Tổng hợp bài tập đạo hàm

TỔNG HỢP BÀI TẬP ĐẠO HÀM
Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = x 2 − 2 x + 1 tại x0 = 1 bằng định nghĩa?
2
Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = x − x tại x0 = 0 bằng định nghĩa?
2
Câu 3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = 2 x − 4 x + 1 tại x0 = 1 .

Câu 4: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số f ( x ) =

4x − 7
tại x0 = −2 .
3− x

Câu 5: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số f ( x ) =

x2 + x + 1
tại x0 = 3 .
x +1

Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số y = f ( x ) = x 3 trên khoảng ( −∞, +∞ ) bằng định nghĩa.
Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số y = f ( x ) = x 3 + 5 x 2 − 2 x + 3 trên khoảng ( 0, +∞ ) bằng định
nghĩa.
Câu 8: Tính đạo hàm y =

x−1
.
2x + 1

Câu 9: Tính đạo hàm y = x − 5 + 4 − x 2
Câu 10: Cho hàm số y= 3 +

5
x

chứng minh rằng xy’ + y = 3

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số y = x 4 − x 2
2
Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số f ( t ) = 1 − t + 6t


ĐÁP ÁN
Câu 1:
2
Hàm số f ( x ) = x − 2 x + 1 xác định trong một lân cận của x0 = 1 . Ta có:

f (1) = 0

x 2 − 2 x + 1) − 0
(
f ( x ) − f (1)
( x − 1) 2
lim
= lim
= lim
= lim( x − 1) = 0
x →1
x →1
x →1
x →1
x −1

x −1
x −1

Vậy f ' (1) = 0 .
Câu 2:
Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 = 0 . Ta có:
f (0) = 0
2
∆y = f ( 0 + ∆x ) − f ( 0 ) = ( ∆x ) − ( ∆x )  − 0=∆x.(∆x − 1)



∆y ∆x.( ∆x − 1)
=
= ∆x − 1
∆x
∆x
∆y
= lim ( ∆x − 1) = −1
∆x → 0 ∆x
∆x → 0
lim

Vậy f '(0) = −1 .
Câu 3:
2
Hàm số f ( x ) = 2 x − 4 x + 1 xác định trong một lân cận của x0 = 1 . Ta có:

f (1) = −1

2 x 2 − 4 x + 1) − (−1)
(
f ( x) − f (1)
2( x − 1) 2
lim
= lim
= lim
= lim  2 ( x − 1)  = 0
x →1
x →1
x →1
x →1
x −1
x −1
x −1

Vậy f '(1) = 0 .
Câu 4:
Hàm số f ( x ) =

4x − 7
xác định trong một lân cận của x0 = −2 . Ta có:
3− x


f (−2) = −3
4x − 7
4 x − 7 + 3(3 − x)
− (−3)
f ( x ) − f (−2)

3− x
lim
= lim 3 − x
= lim
x →−2
x →−2
x →−2
x+2
x+2
x+2
x+2
1
1
= lim
= lim
=
x →−2 ( x + 2)(3 − x)
x →−2 3 − x
5

Vậy f '(−2) =

1
5

Câu 5:
Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 = 3 . Ta có:
f (3) =

13

4

( 3 + ∆x ) + ( 3 + ∆x ) + 1 − 13 = ( ∆x ) + 7∆x + 13 − 13 = 4 ( ∆x ) + 15∆x
f ( 3 + ∆x ) − f ( 3) =
4
4 + ∆x
4
4∆x + 16
( 3 + ∆x ) + 1
2

∆y =

2

4 ( ∆x ) + 15∆x
2
4 ( ∆x ) + 15∆x
∆y
4
∆
x
+
16
=
=
∆x
∆x
∆x.(4∆x + 16)
2

 4 ( ∆x ) 2 + 15∆x 
 ∆x. ( 4∆x + 15 ) 
∆y
4∆x + 15 15
lim
= lim 
= lim
=
 = lim 

∆x → 0 ∆x
∆x → 0 ∆x.(5∆x + 20)

 ∆x→0  ∆x.(4∆x + 16)  ∆x→ 0 4 ∆x + 16 16

Vậy f '(3) =

15
.
16

Câu 6:
Với mọi x thuộc khoảng ( −∞, +∞ ) , ta có:
3
2
∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ( x + ∆x ) − x 3 = ∆x. 3x 2 + 3x.∆x + ( ∆x ) 


2

 2

∆y ∆x. 3 x + 3 x.∆x + ( ∆x ) 
2
=
= 3 x 2 + 3 x.∆x + ( ∆x )
∆x
∆x

∆y
2
= lim 3 x 2 + 3 x.∆x + ( ∆x )  = 3 x 2


∆x → 0 ∆x
∆x → 0
lim

Vậy hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên khoảng ( −∞, +∞ ) và f '( x) = 3 x 2 .
Câu 7:
Với mọi x thuộc khoảng ( 0, +∞ ) , ta có:

2


∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ( x + ∆x ) + 5 ( x + ∆x ) − 2 ( x + ∆x ) + 3 − ( x 3 + 5 x 2 − 2 x + 3 )


3

2

= 3 x 2 .∆x + 3 x. ( ∆x ) + ( ∆x ) + 10 x.∆x + 5 ( ∆x ) − 2∆x
2

3

2

2
= ∆x. 3 x 2 + 3 x.∆x + ( ∆x ) + 10 x + 5∆x − 2 



2
 2

∆y ∆x. 3x + 3 x.∆x + ( ∆x ) + 10 x + 5∆x − 2 
2
=
= 3 x 2 + 3 x.∆x + ( ∆x ) + 10 x + 5∆x − 2
∆x
∆x

∆y
2
= lim 3 x 2 + 3 x.∆x + ( ∆x ) + 10 x + 5∆x − 2  = 3 x 2 + 10 x − 2

∆x → 0 ∆ x
∆x → 0 

lim

Vậy hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên khoảng ( 0, +∞ ) và f '( x) = 3x 2 + 10 x − 2 .
Câu 8:
y'=

2x + 1 − 2(x − 1)

( 2x + 1)

2

=

3

( 2x + 1)

2

Câu 9:
y ' = 1−

2x
2 4 − x2

=

4 − x2 - x
4 − x2

Câu 10:
y'= −

5
x2

xy '+ y = −

5x
5
+ 3+ = 3
2
x
x

Câu 11:
y ' = 4 − x2 −

x2
4 − x2

=

4 − 2x2
4 − x2

Câu 12:
2
2

'
Nếu t ∈ (1; +∞) thì f ( t ) = t − 1 + 6t . f ( t ) = t − 1 + 6t , f ( t ) = 1 + 12t
2
'
Nếu t ∈ (−∞;1) thì f ( t ) = 1 − t + 6t , f ( t ) = −1 + 12t