Khoa học Bảo hộ trong thị trường không đầy đủ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN VĂN MINH

NGUYỄN VĂN MINH

BẢO HỘ TRONG THỊ TRƯỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ
BẢO HỘ TRONG THỊ TRƯỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ
Chuyên ngành:

TOÁN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Mã số : 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊNH

Hà Nội - Năm 2012
Hà Nội - Năm 2012

3.3.3

Mệnh đề 3.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.4

Hệ quả 3.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.5
3.3.6

Mục lục

3.4

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.2

Một số kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên . . . . . .

3.5

5

3.6

Một số kiến thức cơ sở toán tài chính . . . . . . . . . . . . 10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Bổ đề 3.3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Mô tả chiến lược tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.1

Định lí 3.3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.2

Hệ quả 3.4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Xấp xỉ một tài sản phi rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Bảo hộ trong trường hợp quá trình cân bằng mean-variance
tất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.2.1

Chứng khoán phái sinh . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.7

Mô hình khuyếch tán hầu đầy đủ

1.2.2

Cơ hội có độ chênh thị giá . . . . . . . . . . . . . . 12

3.8

Mô hình biến động ngẫu nhiên có tính Markovian . . . . . . 47

3.9

Mô hình Black - Scholes trong môi trường ngẫu nhiên . . . 50

2 Định giá và bảo hộ trong thị trường đầy đủ
2.1

5

Hệ quả 3.3.5

Bảo hộ trong thị trường đầy đủ
2.1.1

13

. . . . . . . . . . . . . . . 14

Tài liệu tham khảo

54

Chiến lược bảo hộ quyền phái sinh trong thị trường
đầy đủ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2

Công thức Black-Scholes về định giá quyền chọn

Châu Âu trong thị trường đầy đủ. . . . . . . . . . . 19

3 Định giá và bảo hộ trong thị trường không đầy đủ
3.1

23

Bài toán bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực tiểu bình
phương trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2

Quá trình cân bằng bình phương trung bình và không gian
các chiến lược đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3

3.2.1

Định nghĩa 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.2

Định nghĩa 3.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Tính đóng của GT (Θ) và phân tích Fo¨llmer-Schweizer . . . 28
3.3.1

Mệnh đề 3.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.2

Bổ đề 3.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1

. . . . . . . . . . . . . . 44

2


thì ta có thể mô tả được chiến lược tối ưu bình phương trung bình dưới
dạng công thức liên hệ ngược và trong luận văn cũng đưa ra một số ví
dụ có thể dễ dàng so sánh các trường hợp với giả thiết khác nhau. Khi có
thêm điều kiện thì có khẳng định rằng độ đo martingale tối ưu phương sai

Lời nói đầu

và độ đo martingale nhỏ nhất là trùng nhau. Trong số những ví dụ đưa ra
ˆT
điều giả sử này được thỏa mãn, qua đó ta cũng chỉ ra lỗi điển hình nếu K

Định giá và bảo hộ tài sản phái sinh là một trong những vấn đề quan

không tất định và bao gồm biến ngẫu nhiên ngoại sinh không được sinh

trọng của tài chính nói chung và toán tài chính nói riêng. Trong thị trường

ra bởi X.

đầy đủ thì có thể bảo hộ một cách chính xác bởi một chiến lược giao dịch

Luận văn có cấu trúc 3 chương :

duy nhất. Tuy nhiên trong thị trường không đầy đủ thì có nhiều chiến lược
để bảo hộ, vần đề là cần tìm ra chiến lược tối ưu nhất theo nghĩa nào đó.
Việc bảo hộ có nhiều cách tiếp cận khác nhau. Nhưng trong luận văn này
chỉ tập chung vào việc bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực tiểu bình

Chương 1: Bao gồm sơ lược các kiến thức nền tảng của giải tích ngẫu
nhiên và toán tài chính.
Chương 2: Giới thiệu về định giá và bảo hộ trong thị trường đầy đủ áp
dụng cho mô hình Black-Scholes đơn giản.

phương trung bình, luận văn đưa ra một số kết quả và ví dụ về bảo hộ

Chương 3 : Phần chính của luận văn đưa ra việc định giá và bảo hộ

bình phương trung bình cho quá trình ngẫu nhiên liên tục. Mục tiêu chính

trong thị trường không đầy đủ theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình.

là đưa ra những chứng minh chính xác để xét đến việc có thể sử dụng hoặc

Trong quá trình viết luận văn, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn rất

không đến độ đo martingale nhỏ nhất để nghiên cứu vấn đề này.
ˆ Quá trình
Cho X là nửa martingale có dạng X = X0 + M + d M λ.
ˆ
ˆ và

ˆ
cân bằng bình phương trung bình của X kí hiệu là K = λtr d M λ

tận tình của TS. Nguyễn Thịnh. Tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc

Θ là không gian các quá trình khả đoán ϑ sao cho tích phân ngẫu nhiên

trong tổ Xác Suất Thống Kê của khoa Toán-Cơ-Tin đã giúp đỡ và tạo

G(ϑ) =

điều kiện để tác giả bảo vệ luận văn.

ϑdX là nửa martingale bình phương khả tích. Cho hằng số

c ∈ R và biến ngẫu nhiên bình phương khả tích H, chiến lược tối ưu bình
phương trung bình ξ (c) làm cực tiểu khoảng cách trong L2 giữa H − c và

thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giảng dạy các chuyên
đề cao học đã tạo dựng cho tác giả một kiến thức nền tảng và thầy cô

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ, động
viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn.

để xấp xỉ cho

Do trình độ tác giả và thời gian còn hạn chế nên luận văn không thể

tài sản phái sinh H theo nghĩa làm cho rủi ro của người bảo hộ được hạn

tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của quý

chế nhất với các chiến lược giao dịch ϑ ∈ Θ không gian các chiến lược
ˆ là bị chặn, liên tục thì ta đưa ra một chứng minh đơn giản
đầu tư. Nếu K

bạn đọc.

không gian GT (Θ). Trong tài chính, sử dụng chiến lược ξ

(c)

cho tính đóng của không gian GT (Θ) trong L2 (P ) và sự tồn tại phân tích
Fo¨llmer-Schweizer của H. Hơn nữa nếu X thỏa mãn thêm một số điều kiện
3

4


Định nghĩa 1.3. Nửa martingale liên tục
Một quá trình X được gọi là nửa martingale liên tục nếu nó có thể được

Chương 1

biểu diễn dưới dạng tổng Xt = Mt + At , t ≥ 0 trong đó M là martigale địa
phương liên tục và A là quá trình biến phân bị chặn thích nghi liên tục

Kiến thức chuẩn bị

thỏa mãn A0 = 0.

Định lý 1.1. Burkholder-David-Gundy
Chương này sẽ điểm qua một số kiến thức cơ sở về giải tích ngẫu nhiên
và một số khái niệm của toán tài chính được sử dụng trong luận văn.

Giả sử {Mi , Ai , 0 ≤ i ≤ N } là một martingale, 1 < p < ∞ và d0 =

M0 , di = Mi+1 − Mi , 0 = i < · · · < n = N . Khi đó tồn tại các hằng số
C1 , C2 chỉ phụ thuộc p không phụ thuộc dãy di , i = 1, . . . , N. sao cho

1.1

Một số kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu
nhiên

N

N

d2i | 2 .
i=1

i=1

Định nghĩa 1.1. Martingale

p

p

d2i | 2 ≤ E|MN |p ≤ C2 E|

C 1 E|
Kí hiệu

N

Giả sử (Ω, A, P ) là không gian xác suất. Quá trình X = {Xt , At , t ∈ R}
được gọi là một martingale (trên ,dưới) đối với (At , t ∈ R) nếu thỏa mãn
3 điều kiện sau:

d2i

[M ]N =
i=1

được gọi là biến phân bình phương của MN . Khi đó ta có

1.X = {Xt , At , t ∈ R} là quá trình thích nghi với bộ lọc At (tức là Xt là
At −đo được).

