Tài liệu ôn tập phần Tích phân.pdf

Sở GD & Đt nghệ an
Trờng THPT Đặng thúc hứa




66
sin4x + cos2x
dx
sin x + cos x






tích phân


( ) ( )

66
88
x+1-x-1
dx 1
== dx
x+1 2 x+1
I =...

Giáo viên : Phạm Kim Chung

Tổ : Toán






Năm học : 2007 - 2008





12
2007
bài giảng tích phân
"
Phạm Kim Chung

Trờng THPT Đặng Thúc Hứa


_____________________________


Tháng 12 năm 2007 __________________________________

(
T
rang

1
Thực ra trên mặt đất lm gì có đờng, ngời ta đi lắm thì thnh đờng thôi !
- Lỗ Tấn -

Viết một cuốn ti liệu rất khó, để viết cho hay cho tâm đắc lại đòi hỏi cả một đẳng cấp thực sự ! Cũng may tôi không có t tởng lớn của
một nh viết sách, cũng không hy vọng ở một điều gì đó lớn lao vì tôi biết năng lực về môn Toán l có hạn .. Khi tôi có ý tởng viết ra những điều
tôi gom nhặt đợc tôi chỉ mong sao qua từng ngy mình sẽ lĩnh hội sâu hơn về môn Toán sơ cấp..qua từng tiết học những học trò của tôi bớt băn
khoăn, ngơ ngác hơn.. V nếu còn ai đọc bi viết ny nghĩa l đâu đó tôi đang có những ngời thầy, ngời bạn cùng chung một niềm đam mê sự
diệu kì Toán học .

Thử giải một bi toán khó... nhng cha thật hi lòng !

( ) ( )
()()

66
22
8
42
x+1-x-1
dx 1
=dx=
x+1 2
x+1 -2x

( )
( ) ( )
()()
( )
( ) ( )
()()



242 2 242 2
22 22
42 42
x+1 x- 2x+1+ 2-1x x-1 x- 2x+1+ 2+1x
11
dx + dx
22
x+1-2x x+1-2x

( )
( )
()()
( )
( )
()()

22 22
2 2
42 42
42 4 2 42 4 2
2-1 2+1

x+1x x-1x
1x+1 1x-1
= dx+ dx+ dx+
22 22
x+ 2x+1 x+ 2x+1
x - 2x +1 x + 2x +1 x - 2x +1 x + 2x + 1





2
2
1
1+
1
x
=dx
2
1
x- +2+ 2
x
()

2
22
1
1+ dx
2-1
x
+
2
11
x- +2- 2 x- +2+ 2
xx
()




2
2
1
1-
1
x
+dx
2
1
x+ - 2- 2

x
()
() ()











2
22
1
1- dx
2+1
x
+
2
11
x+ - 2+ 2 x+ - 2- 2
xx

2
1
dx-
1
x
=
2
1
x- +2+ 2
x
() ()











22
11
dx- dx-
2-1 2-1
xx

+-
42 42
11
x- +2- 2 x- +2+ 2
xx
()







2
1
dx+
1
x
+
2
1
x+ - 2- 2
x
()
()
()
()

22
11
dx+ dx+
2+1 2+1
xx
+-
42 42
11
x+ - 2+ 2 x+ - 2- 2
xx







11
x+ -2-2 x+ -2+2
2+ 2 2- 2 2- 2 2+ 2
xx
=u+v+ln +ln +C

11
8 8 16 16
x+ + 2- 2 x+ + 2+ 2
xx
(
Với

1
x- = 2+ 2tgu= 2- 2tgv
x
)

(
Nếu dùng kết quả ny để suy ngợc có tìm đợc lời giải hay hơn ?..
)


12
2007
bài giảng tích phân

Phạm Kim Chung

Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê
0974.337.449
___________________________

Tháng 12 năm 2007 ___________________


T
rang

2
Phần lý thuyết


Định nghĩa : Giả sử f(x) l một hm số liên tục trên một khoảng K, a v b l hai phần tử bất kì của K, F(x) l
một nguyên hm của f(x) trên K . Hiệu số F(b) - F(a) đợc gọi l tích phân từ a đến b của f(x) v đợc kí hiệu l
. Ta dùng kí hiệu
()

b
a
fxdx
()
b
Fx
a
để chỉ hiệu số : F(b) F(a)
Công thức Newton Laipnit :
()

b
a
fxdx
=

()
b
Fx
a
= F(b) F(a)

