Tài liệu ôn tập giải tích

Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM

Giải Tích 1

Mục Lục
Dạng 1: Khảo Sát Hàm Số Và Vẽ Đồ Thị .............................................................. 2
Dạng 2: Tích Phân Suy Rộng ............................................................................... 5
Dạng 3: Ứng Dụng Tích Phân.............................................................................. 9
Dạng 4: Tích Phân Bất Định .............................................................................. 11
Dạng 5: Phương trình vi phân cấp 1 ................................................................. 14
Dạng 6 : Phương trình vi phân cấp 2 ................................................................ 18
Dạng 7: Hệ phương trình vi phân ..................................................................... 19

1

Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích


Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM

Giải Tích 1

Dạng 1: Khảo Sát Hàm Số Và Vẽ Đồ Thị
Quy trình làm bài toán:
- Tìm miền xác định (MXĐ) của hàm số, nếu có thể nêu thêm tính chẵn – lẻ và tính tuần
hoàn của hàm số.
- Tính giới hạn và tìm tiệm cận:
 Tiệm cận đứng: tính tại các điểm biên không xác định của hàm số. Tính giá trị
lim+ 𝑓(𝑥) và lim− 𝑓(𝑥), nếu ít nhất một trong 2 giá trị này tiến về vô cùng, ta có
𝑥→𝑥0

𝑥→𝑥0

tiệm cận đứng 𝑥 = 𝑥0
 Tiệm cận ngang – xiên: tính khi biến số tiến ra vô cùng. Tính
𝐿1 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞ 𝑓(𝑥), nếu 𝐿1 tồn tại hữu hạn ta có đường tiệm cận ngang 𝑦 =
𝐿1 . Nếu 𝐿1 = ±∞, xét tiếp giới hạn 𝑎 = lim

𝑓(𝑥)

𝑥→+∞ 𝑥

, nếu a tồn tại hữu hạn ta có

tiệm cận xiên 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 với b được tính bởi công thức
𝑏 = lim (𝑓 (𝑥) − 𝑎𝑥), ngược lại ta nói rằng hàm số không có tiệm cận khi x tiến
𝑥→+∞

về +∞. Xét tương tự khi x tiến ra −∞.
- Tìm khoảng tăng giảm và tìm cực trị: tính đạo hàm cấp 1 y’(x) tìm nghiệm và các khoảng
có dấu xác định của hàm 𝑦′(𝑥) (dấu âm hoặc dương)
- Lập bảng biến thiên: giống như bảng biến thiên đã học ở lớp 12. Nêu ra các khoảng
tăng giảm và các điểm cực trị của hàm số.
- Vẽ đồ thị: vẽ các điểm – đường đặc biệt của đồ thị: đường tiệm cận, các điểm giao với
trục tọa độ (nếu có thể), các điểm cực trị (tại điểm cực trị vẽ một đường nằm ngang
ngắn đi qua điểm đó, đó là tiếp tuyến của hàm tại điểm cực trị). Sau đó vẽ đồ thị (không
nhất thiết phải quá chính xác nhưng không được vẽ sai quá nhiều)
Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 𝑦 =

𝑥 2 −2𝑥+1
𝑥 2 −4

.

Giải:
- Miền xác định: 𝐷 = ℝ/{−2;2} hoặc 𝐷 = (−∞; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; +∞) hoặc 𝑥 ≠ ±2
(một trong 3 cách trên đều được)
- Giới hạn:
lim − 𝑓(𝑥) = lim −

𝑥→−2

𝑥→−2 (𝑥−2)(𝑥+2)

lim + 𝑓(𝑥) = lim +

𝑥→−2

(𝑥−1)2

𝑥→−2 (𝑥−2)(𝑥+2)

lim− 𝑓(𝑥) = lim−

𝑥→2

(𝑥−1)2

(𝑥−1)2

𝑥→2 (𝑥−2)(𝑥+2)

= +∞
= −∞ ⟹ TCĐ 𝑥 = −2

= −∞
2

Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích


Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM

lim+ 𝑓(𝑥) = lim+

𝑥→2

𝑥→2 (𝑥−2)(𝑥+2)

lim 𝑓(𝑥) = lim

𝑥→∞

(𝑥−1)2

𝑥 2 −2𝑥+1

𝑥→∞

𝑥 2 −4

- Đạo hàm cấp 1: 𝑦 ′ =

Giải Tích 1

= +∞ ⟹ TCĐ 𝑥 = 2

= 1 ⟹ TCN 𝑦 = 1

2𝑥 2 −10𝑥+8
(𝑥 2 −4)2

. 𝑦′ = 0 ⟺ 𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 4

- Bảng biến thiên:

