Bài tập chương 1 VEC TƠ

CHƯƠNG I: VECTƠ
01648382732

GV: Nguyễn Đoan Trang

CHƯƠNG I : VECTO
DẠNG 1: KHÁI NIỆM VÉCTƠ
r
Bài 1: Hãy tính số vecto khác 0 mà các điểm đầu và điểm cuối được lấy từ các điểm phân biệt
đã cho trong các trường hợp sau:
a) Hai điểm A, B
b) Ba điểm A, B, C
c) Bốn điểm A, B, C, D
d) Năm điểm A, B, C, D, E

Bài 2: Cho hình bành hành ABCD
uuur uuur có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
a) Bằng vectơ AB ; OB
uuur
b) Có độ dài bằng OB

Bài 3: Cho
tam giác ABC. Ba điểm M,N và P lần lượt là trung điểm AB, AC, BC. CMR:
uuuur uuur uuur uuur
MN = BP ; MA = PN .
Bài 4: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
Chứng minh : MN = QP ; NP = MQ .
Bài 5*: Cho tam giác ABC có trực tâm H và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B’ là
điểm đối xứng của B qua O . Chứng minh:
uuuur uuur
uuur

uuur
a) AH = B' C và AB ' = HC
b) GH = −2GO
Bài 6*: Cho hình bình hành ABCD, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và
CD.uuuCác
đường thẳng AN và CM cắt uuur
BD lần
uuulượt
r tại E và F. CMR:
r uuur uuur
a) DE = EF = FB
b) MF = EN
Bài 7: Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a. Tính độ dài các vectơ:
uuur uuur
a) BA − BC , CA + CB. AB + 2 AC

uuuur uuuur uuuur
b) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tính HA , HB , HC
·
Bài 8: Cho hình thoi ABCD cạnh a. BAD
= 600 , gọi O là giao điểm của 2 đường chéo.

Tính:

uuur uuur

uuur uuur

uuur uuur

uuur

uuur uuur

uuur

uuur

| AB + AD | ; BA − BC ; OB − DC ; 2 AB + 3CD ; BD − 2 AC − 3BA
Bài 9: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính:
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AB + AC + AD AC − BD ; AB − BC − CD − DA
uur uur uur uur uur uur
Bài 10: Cho tam giác ABC đều cạnh a, trọng tâm G.Tính: AB + AC ; AB + CB ; GB + GC ;
uur uur
AB − AC .
uur uur uur uur
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a , trọng tâm G. Tính: AB + AC ; GB + GC .

Chúc các em học tập thật tốt!

1


CHƯƠNG I: VECTƠ
01648382732

GV: Nguyễn Đoan Trang

DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ – PHÂN TÍCHVEC TƠ

Bài
a)urCho
uuur 1:uuu
uuurhình
uuubình
ur hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:
MA + MC = MB + MD

Bài 2: Cho 4 điểm
bất kỳ M,N,P,Q . Chứng minhuuucác
đẳng thức sau:
uuur uuur uuuur uuuur
r uuuur uuur uuuur
PQ + NP + MN = MQ ;
NP + MN = QP + MQ ;
a)
b)
uuuur uuur uuuur uuur
MN + PQ = MQ + PN ;
c)
Bài 3: Chouuu6r điểm
B,rC,uuu
D,r E, F. Chứng minh:
uuurA,uuu
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
a) AB + DC = AC + DB

b) AD + BE + CF = AE + BF + CD

Bài 4: Cho ngũ

giác ABCDE. Chứng minh rằng:
uuur uuur uuur uuur uuur r
a)
AD + BA − BC − ED + EC = 0 ;
uuur uuur uuur uuur uuur
b)
AD + BC − EC − BD = AE
Bài 5: Cho 6 điểm M, N, P, Q, R, S. Chứng minh:
a) MN + PQ = MQ + PN . b) MP + NQ + RS = MS + NP + RQ .
Bài 6: Cho 7 điểm
A; B; C; D; E; F; G. Chứng minh rằng :
uuur uuur uuur uuur uuur
a) AB + CD + EA = CB + ED
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
b) AD + BE + CF = AE + BF + CD
uuur uuur
uuur
uuur uuur
uur uuur
c) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF
uuur uuur
r
uuur uuur
uur uuur
d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0
uuur uuur uuur uuur r
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD, có tâm O. CMR: OA + OB + OC + OD = 0 .
Bài
8: Gọi
và

lầr lượt
uuuur
uuur Muuu
r Nuuu
uuurlà trung điểm các cạnh AC và CD của tứ giác ABCD. CMR
2MN = AC + BD = BC + AD

Bài 9: Cho tam giác ABC. Vẽ bênuu
ngoài
hình bình hành ABIF ; BCPQ ; CARS
r uucác
r r
uuur
Chứng minh rằng: RF + IQ + PS = 0
Bài
uuur10:uuCho
r uu4r điểm
uuur A, B,
uuurC, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh:
2( AB + AI + JA + DA) = 3DB .

