SƯ DỤNG GEOGEBRA TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ ĐOAN TRANG

SỬ DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG
DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “CỰC TRỊ”
CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10 THPT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Hà Nội – 2015
1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

SỬ DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG
DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “CỰC TRỊ”
CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10 THPT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Chí Thành
Sinh viên thưc hiện khóa luận: Nguyễn Thị Đoan Trang

Hà Nội – 2015
2

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu đề tài này em đã nhận được sự giúp đỡ tận tình của các
thầy cô tong trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội. Đặc biệt là
PGS.TS.Nguyễn Chí Thành – người đã trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành khóa luận
này, em xin gởi đến thầy cô lòng biết ơn sâu sắc!
Đồng thời, em xin chân thành cám ơn các thầy cô giáo trường THPT Kim Liên – Hà
Nội và tập thể lớp 10A6, tập thể lớp 10A8 trường THPT Kim Liên – Hà Nội, đã giúp
đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để em thực hiện khóa nghiên cứu khóa luận, đặc biệt là quá
trình thực nghiệm đề tài tại nhà trường!

3


KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT TRONG KHÓA LUẬN
1. CNTT
2. GV
3. HS
4. PPDH
5. SGK
6. THPT

Công nghệ thông tin
Giáo viên
Học sinh
Phương pháp dạy học
Sách giáo khoa
Trung học phổ thông

4


MỤC LỤC

5


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Trong thời đại toàn cầu hóa ngày nay khả năng tìm tòi, chủ động tiếp thu và sáng tạo
tri thức mới là một yêu cầu cấp thiết được đặt ra cho mỗi người để có thể hòa nhịp và
theo kịp sự phát triển của thế giới. Bên cạnh đó, với sự phát triển vượt bậc của khoa học
công nghệ đòi hỏi nguồn nhân lực phải có trình độ chuyên môn, chất lượng cao. Để đảm
bảo những mục tiêu giáo dục ở trường THPT nhất là đảm bảo đáp ứng được mục tiêu
của môn toán ở trường THPT thì đòi hỏi người giáo viên phải luôn là tấm gương tự học
và sáng tạo, tiếp cận với CNTT, sử dụng CNTT như một công cụ hữu ích cho việc giảng
dạy bộ môn mình đảm nhiệm. Người giáo viên ở trường THPT ngoài việc sử dụng kết
hợp tốt các phương pháp dạy học phù hợp với đặc trưng bộ môn, từng phân môn, từng
kiểu bài thì một khâu hết sức quan trọng đó là việc sử dụng, kết hợp tốt các phương tiện
kỹ thuật dạy học, làm thế nào để người học tiếp thu bài một cách chủ động sáng tạo và
có hiệu quả. Một trong các phương tiện hiện đại đó là “ứng dụng CNTT vào công tác
giảng dạy”.
Nội dung cực trị trong chương trình THPT là một phần kiến thức quan trọng trong
chương trình Đại số và Giải tích THPT. Để giải các bài toán cực trị, đòi hỏi người giải
phải có khả năng tư duy và suy luận logic như dự đoán cực trị có xảy ra hay không, xảy
ra với các giá trị nào của biến số để có thể đưa ra lời giải. Bên cạnh đó, nội dung cực trị
có ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều ngành khoa học tự nhiên.
Với yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước hiện nay, việc sử dụng công

nghệ trong dạy học nhằm nâng cao chất lượng của quá trình dạy học càng phổ biến và
trở thành nhu cầu thiết yếu. Bên cạnh những phương tiện hỗ trợ cho việc dạy học như
máy tính, máy chiếu…thì các phần mềm dạy học ngày càng phát triển phong phú và
thuận tiện cho người sử dụng. Geogebra là một phần mềm Toán học kết hợp Hình học
và Đại số, ứng dụng phù hợp cho rất nhiều nội dung dạy học nên được sử dụng rất thuận
tiện và hiệu quả trong việc dạy học.
2. Mục đích nghiên cứu
− Làm rõ được cấu trúc dạy học cực trị được trình bày trong SGK hiện hành.
− Làm rõ một phần thực trạng dạy học chủ đề “Cực trị” và việc ứng dụng CNTT trong dạy

học chủ đề “Cực trị” chương trình lớp Đại số lớp 10 THPT.
− Xây dựng một số tình huống giải toán cực trị có ứng dụng của phần mềm Geogebra.
− Xây dựng một số giáo án giảng dạy nội dung cực trị có sử dụng phần mềm Geogebra.
6


3. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
− Đối tượng nghiên cứu: Dạy học chủ đề “Cực trị” trong chương trình Đại số lớp 10 THPT.
− Khách thể nghiên cứu: việc sử dụng phần mềm Geogebra tron dạy học chủ đề “Cực trị”

trong chương trình đại số lớp 10 THPT.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
− Nghiên cứu cơ sở lý luận của đề tài: phương pháp dạy học tích cực; dạy học giải toán;
phương pháp dạy học khái niệm, dạy học định lý, ứng dụng công nghệ thông tin trong
dạy học Toán.
− Nghiên cứu nội dung Cực trị trong chương trình đại số lớp 10 THPT.
− Tìm hiểu một phần thực trạng dạy học chủ đề “Cực trị” và việc ứng dụng CNTT trong
dạy học chủ đề “Cực trị” chương trình lớp Đại số lớp 10 THPT.
− Đề xuất một số phương pháp sử dụng phần mềm Geogebra trong dạy học chủ đề “Cực

trị” chương trình đại số lớp 10 THPT.
5. Phương pháp nghiên cứu
− Phương pháp nghiên cứu lý luận
• Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo Đại số lớp 10.
• Nghiên cứu tài liệu về phương pháp dạy học tích cực, phương pháp dạy học một số tình

huống điển hình trong môn Toán.
• Nghiên cứu phần mềm Geogebra
− Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: nghiên cứu thực tế việc DH chủ đề “Cực trị” chương

trình đại số lớp 10 THPT và việc ứng dụng CNTT trong việc DH chủ đề “Cực trị”
chương trình đại số lớp 10 THPT.

7


CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN
I.1.
I.1.1.

Phương pháp dạy học tích cực
Khái niệm và bản chất
PPDH tích cực là tất cả các phương pháp dạy học cho phép phát huy được tính tích
cực học tập của HS. PPDH tích cực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt
động nhận thức của người học, tập trung vào phát huy tính tích cực của người học chứ
không phải tâp trung vào phát huy tính tích cực của người dạy. bản chất của PPDH tích
cựa là người thầy chỉ tổ chức, định hướng, tạo điều kiện cho HS thực hiện.
Bản chất của phương án dạy học tích cực là người thầy chỉ tổ chức, định hướng, tạo
điều kiện, còn trò là người thực hiện, thi công.

I.1.2.

Phân loại

I.1.3.
I.1.3.1.

Một số phương pháp dạy học tích cực
Phương pháp giải quyết vấn đề
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là PPDH đặt ra cho HS các vấn đề nhận thức
có chứa đựng các mâu thuẫn giữa cái đã biết và cái chưa biết, kích thích tính tự học, tự

I.1.3.2.

khám phá, chủ động và có nhu cầu mong muốn giải quyết vấn đề.
Phương pháp dạy học nhóm
Dạy học nhóm còn được gọi bằng những tên khác như: Dạy học hợp tác, dạy học
theo nhóm nhỏ, trong đó HS của một lớp học được chia thành các nhóm nhỏ, trong
khoảng thời gian giới hạn, mỗi nhóm tự lực hoàn thành các nhiệm vụ học tập trên cơ sở
phân công và hợp tác làm việc. Kết quả làm việc của nhóm sau đó được trình bày và
đánh giá trước toàn lớp.
Dạy học nhóm nếu được tổ chức tốt sẽ phát huy được tính tích cực, tính trách nhiệm;

phát triển năng lực cộng tác làm việc và năng lực giao tiếp của HS.
Ngoài ra còn có một số phương pháp dạy học sau:
− Phương pháp đóng vai
− Phương pháp trò chơi
− Phương pháp dự án (dạy học theo dự án)
− Phương pháp Gợi mở - vấn đáp
I.2. Phương pháp dạy học một số tình huống điển hình trong môn toán

I.2.1.
Lý luận về dạy học khái niệm toán học
I.2.1.1. Định nghĩa về khái niệm toán học
Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng và do đó một khái
niệm có thể được xem xét theo hai phương diện: bản thân lớp đối tượng xác định khái
8


niệm được gọi là ngoại diên, còn toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này
được gọi là nội hàm của khái niệm đó.
Khái niệm toán học: là một hình thức phản ánh của tư duy về những thuộc tính bản
chất, đặc trưng của các đối tượng Toán học cùng loại và nhờ đó ta có thể xác định được
chúng.
I.2.1.2.

Các hình thức biểu diễn khái niệm Toán học ở THPT
Việc bình thành khái niệm thường kết thúc bằng định nghĩa khái niệm. Trong toán học
và trong giảng dạy toán học có những cách khác nhau để đinh nghĩa khái niệm.
− Định nghĩa bằng cách nêu rõ loại và chủng là cách định nghĩa có cấu trúc dạng:
Khái niệm
được định
nghĩa

Khái niệm loại
=

(Khái niệm đã
biết)

Thuộc tính đặc

trưng của chúng
=

(Diễn tả khác biệt về
chủng)
(Khái niệm
− Khái niệm được
mới)định nghĩa bằng quy ước là khái niệm được biểu diễn bằng các ký hiệu
toán học.
− Khái niệm được định nghĩa bằng mô tả: Những khái niệm này được định nghĩa một cách
không tường minh, gián tiếp bằng mô tả để làm nổi bật nội dung của chúng (ở trình độ
thấp) hay bằng những tiên đề (ở trình độ xây dựng lí thuyết chặt chẽ), chẳng hạn như
I.2.1.3.

khái niệm “điểm”, “đường thẳng”, “hướng của vectơ”.
Yêu cầu dạy học khái niệm và con đường hình thành khái niệm
Yêu cầu dạy học khái niệm
Việc dạy học các khái niệm toán học ở trường THPT phải làm cho học sinh dần dần
đạt được các yêu cầu sau:
− Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.
− Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc
phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm nào đó hay
không, đồng thời biết thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tọa ra một đối tượn thuộc phạm
vi một khái niệm cho trước.
− Biết phát biểu rõ ràng chính xác định nghĩa của một số khái niệm.
− Biết vận dụng các khái niệm trong những tình huống cự thể trong hoạt động giải toán và
ứng dụng vào thực tiễn.
− Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những khái
niệm khác trong một hệ thống khái niệm.
9