Ví dụ :
()
31
23
0
1
x
11
xdx 1 0
0
33
===

3
3

Chú ý : Tích phân chỉ phụ thuộc v f, a v b m không phụ thuộc vo kí hiệu biến số tích phân . Vì vậy ta
có thể viết : F(b) F(a) = =
()

b
a
fxdx
()

b
a
fxdx
()

b
a
ftdt
=
()

b
a
fudu
...

Các tính chất của tích phân .
1.

()
a
a
fxdx=0

2.

() ()
ba
ab

fxdx=-fxdx

3.

() () () ()




bb
aa
fx gxdx= fxdx gxdx

b
a
VD :
()
()
eee
22
111
ee
31
2x dx 2 xdx 3 dx x 3ln x e 1 3 1 0 e 2
11
xx

+= + =+ =+=+

2

4.

() () ()

cbc
aab
fxdx= fxdx+ fxdx
VD :
22101 01
110 10
01
xx
x dx xdx x dx xdx xdx 1
10
22

=+=+=+


=

5.
f(x) 0 trên đoạn [a ; b]

0

()

b
a
fxdx

6.
f(x) g(x) trên đoạn [a ; b]



()

b
a
fxdx

()

b
a
gxdx

VD : Chứng minh rằng :
22
00
sin2xdx 2 sinxdx

7.
m f(x) M trên đoạn [a ; b]

m(b a) =


b
a
mdx



()

b
a
fxdx


b
a
Mdx
= M(b a)
VD : Chứng minh rằng :
2
1
15
2xdx
x 2

+




HD . Khảo sát hm số
1
yx
x
=+
trên đoạn [1; 2] ta có :
[]
[]
1;2
1;2
5
y ;y
2
2= =max min


12
2007
bài giảng tích phân

Phạm Kim Chung

Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê
0974.337.449
___________________________


Tháng 12 năm 2007 ___________________


T
rang

3
Do đó :
22 2
11 1
15
2 dx x dx dx
x2

+




2
1
22

15
2x x dx x
11
x2

+



2
1
15
2xdx
x 2

+





Phần phơng pháp


Phơng pháp đổi biến số : t = v(x) .
VD . Tính tích phân :
2
1
0
x

Id
x
x 1
=
+


Đặt : . Khi x= 0 thì t=1, khi x=1 thì t=2 .
2
tx 1=+
Ta có :
dt
dt =
. Do đó :
2xdx xdx
2
=

2
12
01
2
x1dt1 1
Id

x lntln2
1
2t 2 2
x1
====

+


Quy trình giải toán .

() ()
()
()
x xx

bb
aa
fxdx= gv v' d


Bớc 1
. Đặt t = v(x) , v(x) có đạo hm liên tục, đổi cận .

Bớc 2
. Biểu thị f(x)dx theo t v dt : f(x)dx = g(t)dt

Bớc 3
. Tính .
()
()
()

vb
va
gtdt

Bi tập rèn luyện phơng pháp :
Tính các tích phân sau :

1 .
2
e
e
dx
x ln x

2 .
()
2
2
1
dx
2x 1

3.
1
2
3
0
x dx
x 1+

4.
3
4

2
xdx
x 1


5 .
2
3
4
dx
sin x



6 .
()
1
0
dx
2x 1 x 1
+ +

7.
()
4
1
dx
x 1x+

Phơng pháp đổi biến số : x = u(t) .
VD . Tính tích phân :
1
2
0
1x


dx
Đặt x = sint
t;
22










. Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì t=
2


Vậy với x = sint thì
x0;1

t0;
2







v dx = costdt .
Do đó :
1
22
22
00 0 0
1 x dx 1 sin t cos tdt cos t cos tdt cos tdt

= = =

2
2

=
=
2
0
1cos2t 1
sinx
cosx

O
1
dt t sin2t
2
222 4
0


+

= +=






Quy trình giải toán .


