skkn một số vấn đề về phương trình đường tròn trong mặt phẳng

BM 01-Bia SKKN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG
Mã số: ................................
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
TRONG MẶT PHẲNG

Người thực hiện: Nguyễn Thị Thu Phương
Lĩnh vực nghiên cứu: Toán 10
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán..................... 
(Ghi rõ tên bộ môn)

- Lĩnh vực khác: ....................................................... 
(Ghi rõ tên lĩnh vực)

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
 Mô hình  Đĩa CD (DVD)
 Phim ảnh  Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2015- 2016
1

BM02-LLKHSKKN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
––––––––––––––––––
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Nguyễn Thị Thu Phương
2. Ngày tháng năm sinh: 16/10/1987
3. Nam, nữ: Nữ
4. Địa chỉ: Xuân Hưng- Xuân Lộc- Đồng Nai
5. Điện thoại: 0982 177 624
6. E-mail:
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Nhiệm vụ được giao: Giảng dạy môn Toán.
9. Đơn vị công tác: Trường THPT Xuân Hưng
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân
- Năm nhận bằng: 2011
- Chuyên ngành đào tạo: Giảng dạy môn Toán
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: 5 năm
Số năm có kinh nghiệm: 5 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

2


MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Môn toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng là
môn học hỗ trợ đắc lực cho hầu hết các môn học khác trong trường phổ thông như:
Lý, Hoá, Sinh, Văn.... Như vậy, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong
Toán cùng với phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt
những môn học khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh
hệ thống kiến thức, kỹ năng toán học cần thiết, môn Toán còn rèn luyện cho học
sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ
luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Thực tế trong nhà trường THPT hiện nay, đặc biệt là những trường vùng
nông thôn như trường THPT Xuân Hưng thì chất lượng học tập môn Toán của học
sinh còn thấp, hầu hết các em sợ học môn Toán.
Qua 5 năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 10 khi học bài phương
trình đường tròn, đặc biệt là phần bài tập v phương trình đường tròn thì các em rất
khó tiếp thu và áp dụng. Mà bài tập v phương trình đường tròn lại luôn có mặt
trong các đ thi học kì, đ thi THPT quốc gia. Vì vậy để gi p học sinh khối 10 học
tốt phần bài tập phương trình đường tròn tôi đã chọn đ tài ‘‘Một số vấn đ v
phương trình đường tròn trong mặt ph ng .
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Dựa trên những kiến thức đã được học v phương trình đường tròn trong mặt
ph ng. Từ đó hướng dẫn các em vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải bài
tập. Thông qua các ví dụ đưa ra gi p các em cũng cố lý thuyết và biết vận dụng
vào giải một số bài tập tương tự.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Chuyển thể từ kiến thức phức tạp thành thực hành đơn giản, dễ hiểu. Giáo
viên đưa li u lượng kiến thức vừa phải, thích hợp với năng lực và đi u kiện của
học sinh.
Giáo viên luôn tạo một môi trường thân thiện giữa thầy và trò. Luôn cho học
sinh một cảm giác gần gũi, dạy thật, học thật ngay từ đầu. Dạy theo đi u kiện thực
tế không quá áp đặt chủ quan.

Đưa ra những vấn đ liên quan đến phương trình đường tròn trong mặt
ph ng:
Vấn đề 1: Nhận dạng phương trình đường tròn tìm đi u kiện để một phương trình
là phương trình đường tròn.
Vấn đề 2: Lập phương trình đường tròn.
Vấn đề 3: Sự tương giao giữa đường th ng và đường tròn.
Vấn đề 4: Sự tương giao giữa hai đường tròn.
3


Vấn đề 5: Các bài toán liên quan đến họ đường tròn.
Vấn đề 6: Một số cách lập khác của phương trình đường tròn.
Từ những vấn đ trên mỗi vấn đ đưa ra phương pháp giải một số dạng bài
toán cụ thể, một số ví dụ áp dụng từ đơn giản đến phức tạp hơn. Sau khi các em đã
biết được lý thuyết và ví dụ thì áp dụng giải một số bài tập tương tự.

4


VẤN ĐỀ 1: NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN. TÌM ĐIỀU
KIỆN Đ MỘT PHƯƠNG TRÌNH LÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.
1. Phương pháp:
Cách 1: Đưa phương trình đã cho v dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
Xét dấu biểu thức: T = a2 + b2 - c (1)
* Nếu T

0 thì (1) là phương trình đường tròn tâm (a ;b) bán kính
R=

a2 + b2 - c.

* Nếu T  0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn.
Cách 2 : Đưa phương trình v dạng : (x - a)2 + (y - b)2 = T (2)
* Nếu T
R = T.

0 thì phương trình (2) là phương trình đường tròn tâm (a ;b), bán kính

* Nếu T  0 thì phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn.
2. Các ví dụ :
Ví dụ 1: Trong các phương trình sau đây, phương trình nào phương trình đường
tròn ? Tìm tâm và bán kính nếu có :
a) x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0

(1)

b) x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0 (2)
c) x2 + y2 + 4x - 6y - 12 = 0

(3)

d) 2x2 + 2y2 - 4x + 8y - 2 = 0 (4)
e) 4x2 + 3y2 - 6x - 3y - 1 = 0 (5)
Giải:
a) (1) có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0, với a = -1, b = 2, c = 9
Ta có : a2 + b2 - c = (-1)2 + 22 - 9 = -4 < 0
Vậy (1) không phải là phương trình đường tròn.
b) (2) có dạng : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 với a = 3, b = -2, c = 13.
Ta có : a2 + b2 - c = 32 + (-2)2 - 13 = 0
Vậy (2) không phải là phương trình đường tròn.

c) (3) có dạng : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0, với a = -2, b = 3 và c = -12
Ta có : a2 + b2 - c = (-2)2 + 32 - (-12) = 25 > 0.
Vậy (3) là phương trình đường tròn tâm O(-2 ;3), bán kính R = a2 + b2 - c = 25
=5
d) Ta có : (4)  x2 + y2 - 2x + 4y - 1 = 0  (x -1)2 + (y + 2)2 = 6
Vậy ( ) là phương trình đường tròn tâm (1 ; -2), bán kính R = 6.