Những con đường tiếp cận khái niệm
Trong dạy học, người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm:
− Con đường suy diễn;
− Con đường quy nạp;
− Con đường kiến thiết.
a) Con đường suy diễn
Có một số khái niệm được hình thành theo con đường suy diễn, đi ngay vào định
nghĩa khái niệm mới như một trường hợp riêng của khái niệm nào đó mà học sinh đã
được học.
Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường suy diễn thường diễn ra như sau:
− Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó một số đặc điểm
mà ta quan tâm;
− Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó nhờ một khái
niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng
quát đó.
− Đưa ra một số ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa được định nghĩa.
b) Con đường quy nạp
Theo con đường này, xuất phát từ một số trường hợp cụ thể (như mô hình, hình vẽ,
thí dụ cụ thể), GV dẫn dắt HS bằng cách trừu tượng hóa và khái quát hóa tìm ra dấu
hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ở những trường hợp cụ thể, từ đó đi đến định
nghĩa của khái niệm.
Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường quy nạp thường diễn ra như sau:
− GV đưa ra những ví dụ cụ thể để HS thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của một loạt đối tượng
nào đó;
− Gv dẫn dắt HS phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối tượng
đang được xem xét. Có thể đưa ra đối chiếu một vài đối tượng không có đủ các đặc
điểm đã nêu;
− Gv gợi mở để HS phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên và các đặc điểm đặc trưng

của khái niệm.
c) Con đường kiến thiết
Con đường kiến thiết mới chỉ được đề cập trong bài giảng của Pietzsch.
Con đường tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết thường diễn ra như sau:
− Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cầnđược hình thành hướng vào
những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ Toán học hay thực tiễn;
− Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặc điểm đặc trưng cho
khái niệm cần hình thành;
− Phát biểu định nghĩa được gợi ý do kết quả bước 2.
10


I.2.2.
I.2.2.1.

Lý luận về dạy học các định lý, tính chất toán học ở THPT
Vai trò của dạy học định lý, tính chất toán học
Việc dạy định lý, tính chất toán học ở THPT phải nhằm đạt các yêu cầu sau đây:
− Làm cho HS nắm chắc từng nội dung định lý, tính chất và hệ thống các định lý, tính chất
trong mối liên hệ giữa chúng;
− Biết chứng minh một cách chặt chẽ, chính xác các định lý, tính chất;
− Biết vận dụng các định lý, tính chất vào việc giải các bài tập, giải quyết các vấn đề thực

tiễn;
− Dạy học các định lý, tính chất phải phát triển được năng lực suy luận, chứng minh và óc

sáng tạo của HS; gây được hứng thú, mong muốn tìm tòi những vấn đề mới của Toán
I.2.2.2.

học trong HS.

Phương pháp dạy học định lý, tính chất
• Tiến trình 1
− GV đưa ra nội dung định lý, tính chất (yêu cầu HS phân biệt giả thiết, kết luận);
− GV gợi nhu cầu chứng minh và hướng dẫn HS chứng minh;
− HS phát biểu lại định lý, tính chất;
− Hướng dẫn vận dụng, khai thác, phát triển định lý.
• Tiến trình 2
− Bằng các phương pháp suy luận hướng dẫn HS tìm tòi phát hiện ra nội dung định lý, tính
chất toán học theo con đường của các nhà khoa học đã làm;
− Hướng dẫn HS nêu nội dung định lý, tính chất;
− Cho HS vận dụng củng cố thông qua bài tập, giải quyết các vấn đề thực tiễn, hoặc tìm

cách khai thác, phát triển định lý, tính chất.
I.2.3.
Dạy học giải bài tập toán học
I.2.3.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Vai trò của bài tập toán học được thể hiện trên 3 phương diện:
• Trên phương diện mục tiêu dạy học
Bài tập toán học ở trường THPT là giá mang những hoạt động mà việc thưvj hiện các
hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Những bài tập thể hiện các chức năng khác
nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể:
− Hình thành, củng cố trị thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu kahcs nhau của quý trình dạy
học, kể cả kỹ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;
− Phát triển năng lực trí tuệ; rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm
chất trí tuệ;
− Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của

người lao động mới.
• Trên phương diện mục tiêu dạy học

11


Những bài tập toán học là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định,
một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó
đã được trình bày trong phần lý thuyết.
• Trên phương diện phương pháp dạy học
Bài tập toán học là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất
định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập
như vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác,
I.2.3.2.

tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Các yêu cầu đối với lời giải
Các yêu cầu về mặt trình bày lời giải:
− Kết quả đúng, kể cả ở các bước trung gian;
− Lập luận chặt chẽ;
− Lời giải đầy đủ;
− Ngôn ngữ chính xác;
− Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật.

Các yêu cầu đề cao:
− Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất;
− Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay đặt ngược vấn đề.
I.3.
I.3.1.

