Đề thi giữa kì giải tích 2013 2014 có đáp án

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ Môn Toán

ĐỀ THI GIỮA HỌC KỲ 2 NĂM HỌC 2012-2013
Môn thi: Giải tích 2
Ngày thi 18/03/2013. Thời gian làm bài: 45 phút.

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi 20 câu / 2 trang)

Đề 1833
y+z − xyz. Tính df
Câu
☛1.
✟Cho hàm f (x, y, z) = xe
A✠
(ey+z − yz)dx − (xey+z − xz)dy + (xey+z − xy)dz
✡
☛✟
B✠
(ey+z − yz)dx + (xey+z − xz)dy − (xey+z − xy)dz
✡
☛✟
C✠
(ey+z − yz)dx + (xey+z − xz)dy + (xey+z − xy)dz
✡
☛
✟
D✠
(ey+z + yz)dx + (xey+z + xz)dy + (xey+z + xy)dz
✡

2
3 − 18x − 30y
Câu
☛2.
✟Tìm tất cả điểm dừng của hàm f (x, y) = 3x y + y ☛
✟
A✠
(1, 3), (−1, −3), (3, 1), (−3, −1)
B✠
(1, 3), (3, 1)
✡
✡
☛✟
☛✟
C✠
(1, 1), (−1, −1), (3, 3), (−3, −3)
D✠
Các câu khác sai
✡
✡
2
2
Câu
☛3.
✟Tìm cực trị hàm f (x, y) = x + y − 32lnxy
A✠
fct = f (−4, −4) = 32(1 − ln16), fcd = f (4, 4) = 32 − 4ln2
✡
☛✟
☛✟

B✠
fct = f (−4, −4) = 32(1 − ln16) = f (4, 4)
C✠
fct = f (4, 4) = 32(1 − ln16)
✡
✡
☛✟
D✠
Các câu khác sai
✡
xdxdy
Câu 4.
Tính tích phân I = D
với D giới hạn bởi 2y x2 + y 2 4y, 0 x
x2 + y 2
☛✟
☛✟
☛✟
☛✟
A
4
B
2
C✠
0
D✠
2π
✡✠
✡✠
✡

✡

x2✟
+ y 2 = 10
Câu
☛5.
✟Tìm cực trị hàm f (x, y) = x − 3y − 1 với điều kiện☛
A✠
fct = f (−2, 3) = −12, fcd = f (2, −3) = 10
B✠
f = f (3, −1) = 5, fct = f (−3, −1) = −7
✡
✡
☛✟
☛
✟cd
C✠
fct = f (−1, 3) = −11, fcd = f (1, −3) = 9
D✠
Hàm không có cực trị
✡
✡
√
Câu 6. Tính tích phânI = D xdxdy với D giới hạn bởi xy = 8, y = x, x = 1
☛ ✟ 58
☛✟
☛ ✟58
☛✟
14
A✠

−
B✠
C✠
ln4 +
D✠
Các câu khác sai
✡
✡
✡
✡
5
5
3
lnx
Câu 7.
tại lân cận diểm (1, −1) là
Hệ số của (x − 1)2 (y + 1) trong khai triển Taylor hàm f (x, y) =
y
☛ ✟−1
☛✟
☛✟
☛ ✟1
A✠
B✠
−1
C✠
1
D✠
✡
✡

✡
✡
2
2
2y
Câu 8. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 2 hàm f (x, y) = ln(e + x)e
☛ ✟x
☛✟ x
x2
2
x2
2
2+R
A
+
2y
−
−
xy
+
2y
B
1
+
+
2y
−
− xy + 2y 2 + R2
2
✡ ✠e

✡
✠
2
2
2e
e
e
2e
e
☛✟ x
☛✟ x
x2 2
x2
1
2
C✠
1 + + 2y −
− xy + 2y + R2
D✠
1 + + 2y − 2 − xy + 2y 2 + R2
✡
✡
e
2e e
e
2e
e
Câu 9. Tìm GTLN, GTNN của hàm f (x, y) = x2 +y 2 −xy +x+y trong miền D giới hạn bởi x = 0, y = 0, x+y =
☛ ✟−3
☛✟

A✠
fmin = −2, fmax = 6
B✠
f
= −1, fmax = 7
✡
✡
☛✟
☛
✟min
C✠
fmin = −1, fmax = 6
D✠
fmin = −2, fmax = 7
✡
✡
Câu 10.

√
1+ 1−x2 −2x

2

Đổi tích phân sau sang toạ độ cực I =

dx

☛✟
A✠
I=

✡

π
2

☛✟
B✠
I=
✡

2sinϕ

dϕ
π
4

f (x, y)dy
x

0

rf (rcosϕ, rsinϕ)dr
0

☛✟
C✠
Các câu khác sai
✡

☛✟

D✠
I=
✡

π
2

2cosϕ

dϕ
π
4

rf (rcosϕ, rsinϕ)dr
0

2(sinϕ+cosϕ)

dϕ
π
4

π
2

rf (rcosϕ, rsinϕ)dr
0

Trang 1/2- Đề 1833

2
3
với điều kiện y − x = 4
Câu☛11.
✟Tìm cực trị hàm f (x, y) = 2x + y + xy + 8x + 3y
☛✟
A✠
fct = f (−3, 1) = −21, fcd = f (−7, −3) = 11
B✠
fcd = f (−3, 1) = 21, fct = f (−7, −3) = −11
✡
✡
☛✟
☛✟
C✠
Các câu khác sai
D✠
fct = f (−3, 1) = −5, fcd = f (−7, −3) = 27
✡
✡