()

b
a
fxdx
Bớc 1
.
Đặt x = u(t),
t;

sao cho u(t) có đạo hm liên tục trên đoạn
;


, f
(
u(t)
)
đợc xác định trên đoạn
v .




b
;


() ()
ua;u= =

12
2007
bài giảng tích phân

Phạm Kim Chung

Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê
0974.337.449
___________________________


Tháng 12 năm 2007 ___________________


T
rang

4

Bớc 2
.
Biểu thị f(x)dx theo t v dt : f(x)dx = g(t)dt

Bớc 3
.
Tính
.
()

gtdt


Bi tập rèn luyện phơng pháp :

Tính các tích phân sau :

1 .
1
2
0
dx
1x+

2 .
1
2
2
0
dx
1x

3.
1
2
0
dx
x x1+ +

4.
1
22
0
x 1xdx

5 .
1
32
0
x 1xdx+

6 .
5
2
0
5x
dx
5x
+


( Đặt x=5cos2t)

Phơng pháp đổi biến số : u(x) = g(x,t)

VD1 .
Tính tích phân : I =

1
2
0
1xdx+


Cách
(1)
Đặt
2
22
t1
1+x = x-t 1= -2xt t x
2t

+=

Khi x =0 thì t= -1, khi x=1 thì t=
12
v dx =
2
2
t1
2t
+
dt . Do đó :

12 12 12 12 12
22 42
23

1111
t1t1 1 t2t1 1 1 1
I . dt dt tdt 2 dt dt
2t 2t 4 t 4 t t



+ + +
===++




3
1


=


=
2
2
12 12 12
t1 1
ln t
82 8t
11
1

=


+

()
12
ln 2 1
22
+



nên ta có thể chọn
t0;
4





. Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì
t

Cách
(2)

: Đặt x=tgt , do
x 0;1

4
=

v dx=
2
1
dt
cos t
. Do đó :
()
()
1
44444
22
2
2234
2
00 0 000
dsint
1111cost
1 x dx 1 tg t dt dt dt dt
cos t cos t cos t cos t cos t
1sint

+=+ = = = =


=
=

()()
()()
()
()()
()
22
44
00
1sint 1sint
111
dsint dsint
4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 1 sin t


++
=+

+ +


1
=

=
()()
()
()
()
()
()()

()
()
2
444
22
000
d1 sint d1 sint
dsint
11 1 1 1 1
dsint
4 1sint 1sint 4 2 1sint1sint 4
1sint 1sint


+
+=+ +

+ +
+


4
0

=


=
2
11 1 11sint1sint 11sint

.ln
ln
4
0

444
4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 2 cos t 4 1 sin t
000

++

+ =+

+


=
()
12
ln 2 1
22
+
.
Bình luận :
Bi toán ny còn giải đợc bằng phơng pháp tích phân từng phần . Còn với 2 cách giảI trên rõ rng
khi bắt gặp cách 1) ta nghĩ rằng nó sẽ chứa đựng những phép tính toán phức tạp còn cách 2) sẽ chứa những phép
tính toán đơn giản hơn. Nhng ngợc lại sự suy đoán - cách 2) lại chứa những phép tính toán di dòng v nếu quả
thật không khá tích phân thì cha hẳn đã l đợc hoặc lm đợc m lại di dòng hơn .

VD2 .

Tính tích phân : I =
1
2
0
1
dx
1x+



12
2007
bài giảng tích phân

Phạm Kim Chung






Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê
0974.337.449
___________________________


Tháng 12 năm 2007 ___________________

T
rang

5
Cách
(1)
Đặt
2
22
t1
1+x = x-t 1= -2xt t x
2t

+=

Khi x =0 thì t= -1, khi x=1 thì t=
12
v dx =
2
2
t1
2t
+
dt . Do đó :

12 12
2
22
11

2t t 1 1
I . dt dt
t12t t


+
==
+

=

=
12
ln t
1



()
ln 2 1=


nên ta có thể chọn
t0;
4

. Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì
t

Cách
(2)

: Đặt x=tgt , do
x 0;1


4
=

v dx=
2
1
dt
cos t
.
Do đó :
1
4444
22 2
22
00 000
cos t
111 1cos
dx dt dt dt dt
cost cost cost cost
1x 1tgt

====
++

t
=

()
()
4
2
0
dsint
11sint
ln
4
21sint
1sint
0



==
=
+


( )
ln 2 1
.