Sử dụng công nghệ thông tin trong dạy học
Vai trò của CNTT trong dạy học
Công nghệ thông tin mở ra triển vọng to lớn trong việc đổi mới các phương pháp và

hình thức dạy học. Những phương pháp dạy học theo phương pháp giải quyết vấn đề;
phương pháp dạy học nhóm; phương pháp đóng vai; phương pháp trò chơi; phương
pháp dự án (dạy học theo dự án); phương pháp gợi mở - vấn đáp càng có nhiều điều
kiện để ứng dụng rộng rãi. Chẳng hạn, cá nhân làm việc tự lực với máy tính, với
Internet, dạy học theo hình thức lớp học phân tán qua mang, dạy học qua cầu truyền
hình. Nếu trước kia người ta nhấn mạnh tới phương pháp dạy sao cho học sinh nhớ lâu,
dễ hiểu, thì nay phải đặt trọng tâm là hình thành và phát triển cho học sinh các phương
pháp học chủ động. Nếu trước kia người ta thường quan tâm nhiều đến khả năng ghi
nhớ kiến thức và thực hành kỹ năng vận dụng, thì nay chú trọng đặc biệt đến phát triển
năng lực sáng tạo của học sinh. Như vậy, việc chuyển từ “lấy giáo viên làm trung tâm”
sang “lấy học sinh làm trung tâm” sẽ trở nên dễ dàng hơn.
Công nghệ phần mềm phát triển mạnh, trong đó các phần mềm giáo dục cũng đạt
được những thành tựu đáng kể như: Cabri, SketchPad/Geomaster SketchPad,
12


Maple/Mathenatica, Violet… Nhờ có sử dụng các phần mềm dạy học này mà học sinh
trung bình, thậm chí học sinh trung bình yếu cũng có thể hoạt động tốt trong môi trường
học tập.
Nhờ có máy tính điện tử mà việc thiết kế giáo án và giảng dạy trên máy tính trở nên
sinh động hơn, tiết kiệm được nhiều thời gian hơn so với cách dạy theo phương pháp
truyền thống, những hình ảnh, âm thanh sống động thu hút được sự chú ý và tạo hứng
thú nơi học sinh.
Thông qua giáo án điện tử, giáo viên cũng có nhiều thời gian đặt các câu hỏi gợi mở
tạo điều kiện cho học sinh hoạt động nhiều hơn trong giờ học. Những khả năng mới mẻ
và ưu việt này của công nghệ thông tin và truyền thông đã nhanh chóng làm thay đổi
cách sống, cách làm việc, cách học tập, cách tư duy và quan trọng hơn cả là cách ra
quyết định của con người.
Do đó, mục tiêu cuối cùng của việc ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học là
nâng cao một bước cơ bản chất lượng học tập cho học sinh, tạo ra một môi trường giáo

dục mang tính tương tác cao chứ không đơn thuần chỉ là “thầy đọc, trò chép” như kiểu
truyền thống, học sinh được khuyến khích và tạo điều kiện để chủ động tìm kiếm tri
I.3.2.

thức, sắp xếp hợp lý quá trình tự học tập, tự rèn luyện của bản thân mình.
Sử dụng phần mềm dạy học
CNTT đã hỗ trợ nâng cao chất lượng và hiệu quả cũng như đổi mới PPDH thể hiện ở
các điểm:
• Về nội dung
CNTT và truyền thông giúp GV đề cập và truy xuất được nhiều nội dung trong quá trình
dạy học, hỗ trợ giáo trình và tài liệu cho HS; đưa nội dung ổn định và phong phú lên
mạng truyền dữ liệu, kết hợp tư liệu cần thiết với nội dung chính thống đã có trong giáo
trình.
• Về phương pháp
− Đối với GV: CNTT tạo điều kiện cho GV tiếp cận nhiều phương pháp, cách thức đưa nội
dung đến với HS như phát hiện vấn đề qua kết quả sử dụng mô hình, biểu bảng, tính
toán nhờ CNTT. CNTT giúp GV tích hợp nhiều nội dung trong dạy học nhờ các kỹ
thuật liên kết, kỹ thuật sử dụng phần mềm cho phép hiện hoặc ẩn các nội dung phù hợp
trong quá trình dạy học.

13


− Đối với HS: CNTT góp phần cá nhân hóa người học (thích hợp với nhịp độ tiến bộ của

từng cá nhân), giúp cho việc học tập liên môn, học cá nhân, theo hướng lấy người học
làm trung tâm chứ không phải lấy GV làm trung tâm.
• Về thái độ
CNTT góp phần gây hứng thú hoc HS nhờ các mô hình, hình ảnh phong phú, đa dạng,
thể hiện trạng thái động của sự vật, hiện tượng mà tròn thực tế về điều kiện không gian,

thời gian khó có thể diễn tả được.
• Về đánh giá

Khách quan hóa quá trình đánh giá qua việc sử dụng phương pháp trắc nghiệm khách
quan, đặc biệt người học có thể tự đánh giá qua nội dung và bài tập cho GV thiết kế
trong từng học phần, qua sử dụng trung tâm học tập trực tiếp, góp phần thực hiện đổi
I.3.3.