Hàm số tăng trong các khoảng (−∞; −2), (−2; 1) và (4; +∞); giảm trong các khoảng
(1; 2) và (2; 4).
3

Hàm số có cực đại (0; 1) và cực tiểu (4; ).
4

- Vẽ đồ thị:

Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 𝑦 =

ln2 |𝑥|
𝑥2

.

Giải:
3

Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích


Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM

Giải Tích 1

- Miền xác định 𝑥 ≠ 0. Hàm số là hàm chẵn, ta chỉ cần xét một bên x>0 sau đó lấy đối
xứng.
- Giới hạn:
lim+ 𝑓(𝑥) = lim

ln2 𝑥

𝑥→0+ 𝑥 2

𝑥→0

lim 𝑓(𝑥) = lim

ln2 𝑥

𝑥→+∞ 𝑥 2

𝑥→+∞

= +∞ ⟹ TCĐ 𝑥 = 0
= 0 (theo tính chất của VCL)

Suy ra đồ thị có tiệm cận ngang 𝑦 = 0.
- Đạo hàm cấp 1 (khi x>0): 𝑦 ′ = (

ln2 𝑥
𝑥2

′

) =−

2 ln 𝑥.(ln 𝑥−1)
𝑥3

𝑦′ = 0 ⟺ 𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑒
- Bảng biến thiên
x

−∞

y’

+

-e

-1

0 -

0 + || - 0 + 0
+∞

y

0

1

-

+∞

𝑒 −2
0

+∞

e

𝑒 −2
0

0

0

Hàm số tăng trong các khoảng (−∞; −𝑒), (−1; 0) và (1; 𝑒).

Hàm số giảm trong các khoảng (-e;-1), (0;1) và (𝑒; −∞)
Hàm số có 2 cực đại (−𝑒; 𝑒 −2 ) và (𝑒; 𝑒 −2 ) và 2 cực tiểu (-1;0) và (1;0).
- Vẽ đồ thị:

4

Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích


Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM

Giải Tích 1

Dạng 2: Tích Phân Suy Rộng
Bài Toán : Khảo sát sự hội tụ của tích phân
1. Xác định loại tích phân suy rộng
Loại 1: Tích phân cận vô tận:

f(x) không âm với mọi x>a
Loại 2: Tích phân hàm không bị chặn
𝑏

∫𝑎 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥
Với a≤c≤b và
2. Bước 2: Tìm hàm g(x) tương đương với f(x) hay đánh giá f(x) lớn hơn hay nhỏ hơn
g(x)
3. Bước 3: Nếu là hàm nhỏ hơn hay lớn hơn thì dùng tiêu chuẩn so sánh 1, hàm tương
đương thì dùng tiêu chuẩn so sánh 2.
Tiêu chuẩn so sánh 1:

5

Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích


Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM

Giải Tích 1

Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,+∞) thỏa f(x) ≥ g(x) ở lân cận của ∞. Ta
có:

Tính phân cơ bản:

Hoặc:

hội tụ nếu như α<1 và phân kì nếu α≥1.

Tiêu chuẩn so sánh 2:
Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,+∞)
Nếu Ta có:

K=0:

0**Tích phân hàm có dấu bất kì – Hội tụ tuyệt đối.
Với hàm f(x) khả tích trên [a,b) và không bị chặn tại b
Nếu

hội tụ thì

hội tụ

+∞
𝑑𝑥
Hội tụ khi α>1 và ɏβ hoặc khi α=1 và β<1
𝛼
𝑎
𝑥 ln𝛽 𝑥

** Xét ∫
**Xét

𝑏

∫𝑎

𝑑𝑥
𝑥 𝛼 ln𝛽 𝑥

Hội tụ khi α<1 và ɏβ hoặc khi α=1 và β>1

Ví Dụ 1:

6

Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích


Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM

Giải Tích 1

Giải: Ta thấy 2 cận của tích phân làm cho tích phân không xác định, ta tách thành 2 tích
phân suy rộng loại 2.