C1 || [M ]N ||p ≤ ||MN ||p ≤ C2 || [M ]N ||p .
Định lý 1.2. Girsanov

2.E|Xt | < ∞ với mọi t ∈ R.
3.Với mọi t ≥ s (t, s ∈ R) E(Xt /As ) = Xs (E(Xt /As ) ≤ Xs ; E(Xt /As ) ≥
Xs ) P − h.c.c.

Cho Yt là một quá trình Ito có vi phân ngẫu nhiên như sau:

dYt = a(t, ω)dt + dWt , t ≤ T ≤ ∞, Y0 = 0

Định nghĩa 1.2. Martingale địa phương
Quá trình ngẫu nhiên {Xt , At , t ≥ 0} được gọi là martingale địa phương
nếu tồn tại dãy thời điểm Markov (τn ) đối với (At ) sao cho
(i) P{τn ≤ n} = 1, P{limn→∞ τn = ∞} = 1.
(ii) Đối với mỗi n = 1, 2, ... dãy {Mt∧τn , At , t ≥ 0} là martingale khả
tích đều.
5

trong đó hệ số dịch chuyển a(t, ω) thỏa mãn điều kiện Novikov
1

E[e 2

T
0

a2 (s,ω)ds

] < ∞.

Xác định một độ đo xác suất mới Q như sau

dQ
= LT , trong đó Lt = e−
dP
6

t

0

a(s,ω)dWs − 12

t
0

a2 (s,ω)ds

.


Với xác suất mới Q này thì Yt trở thành một martingale đối với họ

(Ft ), FtW

= σ(Ws , s ≥ t).

t
2
0 ||gs || ds
t

αt = exp[
0

< ∞h.c.c. Ta định nghĩa

1
(gs , dWs ) −

2

trong các biểu thức dXi dXj thì dWi dWj = σij dt, dtdWi = dtdWj = 0.
Định nghĩa 1.4. Nghiệm mạnh của phương trình vi phân ngẫu

t
2

nhiên

||gs || ds]
0

Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1-chiều là phương trình có dạng

Định lý 1.3. Bất đẳng thức Doob
Nếu {Xt , At , 0 ≤ t ≤ T } là martingale dưới không âm với E|Xt |p <

∞, 0 ≤ t ≤ T, 0 < p < ∞ thì

dXt = a(t, Xt )dt + b(t, Xt )dWt
hoặc tương đương

||XT ||p ≤ || sup |Xt |||p ≤ q||XT ||p ,

t

0≤t≤T

X t = X0 +

t

a(s, Xs )ds +
0

trong đó
1

||X||p = (E|X|p ) p ,

1 1
+ = 1.
p q

b(s, Xs )dWs .
0

Nghiệm mạnh của phương trình trên là quá trình Xt liên tục thích nghi
với At sao cho

Định lý 1.4. Công thức Ito

T

|a(t, Xt (ω))|dt < ∞ = 1,

P

Nếu Xt là quá trình Ito vi phân ngẫu nhiên có dạng

0
T

dXt = a(t, w)dt + b(t, w)dWt .

|b(t, X(t, ω))|2 dt < ∞

E
0

Cho Yt = g(t, Xt ) với g(t, x) là hàm xác định trên [0, ∞) × R và có các
đạo hàm riêng gt , gx , gxx liên tục.

và biểu thức tích phân thỏa mãn với xác suất 1 với mỗi t ∈ [0, T ].
Định lý 1.5. Định lý tồn tại duy nhất nghiệm

Khi đó Yt = g(t, Xt ) là quá trình Ito với vi phân ngẫu nhiên là:

Giả sử T > 0 và a, b : [0, T ] × R → R, là các hàm đo được thỏa mãn các

∂g
∂g 1 2 ∂ 2 g
∂g
+a
+ b
]dt + b dWt .
∂t
∂x 2 ∂x2
∂x

Công thức Ito nhiều chiều
dYt = [

điều kiện

|a(t, x)| + |b(t, x)| ≤ C(1 + |x|), x ∈ R, t ∈ [0, T ]

Cho W (t, ω) = (W1 (t, ω), ..., Wm (t, ω)) là chuyển động Brown m-chiều.

X(t, ω) = (X1 (t, ω), ..., Xn (t, ω)) và dX = hdt + f dW là một vi phân

|a(t, x) − a(t, y)| + |b(t, x) − b(t, y)| ≤ D|x − y|, x ∈ R, t ∈ [0, T ]

ngẫu nhiên Ito n-chiều (với f, h là các hàm ngẫu nhiên đo được dần, f khả

trong đó C,D là các hằng số dương nào đó. Giả sử Z là biến ngẫu nhiên

đoán, khả tích theo mọi đoạn hữu hạn với hầu hết ω ). Giả sử g(t, x) =

độc lập với A∞ sao cho E|Z|2 < ∞.

+

n

+

(g1 (t, x), ..., gp (t, x)) là các ánh xạ hai lần khả vi liên tục R × R → R .
Khi đó quá trình Y (t, ω) = g(t, Xt ) là một vi phân ngẫu nhiên p-chiều mà
thành phần thứ k là Yk được cho bởi

dYk =

∂gk
(t, X)dt +
∂t

i

∂gk
1
(t, X)dXi +
∂xi
2
7

i,j

∂ 2 gk
(t, X)dXi dXj ,
∂xi ∂xj

Khi đó phương trình vi phân

dXt = a(t, Xt )dt + b(t, Xt )dWt , 0 ≤ t ≤ T, X0 = Z
có nghiệm duy nhất Xt thuộc NT ( lớp các hàm ngẫu nhiên f : [0, T ]×Ω →
T
0

R đo được, thích nghi đối với At và

8

E|f (t, ω)|2 dt < ∞ ).


Định nghĩa 1.5. Độ đo martingale nhỏ nhất
Cho độ đo martingale Pˆ ≈ P được gọi là độ đo martingale nhỏ nhất
nếu Pˆ (A) = P (A), ∀A ∈ F0 và mọi martingale bình phương khả tích bất

Và Xt là nghiệm duy nhất của phương trình dXt = Xt dMt , X0 = 1.

kì trực giao mạnh với martingale tùy ý cố định M ∈ M theo P cũng là
martingale theo Pˆ tức là :

Rd và γ ∈ L(W ) thì nghiệm của phương trình dXt = γt Xt dWt được cho

L ∈ M2 và

Nếu γ ∈ L(M ) thì nghiệm Xt của phương trình dXt = γt Xt dMt được cho
bởi Xt = X0 Et (γ • M ). Nếu W là chuyển động Brown nhận giá trị trong
bởi

L, M = 0 ⇒ L là martingale theo Pˆ .

