CẨM NANG KẾT CẤU XÂY DỰNG

Thạc sĩ

BÙI ĐỨC TIEN

Cẩm nang
KẾT CẤU XÂY DựNG
(TÁI BẢN)

NHÀ XUẤT BẢN XÂY DựNG
HÀ N Ộ I -2011



LÒI NÓI ĐẨU
Giọt nước nhớ nguồn
Kính tặng Tổng Cục Công Nghiệp Quốc Phòng

Trải qua hơn 40 nám lãn lộn với tính toán kết cấu, một lĩnh vực khoa học kỹ thuật có quá nhiều qui định, tôi dã nhậ
ăm nhiều phưrmg pháp và công thức đến thuộc lòng, dã sứ dụng chúng như bản năng của mình, dã di sâu đến cội nguồn, lậ
hiều bảng tính sẫn để vận dụng chúng một cách nhanh nhất, hiệu quả nhất.

Tôi đúc kết những kinh nghiệm ấy tỉìảnh quyến "Cẩm nang kết cấu xãy dựng" với 8 chuxmg sau :
Chicxmg I.
N hững phuxmg pháp tính dể giải bài toán kết cấu.
Chưxmg II. N hững phưrmg pháp lập và giái bài toán kết cấu.
Chưxmg III. Tính kết cấu m á i: Kết cấu gổ và kết cấu thép.
Chưxmg rv. Tính kết cấu sàn : Kết cấu bêtông cốt thép.
Chuxmg V!
Tính hết cấu tường : Kết cấu gạch đá.
Chưxmg VI. Tính kết cấu móng : Nền dá t và các biện pháp gia cố.
Chưưng VII. Thiết k ế tối ưu trong bài toán kết cấu.

Chương VIII. Tính độ tin cậy của công trình trong kết
cấu.
Phụ lục.
N hững bản số cần thiết cho tính
toán kết cấu.
Mọi tài liệu liên quan cần thiết đều đưưc trình bày khép kín cho
từng chuxmg.
Mong muôh của tôi là giúp các bạn tré rút ngắn thời gian nghiên cứu, có tài liệu vận dụng nhanh, dành nhiều í'lời gian
áng tạo để di sâu và di xa hơn nứa trong khoa học kết cấu xây dựng. ĨTỚC mong thì lớn,nhung không khỏi cónY rriti sai só
mong các bạn bổ sung cho.
Chúc các bạn thánh cõng.
Thạc sl BÙI e ứ c TiỂN

3


LỜI NÓI ĐẨU
LẦN XUẤT BẢN T H Ứ HAI

Năm 1993, khi biên soạn cuốn cẩm nang kết cấu náy, tôi dùng cáchtính bằng máy tính bấm tay để giải hệ phương trìn
hính tấc : đối với hệ dưới ba ẩn thì thuận lợi dễ dáng,nhưng đối với hệ từ
bốnẩn trở lénthi việc tính tay nặng nể và dí'
hẩm lẩn.

Năm 1995 sau khi biên soạn cuốn lập trình tính kết cáu, tôi thấy rằng nên dưn chuxmg trình mẩu H EPTTT dề giải h
hưxmg trình chính tấc vào cuốn cẩm nang kết cáu náy dể giúp bạn dọc và đổng nghiệp tiếp cận với máy vi tính.

Đồng thời tôi củng bổ sung hoàn chỉnh các phuxmg pháp tinh kết cấu để bạn đọc vá dồng nghiệp có cơ sở lý luận chác cììắ

ề:

- Phuxmg pháp giải tích để giải các dầm cơ bản.
- Phương pháp lực để giải các kết cấu có ít ẩn.
- Phương pháp chuyển vị dể giải các kết cấu nhiều ẩn.
- Phuxmg pháp phân phối moment để giải nhanh các kết cấu.
Tôi căng lấy nhiều th í dụ giải bằng tất cả các phu vn g pháp trên.
Mong răng quyển cẩm nang kết cấu dược bổ sung này thiết thực giúp ích cho bạn đọc và đồng nghiệp.
Thạc s ĩ BÙI BỨC TIÊN

4


CHƯƠNG l

NHÙNG PHUDNG PHÁP TÍNH ĐỂ GIÀI BÀI TOÁN KỂT CẤU

1.1. TÍNH NHẨM - TÍNH TAY
Tính nhẩm, tính tay là cách tính cơ bản của người tính toán.

3
9

Dù ngày nay có máy vi tính, việc dưa sõ liệu vào và sứ
dụng số liệu ra vẫn phái thông qua những phép tính tay đơn
giản : cộng, trừ, nhân, chia.
Yêu câu tính nhẩm, tính tay là phải nhanh và chính xác.
Người cán bộ lính toán phải điêu luyện với cách tính
C(T b ả n này.