Tổng hợp lại thì với α<1 thì I1 hội tụ

7

Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích


Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM

Giải Tích 1

 I2 hội tụ

=> I2 hội tụ
Kết luận: vậy với α<1 thì tích phân trên hội tụ.

8

Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích


Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM

Giải Tích 1

Ví dụ 2:

Nhận xét: đây là tích phân suy rộng loại 1

Dạng 3: Ứng Dụng Tích Phân
Kiến thức cần có: xem slide bài giảng chi tiết
9

Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích


Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM

Giải Tích 1

Công thức cần nhớ:

Ví dụ 1: Cho miền D giới hạn bởi
1. Tính diện tích miền D
2. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay miền D quanh Ox
Giải:

Ví dụ 2:

Giải:

10

Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích

Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM

Giải Tích 1

Dạng 4: Tích Phân Bất Định
Kiến thức cần nhớ
I.
Nguyên hàm và tích phân bất định:
1. Nguyên hàm:
- Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trong khoảng (a,b) nếu với mọi x
trong khoảng (a,b) ta đều có F’(x) = f(x)
2. Tích phân bất định:
- Nếu hàm F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C (C là hằng số bất kì) được
gọi là tích phân bất định của f(x), kí hiệu là ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑥) + 𝐶
- Tính chất:
+ ∫ 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 (𝑥) + 𝐶
𝑑
+ ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥

-

+ ∫ 𝑎𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
+ ∫(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
Để tiện lợi hơn trong tính toán, sau đây là tích phân bất định của một số hàm
cơ bản mà các bạn cần thuộc để làm bài được nhanh hơn:
+ ∫ 𝑥 𝛼 𝑑𝑥 =
1

𝑥 𝛼+1
𝛼+1

+ 𝐶 , 𝛼 ≠ −1

+ ∫ 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶
𝑥

+ ∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑎𝑥
ln 𝑎

+𝐶

+ ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶
+ ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶
+∫
+∫
+∫
+∫
+∫
+∫

𝑑𝑥

= − cot 𝑥 + 𝐶

𝑠𝑖𝑛2 𝑥

𝑑𝑥
𝑎2 +𝑥 2
𝑑𝑥

=

𝑎2− 𝑥2
𝑑𝑥
sin 𝑥
𝑑𝑥
cos 𝑥
1

+ ∫ √𝑎2
+∫

= tan 𝑥 + 𝐶

𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑑𝑥

=

1

𝑥

arctan + 𝐶

𝑎

1

2𝑎

ln |

𝑎
𝑥+𝑎
𝑥−𝑎

|+𝐶

𝑥

= ln |tan | + 𝐶
2

𝑥

𝜋

2

4
𝑥

= ln |tan ( + )| + 𝐶

−𝑥 2
1

𝑑𝑥 = arcsin + 𝐶

√𝑥 2 ± 𝑎 2

𝑎

𝑑𝑥 = ln |𝑥 + √𝑥 2 ± 𝑎2 | + 𝐶

+ ∫ √𝑎2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 =

𝑎2
2

𝑥

𝑥√𝑎2 −𝑥 2

𝑎

2

arcsin +

+𝐶

3. Cách tính tích phân bất định:
a. Phương pháp đổi biến thứ nhất:
- Đặt x = 𝜑(𝑡), 𝜑(𝑡) là hàm khả vi và có hàm ngược t = 𝜑 −1 (𝑥) thì ta có:

11

Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích


Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM

Giải Tích 1

∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝜑(𝑡 ))𝜑′ (𝑡 )𝑑𝑡
Nếu nguyên hàm của 𝑓(𝜑(𝑡 ))𝜑′ (𝑡 ) là G(t) thì:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐺 (𝑡 ) + 𝐶 = 𝐺(𝜑−1 (𝑥)) + 𝐶
b. Phương pháp đổi biến thứ 2:
- Đặt u = 𝜑(𝑥), du = 𝜑′(𝑥)𝑑𝑥 và giả sử ta có
∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝜑(𝑥))𝜑′ (𝑥)𝑑𝑥
Với ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐺 (𝑥) + 𝐶
Thì ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐺(𝜑(𝑥)) + 𝐶
c. Phương pháp tích phân từng phần:
- Cho các hàm u(x), v(x) khả vi và u(x), v’(x) có nguyên hàm trên (a,b). Khi ấy hàm
u’(x), v(x) cũng có nguyên hàm trên (a,b) và:
∫ 𝑢′ (𝑥)𝑣 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥)𝑣 (𝑥) − ∫ 𝑢(𝑥)𝑣 ′ (𝑥)𝑑𝑥
4. Một số trường hợp đặc biệt khi tính tính phân bất định:
a. Tích phân của phân thức đơn giản loại 1:
𝑀𝑑𝑥
𝑀 1
𝑏 1−𝑘
∫
(𝑥 + )
= 𝑘
+𝐶

