Tính điều khiển được của một số lớp phương trình parabolic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————— * ———————

VŨ MẠNH TỚI

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA
MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————— * ———————

VŨ MẠNH TỚI

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA
MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62 46 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. Cung Thế Anh

Hà Nội - 2016


1

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn
của PGS.TS. Cung Thế Anh. Các kết quả được phát biểu trong luận án là
hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công
trình nào khác.

Nghiên cứu sinh

Vũ Mạnh Tới


2

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu
đáo của PGS.TS. Cung Thế Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn
sâu sắc PGS.TS. Cung Thế Anh, người Thầy đã dẫn dắt tác giả làm quen với
nghiên cứu khoa học từ những ngày sau khi tốt nghiệp đại học. Ngoài những
chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của thầy dành cho
tác giả luôn là động lực lớn giúp tác giả say mê trong nghiên cứu.
Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng sau Đại
học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc
biệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại

học Sư phạm Hà Nội đã luôn giúp đỡ, động viện, tạo môi trường học tập
nghiên cứu thuận lợi cho tác giả.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học
Thủy lợi, các thầy cô và các anh chị đồng nghiệp công tác tại Bộ môn Toán,
Khoa Công nghệ Thông tin, Trường Đại học Thủy lợi đã luôn tạo điều kiện
thuận lợi, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên
cứu.
Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn yêu
thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án.


3

Mục lục

Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Một số kí hiệu dùng trong luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.

TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . .

9

3.

MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU . . .

12

4.

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

5.

KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

6.

CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1. MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.1.1. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.1.2. Không gian hàm phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . .

17

1.2. LÍ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH
TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU . . . . . . . . . . .

18

1.2.1. Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2.2. Phương pháp duy nhất Hilbert (HUM)

20

. . . . . . . . .


4
1.3. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG . . . . . . . .

21

1.3.1. Một số bất đẳng thức kiểu Hardy . . . . . . . . . . . . .

21

1.3.2. Một số bất đẳng thức sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.4. MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG . . . . . . . . . . . . .

24

Chương 2. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VỀ 0 CỦA PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC CHỨA TOÁN TỬ GRUSHIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1. ĐẶT BÀI TOÁN VÀ PHÁT BIỂU KẾT QUẢ CHÍNH . . . . .

26

2.2. MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2.1. Tính đặt đúng của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2.2. Khai triển Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2.3. Tốc độ tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2.4. Bất đẳng thức Carleman . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.3. CHỨNG MINH KẾT QUẢ CHÍNH

. . . . . . . . . . . . . . .

44

2.3.1. Lược đồ chứng minh Định lí 2.1 . . . . . . . . . . . . . .

44

2.3.2. Bất đẳng thức quan sát được . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.3.3. Chứng minh tính không điều khiển được trong Định lí 2.1 49
Chương 3. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VỀ 0 KHI THỜI GIAN ĐỦ LỚN
CỦA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CHỨA TOÁN TỬ GRUSHIN
VỚI THẾ VỊ KÌ DỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1. ĐẶT BÀI TOÁN VÀ PHÁT BIỂU KẾT QUẢ CHÍNH . . . . .

55

3.2. CHỨNG MINH KẾT QUẢ CHÍNH

. . . . . . . . . . . . . . .

58

3.2.1. Khai triển Fourier và tốc độ tán xạ . . . . . . . . . . . .

58

3.2.2. Tính quan sát được đều của bài toán liên hợp . . . . . .

62

3.3. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CARLEMAN . . . . . . .

67

3.3.1. Một số tính chất của hàm trọng . . . . . . . . . . . . .

67

3.3.2. Chứng minh Định lí 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70


5
Chương 4. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VỀ 0 CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG
TRÌNH PARABOLIC MỘT CHIỀU NỬA TUYẾN TÍNH SUY BIẾN
VỚI THẾ VỊ KÌ DỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.2. TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN

. . . . . . . . . . . . . .

88

4.2.1. Không gian hàm và toán tử . . . . . . . . . . . . . . . .

88

4.2.2. Tính đặt đúng của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . .

89

4.3. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VỀ 0 . . . . . . . . . . . . . . . .

95

4.3.1. Tính điều khiển được về 0 của bài toán tuyến tính hóa .

95

4.3.2. Tính điều khiển được về 0 của bài toán nửa tuyến tính . 103
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.

KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

2.

KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO . 110

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . . . . 112
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113


6

MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

C0∞ (Ω)

không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω

∥ · ∥∞

chuẩn trong L∞ (Ω × (0, T ))

S01 (Ω)

không gian Sobolev có trọng dùng để nghiên cứu các bài
toán chứa toán tử Grushin (xem trang 28)

1
Sµ,0
(Ω)

không gian Sobolev có trọng dùng để nghiên cứu các bài
toán chứa toán tử Grushin với thế vị kì dị (xem trang 57)

1
Hα,0
(0, 1)

không gian Sobolev có trọng dùng để nghiên cứu bài toán
chứa toán tử suy biến một chiều (xem trang 88)

Gs

toán tử Grushin (xem trang 9)

∇

vectơ gradient

∆

toán tử Laplace

D2

ma trận Hessian

div ≡ ∇·

toán tử divergence

I

toán tử đồng nhất

IN1

ma trận đơn vị cấp N1

0RN1

phần tử 0 trong RN1

1ω

hàm đặc trưng của miền ω

⇀

hội tụ yếu

a⊗b

tích tensor giữa hai vectơ a và b


7

MỞ ĐẦU

1.