I .l.l.

CỘNG
Thông thường ta phái cộng những cột sỗ dài. Kinh nghiệm

Thưc hành

Lý thuyết

Thí dụ

5

3
4

7
8
6
3
0
4
9
3
5
6

5
5
5

5

5

1

63

35

28

5

2
3
1
3
4
4
3

3
7

1

9
12
13
16

2
3
4

20
24
27

5
6
7
7x5

28
= 35 + 28

cộng nhanh và chính xác có hai cách như sau :
CỘNG THEO 5 VÀ s ố DƯ CỬA 5
- Bước 1 : Dem những sõ từ 5 trở lên, ta có 7.

CỘNG THEO LIÊN HIỆP CỦA 10 VÀ 20.

- Bước 2 : Cộng dồn sỗ dư của phép chia cho 5, ta có 28.

Liên hiệp của 10 là 1 + 9, 2 + 8, 3 + 7, 4 '+ 6,
5 + 5, 1 + 1 + 8 , 1 + 2

- Bước 3 : Nhẩm kẽt quả 7 X 5 + 28 = 63.

+ 7, 1 + 3

+ 6, 1 + 4 + 5,

2 + 2 + 6, 2 + 3 + 5, 3 + 3 + 4, 4 + 4 + 2.

5


Liên hiệp của 20 là 2 + 9 + 9, 3 + 8 + 9, 4 + 7 + 9,
5 + 6 + 9, 4 + 8 + 8, 5 + 7 + 8, 6 + 6 + 8.
Thí dụ

Lý thuyết

3
9
7
8
6
3
0
4
9
3
5
6

5
6

63

50

Thực hành

3
9

20
7

8
6

27
3
30

4
9

40
3
60
13

63
63

- Bước

1: Nhóm 4 sỗ dâu ta có 20 + 7 = 27

- Bước

2

- Bước

3: Nhóm 4 sỗ cuõi ta có 40 + 20 + 3 = 63.

:Nhóm4số

sau ta có 27 + 10 + 3 = 40

Cộng theo liên hiệp 10 và 20 thường nhanh và chính xác
hơn cả cộng máy, vì không tõn thời gian đưa sổ vào máy.
Chủ yẽu là người tính phải luyện cho quen.

6


1.1.2. NHÂN
Cân lận dụng những chứng minh toán học để thực hiện
phép nhân nhẩm.
- Nhân với 0,25 là chia sỗ (ló cho 4.
- Nhân với 0,5 là chia sỗ đó cho 2.
- Nhân với 2,5 là thêm số không ròi chia 4.
22 X 2,5 = 220 : 4 = 55

- Nhân với 5 là thêm sỗ không ròi chia 2.
•

42 X 5 = 420 : 2 = 210

- Nhân với 9 là nhân 10 rôi trừ đi số dó.
35 X 9 = 350 - 35 = 315

- Nhân với 11 là nhàn 10 ròi cộng thêm sỗ

đó.

35 X 11 = 350 + 35 = 385

. Khi sỗ nhân có 2 con sỗ thì chi cân cộng 2 sổ dó lại
vầ đặt vào giữa.
35 X 11 = 3 I3 + 5 I5 = 385

- Nhân hai số tù

10 đẽn 20 :

12 X 14 = (12 + 4)1(2 X 4) =

168

13 X 13 = (13 + 3)1(3 X 3) =

169

. Khi hãi số đơnvị nhằn nhau vượt mười
hàng chục vào sỗ trước.

thì ta cộng

14 X 18 = (14 + 8)1(4 X 8) = 252


- Bình phutmg m ột sô' tận cùng là 5
2 5 2 = 2 X (2 + 1) I 25 = 625
8 5 2 = 8 X (8 + 1) I 25 = 7225