(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘
𝑎 1−𝑘
𝑎
b. Tích phân của phân thức đơn giản loại 2:
- Xét tam thức 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 trong trường hợp nó không có nghiệm thực. Khi đó:
𝑀𝑥 + 𝑁
∫
𝑑𝑥
2
(𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑘
𝑀𝑏
𝑀 𝑑(𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) (𝑁 − 𝑎 )
𝑑𝑥
∫
∫
=
+
𝑘
2
𝑘
𝑘
2𝑎 (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐)
𝑎
𝑏 2
𝑐
𝑏2
[(𝑥 +
) + −
]
2𝑎

𝑎 4𝑎2

Đặt u = 𝑥 +

𝑏
2𝑎

4𝑎𝑐− 𝑏2

,v=√

4𝑎2

. Khi đó tích phân thứ hai sẽ có dạng ∫ (𝑢2

𝑑𝑢
+𝑣 2 )𝑘

và khi đó ta sẽ có được tích phân ban đầu thành tổng hai tích phân dạng cơ bản
mà ta đã biết ở phần trên
𝑛 𝑎𝑥+𝑏

c. Tích phân của hàm vô tỉ 𝑓 (𝑥, √

𝑐𝑥+𝑑

𝑛 𝑎𝑥+𝑏

): đặt 𝑡 = √

𝑐𝑥+𝑑

để đưa tích phân này

về tích phân hàm hữu tỉ theo t

12

Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích


Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM

Giải Tích 1

d. Tích phân của hàm vô tỉ 𝑓(𝑥, √𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐): đặt 𝑢 = √𝑎 (𝑥 +

𝑏
2𝑎

), đưa tam

thức bậc hai về dạng 𝑢2 + 𝑎2 , 𝑢2 − 𝑎2 , 𝑎2 − 𝑢2 và dùng những cách tính tích
phân mà ta đã biết tương ứng với mỗi dạng cụ thể để tính
e. Tích phân Chebyshev với 𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑚 (𝑎 + 𝑏𝑥 𝑛 )𝑝 với m,n,p là các số hữu tỉ:
- Xét 3 trường hợp cụ thể sau:
+ Nếu 𝑝 ∈ 𝑍: đặt 𝑥 = 𝑡 𝑠 𝑣ớ𝑖 𝑠 = 𝐵𝐶𝑁𝑁(𝑚, 𝑛)
+ Nếu
+ Nếu

𝑚+1
𝑛
𝑚+1
𝑛

∈ 𝑍: đặt 𝑎 + 𝑏𝑥 𝑛 = 𝑡 𝑠 𝑣ớ𝑖 𝑠 𝑙à 𝑚ẫ𝑢 𝑠ố 𝑐ủ𝑎 𝑝
+ 𝑝 ∈ 𝑍: đặt 𝑎𝑥 −𝑛 + 𝑏 = 𝑡 𝑠 𝑣ớ𝑖 𝑠 𝑙à 𝑚ẫ𝑢 𝑠ố 𝑐ủ𝑎 𝑝

II.
Tích phân xác định:
1. Công thức Newton – Leibnitz:
- Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và G(x) là một nguyên hàm của f(x) thì ta có:
𝑏

∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐺 (𝑏) − 𝐺(𝑎)
𝑎

2. Tính chất của tích phân xác định:
𝑏

𝑏

-

∫𝑎 𝑐𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

-

∫𝑎 (𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

-

∫𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = − ∫𝑏 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥

-

∫𝑎 𝑓 (𝑥) ≥ ∫𝑎 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

-

∫𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑐 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 , 𝑓 (𝑥)𝑘ℎả 𝑡í𝑐ℎ 𝑡𝑟ê𝑛 [𝑎, 𝑐 ], [𝑐, 𝑏]