Bài 11: cho tứ giác
ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AC và BD. Gọi E là trung
uuur uuur uuur uuur r
điểm I J . CMR: EA + EB + EC + ED = 0 .
Bài 12: Cho
tam giác ABC với M, N,uuu
Prlà trung
điểm AB, BC, CA. CMR:
uuur uuur uuuur r

uuuur uuur
a) AN + BP + CM = 0 ;
b) AN = AM + AP ;
uuuur uuur uuur r
c) AM + BN + CP = 0 .
Bài 13: Cho tam giác uu
ABC,
AM
r uurcó uu
r là
r trung tuyến. I là trung điểm của AM.
a) Chứng minh: 2 IA + IB + IC = 0 .
uuur uuur uuur uur
b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA + OB + OC = 4OI .

Bài 14:uuCho
h́nh thang ABCD ( đáy lớn DC, đáy nhỏ AB) gọi E là trung điểm DB. CMR:
ur uuur uuur uuur uuur uuur
EA + EB + EC + ED = DA + BC .
Bài 15: Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường
tròn ngoại
Chứng minh:
uuurtiếp.uuur
uuur uuur uuur uuur
a) AH = 2OM
b) HA + HB + HC = 2 HO
d) CMR: G, H, O thẳng hàng

uuur uuur uuur uuur
c) OA + OB + OC = OH .

Bài 16: ( Hệ thức trung điểm) Cho 2 điểm A và B.
Chúc các em học tập thật tốt!

2


CHƯƠNG I: VECTƠ
01648382732

GV: Nguyễn Đoan Trang

uur uur

uuur

a) Cho M là trung điểm AB. CMR với điểm I bất ḱ : IA + IB = 2 IM
uuur
uuur
uur uur uur
b) Với N sao cho NA = −2 NB . CMR với I bất ḱ : IA + 2 IB = 3IN
uuur uuur
uur uur
uur
c) Với P sao cho PA = 3PB . CMR với I bất ḱ : IA − 3IB = −2 IP
Bài 17: ( Hệ thức uuu
trọng
tâm) Cho tam giác ABC có
trọng tâm G:
r uuur uuur r

uur uur uur uur
a) CMR: GA + GB + GC = 0 . Với I bất ḱ : IA + IB + IC = 3IG .
b) M thuộc đoạn AG và MG =

uuur uuur uuuur r
1
GA . CMR 2 MA + MB + MC = 0
4

c) Cho tam
giác DEF có trọng tâm là G’ CMR:
uuur uuur uuur r
+ AD + BE + CF = 0 .
+ T́m điều kiện để 2 tam giác có cùng trọng tâm.
Bài 18: ( Hệ
thức
h́nh b́nh hành) Cho h́nh b́nh hành ABCD tâm O. CMR:
uuur uuur uuur uuur r
a) OA + OB + OC + OD = 0 ;
uur uur uur uur uur
b) với I bất ḱ : IA + IB + IC + ID = 4 IO .
Bài 19: Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh:
uuur 1 uuur 2 uuur
AM =

AC .
3
Bài 20: Cho tam giác
uuur ABC.
uuur Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm

thuộc AC sao cho CN = 2 NA . K là trung điểm của MN. Chứng minh:
uuur 1 uuur 1 uuur
uuur 1 uuur 1 uuur
a) AK = AB + AC
b) KD = AB + AC .
4
6
4
3
Bài 21: Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:
uuur 1 uuur uuur
uuur 1 uuur uuur
uuuur 1 uuur uuur
a) AM = OB − OA
b) BN = OC − OB
c) MN = ( OC − OB ) .
2
2
2
Bài 22: Cho ∆ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:
uuur
uuur
uuuur 1 uuur 1 uuur
2 uuur 4 uuur
4 uuur 2 uuur
a) AB = − CM − BN
c) AC = − CM − BN
c) MN = BN − CM .
3
3