- N hân hai số liên hiệp (a + b) (a - b)
4 2 X 38 = (40 + 2) (4 0 - 2) = 1600 - 4 = 1596

- Thu gọn sô" khi nhân :
6,5 X 24 = 13 X 12 = 156

1.1.3. CHIA
Cần nhớ rằng : chia cho 1 sô" là nhân nghịch đảo của số
đó, đê’ biến phép chia thành phép nhân.
- Chia cho 0,5 là nhân số đó với 2.
12 : 0,5 = 12 X 2 = 24

- Chia cho 0,25 là nhân sô' dó với 4.
5 : 0 ,2 5 = 5 X 4 = 20

- Chia cho 2,5 là nhân 4 chia 10.
8 : 2 ,5 = 8 X 4 : 10 = 3,2

* Cần tận dụng k ết quả nhân nhẩm trong chia nhẩm.

1.2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYEN
THEO PHUƯNG PHÁP GAUSS

t ín h

Trong cơ học k ết cấu ta thường phải giải hệ n phương
trình tuyến tính có n ẩn số.


Có nhiều phương pháp giải nhung cơ bản là phutmg
pháp GAUSS và phưtmg pháp MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO.
Nội dung phutmg pháp GAUSS là khử dần các ẩn sô' để
thu hệ về một phưong trình cuôì cùng axn = b.
+ N ếu

a / 0

hệ có nghiệm .

+ N ếu

a = 0 ;

b* 0

hệ vô n gh iệm .

+ Nếu

a =0 ;

b= 0

hệ vô định.

Chuông trình m ẫu giải trên máy vi tính n h ư sau :
Program HEPTTT;
Const
n - 3; m - 2; phay Var
A : array [1..n, 1..n] of real;

B, X : array [1..n, 1..m] of real;
i, j, k; I : integen

c : real;
Begin
For

For

Writeln ('giai hepttt1);
i : - 1 to n do

j : - 1 to n do
Begin write ('a [', i, phay, j, l “
readln (a [i, j]);
End;

For
For

For
For
For

i : - 1 to n do
j : - 1 to m do
Begin vvrite (’b [’, i, phay, j, ] - y,
readln (b [i, jD;
End;
i : - 1 to n do
j : - i + 1 to n do
Begin c : - a [j, i]/a [i,i];
k : - 1 to n do

a [j, k ]:

7

y ,

a 0, k] - c*a [i, ki'


For

For

For
For
For

For
For

I : - 1 to m do
b [j, II : - b 0. I] - c*b [i, I);
End;
j : - 1 to m do
Begin X [ n, j] : —b [ n , j ] / a
End;
j : - 1 to m do
i : “ n - 1 down to 1 do
Begin c : - 0;
k : - n down to i + 1 do
c : “ c + a [i, k) * X [k, j];
X [i, j] : - (b [i, j] - c/a [i, i];
End;
i : - 1 to n do
j : - 1 to m do

[ n , n];

Begin vvriteln ('x [', i, phay, j, '] -

X [i, j]);

End;
Readln;
End.

Nói theo toán học, phrnmg pháp GAUSS là cách tam
giác hóa ma trận hệ sô' với dường chéo chính toàn là sô’ 1 , tam
giác dướiđường chéo chính gồm toàn hệ
sô' không.
THÍ DỤ MINH HỌA
Giải theo phương pháp GAUSS hệ phuxmg trình :
2xj - X2 + 2 x 3 = 9

3x! + X2 - 3x3 = 4
X! + x2 - 2 x3 = 0
Khử Xi bằng cách chia phương trình đầu cho 2

8


1

X| —0,5X2

2

3xị

+ X3

+ X2

= 4 ,5

- 3 x3

-3xj + 1,5x2 _ 3 x3

= -13,5

+ 2 ,5 x 2 - 6 x 3

= - 9 ,5

+ X2

- 2 x3

=0

-X Ị

+

-

= - 4 ,5

0

+ 1 ,5 x 2 - 3 x 3

0

3

=4

X]