Câu 12. Cho hàm z = ln(ex + ey ), x = u + v, y = uv, tính zu + zv tại u=1, v=0
☛ ✟ 3e
☛ ✟2e − 1
☛ ✟e + 1
☛ ✟2e + 1
A
B
C

D✠
✡ ✠1 + e
✡ ✠1 + e
✡
✡ ✠1 + e
1+e
√
Câu 13. Tính diện tích miền D giới hạn bởi y = 1 + 1 − x2 , y = x, y = −x
☛ ✟pi
☛ ✟pi
☛ ✟pi
☛✟
A✠
B✠ +1
C✠ +1
D✠
1
✡
✡
✡
✡
2
4
2
Câu 14. Tìm GTLN, GTNN của hàm f (x, y) = xy 2 trong hình tròn x2 + y 2 1
☛✟
☛✟
1
1
2

2
A✠
fmin = − √ , fmax = √
B✠
fmin = − √ , fmax = √
✡
✡
3 3
3 3
3 3
3 3
☛✟
☛✟
2
2
C✠
fmin = − √ , fmax = √
D✠
Không có GTLN, GTNN
✡
✡
5 3
5 3
x2 − 2y = 1 − z 2
Câu☛15.
✟Nhận dạng mặt bậc 2 sau
☛✟
☛✟
A
Mặt

nón
B
Mặt
ellipsoid
C✠
Mặt paraboloid elliptic
✡
✠
✡✠
✡
☛✟
D✠
Các câu khác sai
✡

Câu 16. Viết cận tích phân I =
2
e2
☛✟
A
I
=
dx
f (x, y)dy
✡✠

☛✟
C✠
I=
✡

−2
1

D

f (x, y)dxdy với miền D giới hạn bởi y = e2 , y = e2x , x = −2
1
e2
☛✟
B
I
=
dx
f (x, y)dy
✡✠

e2x
e2x

−2

☛✟
D✠
I=
✡

f (x, y)dy

dx

e2

−1
1

e2x
e2

f (x, y)dy

dx
−2

e2x

Câu 17. Cho hàm z = z(x, y) xác định từ phương trình zex+y = xez − 1. Tính dz(1, 1) biết z(1, 1) = 0
☛ ✟ dx
☛ ✟dx + dy
☛ ✟−dx
☛ ✟dx − dy
A
B
C
D✠
✡ ✠1 − e2
✡ ✠1 − e2
✡
✡ ✠1 − e2
1 − e2
Câu 18. Cho hàm f (x, y) = x2 + y 2 . Tính f ”xy

☛ ✟ −xy
☛ ✟ −xy
☛✟
☛ ✟ −xy
xy
A✠
B✠
C✠
D✠ 2
✡
✡
✡
✡
(x + y 2 )3
(x2 + y 2 )3
(x2 + y 2 )3
x2 + y 2
Câu 19.

1

Đổi thứ tự lấy tích phân I =

x

0
0
☛✟
A✠
I = dy

✡

☛✟
C✠
I=
✡

−1
0

dy
−1

1
√
1− y+1
1
√
1+ y+1

f (x, y)dy

dx
x2 −2x
1

f (x, y)dx +

dy

f (x, y)dx +

dy
0

f (x, y)dx
f (x, y)dx

0
☛✟
D✠
I = dy
✡

−1

y
y

0
1

1

√

1− y+1
1
☛✟
B

I
=
dy
f (x, y)dx
✡✠

1

−1

y
y

√
1+ y+1

f (x, y)dx

Câu 20. Tính diện tích miền D giới hạn bởi y 2 + 2y − 3x + 1 = 0, 3y − 3x + 7 = 0
☛✟
☛ ✟25
☛ ✟125
A✠
9
B✠
C✠
✡
✡
✡
18

2

☛✟
D✠
Các câu khác sai
✡

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

PGS. TS. Nguyễn Đình Huy

Trang 2/2- Đề 1833


ĐÁP ÁN

Đề 1833
☛✟

☛✟

☛✟

☛✟

☛✟

Câu 1. ✡
C✠

C✠
Câu 5. ✡

C✠
Câu 9. ✡

C✠
Câu 13. ✡

A✠
Câu 17. ✡

Câu 2. ✡
A✠

Câu 6. ✡
A✠

D✠
Câu 10. ✡

Câu 14. ✡
B✠

Câu 18. ✡
B✠

Câu 3. ✡
B✠

Câu 7. ✡
D✠

Câu 11. ✡
D✠

Câu 15. ✡
C✠

A✠
Câu 19. ✡

Câu 4. ✡
B✠

Câu 8. ✡
B✠

Câu 12. ✡
D✠

Câu 16. ✡
D✠

Câu 20. ✡
B✠

☛✟
☛✟
☛✟

☛✟
☛✟
☛✟

☛✟
☛✟
☛✟

☛✟
☛✟
☛✟

☛✟

☛✟
☛✟

Trang 1/2- Đề 1833


ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ Môn Toán
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi 20 câu / 2 trang)

ĐỀ THI GIỮA HỌC KỲ 2 NĂM HỌC 2012-2013
Môn thi: Giải tích 2
Ngày thi 18/03/2013. Thời gian làm bài: 45 phút.