mới PPDH.
Giới thiệu phần mềm Geogebra
Geogebra là một phần mềm toán học kết hợp hình học, đại số và gải tích. Chương
trình được phát triển cho việc dạy toán trong các trường học bởi Markus Hohenwarter
tại Đại học Florida Atlantic.
Một mặt, Geogebra là một hệ thống hình học động. bạn có thể dựng hình theo điểm,
vec-tơ, đoạn thẳng, đường thẳng, đường conic, cũng như đồ thị hàm số và có thể thay
đổi chúng về sau.
Mặt khác, phương trình và tọa độ có thể được nhập vào trực tiếp. Do đó, Geogebra
có thể làm việc với nhiều loại biến số như số, vec-tơ và điểm, tìm đạo hàm, tích phân
của hàm số và cung cấp các lệnh như nghiệm hoặc cực trị.
Ví dụ sử dụng Geogebra trong dạy học nội dung cực trị chương trình THPT
Có thể giả thiết rằng, việc GV sử dụng phần mềm Geogebra vào dạy học nội dung cực
trị một cách hợp lý thì có thể khắc phục được những hạn chế, khó khăn trong quá trình
dạy học. Sau đây tôi sẽ đưa ra một vài ví dụ minh họa cho sức mạnh phần mềm
Geogebra đối với nội dung cực trị.
•

Vẽ đồ thị hàm số

Nhập biểu thức của hàm số vào khung nhập lệnh và nhấn phím Enter. Khi đó trên màn
y = x 2 y = ax 2 + bx + c

hình xuất hiện đồ thị của hàm số. Với một đồ thị của hàm số
14

,

,


GV costheer dẫn dắt HS tự tìm hiểu và đưa ra nhận xét về dáng điệu đồ thị…GV có thể
sử dụng cách làm này để dạy học các nội dung khác.

•

Khảo sát đồ thị hàm số
- Sử dụng thanh trượt để điều khiển các tham số chuyển động m trong bài
-

toán khảo sát hám số.
Sử dụng các hàm: Đạo hàm; tiệm cận; cực trị; tiếp tuyến…

Hàm Đạo hàm

15


Hàm Cực trị

Hàm Tiệm cận

Hàm tiếp tuyến

16


Kết luận chương I
Qua nghiên cứu, tìm hiểu các nội dung trên, tôi rút ra được một số kết luận sau:
Đổi mới PPDH là một xu thế tất yếu phù hợp với một xã hội luôn biến đổi không
ngừng, hướng tới xã hội học tập, xã hội với nền kinh tế tri thức. Vì vậy, việc dạy học
không chỉ giới hạn ở việc dạy những tri thức sẵn có cho người học mà phải trau dồi
phương pháp tự học, tự khám phá để họ biết tự học suốt đời. PPDH phải quan tâm đến
việc phát huy tính năng động và sáng tạo của con người. Điều đó thật ý nghiac đối với các
nhà giáo tương lai.
Áp dụng các PPDH tích cực không có nghĩa là gạt bỏ các PPDH truyền thống. Vì vậy,
cần kế thừa, phát triển những mặt tích cực trong hệ thống PPDH đã quen thuộc, đồng thời
phải học hỏi, vận dụng một số PPDH mới, phù hợp với hoàn cảnh điều kiện dạy và học ở
nước ta trong hoạt động đổi mới PPDH.
Mục tiêu của ứng dụng CNTT trong dạy học alf nâng cao môt bước cơ bản chất lượng
học tập cho HS, tạo ra một môi trường giáo dục mang tính tương tác cao.
Với đặc tính dễ sử dụng, kết hợp đại số và hình học, phần mềm Geogebra là một công
cụ đặc biệt hữu ích cho việc giảng dạy của GV. Sử dụng Geogebra sẽ giúp GV tạo được
điểm nhấn cho bài giảng, giờ học sinh động hơn, HS tích cực học tập để khám phá ra tri
thức mới.

17


CHƯƠNG II: PHÂN TÍCH NỘI DUNG CỰC TRỊ TRONG
CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10 THPT
Trong chương này, tôi sẽ tiến hành nghiên cứu chương trình và SGK để phân tích

những khó khăn do cách trình bày nội dung cực trị trong SGK gây nên và những khó
khăn do cách tổ chức dạy học cực trị. Từ những phân tích đó tôi sẽ đề xuất một số
những giả thuyết khoa học về việc sử dụng phần mềm Geogebra trong dạy học chủ đề
cực trị.
2.1.

Phân phối chương trình dạy học nội dung chủ đề cực trị theo phân phối

chương trình môn Toán lớp 10 THPT
Theo phân phối chương trình môn Toán Đại số 10 – Nâng cao của Bộ Giáo dục và
đào tạo năm học 2014 – 2015, nội dung cực trị tập trung chủ yếu ở chương: “Hàm số
bậc nhất và bậc hai”, chương “Phương trình và hệ phương trình”, chương: “Bất đẳng
thức và bất phương trình” và được phân phối theo khung sau:
Chương
II. Hàm số
bậc nhất và
hàm số bậc
hai.