0 ,5 x2

X3

= - 4 ,5

Khử X2 bằng cách chia phircmg trình 2 cho 2,5
2

x2

- 2 ,4 x 3 = -3 ,8

3

1,5x2

- 3x3

= “^>5

- 1 ,5 x 2

+ 3 ,6x 3 = 5,7

0

+ 0 ,6 x 3 =

1,2

Hệ thu về 0 ,6x 3 = 1,2 và ta có X3 = 2. Tính ngược lên
trên :
X2 =-3,8 + 2 ,4x 3 ~ -3,8 + 4,8 -

1

X] = 4,5 + 0,5x2 - X3 = 4,5 + 0,5 - 2 = 3
Nghiệm duy n h ất của hệ là :
X! = 3; x2 = 1; x3 = 2.
Bảng tính thực hành bô" trí nh ư sau :


*1

x2

X3

b

2
3
1

-1
1
1

2
-3
-2

9
4
0

1
0
0

-0.5
2,5
1.5

1

-6
-3

4,5

-9,5
-4,5

1
0

-2,4
0,6

-3,8

x3

2.0

1,2

-3,8
4,8
x2

1,0
4.5
0,5
-2,0
3,0

X,

u . GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TƯYẾN

THEO MA TRẬN

NGHỊCH ĐẢO

Ta cỏ hệphương trình tuyễn tính :
a l l x l

+

a 12x 2

+

a 21 x l

+

a 22x 2

+

-

+

a ln x n

=

h 1

+

a 2n x n

=

b2

t ín h


^nl^l ^ “*n2*2
•••
Viẽt dưới dạng ma trận :

^nn^n - bn

A.X = B
Trong đó A, X, B là những ma trận.
au

a 12

'

a ln

a 21

a 22

'

**2n

A =

Xl
x2
;

anl

a n2

•

a nn

X

;

=

*n

B =

bn

Ta tìm được nghiệm :
B
,
X = - = A .B
A
A _1 là ma trận nghịch đảo của ma trận A.
Vậy muỗn tìm nghiêm X của hệ ta cân tìm ma trận nghịch dảo
A

của ma trận hệ sõ A và làm phép nhân ma trận A _1.B = X.
Ngày nay nguời ta cũng đã lập trình mẫu đế giải hệ n

phương trình tuyẽn tính có n ẩn s6 theo ma trận nghịch đảo
trên máy vi tính. Chúng ta chi việc dưa các ma trận A, B. X
vào và lệnh cho máy giải theo ma trận nghịch đào là có kễt quả
càn tính.

9


Nhưng để bạn đọc hiếu được phương pháp ma trận nghịch
đảo và có thể vận dụng tự giải những hệ có hai, ba phương
trình, tôi xin trình bày phần thực hành của phương pháp này.
Muốn hiếu tường tận, các bạn (ân tìm đọc và nắm vững
các phép tính về ma trận.
Trình tự tìm ma trận nghịch dảo A "1 của ma trận A cho
truớc như sau :
- Tìm det A tức là trị số của định thức A. Đây là một

số đại sỗ. Nẽu det A = 0 thì ma trận A gọi là suy thoái và hệ
không có nghiệm duy nhẫt.
- Lập ma trận AT hay là ma trận chuyến irí của ma trận
A, tức là đổi hàng ra cột, đổi cột ra hàng.
- Dựa theo AT mà tìm A hay là ma trận bù : với mỗi sỗ
hạng ajj cùa AT ta gạch đi hàng i và cột j rôi tính giá trị của
định thức kèm theo dấu + khi i + j chẵn, dẫu - khi i + j lẻ
và đặt vào vị trí của ajj.
- Cuối cùng ta có

A -1 = --------- Ã
đetA

THÍ DỤ MINH HỌA
Giải theo ma trận nghịch đảo hệ phương trình :
2x3

= 9

3xi + X2 - 3x 3

= 4•

2xj - X2 +

X! + X2 - 2x3

=0

1

Viễt dạng ma trận A . X = B ta có :
2-1
A =

Xl

2

3

1 -3

1

í -2

;

9

x2 ;