Xt = X0 Et (γ • W ) = X0 exp(−

1
2

t

t

||γs ||2 ds +
0

γs dWs ).
0

(với M; M2 tương ứng là các không gian martingale khả tích; bình phương
khả tích.)
Định nghĩa 1.6. Độ đo tối ưu phương sai
Độ đo có dấu Q trên (Ω, F) được gọi là độ đo Θ−martingale có dấu
nếu Q[Ω] = 1, Q

P với

dQ
dP

∈ L (P ) và
2

Một số kiến thức cơ sở toán tài chính

1.2.1

Chứng khoán phái sinh

Định nghĩa 1.8. Quyền mua cổ phần

dQ
E
GT (ϑ) = 0 với mọi ϑ ∈ Θ
dP

Là loại chứng khoán do công ty cổ phần phát hành kèm theo đợt phát
hành cổ phiếu thường bổ sung và được phát hành cho cổ đông hiện hành

(Θ tập các quá trình khả đoán).

sau đó chúng có thể được đem ra giao dịch.

Kí hiệu P là tập tất cả độ đo Θ−martingale có dấu và
D= D=

1.2

Ví dụ 1.1. Công ty A muốn huy động thêm vốn nên đã phát hành thêm

dQ
Q ∈ P(Θ) .
dP

cổ phiếu cho các cổ đông, các cổ đông này được nhận các quyền mua cổ
phần, các cổ đông này nếu không mua cổ phiếu có thể nhường lại cho người

Độ đo Θ−martingale có dấu P được gọi là độ đo tối ưu phương sai

khác bằng cách bán quyền mua cổ phần của mình.

nếu P làm cực tiểu

V ar

dQ
dQ
=E
−1
dP
dP

2

=E

dQ
dP

2

Định nghĩa 1.9. Hợp đồng kì hạn

−1

với mọi Q ∈ P(Θ). Nếu P là tối ưu phương sai thì kí hiệu

dP
dP

Là một thỏa thuận trong đó một người mua một người bán chấp thuận

= D.

một giao dịch hàng hóa với khối lượng xác định tại một thời điểm xác định
trong tương lai với một mức giá được ấn định vào ngày hôm nay.

Định nghĩa 1.7. Quá trình mũ martingale địa phương
Cho M là liên tục, martingale địa phương giá trị thực. Khi đó mũ martin-

Định nghĩa 1.10. Hợp đồng tương lai
Là cam kết mua hoặc bán các loại chứng khoán, nhóm chứng khoán hoặc

gale địa phương E(M ) là quá trình

Xt = Et (M ) = exp(Mt −
9

1
M t ).
2

chỉ số chứng khoán nhất định với một số lượng nhất định và mức giá nhất
định vào ngày xác định trước trong tương lai.
10


Định nghĩa 1.11. Quyền lựa chọn
Là quyền được ghi trong hợp đồng cho phép người mua lựa chọn quyền
mua hoặc quyền bán một số lượng chứng khoán được xác định trước trong

khoảng thời gian nhất định với một mức giá được xác định trước. Quyền
lựa chọn là một bản hợp đồng mang tính thỏa thuận nhưng ràng buộc về
mặt pháp lý trong đó có tham gia của người mua, người viết và cơ quan
quản lý.

1.2.2

Cơ hội có độ chênh thị giá

Định nghĩa 1.14. Một phương án đầu tư tự tài trợ φ ∈ Φ được gọi là
một cơ hội có độ chênh thị giá nếu quá trình giá Vt (φ) của phương án đầu
tư đó thỏa mãn :
(i) P (V0 (φ) = 0) = 1
(ii)P (VT (φ) ≥ 0) = 1
(iii)P (VT (φ) > 0) > 0

Định nghĩa 1.12. Quyền chọn mua
Là một hợp đồng giữa hai bên mà trong đó một bên cho bên kia được
quyền mua một khối lượng hàng hóa nhất định tại một mức giá xác định
trong một thời hạn nhất định. Bên được quyền mua phải trả cho bên còn

T là thời điểm đáo hạn của hợp đồng.
Định nghĩa 1.15. Ta nói thị trường M = (S, Φ) là một thị trường không
có cơ hội chênh thị giá nếu không tồn tại một phương án đầu tư tự tài trợ
nào trong Φ có độ chênh thị giá.

lại một khoản được gọi là giá quyền mua. Và khi kết thúc hợp đồng người
có quyền mua không bắt buộc phải thực hiện hợp đồng.
Ví dụ 1.2. Một người định mua cổ phiếu của công ty A nhưng vì một lí
do nào đó anh ta chưa muốn mua ngay nên đã đến ngân hàng mua một số

quyền chọn mua rằng anh ta có thể mua một số lượng cổ phiếu nhất định
của công ty A với mức giá là X vào ngày cố định T đã thỏa thuận. Đến
ngày T người mua có thể không cần thực hiện hợp đồng và chấp nhận mất
tiền mua quyền mua.

Định nghĩa 1.16. Chiến lược đầu tư đáp ứng
Chiến lược đáp ứng đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn XT tại thời
điểm đáo hạn T là một phương án đầu tư tự tài trợ φ sao cho VT (φ) = XT .
tức là giá trị lúc đáo hạn của phương án đầu tư ấy bằng đúng với giá trị
đáo hạn XT đã định trước và ghi trong hợp đồng. Quá trình giá VT (φ) của
phương án ấy được gọi là quá trình đáp ứng.
Một bài toán đặt ra là định giá cho các sản phẩm phái sinh như thế
nào ? và sau khi các sản phẩm này được mua bán thì phải bảo hộ chúng

Định nghĩa 1.13. Quyền chọn bán
Là hợp đồng giữa hai bên mà trong đó một bên cho bên kia được quyền

như thế nào?. Luận văn này nghiên cứu một số cách tiếp cận toán học
chặt chẽ để có thể định giá và bảo hộ các sản phẩm phái sinh này.

bán một khối lượng nhất định hàng hóa tại một mức giá xác định trong
một thời hạn nhất định. Người mua quyền chọn bán phải trả cho người
bán quyền một khoản tiền được gọi là giá quyền hoặc phí quyền. Và khi
kết thúc hợp đồng người có quyền mua không bắt buộc phải thực hiện hợp
đồng.

11

12

mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính sau:

dSt = µSt dt + σSt dBt ,
với µ , σ là những hằng số và B là chuyển động Brown hình học.

Chương 2

Giá tài sản S tuân theo mô hình Black- Scholes như trên thỏa mãn thị

Định giá và bảo hộ trong thị trường
đầy đủ

trường đầy đủ tức là mọi tài sản phái sinh đều được đáp ứng bởi một
chiến lược tự tài trợ. Tính đầy đủ sẽ được chỉ ra ở phần sau.

2.1
Trong chương này ta sẽ đi tìm hiểu việc định giá và đưa ra chiến lược
bảo hộ giá cho quyền phái sinh trong thị trường đầy đủ.
Định nghĩa 2.1. Thị trường đầy đủ

Bảo hộ trong thị trường đầy đủ

Cho (Ω, F, P ) là không gian xác suất, T là một thời điểm cố định. Cho

F = {Ft ; 0 ≤ t ≤ T } là một bộ lọc với F0 chứa Ω và những tập có độ đo
0 theo P với FT = F.
Cho X = {Xt ; 0 ≤ t ≤ T } là quá trình ngẫu nhiên có giá trị véctơ

Một thị trường M được gọi là thị trường đầy đủ nếu mọi tài sản phái sinh

với thành phần là X 0 , X 1 , ..., X d thích nghi liên tục phải, giới hạn trái

X đều đạt được trong M tức là đều có phương án đầu tư đáp ứng được

và dương thực sự. Hơn nữa X 0 là nửa martingale thoả mãn X00 = 1

phái sinh đó, hay nói một cách tương đương nếu với mọi biến ngẫu nhiên

và Xtk biểu diễn giá trị của chứng khoán thứ k tại thời điểm t, đặt

X đo được đối với FT thì tồn tại ít nhất một quá trình khả đoán φ ∈ Φ

βt = 1/Xt0 . Ta xác định một quá trình giá chiết khấu Z = (Z 1 , Z 2 , ..., Z d )

sao cho VT (φ) = XT . (XT là giá đáo hạn của chứng khoán được ghi trong

với Ztk = βt Xtk ; k = 1, ..., d.

hợp đồng và VT (φ) là quá trình giá đầu tư bởi chiến lược φ)

Kí hiệu P = {Q ∈ (Ω; F)|Q tương đương P và Z là martingale theo Q }.