Tên bài
§1. Đại cương về hàm số
Luyện tập
§2. Hàm số bậc nhất
Luyện tập
§3. Hàm số bậc hai
Luyện tập
Ôn tập chương II
III. Phương §1. Đại cương về phương trình
trình và hệ §2. Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn
phương

Luyện tập
trình.
§3. Một số phương trình quy về bậc nhất hoặc bậc
hai
Luyện tập
Kiểm tra 45'
§4. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Luyện tập
§5. Một số ví dụ về hệ PT bậc hai 2 ẩn
Ôn tập chương III
IV. Bất đẳng §1. Bất đẳng thức và chứng minh BĐT
thức và bất Luyện tập
phương
Ôn tập học kì I
trình.
Kiểm tra học kì I
( 27 tiết)
Trả bài kiểm tra học kì I
§2. Đại cương về bất phương trình
§3. BPT và hệ BPT bậc nhất một ẩn
18

Tiết
14 – 15 – 16
17
48
49
20 – 21
22
23

24 – 25
26 – 27
28 – 29
30 – 31
32 - 33
34
35 – 36
37
38
39
40 – 41
42 – 43
44 – 45
46
47
48
49 – 50


Luyện tập
51
§4. Dấu của nhị thức bậc nhất
52
Luyện tập
53
§5. BPT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn
54 – 55
Luyện tập
56
§6. Dấu của tam thức bậc hai

57
§7. Bất phương trình bậc hai
58 – 59
Luyện tập
60 – 61
§8. Một số PT và BPT quy về bậc hai
62 – 63
Luyện tập
64
Ôn tập chương IV
65
Kiểm tra 45'
66
VI. Góc
§1. Góc và cung lượng giác
76 – 77
lượng giác Luyện tập
78
và cung
§2. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
79
lượng giác. Luyện tập
80
( 11 tiết)
§3. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên
81
quan đặc biệt
Luyện tập
82
§4. Một số công thức lượng giác

83 – 84
Luyện tập
85
Ôn tập chương VI
86
Từ phân phối chương trình trên ta có thể thấy nội dung cực trị tập trung chủ yếu trong
một số bài như: “Hàm số bậc hai”, “Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất
hai ẩn” và có trong phần bài tập của một số bài khác. Như vậy nội dung cực trị trong
chương trình môn Toán Đại số 10 nâng cao khá nặng về phần bài tập.
2.3. Nội dung cực trị lớp 10
2.2.1. Mục tiêu
Tên chương

Mục tiêu của chương
Về kiến thức
Chương II: Hàm Sau bài học, HS sẽ:
số bậc nhất và - Phát biểu được khái niệm
bậc hai
hàm số, tập xác định của hàm
số, đồ thị của hàm số.
- Phát biểu được khái niệm
hàm số động biến, hàm số
nghịch biến, hàm số chẵn, hàm
số lẻ, tính chất đối xứng của dồ
thị hàm số chẵn, đồ thị hàm số
lẻ.
- Phát biểu được cách vẽ đồ thị
19

Về kỹ năng

Sau bài học, HS sẽ:
- Tìm được tập xác định của các
hàm số đơn giản.
- Chứng minh được tính đồng biến,
nghịch biến của một hàm số trên
một khoảng cho trước.
- Xét được tính chẵn lẻ của một
hàm số đơn giản.
- Xác định được chiều biến thiên và
vẽ đồ thị hàm số bậc nhất.


và sự biến thiên của đồ thị hàm
số bậc nhất, cách vẽ đồ thị hàm
y= x
số
.
- Phát biểu được sự biến thiên
của hàm số bậc hai trên R.

Chương
III: - Phát biểu được khái niệm
Phương trình và phương trình, nghiệm của
hệ phương trình phương trình.
- Nêu được định nghĩa hai
phương trình tương đương và
các phép biến đổi tương đương
phương trình, khái niệm
phương trình hệ quả.
- Nêu được cách giải và biện

ax + b = 0
luận phương trình
;
2
ax + bx + c = 0
phương trình
.
- Phát biểu được cách giải các
phương trình quy về dạng bậc
nhất, bậc hai; phương trình có
ẩn ở mẫu số, phương trình có
chứa dấu căn đơn giản, phương
trình đưa về dạng phương trình
tích.

20

y= x
- Vẽ được đồ thị y = b,
.
- Tìm được giao điểm của hai

đường thẳng có phương trình cho
trước.
- Lập được bảng biến thiên của
hàm số bậc hai; xác định được tọa
độ đỉnh, trục đối xứng, vẽ được đồ
thị hàm số bậc hai.
- Đọc được đồ thị của hàm số bậc
hai, từ đồ thị xác định được: trục

đối xứng, các giá trị của x để
y > 0; y < 0
.
- Tìm được phương trình parapol
y = ax 2 + bx + c
khi biết một trong
các hệ số và biết đồ thị đi qua hai
điểm cho trước.
- Nhận biết được một số cho trước
là nghiệm của phương trình cho
trước; hai phương trình tương
đương, biến đổi phương trình
tương đương.
- Giải và biện luận được phương
ax + b = 0
trình
; phương trình
2
ax + bx + c = 0
.
- Giải được các phương trình quy
về dạng bậc nhất, bậc hai; phương
trình có ẩn ở mẫu số, phương trình
có chứa dấu căn đơn giản, phương
trình đưa về dạng phương trình
tích; phương trình bậc nhất hai ẩn
bằng phương pháp cộng và phương
pháp thế; giải được hệ phương
trình bậc nhất ba ẩn đơn giản.
- Vận dụng được định lý Vi-ét vào

việc xét dấu ngiệm của phương
trình bậc hai.
- Giải được các bài toán thực tế
đưa về giải phương trình bậc nhất,
bậc hai bằng cách lập phương