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong khoảng hai thập kỉ gần đây, tính điều khiển được (bao gồm tính điều

khiển được chính xác, tính điều khiển được về 0, tính điều khiển được xấp xỉ)
đã được nghiên cứu đối với nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính và
nửa tuyến tính. Bởi phương pháp duy nhất Hilbert HUM (Hilbert Uniqueness
Method) đề xuất bởi J.-L. Lions (xem [48, 49, 50]), tính điều khiển được của
bài toán tuyến tính được qui về tính quan sát được của bài toán liên hợp tương
ứng. Để thiết lập tính quan sát được của bài toán liên hợp tương ứng thông
qua các bất đẳng thức quan sát, một trong những công cụ hiệu lực nhất là
các ước lượng kiểu Carleman toàn cục. Còn tính điều khiển được của bài toán
nửa tuyến tính được chứng minh bằng cách sử dụng tính điều khiển được của

bài toán tuyến tính hóa tương ứng và phương pháp điểm bất động đề xuất lần
đầu tiên bởi Zuazua [68, 69] cho phương trình truyền sóng nửa tuyến tính.
Một trong những lớp phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu nhiều là
lớp phương trình tiến hóa kiểu parabolic, chứa đựng phương trình truyền nhiệt
cổ điển, nhiều lớp phương trình parabolic xuất hiện trong hóa học, sinh học và
trong cơ học chất lỏng. Nghiên cứu tính điều khiển được của các phương trình
parabolic đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong khoảng hai
thập niên gần đây. Sau những nghiên cứu tiên phong của Fursikov và Imanuvinov [37, 43], Lebeau và Robbiano [46] bằng công cụ ước lượng Carleman,
đã có nhiều tiến bộ trong việc tìm hiểu về các tính chất điều khiển được của
các phương trình parabolic không suy biến với các hệ số biến thiên. Các kết


8
quả này cũng được mở rộng cho các bài toán parabolic nửa tuyến tính trong
[29, 31, 32, 33, 34, 70, 71]. Các kết quả đạt được đều dựa trên công cụ chính là
bất đẳng thức Carleman cho nghiệm của bài toán liên hợp tương ứng. Các bất
đẳng thức Carleman được thiết lập khi này yêu cầu phần chính của phương
trình là toán tử elliptic đều, miền bị chặn và không có thế vị kì dị. Bên cạnh
đó, tính điều khiển được của các phương trình parabolic đều trong miền không
bị chặn cũng đã được nghiên cứu trong [18, 38, 55]. Có thể nói ngày nay lí
thuyết điều khiển được đối với các phương trình parabolic đều đã khá hoàn
thiện trong cả trường hợp tuyến tính và nửa tuyến tính.
Trong khoảng một thập kỉ trở lại đây, tính điều khiển được của phương
trình parabolic suy biến, không có hoặc có thế vị kì dị, đã được nghiên cứu
bởi nhiều nhà toán học. Những nghiên cứu này được thúc đẩy bởi nhiều bài
toán vật lí khác nhau như mô hình tầng lớp biên [17], các mô hình di truyền
quần thể cá, các mô hình khí hậu Bydyko-Sellers, . . . . Tuy nhiên, hầu hết các
kết quả đạt được hiện tại chủ yếu trong trường hợp một chiều (xem [2, 19, 20,
23, 24, 35, 36, 52, 53, 62] và các tài liệu trích dẫn trong đó), trong khi mới
chỉ có rất ít kết quả điều khiển được trong trường hợp nhiều chiều, chủ yếu là

trường hợp hai chiều đối với phương trình parabolic chứa toán tử div(A(x)∇u)
với A(x) là ma trận vuông cấp hai đối xứng [25], phương trình parabolic chứa
toán tử Grushin [12], phương trình Kolmogorov [11, 45], và một lớp phương
trình suy biến nhiều chiều với số hạng đối lưu [65, 66, 67]. Ngoài ra, các kết
quả về tính điều khiển được của các phương trình suy biến/kì dị nửa tuyến
tính vẫn còn rất ít. Đây đang là những vấn đề thời sự thu hút được sự quan
tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Chúng tôi sẽ
chọn những vấn đề này làm đề tài nghiên cứu trong luận án tiến sĩ của mình.


9
2.

TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Như đã đề cập đến trong phần Lí do chọn đề tài, việc nghiên cứu tính điều

khiển được của các phương trình parabolic suy biến hoặc có thế vị kì dị trong
trường hợp nhiều chiều hoặc trong trường hợp nửa tuyến tính đang là vấn đề
thời sự hiện nay. Dưới đây, chúng tôi điểm qua một số kết quả tiêu biểu theo
hướng nghiên cứu này:
Một trong những lớp phương trình suy biến nhiều chiều được nghiên cứu
mạnh trong vài năm gần đây là lớp phương trình chứa toán tử Grushin
Gs u = ∆x u + |x|2s ∆y u, s ≥ 0.
Toán tử này được đưa ra đầu tiên bởi Grushin trong [41]. Chú ý rằng G0 = ∆
là toán tử Laplace, và Gs khi s > 0, không là elliptic trong những miền có
giao với mặt x = 0. Đây là ví dụ điển hình cho lớp toán tử hypoelliptic, nhưng
không là elliptic. Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương
trình và hệ parabolic nửa tuyến tính chứa toán tử này đã được nghiên cứu gần
đây trong cả trường hợp ôtônôm và không ôtônôm (xem, chẳng hạn, [4, 5, 7]).
Tính điều khiển được của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin được

nghiên cứu đầu tiên trong trường hợp hai chiều bởi Beauchard, Cannarsa và
Guglielmi [12]. Xem thêm kết quả gần đây trong [14]. Tuy nhiên, tính điều
khiển được của lớp phương trình này trong trường hợp nhiều chiều vẫn còn
nhiều vấn đề mở.
Một lớp phương trình parabolic rất được quan tâm khác là lớp phương
trình parabolic chứa toán tử Laplace với thế vị kì dị: Aµ = −∆ − µ/|x|2 . Các
kết quả về tính đặt đúng của bài toán cũng như dáng điệu tiệm cận nghiệm của
phương trình parabolic chứa tử Aµ đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học
(xem [8, 9, 16, 64] và các tài liệu trích dẫn trong đó). Trong khi đó, tính điều
khiển được của phương trình parabolic chứa toán tử này đã nhận được trong
các công trình của Vancostenoble-Zuazua [63] và Ervedoza [30] cho trường hợp


10
kì dị ở bên trong miền, và Cazacu [26] cho trường hợp kì dị ở trên biên. Gần
đây, trong trường hợp hai chiều, tính điều khiển được xấp xỉ cho phương trình
parabolic chứa toán tử Grushin với thế vị kì dị µ/|x|2 đã được nghiên cứu bởi
Morancey [56] nhờ tính chất thác triển duy nhất của toán tử tương ứng. Hơn
nữa, trong [21], các tác giả đã chứng minh tính điều khiển được về 0 khi thời
gian đủ lớn cho phương trình parabolic chứa toán tử Grushin với thế vị kì dị
µ/|x|2 khi s = 1 và miền không gian là (0, 1) × (0, 1), tức là, với suy biến và kì
dị ở trên biên. Như đã đề cập trong [21, 56], tính điều khiển được về 0 là vấn
đề hoàn toàn mở khi có suy biến và thế vị kì dị ở bên trong miền.
Xét toán tử parabolic suy biến và có thế vị kì trong trường hợp một chiều:
P u = ut − (xα ux )x −

λ
u, x ∈ (0, 1), α ≥ 0,
xβ

(1)

với các điều kiện biên tương ứng tùy thuộc vào α. Toán tử này có rất nhiều
điều thú vị. Trong trường hợp α = 0 và β = 2, ta có thế vị kì dị dạng nghịch
đảo bình phương mà xuất hiện trong vật lí phân tử, cơ học lượng tử phi tương
đối, vũ trụ học lượng tử hay trong lí thuyết cháy nổ (xem [10, 58] và các tài
liệu trích dẫn trong đó). Thế vị này sinh ra nhiều hiện tượng thú vị và trong
nghiên cứu của Baras và Goldstein [9] chỉ ra rằng: Nghiệm dương tồn tại toàn
cục (với mọi λ ∈ R) nếu β < 2 nhưng trái lại thì nghiệm bùng nổ hoàn toàn
(với mọi giá trị của λ) nếu β > 2. Do đó, số mũ β = 2 là số mũ tới hạn. Điều
đó cho thấy trường hợp có thế vị λ/|x|2 thực sự thú vị. Khi số mũ là tới hạn,
tức là khi β = 2, giá trị của tham số λ sẽ quyết định dáng điệu nghiệm của
phương trình. Thật vậy, cũng trong [9] đã chỉ ra rằng nghiệm dương tồn tại
toàn cục khi λ ≤ 1/4 và nghiệm bùng nổ hoàn toàn khi λ > 1/4. Giá trị tới
hạn 1/4 của tham số λ là giá trị tối ưu trong bất đẳng thức Hardy
∫ 1
∫
1 1 u2
2
dx với mọi u ∈ H01 (0, 1).
ux dx ≥
2
4
x
0
0

(2)