Nói chung tính đầy đủ là một đòi hỏi khá cao của thị trường. Vì với

Giả sử P khác rỗng (dẫn tới không có sự chênh thị giá) ta có X và Z là

tính đầy đủ thì mọi tài sản phái sinh kiểu châu Âu đều có thể định giá

các nửa martingale theo P. Một phần tử tuỳ ý P ∗ ∈ P được gọi là độ đo

bằng phương pháp độ chênh thị giá.

quy chiếu và E∗ là kì vọng toán học tương ứng.

Định nghĩa 2.2. Ta nói rằng tài sản phái sinh X được đáp ứng một cách
duy nhất trong thị trường M nếu tồn tại một quá trình đáp ứng duy nhất

Kí hiệu

L(Z) = {H = (H 1 , H 2 , ..., H d ) = {Ht , 0 ≤ t ≤ T } khả tích đối với Z}
Một chiến lược giao dịch đáp ứng là một quá trình ngẫu nhiên khả đoán

đối với X.

Φ = (Φ0 , ..., Φd ) = {Φt , 0 ≤ t ≤ T } sao cho:
Ví dụ 2.1. Mô hình Black-Scholes trong thị trường đầy đủ

i) (Φ1 , ..., Φd ) ∈ L(Z),

Giả sử một tài sản tài chính S tuân theo mô hình Black-Scholes tức là thỏa

ii) V ∗ (Φ) ≥ 0 trong đó V ∗ (Φ) = βΦX = β
iii)V ∗ (Φ) = V0∗ (Φ) + G∗ (Φ) trong đó

13

14

d

k k
k=0 Φ X ,


vậy không giảm tổng quát có thể giả sử là M dương. Đặt S = XT0 MT khi

d
∗

G (Φ) =

k

Φ dZ

ΦdZ =

k

đó tồn tại chiến lược đáp ứng Φ sao cho VT∗ (Φ) = MT . Hơn nữa theo định
nghĩa chiến lược đáp ứng, martingale VT∗ (Φ) = V0∗ (Φ) +

k=1

T
0

HdZ , trong

đó H = (Φ , ..., Φ ). Do đó M có cùng biểu diễn hay Mt = E (βT S|Ft ) =

và

1

iv) V ∗ (Φ) là một martingale theo P ∗ .

Φkt

∗

d

Vt∗ (Φ).

mô tả số tài sản hoặc số đơn vị chứng khoán thứ k được

(b) ⇒ (a) Cho S là một tài sản phái sinh khả tích tuỳ ý. Định nghĩa một

giữ bởi nhà đầu tư tại thời điểm t, V ∗ (Φ) là quá trình giá chiết khấu mô

độ đo martingale M bằng cách đặt Mt = E ∗ (βT S|Ft ) và cho H ∈ L(Z)

Trong đó

∗

tả giá chiết khấu của danh mục đầu tư và G (Φ) mô tả quá trình lãi chiết

sao cho Mt = M0 +

t
0 HdZ

đặt Φ1 = H 1 , ..., Φd = H d trong đó Φ0 =

khấu hoặc lỗ thông qua chiến lược giao dịch bởi nhà đầu tư. Trong đó (ii)

M0 +

nói lên rằng những chiến lược giao dịch đáp ứng không cho phép giá trị

Điều này dẫn tới chiến lược giao dịch đáp ứng với Vt∗ (Φ) = Mt do đó

của phương án đầu tư âm. (iii) nói rằng tất cả sự thay đổi trong giá trị

VT∗ (Φ) = βT S . Hay S được đáp ứng, suy ra thị trường là đầy đủ. Trước

của phương án đầu tư đều phụ thuộc vào sự đầu tư mà không cần thêm

khi chứng minh (b) ⇒ (c) ta có một số định nghĩa

hoặc bớt vốn. Điều kiện (iv) khẳng định quá trình giá chỉ phụ thuộc vào

Kí hiệu M (Z) = {Q|Z là martingale địa phương theo Q} và ta có P là tập

việc chọn độ đo quy chiếu.

con của M (Z)

HdZ − HZ .

Một quyền phái sinh S được coi như biến ngẫu nhiên dương. Một

Một phần tử Q ∈ M (Z) được gọi là điểm vô cùng nếu nó không thể biểu

quyền phái sinh S được đáp ứng nếu tồn tại chiến lược đáp ứng ψ sao

diễn dưới dạng tổ hợp lồi thực sự của hai martingale trong M (Z). Kí hiệu

cho VT∗ (ψ) = βT S . Một quyền phái sinh S được gọi là khả tích nếu

Me (Z) là tập hợp tất cả các điểm vô cùng trong M (Z). Ta có kết quả :

E ∗ βT S < ∞. Sau đây ta sẽ tìm hiểu một định lí nói về mối quan hệ

Q ∈ Me (Z) nếu và chỉ nếu Z chỉ có thể là martingale địa phương theo Q.

giữa thị trường đầy đủ và sự duy nhất của chiến lược đầu tư đáp ứng.

Hệ quả của nó là Q ∈ Me (Z) nếu và chỉ nếu tính chất biểu diễn trong b)
được thỏa mãn.

Định lý 2.1. Các mệnh đề sau là tương đương:

(b) ⇒ (c) Nếu P ∗ ∈ Me (Z) thì không thể tồn tại Q ∈ M (Z) với Q tương

(a) Mô hình thị trường đầy đủ theo độ đo P ∗ .

đương với P ∗ .

(b) Mỗi martingale Mt được biểu diễn dưới dạng.

(c) ⇒ (b) Ta chỉ ra P ∗ ∈ Me (Z). Thật vậy giả sử ngược lại. Khi đó tồn

t

HdZ với H ∈ L(Z).

Mt = M0 +
0

tại α ∈ (0, 1) và Q , Q ∈ M (Z) sao cho P ∗ = αQ + (1 − α)Q . Ta có

Q ≤ P ∗ /α và chỉ ra Z là martingale theo Q tương tự cho Q do đó Z là
martingale theo Qβ = βQ + (1 − β)Q với mỗi β ∈ (0, 1). Từ Qβ tương

(c) P có duy nhất một phần tử.

đương với P ∗ với mọi β ∈ (0, 1) tức là Qβ ∈ P với mọi β ∈ (0, 1). Nhưng

Chứng minh. (a) ⇒ (b) Cho M là một martingale tuỳ ý. Từ martingale
bất kì có thể được biểu diễn dưới dạng hai martingale dương khác nhau do
15

điều này là mâu thuẫn do P có duy nhất một phần tử.
Tiếp theo ta sẽ đi mô tả về chiến lược duy nhất trong thị trường đầy đủ.
16

2.1.1

Chiến lược bảo hộ quyền phái sinh trong thị trường đầy
đủ.