Chương IV: Bất Phát biểu được khái niệm và
đẳng thức và bất các tính chất của bất đẳng
phương trình
thức; bất đẳng thức giữa trung
bình cộng và trung bình nhân
của hai số, một số bất đẳng
thức có chứa dấu giá trị tuyệt
đối.
Phát biểu được khái niệm bất
phương trình, nghiệm của bất
phương trình; hai bất phương
trình tương đương, các phép
biến đổi tương đương của
phương trình.
- Phát biểu được định lý về
dấu của nhị thức bậc nhất;
cách giải phương trình bậc
nhất, hệ phương trình bậc nhất
một ẩn.
-

trình,lập và giải hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn, ba ẩn.

- Giải được phương trình bậc hai,
hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba
ẩn bằng máy tính bỏ túi.
Vận dụng được tính chất của bất
đẳng thức hoặc dụng phép biến đổi
tương đương để chứng minh một
số bất đẳng thức đơn giản.
Vận dụng bất đẳng thức giữa trung
bình cộng và trung bình nhân của
hai số vào việc chứng minh một số
bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu
thức đơn giản.
Chứng minh được một số bất đẳng
thức đơn giản có chứa giá trị tuyệt
đối.
Nêu được điều kiện xác định của
bất phương trình; nhận biết được
hai phương trình tương đương
trong trường hợp đơn giản.
Vận dụng được phép biến đổi
tương đương bất phương trình để
đưa một bất phương trình đã cho
về dạng đơn giản hơn.
Vận dụng được định lý về dấu của
nhị thức bậc nhất để lập bảng xét
dấu tích các nhị thức bậc nhất, xác
định tập nghiệm của các bất
phương trình tích.
Giải được hệ bất phương trình bậc

nhất một ẩn.
Giải được một số bài toán thức tế
dẫn tới việc giải bất phương trình.

Chương VI: Góc
lượng giác và
công thức lượng
giác
Nhìn vào bảng mục tiêu, ta có thể nhận thấy số lượng mục tiêu về năng lực cần đạt
của học sinh khi học các bài toán có nội dung cực trị không được đặt ra một cách rõ
ràng. Cụ thể, chương II và chương IV có nêu mục tiêu về kỹ năng có liên quan đến bài
toán có nội dung cực trị.
21


Trong đó nội dung chủ yếu của chương “Hàm số bậc nhất và bậc hai” là: ôn tập và
chính xác hóa các khái niệm cơ bản về hàm số, tập xác định của hàm số, đồ thị của hàm
số, hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến, hàm số chẵn, hàm số lẻ, áp dụng vào việc
khảo sát các hàm số bậc nhất, bậc hai.
Nội dung của chương IV “Bất đẳng thức và bất phương trình” là: ôn tập và củng cố
khái niệm bất đẳng thức, hệ thống các tính chất của bất đẳng thức, rèn luyện nhứng kỷ
năng cơ bản về chứng minh bất đẳng thức; cung cấp cho học sinh những khái niệm cơ
bản về bất phương trình và một số phép biến đổi bất phương trình; giúp học sinh thấy
được khả năng ứng dụng của bất đẳng thức và bất phương trình vào việc giải các bài
toán thực tế: tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, ứng dụng việc biểu diễn hình học tập
nghiệm của hệ bất phương trình hai ẩn vào một số bài toán kinh tế…
Ngoài ra các chương III và chương VI, mục tiêu về năng lực cần đạt của HS có liên
quan đến các bài toán có nội dung cực trị hầu như là không có.
2.2.2. Cấu trúc
2.2.2.1. Phần lý thuyết

Bài “Hàm số bậc hai”
Đồ thị hàm số bậc hai

y = a.x 2 + bx + c

được suy ra từ đường parapol

y = ax 2

bằng các

phép tịnh tiến song song với trục hoành và trục tung. Sau đó, SGK đưa ra khái niệm giá
trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trong phần sự biến thiên của hàm số bậc hai
như sau:

Khi a > 0, hàm số nghịch biến trên khoảng

 b

 − 2a ; +∞ ÷



−
và có giá trị nhỏ nhất là

∆
4a

x=−

khi

Khi a < 0, hàm số đồng biến trên khoảng

 b

 − 2a ; +∞ ÷



−
và có giá trị lớn nhất là

∆
4a

b 

 −∞; − 2a ÷



22

.

b 

 −∞; − 2a ÷




x=−
khi

b
2a

b
2a

, đồng biến trên khoảng

.