3
3
3
3
Bài 23: Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.
uuur 2 uuur 1 uuur
uuur
1 uuur uuur
a) Chứng minh: AH = AC − AB và CH = − ( AB + AC ) .
3
3
3
uuuur 1 uuur 5 uuur
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: MH = AC − AB .
6
uuur r uuur r 6
Bài 24: Cho hình bình hành ABCD, đặt AB = a , AD = b . Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng
uur uuur
r r
tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ BI , AG theo a , b .
uuur uuur
uuur uuur
Bài 25: Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ BC vaø BD theo các vectơ AB vaø AF .
uuur
Bài 26: Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ AM
uuur uuur uuur
theo các vectơ OA, OB, OC .
Bài
Cho uuu
∆ABC.

Trên
các uuu
đường
uuur 27: uuur
r uuu
r uur
r r thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
MB = 3MC , NA = 3CN , PA + PB = 0 .
uuur uuur
uuur uuur
a) Tính PM , PN theo AB, AC
b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng.
Bài 28: Cho ∆ABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
3

AB +

Chúc các em học tập thật tốt!

3


CHƯƠNG I: VECTƠ
01648382732
uuur uuur uuuur

GV: Nguyễn Đoan Trang

r
a) Chứng minh: AA1 + BB1 + CC1 = 0

uuur r uuuur r
uuur uur uuur
r r
b) Đặt BB1 = u , CC1 = v . Tính BC , CA, AB theo u vaø v .

Bài 29: Cho ∆ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC
kéo dài sao cho
5FB
uur uuu
r = 2FC.
uuur
uuur
a) Tính AI , AF theo AB vaø AC .
uuur
uur uuur
b) Gọi G là trọng tâm ∆ABC. Tính AG theo AI vaø AF .
Bài 30: Cho ∆ABC có
tâm
G.rGọi H là điểm đối xứng của G qua B.
uuurtrọnguuu
r uuu
r
a) Chứng minh: HA − 5HB + HC = 0 .
uuur r uuur r
uuur uuur
r
r
b) Đặt AG = a , AH = b . Tính AB, AC theo a vaø b .

DẠNG 3: XÁC ĐỊNH MỘT ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ

Bàiuuur
1: Cho
sao cho
uuuur3 điểm
uuur A, B, C. Tìm vị trí điểm Muuur
uuur : uuuur ur
a) MB + MC = AB
b) 2MA + MB + MC = O
uuur uuur uuuur ur
uuur uuur uuuur ur
c) MA + 2 MB + MC = O
d) MA + MB + 2 MC = O
uuur uuur uuuur ur
uuur uuur uuuur ur
e) MA + MB − MC = O
f) MA + 2 MB − MC = O
uuur uuur uuur r

Bài 2: Cho ∆ABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA − MB + MC = 0 .
Bài 3: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I . M là điểm tuỳ ý không nằm trên đường thẳng AB .
Trên MI kéo dài, lấy uuu
1 điểm
r uurN sao
uuurcho IN = MI.
a) Chứng minh: BN − BA = MB .
uuur uur uuur uuur uuur uuur
b) Tìm các điểm D, C sao cho: NA + NI = ND ; NM − BN = NC .
Bài 4: Cho hình bình hànhuuu
ABCD.
r uuur uuur uuur

a) Chứng minh rằng: AB + AC + AD = 2 AC .
uuur uuur uuur uuur
b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3 AM = AB + AC + AD .
Bài 5: Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
uuuur 1 uuur uuur
a) Chứng minh: MN = ( AB + DC ) .
2
uuur uuur uuur uuur r
b) Xác định điểm O sao cho: OA + OB + OC + OD = 0 .
Bài 6: Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M và N lần lượtuu
làr trung
uur điểm
uur của
uuur AB,uuCD,
ur O là trung điểm
của MN. Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta có: SA + SB + SC + SD = 4SO .
Bài 7: Cho
L thoả các đẳng thức sau:
uur ∆ABC.
uur Hãy
r xác định các điểm I, J, K,uu
r uur uur uur
a) 2 IB + 3IC = 0
b) 2 JA + JC − JB = CA
uuur uuur uuur uuur
uur uur uuur r
c) KA + KB + KC = 2BC
d) 3LA − LB + 2 LC = 0 .
Bài 8: Cho
uur ∆ABC.

uur Hãy
uuur xác định các điểm I, J, K,
uurL thoả
uur các
uurđẳng
r thức sau:
a) 2 IA − 3IB = 3BC
b) JA + JB + 2JC = 0
uuur uuur uuur uuur
uur uuur uuur uuur
c) KA + KB − KC = BC
d) LA − 2 LC = AB − 2 AC .
Bài 9: Cho ∆ABC. Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau:
Chúc các em học tập thật tốt!

