sáng kiến kinh nghiệm hướng dẫn học viên (GDTX) ôn tập môn toán thi tốt nghiệp THPT quốc gia

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.8 MB, 74 trang )

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRUNG TÂM GDTX LONG THÀNH
Mã số: ................................
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC VIÊN (GDTX) ÔN TẬP MÔN TOÁN
THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: NGUYỄN VĂN HÒA
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học 
(Ghi rõ tên bộ môn)

- Lĩnh vực khác: ....................................................... 
(Ghi rõ tên lĩnh vực)

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
 Mô hình
 Đĩa CD (DVD)
 Phim ảnh  Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2015 - 2016

1

BM02-LLKHSKKN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
––––––––––––––––––
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Nguyễn Văn Hòa
2. Ngày tháng năm sinh: 09/10/1982
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: Số 287, khu 5, ấp 8, An Phước, Long Thành, Đồng Nai
5. Điện thoại:

(CQ); ĐTDĐ: 0988 387 047

6. Fax:

E-mail:

7. Chức vụ: Bí thư Chi bộ, Phó Giám đốc.
8. Nhiệm vụ được giao (quản lý, đoàn thể, công việc hành chính, công việc chuyên
môn, giảng dạy môn, lớp, chủ nhiệm lớp,…): Quản lý chuyên môn, giảng dạy môn Toán
lớp 12.
9. Đơn vị công tác: Trung tâm GDTX Long Thành
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân
- Năm nhận bằng: 2004
- Chuyên ngành đào tạo: Toán – Tin học
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán
Số năm có kinh nghiệm: 11 năm.

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
Năm 2011viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Hướng dẫn học viên giáo
dục thường xuyên sử dụng máy tính cầm tay giải toán 12” đã được Hội đồng khoa
học của cơ sở đánh giá, xếp loại giỏi và hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm của
Sở đánh giá, xếp loại khá.
Năm 2012 viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Hướng dẫn học viên giáo
dục thường xuyên sử dụng máy tính cầm tay giải toán trung học phổ thông” đã được
Hội đồng khoa học của cơ sở đánh giá, xếp loại giỏi và hội đồng chấm sáng kiến
kinh nghiệm của Sở đánh giá, xếp loại khá.

2

HƯỚNG DẪN HỌC VIÊN (GDTX) ÔN TẬP MÔN TOÁN
THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Học viên Trung tâm GDTX Long Thành học môn Toán rất khó khăn vì những
lí do: học viên thường không nắm được kiến thức cơ bản ở các lớp dưới hoặc đã
quên những kiến thức cũ; phần đông ít có thời gian học ở nhà vì vừa đi học vừa đi
làm kiếm sống; kỹ năng thực hành làm bài tập hết sức yếu kém, không có thói quen
sử dụng tập nháp để giải bài; đa số không có thói quen tự học, năng lực tiếp thu kiến
thức hạn chế…
Từ năm học 2014-2015, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chỉ đạo gộp 2 kỳ thi tốt
nghiệp THPT và tuyển sinh Đại học, Cao đẳng làm một kỳ thi cho cả hai hệ THPT
và THPT(GDTX) nên khó khăn cho đối tượng học viên giáo dục thường xuyên thi
tốt nghiệp THPT.
Bên cạnh đó, Bộ Giáo dục và Đào tạo không chỉ đạo biên soạn sách ôn tập thi
tốt nghiệp THPT Quốc gia nên cũng gây khó khăn cho các thầy cô và học viên ôn
thi.
Trong năm học vừa qua, cả nước có gần 12.000 thí sinh bị điểm liệt môn Toán và

tỉnh Đồng Nai có hơn 900 thí sinh bị điểm liệt môn Toán.
Xuất phát từ những khó khăn trên, bản thân luôn suy nghĩ phải tìm tòi phương
pháp ôn tập thi, nội dung ôn tập thi sao cho phù hợp với từng đối tượng học viên:
yếu, trung bình, khá, giỏi.
Từ yêu cầu thực tế của đơn vị, vấn đề đặt ra phải tìm ra phương pháp ôn thi
môn Toán cho học viên thi tốt nghiệp đạt kết quả cao nhất nên bản thân trăn trở, suy
nghĩ, tìm tòi viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Hướng dẫn học viên (GDTX) ôn
tập môn Toán thi tốt nghiệp THPT Quốc gia”. Nội dung sáng kiến giúp học viên biết
được nội dung ôn tập, tài liệu ôn tập nhằm giúp học viên ôn lại các kiến thức về lý
thuyết, hệ thống lại các phương pháp giải các dạng toán cơ bản, các bài tập tự giải,
tự ôn luyện giúp cho học viên đào sâu, nhớ lâu các dạng bài tập và cách giải các
dạng bài tập đó. Tùy theo năng lực, trình độ học viên người thầy hướng dẫn cho học
viên ôn tập phù hợp với khả năng người học.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1) Cơ sở lý luận
Trên cơ sở ôn tập áp dụng phương pháp dạy học phân hóa, phương pháp dạy
học tích cực, kết hợp chuyên đề “Ôn giảng luyện”, hệ thống lại kiến thức lý thuyết,
ôn tập lại cách giải các dạng toán cơ bản, làm cho học viên dễ hiểu hơn nhờ đó mà
học viên làm được bài tập cơ bản, có hứng thú học tập hơn. Khi học viên làm được
những dạng toán cơ bản, tiếp tục nâng dần mức khó lên nhằm rèn luyện kĩ năng giải
toán, đáp ứng nhu cầu đổi mới kiểm tra, thi cử.
Kết hợp nhiều hình thức như ôn tập ở trên lớp, ở nhà, tự học nhóm trái buổi
học chính khóa nhằm thích hợp với hoàn cảnh của học viên.
* Vai trò của thầy:
3

Học viên có học lực yếu, trung bình rất khó khăn trong việc tự học, tự ôn
luyện mà cần sự hướng dẫn, giúp đỡ của người thầy để biết chú trọng đến từng chủ
đề, chủ điểm nào cần ôn luyện phù hợp với khả năng của mình.

