Đa tạp tích phân và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình tiến hóa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Trịnh Viết Dược
ĐA TẠP TÍCH PHÂN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM
CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HOÁ
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Nguyễn Thiệu Huy
2. PGS. TS. Đặng Đình Châu
Hà Nội - 2014
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả, số liệu trong
luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả luận án
Trịnh Viết Dược
i
Mục lục
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 2
MỞ ĐẦU 3
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7
1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng . . . . 7
1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng . . . . . . . 10
1.3 Nhị phân mũ của họ tiến hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Bài toán Cauchy đặt chỉnh và họ tiến hoá . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Nhị phân mũ của họ tiến hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Phương trình vi phân nửa tuyến tính và đa tạp ổn định . . . . . . . . 19
2 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
NỬA TUYẾN TÍNH 22

2.1 Đa tạp tâm ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Đa tạp không ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
HÀM ĐẠO HÀM RIÊNG 40
3.1 Đa tạp ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng . . . . . 41
3.2 Đa tạp tâm ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng . . . 49
3.3 Đa tạp không ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng . . 54
KẾT LUẬN 72
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN 73
TÀI LIỆU THAM KHẢO 74
1
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
N = {1, 2, . . . } là tập các số tự nhiên, R là tập các số thực, R
+
là tập các số thực
không âm.
Với mỗi số thực 1 ≤ p ≤ ∞ ký hiệu
L
p
(I) =





{u : I → R : u
p
= (


I
|u(x)|
p
dx)
1/p
< +∞ nếu 1 ≤ p < ∞}.
{u : I → R : u
∞
= ess sup
x∈I
|u(x)| < +∞ nếu p = ∞}.
L
1,loc
(I) = {u : I → R | u ∈ L
1
(ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ I}, trong đó
ω ⊂⊂ I nghĩa là bao đóng ω là tập compact trong I. Ở đây, I = R
+
hoặc R.
Ký hiệu
M(R
+
) =

f ∈ L
1, loc
(R
+
) : sup
t≥0


t+1
t
|f(τ)|dτ < ∞

với chuẩn f
M
:= sup
t≥0

t+1
t
|f(τ)|dτ.
X là không gian Banach.
E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên R
+
.
E
R
là không gian hàm Banach chấp nhận được trên R.
C
b
(R
+
, X) không gian các hàm liên tục, bị chặn, nhận giá trị trong X, xác định trên
R
+
với chuẩn u
∞
= sup

t∈R
+
u(t).
Với r > 0, ký hiệu C = C([−r, 0], X) là không gian các hàm liên tục trên [−r, 0],
nhận giá trị trong X với chuẩn u
C
= sup
t∈[−r,0]
u(t).
2
MỞ ĐẦU
Xét phương trình vi phân nửa tuyến tính
du
dt
= A(t)u + f(t, u), t ∈ I,
trong đó I = R
+
hoặc R, A(t) là toán tử tuyến tính có thể không giới nội trong không
gian Banach X với mỗi t ∈ I và f : I × X → X là toán tử phi tuyến.
Một trong những vấn đề trọng điểm trong nghiên cứu lý thuyết định tính của
nghiệm các phương trình vi phân trên là tìm hiểu sự tồn tại của các đa tạp tích phân
bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định và đa tạp tâm (ổn định, không ổn
định). Việc nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân luôn thu hút được sự quan
tâm của nhiều nhà toán học vì một mặt nó mang lại bức tranh hình học về dáng điệu
tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến xung quanh một điểm
cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xác định, mặt khác nó còn cho phép thu gọn
việc nghiên cứu tính chất nghiệm của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về
những phương trình đơn giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này
đối với các nghiệm của phương trình đang xét.
Để các đa tạp tích phân tồn tại, điều kiện phổ biến là phần tuyến tính (tức là họ

các toán tử (A(t))
t∈I
) sinh ra một họ tiến hoá có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ và
toán tử phi tuyến f là Lipschitz theo nghĩa nào đó. Những kết quả nền tảng đầu tiên
về sự tồn tại các đa tạp tích phân thuộc về các nhà toán học Hadamard [52], Perron
[50, 51], Bogoliubov và Mitropolsky [12]. Đó là những kết quả về sự tồn tại các đa tạp
tích phân đối với phương trình vi phân thường (tức là trường hợp X = R
n
và A(t) là
các ma trận). Sau đó, Daleckii và Krein [18] đã mở rộng các kết quả đó sang trường
hợp A(t) là các toán tử giới nội trong không gian Banach bất kỳ X. Tiếp theo, Henry
[21] đã phát triển các kết quả về sự tồn tại đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) là
các toán tử đạo hàm riêng không giới nội. Về sau, nhờ sự phát triển mạnh mẽ của giải
tích hàm hiện đại và lý thuyết nửa nhóm một tham số, các kết quả về sự tồn tại của
các đa tạp tích phân đã được chuyển sang những nấc thang mới cho các lớp phương
trình rất tổng quát bao gồm cả phương trình đạo hàm riêng có trễ và trung tính (xem
[1, 15, 40, 48, 47, 23, 24] và các tài liệu tham khảo trong đó). Có hai phương pháp
3
chính để chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tích phân là phương pháp Hadamard và
phương pháp Perron. Phương pháp Hadamard đã được tổng quát hoá thành phương
pháp biến đổi đồ thị (graph transform) và đã được sử dụng chẳng hạn trong [22, 40, 52]
để chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tích phân. Phương pháp này liên quan đến việc
lựa chọn các phép biến đổi phức hợp giữa các đồ thị biểu diễn đa tạp tích phân. Trong
khi đó, phương pháp Perron được mở rộng thành phương pháp Lyapunov-Perron do nó
liên quan quan đến các phương pháp của Lyapunov. Phương pháp Lyapunov-Perron
tập trung vào việc xây dựng phương trình (hoặc toán tử) Lyapunov-Perron có mối liên
hệ với phương trình tiến hoá, để từ đó chỉ ra sự tồn tại của các đa tạp tích phân.
Phương pháp Lyapunov-Perron có vẻ thích hợp hơn trong việc xử lý các dòng hoặc
nửa dòng sinh ra bởi phương trình tiến hoá nửa tuyến tính, bởi vì trong trường hợp
này việc xây dựng phương trình Lyapunov-Perron khá thuận lợi và được gắn kết với