4


CHƯƠNG I: VECTƠ
01648382732
uur
uur uuur

GV: Nguyễn Đoan Trang

uur uuur uuur uuur uuur
a) IA + IB − IC = BC
b) FA + FB + FC = AB + AC
uuur uuur uuur r
uuuur uur uuur r

c) 3KA + KB + KC = 0
d) 3LA − 2 LB + LC = 0 .
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các đẳng thức
sau: uur uur uur
uur
uur uuur uuur uuur
a) IA + IB + IC = 4 ID
b) 2 FA + 2 FB = 3FC − FD
uuur uuur uuur uuur r
c) 4 KA + 3KB + 2 KC + KD = 0 .
Bài 11: Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý.
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD = MC + AB , ME = MA + BC ,
uuur uuur uur
minh D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
MF = MB + CA . Chứng
uuur uuur uuur
uuuur uuur uuur
b) So sánh 2 véc tơ MA + MB + MC vaø MD + ME + MF .
Bài 12: Cho G là trọng tâm của tứ giác ABCD. A′, B′, C′, D′ lần lượt là trọng tâm của các tam
giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh:
a) G là điểm chung của các đoạn thẳng AA′, BB′, CC′, DD′.
b) G cũng là trọng tâm của của tứ giác A′B′C′D′.
Bài 13: Cho tứ giác ABCD.
uuur Trong mỗi trường hợp sau đây hãy xác định điểm I và số k sao cho
r
các vectơ v đều bằng k .MI với mọi điểm M:
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
a) vr = MA + MB + 2 MC

b) vr = MA − MB − 2 MC
uuur uuur uuur uuuur
uuur uuur uuur uuuur
c) vr = MA + MB + MC + MD
d) vr = 2 MA + 2 MB + MC + 3MD .

DẠNG 4: CHÚNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG – HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU
• Đểuuu
chứng
minh
r uuu
r ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn đẳng thức
AB = k AC , với k ≠ 0.
• Đểuuur
chứng
ta
minh chúng thoả mãn đẳng thức
uuurminh hai điểm M, N trùng nhauuuuu
r chứng
r
OM = ON , với O là một điểm nào đó hoặc MN = 0 .
uuur uuur uuur r
Bài 1: Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : OA + 2OB − 3OC = 0 . Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng
hàng.
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho:
uuur 1 uuur uuur 1 uuur
BH = BC , BK = BD . Chứng minh: A, K, H thẳng hàng.
5 uuur uuur6 uuur uuur uuur uuur
HD: BH = AH − AB; BK = AK − AB .

Bài 3. Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC.
a) Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng.
uuur 1 uuuur uuur 1 uuur
3
3

b) Gọi E, F thoả mãn : ME = MN , BF = BC . CMR : A, E, F thẳng hàng.
Bài 4. Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC.
a) Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I thẳng
hàng.
b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J,
N thẳng hàng.
c) Lấy điểm K là trung điểm EF. Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng.

Chúc các em học tập thật tốt!

5


CHƯƠNG I: VECTƠ
01648382732

GV: Nguyễn Đoan Trang

uuur

uuuur ur uuur

uuur

Bài 5. Cho tam giác ABC và M, N, P là cỏc điểm thoả mãn : MB − 3MC = O , AN = 3NC ,
uuur uuur 1 uuur uuuur 1 uuur 1 uuur
uuur uuur ur
PB + PA = O . CMR : M, N, P thẳng hàng. ( MP = CB + CA, MN = CB + CA ).
2
2
4
uuur uuur uuuur −1 uuur uuur uuur ur
Bài 6: Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mãn LB = 2 LC, MC = MA , NB + NA = O .
2

