4
⇔ 4t + 12t = 3t
4
⇔ ( ) t + 4t = 1
3

(2)

- 28 -

80
hoặc x = 2.
81


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Ta thấy t = -1 là nghiệm duy nhất của phương trình (2)
( Vì VT là một hàm đồng biến trên R và VP là một hàm hằng)
Với t = -1 ⇒ log 2 (cos x) = −1
⇒ cos x =

1
2

⇒x=±

π
+ k 2π , k ∈ Z
3

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình (1) là x =

π
+ k 2π , k ∈ Z
3

Bài 15. Giải và biện luận theo tham số a phương trình:
1
log x −1 x = log x −1 ( ax − a + 1)
(1)
2
Giải
x > 1

(1) ⇔  x ≠ 2

2
log x −1 x = log x −1 (ax − a + 1)
 x 2 = ax − a + 1
⇔
 x > 1, x ≠ 2
1 < x ≠ 2

⇔  x = 1
 x = a − 1


 x 2 − ax + a − 1 = 0
⇔

1 < x ≠ 2

1 < x ≠ 2
⇔
x = a − 1

Để x = a -1 là nghiệm của (1) thì phải thỏa 1 < a – 1 ≠ 2
Vậy: Nếu a ≤ 2 hoặc a = 3 thì (1) vô nghiệm.
Nếu 2 < a ≠ 3 thì phương trình (1) có nghiệm x = a – 1.
Bài 16. Cho phương trình 9 x − m.3 x + 2m + 1 = 0 (*) xác định m để:
a) Phương trình có nghiệm.
b) Phương trình có nghiệm duy nhất.
Giải
Đặt t = 3x

(t>0)

(*) ⇒ t 2 − mt + 2m + 1 = 0 (1)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
Giải (1)
∆ = m 2 − 4(2m + 1) = m 2 − 8m − 4

- 29 -


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Để phương trình (*) có nghiệm thì phương trình (1) phải có nghiệm t > 0
∆ ≥ 0
S


⇔ >0
2
 P > 0

m 2 − 8m − 4 ≥ 0

m
⇔ >0
2
1 > 0

(

⇔ m ∈ 4 + 2 5; +∞

(

(

) (

 −∞; 4 − 2 5 ∪ 4 + 2 5; +∞
⇔
m > 0

)

)
)

Vậy: khi m ∈ 4 + 2 5; +∞ thì phương trình có nghiệm
b) Phương trình có nghiệm duy nhất
Để phương trình (*) có nghiệm duy nhất thì phương trình (1) phải có nghiệm
duy nhất lớn hơn 0
m = 4 − 2 5

∆ = 0
⇔
⇔   m = 4 + 2 5
a. f (0) > 0

 2m + 1 > 0

m = 4 − 2 5


⇔   m = 4 + 2 5

−1
m >
2


m = 4 − 2 5
⇔
 m = 4 + 2 5

Vậy: khi m = 4 − 2 5 hoặc m = 4 + 2 5 thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 17. Xác định m để phương trình log

nghiệm duy nhất:

5 +2

( x 2 + mx + m + 1) + log

Giải
log 5 + 2 ( x + mx + m + 1) + log 5 − 2 x = 0 (1)
2

⇔ log

5 +2

( x 2 + mx + m + 1) − log

5 +2

⇔ log

5 +2

( x 2 + mx + m + 1) = log

5 +2

x=0
x

x > 0

⇔ 2
 x + mx + m + 1 = x
x > 0
⇔ 2
 x + (m − 1) x + m + 1 = 0 (2)

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
∆ = ( m − 1) 2 − 4( m + 1) = 0

* TH1: (2) có nghiệm kép dương ⇔ 
− ( m − 1)
>0
x =

2

- 30 -

5 −2

x = 0 có


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit
m = 3 − 2 3

⇔   m = 3 + 2 3

m < 1
⇔ m = 3− 2 3

* TH2: (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa x1 <0 ∆ = m 2 − 6m − 3 > 0
⇔
P = m + 1 < 0
m < 3 − 2 3, m > 3 + 2 3
⇔
⇔ m < −1
m < −1

* TH3: (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa x1=0 ∆ > 0

⇔ S > 0
P = 0


m < 3 − 2 3, m > 3 + 2 3

⇔ 1 − m > 0
⇔ m < 3− 2 3
m + 1 = 0


Vậy: với m < 3 − 2 3 , m <-1, m = 3 − 2 3 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Bài 18. Cho phương trình log 3 2 x + log 3 2 x + 1 − 2m − 1 = 0 : (1)
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Xác định m để phương trình có nghiệm x ∈ [1;3 3 ]
Giải

a) Điều kiện: x>0
Khi m=2 , phương trình (1) trở thành:
log 32 x + log 32 x + 1 − 5 = 0

(2)