5


e) Phương trình (5) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số x 2 và y2 là
khác nhau.
Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 + y2 - 2mx + 6my + 9m + 1 = 0 (1)
a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn?
b) Nếu (1) là phương trình đường tròn thì hãy tìm toạ độ tâm và bán kính
đường tròn đó theo m.
Giải:
a) (1) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 với a = m, b = -3m và c = 9m + 1
(1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi: a2 + b2 - c > 0
mà a2 + b2 - c > 0  m2 + (-3m)2 - 9m - 1 > 0  10m2 - 9m - 1 > 0


m > 1
m < -1
 10

-1
thì (1) là phương trình đường tròn tâm (m, -3m) và
10
có bán kính R = 10m2 - 9m - 1.

b) Khi m

1 hoặc m <

3. Một số bài tập ứng dụng:
Bài 1: Tìm toạ độ tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a) (x + 4)2 + (y - 2)2 = 7

d) x2 + y2 - 6x - 4y + c = 36

b) (x - 5)2 + (y + 7)2 = 16

e) x2 + y2 + 8x - 6y - 8 = 0

c) x2 + y2 = 1

g) 4x2 + 4y2 - 8x - 12y - 4 = 0

Bài 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn ? Tìm
tâm và bán kính nếu có.
a) x2 + y2 + 2x + 3y + 10 = 0

c) x2 + y2 - 2x - 6y - 10 = 0

b) 3x2 + y2 - 2x - 5y - 1 = 0

d) 2x2 + 2y2 - 6x - 4y - 1 = 0

Bài 3: Cho phương trình : x2 + y2 - 6mx + 8my + 23m + 2 = 0 (2)

a) Với giá trị nào của m thì (2) là phương trình đường tròn
b) Nếu (2) là phương trình của đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính của
đường tròn này.
VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
1. Một số d ng t án về ập phương t nh đư ng t n:
D ng 1: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm cho trước.
Cách 1:
* Tìm toạ độ tâm (a b) của đường tròn (C)
6


* Tìm bán kính

của đường tròn (C)

* Viết phương trình (C) theo dạng: (x - a)2 + (y - b2) = R2
Cách 2:
* Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
* Từ đi u kiện của đ bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số là a, b, c
Giải hệ phương trình tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C)
Chú ý: Đường tròn (C) đi qua A, B  IA2 = IB2 = R2
Trong dạng này có một bài toán rất hay gặp “viết phương trình đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC bài toán này cũng chính là bài toán viết phương trình
đường tròn đi qua ba điểm A, B, C không th ng hàng cho trước. Ta thường giải bài
toán này theo cách 2.
Ví dụ 3: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm I(2; -3) và đi qua M(-2; 3).
b) (C) có đường kính AB với A(1 1) và B(7 5).
Giải:
a) Ta có: IM =

(-2 - 2)2 + (3 + 3)2 = 52

Vậy phương trình của (C) là: (x - 2)2 + (y + 3)2 = 52
b) Tâm của (C) là trung điểm của AB

Ta có:
Do đó:

xI =

yI =

= A=

xA + xB 1+7
=
=4
2
2
yA + yB 1+5
=
=3
2
2
(1 - 4)2 + (1- 3)2 = 13

Vậy phương trình của (C) là: (x - 4)2 + (y - 3)2 = 13.
Ví dụ 4: Lập phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(-2; 4), B(5; 5),
C(6; -2).

Giải:
Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0)
(C) đi qua ba điểm A, B, C khi và chỉ khi:
4 + 16 + 4a - 16b + c = 0
4a - 16b + c = -20
25 + 25 - 10a - 10b + c = 0  10a + 10b - c = 50 
36 + 4 - 12a + 4b + c = 0
12a - 4b - c = 40

a = -2
-1
b = 2
c = - 20

Vậy phương trình đường tròn có dạng: x2 + y2 + 4x + y -20 = 0.

7


D ng 2: Lập phương trình đường tròn tiếp x c với đường th ng:
Chú ý:
* Đường tròn (C) tiếp x c với đường th ng   d(I, ) = R
* Đường tròn (C) đi qua A và tiếp x c với đường th ng  tại A
 d(I, ) = IA
* Đường tròn (C) tiếp x c với hai đường th ng 1 và 2
 d(I,1) = d(I, 2) = R.
Ví dụ 5: Lập phương trình của đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm (1 3) và tiếp x c x.
b) (C) có tâm (1 1) và tiếp x c với đường th ng : 3x + 4y -1 = 0.
Giải:

a) Đường th ng x có phương trình: y = 0 ()
Ta có: R = d(I, ) =

|1|
1

= 1.

Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng: (x -1)2 + (y - 3)2 = 1
b) Ta có: R = d(I, ) =

|3.1+4.1-1|
2

2

3 +4

=

6
5

Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x - 1)2 + (y - 1)2 =

36
.
25

Ví dụ 6: Lập phương trình đường tròn tiếp x c với hai trục toạ độ

qua M(1;2).

x,

y và đi

Giải:
Vì đường tròn tiếp x c x, y và đi qua M(1 2) thuộc góc phần tư thứ nhất
nên đường tròn cần tìm cũng thuộc góc phần tư thứ nhất.
Do đó tâm của đường tròn có toạ độ (

),

0,

là bán kính của đường tròn.

Ta có: IM = R  (R - 1)2 + (R - 1)2 = R2
R = 1
 R2 - 6R + 5 = 0  R = 5


Vậy có hai đường tròn thoã mãn đi u kiện bài toán là: (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1 hoặc
(x - 1)2 + (y - 1)2 = 25.
Ví dụ 7: Cho hai đường th ng 1: 4x - 3y + 1 = 0 và 2: 3x + 4y - 4 = 0
Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường th ng : x - y - 1 = 0 và tiếp
xúc với 1 và 2.