Trong trường hợp toán tử (1) không có kì dị (β = 0), tính điều khiển được về

0 khi α ∈ [0, 2), (khi α ≥ 2, tính không điều khiển được về 0 được chứng minh


11
trong [22]), được chứng minh trong [24] mà công cụ chính là đi thiết lập ước
lượng Carleman dựa trên bất đẳng thức Hardy sau
∫ 1
∫
(1 − α)2 1 u2
α 2
x ux dx ≥
dx, với mọi u ∈ C0∞ (0, 1).
2−α
4
0
0 x

(3)

Như nói ở trên, trong trường hợp α = 0, từ bất đẳng thức (2), số mũ tới hạn
của thế vị kì dị λ/xβ là β = 2. Mặt khác, từ (3) cho thấy số mũ tới hạn của thế
vị λ/xβ là β = 2 − α khi α ̸= 0. Điều này dẫn đến khi xét toán tử P phải có giả
thiết β ≤ 2 − α. Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng β > 0 vì khi β ≤ 0,
thế vị không còn kì dị và kết quả tính điều khiển được có ngay được từ [24]. Như
trong trường hợp α = 0, giá trị tới hạn của tham số λ khi β = 2 − α được cho
bởi hằng số tối ưu trong (3), tức là λ(α) = (1 − α)2 /4. Do vậy, toán tử P được
nghiên cứu với các giả thiết λ ≤ λ(α) trong trường hợp tới hạn β = 2 − α, và
không cần điều kiện của λ trong trường hợp dưới tới hạn, tức là khi β < 2 − α.
Các kết quả về tính điều khiển được của lớp phương trình parabolic một
chiều tuyến tính/nửa tuyến tính suy biến không có thế vị kì dị đã được nghiên

cứu trong [2, 19, 20, 23, 24, 52, 53]. Trong trường hợp suy biến và có thế vị
kì dị (toán tử cho bởi (1)), tính điều khiển được về 0 mới được Vancostenoble
[62] nghiên cứu cho trường hợp tuyến tính. Tính điều khiển được trong trường
hợp nửa tuyến tính vẫn hoàn toàn mở.
Từ những phân tích ở trên, chúng ta thấy rằng bên cạnh những kết quả
đạt được, tính điều khiển được của các phương trình tiến hóa kiểu parabolic
suy biến hoặc có thế vị kì dị vẫn còn nhiều vấn đề mở. Nói riêng, những vấn
đề mở mà chúng tôi quan tâm nghiên cứu trong luận án này bao gồm:
• Tính điều khiển được của phương trình parabolic suy biến chứa toán tử
Grushin trong trường hợp nhiều chiều.
• Tính điều khiển được của phương trình parabolic suy biến chứa toán tử
Grushin với thế vị kì dị kiểu Hardy µ/|x|2 trong trường hợp nhiều chiều.
• Tính điều khiển được của phương trình parabolic một chiều suy biến với


12
thế vị kì dị trong trường hợp nửa tuyến tính.
Khi nghiên cứu tính điều khiển được của phương trình parabolic tuyến tính
thì tính điều khiển được chính xác thường không đạt được do hiệu ứng trơn
của nghiệm so với dữ kiện ban đầu. Hơn nữa tính điều khiển được về 0 kéo theo
tính điều khiển được xấp xỉ của hệ. Do vậy trong luận án này chúng tôi chỉ
tập trung vào việc nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của những lớp phương
trình trên. Ngoài ra, chúng tôi cũng chỉ xét bài toán khi điều khiển có giá bên
trong miền. Bài toán điều khiển biên đối với lớp phương trình parabolic suy
biến/kì dị là một vấn đề rất phức tạp và mới chỉ có một vài kết quả gần đây
[15, 40].
Chúng tôi lựa chọn những vấn đề trên làm nội dung nghiên cứu của luận án
tiến sĩ: "Tính điều khiển được của một số lớp phương trình parabolic".

3.

MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
• Mục đích luận án: Nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của phương trình
parabolic chứa toán tử Grushin trong trường hợp nhiều chiều, phương
trình parabolic chứa toán tử Grushin có thế vị kì dị trong trường hợp
nhiều chiều, phương trình parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến
có thế vị kì dị.
• Đối tượng nghiên cứu: Bài toán điều khiển đối với lớp phương trình
parabolic chứa toán tử Grushin không có hoặc có thế vị kì dị trong
trường hợp nhiều chiều và lớp phương trình parabolic một chiều nửa
tuyến tính suy biến có thế vị kì dị.
• Phạm vi nghiên cứu:
◦ Nội dung 1: Bài toán điều khiển được đối với phương trình parabolic
chứa toán tử Grushin trong miền nhiều chiều.


13
◦ Nội dung 2: Bài toán điều khiển được đối với phương trình parabolic
chứa toán tử Grushin với thế vị kì dị kiểu Hardy trong miền nhiều
chiều.
◦ Nội dung 3: Bài toán điều khiển được đối với lớp phương trình
parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến với thế vị kì dị.
4.