Chiến lược giao dịch Φ = (K, H) được gọi là chiến lược giao dịch tự tài

0

0

0

0

với quá trình khả đoán J ∈ L(W X ). Ta lại có dXsX = σXsX dWsX suy
ra Mt = M0 +

t
X0
X0
0 Js /(σXs )dXs ,

t

0

ta cần
t

0

0

Js /(σXsX )dXsX = Mt = V0 +

M0 +

trợ nếu nó thỏa mãn :

Hs dXsX , với mọi t ∈ [0, T ].

0

0

Suy ra

dVt (Φ) = Kt dBt + Ht dXt

0

0

M0 = V0 , Hs = Js /(σXsX ), Ks = Ms − Hs XsX .
t
X0
0 Hs dXs .

chiến lược Φ được hiểu như liên tục tự cân bằng các danh mục đầu tư mà

Khi đó Mt = M0 +

không rút vốn hoặc thêm vốn vào.

Sau đây ta sẽ chỉ ra Φ là một chiến lược giao dịch tức là K ∈ L(X 0 ) và

Ta có một chiến lược giao dịch tự tài trợ được gọi là đáp ứng quyền
phái sinh h nếu VT (Φ) = h và quá trình giá chiết khấu

0
VtX (Φ)

là PX 0 −

H ∈ L(X).
Từ dXt = Xt (µdt + σdWt ) chúng ta thu được duX (s) = µXs ds (uX (s)
là compensator của X ) và d X

martingale tức là

s

= σ 2 Xs2 ds. Quá trình khả đoán J ∈

0

L(W X ) thoả mãn

0

VtX (Φ) = EPX 0 [h/X 0 T |Ft ], với t ∈ [0, T ],

T

Js2 ds < ∞, PX 0 − as.
0

và đặt

Do đó

Vt (Φ) = Xt0 EPX 0 [h/X 0 T |Ft ] với t ∈ [0, T ].

T
0

dS

s

T
0

=

2

T
0

Js2 X 0 s ds < ∞ và

|Hs ||duX (s)| =

T
0

|σ −1 µJs |X 0 s ds <

∞, P − as.
0

Định lý 2.2. Nếu quyền phái sinh h là PX 0 − khả tích thì nó được đáp

Suy ra H ∈ L(X), Ks = Ms − Hs XsX = Ms − Js /σ.

ứng.

Suy ra J ∈ L(X 0 ) theo tính liên tục của M suy ra K ∈ L(X 0 ). Vậy ta
0

Chứng minh. Đặt Mt = EPX 0 [h/XT0 |Ft ] cho Φ = (K, H) là một chiến lược
giao dịch và đặt Vt = Vt (Φ). Khi đó Φ đáp ứng h nếu và chỉ nếu
0

Phần còn lại ta sẽ chỉ ra chiến lược Φ là tự tài trợ.
Thực vậy, từ Mt = M0 +

0

0

Ta cần xác định Ht với điều kiện tự tài trợ cho Φ là dVtX = Ht dXtX tức
0

t = T suy ra VT (Φ) = X 0 T MT = h.

0

Kt + Ht XtX = VtX = Mt với t ∈ [0, T ].

dạng tích phân VtX = V0 +

có chiến lược giao dịch Φ thoả mãn VtX (Φ) = Mt , t ∈ [0, T ]. Hơn nữa với

t
X0
0 Hs dXs

0

định lí III.5.d.0 [11] ta có Ft −martingale Mt có thể biểu diễn
0

Js dWsX , t ∈ [0, T ],

Mt = M0 +
0

suy ra

0

dVtX (Φ) = dMt = Ht dXtX

Suy ra Ht =

dVtX
dXt

0

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Như vậy chiến lược tối ưu đầu tư để đáp ứng quyền phái sinh h là: Φs =
X0

dVs
(Ms − Hs XsX ; dX
)
X0
0

s

0

Xét trong trường hợp rời rạc ta có H =
họa bởi ví dụ mục sau đây.

17

0

= Mt với t ∈ [0, T ].

Gọi (Ft ) là bộ lọc tăng sinh bởi chuyển động Brown hình học WtX . Theo
t

t
X0
0 Hs dXs

18

∆VtX
0.
∆XtX

Điều này sẽ được minh


2.1.2

Công thức Black-Scholes về định giá quyền chọn Châu
Âu trong thị trường đầy đủ.

Xét mô hình Black-Scholes đơn giản được cho bởi phương trình vi phân

gian, nhà đầu tư xem rằng giá Quyền Chọn Mua có thể bị chiết khấu với

tốc độ r nên giá trị thực sự của Quyền Chọn Mua thời điểm hiện tại t =
0 là :

V0 = e−rT E[(XT − S)+ ].

ngẫu nhiên tuyến tính sau:

dXt = µXt dt + σXt dBt ,

Giả sử giá chứng khoán Xt tuân theo mô hình Black-Scholes, do đó giá
trị XT là giá trị của một chuyển động Brown hình học

với µ , σ là những hằng số và B là chuyển động Brown hình học.
Giá chứng khoán Xt tuân theo mô hình Black-Scholes như trên là một
trường hợp của thị trường đầy đủ. Gọi V0 là giá của quyền chọn vào thời

σ2
)T .
2

XT = X0 exp σBT + (r −

điểm t=0. Ta có công thức Black-Scholes để định giá của một hợp đồng

Vì BT là một biến ngẫu nhiên với kỳ vọng 0 và phương sai T nên ta có
√
thể đặt BT = T Z trong đó Z là biến ngẫu nhiên chuẩn N (0, 1) khi đó

quyền chọn như sau :

XT sẽ viết thành
V0 = X0 N (d1 ) − Se

−rT

N (d2 ),

X0
1
σ2
d1 = √ ln
+ (r + )T ,
S
2
σ T
√
d2 = d1 − σ T .
Sau đây ta sẽ đi xây dựng công thức trên.
Thật vậy, ta có V0 được tính theo công thức

V0 = e−rT E[(XT − S)+ ].

Suy ra

√
σ2
V0 = e−rT E X0 exp σ T Z + (r − )T ) − S
2
Do đó

e−rT
V0 = √
2π
Ta xác định x để

Ta rút ra

nhà đầu tư sẽ mua quyền chọn với giá thực thi S. Nếu XT < S thì nhà đầu
tư không cần thực thi hợp đồng vì không bắt buộc phải mua. Lợi nhuận
Do đó

sẽ là :

(XT − S)+ =

XT − S nếu XT − S ≥ 0,
0
nếu XT − S < 0 ,

Ta tính giá trị trung bình của nó bởi kì vọng toán E[(XT − S)+ ] giá

∞

X 0 eσ

√

√

−S

.

x2

e− 2 dx.

2

T x+(r− σ2 )T

− S = 0.

ln( XS0 ) − (r −
√
x=a=
σ T
e−rT
V0 = √
2π

+

2

T x+((r− σ2 )T

+

−∞

X0 expσ

trong đó XT là giá chứng khoán tại thời điểm đáo hạn T và S là giá thực
thi hợp đồng tại thời điểm T. Nếu XT ≥ S thì lợi nhuận là XT − S ≥ 0

σ2
)T .
2

XT = X0 exp σBT + (r −

∞

X0 eσ

√

2

T x+((r− σ2 )T

σ2
2 )T

.
+

x2

− S) e− 2 dx.

a

Từ đó ta có

cả trên thị trường thường thay đổi theo một hệ số là hàm mũ eγt của thời

√
V0 = X0 Φ(−(a − σ T )) − Se−rT Φ(−a).