, nghịch biến trên khoảng


Cách trình bày như vậy giúp học sinh nhớ lại các kết luận về đường parapol
dễ dàng tiếp thu kiến thức về đường parapol tổng quát

y = ax 2 + bx + c

y = ax 2

để

. Từ đồ thị hàm

số, học sinh có thể dễ dàng rút ra kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

trong các trường hợp a > 0 và a < 0.
Bài “Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn”
Trong phần bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, SGK phát biểu
bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm và đưa ra phép chứng minh bất đẳng thức
này. Sau đó SGK có đưa ra hệ quả liên quan đến GTLN, GTNN như sau:
Hệ quả: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất
khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi
thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Và có một bài tập để củng cố về lý thuyết bất đẳng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân (trang 108) như sau:

f(x) = x +

3
x

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất cuả hàm số
với x > 0.
3
3
f(x) = x + ≥ 2 x. = 2 3
x
x
Giải: Do x > 0 nên ta có
3
f(x) = 2 3 ⇔ x = ⇔ x = 3
x
.
3
f(x) = x +

f(x) = 2 3
x
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số
với x > 0 là
.
Như đã phân tích ở trên, thông qua phép chứng minh, SGK giới thiệu cho học sinh
một phương pháp chứng minh một bất đẳng thức, giúp học sinh làm quen được với các
khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và các ứng dụng trong thực tiễn toán học.
SGK chỉ đưa ra một cách giải đó là sử dụng bất đẳng thức Cô – si mà không đưa ra hay
gợi ý cho HS cách giải khác.
Bài “Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn”
Trong phần hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, SGK đưa ra ví dụ về việc giải một
hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Từ đó đưa ra khái niệm hệ bât phương trình bậc
23


nhất hai ẩn là tập hợp bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Nghiệm của hệ bất phương trình
bậc nhất hai ẩn là nghiệm chung của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn của hệ.
Ví dụ 2 minh họa một trường hợp cụ thể của việc biểu diễn hình học miền nghiệm
của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Sau đó, SGK mô hình hóa một bài toán thực tế: Đưa ra bài toán lập kế hoạch tối ưu
về việc tìm nghiệm (x; y) của một hệ bất phương trình bậc nhất sao cho biểu thức
L = 2x + 1,6y

đạt giá trị lớn nhất.
2.2.2.2. Phần bài tập

Tên
SGK

Tên chương

Số lượng ví
dụ và hoạt
động
có
nội dung
cực trị/tổng
số ví dụ (tỉ
lệ)
Đại số Chương
I: 0/51
10 nâng Mệnh đề - Tập (0%)
cao
hợp
Chương
II: 6/35
Hàm số bậc (17,14%)
nhất và bậc hai
Chương
III: 2/33
Phương trình (6,06%)
và hệ phương
trình
Chương IV: 2/56
Bất đẳng thức (3,57%)
và bất phương
trình
Chương
V:

Thống kê
Chương VI:
Góc
lượng
giác và công
thức
lượng
giác
Ôn tập cuối
năm

Số bài tập có Tên của bài có nội dung
nội dung cực cực trị
trị/tổng số bài
tập
của
chương (tỉ lệ)
0/62
(0%)
2/46
(4,35%)

Hàm số bậc nhất.
Hàm số bậc hai.

7/64
(10,94%)

Phương trình bậc nhất và
bậc hai một ẩn.

7/89
(7,87%)

Bất đẳng thức và chứng
minh bất đẳng thức.
Bất phương trình và hệ bất
phương trình bậc nhất hai
ẩn.

0/22
(0%)
0/29
(0%)

0/21
(0%)
1/69
(1,45%)

0/0
(0%)

2/25
(8%)
24

Luyện tập (T216)

Nhìn vào bảng thống kê trên, ta có thể thấy rẳng các chương Hàm số bậc nhất và bậc
hai, chương Bất đẳng thức và bất phương trình, chương Phương trình và hệ phương
trình đề cập rất phong phú các bài tập có nội dung cực trị. Ngoài ra các chương Góc và
cung lượng giác có bài tập liên quan đến nội dung cực trị tuy nhiên số lượng rất ít.
Hầu hết, trong mỗi bài SGK đưa ra các bài tập chủ yếu để củng cố lại kiến thức cho
HS. Cụ thể:
Bài 33: Lập bảng theo mẫu sau đây rồi điền vào ô trống các giá trị thích hợp:
Hàm số

Hàm số có giá trị
lớn nhất/ nhỏ nhất
khi x = ?

Giá trị lớn nhất

Giá trị nhỏ nhất

y = 3x 2 − 6x + 7

y = −5x 2 − 5x + 3
y = x 2 − 6x + 9

y = −4x 2 + 4x − 1

Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x + 3)(5 – x) với -3 ≤
x ≤ 5.
Bài 44: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi
ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị prôtêin và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt
lợn (heo) chứa 600 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua
nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1kg thịt bò là 45 nghìn đồng, 1kg

thịt lợn là 35 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt
lợn.
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất

phương trình rồi xác định miền nghiệm (S) của hệ đó.
b) Gọi T (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn.
Hãy biểu diễn T theo x và y.
c) Ở câu a), ta thấy (S) là một miền đa giác. Biết rằng T có giá trị nhỏ nhất tại

( x 0 ;y 0 )

với

( x 0 ;y 0 )

là tọa độ của một trong các đỉnh của (S). Hỏi gia đình đó phải

mua bao nhiêu kilôgam thịt mỗi loại để chi phí là ít nhất?
Bài 47: Gọi (S) là tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ có thỏa mãn hệ:
25