8

Giải:
Đường tròn cần tìm có tâm nằm trên đường th ng  suy ra toạ độ tâm có dạng
(a +1; a).
Ta có: d(I;1) =

|4(a+1) - 3a + 1|
2

2

4 + (-3)

=

|a + 5|
5

|3(a + 1) + 4a - 4| |7a - 1|

d(I;2) =

32 + 42

=

5

Vì đường tròn tiếp x c với 1 và 2 nên ta có:

|a + 5|
5

=

|7a - 1|
5

7a - 1 = a + 5
 |a + 5| = |7a - 1|  7a - 1 = - a - 5

6a = 6
 8a = - 4 


a = 1
a = -1
 2

6
36
Với a = 1  I(2;1) và R =  phương trình đường tròn: (x - 2)2 + (y - 1)2 =
5
25
Với a =

-1
1 -1
9
 I( ; ) , và R =

2
2 2
10

12 
12 81

x
y
+




 phương trình đường tròn:
2 + 
2 = 100 .

Ví dụ 8: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(-1 0), B(1 2) và tiếp x c
với đường th ng : x - y - 1 = 0
Giải:
Gọi (a b) và là bán kính của đường tròn (C) cần tìm suy ra phương trình của
(C) là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2
(C) tiếp x c : x - y - 1 = 0  d(I,) = R 

|a - b - 1|
2

=R
2

A, B  (C) 

(-1 - a)2 + b2 = R2

2
2
(a - 1) + (b - 2) =

R2 

(a - 1)2 + b2 = (a - b - 1) (1)
2

(a - b - 1)2
2
2
(a - 1) + (b - 2) =
2

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: (a + 1)2 + b2 = (a - 1)2 + (b-2)2  a = 1 - b
Thay a = 1 - b vào (2) ta có: b2 + (b - 2)2 = 2b2  b = 1  a = 0 , R = 2
Phương trình của (C) là: x2 + (y - 1)2 = 2
Ví dụ 9: Viết phương trình đường tròn của (C) tiếp x c với trục hoành tại điểm
A(2 0) và đi qua B(5 1).
9

Giải:
Đường tròn (C) tiếp x c với x tại A(6 0) nên a = 6, |b| = . Khi đó:
Đường tròn (C) có tâm (a b), bán kính

có phương trình:

(x - a)2 + (y - b)2 = R2 (1)
(1)  (x - 6)2 + (y - b)2 = b2
B(5;1)  (C)  (5 - 2)2 + (1 - b)2 = b2  2b = 10  b = 5  R = 5
Phương trình của (C) là: (x - 2)2 + (y - 5)2 = 25.
D ng 3: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Cách 1:
* Viết phương trình đường phân giác trong của hai góc của tam giác
* Tìm giao điểm hai đường phân giác đó ta được toạ độ tâm
* Tính khoảng cách từ tâm
đường tròn nội tiếp

đến 1 trong 3 cạnh của tam giác ta được

Cách 2:
*Tính diện tích ABC và độ dài các cạnh của tam giác để suy ra bán kính
S
đường tròn nội tiếp : r =
p
* Gọi (x,y) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, suy ra khoảng cách từ tâm
đến ba cạnh bằng nhau và bằng r. Từ đó thành lập được hệ phương trình 2 ẩn x và
y.
* Giải hệ phương trình đó tìm được x, y từ đó có phương trình đường tròn
phải tìm.
Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: 2x + y - 5 = 0

BC: x + 2y + 2 = 0; AC: 2x - y +
giác ABC.

= 0. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam
Giải:

Phương trình các đường phân giác góc A:
2x + y - 5
2x - y + 9
=
5
5
x - 7 = 0 (1)
x + 1 = 0 (2)

 

Ta có: (- 3 - 7).((1 - 7) > 0  B và C nằm v một phía của (1)  (1) là đường phân
giác ngoài của góc A. Vậy phân giác trong của góc A là đường th ng (2).
Các đường phân giác của góc B là:
x - y - 7 = 0 (3)
2x + y - 5
x + 2y + 2
=
 x + y - 1 = 0 (4)

5
5

10

Ta có: (-1 + 7 - 1).(-4 + 1 - 1) = -20 < 0
 A, C nằm v hai phía của ( )  đường phân giác trong của góc B là ( )
Gọi ,

là tâm và bán kính của (C) nội tiếp ABC.

x + 1 = 0
 Toạ độ là nghiệm của hệ x - y - 1 = 0 


R = d(I,AB) =

|2.(-1) + 1.2 - 5|
22 + 12

x

y

=-1
= 2  I(-1; 2)

= 5

Vậy (C) có phương trình: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 5.
Ví dụ 11: Cho ba điểm (0 0), A(8 0) và B(0 6).
a) Viết phương trình ngoại tiếp OAB
b) Viết phương trình nội tiếp OAB

Giải:
a) Nhận xét  AB vuông tại
nên tâm
trung điểm của cạnh huy n AB  I(4;3).
Bán kính R = IA =

của đường tròn ngoại tiếp OAB là

(8 - 4)2 + (0 - 3)2 = 5

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AB: (x - 4)2 + (y - 3)2 = 25.
1
b) Diện tích OAB là S = .8.6 = 24
2
Cạnh huy n AB =

(8 - 0)2 + (0 - 6)2 = 10

s
Nửa chu vi: p = 12  r = = 2
p
Vì đường tròn tiếp x c với hai trục toạ độ (a a) = (2 2)
Vậy phương trình đường tròn nội tiếp OAB là: (x - 2)2 + (y - 2)2 = 41.
2. Một số bài tập ứng dụng
Bài 1) Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm (1 2) và đi qua N(0 -1)
b) (C) có đường kính AB với A(1 ; -1) ; B(5 ; 7)
c) (C) có tâm (-1 1) tiếp x c với đường th ng : 3x + 4y - 1 = 0
Bài 2) Cho ba điểm A(1 ;4), B(-7 ; 4), C(2;5)
a) Lập phương trình đường tròn của (C) ngoại tiếp ABC

b) Tìm tâm và bán kính (C).
Bài 3) Cho đường tròn (C) đi qua hai điểm A(-1;2), B(-2 3) và có tâm nằm trên
đường th ng : x + y - 3 = 0