Đề 1834
hàm f (x, y) = 3x2 y + y 3 − 18x − 30y
Câu
✟Tìm tất cả điểm dừng của
☛1.
☛✟
A✠
Các câu khác sai
B✠
(1, 3), (−1, −3), (3, 1), (−3, −1)
✡
✡
☛✟
D✠
(1, 1), (−1, −1), (3, 3), (−3, −3)
✡

☛✟
C✠
(1, 3), (3, 1)
✡

Câu 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm f (x, y) = xy 2 trong hình tròn x2 + y 2
☛✟
A✠
Không có GTLN, GTNN
✡
☛✟
2
2

C✠
fmin = − √ , fmax = √
✡
3 3
3 3

Câu 3.

Tính tích phân I =

xdxdy
D

☛✟
A✠
2π
✡

1

☛✟
1
1
B✠
fmin = − √ , fmax = √
✡
3 3
3 3
☛✟
2

2
D✠
fmin = − √ , fmax = √
✡
5 3
5 3

x2 + y 2
☛✟
B✠
4
✡

với D giới hạn bởi 2y

x2 + y 2

4y, 0

☛✟
C✠
2
✡

x
☛✟
D✠
0
✡

Câu 4. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 2 hàm f (x, y) = ln(e + x)e2y
☛✟ x
☛ ✟x
x2
1
x2
2
2+R
+
2y
−
−
xy
+
2y
+
2y
−
− xy + 2y 2 + R2
A
1
+
B
2
✡✠
✡
✠
2
2
e

2e
e
e
2e
e
☛✟ x
☛✟ x
x2
2
x2 2
2
C✠
1 + + 2y − 2 − xy + 2y + R2
D✠
1 + + 2y −
− xy + 2y 2 + R2
✡
✡
e
2e
e
e
2e e
Câu 5. Cho hàm z = z(x, y) xác định từ phương trình zex+y = xez − 1. Tính dz(1, 1) biết z(1, 1) = 0
☛ ✟dx − dy
☛ ✟−dx
☛ ✟ dx
☛ ✟dx + dy
A✠
B✠

C✠
D✠
✡
✡
✡
✡
2
2
2
1−e
1−e
1−e
1 − e2
y+z − xyz. Tính df
Câu
☛6.
✟Cho hàm f (x, y, z) = xe
y+z
y+z
A✠
(e
+ yz)dx + (xe
+ xz)dy + (xey+z + xy)dz
✡
☛✟
B✠
(ey+z − yz)dx − (xey+z − xz)dy + (xey+z − xy)dz
✡
☛✟
C✠

(ey+z − yz)dx + (xey+z − xz)dy − (xey+z − xy)dz
✡
☛
✟
D✠
(ey+z − yz)dx + (xey+z − xz)dy + (xey+z − xy)dz
✡

2
3
với điều kiện y − x = 4
Câu
☛7.
✟Tìm cực trị hàm f (x, y) = 2x + y + xy + 8x + 3y
☛✟
A
f
=
f
(−3,
1)
=
−5,
f
=
f
(−7,
−3)
=
27

B
f = f (−3, 1) = −21, fcd = f (−7, −3) = 11
cd
✡
✠ct
✡✠
☛✟
☛
✟ct
C✠
fcd = f (−3, 1) = 21, fct = f (−7, −3) = −11
D✠
Các câu khác sai
✡
✡

x − 3y − 1 với điều kiện x2 + y 2 = 10
Câu
☛8.
✟Tìm cực trị hàm f (x, y)☛=✟
A✠
Hàm không có cực trị ✡
B✠
fct = f (−2, 3) = −12, fcd = f (2, −3) = 10
✡
☛✟
☛✟
C
f
=

f
(3,
−1)
=
5,
f
=
f
(−3,
−1)
=
−7
D✠
fct = f (−1, 3) = −11, fcd = f (1, −3) = 9
ct
cd
✡
✡✠
Câu 9. Viết cận tích phân I =
e2
1
☛✟
A
I
=
dx
f (x, y)dy
✡✠

☛✟

C✠
I=
✡

Câu 10.

−2
1

D

f (x, y)dxdy với miền D giới hạn bởi y = e2 , y = e2x , x = −2
e2
2
☛✟
B
I
=
dx
f (x, y)dy
✡✠

e2x
e2

dx
−1

☛✟
D✠

I=
✡

f (x, y)dy
e2x
1

Đổi thứ tự lấy tích phân I =

0
☛✟
A✠
I = dy
✡
−1

1
☛✟
C
I
=
dy
✡✠
−1

y
√
1+ y+1
√
1− y+1

f (x, y)dx

dx
−2

f (x, y)dy
e2

f (x, y)dy
x2 −2x
0
☛✟
B✠
I = dy
✡
−1

f (x, y)dx
y

e2x
e2x

x

dx
0

−2

1

0
☛✟
D
I
=
dy
✡✠
−1

1
√
1− y+1

1

f (x, y)dx +

y

1

f (x, y)dx +

f (x, y)dx
y

0

1
√
1+ y+1

1

dy
dy
0

f (x, y)dx
1

Trang 1/2- Đề 1834


Câu 11.