các kỹ thuật tiêu chuẩn của phương trình vi phân thường (ODE), thậm chí ngay cả
khi dòng chỉ xác định trên một tập con nào đó của không gian pha. Chúng ta có thể
xem các công trình [9, 14, 18, 23, 24, 25, 26, 47] và tài liệu tham khảo trong đó về vấn
đề này.
Điều kiện phổ biến nhất của phần phi tuyến f khi xét bài toán tồn tại đa tạp tích
phân của phương trình tiến hoá nửa tuyến tính là f thoả mãn điều kiện Lipschitz với
hằng số Lipschitz đủ bé, tức là f(t, φ) − f(t, ψ) ≤ qφ − ψ
C
với q là hằng số đủ
nhỏ (xem [9, 14, 18, 1, 40, 47, 48]). Tuy nhiên, với các phương trình nảy sinh từ các
quá trình tương tác-khuyếch tán, trong đó f đại diện cho nguồn vật chất thì hằng số
Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển (xem
[41, 42, 49]). Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến để
chúng có thể mô tả được các quá trình tương tác-khuyếch tán như vậy.
Năm 2009, sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và không gian hàm Banach chấp
nhận được, Nguyễn Thiệu Huy đã đưa ra điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến
khi xét sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến (xem [25]), ở đó hệ số Lipschitz của
phần phi tuyến phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấp nhận
được. Đồng thời, sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được đã có một số kết
quả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm được công bố trong thời gian gần đây là
[2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32]. Trên cơ sở đó, chúng tôi đã nghiên cứu sự tồn tại
của đa tạp tích phân cho phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính và phương trình
vi phân hàm đạo hàm riêng. Đó là nội dung chính của luận án này.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình và tài liệu tham khảo, luận án
bao gồm 3 chương
• Chương 1 là phần kiến thức chuẩn bị. Ở đây, chúng tôi trình bày khái niệm và
một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được (xem [25, 36]).
4
Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của
phương trình vi phân nửa tuyến tính trong [25, 27].

• Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, đa tạp không ổn định
của phương trình vi phân nửa tuyến tính
du
dt
= A(t)u + f(t, u), t ∈ I,
trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố
định và f : I × X → X là toán tử phi tuyến. Khi họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
sinh bởi họ toán tử A(t), t ∈ R
+
có nhị phân mũ và hàm phi tuyến f thoả mãn
điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là f(t, x) − f(t, y) ≤ ϕ(t)x − y với ϕ là hàm
không âm thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được. Với các giả thiết này,
Nguyễn Thiệu Huy đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định (xem [25]). Khi
mở rộng họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
có tam phân mũ chúng tôi đã chỉ ra sự tồn
tại của đa tạp tâm ổn định. Sau đó, thay vì xét phương trình trên nửa đường
thẳng, chúng tôi xét phương trình trên toàn đường thẳng để từ đó chỉ ra sự tồn
tại của đa tạp không ổn định và đa tạp này có tính chất hút các quỹ đạo nghiệm.
Các kết quả trong Chương 2 được lấy ở bài báo [3] trong Danh mục công trình
khoa học của tác giả.
• Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định, đa tạp
không ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng
du
dt
= A(t)u(t) + f(t, u
t
), t ∈ I,
trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố

định. f : I × C → X là toán tử phi tuyến liên tục. Với r > 0 cố định, chúng
ta ký hiệu C := C([−r, 0], X) là không gian các hàm liên tục trên [−r, 0] được
trang bị chuẩn sup. Khi họ toán tử (A(t))
t∈I
sinh ra họ tiến hoá có nhị phân
mũ (hoặc tam phân mũ), chúng ta tìm điều kiện của f để phương trình trên có
đa tạp tích phân. Điều kiện phổ biến là hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện
Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ nhỏ, tức là f(t, φ) − f(t, ψ) ≤ qφ − ψ
C
với q đủ nhỏ (xem [1, 40, 48] và tài liệu tham khảo trong đó). Tuy nhiên, đối với
các phương trình nảy sinh từ quá trình tương tác-khuyếch tán phức tạp, hàm f
biểu diễn nguồn vật chất của các quá trình này thì hằng số Lipschitz có thể phụ
thuộc vào thời gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển (xem [41, 42, 49]).
Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến để chúng có
thể mô tả được các quá trình tương tác-khuyếch tán như vậy. Vì vậy, khi nghiên
5
cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân của phương trình vi phân hàm đạo hàm
riêng, chúng tôi xét hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là
f(t, φ
1
) − f(t, φ
2
) ≤ ϕ(t)φ
1
− φ
2

C
, khi đó điều kiện hằng số Lipschitz q
đủ nhỏ được thay bởi điều kiện sup

t∈I

t+1
t
ϕ(τ)dτ đủ nhỏ, như vậy hàm ϕ có
thể nhận giá trị lớn tuỳ ý. Tuy nhiên, khác với phương trình vi phân nửa tuyến
tính chúng ta sẽ gặp khó khăn về không gian pha do đa tạp tích phân được
xây dựng trên C trong khi đó họ tiến hoá sinh bởi các toán tử A(t) xác định
trên X. Do đó, phương pháp biến đổi đồ thị sử dụng trong [1, 40] không áp
dụng được. Để khắc phục những khó khăn này, chúng tôi sử dụng phương pháp
Lyapunov-Perron và xây dựng các toán tử chiếu trên C thông qua họ tiến hoá
sinh bởi các toán tử A(t). Các kết quả trong Chương 3 được viết trong bài báo
[1, 2] thuộc Danh mục công trình khoa học của tác giả.
Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS.
Nguyễn Thiệu Huy và PGS.TS. Đặng Đình Châu, hai người thầy vô cùng mẫu mực, đã
tận tình giúp đỡ tôi trên con đường khoa học. Hai thầy đã dìu dắt tôi trên con đường
toán học, đưa tôi bước vào một lĩnh vực toán học đầy thú vị, luôn tạo ra những thử
thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi và sáng tạo, đó là những gì tôi may mắn được tiếp
nhận từ hai người thầy đáng kính của mình. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
hai thầy.
Trong quá trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận án, tôi đã nhận được rất
nhiều sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong Bộ môn Giải tích và trong Khoa
Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội. Tôi xin trân
trọng sự giúp đỡ của các thầy cô.
Tôi muốn bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa
Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại học và các phòng ban chức năng của Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và
nghiên cứu.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và toàn thể bạn bè đã luôn khuyến
khích, động viên để tôi vững bước trên con đường toán học mình đã chọn.

Hà Nội, năm 2014
Nghiên cứu sinh
Trịnh Viết Dược
6
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của không gian
hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng R
+
(xem [25, 27, 36]). Sử dụng
một ít thay đổi, chúng ta thu được khái niệm và tính chất của không gian hàm Banach
chấp nhận được trên đường thẳng thực (xem [3] trong Danh mục công trình khoa học
của tác giả). Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn
định của phương trình vi phân nửa tuyến tính.
1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được trên
nửa đường thẳng
Định nghĩa 1.1.1. Một không gian vectơ E gồm các hàm thực đo được Borel trên
R
+
được gọi là không gian hàm Banach trên (R
+
, B, λ), trong đó B là đại số Borel và
λ là độ đo Lebesgue trên R
+
, nếu
(1) (E,  · 
E
) là không gian Banach và nếu ϕ ∈ E, ψ là hàm thực đo được Borel sao
cho |ψ(·)| ≤ |ϕ(·)| h.k.n (hầu khắp nơi) theo độ đo λ thì ψ ∈ E và ψ
E

≤ ϕ
E
.
(2) Hàm đặc trưng χ
A
∈ E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và sup
t≥0
χ
[t,t+1]

E
<
∞, inf
t≥0
χ
[t,t+1]

E
> 0.
(3) E → L
1,loc
(R
+
), tức là với mọi đoạn compact J ⊂ R
+
tồn tại β
J
> 0 sao cho