11


Bài 4) Cho 2 đường th ng 1: 3x + 4y - 1 = 0 và 2: x + 3y - 8 = 0. Lập phương
trình đường tròn có tâm nằm trên đường th ng d : -2x + y - 1 = 0 tiếp với 1 và 2.
Bài 5) Lập phương trình đường tròn (C) tiếp x c với các trục toạ độ và đi qua
B(9 ;9).
Bài 6) Lập phương trình của đường tròn (C) tiếp x c với đường th ng:
4x - 3y - 1 = 0 tại A(1 1) và đi qua B(3 ;2).
Bài 7) Lập phương trình đường tròn (C) tiếp x c với đường th ng : 4x - 3y - 1 = 0
tại A(1 1) và đi qua B( ;9).
Bài 8) Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết đường th ng
AB là : -x + y - 2 =0. Phương trình BC : -x + y + 2 = 0 và phương trình AC là x + y
- 8 = 0.
Bài 9) Lập phương trình đường tròn nội tiếp  ABC biết phương trình các cạnh
AB : 3x + y - 6 = 0, phương trình cạnh AC: 4x + 3y - 1 = 0, phương trình cạnh
BC : y = 0.
Bài 10) Lập phương trình đường tròn (C) tiếp x c với đường th ng  : -3x + 4y - 8
= 0 tại A( 5) và đi qua B(-3 ; -2).
VẤN ĐỀ 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG
VÀ ĐƯỜNG TRÒN
D ng 1: Xét vị trí tương đối của đường th ng và đường tròn:
Cho đường th ng  : Ax + By + C = 0 (1) (A2 + B2 ≠ 0)
và đường tròn (C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (2)
(C) có tâm I(a;b) và bán kính R
Để xét vị trí tương đối của đường th ng và đường tròn ta có hai cách

Cách 1: Xét số giao điểm của  và (C). Số giao điểm của  và (C) là số nghiệm
Ax + By + C = 0
của hệ phương trình: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (*)

Nếu hệ (*) vô nghiệm thì  và (C) không có điểm chung   không cắt (C).
Nếu hệ (*) có nghiệm duy nhất thì  và (C) có một điểm chung   tiếp x c với
đường tròn.
Nếu hệ (*) có hai nghiệm phân biệt thì  và (C) có hai giao điểm   cắt đường
tròn tại hai điểm phân biệt.
Cách 2: So sánh khoảng cách từ tâm đến  với bán kính .
Bước 1: Tìm toạ độ tâm (a b) và bán kính .
Bước 2: Tính khoảng cách từ tâm đến   m = d(I,) =

Ax + By + C
A2 + B2
12


Trường hợp 1: m
giao điểm nào.

suy ra  không cắt đường tròn (C) suy ra  và (C) không có

  tiếp x c đường tròn   và (C) có duy nhất một giao điểm.

Trường 2: h =

Trường hợp 3: h <
giao điểm.

  cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt   và (C) có hai

Ví dụ 12: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y - 8 = 0 và đường th ng
d: x - 5y - 2 = 0
a) Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C).
b) Tìm toạ độ giao điểm của (C) và d.
Giải:
a) (C) có tâm I(-1,2) bán kính R =

(-1)2 + 22 + 8 = 13

b) Toạ độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của hệ phương trình:
x - 5y - 2 = 0 (1)
 2
2
x + y - 2x - 4y -

8 = 0 (2)

Từ (1)  x = 5y + 2 thay vào (2): (5y + 2)2 + y2 - 2(5y + 2) - 4y - 8 = 0
y = 0
 26y2 + 26y = 0  y = -1


Với y = 0 thay vào (1) : x = 2
Với y = -1 thay vào (1) : x = -3
Vậy giao điểm của (C) và (d) là A(2 ;0) , B(-3 ;-1).
Ví dụ 13: Biện luận theo m vị trí tương đối của:
(C): x2 + y2 + 2x - 2y - 2 = 0 và đường th ng m : x - my + 2m + 3 = 0
Giải:

Gọi là tâm,

là bán kính (C):

 I(-1 ; 1), R =
Ta có: d(I,) =
Trường hợp 1:

(-1)2 + 12 + 2 = 2

|-1 - m.1 + 2m + 3|
1 + m2

| m + 2|
1+m

2

=

| m + 2|
1 + m2

< 2  (m + 2)2 < 4(1 + m2)
 3m - 4m > 0 
2

m < 0
m > 4
 3

 m có hai điểm chung (C).
Trường hợp 2:

| m + 2|
1+m

2

= 2  (m + 2)2 = 4(1 + m2)  3m2 - 4m = 0
13


m = 0
 m = 4
 3

 m tiếp x c với (C).

Trường hợp 3:

| m + 2|
1+m

2

> 2  (m + 2)2 > 4(1 + m2)

 3m2 - 4m < 0  0 < m <

4
 m không có điểm chung (C).
3

Ví dụ 14: Cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 1 = 0 và điểm M(2 -3).
a) Viết phương trình đường th ng  đi qua M và cắt (C) tại hai điểm phân biệt
sao cho đoạn AB đạt giá trị lớn nhất.
b) Viết phương trình đường th ng d đi qua M và cắt (C) tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho đoạn AB ngắn nhất.
Giải:
Đường tròn có tâm (1 -2), R = 3
IM =

(1 - 2)2 + (-3 + 2)2 = 2 < 3

 M nằm trong đường tròn  mọi đường th ng đi qua M đ u cắt đường tròn tại
hai điểm phân biệt.
a)  đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho AB lớn nhất  AB là

đường kính của (C)  đi qua M và IM = (1;-1) là vec tơ chỉ phương  vectơ

pháp tuyến của  là n (1;1).
Vậy phương trình : x -1 +1(y + 2) = 0  x + y + 1 = 0.
b) Gọi H là trung điểm của AB thì H  AB, AB = 2AH = 2 R2 - IH2
Do đó ABmin  IHmax.