Hệ số của (x − 1)2 (y + 1) trong khai triển Taylor hàm f (x, y) =

☛ ✟1
A✠
✡
2

☛✟
C✠
−1
✡

☛ ✟−1
B✠
✡
2

Câu 12. Cho hàm f (x, y) =
☛ ✟ −xy
A✠ 2
✡
(x + y 2 )3

x2 + y 2 . Tính f ”xy
☛ ✟ −xy

☛✟
C✠
✡

B✠
✡

lnx
tại lân cận diểm (1, −1) là
y
☛✟
D✠
1
✡

☛ ✟ −xy

D✠
✡
x2 + y 2

xy

(x2 + y 2 )3
(x2 + y 2 )3
Câu 13. Cho hàm z = ln(ex + ey ), x = u + v, y = uv, tính zu + zv tại u=1, v=0
☛ ✟2e + 1
☛ ✟e + 1
☛ ✟ 3e
☛ ✟2e − 1
A✠
B✠
C✠
D✠
✡
✡
✡
✡
1+e
1+e
1+e
1+e
√
2
Câu 14. Tính diện tích miền D giới hạn bởi y = 1 + 1 − x , y = x, y = −x
☛ ✟pi
☛✟

☛ ✟pi
☛ ✟pi
A
1
B
C✠ +1
D✠ +1
✡✠
✡ ✠2
✡
✡
4
2
Câu 15. Tìm GTLN, GTNN của hàm f (x, y) = x2 +y 2 −xy +x+y trong miền D giới hạn bởi x = 0, y = 0, x+y =
☛ ✟−3
☛✟
A✠
fmin = −2, fmax = 7
B✠
f
= −2, fmax = 6
✡
✡
☛✟
☛
✟min
C✠
fmin = −1, fmax = 7
D✠
fmin = −1, fmax = 6

✡
✡
Câu 16. Tính diện tích miền D giới hạn bởi y 2 + 2y − 3x + 1 = 0, 3y − 3x + 7 = 0
☛✟
☛ ✟125
☛✟
☛ ✟25
A✠
Các câu khác sai
B✠
9
C✠
D✠
✡
✡
✡
✡
18
2
2 + y 2 − 32lnxy
Tìm
cực
trị
hàm
f
(x,
y)
=
x
Câu☛17.

✟
☛✟
A
Các câu khác sai
B✠
fct = f (−4, −4) = 32(1 − ln16), fcd = f (4, 4) = 32 − 4ln2
✡
✠
✡
☛✟
☛✟
C
f
=
f
(−4,
−4)
=
32(1
−
ln16)
=
f
(4,
4)
D✠
fct = f (4, 4) = 32(1 − ln16)
ct
✡
✡✠

x2 − 2y = 1 − z 2
Câu☛18.
✟Nhận dạng mặt bậc 2 sau
☛✟
A✠
Các câu khác sai
B✠
Mặt nón
✡
✡
☛✟
D✠
Mặt paraboloid elliptic
✡
Câu 19.

2

Đổi tích phân sau sang toạ độ cực I =

☛✟
C✠
I=
✡

π
2

2(sinϕ+cosϕ)

dϕ
π
4
π
2

rf (rcosϕ, rsinϕ)dr
0
2cosϕ

dϕ
π
4

rf (rcosϕ, rsinϕ)dr
0

Câu 20. Tính tích phânI =
☛✟
A✠
Các câu khác sai
✡

√
1+ 1−x2 −2x

dx
0

☛✟

A✠
I=
✡

☛✟
C✠
Mặt ellipsoid
✡

f (x, y)dy
x

☛✟
B✠
I=
✡

π
2
π
4

rf (rcosϕ, rsinϕ)dr
0

☛✟
D✠
Các câu khác sai
✡

xdxdy với D giới hạn bởi xy = 8, y =
☛ ✟58
☛ ✟ 58
B✠
−
C✠
✡
✡
5
5

D

2sinϕ

dϕ

√

x, x = 1

☛✟
14
D✠
ln4 +
✡
3

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

PGS. TS. Nguyễn Đình Huy

Trang 2/2- Đề 1834


ĐÁP ÁN

Đề 1834
☛✟

☛✟

☛✟

☛✟

☛✟

☛✟

Câu 1. ✡
B✠

Câu 4. ✡
C✠

Câu 8. ✡
D✠

Câu 12. ✡

C✠

Câu 16. ✡
C✠

Câu 19. ✡
A✠

☛✟
C✠
Câu 2. ✡

Câu 5. ✡
B✠

A✠
Câu 9. ✡

Câu 13. ✡
A✠

Câu 20. ✡
B✠

Câu 6. ✡
D✠

B✠
Câu 10. ✡

D✠
Câu 14. ✡

☛✟
Câu 17. ✡
C✠

Câu 7. ✡
A✠

Câu 11. ✡
A✠

Câu 15. ✡
D✠

☛✟

Câu 3. ✡
C✠

☛✟

☛✟
☛✟

☛✟
☛✟

☛✟

☛✟
☛✟
☛✟

☛✟

☛✟

Câu 18. ✡
D✠

Trang 1/2- Đề 1834


ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ Môn Toán

ĐỀ THI GIỮA HỌC KỲ 2 NĂM HỌC 2012-2013
Môn thi: Giải tích 2
Ngày thi 18/03/2013. Thời gian làm bài: 45 phút.