Vì thế vai trò của người thầy hết sức quan trọng. Do đó, sự nghiên cứu chuẩn bị kỹ
của thầy không thể thiếu và nó quyết định quá nửa kết quả rèn luyện của người học.
Thầy phải nắm vững cấu trúc đề thi, các chủ đề, chủ điểm từ nhận biết, thông hiểu,
vận dụng, các thể loại thường gặp, phân loại từng mức độ từ dễ đến khó. Thầy phải
phân nhóm học viên, giao bài tập cho từng nhóm, có kiểm tra, đánh giá sự tiến bộ
của từng nhóm, từng học viên.
* Vai trò của học viên:
Phát huy năng lực tự học, tự giác, tích cực, chịu khó, sáng tạo, tự tin, đoàn kết,
hợp tác trong học tập. Tuyệt đối không có tư tưởng “chầu chực chờ chép” thì dẫn
đến “chết chắc”.
Phải nắm vững kiến thức, kỹ năng được học trong chương trình Trung học
phổ thông, chủ yếu là chương trình lớp 12 Giáo dục thường xuyên cấp trung học phổ
thông; tùy theo năng lực, phải nắm chắc được các chủ đề, chủ điểm, cách giải các
dạng bài tập từ dễ đến khó phù hợp với khả năng; có kỹ năng nhận dạng xử lý các
tình huống, biết khái quát một vấn đề vừa sức. . .
2) Cơ sở thực tiễn
Theo Công văn số 525/BGDĐT-KTKĐCLGD về việc tổ chức kỳ thi THPT
Quốc gia và tuyển sinh Đại học, Cao đẳng hệ chính quy năm 2016 ngày 03/2/2016
của Bộ Giáo dục và Đào tạo, về đề thi cơ bản năm như năm 2015 (đề thi được ra
theo hướng đánh giá năng lực học sinh, nội dung đề nằm trong chương trình THPT,
chủ yếu là lớp 12; tăng cường câu hỏi mở, câu hỏi gắn với thực tiễn và câu hỏi vận
dụng, đảm bảo độ phân hóa, đáp ứng yêu cầu xét công nhận tốt nghiệp THPT và làm
căn cứ tuyển sinh Đại học, Cao đẳng.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
1) Giải pháp 1: Xây dựng nội dung ôn tập
Từ thực tế giảng dạy tại đơn vị, tôi nhận thấy học viên ở Trung tâm GDTX
Long Thành đa phần học viên học yếu môn Toán mà đề thi ra trong chương trình
THPT có lớp 10, lớp 11, lớp 12 lượng kiến thức nhiều, độ phân hóa cao nên học viên
rất khó khăn trong việc ôn tập. Nếu ôn tập hết tất cả các dạng toán trong chương
trình lớp 10, lớp 11 và lớp 12 thì không có đủ thời gian và khả năng tiếp thu của học

viên cũng hạn chế. Do đó, bản thân trăn trở cần tìm ra những chủ đề nào, chủ điểm
nào cần ôn tập phù hợp với từng nhóm đối tượng học viên để ôn tập có hiệu quả
nhất, từ đó thi đạt kết quả cao nhất, chống bị điểm liệt.
Từ các văn bản chỉ đạo như Công văn số 525/BGDĐT-KTKĐCLGD về việc
tổ chức kỳ thi THPT Quốc gia và tuyển sinh Đại học, Cao đẳng hệ chính quy năm
2016 ngày 03/2/2016 của Bộ Giáo dục và Đào tạo; Căn cứ chuẩn kiến thức, kĩ năng
chương trình THPT và công văn hướng dẫn giảm tải của Bộ GD&ĐT; Dựa vào đề
thi minh họa năm 2015, đề thi THPT quốc gia năm 2015 bản thân xây dựng nội dung
ôn tập như sau:
4

Chủ đề

1

2
3
4

5

Nội dung ôn tập
Hàm số và các vấn đề liên quan:
+ Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số: các hàm đa thức bậc 3,
hàm trùng phương, hàm bậc nhất trên bậc nhất.
+ Tính đơn điệu, cực trị; giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất;
tiếp tuyến; tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số;
tìm điểm thuộc đồ thị hàm số thỏa điều kiện cho trước; giao
điểm của hai đồ thị trong đó có một đồ thị là đường thẳng…

Số phức: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp, môđun
của số phức, giải phương trình bậc 1, 2 trên tập số phức…
Biểu thức lũy thừa, mũ, lôgarit; hàm số lũy thừa, mũ, lôgarít.
Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
Giới hạn, đạo hàm, vi phân, tích phân và ứng dụng của tích
phân.
Phương pháp tọa độ trong không gian:
Tọa độ điểm, của vectơ, các phép toán về vectơ trong không
gian; sự cùng phương, đồng phẳng.
PT mặt cầu, mặt phẳng, đường thẳng. Vị trí tương đối, tính
khoảng cách, tình góc, tính diện tích, thể tích. Tương giao
của đường thẳng và mặt phẳng, hình chiếu của điểm lên mặt
phẳng, đường thẳng…