Ta luôn có : IH  IM. Vậy IHmax H  M, tức là IM = (1;-1) là một vectơ pháp
tuyến của đường th ng d cần tìm. Từ đó suy ra phương trình của d là:
1(x -2) - 1(y + 3) = 0  x - y -5 = 0.
D ng 2 : Vi t phương t nh ti p tuy n với đư ng t n:

Cho đường tròn (C) có tâm I(a ;b), bán kính R.
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) tại điểm
M0(x0 ;y0)  (C).
Giải:
Gọi  là tiếp tuyến với đường tròn (C)
14



Ta có : M0   và vec tơ IM0 = (x0 - a ; y0 - b) là vec tơ pháp tuyến của .
Do đó  có phương trình là: (x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0 (1)
Bài toán 2 : Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn k từ điểm M(x y) không
thuộc đường tròn.
Cách 1:
TH 1: Xét đường tròn  đi qua M và vuông góc với x. Khi đó  có phương trình
là x = x0.
 là tiếp tuyến của đường tròn  d(I ;) = . Từ đ ng thức này sẽ suy ra được 
có phải là tiếp tuyến của đường tròn hay không.
TH2 : Xét đường th ng  đi qua M và có hệ số góc k. Phương trình của  có dạng :
y = k(x - x0) + y0
 tiếp x c với (C)  d(I,) = . Giải đi u kiện này tìm được k
Cách 2:
Đường th ng  đi qua M có phương trình : a(x - x0) + b(y - y0) = 0
trong đó : a2 + b2 ≠ 0
 là tiếp tuyến với đường tròn (C)  d(I,) = R (*)
Từ đi u kiện (*) tìm mối liên hệ giữa a và b. Vì a và b không đồng thời bằng không
nên có thể chọn a một giá trị thích hợp rồi suy ra b hoặc ngược lại.
Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến có hệ số
góc là k.
Giải:

- Phương trình đường th ng  có hệ số góc k có dạng y = kx + m
-  tiếp x c (C)  d(I,) = . Giải tìm đi u kiện ta tìm được m.
Chú ý: Nếu tiếp tuyến  song song với đường th ng ax + by + c = 0 thì phương
trình  sẽ có dạng : ax + by + c’ = 0 ( c ≠ c’).
Nếu tiếp tuyến  vuông góc với đường th ng ax + by + c = 0 thì phương
trình  sẽ có dạng : bx - ay + c’ = 0.
Ví dụ 15 : Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C):
(x + 2)2 + (y - 1)2 = 25, tại điểm M0(2

) thuộc đường tròn (C).
Giải:

(C) có tâm I(-2 1). Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0(2

) có dạng:

(x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0
 (2 + 2)(x - 2) + (4 - 1)(y - 4) = 0
15


 4x + 3y - 20 = 0
Ví dụ 16: Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 6x + 2y + 6 = 0 và điểm A(1 ;3)
a) Chứng minh rằng A ở ngoài đường tròn.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) k từ A.
Giải:
a) Đường tròn (C) có tâm I(3;-1), bán kính R = 2
IA =

(1-3)2 + (3 + 1)2 = 2 5

5 suy ra A nằm ngoài (C).

b) Cách 1:
Đường th ng  đi qua A có phương trình:
a(x -1) + b(y - 3) = 0 hay ax + by - a -3b = 0 (a2 + b2 ≠ 0)
 tiếp x c (C)  d(I,) = R 
 |a - 2b| =

|3a - b - a - 3b|
a2 + b 2

=2

a + b  b(3b - 4a) = 0 
2

2

b = 0
b = 4a
 3

Với b = 0, chọn a = 1, ta được tiếp tuyến thứ nhất 1: x - 1 = 0
4
Với b = a, chọn a = 3, b = , ta được tiếp tuyến thứ hai 2: 3x + 4y -15 = 0.
3
Cách 2:
Xét đường th ng  đi qua A vuông góc với x khi đó,  có phương trình x = 1
hay x - 1 = 0.

 tiếp x c với (C)  d(I,) = R 

|3-1|
1

=2 2=2

Đ ng thức cuối đ ng nên  là tiếp tuyến của (C).
Ta có tiếp tuyến thứ nhất 1: x - 1 = 0.
Xét đường th ng  đi qua A và có hệ số góc k. Phương trình của  là:
y = k(x - 1) + 3 hay kx - y + 3 - k = 0
 tiếp x c với (C)  d(I,) = R 
 |k + 1| =

|3k +1 + 3 - k|
k2 + 1

=2

k2 + 1  k2 + 4k + 4 = k2 + 1  k =

Ta được tiếp tuyến thứ hai 2: y =

-3
4

-3
(x - 1) hay 3x + 4 y - 15 = 0.
4

16


Ví dụ 17: Cho đường tròn (C) có phương trình : x2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0. Viết
phương trình tiếp tuyến  của đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a)  vuông góc với đường th ng d : 3x - 4y + 5 = 0.
b)  song song với đường th ng d : x + y - 1 = 0.
Giải:
Đường tròn (C) có tâm (2 ;-4), bán kính R = 5.
a) Phương trình của đường th ng  vuông góc với d có dạng : 4x + 3y + m = 0

 tiếp x c với (C)  d(I,) = R 

|4.2 + 3.(-4) + m|
42 + 32

= 5

m - 4 = 25
m = 29
 |m - 4| = 25  m - 4 = -25  m = -21



Vậy phương trình của  là: 4x + 3y + 29 = 0 hay 4x + 3y - 21 = 0.
b)  song song với đường th ng có dạng : x + y + m = 0 (m ≠ -1)
 tiếp x c với (C)  d(I,) = R 

|1.2 + 1.(-4) + m|
2

=5

m - 2 = 5 2
m = 2 + 5 2
 |m - 2| = 5 2  
 
m - 2 = -5 2
m = 2 - 5 2

Vậy phương trình của  là: x + y + 2 + 5 2 = 0 hay x + y + 2 - 5 2 = 0.
Ví dụ 18: Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 4x - 6y - 3 = 0
a) Viết phương trình đường th ng đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B
sao cho M là trung điểm của đoạn th ng AB.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn có hệ số góc k = 1.
Giải:
Đường tròn (C) có tâm (2 ;3) và bán kính R = 4
a) Ta có : IM = (1 - 2)2 + (1 - 3)2 = 5 < 3 = R  M nằm trong đường tròn. Vậy
mọi đường th ng đi qua M đ u cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Đường th ng  đi qua M cắt đường th ng tại hai điểm A và B sao cho M là

trung điểm của AB  IM  AB   nhận IM(-1;-2) làm vec tơ pháp tuyến 
phương trình của  là: -1(x -1) - 2(y -1) = 0 hay x + 2y - 3 = 0.
b) Phương trình của  có hệ số góc k = 1 có dạng y = x + m hay x - y + m = 0

