Tính điều khiển được của một số lớp phương trình parabolic tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————— * ———————

VŨ MẠNH TỚI

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA
MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62 46 01 03

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016


Luận án được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Cung Thế Anh

Phản biện 1: GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát, Viện Toán học, Viện
Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam
Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Thiệu Huy, Trường Đại học Bách
khoa Hà Nội
Phản biện 3: TS. Phạm Triều Dương, Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp
Trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi .... giờ
.... ngày .... tháng .... năm .....

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: Thư viện Quốc Gia, Hà Nội
hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội


MỞ ĐẦU
1.

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong khoảng hai thập kỉ gần đây, tính điều khiển được (bao
gồm tính điều khiển được chính xác, tính điều khiển được về 0,
tính điều khiển được xấp xỉ) đã được nghiên cứu đối với nhiều
lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính và nửa tuyến tính.
Bởi phương pháp duy nhất Hilbert (Hilbert Uniqueness Method
(HUM)) đề xuất bởi J.-L. Lions (1988), tính điều khiển được của
bài toán tuyến tính được qui về tính quan sát được của bài toán
liên hợp tương ứng. Để thiết lập tính quan sát được của bài toán
liên hợp tương ứng thông qua các bất đẳng thức quan sát, một
trong những công cụ hiệu lực nhất là các ước lượng kiểu Carleman
toàn cục. Còn tính điều khiển được của bài toán nửa tuyến tính
được chứng minh bằng cách sử dụng tính điều khiển được của bài
toán tuyến tính hóa tương ứng và phương pháp điểm bất động
đề xuất lần đầu tiên bởi Zuazua (1991-1993) cho phương trình
truyền sóng nửa tuyến tính một chiều.
Một trong những lớp phương trình đạo hàm riêng được nghiên
cứu nhiều là lớp phương trình tiến hóa kiểu parabolic, chứa đựng
phương trình truyền nhiệt cổ điển, nhiều lớp phương trình parabolic
xuất hiện trong hóa học, sinh học và trong cơ học chất lỏng.
Nghiên cứu tính điều khiển được của các phương trình parabolic

đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong khoảng hai
thập niên gần đây. Sau những nghiên cứu tiên phong của Fursikov
và Imanuvinov (1995,1996), Lebeau và Robbiano (1995) bằng công
cụ ước lượng Carleman, đã có nhiều tiến bộ trong việc tìm hiểu
về các tính chất điều khiển được của các phương trình parabolic
không suy biến với các hệ số biến thiên. Các kết quả này cũng được
mở rộng cho các bài toán parabolic nửa tuyến tính bởi Fabre et al.
(1995), Fernández-Cara (1997), Zuazua (1997,1999), FernándezCara và Zuazua (2000), Doubova et al. (2002), Fernández-Cara
1


và Guerrero (2006). Các kết quả đạt được đều dựa trên công cụ
chính là bất đẳng thức Carleman cho nghiệm của bài toán liên hợp
tương ứng. Các bất đẳng thức Carleman được thiết lập khi này
yêu cầu phần chính của phương trình là toán tử elliptic đều, miền
bị chặn và không có thế vị kì dị. Bên cạnh đó, tính điều khiển
được của các phương trình parabolic đều trong miền không bị
chặn cũng đã được nghiên cứu bởi Cabanillas et al. (2001), Miller
(2005), González-Burgos và Teresa (2007). Có thể nói ngày nay lí
thuyết điều khiển được đối với các phương trình parabolic đều đã
khá hoàn thiện trong cả trường hợp tuyến tính và nửa tuyến tính.
Trong khoảng một thập kỉ trở lại đây, tính điều khiển được
của phương trình parabolic suy biến, không có hoặc có thế vị kì
dị, đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học. Những nghiên
cứu này được thúc đẩy bởi nhiều bài toán vật lí khác nhau như
mô hình tầng lớp biên Buchot và Raymond (2002), các mô hình
di truyền quần thể cá, các mô hình khí hậu Bydyko-Sellers, . . . .
Tuy nhiên, hầu hết các kết quả đạt được hiện tại chủ yếu trong
trường hợp một chiều (xem Martinez et al. (2003), Cannarsa et al.
(2005,2006,2008), Vancostenoble (2006,2011), Fotouhi và Salimi

(2012) và các tài liệu trích dẫn trong đó), trong khi mới chỉ có rất
ít kết quả điều khiển được trong trường hợp nhiều chiều, chủ yếu là
trường hợp hai chiều đối với phương trình parabolic chứa toán tử
div(A(x)∇u) bởi Cannarsa et al. (2016), phương trình parabolic
chứa toán tử Grushin bởi Beauchard et al. (2014), phương trình
Kolmogorov bởi Beauchard (2014), Rousseau và Moyano (2016),
và một lớp phương trình suy biến nhiều chiều với số hạng đối lưu
bởi Wang và Du (2010,2013,2014). Ngoài ra, các kết quả về tính
điều khiển được của các phương trình suy biến/kì dị nửa tuyến
tính vẫn còn rất ít. Đây đang là những vấn đề thời sự thu hút
được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học.

2


2. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Như đã đề cập đến trong phần Lí do chọn đề tài, việc nghiên
cứu tính điều khiển được của các phương trình parabolic suy biến
hoặc có thế vị kì dị trong trường hợp nhiều chiều hoặc trong trường
hợp nửa tuyến tính đang là vấn đề thời sự hiện nay. Chúng tôi
điểm qua một số kết quả tiêu biểu theo hướng nghiên cứu này:
Một trong các lớp phương trình suy biến mà được nghiên cứu
mạnh trong những năm gần đây là lớp phương trình chứa toán
tử Grushin Gs u = ∆x u + |x|2s ∆y u, s ≥ 0. Toán tử này được
đưa ra đầu tiên bởi Grushin (1971). Chú ý rằng G0 = ∆ toán
tử Laplace, và Gs khi s > 0, không là elliptic trong những miền
có giao với mặt x = 0. Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm
của các phương trình và hệ parabolic nửa tuyến tính chứa toán
tử này đã được nghiên cứu gần đây trong cả trường hợp ôtônôm
và không ôtônôm (xem C.T.Anh et al. (2008), C. T. Anh (2010),