J

|f(t)|dt ≤ β
J
f
E
với mọi f ∈ E.
Bổ đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn để kiểm tra xem một hàm liệu có thuộc không
gian hàm Banach E hay không.
7
Bổ đề 1.1.2. Cho không gian hàm Banach E, ϕ và ψ là các hàm thực đo được Borel
trên R
+
sao cho hai hàm trùng nhau bên ngoài một đoạn compact và bị chặn cốt yếu
trong đoạn này. Khi đó, ϕ ∈ E khi và chỉ khi ψ ∈ E.
Chứng minh. Giả sử ϕ ∈ E và ϕ = ψ trên J = [a, b]. Do ψ bị chặn cốt yếu trên J
nên tồn tại M > 0 sao cho
λ({t ∈ J : |ψ(t)| > M}) = 0
Đặt A = {t ∈ J : |ψ(t)| > M} và B = J \ A. Do E là không gian hàm Banach nên
|ϕ| ∈ E và χ
B
∈ E. Bởi vậy, |ϕ|+χ
B
∈ E. Ngoài ra ta có, |ψ| ≤ |ϕ|+Mχ
B
(λ-h.k.n),
suy ra ψ ∈ E.
Định nghĩa 1.1.3. Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận được nếu nó
thoả mãn
(i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho

b

a
|ϕ(t)|dt ≤
M(b − a)
χ
[a,b]

E
ϕ
E
với mọi [a, b] ⊂ R
+
và mọi ϕ ∈ E.
(ii) E là bất biến với toán tử Λ
1
, trong đó Λ
1
ϕ(t) =

t+1
t
ϕ(τ)dτ.
(iii) E là T
+
τ
và T
−
τ
bất biến với mọi τ ∈ R
+
, trong đó

T
+
τ
ϕ(t) =



ϕ(t − τ) nếu t ≥ τ ≥ 0
0 nếu 0 ≤ t < τ ,
T
−
τ
ϕ(t) = ϕ(t + τ) với mọi t ≥ 0.
Hơn nữa, tồn tại N
1
, N
2
> 0 sao cho T
+
τ
 ≤ N
1
, T
−
τ
 ≤ N
2
với mọi τ ∈ R
+
.

Ví dụ 1.1.4. Không gian L
p
(R
+
) với 1 ≤ p ≤ ∞ và không gian
M(R
+
) :=

f ∈ L
1, loc
(R
+
) : sup
t≥0

t+1
t
|f(τ)|dτ < ∞

với chuẩn f
M
:= sup
t≥0

t+1
t
|f(τ)|dτ là các không gian hàm Banach chấp nhận
được. Ngoài ra, một số các không gian hàm trong lý thuyết nội suy như không gian
Lorentz L

p, q
với 1 < p < ∞, 1 < q < ∞ cũng là không gian hàm Banach chấp nhận
được.
8
Chú ý 1.1.5. Nếu E là không gian hàm Banach chấp nhận được thì E → M(R
+
).
Dưới đây là một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được.
Mệnh đề 1.1.6. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được. Ta có các khẳng
định sau
(a) Cho ϕ ∈ L
1, loc
(R
+
) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ
1
ϕ ∈ E. Với mọi σ > 0 ta xác định Λ

σ
ϕ
và Λ

σ
ϕ như sau
Λ

σ
ϕ(t) =

t

0
e
−σ(t−s)
ϕ(s)ds,
Λ

σ
ϕ(t) =

∞
t
e
−σ(s−t)
ϕ(s)ds.
Khi đó, Λ

σ
ϕ và Λ

σ
ϕ ∈ E. Hơn nữa, nếu ϕ ∈ M(R
+
) (điều này được thoả mãn
nếu ϕ ∈ E (xem chú ý 1.1.5)) thì Λ

σ
ϕ, Λ

σ
ϕ bị chặn và ta có đánh giá

Λ

σ
ϕ
∞
≤
N
1
1 − e
−σ
Λ
1
T
+
1
ϕ
∞
và Λ

σ
ϕ
∞
≤
N
2
1 − e
−σ
Λ
1
ϕ

∞
, (1.1)
trong đó Λ
1
, T
+
1
và N
1
, N
2
được xác định trong Định nghĩa 1.1.3.
(b) Với mọi α > 0, e
−αt
∈ E.
(c) Với mọi b > 0, e
bt
/∈ E.
Chứng minh. Với a ∈ R đặt a
+
= max{0, a}, ta có
Λ
1
T
+
1
ϕ(t) =

t
(t−1)

+
ϕ(s)ds,
T
+
1
Λ
1
ϕ(t) =



0 nếu 0 ≤ t < 1

t
(t−1)
+
ϕ(s)ds nếu t ≥ 1.
Do T
+
1
Λ
1
ϕ ∈ E nên theo Bổ đề 1.1.2 suy ra Λ
1
T
+
1
ϕ ∈ E. Mặt khác, ta có
Λ


σ
ϕ(t) =
∞

j=0

(t−j)
+
(t−(j+1))
+
e
−σ(t−s)
ϕ(s)ds ≤
∞

j=0
e
−jσ

(t−j)
+
(t−(j+1))
+
ϕ(s)ds
=
∞

j=0
e
−jσ

T
+
j
Λ
1
T
+
1
ϕ(t) với mọi t ∈ R
+
.
Ta có e
−jσ
T
+
j
Λ
1
T
+
1
ϕ ∈ E với mọi j và
∞

j=0
e
−jσ
T
+
j

Λ
1
T
+
1
ϕ
E
≤
∞

j=0
N
1
e
−jσ
Λ
1
T
+
1
ϕ
E
=
N
1
1 − e
−σ
Λ
1
T

+
1
ϕ
E
.
9
Vì E là không gian hàm Banach chấp nhận được nên Λ

σ
ϕ ∈ E và ta có
Λ

σ
ϕ
E
≤
N
1
1 − e
−σ
Λ
1
T
+
1
ϕ
E
. (1.2)
Tương tự, ta có
Λ


σ
ϕ(t) =
∞

j=0

t+j+1
t+j
e
−σ(s−t)
ϕ(s)ds ≤
∞

j=0
e
−jσ

t+j+1
t+j
ϕ(s)ds
=
∞

j=0
e
−jσ
T
−
j

Λ
1
ϕ(t) với mọi t ∈ R
+
.
Ta có e
−jσ
T
−
j
Λ
1
ϕ(t) ∈ E với mọi j và
∞

j=0
e
−jσ
T
−
j
Λ
1
ϕ
E
≤
∞

j=0
N

2
e
−jσ
Λ
1
ϕ
E
=
N
2
1 − e
−σ
Λ
1
ϕ
E
.
Vì E là không gian hàm Banach chấp nhận được nên Λ

σ
ϕ ∈ E và ta có
Λ

σ
ϕ
E
≤
N
2
1 − e

−σ
Λ
1
ϕ
E
. (1.3)
Với ϕ ∈ M(R
+
), áp dụng với E = L
∞
(R
+
), từ (1.2) và (1.3) chúng ta thu được Λ