17


 tiếp x c với (C)  d(I,) = R 

|1.2 - 1.3 + m|
1+1

=4

m -1 = 4 2
m = 1 + 4 2
 |m - 1| = 4 2  
 
m - 1 = - 4 2
m = 1 - 4 2

Vậy có hai tiếp tuyến x - y + 1 + 4 2 = 0 hay x - y + 1 - 4 2 = 0
Một số bài tập áp dụng:
Bài 1) Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 2x + 6y - = 0 và đường th ng
d: x - 2y + 1 = 0
a) Tìm tâm và bán kính của (C).
b) Tìm toạ độ giao điểm của (C) và d.
Bài 2) Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - x + 2y - = 0 và đường th ng m : mx - y +
1 = 0. Biện luận theo m vị trí tương đối của (C) và m.
Bài 3) Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 8x - 6y = 0. Viết phương trình đường th ng
 vuông góc với đường th ng d : 3x - y + 20 = 0 và cắt (C) tại hai điểm A,B sao
cho AB = 6.
Bài 4) Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + x + y + 6 = 0 có là tâm và đường th ng
: x + my - 2m + 3 = 0. Tìm m để  cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam
giác AB lớn nhất.
Bài 5) Cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 6y + 6 = 0 và điểm M(-3 1). Viết phương
trình tiếp tuyến của (C) k từ M.
Bài 6) Cho đường tròn (C): x2 + y2 + x + y - 17 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến
 của (C) trong các trường hợp sau:

a)  tiếp x c với (C) tại M(2 ;1).
b)  vuông góc với đường th ng d : 3x - 4y + 1 = 0.
c)  song song với đường th ng d : 2x + 3y - 4 = 0.
Bài 7) Cho đường tròn (C) :(x - 1)2 + (y + 2)2 = . Viết phương trình tiếp tuyến của
đường tròn (C) có hệ số góc k = 3.
Bài 8) Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x - 6y + 6 = 0. Gọi T1, T2 là các điểm k từ
các tiếp tuyến của (C) đi qua M(-3 1). Viết phương trình đường th ng qua T1, T2.
VẤN ĐỀ 4 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
D ng 1 : Vị trí tương đối của hai đường tròn.
Cho Hai đường tròn (C1): x2 + y2 - 2a1x - 2b1y + c1 = 0
(C2): x2 + y2 - 2a1x - 2b1y + c1 = 0
Để xét vị trí tương đối của (C1) và (C2) ta có hai phương pháp sau :
18


Phương pháp 1 : Xét số giao điểm của (C1) và (C2). Số giao điểm của (C1) và
(C2) là số nghiệm của hệ phương trình :
x2
 2
x

+ y2 - 2a1x - 2b1y + c1 = 0
+ y2 - 2a1x - 2b1y + c1 = 0

* Nếu hệ vô nghiệm thì (C1) và (C2) không có giao điểm chung nào  (C1) không
cắt (C2).
* Nếu hệ có duy nhất một nghiệm thì (C1) và (C2) có một điểm chung  (C1) tiếp
xúc với (C2).
* Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt thì (C1) và (C2) có hai điểm chung.
* Nếu hệ có vô số nghiệm thì (C1) trùng (C2).

Phương pháp 2: (C1) có tâm I1(a1 ;b1) và bán kính R1.
(C2) có tâm I2(a2 ;b2) và bán kính R2.
Tính I1I2 = d
Biện luận vị trí tương đối:
* Nếu d =

1

+ R2 thì (C1) và (C2) tiếp x c.

* Nếu d = |R1 - R2| thì (C1) và (C2) tiếp x c trong.
* Nếu d > R1 + R2 thì (C1) và (C2) ngoài nhau.
* d < |R1 - R2| thì (C1) và (C2) chứa trong nhau.
* Nếu |R1 - R2| < d < R1 + R2 thì (C1) và (C2) cắt nhau.
Ví dụ 19: xét vị trí tương đối của hai đường tròn sau:
(C1): x2 + y2 - 2x - 6y - 15 = 0
(C2): x2 + y2 - 4x + 2y - 4 = 0
Giải:
(C1) có tâm I1(1;3), R1 = 5
(C2) có tâm I2(2;-1), R2 = 4
I1 I 2 =

(2 - 1)2 + (-1 - 3)2 = 5

Ta thấy: |R1 - R2| < I1I2 < |R1 + R2|  hai đường tròn cắt nhau.
D ng 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn:
Để viết tiếp tuyến chung  của hai đường tròn ta làm như sau:
Kiểm tra xem đường th ng có dạng x = m có phải là tiếp tuyến chung của hai
đường tròn không.
Xét : y = ax + b. Đường th ng  là tiếp tuyến chung của hai đường tròn 

khoảng cách từ 1 đến 1 bằng 1 và khoảng cách từ 2 đến 2 = R2

19


d(I1,) = R1
 
d(I2,) = R2

Giải hệ ta tìm được a, b.
Ví dụ 20: Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 - 6x + 5 = 0
(C2): x2 + y2 - 12x - 6y + 44 = 0
a) Tìm tâm và bán kính của (C1) và (C2)
b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2.
Giải:
a) (C1) có tâm I1(3 ;0) và có bán kính R1 = 2
(C2) có tâm I2(6 ;3) và có bán kính R2 = 1
b) Xét đường th ng  có phương trình : x = m  x - m = 0
Đường th ng  tiếp x c (C1) và (C2):
|3 - m| = 2
d(I1,) = R1