C.T.Anh và V.M.Toi (2012)). Tính điều khiển được của phương
trình parabolic chứa toán tử Grushin được nghiên cứu đầu tiên
trong trường hợp hai chiều bởi Beauchard et al. (2014). Xem thêm
kết quả gần đây bởi Beauchard et al. (2015). Tuy nhiên, tính điều
khiển được của lớp phương trình này trong trường hợp nhiều chiều
vẫn còn nhiều vấn đề mở.
Một lớp phương trình parabolic rất được quan tâm khác là lớp
phương trình parabolic chứa toán tử: Aµ = −∆ − µ/|x|2 . Các kết
quả về tính đặt đúng của bài toán cũng như dáng điệu tiệm cận
nghiệm của phương trình parabolic chứa tử Aµ đã được nghiên cứu
bởi nhiều nhà toán học (xem Baras và Goldstein (1984), Brezis và
Vázquez (1997), Vázquez và Zuazua (2000), C.T.Anh và T.T.H.
Yen (2011) và các tài liệu trích dẫn trong đó). Trong khi đó, tính
điều khiển được của phương trình parabolic chứa toán tử này đã
nhận được bởi Vancostenoble-Zuazua (2008) và Ervedoza (2008)
cho trường hợp kì dị ở bên trong miền, và bởi Cazacu (2014) cho
3


trường hợp kì dị ở trên biên. Gần đây, trong trường hợp hai chiều,
tính điều khiển được xấp xỉ cho phương trình parabolic chứa toán
tử Grushin với thế vị kì dị µ/|x|2 đã được nghiên cứu bởi Morancey
(2015) nhờ tính chất thác triển duy nhất của toán tử tương ứng.
Hơn nữa, trong Cannarsa và Guglielmi (2014), các tác giả đã
chứng minh tính điều khiển được về 0 khi thời gian điều khiển đủ
lớn cho phương trình parabolic chứa toán tử Grushin với thế vị kì
dị µ/|x|2 khi s = 1 và miền không gian là (0, 1) × (0, 1), tức là, với
suy biến và kì dị ở trên biên. Như đã đề cập bởi Morancey (2015)
hay bởi Cannarsa và Guglielmi (2014), tính điều khiển được về 0
là vấn đề hoàn toàn mở khi có suy biến và thế vị kì dị ở bên trong

miền.
Xét trường hợp toán tử parabolic suy biến và có thế vị kì dị:
P u = ut − (xα ux )x −

λ
u, x ∈ (0, 1), α ≥ 0,
xβ

(1)

với các điều kiện biên tương ứng tùy thuộc vào α. Trong trường
hợp toán tử (1) không có kì dị (β = 0), tính điều khiển được về
0 khi α ∈ [0, 2), (khi α ≥ 2, tính không điều khiển được về 0
được chứng minh bởi Cannarsa et al. (2004)), được chứng minh
bởi Cannarsa et al. (2008) mà công cụ chính là đi thiết lập ước
lượng Carleman dựa trên bất đẳng thức Hardy sau
∫

1

xα u2x dx
0

(1 − α)2
≥
4

∫

1

0

u2
x2−α

dx, với mọi u ∈ C0∞ (0, 1).

Các kết quả về tính điều khiển được của lớp phương trình parabolic
một chiều tuyến tính/nửa tuyến tính suy biến không có thế vị
kì dị đã được nghiên cứu bởi Martinez et al. (2003), Cannarsa
et al. (2005,2006,2008), Martinez và Vancostenoble (2006). Trong
trường hợp suy biến và có thế vị kì dị (toán tử cho bởi (1)), tính
điều khiển được về 0 mới được Vancostenoble (2011) nghiên cứu
cho trường hợp tuyến tính. Tính điều khiển được trong trường
hợp nửa tuyến tính vẫn hoàn toàn mở.
Từ những phân tích ở trên, chúng ta thấy rằng bên cạnh những
kết quả đạt được, tính điều khiển được của các phương trình tiến
4


hóa kiểu parabolic suy biến hoặc có thế vị kì dị vẫn còn nhiều
vấn đề mở. Nói riêng, những vấn đề mở mà chúng tôi quan tâm
nghiên cứu trong luận án này bao gồm:
• Tính điều khiển được của phương trình parabolic suy biến chứa
toán tử Grushin trong trường hợp nhiều chiều.
• Tính điều khiển được của phương trình parabolic suy biến chứa
toán tử Grushin với thế vị kì dị kiểu Hardy µ/|x|2 trong trường
hợp nhiều chiều.
• Tính điều khiển được của phương trình parabolic một chiều suy
biến với thế vị kì dị trong trường hợp nửa tuyến tính.

3.

MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Luận án tập trung nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của
phương trình parabolic chứa toán tử Grushin không có/có thế vị
kì dị trong trường hợp nhiều chiều, phương trình parabolic một
chiều nửa tuyến tính suy biến có thế vị kì dị. Cụ thể như sau:
• Nội dung 1: Bài toán điều khiển được đối với phương trình
parabolic chứa toán tử Grushin trong miền nhiều chiều.
• Nội dung 2: Bài toán điều khiển được đối với phương trình
parabolic chứa toán tử Grushin với thế vị kì dị kiểu Hardy trong
miền nhiều chiều.
• Nội dung 3: Bài toán điều khiển được đối với lớp phương trình
parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến với thế vị kì dị.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
• Để nghiên cứu tính điều khiển được của bài toán tuyến tính,
chúng tôi sử dụng phương pháp duy nhất Hilbert (HUM): Tính
điều khiển được của bài toán tuyến tính được đưa về tính quan
sát được của bài toán liên hợp tương ứng. Sử dụng khai triển
Fourier và bởi đẳng thức Bessel-Parseval, vấn đề này được đưa về
tính quan sát được đều theo tần số của hệ số Fourier. Bất đẳng
thức quan sát được đều sẽ được thiết lập nhờ các bất đẳng thức
Carleman mới và các đánh giá phù hợp của tốc độ tán xạ.
5


• Để nghiên cứu tính điều khiển được của bài toán nửa tuyến
tính, chúng tôi sử dụng phương pháp điểm bất động đề xuất bởi
Zuazua: Kết hợp tính điều khiển được của bài toán tuyến tính

hóa tương ứng và các định lí điểm bất động phù hợp (trong luận
án sử dụng định lí Schauder).
5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN
Luận án đạt được những kết quả chính sau đây:
• Đối với bài toán điều khiển cho phương trình parabolic chứa
toán tử Grushin trong trường hợp nhiều chiều: Chứng minh được
tính điều khiển được về 0 tại mọi thời điểm T > 0 khi s ∈ (0, 1)
(suy biến yếu). Khi s = 1 (suy biến mạnh) ta chứng minh được
tính điều khiển được về 0 khi thời gian điều khiển đủ lớn và tính
không điều khiển được về 0 khi thời gian điều khiển quá nhỏ.
Chứng minh được tính không điều khiển được về 0 khi s > 1 (suy
biến quá mạnh).
• Chứng minh được tính điều khiển được về 0 khi thời gian điều
khiển đủ lớn của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin
khi s = 1 với thế vị kì dị µ/|x|2 trong trường hợp nhiều chiều.
• Chứng minh được tính điều khiển được về 0 của lớp phương
trình parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến có thế vị kì dị.
6.

CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình đã công
bố và danh mục Tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương: Chương
1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị. Chương 2 trình bày các kết
quả tính điều khiển được về 0 của phương trình parabolic chứa
toán tử Grushin trong trường hợp hình hộp nhiều chiều. Chương
3 trình bày tính điều khiển được về 0 khi thời gian đủ lớn của
phương trình parabolic chứa toán tử Grushin khi s = 1 với thế
vị kì dị kiểu Hardy bên trong miền trong trường hợp nhiều chiều.
Chương 4 trình bày tính điều khiển được về 0 của một lớp phương

trình parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến với thế vị kì dị.
6


Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn
bị, bao gồm: Các không gian hàm; lí thuyết điều khiển được cho
các hệ tuyến tính trong không gian vô hạn chiều; một số bất đẳng
thức thường dùng; và một số kết quả thường dùng.
1.1.
1.1.1.

MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM
Một số không gian hàm

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số không gian hàm cần
dùng trong luận án như: Lp (Ω)(1 ≤ p ≤ +∞); H 1 (Ω); H01 (Ω), H 2 (Ω),
với Ω là miền bị chặn trong RN .
1.1.2.

Không gian hàm phụ thuộc thời gian

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số không gian hàm phụ
thuộc thời gian cần dùng trong luận án như: C(0, T ; X); Lp (0, T ; X),
với (1 ≤ p ≤ +∞); H 1 (0, T ; X), X là không gian Banach, T > 0.
1.2.

LÍ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH

TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU

Trong mục này, chúng tôi trình bày về lí thuyết điều khiển được
của hệ tuyến tính trong không gian vô hạn chiều.
1.2.1.

Một số định nghĩa

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số định nghĩa điều khiển
được hay dùng liên quan đến bài toán điều khiển trong không gian
vô hạn chiều: điều khiển được chính xác; điều khiển được chính
xác đến quỹ đạo; điều khiển được về 0; điều khiển được xấp xỉ.
7


1.2.2.

Phương pháp duy nhất Hilbert (HUM)

Trong mục này, chúng tôi trình bày phương pháp duy nhất Hilbert
(HUM) mà được đưa ra đầu tiên bởi J.-L. Lions (1988) để đi
nghiên cứu tính điều khiển được của hệ tuyến tính trong không
gian vô hạn chiều.
1.3.
1.3.1.

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG
Một số bất đẳng thức kiểu Hardy

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bất đẳng thức kiểu

Hardy cần sử dụng trong luận án: một số bất đẳng thức kiểu
Hardy cho toán tử ∆ trong trường hợp nhiều chiều; Bất đẳng
thức kiểu Hardy đối với toán tử Grushin; một số bất đẳng thức
kiểu Hardy trong trường hợp một chiều.
1.3.2.

Một số bất đẳng thức sơ cấp

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bất đẳng thức sơ cấp
nhưng rất quan trọng và thường xuyên được sử dụng trong luận
án: Bất đẳng thức Cauchy; Bất đẳng thức Young; Bất đẳng thức
H¨older; bất đẳng thức Gronwall.
1.4.

MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số số kết quả cần dùng đến
trong luận án: Định lí điểm bất động Schauder trong không gian
Banach; Bổ đề compact Aubin-Lions; Đẳng thức Bessel-Parseval;
Công thức tọa độ cầu trong không gian RN , N ≥ 3.

8


Chương 2

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VỀ 0 CỦA PHƯƠNG
TRÌNH PARABOLIC CHỨA TOÁN TỬ GRUSHIN
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính điều khiển được
về 0 của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin trong

trường hợp hình hộp nhiều chiều. Đầu tiên, chúng tôi đặt bài
toán và phát biểu kết quả chính của chương. Sau đó, chúng tôi đi
chứng minh các kết quả bổ trợ bao gồm: tính đặt đúng của bài
toán, khai triển Fourier, đánh giá tốc độ tán xạ, và đặc biệt là
việc thiết lập bất đẳng thức Carleman mới. Tiếp theo, sử dụng
phương pháp HUM, khai triển Fourier, các đánh giá về tốc độ tán
xạ và bất đẳng thức Carleman mới vừa thiết lập, việc chứng minh
tính điều khiển được đưa về tính quan sát được đều đối với tần
số của hệ số Fourier của hệ liên hợp sau khi đã biến đổi Fourier.
Tính không điều khiển được về 0 trong trường hợp suy biến quá
mạnh được chứng minh trong phần cuối của chương.
Nội dung của chương này dựa trên bài báo [1] trong Danh mục
công trình đã công bố của chúng tôi.
2.1.

ĐẶT BÀI TOÁN VÀ PHÁT BIỂU KẾT QUẢ CHÍNH

Ta nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của phương trình
parabolic tuyến tính chứa toán tử Grushin sau:


u − ∆x u − |x|2s ∆y u = v(x, y, t)1ω ,

 t
u = 0,



u(x, y, 0) = u0 (x, y),

(x, y, t) ∈ Ω × (0, T ),
(x, y, t) ∈ ∂Ω × (0, T ), (2.1)
(x, y) ∈ Ω,

ở đó Ω := Ω1 × (0, 1)N2 , Ω1 = (−1, 1)N1 ⊂ RN1 , hàm điều khiển
v(·, ·, t) có giá nằm trong miền ω là miền con mở khác rỗng của Ω
và s > 0.
Ta nói rằng (2.1) là điều khiển được về 0 (tại thời điểm T )
nếu với mỗi u0 ∈ L2 (Ω) cho trước, tồn tại điều khiển v ∈ L2 (ω ×
9


(0, T )) sao cho (2.1) có nghiệm u(x, y, t) thỏa mãn u(·, ·, T ) = 0.
Mục tiêu của chương này là chứng minh kết quả sau.
Định lí 2.1. Cho ω = ω1 × (0, 1)N2 là miền con mở khác rỗng
của (0, 1)N1 × (0, 1)N2 .
1) Nếu s ∈ (0, 1), thì bài toán (2.1) là điều khiển được về 0 tại
mọi thời điểm T > 0.
2) Nếu s = 1, tồn tại hai thời điểm T1 > T2 > 0 sao cho
• với mọi T > T1 bài toán (2.1) là điều khiển được về 0 tại
mọi thời điểm T ,
• với mọi T < T2 và với ω = (a, b)N1 × (0, 1)N2 , trong đó
√
(N1 − 1)/N1 < a < b ≤ 1, bài toán (2.1) không điều khiển được
về 0 tại thời điểm T .
√
• Nếu s > 1 và ω = (a, b)N1 ×(0, 1)N2 , trong đó (N1 − 1)/N1 <
a < b ≤ 1, thì bài toán (2.1) không điều khiển được về 0 tại mọi
thời điểm T > 0.
2.2.