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
• Để nghiên cứu tính điều khiển được của bài toán tuyến tính, chúng tôi sử
dụng phương pháp duy nhất Hilbert (HUM): Tính điều khiển được của
bài toán tuyến tính được đưa về tính quan sát được của bài toán liên hợp
tương ứng. Sử dụng khai triển Fourier và bởi đẳng thức Bessel-Parseval,
vấn đề này được đưa về tính quan sát được đều theo tần số của hệ số

Fourier. Bất đẳng thức quan sát được đều sẽ được thiết lập nhờ các bất
đẳng thức Carleman mới tương ứng và các đánh giá phù hợp của tốc độ
tán xạ.
• Để nghiên cứu tính điều khiển được của bài toán nửa tuyến tính, chúng
tôi sử dụng phương pháp điểm bất động đề xuất bởi Zuazua: Kết hợp
tính điều khiển được của bài toán tuyến tính hóa tương ứng và các định
lí điểm bất động phù hợp (trong luận án sử dụng định lí Schauder).

5.

KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN

Luận án đạt được những kết quả chính sau đây:
• Đối với bài toán điều khiển cho phương trình parabolic chứa toán tử
Grushin trong trường hợp nhiều chiều: Chứng minh được tính điều khiển
được về 0 tại mọi thời điểm T > 0 khi s ∈ (0, 1) (suy biến yếu). Khi s = 1
(suy biến mạnh) ta chứng minh được tính điều khiển được về 0 khi thời
gian điều khiển đủ lớn và tính không điều khiển được về 0 khi thời gian


14
điều khiển quá nhỏ. Chứng minh được tính không điều khiển được về 0
khi s > 1 (suy biến quá mạnh).
• Chứng minh được tính điều khiển được về 0 khi thời gian điều khiển đủ
lớn của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin khi s = 1 với thế
vị kì dị µ/|x|2 trong trường hợp nhiều chiều.
• Chứng minh được tính điều khiển được về 0 của một lớp phương trình
parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến có thế vị kì dị.
Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, và góp phần vào việc
hoàn thiện lí thuyết điều khiển được đối với lớp phương trình parabolic suy

biến không có/có thế vị kì dị.
Các kết quả chính đạt được đã được công bố trong 03 bài báo trên các tạp
chí khoa học quốc tế uy tín (trong danh mục ISI) và đã được báo cáo tại:
• Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ VIII, Nha Trang, 08/2013;
• Hội thảo quốc tế "On Equilibrium and Fixed Point Problems Theory
and Algorithms", Viện NCCC về Toán, Hà Nội, 25-26/08/2014;
• Hội thảo quốc tế "Some Selected Problems in Optimization and Control
Theory", Viện NCCC về Toán, Hà Nội, 04-07/02/2015;
• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ XIII, Ba Vì, 23-25/04/2015;
• Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội;
• Xêmina của Phòng Phương trình vi phân, Viện Toán học, Viện Hàn lâm
Khoa học và Công nghệ Việt Nam;
• Xêmina của Bộ môn Toán ứng dụng và Tính toán khoa học, Khoa ToánCơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội.


15
6.

CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình đã công bố và danh

mục Tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương: Chương 1 trình bày một số
kiến thức chuẩn bị. Chương 2 trình bày các kết quả tính điều khiển được về 0
của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin trong trường hợp hình hộp
nhiều chiều. Chương 3 trình bày tính điều khiển được về 0 khi thời gian đủ
lớn của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin khi s = 1 với thế vị kì
dị kiểu Hardy bên trong miền trong trường hợp nhiều chiều. Chương 4 trình
bày tính điều khiển được về 0 của một lớp phương trình parabolic một chiều
nửa tuyến tính suy biến với thế vị kì dị.

16

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị, bao
gồm: Một số không gian hàm, lí thuyết điều khiển được cho các hệ tuyến tính
trong không gian vô hạn chiều, một số bất đẳng thức thường dùng và một số
kết quả thường dùng.
1.1.

MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM

1.1.1.

Một số không gian hàm

Cho Ω là tập mở trong RN với biên ∂Ω. Trong luận án này, chúng tôi có
sử dụng các không gian hàm quen thuộc sau (xem, chẳng hạn [1]):
• Lp (Ω), 1 ≤ p < +∞, là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm khả
tích Lebesgue bậc p trên Ω với chuẩn
(∫
)1/p
∥u∥Lp (Ω) :=
|u|p dx
.
Ω

Chú ý rằng Lp (Ω) là không gian Banach phản xạ khi 1 < p < +∞;
Không gian L2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
∫
(u, v) =
u.vdx,
Ω

và chuẩn là ∥ · ∥L2 (Ω) = (u, u)1/2 .
• L∞ (Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được và bị chặn
hầu khắp trên Ω với chuẩn
∥u∥∞ := esssup|u(x)|.
Ω


17
• H 1 (Ω) là không gian Hilbert bao gồm tất cả các hàm u ∈ L2 (Ω) sao cho
∂u
∂u
có đạo hàm suy rộng
,...,
∈ L2 (Ω) và có chuẩn được xác định
∂x1
∂xN
bởi
(∫
)
1/2

∥u∥H 1 (Ω) :=

(|u| + |∇u| )dx
2

2

.