 

d(I2,) = R2
|6 - m| = 1

m = 1
m = 5
 m = 5

 m = 7

m=5

Vậy ta có (C1) và (C2) có tiếp tuyến chung thứ nhất 1: x - 5 = 0
Xét đường th ng  có phương trình : y = ax + b  ax - y + b = 0
 là tiếp tuyến chung của hai đường th ng
d(I1,) = R1



d(I2,) = R2



|3a2+ b| = 2 (1)
a +1
6a - 3 + b
 a2 + 1 = 1 (2)

Từ (1) và (2)  |3a + b| = 2|6a - 3 + b|
T ư ng hợp 1: 3a + b = 2(6a - 3 + b)  b = 6 - 9a (3)
Thay vào (2) ta được:

|6a - 3 + 6 - 9a| =

a2 + 1  |3 - 3a| = a2 + 1

 9 - 18a + 9a2 = a2 + 1  4a2 - 9a + 4 = 0


a1 =

a =
2

9 + 17
8
9 - 17
8

20


Thay giá trị k vào (3) ta tính được:

b1 =

b =
2

-35 - 9 17
8
-35 + 9 17
8

Vậy ta được 2 tiếp tuyến 1: y =

9 + 17
-35 - 9 17

x+
8
8

Vậy ta được 2 tiếp tuyến 2: y =

9 - 17
-35 + 9 7
x+
8
8

Trường hợp 2 : 3a + b = -2(6a - 3 + b)  3b = 6 - 15a  m = 2 - 5a (4)
Thay vào (2) ta được:

|6a - 3 + 2 - 5a| = a2 + 1
|a - 1| = a2 + 1
 (a - 1)2 = a2 + 1
 a2 - 2a + 1 = a2 + 1  a = 0
Thay giá trị a vào ( ) ta được b = 2
Vậy ta được tiếp tuyến 4: y = 2.
VẤN ĐỀ 5 : CÁC ÀI TOÁN LI N

UAN ĐẾN HỌ ĐƯỜNG TRÒN

Trong vấn đ này ta thường gặp một số bài toán liên quan đến họ đường tròn như
sau:
Cho họ đường tròn (Cm): f(x,y,m) = 0.
Bài toán 1: Tìm tập hợp tâm của đường tròn (Cm)
Phương pháp giải:

- Tìm đi u kiện để phương trình đã cho là phương trình đường tròn.
- Tìm toạ độ tâm của đường tròn đã cho (theo m)

xI

yI

= f(m)
= g(m)

- Từ hệ trên khử m để tìm mối liên hệ giữa xI và yI.
- Kết hợp với đi u kiện tìm được ở trên để giới hạn quỹ tích tìm được.
Bài toán 2: Tìm điểm cố định mà họ đường tròn luôn đi qua với mọi m.
Phương pháp giải:
* Giả sử A(x0 ;y0) là điểm cố định mà họ đường tròn luôn đi qua với mọi m
 phương trình (x,y,m) = 0 đ ng với mọi m.
* Viết phương trình trên dưới dạng phương trình ẩn m sau đó cho tất cả các
hệ số của m bằng 0 kể cả hệ số tự do.
* Giải hệ đó ta sẽ tìm được x0 và y0.
21


Bài toán 3: Tìm điểm mà họ đường tròn không bao giờ đi qua với mọi m.
Phương pháp giải:
* Giả sử A(x0 ;y0) là điểm mà họ đường tròn không bao giờ đi qua với mọi m
 phương trình (x,y,m) = 0 vô nghiệm với mọi m.
* Viết phương trình trên dưới dạng phương trình ẩn m sau đó cho tất cả các
hệ số của m bằng 0 còn hệ số tự do khác 0.
* Giải hệ đó ta sẽ tìm được đi u kiện của x0 và y0.
Ví dụ 21 : Cho đường cong (Cm) có phương trình :

x2 + y2 + (m + 2)x - (m + 4)y + m + 1 = 0
a) Chứng minh rằng (Cm) luôn là đường tròn với mọi giá trị của m.
b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm) khi m thay đổi.
c) Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ các đường tròn (Cm) luôn đi qua hai điểm
cố định.
d) Tìm những điểm trong mặt ph ng toạ độ mà họ (Cm) không đi qua dù m lấy bất
cứ giá trị nào.
Giải:
a) Phương trình (Cm) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
với a = -

m+2
m+4
,b=
,c=m+1
2
2
 m + 22 m + 42
m2 + 4m + 8
 +
 - (m + 1) =
2   2 

2

Ta có: a2 + b2 - c = -

0 với mọi m.

Vậy (Cm) là đường tròn với mọi giá trị của m.

b) Toạ độ tâm

m

của đường tròn (Cm) là:

x = - m + 2
2
 m+4
y = 2

2x = -(m +2) (1)
 2y = m + 4 (2)


Cộng từng vế (1) với (2), ta được: 2x + 2y = 2 hay x + y - 1 = 0. Vậy tập hợp
tâm của đường tròn (C) là đường th ng có phương trình: x + y - 1 = 0.
c) Gọi M(x0;y0) là điểm cố định mà họ (Cm) luôn đi qua khi đó ta có:
x02 + y02 +(m + 2)x0 - (m + 4) y0 + m + 1 = 0, m
 (x0 - y0 + 1)m + x02 + y02+ 2x0 - 4y0 + m + 1 = 0, m
x - y + 1 = 0 (1)
0
0
 x 2 + y 2+ 2x - 4y + 1 = 0 (2)
 0
0
0
0

Từ (1) suy ra : x0 = y0 - 1, thay vào (2) ta được:

y0 = 0
(y0 -1) + y02 + 2(y0 - 1) - 4y0 + 1 = 0  2y02 - 4y02 = 0  y = 2
 0

22


Với y0 = 0 thì x0 = -1. Ta được điểm M1(-1;0)
Với y0 = 2 thì x0 = 1. Ta được điểm M2(1;2).
Vậy họ đường tròn (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định M1(-1;0) và M2(1;2).
d) (Cm) không đi qua điểm (x1 ;y1) với mọi m  phương trình ẩn m
(x1 - y1 + 1)m + x12 + y12 + 2x1 - 4y1 + 1 = 0 vô nghiệm
x1 - y1 + 1 = 0
y1 = x1 + 1
  2
 