2.2.1.

MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ
Tính đặt đúng của bài toán

Với S01 (Ω) là bao đóng của C0∞ (Ω) trong chuẩn
(∫
)1/2
(
)
∥u∥S01 (Ω) =
|∇x u|2 + |x|2s |∇y u|2 dxdy
.
Ω

Khi đó S01 (Ω) là không gian Hilbert và hơn nữa phép nhúng
S01 (Ω) → L2 (Ω) là compact (xem chi tiết trong N.T.C. Thuy
và N.M. Tri (2002)). Sử dụng phương pháp Galerkin, ta có kết
quả tính đặt đúng:
Định lí 2.2. Với mọi u0 ∈ L2 (Ω) và v ∈ L2 (ω ×(0, T )) cho trước,
bài toán (2.1) có duy nhất một nghiệm yếu u thỏa mãn
∥u∥2C([0,T ];L2 (Ω)) +∥u∥2L2 (0,T ;S 1 (Ω)) ≤ C(∥u0 ∥2L2 (Ω) +∥v∥2L2 (ω×(0,T )) ),
0

ở đó C là hằng số dương không phụ thuộc vào u0 và v.
10


2.2.2.

Khai triển Fourier

Bởi Định lí 2.2, (2.1) có nghiệm u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)). Theo Định lí
9B.1 trong M. Pivato (2010), ta có thể khai triển Fourier u(x, y, t)
theo y bởi:
∑
u(x, y, t) =
uα (x, t)φα (y),
(2.2)
α

trong đó α = (α1 , α2 , . . . , αN2 ) ∈ (N∗ )N2 ,
φα (y) = 2N2 /2 sin(πα1 y1 ) sin(πα2 y2 ) · · · sin(παN2 yN2 ),
∫

và
uα (x, t) =

u(x, y, t)φα (y)dy.
(0,1)N2

Thay (2.2) vào (2.1), ta nhận được mệnh đề.
Mệnh đề 2.1. Với mọi α = (α1 , α2 , . . . , αN2 ) ∈ (N∗ )N2 , thì
uα (x, t) là nghiệm yếu của bài toán

∂uα


− ∆x uα + (|α|π)2 |x|2s uα = vα 1ω


 ∂t
uα = 0



u (x, 0) = u (x)
α

0,α

với u0,α (x) =
2.2.3.

∫

trong Ω1 × (0, T ),
trên ∂Ω1 × (0, T ),

(2.3)

trong Ω1 ,

u (x, y)φα (y)dy; vα (x, t) =
Ω2 0

∫

Ω2

v(x, y, t)φα (y)dy.

Tốc độ tán xạ

Ta xét toán tử Gα,s , với mọi α ∈ (N∗ )N2 , s > 0, được xác định bởi
Gα,s φ := −∆x φ + (|α|π)2 |x|2s φ.
Giá trị riêng nhỏ nhất của Gα,s được xác định bởi

}
2
2
2s
2
(|∇
φ|
+
(|α|π)
|x|
|φ|
)dx
x
Ω1
∫
| φ ∈ H01 (Ω1 ) \ {0} .
2
|φ| dx
Ω1

{∫

λα,s := min

Mệnh đề 2.2. Với mọi s > 0, tồn tại c∗ = c∗ (s) > 0 và c∗ =
c∗ (s) > 0 sao cho
c∗ |α| 1+s ≤ λα,s ≤ c∗ |α| 1+s ∀α ∈ (N∗ )N2 .
2

2

(2.4)
11


2.2.4.

Bất đẳng thức Carleman

Với s ∈ (0, 1], T > 0 và với mọi wT ∈ L2 (Ω1 ) cho trước, ta đi thiết
lập bất đẳng thức Carleman cho nghiệm w = w(x, t) của bài toán:

∂w

2
2s


 ∂t + ∆x w − (|α|π) |x| w = 0 trong Ω1 × (0, T ),
w = 0,
trên ∂Ω1 × (0, T ), (2.5)




w(x, T ) = w ,
trong Ω .
T

1

Lấy ω1′ sao cho ω ′ 1 ⊂ ω1 ⊂ Ω1 . Để thiết lập bất đẳng thức CarleM β(x)
, (x, t) ∈ RN1 × (0, T ),
man, ta xét hàm trọng σ(x, t) :=
t(T − t)
ở đó β thỏa mãn
−
β ≥ 1 trong Ω1 , |∇β| > 0 trong Ω1 \ ω1′ , ∂n β := →
n · ∇β > 0 trên ∂Ω1 ,
và
• nếu s ∈ [1/2; 1] thì β ∈ C 4 (RN1 ; R+ ) và
D2 β(ξ, ξ) < 0 trong Ω1 \ ω1′ với mọi 0 ̸= ξ ∈ RN1 ,
• nếu s ∈ (0, 1/2) thì β là hàm xác định trong Ω1 , mà trơn
lớp C 4 trong Ω1 \ {0}, nhưng D2 β(∇β, ∇β) kì dị tại 0 và
D2 β(ξ, ξ) < 0 trong Ω1 \ (ω1′ ∪ {0}) với mọi 0 ̸= ξ ∈ RN1 .
Hơn nữa, β có dạng
β(x) = C0 −

N1 ∫
∑
i=1

xi

√
sign(si )|si |2s + Ci dsi với mọi |x| < ε,

0

trong đó C0 ; Ci , i = 1, ..., N1 là các hằng số đủ lớn sao cho
β ≥ 1 và βxi < 0 trong |x| < ε tương ứng.
→
Ở đây, −
n là vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài của biên.
Ta thiết lập được bất đẳng thức Carleman sau.
12


Mệnh đề 2.3. (Bất đẳng thức Carleman). Với s ∈ (0, 1], T > 0 và
với mọi wT ∈ L2 (Ω1 ) cho trước. Cho w = w(x, t) là nghiệm của bài
toán (2.5). Khi đó tồn tại các hằng số dương K1 = K1 (β), λ0 =
λ0 (β) và K2 = K2 (β) sao cho
∫

∫

M 3 |w|2 e−2λ0 σ
dxdt
(t(T − t))3
Ω1
)
∫ T ∫ ( 3 2 −2λ0 σ
M |w| e
M |∇x w|2 −2λ0 σ

≤ K2
+
e
dxdt,
3
(t(T
−
t))
t(T
−
t)
′
0
ω1

T
0

(2.6)

{
}
ở đó M = M (T, β, |α|) := K1 max T + T 2 ; |α|T 2 .
2.3.