X =

4

B =

0

X3

Nghiệm của hệ là

X = A ~ l .B

Tìm A ”' theo trình tự sau :
det A : với ma trận bậc 3 theo luật Sarrus tích 3 hệ sõ
song song dường chéo chính mang dẵu dương; tích 3 hệ số song
song đường chéo phụ mang dẵu âm :
det A = -2.1.2 + 3.1.2 + 1.3.1 - 1.1.2 - 3.1.2 + 1.2.3
- 4 + 6 + 3 - 2 - 6 + 6 = 3
2

3

1

- 1

1

1

2 -3

- 2

1

+
-3

-1

1

2

1

+

—

-3

+

-1

2 -2

-2

3

1

2 -3

1

2

2 -2

3

1

1

1

3

—

-2

+

1

2
-1

1
1

2 -3
2

3

+
-1

1


3 -2

2 -2

3 -2

6 -3

-4 -2

6+6

3 -1

-2 -1

2+3

1

Ã* =

3

*2
X3

=

0

1

3 -6

12

2 -3

5

1

3 -6

12

2 -3

5

Nghiệm của hệ là :
Xl

0

1

X = A -1.B

1
0
1
= — 3 -6
3
2 -3

1

9

12

X 4

5

0

11


Tính chi tiễt ra la có :
1x9
+0 x 4 4 - 1 x 0
9
Xj = ----------------- ------------------ = - = 3
3
3
3 x 9 - 6 x 4 + 1 2 x 0

3

3

3

x2 = •----------------

2x9

-------------- = - = 1

—3

X4 + 5 X 0

6

x3 = ---------------- ---------------- = - = 2
3

3

Đây là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.


CHƯƠNG

u

NHỮNG PHUƠNG PHÁP LẬP VÀ GIẢI BÀI TOÁN KẾT CẤU

II.l. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH

- ớ góc xoay lên trên là dương.
- y dầm bị võng xuõng là âm.

Phương pháp giải tích là phương pháp lý thuyẽt đé giài

X

chính xác các hệ kẽt cău loại dâm.

Dùng biẽn không thứ nguyên - la lãn iưựt giài các loại
/

Qua khảo sát lý thuyẽt một đoạn dâm ta có :

dầm từ dơn giàn đẽn phúc tạp.
dy

—9 \

dx

dớ
M
— = —
dx
EJ

;

dM _
— = Q;
dx

dQ
— = q
dx

II.l.l. DẦM

Đièu kiện biên QA = M0 = 0 ; ớ/ = y/ = 0

Như vậy khi đã biẽt tải ượng, bằng bõn phép tích phân
liên tiẽp ta tính được :
Q =

J

qdx + Qo ;

c Mdx

6 - J

cô ng so n

Tải đèu

Thí dụ II.l.

Ị Qdx + M0

M =

1
1

+ ớ0 ;

y =

X

f ớdx + y0

Q = q/

0

I~ rr; 3 ị ị

t

/

EJ
Q0> M0, ớ0, yo xác dịnh theo diêu kiện biên. Vói hệ 4
phuơng trình, 4 ấn và 4 điêu kiện biên, lúc nào ta cũng giải
(lược bài toán kẽt cãu dâm theo phưưng pháp giài tích.

e =1

_
6EJ

- M thớ căng ở dưới là dương.

12

X3 '
1 ~ —

/3

u

- q và Q chiều đi lên là dương.

-<
II

1

Quy ước vè dãu như sau :

1

M =

24EJ

X

X4

/

í4

-3 + 4

Kếl q u i iính toổn
X

hệ số

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

Q

q'

0

-0,25

-0,50

-0,75

-1

M

Ể .
2

0

-0,06

-0,25

-0,56

-1

e

Ể -

1

0,984

0,875

0,0578

0

-■3

-2,004

-0,316

0

7

6EJ
gí4

y

1,063

24EJ

Tải tam giốe

ỉ

>

Thí dụ 11.2.

q/3
24EJ

X4 "

1- —

;

y =

q/4

.......
120EJ

X

X5

-4 + 5 - - —
/
/5


Kết quả lính toán
X

hệ số

7

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0

-0,063

-0,25

-0,563

-1

0

-0,016

-0,125

-0,422

-1

1

0,996

0,937

0,684

0

-4

-2,751

-1,531

-0,487

0

q/

Q

2

Ể.