6

Công thức lượng giác, phương trình lượng giác

7

Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, xác suất và nhị thức Newton.
Hình học không gian:
Quan hệ song song, quan hệ vuông góc của đường thẳng,
mặt phẳng. Hình chóp, khối chóp; hình lăng trụ, khối lăng
trụ; hình đa diện, khối đa diện; hình nón tròn xoay, khối nón
tròn xoay; hình trụ tròn xoay, khối trụ tròn xoay; hình cầu,
khối cầu. Vị trí tương đối. Tính khoảng cách, tính góc; tính
diện tích, tính thể tích. Chủ đề khác về phương pháp tọa độ
trong không gian…
Bài tập liên quan đến phương pháp tọa độ trong mặt phẳng:

Tọa độ điểm, của vectơ, các phép toán về vectơ trong mặt
phẳng. Phương trình đường thẳng, đường tròn, elip. Vị trí
tương đối.Tính khoảng cách, tính góc, tính diện tích. Chủ đề
khác về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng…
Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.
Bất đẳng thức; giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức;
về bài tập tổng hợp, thực tế.

8

9

10
11

5

Mức độ yêu
cầu

Nhận biết và
thông hiểu.

Nhận biết và
thông hiểu.
Nhận biết và
thông hiểu.
Nhận biết và
thông hiểu.

Nhận biết và
thông hiểu.

Nhận biết và
thông hiểu.
Vận dụng.

Nhận biết,
thông hiểu
và vận dụng.

Vận dụng.

Vận dụng.
Vận dụng.

Khi xây dựng được chương trình ôn tập trên, cả người giáo viên và học viên
biết được nội dung nào phù hợp với đối tượng nào để ôn luyện thích hợp. Tránh
được tình trạng ôn tập chung chung tất cả các phần cho tất cả học viên. Từ nội dung
trên, học viên cũng có thể chủ động tìm tòi các chủ đề ôn tập phù hợp với bản thân.
Nếu không xây dựng nội dung ôn tập thì cả người giáo viên và học viên không
chủ động trong ôn tập, ôn tập những phần không phù hợp với trình độ học viên và
nội dung ôn tập không phù hợp với thời gian dự kiến.
2) Giải pháp 2: Hướng dẫn học viên ôn tập
a) Hướng dẫn học viên ôn tập trên lớp
Giai đoạn 1: Ngay từ đầu năm học đến khi kết thúc năm học, thời gian khoảng
30 tuần, mỗi tuần 02 tiết. Trong giai đoạn này, vừa ôn luyện kiến thức cũ, rèn luyện
kĩ năng giải các dạng toán thi lớp 10, 11 vừa ôn kiến thức trọng tâm, các dạng toán
thi trong chương trình lớp 12 đang học theo từng chủ đề về nhận biết, thông hiểu,

vận dụng bám sát chuẩn kiến thức, kĩ năng và chương trình giảm tải của Bộ
GD&ĐT.
Bám sát cấu trúc đề thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo để chú trọng vào dạy các
kiến thức cơ bản (chiếm 60%), đặc biệt chú ý dạy cách trình bày các bài dễ do tâm lý
chủ quan và các bước giải thì liên quan chặt chẽ với nhau, vì vậy giáo viên cần chú
trọng hơn đến vấn đề này. Tùy theo đặc điểm tình hình của từng đơn vị mà GVBM
lưu ý dạy ôn tập cho các đối trượng học viên có học lực yếu, kém chống bị điểm liệt.
Trong giờ dạy chính khóa, những học viên có điểm kiểm tra miệng, 15 phút
còn thấp cần gọi học viên lên bảng nhiều lần để làm bài tập, có giao bài tập về nhà
làm và giáo viên kiểm tra lại để sửa chữa những sai xót và xem học viên có làm bài
tập ở nhà không. Giáo viên cần cho điểm khuyến khích nhằm động viên các em nổ
lực học tập.
Dạy học theo phân hóa, phân nhóm học viên theo trình độ, phân công học viên
có học lực khá giỏi kèm học viên yếu, kém, trung bình, giao bài tập, sửa bài tập phù
hợp với nhóm đó. Đặt ra yêu cầu cao hơn một mức để học viên phấn đấu; không nên
đặt ra yêu cầu quá cao cũng không nên dừng lại ở ngang mức trình độ học viên trong
nhóm để tránh tình trạng tự thỏa mãn. Cần chú trọng các học viên có học lực yếu,
kém, trung bình trong ôn luyện. Trong các buổi học ôn tập tại trường, sau mỗi chủ
đề, chuyên đề nên có một bài kiểm tra nhỏ để đánh giá mức độ đạt được của học
viên từ đó có hướng điều chỉnh, khắc phục kịp thời. Cuối đợt nên có đề kiểm tra tổng
hợp nhằm đánh giá khả năng tổng hợp kiến thức của học viên.
Giai đoạn 2: Kéo dài trong 8 tuần (16 buổi học, 02 tiết buổi) được thực hiện
sau khi học viên đã học xong chương trình chính khóa.
Trong giai đoạn này, học viên ôn luyện giải các bài toán thông qua các bài
thực hành dưới hình thức đề thi. Sau mỗi bài thực hành giáo viên tổ chức rút kinh
nghiệm để qua đó học viên được hướng dẫn cách trình bày bài làm cho đủ ý, tránh bị
mất điểm, học thêm cách giải quyết các vấn đề được đặt ra trong đề bài mà học viên
chưa nghĩ ra cách giải trong khi làm bài, học thêm các phương pháp khác …
b)Hướng dẫn học nhóm trái buổi
6