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi 20 câu / 2 trang)

Đề 1835
Câu 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm f (x, y) = xy 2 trong hình tròn x2 + y 2 1
☛✟
☛✟
1

1
A✠
fmin = − √ , fmax = √
B✠
Không có GTLN, GTNN
✡
✡
3 3
3 3
☛✟
☛✟
2
2
2
2
√
√
C
f
=
−
D✠
fmin = − √ , fmax = √
,
f
=
min
max
✡
✡✠

3 3
3 3
5 3
5 3
2 , y = e2x , x = −2
Viết
cận
tích
phân
I
=
f
(x,
y)dxdy
với
miền
D
giới
hạn
bởi
y
=
e
Câu 2.
D
2
e2
☛✟
A✠
I = dx f (x, y)dy

✡

1
e2
☛✟
B✠
I = dx f (x, y)dy
✡

1
e2
☛✟
C✠
I = dx f (x, y)dy
✡

1
e2x
☛✟
D✠
I = dx f (x, y)dy
✡

−2

−2

e2x

−1

−2

e2x

ln(ex

e2x

e2

ey ), x

+
= u + v, y = uv, tính zu + zv tại u=1, v=0
Câu 3. Cho hàm z =
☛ ✟ 3e
☛ ✟e + 1
☛ ✟2e + 1
A
B
C✠
✡ ✠1 + e
✡ ✠1 + e
✡
1+e
1
x
Câu 4.
f (x, y)dy

Đổi thứ tự lấy tích phân I = dx
0

☛✟
A✠
I=
✡

0

1

dy
−1

1
☛✟
C
I
=
dy
✡✠

√
1− y+1
√
1− y+1

f (x, y)dx +

x2 −2x
1

dy
0

0
☛✟
B
I
=
dy
✡✠

f (x, y)dx

−1

y

0
☛✟
D
I
=
dy
✡✠

f (x, y)dx

−1

Câu 5.

1

−1

y

Hệ số của (x − 1)2 (y + 1) trong khai triển Taylor hàm f (x, y) =

☛ ✟−1
A✠
✡
2

☛✟
C✠
−1
✡

☛ ✟1
B✠
✡
2

Câu 6.

dx

0

☛✟
A✠
I=
✡
☛✟
C✠
I=
✡

π
2

2sinϕ

dϕ
π
4
π
2

rf (rcosϕ, rsinϕ)dr
0
2cosϕ

rf (rcosϕ, rsinϕ)dr

dϕ
π

4

y
√
1+ y+1

f (x, y)dx

1

y

1

√
1+ y+1

f (x, y)dx +

dy
0

f (x, y)dx
1

lnx
tại lân cận diểm (1, −1) là
y
☛✟
D✠

1
✡

√
1+ 1−x2 −2x

2

Đổi tích phân sau sang toạ độ cực I =

☛ ✟2e − 1
D✠
✡
1+e

0

f (x, y)dy
x

☛✟
B✠
I=
✡

π
2

2(sinϕ+cosϕ)

dϕ
π
4

rf (rcosϕ, rsinϕ)dr
0

☛✟
D✠
Các câu khác sai
✡

Câu 7. Tính diện tích miền D giới hạn bởi y 2 + 2y − 3x + 1 = 0, 3y − 3x + 7 = 0
☛✟
☛ ✟125
☛✟
A
9
B
Các
câu
khác
sai
C✠
✡✠
✡✠
✡
18
y+z − xyz. Tính df
Cho

hàm
f
(x,
y,
z)
=
xe
Câu
8.
☛✟
A✠
(ey+z − yz)dx − (xey+z − xz)dy + (xey+z − xy)dz
✡
☛✟
B✠
(ey+z + yz)dx + (xey+z + xz)dy + (xey+z + xy)dz
✡
☛✟
C✠
(ey+z − yz)dx + (xey+z − xz)dy − (xey+z − xy)dz
✡
☛
✟
D✠
(ey+z − yz)dx + (xey+z − xz)dy + (xey+z − xy)dz
✡
x2 − 2y = 1 − z 2
Câu
☛9.
✟Nhận dạng mặt bậc 2 sau

☛✟
A✠
Mặt nón
B✠
Các câu khác sai
✡
✡
☛✟
D✠
Mặt paraboloid elliptic
✡

☛ ✟25
D✠
✡
2

☛✟
C✠
Mặt ellipsoid
✡

Trang 1/2- Đề 1835


2
3 − 18x − 30y
Câu☛10.
✟Tìm tất cả điểm dừng của hàm f (x, y) = 3x y + y ☛
☛✟

✟
A
(1,
3),
(−1,
−3),
(3,
1),
(−3,
−1)
B
Các
câu
khác
sai
C✠
(1, 3), (3, 1)
✡
✠
✡✠
✡
☛✟
D✠
(1, 1), (−1, −1), (3, 3), (−3, −3)
✡
√
Câu 11. Tính tích phânI = D xdxdy với D giới hạn bởi xy = 8, y = x, x = 1
☛ ✟ 58
☛ ✟58
☛✟