19

20


√
Đặt d2 = −a và d1 = −a + σ T thì
1
X0
σ2
d1 = √ ln( ) + (r + )T
S
2
σ T
Ta có

trong đó r là lãi xuất không rủi ro ; τ = T − t. Nếu chọn t = 0 thì τ = T

√

và d2 = d1 − σ T .

do đó

Ct − Pt = Xt − e−rτ S
gọi là hệ thức cặp đôi Mua-Bán.

V0 = X0 Φ(d1 ) − e−rT Φ(d2 ).

Ta có Pt = Ct − Xt + e−rτ S

Đây là công thức Black-Scholes để định giá V0 Quyền Chọn Mua kiểu

Tính C bằng công thức Black-Scholes ta được

châu Âu tại thời điểm 0 trên cơ sở giá cổ phiếu Xt tuân theo mô hình

Pt = Xt Φ(d1 ) − e−rτ SΦ(d2 ) − Xt + e−rτ S.

Black-Scholes.
Nếu thời điểm đáo hạn là T, còn thời điểm ban đầu là t thì giá chứng

Vì Φ(d1 ) + Φ(−d1 ) = 1 và Φ(d2 ) + Φ(−d2 ) = 1 nên ta có

khoán ban đầu sẽ là Xt còn khoảng thời gian từ lúc đầu đến lúc đáo hạn

Pt = −Xt Φ(−d1 ) + e−rτ SΦ(−d2 ).

sẽ là T − t khi đó công thức Black-Scholes sẽ là

Là công thức Black-Scholes với Quyền Chọn Bán.

Vt = Xt Φ(d1 ) − Se−r(T −t) Φ(d2 ).
d1 =

σ

Xt
σ2
1
ln( ) + (r + )(T − t) và d2 = d1 − σ
S
2
(T − t)

Sau đây ta sẽ minh họa việc bảo hộ tài sản phái sinh bởi một chiến lược

(T − t).

Giá của một Quyền Chọn Mua châu Âu có liên hệ với giá của một
Quyền Chọn Bán châu Âu. Giả sử ta mua một cổ phiếu với giá Xt và bán
một Quyền Chọn Mua với giá Ct (thời hạn và giá thực thi là tùy ý) Quyền
Chọn Mua. Lo rằng giá cổ phiếu có thể bị sụt giảm ta mua một Quyền
Chọn Bán với giá Pt với cùng một thời hạn và giá thực thi như Quyền
Chọn Mua. Như vậy giá của vị thế ngày hôm nay là: Xt + Pt − Ct .
Gọi giá thực thi chung của Quyền Bán và Quyền Mua là S. Khi đó giá
của vị thế vào ngày đáo hạn sẽ như thế nào?
Nếu Xt ≥ S thì giá đó bằng S . Ta đem giao cổ phiếu cho người mua
còn Quyền Bán không có giá trị.

đầu tư vào cổ phiếu:
Giá cổ phiếu của công ty cổ phần nhựa và môi trường xanh An Phát có mã
là AAA trong sàn giao dịch HOSE từ ngày 15/7/2010 đến ngày 24/9/2010
như sau:
48.7
49
42
58.5
91.7

46.5
50.5
44.5
62.4
91

46.3
48.8
46.7
70.8
91.8

45.2 45.1 45.1 46 45.1 46.1 45
49.2 50 48 49 47 45.1 44.4
47.2 44.5 47.7 50.3 53.3 56.8 55.8
75.6 80 83.2 89 85 91 90.3
91.4 90.4 84.4 78.7 73.2 68.1 63.4

Ta cần bảo hộ cho 1000 quyền mua cổ phiếu của công ty này với giá thực

thi là 48.7 vào ngày đáo hạn là 24/9/2010. Giả sử giá cổ phiếu của AAA
là thỏa mãn thị trường đầy đủ, tuân theo mô hình Black-Scholes đơn giản.
Ta ước lượng các tham số của phương trình Black-Scholes theo công thức

Nếu Xt < S thì giá đó cũng vẫn bằng S . Ta đem giao cố phiếu cho
người bán Quyền Bán còn quyền mua thì không có giá trị.
Vậy dù xảy ra tình huống nào thì giá của vị thế của ta là như nhau và
bằng S . Vì ta ở vào một vị thế tất định, nên suy ra:

:

ˆ=
Trung bình mẫu U
2

Phương sai mẫu S =
Ta có σ =

n
i=1 (ln(xi+1 ) − lnxi ), Ui
n
1
ˆ 2
i=1 (Ui − U ) .
n−1

1
n

= ln(xi+1 ) − lnxi .

√S .
∆t

(Xt + Pt − Ct )erτ = S

Ta giả sử σ không đổi là một hằng số. Số liệu được xử lí trong bảng sau:

21

22


được. Nó mô phỏng giá phải trả của một sản phẩm phái sinh mà ta quan
tâm. Một chiến lược ϑ là quá trình khả đoán sao cho tích phân ngẫu nhiên

Gt (ϑ) :=

t
0 ϑdX

xác định tốt và là một nửa martingale khả tích.

Thực vậy, Gt (ϑ) mô tả tiền lãi giao dịch được tạo ra bởi chiến lược đầu

Chương 3

tư tự tài trợ tương ứng ϑ và H − c − GT (ϑ) là tổng tài sản thâm hụt của

Định giá và bảo hộ trong thị trường

không đầy đủ

người bảo hộ bắt đầu với vốn ban đầu là c. Sử dụng chiến lược ϑ và tài
khoản ngẫu nhiên phải trả là H vào ngày đáo hạn T . Việc bảo hộ bình
phương trung bình nghĩa là tìm lời giải của bài toán tối ưu sau:
min E[(H − c − GT (ϑ))2 ] trên tất cả các chiến lược ϑ

3.1

Bài toán bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực
tiểu bình phương trung bình

(3.1)

nghiệm của bài toán sẽ được kí hiệu là ξ (c) nếu nó tồn tại.
Trong phần sau chúng ta sẽ chỉ rõ những điều kiện của X , định nghĩa

Trong chương 2 ta đã chỉ ra trong thị trường đầy đủ thì mọi tài sản

không gian Θ chiến lược giao dịch và tìm hiểu kĩ về bài toán bảo hộ giá

phái sinh đều được đáp ứng bởi một chiến lược đầu tư duy nhất. Tuy nhiên
trong thị trường không đầy đủ thì nói chung các quyền phái sinh không

trị bình phương trung bình. Từ mục 3.3 ta giả sử quá trình cân bằng bình
ˆ bị chặn và liên tục.Ta cũng chứng minh rằng không
phương trung bình K

được đáp ứng một cách chính xác mà chỉ được xấp xỉ bởi việc dùng chiến

gian GT (Θ) là đóng trong L2 (P ) và mỗi H ∈ L2 (P ) nhận một phân tích

lược đầu tư đáp ứng theo nghĩa bình phương trung bình nhỏ nhất. Trong

Fo¨llmer- Schweizer là

chương này sẽ đi nghiên cứu về chiến lược đầu tư đó.
Trước hết chúng ta làm rõ hơn về nghĩa của bảo hộ bình phương trung

T

ξsH dXs + LH
T.