Phân nhóm học viên theo trình độ học lực môn Toán, phân chia làm các nhóm
như học giỏi, học khá, học trung bình, học yếu.
Phối hợp cùng giáo viên chủ nhiệm để chia lớp thành bốn tổ, mỗi tổ có học
viên học giỏi, khá, trung bình, yếu ngồi xen kẽ. Mỗi tổ tương ứng là một nhóm, chỉ
đạo học viên học khá, giỏi làm tổ trưởng, tổ phó. Phân công tổ trưởng, tổ phó giúp
đỡ các học viên học yếu, trung bình. Động viên khuyến khích các em cùng học
nhóm, thảo luận nhóm.
Các buổi học nhóm được tổ chức trái buổi so với học chính khóa. Giáo viên
bộ môn giao bài tập cho các tổ trưởng, tổ phó, trong đó có các dạng bài tập phù hợp
với từng học viên để tất cả học viên của nhóm cùng giải bài tập. Đối với học viên
khá, giỏi yêu cầu cao hơn, học viên trung bình, yếu yêu cầu thấp hơn.Khi có giờ học
toán, giáo viên bộ môn Toán kiểm tra vở bài tập của các học viên học nhóm, chú ý
sự tiến bộ của học viên yếu, trung bình. Có đánh giá sự tiến bộ, rút kinh nghiệm cho
học viên và giao bài tập tiếp theo. Trong các buổi học nhóm, giáo viên chủ nhiệm
phối hợp cùng giáo viên bộ môn, bảo vệ trung tâm và gia đình học viên để theo dõi,
quản lý học viên.
Vì lý do đặc điểm của học viên giáo dục thường xuyên có những hạn chế nhất
định nên mỗi vấn đề được đặt ra phải thường xuyên cho học viên cọ xát nhằm củng
cố kiến thức kỹ năng. Nếu không học viên sẽ nhanh chóng quên đi và khi gặp lại lần
hai thì cứ tưởng chừng như là vấn đề mới mẻ. Tuy vậy, điều này cũng có thể gây tâm
lý ức chế cho học viên. Một bài toán được lặp đi lặp lại dễ gây nhàm chán từ đó học
viên không cảm thấy thích thú khi ôn luyện và có tư tưởng chủ quan, tìm cớ lãng
tránh học nhóm thực hiện các bài tập mà thầy giao phó. Vì vậy cần thiết phải bổ
sung thêm các vấn đề mới, có nội dung vận dụng cao hơn để học viên khỏi nhàm
chán và kích thích tìm tòi cái mới cho học viên tạo động cơ thúc đẩy học viên tích
cực tham gia ôn tập.
3) Giải pháp 3: Xây dựng tài liệu ôn tập
Học viên GDTX đa phần học yếu, kiến thức bị mai một, vừa làm vừa học nên

thời gian dành cho việc học rất hạn chế. Hơn nữa, việc tham gia học tập ở lớp cũng
không được thường xuyên, việc ghi bài cũng không được đầy đủ. Do đó, việc tìm
một tài liệu ôn tập phù hợp với trình độ năng lực tiếp thu, khả năng nhận biết rất khó
khăn.
Xuất phát từ những khó khăn trên, bản thân phải suy nghĩ tìm tòi kiến thức,
phương pháp giải các dạng toán… để biên soạn tài liệu ôn tập cho học viên. Khi có
tài liệu ôn tập này, học viên có thể ôn tập kiến thức trọng tâm, những chủ đề, chủ
điểm, cách giải những dạng toán thi, bài tập tự luyện giải, các đề thi học kỳ của Sở
GD&ĐT và các đề thi THPT quốc gia các năm trước để tham khảo.
Tài liệu ôn tập được biên soạn theo từng chủ đề, chủ điểm. Mỗi chủ đề có kiến
thức trọng tâm, phương pháp giải các dạng cơ bản và bài tập tự giải. Bài tập phân
dạng theo mức độ từ dễ đến khó phù hợp với từng đối tượng học viên.
Trong khuôn khổ đề tài SKKN này, tôi xin trình bày một số chủ đề minh họa
như sau:
7

CHỦ ĐỀ I. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN, VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ
CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
 Tập xác định D = ?
 Tính đạo hàm y’. Tìm nghiệm p.trình y’ = 0 và giá trị làm y’ không xác định.
 Xét dấu đạo hàm y’ và nêu sự đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.
 Tìm lim y ; lim y và tìm các tiệm cận (nếu có).
x 

x 

 Lập bảng biến thiên. (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).
 Đồ thị:

+ Tìm điểm đặc biệt đối với hàm bậc ba, hàm trùng phương:
Tìm một điểm có hoành độ nhỏ hơn cực trị bên trái và một điểm có hoành
độ lớn hơn cực trị bên phải.
+ Tìm điểm đặc biệt đối với hàm phân thức y 

ax  b
cx  d

 Giao điểm với trục hoành: cho y = 0 và tìm x.
 Giao điểm với trục tung: cho x = 0 và tìm y.
Chú ý:Trước khi vẽ đồ thị, hãy nhìn chiều mũi tên ở hàng y của bảng biến thiên để
vẽ đồ thị cho chính xác.
1. Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0).
Các dạng đồ thị hàm số bậc ba:

 y '  0 coù2 nghieäm phaân bieät  y '  0 x  y '  0 coù2 nghieäm phaân bieät  y '  0 x




a  0
a  0
a  0
a  0

Chú ý: Đồ thị hàm số bậc ba luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y   x3  3x  1
Giải.
+ Tập xác định: D= R
+ Sự biến thiên:

8

Chiều biến thiên: y /  3x 2  3
 x  1
y /  0  3x 2  3  0  
x 1
Hàm số đồng biến trên khoảng  1;1