☛✟
14
A
−
B
Các
câu
khác
sai
C
D✠
ln4 +
✡✠ 5
✡✠
✡
✡ ✠5
3
√
Câu 12. Tính diện tích miền D giới hạn bởi y = 1 + 1 − x2 , y = x, y = −x
☛ ✟pi
☛ ✟pi
☛✟
☛ ✟pi
A✠
B✠
1
C✠ +1
D✠ +1
✡
✡

✡
✡
2
4
2
Câu 13. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 2 hàm f (x, y) = ln(e + x)e2y
☛ ✟x
☛✟ x
2
1
x2
x2
2+R
A
−
B
1
+
− xy + 2y 2 + R2
+
2y
−
xy
+
2y
+
2y
−
2
✡ ✠e

✡✠
2e2
e
e
2e2
e
2
☛✟ x
☛✟ x
x2
2
x
2
C✠
1 + + 2y − 2 − xy + 2y 2 + R2
D✠
1 + + 2y −
− xy + 2y 2 + R2
✡
✡
e
2e
e
e
2e e
Câu 14. Cho hàm f (x, y) = x2 + y 2 . Tính f ”xy
☛ ✟ −xy
☛✟
☛ ✟ −xy
☛ ✟ −xy

xy
A✠
B✠ 2
C✠
D✠
✡
✡
✡
✡
2
3
(x + y )
(x2 + y 2 )3
(x2 + y 2 )3
x2 + y 2

Câu 15. Tìm GTLN, GTNN của hàm f (x, y) = x2 +y 2 −xy +x+y trong miền D giới hạn bởi x = 0, y = 0, x+y =
☛ ✟−3
☛✟
A
f
=
−2,
f
=
6
B✠
f
= −2, fmax = 7
min

max
✡
✠
✡
☛✟
✟min
☛
C
f
=
−1,
f
=
7
D
f
max
✡ ✠min = −1, fmax = 6
✡ ✠min
2
3
với điều kiện y − x = 4
Câu☛16.
✟Tìm cực trị hàm f (x, y) = 2x + y + xy + 8x + 3y
☛✟
A
f
=
f
(−3,

1)
=
−21,
f
=
f
(−7,
−3)
=
11
B
f = f (−3, 1) = −5, fcd = f (−7, −3) = 27
cd
✡
✠ct
✡✠
☛✟
☛
✟ct
C✠
fcd = f (−3, 1) = 21, fct = f (−7, −3) = −11
D✠
Các câu khác sai
✡
✡
xdxdy
Câu 17.
Tính tích phân I = D
với D giới hạn bởi 2y x2 + y 2 4y, 0 x
2

2
x +y
☛✟
☛✟
☛✟
☛✟
A
4
B
2π
C✠
2
D✠
0
✡✠
✡✠
✡
✡

x2✟
+ y 2 = 10
Câu☛18.
✟Tìm cực trị hàm f (x, y) = x − 3y − 1 với điều kiện☛
A✠
fct = f (−2, 3) = −12, fcd = f (2, −3) = 10
B✠
Hàm không có cực trị
✡
✡
☛✟

☛
✟
C✠
fcd = f (3, −1) = 5, fct = f (−3, −1) = −7
D✠
fct = f (−1, 3) = −11, fcd = f (1, −3) = 9
✡
✡
2
2
Câu☛19.
✟Tìm cực trị hàm f (x, y) = x + y − 32lnxy
☛✟
A✠
fct = f (−4, −4) = 32(1 − ln16), fcd = f (4, 4) = 32 − 4ln2
B✠
Các câu khác sai
✡
✡
☛✟
☛✟
C✠
fct = f (−4, −4) = 32(1 − ln16) = f (4, 4)
D✠
fct = f (4, 4) = 32(1 − ln16)
✡
✡

Câu 20. Cho hàm z = z(x, y) xác định từ phương trình zex+y = xez − 1. Tính dz(1, 1) biết z(1, 1) = 0
☛ ✟ dx

☛ ✟−dx
☛ ✟dx − dy
☛ ✟dx + dy
A✠
B✠
C✠
D✠
✡
✡
✡
✡
2
2
2
1−e
1−e
1−e
1 − e2
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

PGS. TS. Nguyễn Đình Huy

Trang 2/2- Đề 1835


ĐÁP ÁN

Đề 1835
☛✟

☛✟

☛✟

☛✟

☛✟

Câu 1. ✡
C✠

Câu 5. ✡
B✠

Câu 9. ✡
D✠

Câu 13. ✡
C✠

Câu 17. ✡
C✠

B✠
Câu 2. ✡

B✠
Câu 6. ✡

Câu 10. ✡

A✠

Câu 14. ✡
C✠

Câu 18. ✡
D✠

Câu 3. ✡
B✠

Câu 7. ✡
C✠

Câu 11. ✡
A✠

Câu 15. ✡
D✠

Câu 19. ✡
C✠

A✠
Câu 4. ✡

Câu 8. ✡
D✠

D✠

Câu 12. ✡

Câu 16. ✡
B✠

Câu 20. ✡
A✠

☛✟
☛✟
☛✟

☛✟
☛✟

☛✟

☛✟
☛✟
☛✟

☛✟
☛✟
☛✟

☛✟
☛✟

☛✟

Trang 1/2- Đề 1835


ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ Môn Toán

ĐỀ THI GIỮA HỌC KỲ 2 NĂM HỌC 2012-2013
Môn thi: Giải tích 2
Ngày thi 18/03/2013. Thời gian làm bài: 45 phút.