Ω

• H01 (Ω) là bao đóng của C0∞ (Ω) trong chuẩn của H 1 (Ω). Khi Ω là miền
bị chặn thì chuẩn của H01 (Ω) thường dùng là
(∫
∥u∥H01 (Ω) =

)1/2
|∇u| dx
2

.

Ω

• H 2 (Ω) là không gian Hilbert bao gồm tất cả các hàm u ∈ L2 (Ω) có các
đạo hàm suy rộng Dα u ∈ L2 (Ω), |α| ≤ 2, và chuẩn xác định bởi
∥u∥H 2 (Ω)


∫
:= 

2
∑

1/2
|Dα u|2 dx

.

Ω |α|=0

1.1.2.

Không gian hàm phụ thuộc thời gian

Với X là không gian Banach phản xạ với chuẩn ∥ · ∥X và T > 0, khi đó ta có
định nghĩa các không gian hàm phụ thuộc thời gian như sau (xem [1]):
• C([0, T ]; X) là không gian Banach gồm tất cả các hàm liên tục u :
[0, T ] → X với chuẩn
∥u∥C([0,T ];X) := max ∥u(t)∥X .
0≤t≤T

• Lp (0, T ; X), 1 ≤ p ≤ +∞ gồm tất cả các hàm đo được u : (0, T ) → X
với chuẩn
(∫

)1/p

T

i) ∥u∥Lp (0,T ;X) :=
0

∥u(t)∥pX dt

< +∞ với 1 ≤ p < +∞,

ii) ∥u∥L∞ (0,T ;X) := esssup∥u(t)∥X < +∞.
0≤t≤T


18
Khi đó Lp (0, T ; X) là không gian Banach, và nó là phản xạ nếu 1 < p <
+∞. Không gian đối ngẫu của Lp (0, T ; X) là Lq (0, T ; X ′ ) với 1/p+1/q =
1 và X ′ là không gian đối ngẫu của X.
• Với X là không gian Banach, ta định nghĩa H 1 (0, T ; X) là không gian
Banach bao gồm các hàm u ∈ L2 (0, T ; X) sao cho tồn tại đạo hàm suy
rộng ∂t u ∈ L2 (0, T ; X) với chuẩn
(∫

T

∥u∥H 1 (0,T ;X) :=

)1/2
(∥u(t)∥2X + ∥u′ (t)∥2X )dt

< +∞.

0

1.2.

LÍ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH TRONG
KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU

Trong phần này chúng tôi trình bày một số kết quả của lí thuyết điều khiển
được của hệ tuyến tính trong không gian vô hạn chiều (có thể xem trong một
số cuốn sách chuyên khảo [27, 39]):


∂t u = Au + Bv,

u(0) = u0 .

(1.1)

Ở đó, u0 ∈ X cho trước, v là điều khiển; A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến
tính không bị chặn sinh ra nửa nhóm {S(t)}t≥0 và B : U → V là các toán tử
xác định trong các không gian Banach sao cho hệ (1.1) đặt đúng.
1.2.1.

Một số định nghĩa

Ta quan tâm đến tính điều khiển được của (1.1) với các định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.1. Ta nói rằng hệ điều khiển (1.1) là điều khiển được chính
xác tại tại thời điểm T > 0 nếu và chỉ nếu, với mọi u0 , u1 ∈ X , tồn tại hàm
điều khiển v ∈ L2 (0, T ; U) sao cho bài toán (1.1) có nghiệm u thỏa mãn:
u(T ) = u1 .