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và 1;  .
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCĐ = 1.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1, yCT = -3.
lim y   , lim y   .
Giới hạn:
x 

x 

Bảng biến thiên:
x
y/
y



-

-1
0

+





1
0
1

-



-3
Đồ thị:
Bảng giá trị:

x
y

-2
1

0
-1

2
-3

Đồ thị:
y

O

1
x

-1

1

-3

2. Hàm số bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0).
Các dạng đồ thị hàm số trùng phương

y'  0 coù3 nghieäm phaân bieät  y '  0 coù1 nghieäm ñôn  y '  0 coù3 nghieäm phaân bieät  y '  0 coù1 nghieäm ñôn




a  0
a  0
a  0
a  0

Chú ý: Đồ thị số trùng phương luôn nhận trục Oy làm trục đối xứng.
9

Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x4 – 2x2 – 1
Giải.
+ Tập xác định: D = R
+ Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y /  4 x3  4 x
x  0
3
/
y  0  4 x  4 x  0   x  1
x 1

Hàm số đồng biến trên các khoảng  1;0  và 1; 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và  0;1 .
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = -1.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, yCT = - 2.
lim y   , lim y   .
Giới hạn:
x 

x 

Bảng biến thiên:
-

x
y’



-1
0

-

0
+

0
-1

+

1
-

0

+



y
-2

-2

Đồ thị:

Bảng giá trị:

x
y

-2
7

2
7

y

1
-1

x

O
-1

-2

3. Hàm số y 

ax + b
; (ad - bc  0, c  0).
cx + d

Phương pháp:

d
TXĐ: D  R \ {- }
c
ad  bc
Đạo hàm: y’ =
.
(cx  d )2
Nếu ad - bc > 0 hàm số đồng biến trong từng khoảng xác định.
Nếu ad - bc < 0 hàm số nghịch biến trong từng khoảng xác định.
a
a
Tiệm cận ngang: lim y   Tiệm cận ngang: y =
x 
c
c
10

Tiệm cận đứng: lim    ( hoặc  ) ;
d
x 
c

 Tiệm cận đứng: x = -

lim    ( hoặc  )

x 

d

c

d
c

Các dạng đồ thị:
Với y'  0,x  D Với y'  0,x  D

Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y 

2x  4
x 1

Giải.
+ Tập xác định: D  R \ 1
+ Sự biến thiên:
2
Chiều biến thiên: y 
2 > 0, x  D .
 x  1
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng  ;1 và 1; 
Cực trị: Hàm số không có cực trị.
Giới hạn, tiệm cận:
Ta có: lim y  2 . Suy ra đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang.
x 

lim y   , lim y   . Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng.
x1

x1

+ Bảng biến thiên:
x
y’

-


+

1
+

+
2

y



2
+ Đồ thị:
Điểm đặc biệt:

2.0  4
4
0 1
2x  4
 0  2x  4  0  x  2
Cho y  0 

x 1

Cho x  0  y 

x
y

0
4

2
0

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
11

Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
1. y  x3  3x  2 ;
2. y   x3  3x  4 ;

3. y  x3  3x 2  1 ;

5. y = x3  6x 2 + 9x  1 ; 6. y =  x3  3x 2  1 ;

4. y  2 x3  3x 2  1 ;

7. y =  x3  3x 2 ;
8. y = x3  1 ;
9. y = x3  x  1

Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
1. y  x 4  2 x 2  1 ;
2. y   x 4  2 x 2  2 ;
3. y  2 x 4  4 x 2  2 ;
4. y  x 4  2 x 2  2 ;
5. y   x 4  8 x 2  1 ;
6. y  2 x 2  x 4  3 ;
Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
2 x 1
x2
; 2. y 
;
x 1
x 1
2x
6. y 
x2

1. y =

3. y 

2x  2
;
x2

4. y 

x  2
x3

5.

y

1 x
x 3

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM
SỐ.
Dạng 1. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) ký hiệu (C1) và đồ thị hàm
số
y = g(x) ký hiệu (C2).
Phương pháp:
Giải phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (1).
Nếu PT (1) trên có các nghiệm x1, x2,… thì ta tính f(x1), f(x2),… hoặc g(x1), g(x2),…
Kết luận: Tọa độ giao điểm của (C1) và (C2) là: A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2)),… hoặc A(x1,
g(x1)), B(x2, g(x2)),…
Ví dụ 1: Tìm toạ độ giao điểm của:
Đồ thị hàm số: y  x3  3x2  4 x  2 và đường thẳng: y  4 x  2 ;
Đồ thị hàm số: y  x 4  x 2  4 và đường thẳng: y  4 ;
Đồ thị hàm số: y 

2x  1
và đường thẳng: y  3 ;
x2

d. Đồ thị hàm số: y = 5x  8 và đường thẳng: y = x – 2.
x2

Giải.
Câu a. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số: y  x3  3x2  4 x  2 và đường
thẳng: y  4 x  2
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
x 3  3x 2  4 x  2 = 4 x  2
 x1  0  y1  2
3
2

 x  3x  0  
 x2  3  y2  10
Vậy toạ độ giao điểm cần tìm là: A(0; 2) và B(3;10) .
Câu b. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số: y  x 4  x 2  4 và đường thẳng:
y4
12

Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x 4  x 2  4  4
 x1  0
 y1  4
4
2
2
2
 x  x  0  x ( x  1)  0   x2  1   y2  4
x 1
y  4
 3
 3
Vậy toạ độ giao điểm cần tìm là: A(0;4) , B(1;4) và B(1;4)

Câu c. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số: y 

2x  1
và đường thẳng: y  3
x2

Ta có phương trình hoành độ giao điểm :

2x  1
= 3
x2

 2 x  1  3( x  2)  2 x  1  3x  6  x = 7 

y 3

Vậy toạ độ giao điểm cần tìm là: A(7;3) .
Câu d. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số: y = 5x  8 và đường thẳng: y = x –
x2

2.
Ta có phương trình hoành độ giao điểm :

5x  8
 x  2  5 x  8  ( x  2)( x  2)  5 x  8  x 2  4
x2

 x  1  y  1
x2  5x  4  0  


 x  4  y  2
Vậy có 02 toạ độ giao điểm cần tìm là: A(1; 1) và B(4; 2).


BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 4: Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:
1. y = x3 – 2x2 + x + 1 và y = x + 1;
2. y = x4 – 4x2 +3 và y = 3.
3. y = x3 – 5x2 + 1 và y = 1.
4. y = 3x  3
và y = x +1.
5. y = 2 x  1 và y = 1.
x 3

7. y = x3 + 3x2 + 1 và y = 2x + 5

x 1

3

6. y = x + 4x2 + 4x + 1 và y = x + 1
8. y = x3 – 3x và y = x2 + x – 4

9. y = x4 + 4x2 – 3 và y = x2 + 1
Dạng 2: Dựa vào đồ thị (C) của hàm số y  f ( x) , biện luận số nghiệm của
phương trình: F ( x, m)  0 (với m là tham số)
Phương pháp:
Đưa phương trình F ( x, m)  0 về dạng: f ( x)  g (m) (*)
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số:
y = f(x) và đường thẳng (d): y  g (m)

Dựa vào đồ thị (C), ta có kết quả:
Nếu (d) và (C) có n giao điểm thì (*) có n nghiệm đơn.
Nếu (d) và (C) tiếp xúc với nhau tại m điểm thì (*) có m nghiệm kép.
Nếu (d) và (C) có 0 giao điểm thì (*) vô nghiệm.
13

Ví dụ 1: Cho hàm số: y  x3  3x 2  2 , có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Dùng đồ thị (C) để biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x3  3x2  2  m  0
Giải.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y  x3  3x 2  2
+ Tập xác định: D= R
+ Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y /  3x 2  6 x
x  0
y /  0  3x 2  6 x  0  
x  2
Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;0  và  2; 
Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;2 
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = -2.
lim y   , lim y  
+ Giới hạn:
x 

x 

+ Bảng biến thiên:
x
y/
y



0
+ 0
2

-

+




+ Đồ thị:
Điểm đặc biệt:
x
-1
y
-2



2
0

-2

1
0

3
2

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3  3x2  2  m  0 (1)
Giải.
Ta có: (1)  x3 - 3x2 + 2 = m
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2
và đường thẳng y = m.
Dựa vào đồ thị (C), ta suy ra:
Nếu m > 2 hoặc m < -2 thì PT (1) có 1 nghiệm;
Nếu m = 2 hoặc m = -2 thì PT (1) có 2 nghiệm;
Nếu - 2 < m < 2 thì PT (1) có 3 nghiệm.
14

Dạng 3. Phương trình tiếp tuyến
* Viết phương trình tiếp tuyến với (C) của đồ thị h.số y  f ( x) tại điểm M 0
Xác định x0 , y0 (hoành độ và tung độ của điểm M 0 ).
Tính y’ và f '( x0 ) ;
Viết PT tiếp tuyến: y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) và rút gọn.
* Viết PT tiếp tuyến với (C) của đồ thị hàm số y  f ( x) biết tiếp tuyến có hệ số góc
k cho trước.
Tính y’;
Cho f '( x0 ) = k để tìm nghiệm x0 ;
Có x0 , tìm y0 , viết PT tiếp tuyến: y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) và rút gọn.

Chú ý :
y '( x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyếncủa ( C ) tại điểm M( x0 ; y0)
Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì f '( x0 )  a
Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì f '( x0 )  

1
a

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số:
a. y  x3  3x  2 tại điểm có hoành độ bằng 2.
b. y  x4  2 x2 tại điểm có tung độ bằng 8.
2x  3
c. y 
tại giao điểm của (C) với trục tung.
2x  1
2x  3
d. y 
tại điểm có tung độ bằng 1.
x 1
Giải.
Câu a. Cho hàm số y  x3  3x  2 và x0  2 .
x0  2  y0  23  3.2  2  4 .
y '  3x2  3  y '( x0 )  y '(2)  3.22  3  9
Vậy PT tiếp tuyến tại x0  2 là: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y  4  9( x  2)
 y  4  9 x  18
 y  9 x  14
Câu b. Cho hàm số y  x4  2 x2 và y0  8 .
 x02  4  x0  2
y0  8  x  2 x  8  x  2 x  8  0   2
 x0  2(VN )

y '  4 x3  4 x
Với x0  2 , y0  8 và y '( x0 )  y '(2)  4.23  4.2  24
PT tiếp tuyến tại x0  2 là: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y  8  24( x  2)
 y  8  24 x  48
 y  24 x  40
4
0

2
0

4
0

2
0

15

Với x0  2 , y0  8 và y '( x0 )  y '(2)  4.(2)3  4.(2)  24
PT tiếp tuyến tại x0  2 là: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y  8  24( x  2)
 y  8  24 x  48
 y  24 x  56
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y  24 x  40 và y  24 x  56 .
2x  3
Câu c: Cho hàm số: y 
. Viết PT tiếp tuyến tại giao điểm với trục tung.
2x  1
Giao điểm của đồ thị với trục tung tại: x0  0  y0  3 .