H = H0 +
0

bình. Cho X là quá trình ngẫu nhiên liên tục mô tả giá chiết khấu của một

với H0 ∈ R; ξ H ∈ Θ và martingale bình phương khả tích LH trực giao

cổ phiếu trong thị trường tài chính với điều kiện không có độ chênh thị
ˆ
giá. X phải là nửa martingale, giả sử nó có dạng X = X0 + M + d M λ

mạnh với M những kết quả này thực sự rất nổi tiếng, nhưng đòi hỏi thêm
ˆ . Tính đóng của GT (Θ) dĩ nhiên bảo đảm rằng bài
bởi tính liên tục của K

ˆ và chúng ta gọi K

ˆ :=
với quá trình khả đoán λ

toán (3.1) quả thực có nghiệm với mọi H; c. Hơn thế nữa tính bị chặn của
ˆ dẫn tới ZˆT ∈ L2 (P ) và do đó có phân tích Fo¨llmer- Schweizer là :
K

ˆ tr d M λ
ˆ là quá trình
λ

cân bằng bình phương trung bình của X . Nếu martingale địa phương
ˆ
Zˆ := E(− λdM
) là dương thực sự (điều này là hiển nhiên với X liên
ˆ

tục) và là một martingale chính qui thì đặt ddPP := ZˆT xác định một độ đo
xác suất Pˆ tương đương với P được gọi là độ đo martingale nhỏ nhất của

X . Độ đo này sẽ đóng một vai trò rất quan trọng trong phần chứng minh.
Quyền phái sinh là một biến ngẫu nhiên H bình phương khả tích FT đo
23

T

ˆT ] +
ZˆT = E[ZˆT2 ] − E[ZˆT L

ˆT .

ζˆs dXs + L

0

Trong mục 3.4 chúng ta chỉ ra rằng với H ∈ L2+ε (P ), nghiệm ξ (c) của

(3.1) được cho bởi dạng công thức liên hệ ngược

24


ˆ và gọi nó là quá
P − h.c.c với t ∈ [0; T ], giữ nguyên tính liên tục của K
(c)

ξt

ζˆt
(H0 +
= ξtH −
ˆ
ˆ
E[ZT /Ft ]

t

t

ξsH dXs + LH
t −c−

0

trình cân bằng bình phương trung bình ( MVT) của X .

ξs(c) dXs )
0

ˆ bị chặn và
với X liên tục, K
ˆ T = 0 trong phân tích Fo¨llmer- Schweizer của ZˆT .
L

3.2.1

Định nghĩa 3.2.1

(3.2)
Cho quá trình liên tục phải giới hạn trái Y , kí hiệu Y ∗ là quá trình

Sau đây ta sẽ tìm hiểu kĩ về hai định nghĩa quan trọng.

3.2

Quá trình cân bằng bình phương trung bình và
không gian các chiến lược đầu tư

Yt∗ := sup | Ys | , 0 ≤ t ≤ T,
s∈[0;t]

kí hiệu R2 (P ) không gian quá trình Y thích nghi RCLL sao cho

Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất với bộ lọc F = (Ft )0≤t≤T thỏa

Y

mãn điều kiện đủ và liên tục phải, ở đó T ∈ [0, ∞) cố định. Tất cả quá

R2 (P )

:= YT∗

L2 (P )

< ∞.

trình xem xét được biểu thị bởi t ∈ [0; T ].
Cho X là nửa martingale liên tục phải và có giới hạn trái (RCLL) nhận
2
giá trị trong Rd , X ∈ Sloc
(không gian các nửa martingale địa phương bình

3.2.2

Định nghĩa 3.2.2

phương khả tích) tức là X là một nửa martingale với phân tích chính tắc

Cho p

X = X0 + M + A; M ∈ M20;loc với A khả đoán và |A| bình phương khả

d

i

tích địa phương. Chúng ta cũng giả sử rằng A

M

i

1, Lp (M ) không gian tất cả quá trình khả đoán nhận giá trị

trong R sao cho

với i = 1, ..., d. và

ta cố định quá trình Bt khả đoán tăng RCLL triệt tiêu tại 0 sao cho

ϑ

Lp (M )

t

Lp (P )

0

γs dBs , 0 ≤ t ≤ T

ϑ
i; j = 1, ..., d.

0

Với giả sử rằng X thỏa mãn điều kiện cấu trúc tức là có một quá trình
ˆ khả đoán nhận giá trị trong Rd giá trị sao cho σt λ
ˆ t = γt (P − h.c.c) với
λ

t ∈ [0; T ] và
t

ˆ t :=
K
0

t

ˆ tr γs dBs =
λ
s

< ∞.

)
Lp (P )

T

i

At =

ϑdM

Lp (A) không gian các quá trình khả đoán ϑ nhận giá trị trong Rd sao cho

t
i

= (

T

0

σsij dBs , 0 ≤ t ≤ T,

=

1
2

ϑtr
s σs ϑs dBs

:=

t

M i, M j

1
2

T

t

ˆ tr σs λ
ˆ s dBs =
λ
s

0

0

25

ˆ tr d M λ
ˆs < ∞
λ
s

Lp (A)

ϑtr

s γs dBs )

:= (
0

ϑtr dA

=

< ∞.
T Lp (P )

Lp (P )

Đặt

Θ := L2 (M ) ∩ L2 (A)
là không gian tất cả quá trình X-khả tích ϑ nhận giá trị trong Rd sao cho
tích phân ngẫu nhiên Gt (ϑ) :=

t
0 ϑs dXs

thuộc không gian S 2 các nửa

martingale. Nếu K bị chặn thì theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
26


ϑ

L2 (A)

≤ ϑ

L2 (M ) .
2

ˆT
K

1
2

do đó Θ = L2 (M ) cho hằng số c ∈ R và biến

ngẫu nhiên H ∈ L (FT , P )).
Xét bài toán tối ưu sau: Tìm giá trị nhỏ nhất của E[(H − c − GT (ϑ)]2 với
mọi ϑ ∈ Θ.
Kí hiệu nghiệm của bài toán là ξ (c) nếu nó tồn tại.
Bài toán này được nảy sinh một cách rất tự nhiên trong toán tài chính
khi nghiên cứu về chiến lược bảo hộ tối ưu giá trị bình phương trung bình.
Xem Xt như giá chiết khấu tại thời điểm t của một tài sản rủi ro và ϑt
như diễn biến chiến lược đầu tư với ý nghĩa ϑit mô tả số cổ phần của tái
sản i được giữ ở thời điểm t.