CHỨNG MINH KẾT QUẢ CHÍNH

2.3.1.

Lược đồ chứng minh Định lí 2.1

Bởi phương pháp HUM, tính điều khiển được về 0 của bài toán
(2.1) tương đương với tính quan sát được cho bài toán liên hợp


w + ∆x w + |x|2s ∆y w = 0,

 t
w = 0,



w(x, y, T ) = wT (x, y),

(x, y, t) ∈ Ω × (0, T ),
(x, y, t), ∈ ∂Ω × (0, T ),

(2.7)

(x, y) ∈ Ω.

Định nghĩa 2.1. Bài toán (2.7) là quan sát được trong ω tại thời
điểm T nếu tồn tại C > 0, sao cho với mọi wT ∈ L2 (Ω), nghiệm
w của (2.7) thỏa mãn
∫
∥w(., ., 0)∥2L2 (Ω)

T

∫

≤C

|w(x, y, t)|2 dxdydt.
0

ω

Với w là nghiệm của (2.7). Khi đó, như trong (2.2), ta có
∑
w(x, y, t) =
wα (x, t)φα (y), α = (α1 , α2 , . . . , αN2 ) ∈ (N∗ )N2 ,
α

φα (y) = 2N2 /2 sin(πα1 y1 ) sin(πα2 y2 ) · · · sin(παN2 yN2 ),
và wα (x, t) =

∫
(0,1)N2

w(x, y, t)φα (y)dy.
13


Khi đó wα (x, t) là nghiệm của bài toán sau (liên hợp của (2.3)):


∂wα



+ ∆x wα − (|α|π)2 |x|2s wα = 0,

 ∂t
wα = 0,



w (x, T ) = w (x),
α

T,α

(x, t) ∈ Ω1 × (0, T ),
(x, t) ∈ ∂Ω1 × (0, T ),

(2.8)

x ∈ Ω1 .

Định nghĩa 2.2. (Tính quan sát được đều). Với ω1 là tập mở
của (0, 1)N1 . Bài toán (2.8) là quan sát được trong ω1 đều theo
α ∈ (N∗ )N2 nếu tồn tại C > 0 (không phụ thuộc vào α), sao cho
với mọi α ∈ (N∗ )N2 và wT,α ∈ L2 (Ω1 ), nghiệm của (2.8) thỏa mãn
∫
∫ T∫
|wα (x, 0)|2 dx ≤ C
|wα (x, t)|2 dxdt.
Ω1

2.3.2.

0

ω1

Bất đẳng thức quan sát được

Định lí 2.3. Cho ω1 miền con bất kì của (0, 1)N1 .
1) Nếu s ∈ (0, 1), thì bài toán (2.8) quan sát được trong ω1 đều
theo α ∈ (N∗ )N2 .
2) Nếu s = 1, thì tồn tại T1 > 0 sao cho với mọi T > T1 , bài
toán (2.8) quan sát được trong ω1 đều theo α ∈ (N∗ )N2 .
Chứng minh dựa trên bất đẳng thức Carleman (2.6) và chặn
dưới của tốc độ tán xạ (2.4).
2.3.3.

Chứng minh tính không điều khiển được trong Định lí 2.1

Định lí 2.4. Cho ω1 = (a, b)N1 , ở đó

√
(N1 − 1)/N1 < a < b ≤ 1.

• Nếu s = 1 thì tồn tại T2 > 0, (T2 < T1 ) sao cho với mọi
T < T2 , bài toán (2.8) không quan sát được trong ω1 đều theo α;
• Nếu s > 1, thì với mọi T > 0, bài toán (2.8) không quan sát
được trong ω1 đều theo α.
Chứng minh của định lí này bằng cách chọn hàm thử và sử
dụng chặn trên của tốc độ tán xạ (2.4) mà sao cho tính quan sát
được đều không xảy ra.

14


Chương 3

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VỀ 0 KHI THỜI GIAN
ĐỦ LỚN CỦA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC
CHỨA TOÁN TỬ GRUSHIN VỚI THẾ VỊ KÌ DỊ
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính điều khiển được
về 0 của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin với thế vị
kì dị ở bên trong miền trong trường hợp nhiều chiều. Đầu tiên
chúng tôi đặt bài toán và phát biểu kết quả chính của chương.
Trong phần tiếp theo, sử dụng phương pháp HUM, chúng tôi
chứng minh kết quả chính bằng cách chứng minh rằng hệ liên hợp
tương ứng là quan sát được. Để chứng minh tính quan sát được
ta đi chứng minh tính quan sát được đều đối với tần số của hệ số
Fourier mà dựa trên bất đẳng thức Carleman mới và tốc độc tán
xạ của hệ số Fourier. Chứng minh bất đẳng thức Carleman được
đưa ra trong phần cuối của chương.
Nội dung của chương này dựa trên bài báo [3] trong Danh mục
công trình đã công bố của chúng tôi.
3.1.

