Tài liệu Đề ôn tập giải tích pdf

Đề luyện tập số 1.
Câu 1. Tìm khai triển Taylor của
2
( , )
x y
f x y
x y
+
=
+
tại điểm (2,1) đến cấp 3.
Câu 2. Tìm cực trị của hàm
2 2
12 3z x y xy x y= + + − −
.
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
∑
∞
=
1n
n
n
v
u
với u
n
=
n
n







+
2
1
2
và v
n
=
2
2
1
n
n






+
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
1 2
1
( 1)
4 (3 1)
n n
n

n
x
n
−
∞
=
−
−
∑
Câu 5. Tính tích phân kép
2 2
1
D
I dxdy
x y
=
∫∫
+
, trong đó D là miền phẳng giới
hạn bởi
2 2
2 6 ,x x y x y x≤ + ≤ ≥
,
Câu 6. Tính tích phân
( )
( )
2
2
cos
x

C
I e xy dx y y x dy= + + +
∫
với C là chu vi tam giác ABC, A(1,1),
B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ.
Câu 7. Tính
( )= + + +
∫Ñ
C
I ydx z x dy xdz
, với C là giao của
2 2
1+ =x y
và
1z y= +
, chiều kim đồng hồ
theo hướng dương trục 0z.
Câu 8. Tính tích phân mặt loại một
( )
2 2
= +
∫∫
S
I x y dS
, trong đó S là phần mặt nón
2 2 2
z x y= +
, nằm
giữa hai mặt phẳng
0, 1z z= =

.
Đề luyện tập số 2.
Câu 1. Cho hàm
2
( , )
xy
f x y xe=
. Tính
2
(2,1)d f
.
Câu 2. Tìm gtln, gtnn của
2 2
2 2 1
( , ) ( )
x y
f x y y x e
− +
= −
trên miền
2 2
{( , ) | 4}D x y x y= + ≤
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/
)2(
2
2
1
+
∞
=

∑






+
−
nn
n
n
n
b/
1
1
3.
)2...(6.4.2
)12...(5.3.1
+
∞
=
∑
−
n
n
n
n
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
3

1
( 1) ( 3)
2 ln
n n
n
x
n n
∞
=
− −
∑
+
Câu 5. Tính tích phân kép
2 2
x y
D
I e dxdy
− −
=
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới hạn
bởi
2 2
1 4, 0, 3x y y y x≤ + ≤ ≥ ≤
,
Câu 6. Tính tích phân
( ) ( )
C
I x y dx x y dy= + + −
∫

, với C là phần đường cong
siny x x= +
, từ
(0,0)A
đến
( , )B
π π
.
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt cầu
2 2 2
z R x y= − −
nằm trong hình trụ
2 2
x y Rx+ =
.
Câu 8. Tính tích phân mặt loại hai
3 3 3
= + +
∫∫
S
I x dydz y dxdz z dxdy
, với S là biên vật thể giới hạn bởi
2 2 2 2 2
4,+ + ≤ ≥ +x y z z x y
, phía trong.
Đề luyện tập số 3.
135
Câu 1. Cho hàm
( , ) (2 )ln
x

f x y x y
y
= +
. Tính
2
(1,1)d f
Câu 2. Tìm cực trị của hàm số z = xy +
x
3
+
y
9
với x > 0, y > 0
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
1
1 4 7 (3 2)
(2 1)!!
n
n
n
∞
=
× × −
∑
−
L
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
1
!( 4)
n

n
n
n x
n
∞
=
−
∑
Câu 5. Tính tích phân kép
( 2)
D
I x dxdy= +
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới hạn
bởi
2 2
1, 0
9 4
x y
y+ ≤ ≥
Câu 6. Tính tích phân
( ) ( )
2 3 2
C
I x y dx x y dy= + + +
∫Ñ
, trong đó C là biên của miền phẳng giới hạn
bởi
2
2 ,y x y x= − = −

, chiều kim đồng hồ.
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt
2 2
z x y= +
nằm trong hình cầu
2 2 2
2x y z z+ + =
.
Câu 8. Tính
2=
∫∫
S
I xdS
, với S là phần mặt trụ
2 2
4+ =x y
nằm giữa hai mặt phẳng
1, 4z z= =
.
Đề luyện tập số 4.
Câu 1. Cho hàm
2 2
( , ) 4 sin ( )f x y y x y= + −
. Tính
2
(0,0)d f
Câu 2. Tìm cực trị của hàm
3 2
12 8 .z x y x y= + −
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1
2 5 8 (3 1)
1 5 9 (4 3)
n
n
n
∞
=
× × −
∑
× × −
L
L
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
3
1
( 1) ( 1)
2 ( 1)ln( 1)
n n
n
n
x
n n
∞
=
− +
∑
+ +
Câu 5. Tính tích phân
)2222

ln(. yxyx
D
++
∫∫
dxdy với D là miền 1
≤
x
2
+y
2
≤
e
2
Câu 6. Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-ye
y
. Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 và biểu thức
h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(y) vừa tìm, tính tích
phân
[ ]
∫
+
L
dyyxQyhdxyxPyh ),()(),()(
trong đó L là đường cong có phương trình: 4x
2
+9y
2
=36,
chiều ngược kịm đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2).
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt

2 2
2z x y+ + =
nằm trong hình paraboloid
2 2
z x y= +
.
Câu 8. Tính
2 2 2
= + +
∫∫
S
I x dydz y dxdz z dxdy
, với S là nửa dưới mặt cầu
2 2 2
2+ + =x y z z
, phía trên.
Đề luyện tập số 5.
Câu 1. Tính
2
f
x y
∂
∂ ∂
, với
3
( ) sin ;
2

= = +



= +


x
f f u u u
u xy e
Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện:
2 2 2 2
( , ) 2 12 ; 4 25f x y x xy y x y= + + + =
136
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
3
3
1
2
2
1
n
n
n
n
n
∞
=
 
+
∑
 ÷
−

 
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi:
)1ln()1(
)5(2)1(
11
1
++
−−
++
∞
=
∑
nn
x
nnn
n
Câu 5. Tính tích phân
(
)
dxdyyxarctg
D
∫∫
+
22
với D là hình tròn: x
2
+y
2

≤

3
Câu 6. Chứng tỏ tích phân
[ ]
(1 ) (1 )
x y
C
I e x y dx x y dy
−
= + + + − −
∫
không phụ thuộc đường đi.
Tính tích phân I với C là phần ellipse
2 2
1
9 4
x y
+ =
từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ.
Câu 7. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi
2
2 , 1, 0, 3y x y z z x= − = = =
, lấy phần
0.z
≥
Câu 8. Tính
( )
2
2 3= + + +
∫∫
S

I xdydz y z dxdz z dxdy
, với S là phần mặt phẳng
4+ + =x y z
nằm trong
hình trụ
2 2
2x y y+ =
, phía trên.
Đề luyện tập số 6.
Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y) =
32
3
yx
e
. Tính dz(1,1) và
)1,1(
2
yx
z
∂∂
∂
Câu 2. Khảo sát cực trị hàm số z= x
3
+ y
3
+ 3x
2
- 3xy +3x-3y +1
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
2

1
1 4 9
(4 3)!!
n
n
n
∞
=
× ×
∑
−
L
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
n
n
n
nn
x
n
)1(
1.4
3.)1(
0
3
2
1
−
+
−
∑

∞
=
+
+
Câu 5. Tính tích phân kép
2 2
4
D
I x y dxdy= − −
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
2 2
1,x y y x+ = ≤
.
Câu 6. Tính tích phân
2 2
( ) ( )
C
I x y x y dx y x xy dy= + − + − −
∫
, với C là nửa bên phải của đường
tròn
2 2
4 ,x y y+ =
chiều kim đồng hồ.
Câu 7. Tính tích phân đường loại một
2 2
= +
∫∫
C

I x y dl
, với C là nửa trên đường tròn
2 2
2+ =x y y
.
Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính
( ) (2 )= + + − +
∫Ñ
C
I x y dx x z dy ydz
, với C là giao của
2 2 2
4+ + =x y z
và
0x y z+ + =
, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.
Đề luyện tập số 7.
Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x
2
- y
2
). Tính dz(
)1,2
và
2
2
x
z
∂
∂

(
)1,2
Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện:
2 2
( , ) 1 4 8 ; 8 8f x y x y x y= − − − =
.
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
1
2 !
n
n
n
n
n
∞
=
∑
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
( )( )
∑
∞
=
+
+
++
0
62
1.5
12
n

n
n
n
xn
137
Câu 5. Tính tích phân
∫∫
++
0
22
3 yx
dxdy
với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường x
2
+y
2
=
1(x, y
≥
0), x
2
+y
2
=33 (x, y
0
≥
), y=x, y = x
3
.
Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= 2ye

xy
+ e
x
α
cosy, Q(x,y)= 2xe
xy
- e
x
α
siny trong đó
α
là hằng số. Tìm
α
để
biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với
α
vừa tìm được, tính tích phân
đường
dyxyxQdxyyx ]),([]),[(
33
++−
∫
γ
trong đó (
)
γ
là đường tròn x
2
+y
2

= 2x lấy theo chiều
dương (ngược chiều kim đồng hồ).
Câu 7. Tính tích phân mặt loại một
2
=
∫∫
S
I x dS
, với S là nửa trên mặt
2 2 2
4+ + =x y z
Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính
2 2 2
(3 ) (3 ) (3 )= − + − + −
∫Ñ
C
I x y dx y z dy z x dz
, với C là giao của
2 2
= +z x y
và
2 2z y= −
, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.
Đề luyện tập số 8.
Câu 1. Tìm
' '
,
x y
z z
của hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình

3 2
lnx y yz z+ + =
Câu 2. Tìm gtln, gtnn của
2 2 2
( , ) 4f x y x y x y= + + +
trên miền
{( , ) | | | 1,| | 1}D x y x y= ≤ ≤
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/
)1(
2
12
2
−
∞
=
∑






+
nn
n
n
n
b/
2
1

2
5.
!)12...(5.3.1
...9.4.1
+
∞
=
∑
−
n
n
nn
n
Câu 4. Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa
1 4 2
3
1
( 1) ( 2)
3 1
n n
n
n
x
n n
∞
+
=
− −
+ +
∑

Câu 5. Tính tích phân kép
∫∫
−−
D
yx
22
9
dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi nữa đường
tròn x
2
+ y
2
= 9, y
0
≥
và các đường thẳng y = x, y = -x
Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= (1+x+y)e
-y
,
( , ) (1 )
y
Q x y x y e
−
= − −
. Tìm

hàm h(x) để biểu thức h(x)P(x,
y)dx + h(x)Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(x) vừa tìm, tính tích phân
[ ]
∫

+
L
dyyxQxhdxyxPxh ),()(),()(
trong đó L là nữa đường tròn x
2
+ y
2
= 9 nằm bên phải trục tung,
chiều đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3).
Câu 7. Tính
2=
∫∫∫
V
I zdxdydz
, với V giới hạn bởi
2 2 2
2+ + ≤x y z z
và
2 2
1+ + =z x y
.
Câu 8. Tính tích phân mặt
( ) ( )
( 2 ) 2 2= + + + + +
∫∫
S
I x y dydz y z dxdz z x dxdy
, với S là phần mặt
paraboloid
2 2

= +z x y
, bị cắt bởi
2 2z x
= −
, phía dưới.
Đề luyện tập số 9.
Câu 1. Tìm miền xác định và miền giá trị của
2 2
1
, if ( , ) (0,0)
( , )
3, if ( , ) (0,0)
x y
e x y
f x y
x y
−
+


≠
=


− =

Câu 2. Tìm cực trị của hàm f(x, y)= x
2
- 2xy+ 2y
2

- 2x+ 2y +4
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của
( )
∑
∞
=
+
1n
nn
vu
với
)14(
14
14
+






+
−
=
nn
n
n
n
u
,

!).13...(10.7.4
).2...(6.4.2
nn
nn
v
n
n
+
=
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
∑
∞
=
+
+
+
0
4
32
1.4
)3(
n
n
n
n
x
138
Câu 5. Tính J=
∫∫
D

dxdy
với D là miền phẳng giới hạn bởi 2 đường tròn x
2
+y
2
= 2x, x
2
+y
2
= 6x và các
đường thẳng y = x, y = 0.
Câu 6. Tìm hàm h(x
2
- y
2
), h(1) = 1 để tích phân đường sau đây không phụ thuộc đường đi
I=
][
dxyxydyyxxyxh
AB
)()()(
222222
+−+−
∫
với AB là cung không cắt đường x
2
= y
2
.
Câu 7. Tính

( )
V
I x yz dxdydz= +
∫∫∫
, với V giới hạn bởi
2 2
z x y= +
và
2 2
2z x y+ + =
.
Câu 8. Tính tích phân mặt
( ) ( )
2 3 2 4= + + + +
∫∫
S
I xdydz y z dxdz z y dxdy
, với S là phần mặt
paraboloid
2 2 2
2+ + =x y z x
, phần
0z
≤
, phía dưới.
Đề luyện tập số 10.
Câu 1. Tính
//
(0,0)
xy

f

2 2
, if ( , ) (0,0)
( , )
0, if ( , ) (0,0)

≠

=
+


=

xy
x y
f x y
x y
x y
Câu 2. Tìm cực trị của hàm
4 4 2 2
2 , 0.z x y x y xy x= + − − − ≠
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
2
1
1
2 1
n
n

n
n
∞
=
+
 
∑
 ÷
+
 
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
1
( 4)
2
n
n
x
n n
∞
=
−
∑
+
Câu 5. Tính tích phân kép
( | |)
D
I x y dxdy= +
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới
hạn bởi

2 2
4, 0x y x+ ≤ ≥
Câu 6. Tính tích phân
(2,3)
2
2 2 2 2
(1,1)
1x y y
I dx dy
x x
x y x y
   
= − + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ +
   
∫
, theo đường cong C
không qua gốc O và không cắt trục tung.
Câu 7.
2 2 2
1
V
I dxdydz
x y z
=
∫∫∫
+ +
, với V được giới hạn bởi

2 2 2
4+ + ≤x y z
và
2 2
≥ +z x y
Câu 8. Tính tích phân mặt
( ) ( ) ( )
S
I x z dydz y x dxdz z y dxdy= + + + + +
∫∫
, với S là phần mặt
paraboloid
2 2
z x y= +
nằm dưới mặt
2x z+ =
, phía trên.
139