19
Định nghĩa 1.2. Ta nói rằng hệ (1.1) là điều khiển được chính xác đến quỹ
đạo tại thời điểm T > 0 nếu và chỉ nếu với mọi quỹ đạo u (nghiệm của (1.1)
ứng với v và điều kiện ban đầu u(0) = u0 nào đó), mọi u0 ∈ X , tồn tại hàm
điều khiển v ∈ L2 (0, T ; U) sao cho bài toán (1.1) có nghiệm u thỏa mãn:
u(T ) = u(T ).
Định nghĩa 1.3. Ta nói rằng hệ (1.1) là điều khiển được về 0 tại tại thời điểm
T > 0 nếu và chỉ nếu, với mọi u0 ∈ X , tồn tại hàm điều khiển v ∈ L2 (0, T ; U)
sao cho bài toán (1.1) có nghiệm u thỏa mãn:
u(T ) = 0.
Định nghĩa 1.4. Ta nói rằng hệ (1.1) là điều khiển được xấp xỉ tại thời điểm
T > 0 nếu và chỉ nếu, với mọi u0 , u1 ∈ X , và mọi ε > 0, tồn tại hàm điều
khiển v ∈ L2 (0, T ; U) sao cho bài toán (1.1) có nghiệm u thỏa mãn:
∥u(T ) − u1 ∥X < ε.
Nhận xét 1.1. Từ các định nghĩa trên ta có
• Hệ (1.1) điều khiển được chính xác thì sẽ điều khiển được chính xác đến
quỹ đạo, điều khiển được về 0 và điều khiển được xấp xỉ.
• Hệ (1.1) điều khiển được chính xác tới quỹ đạo thì điều khiển được về 0.
Nhận xét 1.2. Nếu (1.1) là parabolic đều thì
• Tính điều khiển được chính xác của hệ (1.1) không đạt được vì hiệu ứng
trơn của nghiệm (nghiệm trơn hơn điều kiện ban đầu).
• Tính điều khiển được chính xác đến quỹ đạo của (1.1) tương đương với
tính điều khiển được về 0 của hệ (1.1).
• Tính điều khiển được về 0 của hệ (1.1) suy ra tính điều khiển được xấp
xỉ của (1.1).


20
Do đó trong lí thuyết điều khiển được đối với các phương trình parabolic

tuyến tính, người ta đặc biệt quan tâm đến bài toán điều khiển được về 0.
1.2.2.

Phương pháp duy nhất Hilbert (HUM)

Ta xét bài toán điều khiển (1.1). Để cho đơn giản ta giả sử X = L2 , U =
L2 (ω), V = L2 , với ω là miền con mở khác rỗng của miền không gian tương
ứng.
Để nghiên cứu tính điều khiển được của bài toán (1.1), ta sử dụng phương
pháp duy nhất Hilbert (HUM) do J.-L. Lions sử dụng đầu tiên vào năm 1988
(xem [48, 49, 50]).
Ta xét bài toán liên hợp của Bài toán (1.1):


−∂t φ − A∗ φ = 0,

φ(T ) = φT ,

(1.2)

ở đây A∗ là toán tử liên hợp của A.
Hệ (1.2) là hệ liên hợp của (1.1), bởi vì kết quả sau.
Bổ đề 1.1. [39, Chương 1] Cho u là một nghiệm của (1.1) trong [0, T ] và φ
là một nghiệm của (1.2) trong [0, T ]. Khi đó
∫ T
T
[⟨u, φ⟩L2 ]0 =
⟨v(t), B ∗ φ(t)⟩L2 (ω) dt,
0

với B ∗ là toán tử liên hợp của B.
Từ Bổ đề 1.1, ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.1. [39, Chương 1] Hàm v là điều khiển mà chuyển trạng thái của
hệ (1.1) từ trạng thái ban đầu u0 đến u1 ∈ L2 tại thời điểm T > 0 nếu và chỉ
nếu, với mọi φT ∈ L2 , ta có
⟨u1 , φT ⟩L2 − ⟨u0 , φ(0)⟩L2 =

∫

T

0

ở đó φ là nghiệm của (1.2) liên kết với φT .

⟨v(t), B ∗ φ(t)⟩L2 (ω) dt,


21
Xét J : φT ∈ L2 → J(φT ) xác định bởi
∫
1 T
J(φT ) =
∥B ∗ φ(t)∥2L2 (ω) dt − ⟨u1 , φT ⟩L2 + ⟨u0 , φ(0)⟩L2 ,
2 0
với φ là nghiệm của (1.2) liên kết với φT .
Bổ đề 1.2. [39, Chương 1] Nếu J có cực tiểu φT , thì khi đó v := B ∗ φ, ở đó
φ là nghiệm của (1.2) liên kết với φT , là điều khiển mà chuyển trạng thái của
(1.1) từ trạng thái ban đầu u0 đến u1 tại thời điểm T > 0.
Định nghĩa 1.5. Ta nói rằng hệ liên hợp (1.2) quan sát được (trạng thái φ(0)

là quan sát được bởi B ∗ tại thời điểm T > 0) nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số
C > 0 sao cho với mọi φT ∈ L2 , nghiệm φ của (1.2) thỏa mãn
∫ T
2
∥φ(0)∥L2 ≤ C
∥B ∗ φ(t)∥2L2 (ω) dt.
0

Mệnh đề 1.1. [39, Chương 1] Tính quan sát được của (1.2) tương đương với
tính điều khiển được về 0 của hệ (1.1).
Nhận xét 1.3. Một cách khác để chứng minh tính quan sát được suy ra tính
điều khiển được về 0 bằng cách xét phiếm hàm
∫
1 T
Jε (φT ) =
∥B ∗ φ(t)∥2L2 (ω) dt + ε∥φT ∥2L2 + ⟨u0 , φ(0)⟩L2
2 0
với mọi ε > 0. Ở đây φ là nghiệm của (1.2) liên kết với φT .
1.3.
1.3.1.