-

|∫𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 | ≤ ∫𝑎 |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥

𝑏

𝑏

𝑏
𝑏
𝑏

𝑏

𝑎

𝑏

𝑐

𝑏

𝑏

𝑏

3. Cách tính tích phân xác định:
- Về cơ bản, chúng ta chỉ cần tìm một nguyên hàm của f(x), sau đó dung Newton
– Leibnitz để tính ra, cách tìm nguyên hàm của f(x) tương tự như cách tính tích
phân bất định đã nói ở trên
- Một số lưu ý nhỏ khi tính tích phân xác định:
+ Với phương pháp đổi biến: nếu f(x) liên tục trên [a,b], hàm 𝜑(𝑡) khả vi, liên
tục trên [t1,t2] và 𝜑(𝑡 ): [𝑡1, 𝑡2] → [𝑎, 𝑏], 𝜑(𝑡1) = 𝑎, 𝜑(𝑡2) = 𝑏 thì
𝑏

𝑡2

∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝜑(𝑡 ))𝜑′ (𝑡 )𝑑𝑡
𝑎

𝑡1

+ Với phương pháp tích phân từng phần: nếu u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a,b]
thì:
𝑏

𝑏
𝑏

∫ 𝑢 𝑥)𝑣 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)| − ∫ 𝑢(𝑥)𝑣 ′ (𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑎
′(

Ví dụ : Tính tích phân sau

bằng 3 cách
13

Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích


Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM

Giải Tích 1

Giải:
Cách 1: Phương pháp đồng nhất hệ số

Cách 2: Phương pháp trị số riêng

Cách 3: Phương pháp kỹ thuật thêm bớt

Dạng 5: Phương trình vi phân cấp 1
Phương trình vi phân bậc 1 có 5 loại:
PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN:
-Dạng:

f(y)dy = g(x)dx

-Phương pháp: Lấy tích phân 2 vế
∫ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
-Dấu hiệu nhận biết :
y’ = f(y)g(x)
 DẠNG ĐƯA VỀ TÁCH BIẾN :
-Dạng : 𝑦 ′ = 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐)
14

Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích


Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM

Giải Tích 1

-Phương pháp : Đặt 𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 rồi đưa về dạng tách biến.
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẲNG CẤP :
𝑦

𝑦 ′ = 𝑓( )

- Dạng

𝑥

𝑦

-Phương pháp : Đặt 𝑢 = ↔ y = ux → y’ = u + xu’

𝑥

Thay vào phương trình ta có :
u + xu’ = f(u) ↔ x

𝑑𝑢
𝑑𝑥

= 𝑓 (𝑢 ) − 𝑢

Rút gọn về phương trình tách biến:
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑓 (𝑢 ) − 𝑢
𝑥
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN :
-Dạng :
{

𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
𝑃′𝑥 = 𝑄′𝑦

-Phương pháp : Nghiệm tổng quát có dạng U(x,y) = C
𝑥

𝑦

U(x, y) = ∫𝑥𝑜 𝑃(𝑥, 𝑦𝑜)𝑑𝑥 + ∫𝑦𝑜 𝑄(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦
𝑥

𝑦

= ∫𝑥𝑜 𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + ∫𝑦𝑜 𝑄(𝑥𝑜, 𝑦) 𝑑𝑦
với (xo, yo) được chọn tùy ý tại điểm mà P, Q xác định . Thường chọn (xo, yo) = (0, 0)
PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP 1 :
-Dạng :
Nếu

y’ + p(x)y = q(x)

(1)

y’ + p(x)y = 0

(2)  Phương trình thuần nhất

Cấu trúc nghiệm tổng quát của (1):

y= yo + yr

Trong đó : yo : nghệm tổng quát của (2)
yr : nghiệm riêng của (1)
-Phương pháp :
 Tìm yo : Từ (2) dạng tách biến ta có :
yo = C𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
 Tìm yr :

15

Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích


Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM

Giải Tích 1

yr = 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑞(𝑥)𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BERNOULLI :
𝑦 ′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑦 𝛼 𝑞(𝑥)

-Dạng:

Trong đó 𝛼 ≠ 0,1

-Phương pháp:
 Chia cả hai vế cho 𝑦 𝛼
 Đặt 𝑢 = 𝑦1−𝛼
 Phương trình trở thành:
𝑢′ + (1 − 𝛼)𝑝(𝑥)𝑢 = (1 − 𝛼)𝑞(𝑥) (phương trình tuyến tính)
 Giải phương trình tuyến tính trên rồi thay giá trị ẩn cần tìm vào.
 BÀI TẬP ÁP DỤNG: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN:
[1] 𝐲 ′ − 𝐱𝒚𝟐 = 𝟐𝒙𝒚
↔ y ′ = x(2y + 𝑦 2 )
↔ ∫

1
𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑑𝑥
𝑦 (2 + 𝑦 )

1⁄
−1⁄
2
2 ) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑑𝑥
↔ ∫(
+
𝑦
2+𝑦
1
1
𝑥2
↔ ln|y| − ln|𝑦 + 2| =
+𝐶
2
2
2
𝑦
𝑦
2
2
| = 𝑥 2 + 2𝐶 ↔
↔ ln |
= 𝑒 𝑥 +2𝐶 = 𝐶𝑒 𝑥
𝑦+2
𝑦+2
𝑦

𝑦 3

𝑥

𝑥

[2] 𝐱 𝟑 𝐲 ′ = 𝐲(𝐱 𝟐 + 𝐲 𝟐 ) ↔ y ′ = + ( ) (2)
Đặt 𝑢 =

𝑦
𝑥

𝑡𝑎 𝑐ó:

𝑦 = 𝑢𝑥 ↔ 𝑦 ′ = 𝑢 + 𝑥𝑢′
(2)↔ 𝑢 + 𝑥𝑢′ = 𝑢 + 𝑢3
1
1
−1
−1 𝑥 2
|
|
∫ 3 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑥 ↔ 2 = ln 𝑥 + 𝐶 ↔
= ln|𝑥| + 𝐶
𝑢
𝑥
2𝑢
2 𝑦2
[3] 𝐲 ′

=

𝟐𝐲−𝟑𝐱+𝟏

(3)

𝟔𝐱−𝟒𝐲+𝟐

Đặt u=3x-2y
16

Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích


Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM

Giải Tích 1

↔ 𝑢′ = 3 − 2𝑦′
1⁄
3 − 𝑢′
1−𝑢
𝑢+1
1
2 ) 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑥
(3) ↔
=
↔∫
𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑥 ↔ ∫ (1 +
1
2
2𝑢 + 2
4𝑢 + 2

4
𝑢 + ⁄2
↔

1
1
1
1
1
1
𝑢 + ln |𝑢 + | = 𝑥 + 𝐶 ↔ (3𝑥 − 2𝑦) + ln |3𝑥 − 2𝑦 + | = 𝑥 + 𝐶
4
2
2
4
2
2

[4] 𝐲 ′ −

𝐲
𝐱+𝟏

=

𝐲𝟐
𝐱+𝟏

(4)

y = 0 là một nghiệm của phương trình
𝑦 ≠ 0 𝑡𝑎 𝑐ó:
(4) ↔

𝑦′
1 1
1
−
=
𝑦2 𝑥 + 1 𝑦 𝑥 + 1

Đặ𝑡 𝑢 =

1
1
↔ 𝑢′ = − 2 𝑦′
𝑦
𝑦

(4) ↔ 𝑢 ′ +

1
−1
𝑢=
(𝐷ạ𝑛𝑔 𝑡𝑢𝑦ế𝑛 𝑡í𝑛ℎ)
𝑥+1
𝑥+1

𝑝(𝑥) = −𝑞(𝑥) =

1
𝑥+1

1

𝑦0 = 𝐶𝑒 − ∫𝑥+1𝑑𝑥 = 𝐶𝑒 − ln|𝑥+1| = −𝐶. |𝑥 + 1|
𝑦𝑟 = 𝑒

−∫

1
𝑑𝑥
𝑥+1

−1 ∫ 1 𝑑𝑥
𝑥+1 𝑑𝑥
∫𝑥 + 1𝑒

=−|𝑥 + 1| ∫ −𝑑𝑥 = 𝑥 |𝑥 + 1|
Vậy nghiệm tổng quát của (4) là y=𝑦0 + 𝑦𝑟
[5] (3x + 2y)dx + (2x − 9y)dy = 0
P(x, y) = 3x + 2y
Q(x, y) = 2x − 9y
Ta có : 𝑃′ 𝑦 = 2 = 𝑄′ 𝑥 (𝐷ạ𝑛𝑔 𝑡𝑜à𝑛 𝑝ℎầ𝑛)
Nghiệm tổng quát có dạng U(x,y)=C
(𝑥,𝑦)