ĐẶT BÀI TOÁN VÀ PHÁT BIỂU KẾT QUẢ CHÍNH

Cho Ω = Ω1 × Ω2 ⊂ RN1 × RN2 , N1 ≥ 3, N2 ≥ 1, là miền bị chặn
với 0RN1 ∈ Ω1 và ∂Ω1 đủ trơn. Ta nghiên cứu tính điều khiển được
về 0 của bài toán điều khiển sau:

µ


ut − ∆x u − |x|2s ∆y u −
u = v1ω ,


|x|2

u = 0,




u(0) = u0 ,

(x, y, t) ∈ Ω × (0, T ),
(x, y, t) ∈ ∂Ω × (0, T ), (3.1)
(x, y) ∈ Ω,

trong đó 1ω là hàm đặc trưng của tập con mở khác rỗng ω của
Ω, và µ ≤ µ∗ = µ∗ (N1 ) với µ∗ (N1 ) = (N1 − 2)2 /4 là hằng số tốt
nhất nhất trong bất đẳng thức Hardy cho toán tử Grushin (xem
Định lí 3.3 trong L. Ambrosio (2004)).
15


Ta nói rằng bài toán (3.1) là điều khiển được về 0 tại thời
điểm T nếu với mọi u0 ∈ L2 (Ω) cho trước, tồn tại hàm điều khiển
v ∈ L2 (ω × (0, T )) sao cho bài toán (3.1) có nghiệm u(x, y, t) thỏa
mãn u(·, ·, T ) = 0.
Mục tiêu của chương này là chứng minh kết quả sau.

Định lí 3.1. Với ω = ω1 × Ω2 là tập con mở của Ω sao cho
0RN1 ∈
/ ω 1 . Nếu µ < µ∗ và s = 1, thì tồn tại thời gian T ∗ > 0 sao
cho bài toán (3.1) điều khiển được về 0 tại mọi thời điểm T > T ∗ .
Để nghiên cứu bài toán (3.1), ta sử dụng không gian hàm
1
Sµ,0
(Ω) được định nghĩa là bao đóng của C0∞ (Ω) theo chuẩn
)1/2
(∫ (
µ 2)
2
2s
2
1 (Ω) =
∥u∥Sµ,0
|∇x u| + |x| |∇y u| − 2 u dxdy
.
|x|
Ω
Bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin hoặc phương pháp nửa nhóm,
ta có sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của (3.1) thỏa mãn
1
u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)) ∩ L2 (0, T ; Sµ,0
(Ω)).

3.2.
3.2.1.

CHỨNG MINH KẾT QUẢ CHÍNH

Khai triển Fourier và tốc độ tán xạ

Với (γn )n∈N∗ là dãy không giảm các giá trị riêng của toán tử −∆y
trong H 2 (Ω2 ) ∩ H01 (Ω2 ) và các hàm riêng tương ứng (φn (y))n∈N∗ ,
tức là,

−∆ φ (y) = γ φ (y), y ∈ Ω ,
y

n

φn (y) = 0,

n

n

2

y ∈ ∂Ω2 .

Với mọi nghiệm yếu u(x, y, t) của (3.1) và điều khiển v(x, y, t), đặt
∫
∫
un (x, t) =
u(x, y, t)φn (y)dy, vn (x, t) =
v(x, y, t)φn (y)dy,
Ω2

Ω2

(3.2)
thì khi đó thế (3.2) vào trong (3.1), ta nhận được kết quả sau:
16


Mệnh đề 3.1. Với u0 ∈ L2 (Ω) cho trước và với u là nghiệm yếu
duy nhất tương ứng của (3.1) với µ ≤ µ∗ và s = 1, thì với mọi
n ∈ N∗ , hàm un (x, t) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán
 ∂u
µ
n
2

−
∆
u
+
γ
|x|
u
−
un = vn 1ω1 (x)

x
n
n
n

 ∂t

|x|2
un = 0




un (x, 0) = u0,n (x)

trong đó u0,n (x) =

∫
Ω2

trong Ω1 × (0, T ),
trên ∂Ω1 × (0, T ),
trong Ω1 ,
(3.3)

u0 (x, y)φn (y)dy.

Ta biết rằng giá trị riêng nhỏ nhất của −∆φ(x) + γn |x|2 φ(x) −
µ
φ(x) trong H 2 (Ω1 ) ∩ H01 (Ω1 ) được cho bởi
2
|x|
λn,µ

(
)
)

∫ (
µ
2
2
2


 Ω1 |∇φ(x)| + γn |x| − |x|2 |φ| dx
∫
:= min
2


Ω1 |φ| dx


φ ∈ H01 (Ω1 ) \ {0}

Mệnh đề 3.2. Với mọi N1 ≥ 3 và µ < µ∗ , tồn tại C∗ = C∗ (µ) >
0 và C ∗ = C ∗ (µ) > 0 sao cho
√
√
(3.4)
C∗ γn ≤ λn,µ ≤ C ∗ γn ∀n ∈ N∗ .
3.2.2.

Tính quan sát được đều của bài toán liên hợp

Bởi phương pháp HUM, tính điều khiển được của bài toán (3.1)
tương đương tính quan sát được của bài toán liên hợp của (3.1).


µ
2

w
+
∆
w
+
|x|
∆
w
+
w = 0,

t
x
y

|x|2

w = 0,




w(x, y, T ) = wT (x, y),

(x, y, t) ∈ Ω × (0, T ),
(x, y, t) ∈ ∂Ω × (0, T ), (3.5)

(x, y) ∈ Ω.

Ta nói rằng bài toán liên hợp (3.5) quan sát được trong ω tại thời
điểm T nếu tồn tại C > 0 sao cho với mọi wT ∈ L2 (Ω), nghiệm w
của (3.5) thỏa mãn:
∫∫
|w(x, y, t)|2 dxdydt.
∥w(·, ·, 0)∥2L2 (Ω) ≤ C
ω×(0,T )

17









.


Sử dụng (3.2), ta có được bài toán liên hợp của (3.3) như sau


µ
2

∂

w
+
∆
w
−
γ
|x|
w
+
wn = 0,

t
n
x
n
n
n

|x|2

wn = 0,




wn (x, T ) = wT,n (x),

với wn (x, t) =

∫

(x, t) ∈ Ω1 × (0, T ),
(x, t) ∈ ∂Ω1 × (0, T ), (3.6)
x ∈ Ω1 ,

w(x, y, t)φn (y)dy; wT,n (x) =
Ω2

∫
Ω2

wT (x, y)φn (y)dy.