σ
ϕ,
Λ

σ
ϕ bị chặn và bất đẳng thức (1.1).
(b) Lấy χ
[0,1]
∈ E, đặt
v(t) =

t
0
e
−α(t−s)
χ

[0,1]
(s)ds =



e
−αt
(e
α
−1)
α
nếu t ≥ 1
1−e
−αt
α
nếu 0 ≤ t < 1.
Theo (a) ta có v(t) ∈ E. Vì vậy, theo Bổ đề 1.1.2 suy ra e
−αt
∈ E.
(c) Giả sử tồn tại b > 0 sao cho f(t) = e
b t
∈ E. Vì E → M(R
+
) nên tồn tại
C > 0 sao cho
1
b
e
b t
(e

b
− 1) ≤ Ce
bt

E
với mọi t ≥ 0.
Điều này mâu thuẫn với lim
t→∞
e
b t
= ∞.
1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận được trên
đường thẳng
Thay R
+
bởi R và thay đổi tương ứng trong định nghĩa, chúng ta có khái niệm không
gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng thực.
10
Định nghĩa 1.2.1. Một không gian vectơ E gồm các hàm thực đo được Borel trên R
được gọi là không gian hàm Banach trên (R, B, λ), trong đó B là đại số Borel và λ là
độ đo Lebesgue trên R, nếu
(1) (E,  · 
E
) là không gian Banach và nếu ϕ ∈ E, ψ là hàm thực đo được Borel sao
cho |ψ(·)| ≤ |ϕ(·)| h.k.n (hầu khắp nơi) theo độ đo λ thì ψ ∈ E và ψ
E
≤ ϕ
E
.
(2) Hàm đặc trưng χ

A
∈ E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và sup
t∈R
χ
[t,t+1]

E
<
∞, inf
t∈R
χ
[t,t+1]

E
> 0.
(3) E → L
1,loc
(R), tức là với mọi đoạn compact J ⊂ R tồn tại β
J
> 0 sao cho

J
|f(t)|dt ≤ β
J
f
E
với mọi f ∈ E.
Định nghĩa 1.2.2. Không gian hàm Banach E trên đường thẳng thực được gọi là
chấp nhận được nếu nó thoả mãn
(i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho


b
a
|ϕ(t)|dt ≤
M(b − a)
χ
[a,b]

E
ϕ
E
với mọi [a, b] ⊂ R và mọi ϕ ∈ E.
(ii) E là bất biến với toán tử Λ
1
, trong đó Λ
1
ϕ(t) =

t+1
t
ϕ(τ)dτ.
(iii) E là T
+
τ
và T
−
τ
bất biến với mọi τ ∈ R, trong đó
T
+

τ
ϕ(t) = ϕ(t − τ),
T
−
τ
ϕ(t) = ϕ(t + τ).
Hơn nữa, tồn tại N
1
, N
2
> 0 sao cho T
+
τ
 ≤ N
1
, T
−
τ
 ≤ N
2
với mọi τ ∈ R.
Tương tự như trong R
+
, ta có một số tính chất sau của không gian hàm Banach
chấp nhận được trên đường thẳng.
Mệnh đề 1.2.3. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng.
Ta có các tính chất sau
(a) Cho ϕ ∈ L
1, loc
(R) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ

1
ϕ ∈ E. Với mọi σ > 0 ta xác định Λ

σ
ϕ
và Λ

σ
ϕ như sau
Λ

σ
ϕ(t) =

t
−∞
e
−σ(t−s)
ϕ(s)ds,
11
Λ

σ
ϕ(t) =

∞
t
e
−σ(s−t)
ϕ(s)ds.

Khi đó, Λ

σ
ϕ và Λ

σ
ϕ ∈ E. Hơn nữa, nếu sup
t∈R

t+1
t
ϕ(τ)dτ < ∞ (điều này
được thoả mãn nếu ϕ ∈ E ) thì Λ

σ
ϕ, Λ

σ
ϕ bị chặn và ta có đánh giá
Λ

σ
ϕ
∞
≤
N
1
1 − e
−σ
Λ

1
ϕ
∞
và Λ

σ
ϕ
∞
≤
N
2
1 − e
−σ
Λ
1
ϕ
∞
.
(b) Với mọi α > 0, e
−α|t|
∈ E.
(c) Với mọi b > 0, e
b|t|
/∈ E.
Tiếp theo là bất đẳng thức nón trong không gian Banach.
Định nghĩa 1.2.4. Một tập đóng K trong không gian Banach W được gọi là nón nếu
(i) x ∈ K thì λx ∈ K với mọi λ ≥ 0,
(ii) x
1
, x

2
∈ K thì x
1
+ x
2
∈ K,
(iii) ±x ∈ K thì x = 0.
Cho nón K trong không gian Banach W . Với x, y ∈ W ta xác định quan hệ x ≤ y
nếu y − x ∈ K. Quan hệ này là quan hệ thứ tự bộ phận trên W .
Định lý 1.2.5 (Bất đẳng thức nón). Cho nón K trong không gian Banach W sao cho
K là bất biến với toán tử A ∈ L(W ), A có bán kính phổ r
A
< 1. Giả sử x, z ∈ W
thoả mãn x ≤ Ax+z. Khi đó, tồn tại y ∈ W là nghiệm của phương trình y = Ay +z
và thoả mãn x ≤ y.
Chứng minh. Đặt Sx = Ax + z, theo giả thiết ta có x ≤ Sx. Với mọi x ≤ y ta có
Sy − Sx = A(y − x) ∈ K do K bất biến với toán tử A, vì vậy Sx ≤ Sy. Bằng quy
nạp ta có
S
n
x = A
n
x +
n−1

i=0
A
i
z
và x ≤ Sx ≤ S

2
x ≤ · · · ≤ S
n
x. Chọn q sao cho r
A
= lim
n→∞
n

A
n
 < q < 1.
Do đó, tồn tại N > 0 sao cho A
n
 ≤ q
n
với mọi n ≥ N. Suy ra, A
n
x → 0 khi
n → ∞. Xét phương trình
y = Ay + z ⇔ (I − A)y = z.
Do r
A
< 1 nên tồn tại (I − A)
−1
và y = (I − A)
−1
z =

∞

i=0
A
i
z. Ta có
x ≤ S
n
x ⇔ A
n
x +
n−1

i=0
A
i
z − x ∈ K.
Vì K đóng nên khi cho n → ∞, ta có y − x ∈ K, bởi vậy x ≤ y.
12
1.3 Nhị phân mũ của họ tiến hoá
Một trong những quan tâm hàng đầu về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình
vi phân tuyến tính
dx
dt
= A(t)x, t ∈ [0, ∞), x ∈ X, (1.4)
trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trên không gian Banach X với mỗi t cố định là
tìm điều kiện để nghiệm của phương trình ổn định hoặc có nhị phân mũ. Trong trường
hợp A(t) là ma trận với mỗi t cố định và liên tục, Perron [51] đã tìm được sự liên hệ
giữa dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình (1.4) và các tính chất của toán tử vi
phân
d
dt