𝑈(𝑥, 𝑦) =

∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦

(0.0)

17

Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích


Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM

Giải Tích 1

Chọn đường đi (0,0) → (𝑥, 0) → (𝑥, 𝑦)
𝑦

𝑥

𝑈(𝑥, 𝑦) = ∫ 3𝑥𝑑𝑥 + ∫(2𝑥 − 9𝑦)𝑑𝑦
0

0
3

9

2

2

= 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦 2
Vậy nghiệm tổng quát của (5) là :

3

9

2

2

𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦 2 = 𝐶

Dạng 6 : Phương trình vi phân cấp 2
Kiến thức cần nhớ : xem slide bài giảng chi tiết hơn.
Phương pháp chung :
** giải theo phương trình vi phân cấp 2
Bước 1 : phương trình đặc trưng :
ak2 +bk + c = 0
 k=x1 ;k=x2
Bước 2 : nghiệm của phương trình thuần nhất có dạng :
ytn = C1ex1 + C2ex2
Bước 3: tìm nghiệm dương của phương trình
yr= yr1+ yr2
ta có : yr = tseatQ(t)

Ví dụ 1 : Tìm nghiệm riêng của phương trình
1
y(0) = , y’(0)=0 ;
4

thỏa điều kiện

Giải :

18

Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích


Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM

Ví dụ 2 : Tìm nghiệm riêng của phương trình
y(0)=1 y’(0)=0.

Giải Tích 1

thỏa mãn điều kiện

Giải :

Dạng 7: Hệ phương trình vi phân
Kiến thức cần nhớ: xem slide bài giảng và ví dụ trong đó để hiểu rỏ hơn ^^
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
KHỬ
Ví dụ :

t
 x '  x '(t )  2 y  e

 y '  y '(t )   x  3y  e t

19

Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích


Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM

Giải Tích 1

 y   x ' 3y ' et
 y  2 y  e t  3y ' e t


t
t
 x '  2 y  e
 x '  2 y  e
Thế pt2 vào pt1 ta được (3)
:  y " 3y ' 2 y  2et

** giải theo phương trình vi phân cấp 2
Bước 1 : phương trình đặc trưng :
k2 – 3k + 2 = 0
 k=1 ;k=2
Bước 2 : nghiệm của phương trình thuần nhất có dạng :
ytn = C1et + C2e2t
Bước 3: tìm nghiệm dương của phương trình
yr= yr1+ yr2
ta có : yr = tseatQ(t)
( a = 1 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng s=1 )
yr = tet.Q(t)

với yr = (Bt +C)tet
y’r = 2Btet + Cet + Bt2et +Ctet
y”r = 2 Bet+2Btet +Cet+2Bt et+Bt2 et+ C et+Ctet
thay vào phương trình 3 ta có :
2 Bet+2Btet +Cet+2Bt et+Bt2 et+ C et+Ctet -3(2Btet + Cet + Bt2et +Ctet)+2((Bt +C)tet= -2et
𝐵 − 3𝐵 + 2𝐵 = 0
{2𝐵 + 2𝐵 + 𝐶 − 6𝐵 − 3𝐶 + 2𝐶 = 0
2𝐵 − 𝐶 = −2
Vậy : B=0 ; C= 2
Vậy : y= C1et+C2e2t + 2tet

(2)  x   y ' 3y  e t
  C1et  2C2e2t
2(t  1)et  3(C1et  C2e2t  2tet )  et
 2C1et  C2e 2 t  (4t  3)e t

20

Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích


Chúng Ta Cùng Tiến – ĐH Bách Khoa HCM

Giải Tích 1

Ta được nghiệm của hệ phương trình vi phân
 x  2C1et  C2e2 t  (4t  3)e t

t
2t

t
 y  C1e  C2e  2te

1/2016

21

Nhóm Biên Soạn-Tổng Hợp: CTV Giải Tích