Bi tập rèn luyện phơng pháp :

Tính các tích phân sau :

1 .
2
2
1
x 1dx

2 .
2
2
2
1
x
dx
x 1

3.
0
2
1
x 2x 2dx

++

4.
1
2
2
0
dx
1x4x3++

5 .
1
2
2
dx
112xx


+

6 .
1
2
0
xdx
x x1+




Chú ý :
Khi đứng trớc một bi toán tích phân, không phải bi toán no cũng xuất hiện nhân tử để chúng ta sử dụng

phơng pháp đổi biến số . Có nhiều bi toán phải qua 1 hay nhiều phép biến đổi mới xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ (
sẽ nói đến ở phần
Phân Loại Các dạng Toán
)



Phơng pháp tích phân từng phần .


Nếu u(x) v v(x) l hai hm số có đạo hm liên tục trên đoạn [a; b] thì :

() () () ()
()
() ()

bb
aa
b
uxv'xdx=ux.vx - vxu'xdx
a

hay

() () ()
()
()

bb
aa

b
uxdv=ux.vx - vxdu
a



VD1.
Tính
2
0
x cosxdx



Đặt

=
, ta có :
ux
dv cos xdx
=


du dx
vsinx
=


=

12
2007
bài giảng tích phân

Phạm Kim Chung






Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

0974.337.449
___________________________


Tháng 12 năm 2007 ___________________


T
rang

6

()
22
00
x cos xdx x sin x sin xdx cosx 1

22
22
00



= =+ =


Nhận xét
: Một câu hỏi đặt ra l đặt có đợc không ?
ucosx
dv xdx
=


=

Ta hãy thử :
2
22
2
00
x1
x cos xdx cosx x sin xdx
2
22
0

=+



, rõ rng tích phân
2
2
0
x sin xdx


còn phức tạp hơn tích
phân cần tính . Vậy việc lựa chọn
u
v
dv
quyết định rất lớn trong việc sử dụng phơng pháp tích phân từng phần . Ta
hãy xét một VD nữa để đi tìm câu trả lời vừa ý nhất !

VD2.
Tính
2
5
1
ln x
dx
x

Ta thử đặt :
5
1
u
x
dv ln xdx

=



=

rõ rng để tính v= l một việc khó khăn !
ln xdx


Giải .
Đặt
5
ulnx
1
dv dx
x
=



=

ta có :
54
1
du
x
11
vdx
x4x

=




==




Do đó :
22
545 4
11
22
ln x ln x 1 dx ln2 1 1 15 ln2
dx
11
x 4x 4 x 64 4 4x 256 64

= + = + =





Nhận xét :
Từ 2 VD trên ta có thể rút ra một nhận xét ( với những tích phân đơn giản ) : Việc lựa chọn
u
v
dv
phải thoả mãn :
1
du
đơn giản,
v
dễ tính .
2
Tích phân sau
( )
vdu

phải đơn giản hơn tích phân cần tính
( )
udv

.

Bi tập rèn luyện phơng pháp :

Tính các tích phân sau :
1 .
1
x
0
xedx

2 .
1
3x
0
xedx

3.
()
2
0
x 1cosxdx



4.
()
6
0
2xsin3xdx

5 .
1
2x
0
x edx



6 .
2
2
0
x sin xdx


7.
2
x
0
ecosxdx


8. 9. 10.

e
1
ln xdx

()

5
2
2xln x 1 dx

()
e
2
1
ln x dx


Mỗi dạng toán chứa đựng những đặc thù riêng của nó !