− A(t) xác định trên không gian C
b
(R
+
, R
n
). Kết quả này là sự khởi đầu cho
nhiều công trình về lý thuyết định tính của phương trình vi phân. Trong sách chuyên
khảo của Massera và Sch¨affer [36], Daleckii và Krein [18] đã chỉ ra tính nhị phân mũ
của nghiệm được đảm bảo bởi điều kiện toàn ánh của toán tử vi phân
d
dt
− A(t) trong
trường hợp A(t) bị chặn. Levitan và Zhikov [33] đã mở rộng kết quả cho trường hợp vô
hạn chiều với lớp phương trình xác định trên toàn đường thẳng. Với phương trình xác
định trên nửa đường thẳng để đảm bảo tính nhị phân mũ ngoài điều kiện toàn ánh của
toán tử vi phân
d
dt
− A(t), chúng ta cần thêm điều kiện là tính đủ của không gian con
ổn định (xem [18, 39, 38]). Năm 2006, Nguyễn Thiệu Huy [27] đã đặc trưng tính nhị
phân mũ của nghiệm dựa vào không gian hàm chấp nhận được trên nửa đường thẳng
trong trường hợp A(t) không bị chặn. Trong phần này, ở mục 1.3.2 chúng ta sẽ điểm
qua các kết quả của Nguyễn Thiệu Huy [27].
1.3.1 Bài toán Cauchy đặt chỉnh và họ tiến hoá
Xét bài toán Cauchy






˙x(t) = A(t)x(t), t ≥ s ≥ 0,
x(s) = x,
(1.5)
trong đó A(t) với tập xác định D(A(t)) là toán tử tuyến tính trên không gian Banach
X. Khi đó, nghiệm (cổ điển) của bài toán Cauchy (1.5) là hàm u := u(·, s, x) ∈
C
1
([s, ∞), X) sao cho u(t) ∈ D(A(t)) và u thoả mãn bài toán Cauchy (1.5) với mọi
t ≥ s.
Định nghĩa 1.3.1. Bài toán Cauchy (1.5) được gọi là đặt chỉnh trên các không gian
Y
t
, t ≥ 0, nếu
(i) Y
t
⊂ D(A(t)) là các không gian con trù mật trong X.
13
(ii) Mỗi x ∈ Y
s
thì bài toán Cauchy (1.5) có duy nhất nghiệm u(·, s, x).
(iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu, tức là, nếu s
n
→ s và Y
s
n

x
n
→ x ∈ Y

s
thì ˜u(t, s
n
, x
n
) → ˜u(t, s, x) đều theo t trên mọi đoạn compact
trong R
+
, trong đó ˜u(t, s, x) := u(t, s, x) với t ≥ s và ˜u(t, s, x) := x với t < s.
Khi bài toán Cauchy đặt chỉnh, chúng ta xây dựng được một họ các toán tử giải
nghiệm của bài toán Cauchy (1.5). Họ các toán tử này được gọi là họ tiến hoá.
Định nghĩa 1.3.2. Một họ các toán tử tuyến tính, bị chặn (U(t, s))
t≥s≥0
trên không
gian Banach X được gọi là họ tiến hoá (liên tục mạnh, bị chặn mũ) nếu
(i) U(t, t) = Id và U(t, r)U(r, s) = U(t, s) với mọi t ≥ r ≥ s,
(ii) ánh xạ (t, s) → U(t, s)x là liên tục với mỗi x ∈ X,
(iii) tồn tại các hằng số K, c ≥ 0 sao cho U(t, s)x ≤ Ke
c(t−s)
x với mọi t ≥ s
và x ∈ X.
Nghiệm của bài toán Cauchy (1.5) qua họ tiến hoá được cho bởi công thức u(t) =
U(t, s)u(s). Khi A(t) ≡ A, bài toán Cauchy đặt chỉnh sẽ xác định nửa nhóm liên tục
mạnh T (t) sinh bởi toán tử A, khi đó chúng ta có họ tiến hoá U(t, s) = T (t − s).
Điều kiện để bài toán Cauchy đặt chỉnh hay sự tồn tại của họ tiến hoá, chúng ta có
thể tham khảo trong Pazy [44], Nagel và Nickel [43].
Định nghĩa 1.3.3. Một họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
trên không gian Banach X được
gọi là nhị phân mũ trên [0, ∞) nếu tồn tại các toán tử chiếu tuyến tính bị chặn

P (t), t ≥ 0, trên X và các hằng số N, ν > 0 sao cho
(a) U(t, s)P (s) = P (t)U(t, s), t ≥ s ≥ 0,
(b) ánh xạ hạn chế U(t, s)
|
: KerP (s) → KerP (t), t ≥ s ≥ 0 là đẳng cấu, chúng ta
biểu diễn ánh xạ ngược là U(s, t)
|
:= (U(t, s)
|
)
−1
, 0 ≤ s ≤ t,
(c) U(t, s)x ≤ Ne
−ν(t−s)
x với x ∈ P (s)X, t ≥ s ≥ 0,
(d) U(s, t)
|
x ≤ Ne
−ν(t−s)
x với x ∈ KerP (t), t ≥ s ≥ 0.
Các toán tử chiếu P (t), t ≥ 0, được gọi là toán tử chiếu nhị phân và các hằng số N, ν
được gọi là hằng số nhị phân.
Ta có tính chất sau của các toán tử chiếu nhị phân P (t).
14
Bổ đề 1.3.4. [39, Bổ đề 4.2]. Cho (U(t, s))
t≥s≥0
là họ tiến hoá nhị phân mũ với các
toán tử chiếu nhị phân P(t). Khi đó, họ các toán tử chiếu (P (t))
t≥0
là bị chặn đều và

liên tục mạnh.
Chứng minh. Với s ∈ R
+
, đặt Q(s) = I − P (s) và
h(s) = inf{x
0
+ x
1
 : x
0
 = x
1
 = 1, x
0
∈ ImP (s), x
1
∈ KerP (s)}.
Lấy x ∈ X sao cho P(s)x = 0 và Q(s)x = 0, ta có
h(s) ≤




P (s)x
P (s)x
+
Q(s)x
Q(s)x





≤
1
P (s)x




P (s)x +
P (s)x
Q(s)x
Q(s)x




≤
1
P (s)x




x +
P (s)x − Q(s)x
Q(s)x
Q(s)x





≤
2x
P (s)x
.
Nếu Q(s)x = 0 thì P (s)x = x. Do đó, P(s) ≤ max{1,
2
h(s)
}. Tiếp theo,
chúng ta sẽ chỉ ra tồn tại hằng số d > 0 sao cho h(s) ≥ d. Với mọi t ≥ s và
x
0
∈ ImP (s), x
1
∈ KerP (s) ta có
x
0
+ x
1
 ≥K
−1
e
−c(t−s)
U(t, s)(x
0
+ x
1
)
≥K

−1
e
−c(t−s)
(U(t, s)x
1
 − U(t, s)x
0
)
≥K
−1
e
−c(t−s)
(N
−1
e
ν(t−s)
− Ne
−ν(t−s)
) =: d(t − s).
Hàm số d(t − s) có giá trị lớn nhất dương và không phụ thuộc vào s. Vì vậy, tồn tại
d > 0 sao cho h(s) ≥ d. Vậy, H := sup
t≥0
P (t) < ∞.
Lấy t
0
≥ 0 với t > t
0
, ta có
P (t)x − P (t
0

