DE VA HDC CHINH THUC TOAN CHUYEN 2015

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 PHỔ THÔNGNĂM 2015

TỈNH QUẢNG NINH

Môn thi: TOÁN (chuyên)
(Dành cho thí sinh thi vào trường THPT chuyên Hạ Long)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi này có 01 trang)
Câu 1. (3,5 điểm)
1. Giải các phương trình:

2. Trên mặt phẳng tọa độ

, đồ thị hai hàm số

và

cắt nhau tại hai điểm có tọa độ lần lượt là
thức

theo tham số

và

với

. Tính biểu

và tìm giá trị lớn nhất của .

Câu 2.(1,5 điểm)
Cho

là nghiệm của hệ phương trình:

với

.

Tính giá trị biểu thức
Câu 3.(1,0 điểm)
Cho ba số thực dương

thỏa mãn

. Chứng minh bất đẳng thức:

Câu 4.(3,0 điểm)
Cho đường tròn đường kính
). Gọi là giao điểm của hai đoạn thẳng
đường tròn

tại hai điểm

cắt các đường thẳng

và

(kí hiệu
và

) có dây cung
. Đường tròn tâm

song song với
bán kính

và , ( và cùng phía đối với đường thẳng

(

(kí hiệu

) cắt

). Đường thẳng

lần lượttại và .

1. Chứng minh
2. Chứng minh
3. Gọi

là tiếp tuyến của đường tròn

là giao điểm của hai đường thẳng

góc với đường thẳng

.
và

. Chứng minh đường thẳng

.

Câu 5.(1,0 điểm)
Tìm số nguyên tố

sao cho

là số chính phương.

vuông


............................ Hết ...........................

Họ và tên thí sinh: ................................................................... Số báo danh: ....................
Chữ kí của giám thị 1:.................................... Chữ kí của giám thị 2:...........................................

2


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NINH

HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH
LỚP 10 PHỔ THÔNG NĂM 2015
Môn thi: TOÁN (chuyên)
(Dành cho thí sinh thi vào trường THPT chuyên Hạ Long)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Hướng dẫn này có 02 trang)

Câu

Sơ lược lời giải

Điểm
1,0

1.a)Giải phương trình:
•
•

0,25

Điều kiện:

0,75
Biến đổi:

*Trong biến đổi trên, nếu học sinhtính toán không chính xác nhưng phát hiện được:
thì cho tối đa đến 0,5 điểm.

1.b) Giải phương trình:

Câu 1
(3,5
điểm)

•

Biến đổi về dạng:

1,0
0,25

•

Đặt

0,75

Phương trình trở thành:
Với

, giải phương trình

2.Trên mặt phẳng tọa độ

tìm được

, đồ thị hai hàm số

nhau tại hai điểm có tọa độ lần lượt là
theo tham số

và
và

cắt
với

. Tính biểu thức

và tìm giá trị lớn nhất của .

•

Viết được phương trình hoành độ giao điểm:

•

Tính được hai nghiệm của phương trình là:

•

Viết được

.(Phương trình có

)

Câu 2

(1,5
điểm)

Đánh giá

Cho

0,25
0,5
0,5
0,25

Tính
•

1,5

. Giá trị lớn nhất của

là nghiệm của hệ phương trình:

với

tại

.

1,5

Tính giá trị biểu thức

•

Trừ vế với vế hai phương trình đầu ta đi đến:

•

Trường hợp 1.
o

0,25
0,5

Giải hệ:
Với

, ta có:

0,25
0,5
3


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NINH

HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH
LỚP 10 PHỔ THÔNG NĂM 2015
Môn thi: TOÁN (chuyên)
(Dành cho thí sinh thi vào trường THPT chuyên Hạ Long)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Với

(Hướng dẫn này có 02 trang)
, ta có:

o
•

Trường hợp 2.

, hay

Từ phương trình đầu suy ra:
Từ phương trình cuối suy ra:
Nhận thấy,

. Vậy không tồn tại

Cho ba số thực dương
Câu 3
(1,0
điểm)

•

thỏa mãn

1,0

. Chứng minh:

Ta có

. Dấu bằng xảy ra khi

0,5

.

0,5
•

Tương tự,

. Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được điều phải

chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi
Câu 4
(3,0
điểm)

.

Cho đường tròn đường kính

(kí hiệu

là giao điểm của hai đoạn thẳng
đường tròn

tại hai điểm

cắt các đường thẳng

và

.
) có dây cung
và

. Đường tròn tâm

bán kính

và , ( và cùng phía đối với đường thẳng
lần lượt tại và .Gọi

1.Chứng minh

(

). Gọi

(kí hiệu

) cắt

). Đường thẳng

là giao điểm của hai đường thẳng

và

.
0,75

•

Chứng minh được

•

Suy ra được

2.Chứng minh

song song với

là tiếp tuyến của đường tròn

0,5
0,25

.

1,0
4

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NINH

HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH
LỚP 10 PHỔ THÔNG NĂM 2015
Môn thi: TOÁN (chuyên)
(Dành cho thí sinh thi vào trường THPT chuyên Hạ Long)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
•

Chứng minh được

•

Chứng minh được

(Hướng dẫn này có 02 trang)

. Từ đây có điều phải chứng minh.

3. Chứng minh đường thẳng

Câu 5
(1,0
điểm)

vuông góc với đường thẳng

•

Chứng minh

cân (

•

Suy ra được

cân tại ;

•

Dẫn đến tứ giác
chứng minh.

Tìm số nguyên tố
•

Đặt

•

Biến đổi thành:

•

Đặt

0,5

0,5

. Suy ra

1,25
0,5
0,5
0,25

).
.

nội tiếp (

). Từ đây suy được điều phải

sao cho

1,0

là số chính phương.
, với

0,25
0,25
0,5

.
(1). Chứng minh được

,

chẵn.(1) trở thành
hay

hay

. Khi đó,

.

Kiểm tra thấy
ứng với
.
*Bài toán có thể làm bằng cách khác, với biến đổi sau:
.(Chú ý,

)

1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết,
lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới cho điểm tối đa.
2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết.
3. Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng không dưới 0,25 điểm và phải thống nhất trong cả tổ
chấm. Điểm toàn bài là tổng số điểm toàn bài đã chấm, không làm tròn.
............................. Hết ...........................

5