CM : L, M, N thẳng hàng.
uur uur ur
Bài 7: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. I, J thoả mãn : 2 IA + 3 IC = O ,
uur uur uur ur
2 JA + 5 JB + 3 JC = O .
a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm AB và BC.
b) CMR J là trung điểm BI.
uuur uuur
c) Gọi E là điểm thuộc AB và thoả mãn AE = k AB . Xác định k để C, E, J thẳng hàng.
uur uur uur uur ur
Bài 8. Cho tam giác ABC. I, J thoả mãn : IA = 2 IB, 3 JA + 2 JC =O . CMR : Đường thẳng IJ
đi qua G.
Bài 9: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM và K là một
điểm trên cạnh AC sao cho AK =

1
AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
3

Bài 10: Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N ủửụùc xác ủũnh bởi các heọ thửực
BC + MA = O; AB − NA − 3 AC = O . Chứng minh MN // AC.
uur uur uur
uuur
1 uur uuur

Bài 11: Cho ∆ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: IB = 2 IC , JC = − JA , KA = − KB .
2
uur uuur 4 uuur
uur uur
uuur
uuur
a) Tính IJ , IK theo AB vaø AC . (HD: IJ = AB − AC )
3
b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm ∆AIB).
Bài 12: Cho
giácuuu
ABC.
Trên
các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P
uuur tamuuur
r uuu
r uur
uuur r
sao cho MB = 3MC , NA = 3CN , PA + PB = 0 .
uuur uuur
uuur uuur
a) Tính PM , PN theo AB, AC .
b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Bài 13: Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho AD

1
1
= AF, AB = AE. Chứng minh:
2
2
a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng.
b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành. uur uur
uur uur uur r
r
Bài 14: Cho ∆ABC. Hai điểm I, J được xác định bởi: IA + 3IC = 0 ,
JA + 2 JB + 3JC = 0 .
Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng.
uuur uuur r uuur uuur r
Bài 15: Cho ∆ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi: 3MA + 4 MB = 0 , NB − 3NC = 0 . Chứng
minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng
của ∆ABC.
uuur tâm
uuur
uuur uuur uur uuur r
Bài 16: Cho ∆ABC. Lấy các điểm M N, P: MB − 2 MC = NA + 2 NC = PA + PB = 0
uuur uuur
uuur uuur
a) Tính PM , PN theo AB vaø AC .
b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng.
Bài 17: Cho ∆ABC. Về phía ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng
minh các tam giác RIP và JQS có cùng trọng tâm.
Bài 18: Cho tam giác ABC, A′ là điểm đối xứng của A qua B, B′ là điểm đối xứng của B qua C,
C′ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ có chung trọng tâm.
Chúc các em học tập thật tốt!

6


CHƯƠNG I: VECTƠ
01648382732

GV: Nguyễn Đoan Trang

uuur uuur r uuur uuur r
Bài 19: Cho ∆ABC. Gọi A′, B′, C′ là các điểm định bởi: 2 A′B + 3 A′C = 0 , 2 B′C + 3B′A = 0 ,
uuur uuur r
2C ′A + 3C ′B = 0 . Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ có cùng trọng tâm.
Bài 20: Trên các cạnh AB, BC, CA của ∆ABC lấy các điểm A′, B′, C′ sao cho:
AA′ BB′ CC ′
=
=
AB BC AC
Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ có chung trọng tâm.
Bài 21: Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý. Gọi A′, B′, C′ lần lượt là điểm đối xứng của M
qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB.
a) Chứng minh ba đường thẳng AA′, BB′, CC′ đồng qui tại một điểm N.
b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm Guuu
của
r ∆ABC.
uuur r
Bài 22: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M, N thoả mãn: 3MA + 4 MB = 0 ,
uuur 1 uuur
CN = BC . Chứng minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của ∆ABC.
2
Bài

uuur 23:
uuurChouuurtam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho
BD = DE = EC . uuur uuur uuur uuur
a) Chứng minh AB + AC = AD + AE .
uur uuur uuur uuur uuur
uur
b) Tính AS = AB + AD + AC + AE theo AI . Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng.
uuur uuur uuur
Bài 24: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức BM = BC − 2 AB ,
uuur uuur uuur
CN = x AC − BC .
a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng.
IM
b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC. Tính
.
IN
b r+ c ≠uuu
0 r.
Bài 25: Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho
uuur a +uuu
r
a) Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm G thoả mãn aGA + bGB + cGC = 0 .
uuur uuur uuur uuur
b) Gọi M, P là hai điểm di động sao cho MP = aMA + bMB + cMC . Chứng minh ba điểm G,
M, P thẳng hàng.
uuuur uuur uuur uuur
Bài 26: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn MN = 2 MA + 3MB − MC .
uur uur uur r
a) Tìm điểm I thoả mãn 2 IA + 3IB − IC = 0 .
b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm

định.
uuuur cố uuu
r uuur uuur
Bài 27: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn MN = 2 MA − MB + MC .
uur uur uur r
a) Tìm điểm I sao cho 2 IA − IB + IC = 0 .
b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
c) Gọi P là trung điểm của BN. Chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định.