)x ≤ P (t)x − P (t)U(t, t
0
)x + P(t)U(t, t
0
)x − P(t
0
)x
≤ Hx − U(t, t
0
)x + U(t, t
0
)P (t
0
)x − P(t
0
)x.
Do U(t, t
0
) liên tục mạnh nên P (t)x liên tục phải tại t
0
. Với t < t
0
ta có
Q(t)x − Q(t
0
)x ≤ U(t, t
0
)
|
U(t

0
, t)Q(t)x − U(t, t
0
)
|
Q(t
0
)x
+ U(t, t
0
)
|
Q(t
0
)x − Q(t
0
)x
≤ NQ(t
0
)U(t
0
, t)x − Q(t
0
)x
+ U(t, t
0
)
|
Q(t
0

)x − Q(t
0
)x.
Do U(t
0
, t) và U(t, t
0
)
|
liên tục mạnh nên Q(t)x liên tục trái tại t
0
. Suy ra P(t)x liên
tục trái tại t
0
. Vậy, P (t)x liên tục tại t
0
với mỗi x ∈ X cố định.
15
Cho (U(t, s))
t≥s≥0
là họ tiến hoá nhị phân mũ. Chúng ta định nghĩa hàm Green
như sau
G(t, τ) =



P (t)U(t, τ) nếu t > τ ≥ 0,
−U(t, τ)
|
(I − P (τ)) nếu 0 ≤ t < τ.

(1.6)
Khi đó, chúng ta có đánh giá G(t, τ) ≤ N(1 + H)e
−ν|t−τ |
với t = τ.
1.3.2 Nhị phân mũ của họ tiến hoá
Trong mục này, chúng ta nhắc lại các kết quả của Nguyễn Thiệu Huy [27] mà không
chứng minh. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng
R
+
và X là không gian Banach với chuẩn  · . Chúng ta xây dựng không gian
E := E(R
+
, X) = {f : R
+
→ X sao cho f là đo được và f(·) ∈ E}
với chuẩn f
E
= f(·)
E
. Khi đó, E là không gian Banach. Chúng ta gọi nó là
không gian Banach tương ứng với không gian hàm Banach chấp nhận được E.
Chúng ta ký hiệu C
b
(R
+
, X) là không gian các hàm liên tục, bị chặn, nhận giá trị
trong không gian Banach X với chuẩn sup,  · 
∞
. Khi đó, chúng ta định nghĩa
E

∞
= E ∩ C
b
(R
+
, X) với chuẩn f
E
∞
= max{f
E
, f
∞
}.
Khi đó, E
∞
là không gian Banach và E
∞
→ E.
Tiếp theo, chúng ta xét phương trình tích phân
u(t) = U(t, s)u(s) +

t
s
U(t, ξ)f(ξ)dξ với t ≥ s ≥ 0, (1.7)
trong đó (U(t, s))
t≥s≥0
là một họ tiến hoá. Nếu họ tiến hoá này sinh ra từ bài toán
Cauchy (1.5) đặt chỉnh thì hàm u thoả mãn (1.7) với một hàm f cho trước được gọi
là nghiệm đủ tốt của bài toán không thuần nhất (xem Pazy [44, Chương 5])






du
dt
= A(t)u(t) + f(t), t ≥ s ≥ 0,
u(s) = u
s
.
Sau đây, chúng ta định nghĩa toán tử G liên hệ với phương trình tích phân (1.7) như
sau
Định nghĩa 1.3.5. Toán tử G : D(G) ⊂ E
∞
→ E được xác định bởi
D(G) := {u ∈ E
∞
: tồn tại f ∈ E để u, f thoả mãn phương trình (1.7)},
Gu := f với u ∈ D(G) và f ∈ E thoả mãn phương trình (1.7)}.
16
Sự tồn tại của toán tử G được xác định bởi mệnh đề sau (chứng minh ở [27, Mệnh
đề 2.8]).
Mệnh đề 1.3.6. Toán tử G là xác định, tuyến tính và đóng.
Tương tự, chúng ta định nghĩa toán tử G
0
liên hệ với phương trình
u(t) =

t
0

U(t, ξ)f(ξ)dξ (1.8)
như sau
Định nghĩa 1.3.7. Toán tử G
0
: D(G
0
) ⊂ E
∞
→ E được xác định bởi
D(G
0
) := {u ∈ E
∞
: tồn tại f ∈ E để u, f thoả mãn phương trình (1.8)},
G
0
u := f với u ∈ D(G
0
) và f ∈ E thoả mãn phương trình (1.8)}.
Tương tự như toán tử G, chúng ta cũng chỉ ra được toán tử G
0
là xác định, tuyến
tính và đóng.
Chú ý 1.3.8. Chúng ta có các tính chất sau của toán tử G và G
0
.
1. KerG = {u ∈ D(G) : u(t) = U(t, 0)u(0)}.
2. D(G
0
) = {v ∈ D(G) : v(0) = 0} và Gv = G

0
v khi mà v ∈ D(G
0
). Do đó, G là
mở rộng của G
0
.
Để đặc trưng tính nhị phân mũ của họ tiến hoá chúng ta cần khái niệm không gian
E-ổn định.
Định nghĩa 1.3.9. Cho họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
trên không gian Banach X và
t
0
≥ 0. Đặt,
X
0
(t
0
) =





x ∈ X : z(t) =






U(t, t
0
)x nếu t ≥ t
0
0 nếu 0 ≤ t < t
0
∈ E





Khi đó X
0
(t
0
) được gọi là không gian E-ổn định.
Định lý sau được lấy từ [27, (Định lý 4.2)]. Định lý này cho ta điều kiện cần và đủ
để một họ tiến hoá là nhị phân mũ.
Định lý 1.3.10. Cho E = E(R
+
, X) là không gian Banach tương ứng với không gian
hàm Banach chấp nhận được E. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương.
17
(i) Họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
là nhị phân mũ.
(ii) Toán tử G : D(G) ⊂ E
∞

→ E là toàn ánh và không gian E-ổn định X
0
(0) là
đóng và đủ (tức là X
0
(0) là không gian con đóng và có phần bù trực tiếp trong
X là không gian con đóng).
Tiếp theo chúng ta sẽ đặc trưng tính nhị phân mũ của họ tiến hoá trên nửa đường
thẳng bởi điều kiện khả nghịch của một toán tử là hạn chế của G lên một không gian
con nào đó của E
∞
. Muốn như vậy, chúng ta cần phải biết KerP (0). Chúng ta định
nghĩa hạn chế của G như sau.
Định nghĩa 1.3.11. Cho Z là không gian con tuyến tính, đóng trong X. Chúng ta
định nghĩa
E
Z
= {f ∈ E
∞
: f(0) ∈ Z}.
Khi đó, E
Z
là không gian con đóng của không gian (E
∞
,  · 
∞
). Ký hiệu G
Z
là phần
của G trong E