2
x1 + y1 + 2x1 - 4y1 + 1 ≠ 0
x1 ≠ 1

Vậy tập hợp các điểm trong mặt ph ng toạ độ mà họ (Cm) không bao giờ đi
qua với mọi giá trị của m là đường th ng  có phương trình : y = x + 1 bỏ đi hai
điểm M1(-1;0) và M2(1;2).
Một số bài tập áp dụng:
Bài 1) Cho họ đường tròn (Cm) có phương trình :
9
1
x2 + y2 - 4mx - 2my + m2 - m - = 0.
2
2

Tìm tập hợp tâm của (Cm) khi m thay đổi.
Bài 2) Cho hai đường tròn:
(C1) x2 + y2 + 6x - 4y - 3 = 0 và (C2) x2 + y2 - 10x - 6y + 30 = 0
Chứng minh (C1) tiếp x c ngoài (C2).
Bài 3) Cho họ đường tròn (Cm) có phương trình: x2 + y2 - 7mx + 2my + m - 5 = 0.
Tìm m để họ (Cm) tiếp x c với đường tròn : x2 + y2 - 6x +7 = 0.
Bài 4) Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0
và (C2): x2 + y2 + 2x - 4y - 14 = 0.
a) Xác định các giao điểm của (C1) và (C2).
b) Viết phương trình đường tròn đi qua hai giao điểm đó và điểm A(0 ;1).
Bài 5) Cho họ đường tròn : x2 + y2 - 2mx - 2(m + 1)y + 2m - 1 = 0
a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ đường tròn luôn đi qua hai điểm cố
định.
b) Chứng minh rằng với mọi m, họ đường tròn luôn luôn cắt trục tung tại hai
điểm phân biệt.
Bài 6) Cho hai đường tròn (C1): (x - 1)2 + (y - 2)2 = 1
và (C2): (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4.
Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Bài 7) Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 - 4x - 8y + 11 = 0
và (C2): x2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0
23


a) Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (C1) và (C2).
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
Bài 8) Cho đường cong (Cm) có phương trình: x2 + y2 + 2mx - 2(m + 1)y - 1 = 0
a) Chứng minh (Cm) luôn là đường tròn với mọi giá trị của m.
b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi.
c) Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ các đường tròn luôn đi qua hai điểm cố
định.

d) Tìm những điểm trong mặt ph ng toạ độ mà họ không đi qua dù m lấy bất
cứ giá trị nào.
VẤN ĐỀ 6: MỘT SỐ CÁCH LẬP KHÁC PHƯƠNG TRÌNH DƯỜNG TRÒN
Đây là những cách lập phương trình đường tròn không theo một vấn đ nào
cụ thể trong năm vấn đ trên. Những cách lập phương trình này theo một cách
ngẫu hứng. Lời giải đưa ra dựa trên những kiến thức đã có với lối suy diễn đơn
giản. Trong vấn đê này tôi chỉ đưa ra một số ví dụ hay sử dụng trong các đ thi.
Ví dụ 22: Cho hai điểm A(2 0), B(6 0). Viết phương trình (C) tiếp x c
và khoảng cách từ tâm (C) tới B bằng 5.

x tại A

Giải:
Gọi ,

là tâm và bán kính của (C):

Vì (C) tiếp x c x tại A  toạ độ (2 b)
IB = 5 

(6 - 2)2 + (4 - b)2 = 5  (4 - b)2 = 9

4 - b = 3
b = 1
I(2;1), R = IA = 1
 4 - b = -3  b = 7  I(2;7), R = IA = 7



2

2

(C): (x - 2) + (y - 1) = 1
Vậy có hai đường tròn: (C): (x - 2)2 + (y - 7)2 = 49


Ví dụ 23: Trong mặt ph ng toạ độ xy cho hai đường th ng d: x - 7y + 10 = 0 và
: 2x + y = 0. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên , tiếp x c d tại
A(4;2).
Giải:
Gọi ,

là tâm và bán kính của (C)

Vì I   : y = -2x  toạ độ (t -2t)
Vì d tiếp x c (C) tại A nên ta có: A  d
 

IA  Ud  IA.Ud = 0  (4 - t ;2 + 2t)(7 ;1) = 0
 7(4 - t) + 1(2 + 2t) = 0  5t = 30  t = 6
24


 I(6 ;-12), R = IA = 200
 (C) có phương trình : (x - 6)2 + (y + 12)2 = 200.
Ví dụ 24 : (ĐHKA 2010) Cho hai đường th ng d1 : 3x + y = 0, d2 : 3x - y = 0.
Viết phương trình đường tròn (T) tiếp x c d1 tại A và cắt d2 tại B, C sao cho ABC
3
vuông tại B và diện tích  ABC bằng

, xA > 0.
2
Giải:
Gọi ,

là tâm và bán kính của (T)

Theo giả thiết  là trung điểm của AC,

= A.

A  d1 : y = - 3x  toạ độ của A(t ;- 3t)
Đường th

qua A(t ;- 3t)
 
ng AC : 
vectơ pháp tuyến n = U d = (-1,
1


3)

 AC có phương trình: -1(x - t) + 3(y + 3t) = 0  x - 3y - 4t = 0
 3x - y = 0

x = -2t
 
y = -2 3t
x - 3y - 4t = 0

C = AC  d2  toạ độ C là nghiệm của hệ : 

Đường th ng AB :

qua A(t ;- 3t)

vectơ pháp tuyến 
n = Ud = (1,

2

3)

 AB có phương trình : 1(x - t) + 3(y + 3t) = 0
 x + 3y + 2t = 0
B = AB  d2  toạ độ B là nghiệm của hệ :
x + 3y + 2t = 0

 3x - y = 0

SABC =



x = - t
2

3t
y = - 2

 t
3
 B- , - t
2 
2

3
1
3
 AB. BC =
 3t2. 9t2 = 3
2
2
2

t4 =

1
1
 t2 = 
9
3

 1

 A

 3



 -2



 3

; - 1 ; C

t =

t =



-1
(loại)
3
vì xA > 0
1
3


-3
, R = AI = 1
 2 3 2

; 2  I

1

;

25