DẠNG 5: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MÃN HỆ THỨC

Baøi 1. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
a) MA + MB = MA − MB
b) 2 MA + MB = MA + 2 MB .
HD: a) Đường tròn đường kính AB
b) Trung trực của AB
Baøi 2. Cho tam giác ABC. Tìm điểm M thỏa mãn 1 trong các điều kiện sau:
uuur uuuur r
uuur uuuur
a) MA + MC = 0
b) MA = MC
uuur uuur uuuur r
uuur uuuur
c) MB = BM
d) MA + MB + MC = 0
HD: a) Trung điểm AC
b) Không có điểm M thỏa mãn

c) M ≡ B
Chúc các em học tập thật tốt!

d) M ≡ G
7


CHƯƠNG I: VECTƠ
01648382732
Baøi 3. Cho ∆ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

GV: Nguyễn Đoan Trang

uuur uuur uuur 3 uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
a) MA + MB + MC = MB + MC
b) MA + MB = MA − MB
2
uuur uuur uuuur
uuur uuur
c) MA − MB = MC
d). MA + MB = 0
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
e) 2 MA + MB = 4 MB − MC
f) 4 MA + MB + MC = 2 MA − MB − MC
HD: a) Trung trực của IG (I là trung điểm của BC, G là trọng tâm ∆ABC).
b) Đường tròn tâm I bán kính AB/2

c) Đường tròn tâm C bán kính AB
d) M là trung điểm AB
uur uur r uur uuur r
e) Trung trực của IJ (I, J thỏa mãn 2 IA + IB = 0 ; 4 JB − JC = 0 )
uuur uuur uuur r
f) đường tròn tâm O bán kính kính 1/6(DA) (O tm 4OA + OB + OC = 0 ; D là đỉnh hbh ABDC)
Baøi 4. Cho ∆ABC.
uur uur uur r
a) Xác định điểm I sao cho: 3IA − 2 IB + IC = 0 .
b) Chứng minh rằng
đường
thẳng
nốir 2 điểm
uuuu
r uuu
r uuu
uuur M, N xác định bởi hệ thức:
MN = 2 MA − 2 MB + MC
luôn đi qua một điểm cố định.
uuur uuur uuur uuur uuur
c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: 3HA − 2 HB + HC = HA − HB .
uuur uuur uuur
uuur uuur
d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 2 KA + KB + KC = 3 KB + KC
uuur uuur uuuur
Baøi 5. Cho tam giac ABC và đường thẳng ∆. Tìm trên ∆ điểm M sao cho MA + MB + 3MC nhỏ
nhất
uur uur uur r
HD: M là hình chiếu vuông góc của I trên ∆, I tm IA + IB + 3IC = 0
Baøi 6. Cho tam giác ABC.

uur uur uur r
a) Xác định điểm I sao cho: IA + 3IB − 2IC = 0 .
uuur uuur r
b) Xác định điểm D sao cho: 3DB − 2 DC = 0 .
c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA + 3MB − 2 MC = 2 MA − MB − MC
Baøi 7. Cho tam giác ABC.
uur uur uur r
uur uur uuur r
a) Dựng hai điểm I, J thỏa mãn IA − 3IB + IC = 0 và 2 JA + 3JB − 4 JC = 0
uuur uuur uuuur
b) Tìm M thuộc BC sao cho MA − 3MB + MC nhỏ nhất.
uuur uuur uuur
c) Tìm N thuộc đường tròn tâm A bán kính AB sao cho 2 NA + 3 NB − 4 NC nhỏ nhất.
HD: Bài 1.5.1. Giải toán
Baøi 8. Cho hình bình hành ABCD. Tìm trên đường thẳng AC điểm M sao cho
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur
2 MA + MB + MC = MB + 2 MC + 3MD
HD: trang 36 – Giải toán

Chúc các em học tập thật tốt!

8