Z
, tức là D(G
Z
) = D(G) ∩ E
Z
và G
Z
u = Gu với u ∈ D(G
Z
).
Từ đó chúng ta có định lý sau (chứng minh ở [27, Định lý 4.4]).
Định lý 1.3.12. Cho (U(t, s))
t≥s≥0
là họ tiến hoá trên không gian Banach X và Z là
không gian con tuyến tính, đóng trong X. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương.
(i) Họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
là nhị phân mũ với KerP (0) = Z.
(ii) G
Z
: D(G
Z
) ⊂ E
Z
→ E là khả nghịch.
Để áp dụng các kết quả thu được, chúng tôi đã xét bài toán nhiễu với nhiễu có dạng
tích phân của toán tử và tìm điều kiện để họ tiến hoá ứng với bài toán nhiễu vẫn là
họ tiến hoá nhị phân mũ (xem [4] trong Danh mục công trình khoa học của tác giả).
Dưới đây, chúng ta xét bài toán nhiễu dạng






du
dt
= (A(t) + B(t))u(t), t ≥ s ≥ 0,
u(s) = u
s
∈ X,
(1.9)
ở đó bài toán không nhiễu (tức là, B(t) = 0) là bài toán Cauchy đặt chỉnh, sinh ra họ
tiến hoá nhị phân mũ. Khi đó, tồn tại duy nhất họ tiến hoá (U
B
(t, s))
t≥s≥0
thoả mãn
công thức biến thiên hằng số (xem [19])
U
B
(t, s)x = U(t, s)x +

t
s
U(t, ξ)B(ξ)U
B
(ξ, s)xdξ, t ≥ s ≥ 0, x ∈ X (1.10)
18
với điều kiện B là hàm bị chặn đều, liên tục mạnh từ R
+

vào không gian L(X), là
không gian các toán tử tuyến tính và bị chặn trên X. Họ tiến hoá (U
B
(t, s))
t≥s≥0
được sinh bởi bài toán nhiễu (1.9).
Với nhiễu dạng này, nếu họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
là nhị phân mũ và chuẩn B :=
sup
t≥0
B(t) là đủ nhỏ thì (U
B
(t, s))
t≥s≥0
cũng là họ tiến hoá nhị phân mũ.
Định lý 1.3.13. [27, Định lý 5.1]. Cho họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
có nhị phân mũ
và cho B là hàm bị chặn đều, liên tục mạnh từ R
+
vào không gian L(X), tức là,
B ∈ C
b
(R
+
, L
s
(X)) trong đó L
s

(X) là không gian L(X) được trang bị tôpô liên tục
mạnh. Khi đó, nếu B := sup
t≥0
B(t) là đủ nhỏ thì (U
B
(t, s))
t≥s≥0
xác định bởi
(1.10) có nhị phân mũ.
Hệ quả 1.3.14. [27, Hệ quả 5.3]. Cho họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
có nhị phân mũ với
hằng số nhị phân N, ν > 0 và toán tử chiếu nhị phân P (t). Cho B ∈ C
b
(R
+
, L
s
(X))
và H := sup
t≥0
P (t). Khi đó, nếu
B <
ν
2NH(1 + N + NH)
thì họ tiến hoá (U
B
(t, s))
t≥s≥0
có nhị phân mũ.

1.4 Phương trình vi phân nửa tuyến tính và đa tạp
ổn định
Trong phần này chúng ta xét phương trình vi phân nửa tuyến tính
du
dt
= A(t)u + f(t, u), t ∈ [0, +∞), u ∈ X, (1.11)
trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố định và
f : R
+
× X → X là toán tử phi tuyến. Chúng ta giả sử, họ các toán tử A(t), t ∈ R
+
sinh ra họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
có nhị phân mũ. Sử dụng không gian hàm chấp
nhận được trên nửa đường thẳng, Nguyễn Thiệu Huy đã chỉ ra điều kiện của hàm f
để phương trình (1.11) có đa tạp ổn định (xem [25]). Để chỉ ra sự tồn tại của đa tạp
ổn định, thay vì (1.11) chúng ta xét phương trình tích phân
u(t) = U(t, s)u(s) +

t
s
U(t, ξ)f(ξ, u(ξ))dξ với t ≥ s ≥ 0. (1.12)
Chúng ta nhắc lại các định nghĩa sau đây.
19
Định nghĩa 1.4.1. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường
thẳng và ϕ ∈ E là hàm không âm. Hàm f : [0, ∞) × X → X được gọi là ϕ-Lipschitz
nếu f thoả mãn
(i) f(t, 0) ≤ ϕ(t) với t ∈ R
+
,

(ii) f(t, x
1
) − f(t, x
2
) ≤ ϕ(t)x
1
− x
2
 với t ∈ R
+
và x
1
, x
2
∈ X.
Định nghĩa 1.4.2. Tập S ⊂ R
+
× X được gọi là đa tạp ổn định bất biến cho các
nghiệm của phương trình (1.12) nếu mỗi t ∈ R
+
, X = X
0
(t) ⊕ X
1
(t) sao cho
inf
t∈R
+
Sn(X
0

(t), X
1
(t)) := inf
t∈R
+
inf
i=0, 1
{x
0
+ x
1
 : x
i
∈ X
i
(t), x
i
 = 1} > 0
và tồn tại họ các ánh xạ Lipschitz
g
t
: X
0
(t) → X
1
(t), t ∈ R
+
với hằng số Lipschitz không phụ thuộc t và thoả mãn
(i) S = {(t, x + g
t

(x)) ∈ R
+
× (X
0
(t) ⊕ X
1
(t)) | t ∈ R
+
, x ∈ X
0
(t)}, ký hiệu
S
t
= {x + g
t
(x) : (t, x + g
t
(x)) ∈ S}.
(ii) S
t
đồng phôi với X
0
(t) với mọi t ≥ 0.
(iii) Mỗi x
0
∈ S
t
0
có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (1.12) trên [t
0

, ∞) thoả
mãn u(t
0
) = x
0
và ess sup
t≥t
0
u(t) < ∞.
(iv) S là bất biến, tức là, nếu u là nghiệm của phương trình (1.12) thoả mãn u(t
0
) =
x
0
∈ S
t
0
và ess sup
t≥t
0
u(t) < ∞ thì u(s) ∈ S
s
với mọi s ≥ t
0
.
Chú ý rằng, nếu chúng ta đồng nhất X
0
(t) ⊕ X
1
(t) với X

0
(t) × X
1
(t) thì S
t
=
graph(g
t
).
Dưới đây chúng tôi nhắc lại các kết quả trong [25].
Bổ đề 1.4.3. [25, Bổ đề 4.4]. Cho họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
có nhị phân mũ với các
toán tử chiếu P (t), t ≥ 0 và hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng ϕ ∈ E là hàm
không âm. Cho f : R
+
× X → X là ϕ-Lipschitz và u(t) là nghiệm của phương trình
(1.12) thoả mãn ess sup
t≥t
0
u(t) < ∞ với t
0
≥ 0 cố định. Khi đó, với mọi t ≥ t
0
,
u(t) là nghiệm của phương trình
u(t) = U(t, t
0
)ν
0