8
8
= -8
y' 
 y '( x0 ) = y '(0) 
2
(2 x  1)
(2.0  1) 2
Vậy PT tiếp tuyến tại giao điểm với trục tung là: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )
 y  3  8( x  0)
 y  3  8 x
 y  8 x  3
2x  3
Câu d. Cho hàm số y 
. Viết PT tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 1.
x 1
2x  3
 1  2 x0  3  x0  1  x0  2
Tại điểm có tung độ bằng 1 nên y0  1  0
x0  1
1
1
y' 
1
 y '( x0 ) = y '(2) 
2
( x  1)
(2  1)2
Vậy PT tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 1là: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )
 y  1  1( x  2)

 y  x  1.
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số:
a. y   x3  3x2  6 x  1 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng -3.
b. y  x4  2 x2 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y  24 x  11
1
7
2x  3
c. y 
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y  x  .
2
5
2x  1
Giải.
Câu a. Cho hàm số y   x3  3x2  6 x  1 và k = -3.
y '  3x2  6 x  6
 x0  1
k = -3  y '( x0 )  -3  3x02  6 x0  6  3  3x02  6 x0  9  0  
 x0  3
Với x0  1  y0  (1)3  3.(1)2  6.(1)  1  1
y '( x0 )  y '(1)  3.(1)2  6.(1)  6  3
PT tiếp tuyến tại x0  1 là: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y  1  3( x  1)
 y  1  3x  3
 y  3x  4 .
Với x0  3  y0  33  3.32  6.3  1  19
16

y '( x0 )  y '(3)  3.32  6.3  6  3
PT tiếp tuyến tại x0  3 là: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y  19  3( x  3)
 y  19  3x  9

 y  3x  28
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y  3x  4 và y  3x  28 .
Câu b. Cho hàm số y  x4  2 x2 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:
y  24 x  11
y '  4 x3  4 x
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y  24 x  11 nên có hệ số góc k  24
k = 24  4 x03  4 x0  24  4 x03  4 x0  24  0  x0  2
Với x0  2  y0  8 và y '( x0 )  y '(2)  4.23  4.2  24
Vậy PT tiếp tuyến tại x0  2 là: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y  8  24( x  2)
 y  8  24 x  48  y  24 x  40
2x  3
Câu c: Cho hàm số: y 
và biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:
2x  1
1
7
y x .
2
5
8
y' 
(2 x  1)2
1
7
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y  x  nên có hệ số góc k = -2
2
5
8
 2  (2 x0  1)2  4  4 x02  4 x0  3  0
k = -2  y '( x0 )  2 

2
(2 x0  1)
3
1
 x0  hoặc x0  
2
2
3
Với x0   y0  3
2
3
3
PT tiếp tuyến tại x0  là: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y  3  2( x  )
2
2
 y  2 x  6
1
Với x0    y0  1
2
1
1
PT tiếp tuyến tại x0   là: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y  1  2( x  )
2
2
 y  2 x  2
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y  2 x  6 và y  2 x  2 .

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho hàm số: y  x3  3x  1, có đồ thị là (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình: x3  3x  1  m  0
17

Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = 1.
Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2; 3).
Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng -2.
Viết PT tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành.
Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hệ số góc bằng 1.
Bài 2. Cho hàm số: y   x 3  3 x 2  2 , có đồ thị là (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình: x3  3x 2  2  m  0 .
Tìm tất cả các gia trị của m để phương trình  x3  3x2  2  m  0 có 03 nghiệm.
Tìm tất cả các gia trị của m để phương trình  x3  3x2  m  0 có 02 nghiệm.
Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d: y = -2.
Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d: y = -2x + 2.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm B(-1; 2).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng -2.
j.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng  : y = -9x + 2011.
Bài 3. Cho hàm số: y   x3  3x  2 , có đồ thị là (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình:  x3  3x  1  m  0
Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C) và parabol: y   x 2  3x +2
Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(1; 4).
Bài 4. Cho hàm số: y  x3  3x 2 , có đồ thị là (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: x3  3x 2  2  m  0
Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 0.

Bài 5. Cho hàm số: y  x 4  2 x 2  2 , có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 4  2 x 2  2  m  0
Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C) và parabol: y  2 x 2  2
Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).
Bài 6. Cho hàm số: y  x 4  2 x 2  3 , có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
Bài 7. Cho hàm số: y   x 4  2 x 2  3 , có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Tìm m để phương trình: x 4  2 x 2  m  0 có bốn nghiệm phân biệt.
Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Bài 8. Cho hàm số: y 

2x 1
, có đồ thị (C).
x 1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(2; 3).
Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.
Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng độ bằng 1.
Viết PT tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành.
18

Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hệ số góc bằng -1.
Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng: y  1.
Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng: y  x  1 .
Bài 9. Cho hàm số: y 

x3
, có đồ thị (C).
x2

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm N(3; 0).
Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
d.Viết PT tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành.
e.Viết PT tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục trung
f.Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Bài 10. Cho hàm số: y 

2x 1
, có đồ thị (C).
x 1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường phân giác
của góc phần tư thứ nhất.
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Phương pháp. Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một đoạn [a; b]
Tìm các điểm xi  (a; b) , i = 1, 2, 3, …n mà f '( xi )  0 hoặc f '( xi ) không xác định.
Tính f (a ), f (b), f ( xi ) , (i = 1, 2, 3, …n ).
So sánh các giá trị f (a ), f (b), f ( xi ) vừa tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó là
max f ( x) , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là min f ( x) ,
[ a ;b ]

[ a ;b ]