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi 20 câu / 2 trang)

Đề 1836
Câu 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm f (x, y) = xy 2 trong hình tròn x2 + y 2 1
☛✟
☛✟
1
1
2
2
A✠
fmin = − √ , fmax = √
B✠
fmin = − √ , fmax = √
✡
✡
3 3
3 3
5 3

5 3
☛✟
☛✟
2
2
C✠
fmin = − √ , fmax = √
D✠
Không có GTLN, GTNN
✡
✡
3 3
3 3
2
3 − 18x − 30y
Câu
☛2.
✟Tìm tất cả điểm dừng của hàm f (x, y) = 3x y + y ☛
✟
A✠
(1, 3), (−1, −3), (3, 1), (−3, −1)
B✠
(1, 1), (−1, −1), (3, 3), (−3, −3)
✡
✡
☛✟
☛✟
C✠
(1, 3), (3, 1)
D✠

Các câu khác sai
✡
✡
Câu 3. Viết cận tích phân I =

D

2
e2
☛✟
A✠
I = dx f (x, y)dy
✡
−2

f (x, y)dxdy với miền D giới hạn bởi y = e2 , y = e2x , x = −2
1
e2x
☛✟
B✠
I = dx f (x, y)dy
✡
−2

e2x

1
e2
☛✟
C✠

I = dx f (x, y)dy
✡
−1

Câu 4.

☛✟
A✠
4
✡

Câu 5.

−2

e2x

Tính tích phân I =

xdxdy
D

x2 + y 2
☛✟
B✠
0
✡

với D giới hạn bởi 2y

0

−1

1
☛✟
C
I
=
dy
✡✠
−1

√
1− y+1
√
1− y+1

1

f (x, y)dx +

y

4y, 0

x
☛✟
D✠
2π

✡

f (x, y)dy
x2 −2x
1

dy
0

f (x, y)dx

x2 + y 2

x

dx

1

e2x

☛✟
C✠
2
✡

1

Đổi thứ tự lấy tích phân I =

0
☛✟
A
I
=
dy
✡✠

e2

1
e2
☛✟
D✠
I = dx f (x, y)dy
✡

f (x, y)dx
y

0
☛✟
B
I
=
dy
✡✠
−1

0

☛✟
D
I
=
dy
✡✠
−1

√
1+ y+1
y
√
1+ y+1

y

1

1

f (x, y)dx +

dy
0

f (x, y)dx
1

f (x, y)dx

Câu 6. Tính diện tích miền D giới hạn bởi y 2 + 2y − 3x + 1 = 0, 3y − 3x + 7 = 0
☛✟
☛ ✟125
☛ ✟25
☛✟
A
9
B
C
D✠
Các câu khác sai
✡✠
✡ ✠2
✡
✡ ✠18
Câu 7. Cho hàm z = z(x, y) xác định từ phương trình zex+y = xez − 1. Tính dz(1, 1) biết z(1, 1) = 0
☛ ✟ dx
☛ ✟−dx
☛ ✟dx + dy
☛ ✟dx − dy
A
B
C
D✠
✡ ✠1 − e2
✡ ✠1 − e2
✡
✡ ✠1 − e2
1 − e2
2

2
Câu
☛8.
✟Tìm cực trị hàm f (x, y) = x + y − 32lnxy
A✠
fct = f (−4, −4) = 32(1 − ln16), fcd = f (4, 4) = 32 − 4ln2
✡
☛✟
☛✟
B
f
=
f
(4,
4)
=
32(1
−
ln16)
C✠
fct = f (−4, −4) = 32(1 − ln16) = f (4, 4)
ct
✡✟
✠
✡
☛
D✠
Các câu khác sai
✡
√

Câu 9. Tính diện tích miền D giới hạn bởi y = 1 + 1 − x2 , y = x, y = −x
☛ ✟pi
☛ ✟pi
☛ ✟pi
☛✟
A
B
+
1
C✠ +1
D✠
1
✡ ✠2
✡ ✠2
✡
✡
4
y+z − xyz. Tính df
Câu☛10.
✟Cho hàm f (x, y, z) = xe
A✠
(ey+z − yz)dx − (xey+z − xz)dy + (xey+z − xy)dz
✡
☛✟
B✠
(ey+z − yz)dx + (xey+z − xz)dy + (xey+z − xy)dz
✡
☛✟
C✠
(ey+z − yz)dx + (xey+z − xz)dy − (xey+z − xy)dz

✡
☛
✟
D✠
(ey+z + yz)dx + (xey+z + xz)dy + (xey+z + xy)dz
✡
Trang 1/2- Đề 1836


Câu 11.

lnx
tại lân cận diểm (1, −1) là
y
☛ ✟1
D✠
✡
2

Hệ số của (x − 1)2 (y + 1) trong khai triển Taylor hàm f (x, y) =

☛ ✟−1
A✠
✡
2

☛✟
C✠
−1
✡

☛✟
B✠
1
✡

x2 − 2y = 1 − z 2
Câu☛12.
✟Nhận dạng mặt bậc 2 sau
☛✟
A✠
Mặt nón
B✠
Mặt paraboloid elliptic
✡
✡
☛✟
D✠
Các câu khác sai
✡