+

∞
t
0
G(t, τ)f(τ, u(τ ))dτ, (1.13)
trong đó ν
0
∈ X
0
(t) = P (t
0
)X và G(t, τ) là hàm Green xác định bởi (1.6).
20
Định lý 1.4.4. [25, Định lý 4.6]. Cho họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
có nhị phân mũ với
các toán tử chiếu P(t), t ≥ 0 và hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng ϕ ∈ E là
hàm không âm. Cho f : R
+
× X → X là ϕ-Lipschitz sao cho k < 1 với k được xác
định bởi công thức
k :=
(1 + H)N(N
1
Λ
1
T
+
1

ϕ
∞
+ N
2
Λ
1
ϕ
∞
)
1 − e
−ν
. (1.14)
Khi đó, mỗi ν
0
∈ X
0
(t
0
) có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (1.12) trên [t
0
, ∞)
thoả mãn P (t
0
)u(t
0
) = ν
0
và ess sup
t≥t
0

u(t) < ∞. Hơn nữa các nghiệm khác nhau
là hút cấp mũ, tức là nếu u
1
(t), u
2
(t) là hai nghiệm ứng với ν
1
, ν
2
∈ X
0
(t
0
) thì:
u
1
(t) − u
2
(t) ≤ C
µ
e
−µ(t−t
0
)
ν
1
− ν
2
 với mọi t ≥ t
0

,
trong đó µ là hằng số dương thoả mãn
0 < µ < ν + ln(1 − k(1 − e
−ν
)) và C
µ
=
N
1 − k
1−e
−ν
1−e
−(ν−µ)
.
Định lý 1.4.5. [25, Định lý 4.7]. Cho họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
có nhị phân mũ với
các toán tử chiếu P(t), t ≥ 0 và hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng ϕ ∈ E là
hàm không âm. Cho f : R
+
× X → X là ϕ-Lipschitz sao cho k <
1
N+1
với k được xác
định bởi (1.14). Khi đó, tồn tại đa tạp ổn định bất biến S cho các nghiệm của phương
trình (1.12). Hơn nữa, hai nghiệm bất kỳ u
1
(t), u
2
(t) trên đa tạp S hút cấp mũ, tức

là tồn tại các hằng số dương µ và C
µ
không phụ thuộc t
0
≥ 0 sao cho
u
1
(t) − u
2
(t) ≤ C
µ
e
−µ(t−t
0
)
P (t
0
)u
1
(t
0
) − P(t
0
)u
2
(t
0
) với mọi t ≥ t
0
.

21
Chương 2
ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
NỬA TUYẾN TÍNH
Trong mục 1.4 của Chương 1, chúng tôi đã tóm lược kết quả về sự tồn tại của đa tạp
ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính. Trong chương này, chúng tôi trình
bày kết quả về sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định và đa tạp không ổn định của phương
trình vi phân nửa tuyến tính (xem [3] trong Danh mục công trình khoa học của tác
giả). Chúng ta xét phương trình
du
dt
= A(t)u + f(t, u), t ∈ [0, +∞), u ∈ X, (2.1)
trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố định và
f : R
+
×X → X là toán tử phi tuyến. Khi họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
sinh bởi họ toán
tử A(t), t ∈ R
+
có nhị phân mũ và hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz,
Nguyễn Thiệu Huy đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định (xem [25]). Khi mở
rộng họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
có tam phân mũ chúng tôi đã chỉ ra sự tồn tại của đa
tạp tâm ổn định. Sau đó thay vì xét phương trình trên nửa đường thẳng, chúng ta xét
phương trình trên toàn đường thẳng để chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định và
đa tạp này có tính chất hút các quỹ đạo nghiệm.
2.1 Đa tạp tâm ổn định
Để chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, chúng ta xét phương trình tích phân

u(t) = U(t, s)u(s) +

t
s
U(t, ξ)f(ξ, u(ξ))dξ với t ≥ s ≥ 0. (2.2)
Nghiệm của phương trình tích phân (2.2) được gọi là nghiệm đủ tốt của phương trình
(2.1) với điều kiện ban đầu u(s) = x ∈ X.
22
Chúng ta nhắc lại các khái niệm sau.
Định nghĩa 2.1.1. Họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
được gọi là tam phân mũ trên nửa
đường thẳng nếu tồn tại ba họ các toán tử chiếu (P
j
(t))
t≥0
, j = 1, 2, 3 và các hằng số
dương N, α, β với α < β sao cho các điều kiện sau được thoả mãn:
(i) sup
t≥0
P
j
(t) < ∞, j = 1, 2, 3.
(ii) P
1
(t) + P
2
(t) + P
3
(t) = Id với t ≥ 0 và P

j
(t)P
i
(t) = 0 với mọi j = i.
(iii) P
j
(t)U(t, s) = U(t, s)P
j
(s) với t ≥ s ≥ 0 và j = 1, 2, 3.
(iv) U(t, s)|
ImP
j
(s)
là đẳng cấu từ ImP
j
(s) lên ImP
j
(t) với mọi t ≥ s ≥ 0 và j = 2,
3, ký hiệu ánh xạ ngược của U(t, s)|
ImP
j
(s)
là U(s, t)
|
.
(v) Với t ≥ s ≥ 0 và x ∈ X, các ước lượng sau đúng:
U(t, s)P
1
(s)x ≤ Ne
−β(t−s)

P
1
(s)x,
U(s, t)
|
P
2
(t)x ≤ Ne
−β(t−s)
P
2
(t)x,
U(t, s)P
3
(s)x ≤ Ne
α(t−s)
P
3
(s)x.
Định nghĩa 2.1.2. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường
thẳng và ϕ ∈ E là hàm không âm. Hàm f : [0, ∞) × X → X được gọi là ϕ-Lipschitz
nếu f thoả mãn
(i) f(t, 0) ≤ ϕ(t) với t ∈ R
+
,
(ii) f(t, x
1
) − f(t, x
2
) ≤ ϕ(t)x

1
− x
2
 với t ∈ R
+
và x
1
, x
2
∈ X.
Sau đây là định lý về sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định.
Định lý 2.1.3. Cho họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
có tam phân mũ với các hằng số
N, α, β và các họ toán tử chiếu (P
j
(t))
t≥0
, j = 1, 2, 3, cho bởi Định nghĩa 2.1.1. Giả
sử rằng f : R
+
× X → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ ∈ E là hàm không âm và thoả
mãn
k :=
(1 + H)N
0
(N
1
Λ
1

T
+
1
ϕ
∞
+ N
2
Λ
1
ϕ
∞
)
1 − e
−ν
<
1
N
0
+ 1
,
trong đó q = sup{P
j
(t) : t ≥ 0, j = 1, 3}, N
0
= max{N, 2qN} và ν =
δ−α
2
> 0.
Khi đó, với mỗi δ > α, tồn tại đa tạp tâm ổn định S = {(t, S
t

) ⊂ R
+
× X} cho các
nghiệm của phương trình (2.2), được biểu diễn bởi họ các ánh xạ Lipschitz
g
t
: Im(P
1
(t) + P
3
(t)) → ImP
2
(t),
với hằng số Lipschitz không phụ thuộc t và S
t
= graph(g
t
) có các tính chất sau:
23