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên đoạn [-3; 1] :
f ( x)  2 x3  3x 2  12 x  10
Giải.
Ta có f(x) liên tục trên đoạn [-3; 1].
f '( x)  6 x 2  6 x  12 ,
 x  1
f '( x)  0  
nên loại
 x  2  [3;1]
Tính f (3)  2(3)3  3(3)2  12(3)  10  3 ;
f (1)  2.13  3.12  12.1  10  3 ;
f (1)  2(1)3  3(1)2  12(1)  10  17 .
Vậy max f ( x)  f ( 1)  17 , min f ( x)  f (1)  3 .
[ 3;1]

[ 3;1]

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên đoạn [-1; 4]
f ( x)   x 4  8 x 2  3
Giải.
Ta có f(x) liên tục trên đoạn [-1; 4].
f '( x)  4 x3  16 x  4 x( x 2  4)
19

x  0
nên loại
f '( x)  0   x  2  [1;4]

 x  2

Tính f (1)  (1)4  8(1) 2  3  10 ; f (4)  44  8.42  3  125 ;

f (0)  04  8.02  3  3 ; f (2)  24  8.22  3  19
Vậy max f ( x)  f (2)  19 , min f ( x)  f (4)  125 .
[ 1;4]

[ 1;4]

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên đoạn [-5; 0]
5x  2
f ( x) 
3  2x
Giải.
Xét hàm số trên đoạn [-5; 0]
19
f '( x) 
 0, x  [5;0]
2
3

2
x


Suy ra hàm số luôn đồng biến trên đoạn [-5; 0]
5.(5)  2
23
5.0  2 2

f (0) 

 ;
Tính f (5) 
;
3  2.0 3
3  2.(5)
13
2
23
Vậy max f ( x)  f (0)  , min f ( x)  f (5)   .
[ 5;0]
3 [ 5;0]
13
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

1
1) f(x) = 2 x3  6 x 2  1 trên đoạn [  ; 1];
2
1
].
2
3) f(x) = x3  3x 2  9 x  7 trên đoạn [-4; 3];

2) f(x) =

x3  2 x 2  x  2 trên đoạn [0;

4) f(x) = 1  8 x  2 x 2 trên đoạn [-1; 3];

5) f(x) = 2 x 4  4 x 2  1 trên đoạn [0; 3].

6) f(x) = x 4  8 x 2  5 trên đoạn [-1; 3];

7) f(x) =  x 4  2 x 2  3 trên đoạn [-2; 0].

8) f(x) =

9) f(x) = 2 

3
trên đoạn [-2; 0];
1 x

x4
trên đoạn [-3; 1];
2 x

10) f(x) = 3 

5
trên đoạn [2; 4];
x2

Bài 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1) f(x) = 1  9  x2 trên đoạn [-3; 3].
3) f(x) =  x  4 trên đoạn [2; 5].
x 1

5) f(x) =  x  6x  8 ;
2

2) f(x) = 16  x2 trên đoạn [-2; 3].
4) f(x) = x  1  2 trên đoạn [0; 2].
x2

6) f(x) = x  ln(1  2 x) trên đoạn [-2; 0];
2

20

ln 2 x
8) f(x) =
trên đoạn [1; e3 ];
x

7) f(x) = x  4  x trên đoạn [ -2; 2]
2

9) f(x) =  x2  4x  3 trên đoạn [ 1,5; 3]; 10) f(x) = 2 x2  6 x  4 trên đoạn [ 1; 2];

Bài 3 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a/ f  x   2 x3  3x 2  12 x  1 trên 
2;  ; b/ f  x   x 2 .ln x trên 1; e 

2

5

c/ f  x    x  1 
e/ y  ( x  2). 4  x 2
g/ y = x + 2 -

4
x2

trên  1;2 ;



d/ y  x  cos 2 x trên

[0; ]
2

trên tập xác định.; f/ y = x3 + 3x2 - 9x – 7 trên [ - 4 ; 3 ]

1
trên 1; ;
x 1

h/ y=

2 cos 2 x  4sin x trên

 
0; 2 



Bài 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) f ( x)  ln( x2  3x  4) trên đoạn [ 5; 6].

2
 
d) f ( x)  sin2x  x trên đoạn [  ; ].
2 2

c) f ( x)  x  sin x trên đoạn [ 0; ].

b) f ( x)  cos2 x  4sin x  4 .;
x2  2x  5
trên đoạn [ 2; 4].
1 x
1
 5
e) f ( x) 
trên đoạn  ; 
sin x
3 6 

c) f ( x) 

f) f ( x)  x  2  x2 trên đoạn

[  2 ; 2 ].

3
g) f ( x)  2sin x  sin 2 x trên đoạn 0;  .



2

Bài 5 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1) f(x) = 2 x3  6 x 2  1 trên khoảng
(; )

(; ) ; 2) f(x) =

x3  2 x 2  x  2 trên

3) f(x) = x3  3x 2  9 x  7 trên (; )

4) f(x) = 1  8 x  2 x 2 trên R.

5) f(x) =  x 4  2 x 2  3 trên R

6) f  x   2 x3  3x 2  12 x  1 trên R.

7) f  x  

x
trên khoảng (; ) ;
4  x2

8) f  x  

1
trên khoảng

cos x

  3 
 ; ;
2 2 

9) f  x  

1
trên khoảng (; ) ;
1  x4

10) f  x  

1
trên khoảng  0;   .
sin x

CHỦ ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
21

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT.
Công thức cần nhớ
Công thức lũy thừa
.a...a ;
1) a n  a{

3) a  n 

2) a 0  1 ;

n

1
;
an

4. a n 

1
;
an

am
5) a .a  a
6) n  a mn
7) (ab)n  a n .bn ;
8)
a
n
n
n
n
a a
a b
9.     
10) (a m )n  a m.n
11) n a . n b  n ab
   n