☛✟
C✠
Mặt ellipsoid
✡

Câu 13. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 2 hàm f (x, y) = ln(e + x)e2y
☛ ✟x
☛✟ x
x2

2
x2 2
A ✠ + 2y − 2 − xy + 2y 2 + R2
B✠
1 + + 2y −
− xy + 2y 2 + R2
✡
✡
e
2e
e
e
2e e
☛✟ x
☛✟ x
2
1
x2
x2
2+R
−
− xy + 2y 2 + R2
+
2y
−
xy
+
2y
+
2y

−
C
1
+
D
1
+
2
✡✠
✡✠
e
2e2
e
e
2e2
e
2
3
với điều kiện y − x = 4
Câu☛14.
✟Tìm cực trị hàm f (x, y) = 2x + y + xy + 8x + 3y
☛✟
A
f
=
f
(−3,
1)
=
−21,

f
=
f
(−7,
−3)
=
11
B
Các câu khác sai
cd
✡
✠ct
✡✠
☛✟
☛
✟
C✠
fcd = f (−3, 1) = 21, fct = f (−7, −3) = −11
D✠
fct = f (−3, 1) = −5, fcd = f (−7, −3) = 27
✡
✡
x2✟
+ y 2 = 10
Câu☛15.
✟Tìm cực trị hàm f (x, y) = x − 3y − 1 với điều kiện☛
A✠
fct = f (−2, 3) = −12, fcd = f (2, −3) = 10
B✠
f = f (−1, 3) = −11, fcd = f (1, −3) = 9

✡
✡
☛✟
☛
✟ct
C✠
fcd = f (3, −1) = 5, fct = f (−3, −1) = −7
D✠
Hàm không có cực trị
✡
✡
Câu 16. Tìm GTLN, GTNN của hàm f (x, y) = x2 +y 2 −xy +x+y trong miền D giới hạn bởi x = 0, y = 0, x+y =
☛ ✟−3
☛✟
A
f
=
−2,
f
=
6
B✠
f
= −1, fmax = 6
min
max
✡
✠
✡
☛✟

☛
✟min
C
f
=
−1,
f
=
7
D
f
max
✡ ✠min = −2, fmax = 7
✡ ✠min
Câu 17. Cho hàm f (x, y) =
☛ ✟ −xy
A✠
✡

(x2

+

y 2 )3

x2 + y 2 . Tính f ”xy
☛ ✟ −xy
B✠
✡

x2

y2

☛✟
C✠
I=
✡

π
4
π
2

dϕ
π
4

rf (rcosϕ, rsinϕ)dr

☛✟
D✠
I=
✡

2cosϕ
0

☛✟
D✠

Các câu khác sai
✡

x

☛✟
B✠
Các câu khác sai
✡

0

☛ ✟ −xy
D✠ 2
✡
(x + y 2 )3

f (x, y)dy

dx

rf (rcosϕ, rsinϕ)dr

2sinϕ

dϕ

y 2 )3

√

1+ 1−x2 −2x

2
0

π
2

xy
(x2

+
+
√
x, x = 1
D xdxdy với D giới hạn bởi xy = 8, y =
☛ ✟58
☛✟
14
B✠
ln4 +
C✠
✡
✡
3
5

Câu 18. Tính tích phânI =
☛ ✟ 58
A✠

−
✡
5
Câu 19.
Đổi tích phân sau sang toạ độ cực I =
☛✟
A✠
I=
✡

☛✟
C✠
✡

π
2

2(sinϕ+cosϕ)

dϕ
π
4

rf (rcosϕ, rsinϕ)dr
0

Câu 20. Cho hàm z = ln(ex + ey ), x = u + v, y = uv, tính zu + zv tại u=1, v=0
☛ ✟ 3e
☛ ✟e + 1
☛ ✟2e − 1

A✠
B✠
C✠
✡
✡
✡
1+e
1+e
1+e

☛ ✟2e + 1
D✠
✡
1+e

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

PGS. TS. Nguyễn Đình Huy

Trang 2/2- Đề 1836


ĐÁP ÁN

Đề 1836
☛✟

☛✟

☛✟

☛✟

☛✟

☛✟

Câu 1. ✡
C✠

C✠
Câu 4. ✡

A✠
Câu 7. ✡

Câu 11. ✡
D✠

Câu 15. ✡
B✠

Câu 19. ✡
D✠

☛✟
Câu 2. ✡
A✠

☛✟

Câu 5. ✡
A✠

Câu 8. ✡
C✠

Câu 12. ✡
B✠

Câu 16. ✡
B✠

D✠
Câu 20. ✡

Câu 9. ✡
B✠

C✠
Câu 13. ✡

Câu 17. ✡
C✠

Câu 10. ✡
B✠

Câu 14. ✡
D✠

Câu 18. ✡
A✠

☛✟

Câu 3. ✡
D✠

☛✟

Câu 6. ✡
C✠

☛✟
☛✟
☛✟

☛✟
☛✟

☛✟

☛✟
☛✟

☛✟

☛✟

Trang 1/2- Đề 1836