M

6
q/3

e

24EJ
q/4

y

120EJ

Tải tôp trung :
Thí dụ II.3.
pi

EJ

o --------r

Q = -p

e
13

M = p/

p/2

= —
2EJ

X2 '

1 --

-

/2

y =

p/3
---

6EJ

-2

+

3

X
/

-

X3 '
—

/3

Kết quả tính toán
X

7
Q
M
e

hệ M

0,00

0,25

0,50

0,75

1.00

p
p/

0
0

-1
-0,25

-1
-0,50

-1
-0,75

-1
-1,00

1

0,938

0.75

0,438

0

-2

-1,266

-0,625

-0,172

0

p/2

2EJ
PÍ3

y

6EJ

11.1.2. DẦM KÊ ĐƠN
Điêu kiện biên M0 = M/ = ữ, yo = y/ = 0

Tải đẽu
Thí dụ 11.4.

4 ^ r w ì — *x
- t—

X
1 -2

2
/

;

-—

*-

q/2
M = —

2

—

X

X2
— --

/

/2


X3
X2
-1 + 6 — - 4 *
/3
/2

q/3
24EJ
q/4

X
X3
- 2 + 2 — - í!
/
/3
1*

24EJ

Kết quả tính toán :
X

hộ số

7

q/

Q

2

0.25

0,50

0,75

1.90

1

0,5

0,0

-0,5

-1.0

0
I
t
-1

0,75

0,75

t

ịT

M
8
qr

e

0,00

1

T
-0,668

0

-3.6

t
-5

0,688

24EJ

1

q/4

y

0

384EJ

Tải

tam

giác

Thí dụ 11.5.

14

-3,6

1


Q =

3L

q/

M =

/
q/
ớ =

-7 + 30

/3

15

360EJ
g í4

X3

X5

-7 - + 10 ~T ~ 3

360EJ

.
lJ

Kết quả tính toán :
X

7

1^

0,25

0,50

0,519

0,577

0,75

1,00

0,333

0,271

0,083

0,128

0

-0,229

-0,667

0,513

0,437

0

0,088

0,342

1
0

0,313

0,50

0,505

“

2
II

Q = —
2

0,00

i

e = - q/3
í—
24EJ
y -

384EJ

-0,47

ị

-0,346 -0,029

0

0,53

ị

0

-1,703

-2,50

-2,505 -2,166 -1,859

0

Tải tập trung :
Thí dụ 11.6.
Phân dầm ra 2 đoạn :

\5


A

a

eTT

+

L

b

Đoạn truớc p :

Zk

í

M = Pb/

p
e =

bx2
•5 _
_

6EJ
p

y =

6EJ

/

+ - (bz - r )
I

bx3
UA
7
7

(b - r)
— +
/

p :
=-p .

a

M = Pa Ị -

/
p

bx2
V—

6EJ

l

e =

y =

p

bx3

6EJ

/

b
, ■
- (b2 - /

/

(X - a)3 +

—

(b2 - /2)


II. 1.3. DẰM NGÀM MỘT ĐẦU
Đặc biệt khi a = b =

p
Q = 2
p/

M =

Điêu kiện biên Mo = yo = 0 >
Tải đèu

p
Q = - 2

X

p/

M =

= w ~ ^

Thí dụ 11.7.
X

1 - -

/

/
ET l

=

p/2
.....

-1 + 4 ^7

16EJ

l2

p/3

=

■" --

48EI

p/2

X2

'

X

ớ = - 11-

-3 + 8

16EJ
p/3

X3 '

- 3 - + 4—
/
/3

y =

X

"

/
1 -

48EJ

X

/

X2

- 4 :T
/2

X2
+ 12~~ -

X3

_x

Q =

/2

3Ỉ 3 - 8 /
8

Kết quả tính toán

X

X
0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

p
Q = 2

1

1

0

-1

-1

p/
M = —

0

0.25

0,50

0,25

0

7

8

ỡ =

y =

ị

II

-1

-0,75

0

0

-0,6875

-1

0,75

1

-0,6875

0

16EJ
p/3

Ể.

-1 + 9 ^

(2

48EJ

4
*

y -

3 - -4

M =

*

48E-i

16

- 8

3

q/4
48EJ

I

/3

r