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG
Một số bất đẳng thức kiểu Hardy

Trong phần này chúng tôi nhắc lại một số bất đẳng thức kiểu Hardy cần dùng.
• Bất đẳng thức Hardy cho toán tử ∆ trong trường hợp nhiều chiều:
Đầu tiên là hai bất đẳng thức Hardy cổ điển (có thể xem trong [16, 54]).
Bổ đề 1.3. Với mọi N ≥ 3, khi đó
∫
∫

2
∗
|∇u| dx ≥ µ
RN

RN

|u|2
dx,
|x|2

∀u ∈ C0∞ (RN ),

(1.3)


22
ở đó µ∗ = (N − 2)2 /4.
Bổ đề 1.4. Với mọi miền Ω bị chặn trong RN , N ≥ 3, ta có
∫
∫
|u|2
2
∗
|∇u| dx ≥ µ
dx, ∀u ∈ H01 (Ω).
2
|x|
Ω
Ω

Tiếp theo là những bất đẳng thức Hardy mở rộng.
Bổ đề 1.5. [16] Cho Ω là miền mở, bị chặn trong RN , N ≥ 3. Khi đó tồn tại
hằng số C(Ω) > 0 sao cho với mọi u ∈ H01 (Ω)
)
∫
∫ (
µ∗ 2
2
u2 dx,
|∇u| − 2 u dx ≥ C(Ω)
|x|
Ω
Ω
với C(Ω) =

z02

(

ωN
|Ω|

) N2

, ở đó ωN và |Ω| là thể tích hình cầu đơn vị và Ω tương

ứng và z0 = 2, 4048... là không điểm đầu tiên của hàm Bessel J0 (z).
Bổ đề 1.6. [64] Cho Ω là một tập mở bị chặn trong RN , N ≥ 3. Khi đó với
mọi 1 ≤ q < 2, tồn tại hằng số C(q, Ω) > 0 sao cho
)

∫ (
µ∗ 2
2
|∇u| − 2 u dx ≥ C(q, Ω)∥u∥2W 1,q (Ω) ,
|x|
Ω

∀u ∈ H01 (Ω).

• Bất đẳng thức Hardy đối với toán tử Grushin.
Bổ đề 1.7. [3, Định lí 3.3] Với mọi miền mở bị chặn Ω = Ω1 × Ω2 ⊂ RN1 ×
RN2 , N1 ≥ 3, N2 ≥ 1, ta có
∫
∫
(
)
2
2s
2
∗
|∇x u| + |x| |∇y u| dxdy ≥ µ (N1 )
Ω

Ω

u2
dxdy, ∀u ∈ H01 (Ω),
|x|2

(1.4)

ở đó µ∗ (N1 ) = (N1 − 2)2 /4.
• Một số bất đẳng thức kiểu Hardy trong trường hợp một chiều.
Đầu tiên là bất đẳng thức Hardy cổ điển.
Bổ đề 1.8. [42] Với mọi u ∈ H01 (0, 1), ta có
∫ 1
∫
1 1 u2
2
ux dx ≥
dx.
4 0 x2
0

(1.5)


23
Tiếp theo là những bất đẳng thức Hardy mở rộng của (1.5).
Bổ đề 1.9. [28, Mục 5.3] Với mọi α ∈ [0, 2), ta có
∫

1

xα u2x dx
0

∫

(1 − α)2

≥
4

1

u2
x2−α

0

dx

(1.6)

với mọi u ∈ C0∞ (0, 1).
Hằng số λ(α) = (1 − α)2 /4 là hằng số tốt nhất trong bất đẳng thức (1.6).
Bổ đề 1.10. [62, Định lí 2.1] Cho α ∈ [0, 2) cố định. Với mọi n > 0 và
0 < γ < 2 − α, tồn tại hằng số C0 = C0 (α, γ, n) > 0 sao cho, với mọi
u ∈ C0∞ (0, 1), ta có bất đẳng thức:
∫

∫

1

xα u2x dx
0

∫

1

1

u dx ≥ λ(α)

+ C0
0

0

∫

u2

2

x

dx + n
2−α

1
0

u2
dx.
xγ

(1.7)

Ở đây C0 (α, γ, n) được cho tường minh là
C0 (α, γ, n) = (n + 1)
1.3.2.

2−α+γ
2−α−γ

2−α−γ
2−α+γ

(

4γ
(2 − α)2 − γ 2

2γ
) 2−α−γ

.

Một số bất đẳng thức sơ cấp

Dưới đây là một số bất đẳng thức sơ cấp quan trọng được sử dụng nhiều.
• Bất đẳng thức Cauchy:
ab ≤

b2
a2
+ .

2
2

• Bất đẳng thức Cauchy với ϵ:
ab ≤ ϵa2 +

b2
,
4ϵ

(ϵ > 0).

• Bất đẳng thức Young: Cho 1 < p, q < ∞,
ab ≤

bq
ap
+ ,
p
q

1 1
+ = 1. Khi đó
p q

(a, b > 0).