Phần phân loại các dạng toán


ê


Tích phân của các hm hữu tỷ


A.
Dạng : I
()
()
a0

Px

=dx
ax + b



12
2007
bài giảng tích phân

Phạm Kim Chung






Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê
0974.337.449
___________________________


Tháng 12 năm 2007 ___________________


T
rang

7

Công thức cần lu ý : I
dx ln ax b C
ax b a

= =+
+

+


Tính
I
1
x1
dx
+
=




x1

Tính
I
2
2
x5
dx

=
+



x1

Tính
I
3
3
x
dx
2x 3
=

+


Phơng pháp :
Thực hiện phép chia đa thức P(x) cho nhị thức : ax+b, đa tích phân về dạng :
I
()
Q x dx dx
ax b

=+
+

( Trong đó Q(x) l hm đa thức viết dới dạng khai triển )

B.
Dạng : I
()
()
a0

2
Px
=d

x
ax + bx + c
1.
Tam thức : có hai nghiệm phân biệt
.
()
2
fx ax bx c=++

Công thức cần lu ý : I
( )
()
()
u' x
dx ln u x C
ux
= =+

Tính
I
2
2
dx
x4
=




Cách 1.
( phơng pháp hệ số bất định )

()()
2
1
A
AB0
2AB
2
2ABx2AB
AB1
1
x4x2x2
B
2

=

+=


=+++

=
+


=




Do đó :
I
2
2
dx
x4
=


=
11
dx
2x2

-
11
dx
2x2
+

=
1x2
ln C
2x2

+
+

Cách 2.
( phơng pháp nhảy tầng lầu )

Ta có :
I
2
222
2 1 2x 2x 4 1
dx dx dx ln x 4 ln x 2 C
x4 2x4 x4 2


== =+

+



< Tổng quát >
Tính
I
22
dx
xa

=




Tính
I
2
2x
dx
9x
=




Tính

I
2
3x 2
dx
x1
+
=




Tính
I
2
2
x
dx
x5x6
=
+




Tính
I
3
2
3x
dx

x 3x 2
=
+



Phơng pháp :


Khi bậc của đa thức P(x) <2 ta sử dụng phơng pháp hệ số bất định hoặc phơng pháp nhảy
tầng lầu.

Khi bậc của đa thức P(x)

2 ta sử dụng phép chia đa thức để đa tử số về đa thức có bậc < 2 .

12
2007
bài giảng tích phân

Phạm Kim Chung






Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

0974.337.449

___________________________


Tháng 12 năm 2007 ___________________


T
rang

8

2.
Tam thức : có nghiệm kép
.
() ( )
2
2
fx ax bx c x=++=+

Công thức cần lu ý : I
( )
()
()
2
u' x
1
dx C
ux ux
= = +

Tính
I
( )
()
2
2
dx 2
11
dx C
x4x4 x2
x2

===
+


+



Tính
I
2
4x
dx
4x 4x 1
=

+

.


Đặt : 2x

1 = t
dt
dx=
2
2x t 1





= +

, lúc đó ta có :

I
22
t1 dt dt 2
2dx222lnt
ttt t
+
==+=

C+

Tính
I
2
2
x3
dx
x 4x 4

=
+




Tính
I
3
2
x
dx
x 2x 1
=
++



Phơng pháp :
Để tránh phức tạp khi biến đổi ta thờng đặt :

t
xtx

+= =

v thay vo biểu thức
trên tử số .


3.
Tam thức : vô nghiệm .
()
2
fx ax bx c=++


Tính
I
2
1
dx
x1
=
+



Đặt :
2
1

x tg dx d
cos
= =

, ta có :

I
()
22
1
dd
cos tg 1
==
+

C=+
,
với
( )
tg x =


< Tổng quát >
Tính
I
22
1
dx
xa
=

+

. HD Đặt
xatg=
2
a
dx d
cos
=

, ta có :

I
d
C
aa

==


+


Tính
I
2
2
dx
x2x2
=

++




Tính
I
2
2x 1
dx
x2x5
+
=
++




Tính
I
2
2
x
dx
x 4
=
+

Tính
I
3
2
x
dx
x 9
=
+




ê
C.
Dạng : I
()
()


32
Px
=d

xa0
ax + bx + cx + d

1.
Đa thức : có một nghiệm bội ba.

()
32
fx ax bx cx d=+++