Đặt t= log 32 x + 1 , ( t ≥ 1 )
t = 2 (nhận)
Khi đó (2) trở thành t + t – 6 = 0 ⇔ 
(loại)
 t = −3
2

Với t = 2 ⇒ 2 = log 32 x + 1

x = 3 3
⇔ log 3 x = 3 ⇔ 
 x = 3− 3
2

Vậy: với m = 2 phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 3
3
b) Đặt t = log 32 x + 1 . Khi x ∈ 1;3  thì 1 ≤ t ≤ 2

(1) trở thành t 2 + t − 2 − 2m = 0 ⇔ t 2 + t − 2 = 2m
- 31 -

3

và x = 3−

3


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Đặt: f(t)=t2 + t – 2
⇒ f ' (t ) = 2t + 1 = 0 . Khi đó: t = −

t
f’(t)
f(t)

1
|

1
2
2
|
4

+

0
Vì 1 ≤ t ≤ 2 nên từ đồ thị ta suy ra 0 ≤ f (t ) ≤ 4 ⇔ 0 ≤ 2m ≤ 4 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2
3
Vậy với 0 ≤ m ≤ 2 thì phương trình có nghiệm x ∈ 1,3 

Bài 19. Giải và biện luận phương trình:

2
2
3 x + 2 mx + 2 − 3 2 x + 4 mx+ m + 2 = x 2 + 2mx + m

(1)

Giải
2

Đặt u = x + 2mx + 2m
v = 2x2 + 4mx + m + 2
⇒ v − u = x 2 + 2mx + m

(1) ⇒ 3 u −3 v = v − u
⇔ 3 u +u = 3 v + v

Xét hàm f (u ) = 3u + u
f’(u) = 3 u ln3+1>0 ⇒ f(u) là hàm đồng biến trên R
Tương tự hàm f (v) = 3v + v cũng đồng biến trên R
Nên ta được u = v
Khi đó: x2 + 2mx + 2 = 2x2 + 4mx + m + 2
⇔ x2 + 2mx + m = 0

(2)

∆ ' = m 2 − m = m(m − 1)
 nếu ∆ ’< 0 ⇔ m ∈ (−∞;1) thì (1) vô nghiệm
m = 0
 nếu ∆ ’= 0 ⇔ 
m = 1

• Với m = 0 , phương trình (2) ⇔ x 2 = 0 ⇔ x = 0
• Với m = 1 , phương trình (2) ⇔ x 2 + 2 x + 1 = 0 ⇔ x = −1

- 32 -


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit
 x = −m − m2 − m
 nếu ∆ ’>0 ⇔ m ∈ (−∞;0) ∪ (1;+∞) thì 
 x = − m + m 2 − m

Bài 20. Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [ 32;+∞]
(log 2 x ) 2 + log 1 x 2 + 3 = m(log 4 x 2 − 3) (1)
2

Giải
Điều kiện:

x >0

(1) ⇔ (log 2 x) 2 − 2log 2 x + 3 = m(log 2 x − 3)
Đặt

t = log 2 x

(2)

đk: t ≥ 5

Phương trình (2) viết lại

(3)

t 2 − 2t + 3 = m(t − 3)

Để phương trình (1) có nghiệm x ∈ [ 32;+∞] thì phương trình (3) có nghiệm t ≥ 5
(3) ⇔ m =

t 2 − 2t + 3
t −3

Ta xét hai hàm số :
2
(d): y = m và (C): y = t − 2t + 3

t −3

Ta có y ' =

−2t
(t − 3) 2 t 2 − 2t + 3

Ta có bảng biến thiên
t -∞
0
y’
y

<0

khi t ≥ 5

+∞

5
3
2

1
Để phương trình có nghiệm thì 1 ≤ m ≤ 3 2

- 33 -


Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit

BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Bài 11. Giải các bất phương trình sau:
x−2

a) 5log3 x < 1
x
b) log x [log 3 (9 − 72)] ≤ 1
Giải
log3

a)

5
⇔5

log3

x −2
x

<1

x−2
x

< 50
x−2
⇔ log
<0
x
3
x−2
⇔ log
< log 31
x
3
x−2
 x < 0
 x < 1

⇔
⇔  x > 2 ⇔ x > 2
x
−
2


x > 0
>0

 x
b) log

x [log 3

9 x − 72 )]≤1

(1)

log 3 (9 x − 72) > 0
⇔ x > log 9 73
Điều kiện 
0
<
x
≠
1

x
(1) ⇔ log 3 (9 − 72) ≤ x
⇔ 9 x −72 ≤ 3 x

3 2 x − 3 x − 72 ≤ 0
Đặt t = 3 > 0
⇔

x

Khi đó ta được:
t 2 − t − 72 ≤ 0

⇒ −8 ≤ t ≤ 9

Kết hợp điều kiện

t >0⇒0⇒ −∞ < x ≤ 2

Vậy: bất phương trình có nghiệm x ∈ (−∞;2) .

- 34 -