Do vậy, bởi đẳng thức Bessel-Parseval, để chứng minh tính
quan sát được của bài toán (3.5), ta chỉ cần chứng minh bài toán
liên hợp (3.6) quan sát được trong ω1 đều theo n ∈ N∗ , tức là, với
mọi ω1 ⊂ Ω1 , tồn tại C > 0 (không phụ thuộc vào n) sao cho với
mọi n ∈ N∗ và wT,n ∈ L2 (Ω1 ), nghiệm wn của (3.6) thỏa mãn
∫∫
∥wn (·, 0)∥2L2 (Ω1 ) ≤ C
|wn (x, t)|2 dxdt.
ω1 ×(0,T )

Định lí 3.2. Với ω1 ⊂ Ω1 sao cho 0RN1 ∈
/ ω 1 và µ < µ∗ . Khi đó
tồn tại T ∗ > 0 sao cho với mọi T > T ∗ , bài toán (3.6) quan sát
được trong ω1 đều theo n ∈ N∗ .
Chứng minh dựa trên ước lượng Carleman cho nghiệm của
(3.6) (Định lí 3.3 dưới đây) và tốc độ tán xạ (xem (3.4)).
Ta xét hàm trọng sau như trong S. Ervedoza (2008):

(

1
− |x|2 − eλψ(x)
2
(t(T − t))3

)

2λ sup ψ

e
σ(x, t) =

:=

β(x)
,
(t(T − t))3

trong đó λ là tham số dương được chọn đủ lớn, và ψ là hàm trơn
thỏa mãn



ψ(x) = ln(|x|), x ∈ B1 (0),
ψ(x) = 0,




ψ(x) > 0,

x ∈ ∂Ω1 ,

x ∈ Ω1 \ B1 (0),

và tồn tại tập mở ω
˜ 1 thỏa mãn ω
˜ 1 ⊂ ω1 và m∗ > 0 sao cho
|∇ψ(x)| ≥ m∗ , x ∈ Ω1 \ ω
˜1.
18

(3.7)


Bất đẳng thức Carleman sau được chứng minh trong Mục 3.3.
Định lí 3.3. Cho ω1 ⊂ Ω1 sao cho 0RN1 ∈
/ ω 1 . Nếu µ ≤ µ∗ , thì tồn tại hằng
số dương λ0 sao cho với mọi λ ≥ λ0 , tồn tại K1 = K1 (λ, β) và K2 = K2 (λ, β)
sao cho với mọi w ∈ C([0, T ]; L2 (Ω1 ))∩L2 (0, T ; H01 (Ω1 )), ta có bất đẳng thức
K1

∫∫

[

−2M σ
e

Ω1 \B1 (0)×(0,T )
∫∫
+

e

−2M σ

B1 (0)×(0,T )
∫∫

−2M σ
e

≤
ω1 ×(0,T )

M
(t(T − t))3

M 3 |x|2
(t(T − t))9
M3

(t(T − t))9

2
|∇w| dxdt +

∫∫

e

Ω1 ×(0,T )
∫∫

2
|w| dxdt +

Ω1 \B1 (0)×(0,T )

2
|w| dxdt +

∫∫

M

|w|2

(t(T − t))3

|x|

−2M σ

−2M σ
e

M3
(t(T − t))9

3.3.1.

2
|w| dxdt

−M σ
2
|e
Gn,µ w| dxdt.

]

(3.8)

Ω1 ×(0,T )

Ở đây, M = M (λ, T, γn , β) = K2 max{T 3 + T 4 + T 5 + T 6 ;
µ
Gn,µ w = wt + ∆w − γn |x|2 w +
w.
|x|2

3.3.

dxdt

√
γn T 6 }, và

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CARLEMAN
Một số tính chất của hàm trọng

Trong mục này chúng tôi chứng chứng minh một số tính chất của
hàm trọng mà cần cho chứng minh Định lí 3.3, (Mệnh đề 3.3 trong
luận án).
3.3.2.

Chứng minh Định lí 3.3

Ta sẽ theo các bước chứng minh trong S. Ervedoza (2008) và xét
thế vị γn |x|2 trong phần chính của toán tử để chỉ rõ sự phụ thuộc
vào γn .
Để chứng minh bất đẳng thức Carleman, ta cần đến bất đẳng
Hardy cải tiến sau mà được suy ra từ Hệ quả 3, Mục 2.1.6 trong
V. G. Maz’ja (1985).
Bổ đề 3.1. Với miền bị chặn bất kì Ω1 của RN1 , tồn tại hằng số
C0 > 0 sao cho
∫
∫
∫
|z|2
|z|2
2
∗
dx ≥ C0
dx, ∀z ∈ H01 (Ω1 ).
|∇z| dx − µ (N1 )
2
Ω1 |x|

Ω1
Ω1 |x|
19


Chương 4

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VỀ 0 CỦA MỘT LỚP
PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC MỘT CHIỀU NỬA
TUYẾN TÍNH SUY BIẾN VỚI THẾ VỊ KÌ DỊ
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính điều khiển được
về 0 của một lớp phương trình parabolic một chiều nửa tuyến tính
suy biến với thế vị kì dị bằng cách sử dụng định lí điểm bất động
Schauder và phương pháp HUM mà ở đó chúng tôi sử dụng bất
đẳng thức Carleman đã được thiết lập bởi Vancostenoble (2011).
Nội dung của chương này dựa trên bài báo [2] trong Danh mục
công trình đã công bố của chúng tôi.
4.1.

ĐẶT BÀI TOÁN

Đặt QT = (0, T ) × (0, 1). Ta xét bài toán nửa tuyến tính sau:

λ

α

u + f (x, t, u) = 1ω h, (x, t) ∈ QT ,
u
−

(x
u
)
−
t
x
x


xβ
(4.1)
u(0, t) = u(1, t) = 0,
t ∈ (0, T ),



u(0, x) = u ,
x ∈ (0, 1),
0

ở đó u0 ∈ L2 (0, 1), h ∈ L2 (ω × (0, T )), 0 ≤ α < 1, và ̸= ω ⊂
(0, 1). Ở đây, 1ω là hàm đặc trưng của ω và giả thiết rằng hàm
f : QT × R → R là hàm liên tục theo cả ba biến, khả vi liên tục
theo biến thứ ba và thỏa mãn f (x, t, 0) = 0. Hơn nữa giả sử tồn
tại hằng số dương L > 0 sao cho với mọi (x, t) ∈ QT ,
|f (x, t, u) − f (x, t, v)| ≤ L|u − v| ∀u, v ∈ R.
Ta đặt λ(α) = (1 − α)2 /4 và xét toán tử Au = (xα ux )x +
thế vị dưới tới hạn

α ∈ [0, 1), 0 < β < 2 − α, λ ∈ R,

α ∈ [0, 1), β = 2 − α, λ < λ(α).
20

(4.2)
λ
u với
xβ

(4.3)


4.2.
4.2.1.

TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN
Không gian hàm và toán tử

Với thế vị dưới tới hạn, tức là khi (4.3) thỏa mãn, miền xác định
của toán tử A được xác định bởi
{
}
λ
1
2
α
2
D(A) := u ∈ Hα,0 (0, 1)∩Hloc ((0, 1]) | (x ux )x + β u ∈ L (0, 1) ,
x
trong đó
1

(0, 1)
Hα,0

{
:= u : [0, 1] → R | u liên tục tuyệt đối trong [0, 1],
}
√
2
α
x ux ∈ L (0, 1) và u(0) = u(1) = 0 .

1
Khi đó Hα,0
(0, 1) là không gian Banach với chuẩn
∫
( 1 α 2 )1/2
1
∥u∥Hα,0
=
x ux dx
.
0

Ta có kết quả sau (xem, chẳng hạn, Định lí 6.1-6.4 trong AlabauBoussouira-Cannarsa-Fragnelli (2006)).
Bổ đề 4.1. Ta có các phép nhúng sau là compact:
1
(0, 1) → L2 (0, 1);
(i) Hα,0
1
(ii) D(A) → Hα,0

(0, 1);

(iii) H 1 (0, T ; L2 (0, 1)) ∩ L2 (0, T ; D(A)) → C([0, T ]; L2 (0, 1)) ∩
1
(0, 1)).
L2 (0, T ; Hα,0
4.2.2.

Tính đặt đúng của bài toán

Định lí 4.1. Giả sử rằng (4.3) và (4.2) thỏa mãn, và u0 ∈
L2 (0, 1), T > 0 cho trước. Khi đó bài toán (4.1) có duy nhất
nghiệm yếu u thỏa mãn
−1
1
(0, 1)) ∩ H 1 (0, T ; Hα,0
(0, 1)),
u ∈ C([0, T ]; L2 (0, 1)) ∩ L2 (0, T ; Hα,0

21


−1
1
(0, 1) là không gian đối ngẫu của Hα,0
trong đó Hα,0
(0, 1). Hơn
nữa ta có đánh giá:

∥u∥2L2 (0,T ;H 1

+ ∥u∥2C([0,T ];L2 (0,1))
(
)
2
2
≤ exp(C(η, α, λ, β)(1+T )(1+L)) ∥u0 ∥L2 (0,1) + ∥h∥L2 (ω×(0,T )) ,
α,0 (0,1))

với hằng số dương C(η, α, λ, β) không phụ thuộc u0 , T, L và h.
1
Nếu u0 ∈ Hα,0
(0, 1), thì bài toán (4.1) có duy nhất nghiệm
thỏa mãn
1
u ∈ H 1 (0, T ; L2 (0, 1)) ∩ L2 (0, T ; D(A)) ∩ C([0, T ]; Hα,0
(0, 1)).

Hơn nữa ta có đánh giá
∥u∥2L2 (0,T ;D(A)) + ∥u∥2L∞ (0,T ;H 1

α,0 (0,1))

≤ exp(C(η, α, λ, β)(1+L)(1+T ))

(

+ ∥u∥2H 1 (0,T ;L2 (0,1))

∥u0 ∥2H 1

α,0

+

∥h∥2L2 (ω×(0,T ))

)
,

với hằng số dương C(η, α, λ, β) không phụ thuộc vào u0 , T, L và h.
Định lí 4.1 được chứng minh theo phương pháp compact.
4.3.
4.3.1.

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VỀ 0
Tính điều khiển được về 0 của bài toán tuyến tính hóa

Ta xét bài toán tuyến tính tương ứng với bài toán (4.1):

λ

α

u + c(x, t)u = 1ω h, (x, t) ∈ QT ,
u
−
(x
u
)
−

t
x
x


xβ
u(0, t) = u(1, t) = 0,
t ∈ (0, T ),



u(0, x) = u ,
x ∈ (0, 1),

(4.4)

0

trong đó c(x, t) ∈ L∞ (QT ), h ∈ L2 (ω × (0, T )).
Sử dụng bất đẳng thức Carleman bởi J. Vancostenoble (2011)
và theo phương pháp HUM, ta chứng minh được tính điều khiển
được về 0 của (4.4).
22


Định lí 4.2. Với giả thiết (4.3) và c(x, t) ∈ L∞ (QT ), khi đó với mọi
T > 0 và mỗi u0 ∈ L2 (0, 1) cho trước, tồn tại h ∈ L2 (ω × (0, T )) sao
cho nghiệm u của (4.4) thỏa mãn u(·, T ) = 0, tức là, bài toán (4.4) điều
khiển được về 0. Hơn nữa
∫ T∫

∫ 1
2
h dxdt ≤ CT
u20 dx,
(4.5)
ω

0

0

{ (
)}
1
2
2k−1
với CT = exp C 1 + T + T
+ + (1 + T )∥c∥∞ + ∥c∥∞
, ở đó
T
hằng số dương C = C(2 − α, λ, β, γ, ω) và không phụ thuộc vào ∥c∥∞ ,
u0 và T .

4.3.2.

Tính điều khiển được về 0 của bài toán nửa tuyến tính

Định lí sau chứng minh bằng cách sử dụng Định lí 4.2 và định lí
điểm bất động Schauder.
1

(0, 1) cho trước. Với các giả
Định lí 4.3. Giả sử T > 0 và u0 ∈ Hα,0
thiết (4.2) và (4.3), bài toán (4.1) điều khiển được về 0, tức là tồn tại
điều khiển h ∈ L2 (ω × (0, T )) sao cho bài toán (4.1) có nghiệm u thỏa
mãn u(·, T ) = 0. Hơn nữa, hàm điều khiển thỏa mãn
∫ T∫
∫ 1
2
h dxdt ≤ C T
u20 dx,
(4.6)
ω

0

0

)}
{ (
1
, ở
với hằng số C T = exp C 1 + T + T 2k−1 + + (1 + T )L + L2
T
đó C = C(α, λ, β, γ, ω) và không phụ thuộc vào L, u0 và T .

Sử dụng tính trơn của nghiệm và Định lí 4.3, ta có kết quả
chính của chương.
Định lí 4.4. Giả sử T > 0 và u0 ∈ L2 (0, 1) cho trước. Với các
giả thiết (4.2) và (4.3), bài toán (4.1) điều khiển được về 0, tức
là tồn tại h ∈ L2 (ω × (0, T )) sao cho bài toán (4.1) có nghiệm u

thỏa mãn u(·, T ) = 0. Hơn nữa, hàm điều khiển thỏa mãn
∫

T

∫

∫

1

h dxdt ≤ C T
2

0

ω

u20 dx,

(4.7)

0

với C T có dạng như trong Định lí 4.3.
23