Tính đóng của GT (Θ) và phân tích F¨
ollmer-Schweizer

3.3

Bài toán tối ưu (3.1) lập tức nảy sinh câu hỏi liệu khi nào có nghiệm?
Tức là không gian GT (Θ) các tích phân ngẫu nhiên của X khi nào là đóng
ˆ bị chặn
trong L2 (P )? Câu trả lời chắc chắn rằng nếu quá trình MVT K
là điều kiện cần và đủ. Trong phần này luận văn đưa ra một chứng minh
ˆ bị chặn và liên tục.
khác về tính đóng của GT (Θ) với giả sử thêm rằng K
Qua đó cũng thu được chứng minh đơn giản về sự tồn tại của phân tích
Fo¨llmer-Schweizer và một số kết quả sáng sủa về tính khả tích của nó. Ta
xét một mệnh đề rất quan trọng cho việc áp dụng nó để chứng minh một
số định lí và hệ quả sau này:

Giả sử về sự tồn tại của tài sản an toàn (tài khoản ngân hàng hoặc trái
phiếu lãi xuất 0) với giá chiết khấu là 1 tại mọi thời điểm. Với mỗi ϑ ∈ Θ

3.3.1

xác định duy nhất chiến lược giao dịch tự tài trợ với đòi hỏi rằng quá trình
giá trị được cho bởi c +

t
0 ϑdX

với c ∈ R vốn được cho ban đầu tại thời

Mệnh đề 3.3.1

Cho ϑ; ψ ∈ Θ; V0 ∈ L2 (F0 , P ) và L ∈ M2 (P ) trực giao mạnh với M
và định nghĩa quá trình V bởi

điểm 0. Biến ngẫu nhiên H như một tài sản phái sinh tức là khi bản giao
t

ước được đưa ra tại thời điểm T tài khoản phải thanh toán ngẫu nhiên là
H. Kết quả thua lỗ thực tế sử dụng cặp (c; ϑ) được xác định bởi
T

H −c−

t

ϑtr
s dAs +

Vt := V0 +
0

ψstr dMs + Lt ; 0 ≤ t ≤ T.
0

Cho C là quá trình tăng không âm khả đoán RCLL. Nếu C là bị chặn khi

ϑs dXs

đó

0
T

và chiến lược tối ưu bình phương trung bình đưa ra sự xấp xỉ tốt nhất của

E

CT VT2

H với nghĩa bình phương trung bình bởi tài sản cuối cùng có thể thu được

T
2
Vs−
dCs

≥ E[

−µ

0

T
2
ˆs
Vs−
Cs dK

2
0

bởi chiến lược tự tài trợ. Điều kiện cấu trúc là một hệ quả của giả sử yếu

Cs ψstr σs ψs dBs

+
0

T

không có độ chênh thị giá và bởi vậy rất tự nhiên cho bài toán được xem
ˆ như rủi ro
xét dưới đây. Quá trình cân bằng bình phương trung bình K

−

1
µ2

Cs ϑtr
s σs ϑs dBs ]
0

của giá thị trường bình phương khả tích liên quan tới X. Chẳng hạn mô

với µ khác 0.

hình Black-Scholes về chuyển động Brown hình học với độ lệch b, độ dao
ˆ t = ( b−r )2 t.
động ϑ và tỉ lệ lãi xuất an toàn là r thì chẳng hạn cho K

Chứng minh. Từ C là tăng, khả đoán theo công thức Ito và định nghĩa

27

28

ϑ


của V chúng ta thu được

tích và có cùng kì vọng là

T

CT VT2 − C0 V02 =

T
2
Vs−
dCs +

0

T

Cs d(Vs2 )
0

T

T

2
Vs−
dCs

=

+2

0

Cs Vs− dVs +

T

=

Cs d[Vs ]

+2

0

0

s

T

tr

Cs d[

ϑ dA]s

ˆ
Cs Vs− ϑtr
s σs λs dBs

0

0

T

T

Cs d[

ψdM ] +
s

0

Cs Vs− ψs dMs + 2
0

ψdM, L]s

√
1

−2 ab ≥ − 2 a − µ2 b.
µ

T

Cs Vs− dLs + 2
0

Cs d[

tr

ϑ dA,

ψdM + L]s
ta thu được

0
9

=:

T

term(i).

CT VT2 ≥

i=1

T

1

V− dL]T2 ≤ VT∗ .[L]T2 ∈ L1 (P ).

Vì C là khả đoán bị chặn,

CV− dL là martingale do đó hạng tử thứ

(8) khả tích với kì vọng 0. Hạng tử thứ (7) lấy kì vọng cũng triệt tiêu từ

ψdM ∈ M20 (P ) với ψ ∈ Θ hạng tử (6) triệt tiêu vì tính trực giao mạnh
của

ψdM và L trong

−

V− dL là martingale địa phương có supremum

1

[

M20 (P )

hạng tử (9) cũng triệt tiêu.

Ta lại có [F, N ] là martingale khi N ∈ M2 (P ) và F là khả đoán có biến

phân bậc 2 khả tích. Vì ψ ∈ Θ và C khả đoán bị chặn hạng tử (4) khả
29

0

Cs ψstr σs ψs dBs
0

T

Xét đẳng thức trên với các hạng tử dưới kì vọng ta có L ∈ M2 (P )
trong L1 (P ) theo bất đẳng thức Burkholder-Davis-Gundy ta có

T
2
ˆs +
Vs−
Cs dK

2
Vs−
dCs − µ2
0

và V ∈ R2 (P ), quá trình

0

(theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz). Sử dụng bất đẳng thức cơ bản

0

T

T

+2

0

Cs d[

2
ˆ s ) 21 ,
Cs Vs−
dK

1
2
Cs ϑtr
s σs ϑs dBs ) (

0

T

Cs d[L]s + 2

T

T

0

≥ −2(
+

0

T

Cs Vs− ϑtr
s dAs = 2

2

T

Cs Vs− ϑtr
s dAs +

Cs ψstr σs ψs dBs .

=

Hạng tử (3) và (5) thì không âm và hạng tử (2) có thể đánh giá như sau:

0
T

2
Vs−
dCs

ψdM

0

T

0

T

Cs d

1
µ2

Cs ϑtr
s σs ϑs dBs + NT ,
0

với N là martingale triệt tiêu tại 0. Nhưng V ∈ R2 (P ); ϑ, ψ ∈ Θ và tính
bị chặn của C dẫn tới kì vọng vế phải xác định tốt trong [−∞, +∞) do
đó lấy kì vọng 2 vế ta có điều phải chứng minh.

3.3.2

Bổ đề 3.3.2

Cho F là quá trình tăng khả đoán RCLL triệt tiêu tại 0 với bước nhảy
bị chặn bởi hằng số b. Với mỗi β ∈ (0, 1b ) quá trình

Ctβ :=

1
e−β∆Fs
= eβFt
E(−βF )t
1
− β∆Fs
030


ˆ là liên tục bị chặn thì
Nếu quá trình K

là nghiệm RCLL khả đoán tăng duy nhất của phương trình
t

βCs dFs với 0 ≤ t ≤ T.

Ct = 1 +

T

0
ˆ

ˆ

2
ˆ s]
eβ Ks Vs−
dK

E[eβ KT VT2 ] ≥ (β−µ2 )E[
0

Nếu F bị chặn thì C β cũng bị chặn.

T

1
E[
µ2

0

nhảy của quá trình khả đoán trong phân tích chính tắc của nó lớn hơn 1.
β

T
ˆ

eβ K ψstr σs ψs dBs ]−

+ E[

Chứng minh. Quá trình βF là nửa martingale đặc biệt và những bước

ˆ

eβ Ks ϑtr
s σs ϑs dBs ],
0

với mọi β > 0 và µ = 0.

C là nghiệm duy nhất của phương trình
t
p

Ct = 1 +

Cs βdFs ; 0 ≤ t ≤ T,

ˆ

Chứng minh. Áp dụng mệnh đề 1 với C = eβ K ta có điều phải chứng

0

minh.

p

β

với C là hình chiếu F -khả đoán của C. Từ C là khả đoán ta có
nghiệm của phương trình trên. Hơn thế nữa với

Ctβ

là

s ∆Fs ≤ b ta có đánh

Từ định lí này ta rút ra một hệ quả rất quan trọng có liên quan tới sự
tồn tại nghiệm của bài toán bảo hộ tối ưu

giá sau.

Ctβ =

e−β∆Fs
1
1
= eβFt
≤
eβFt
e−β∆Fs ,
E(−βF )t
1
−
β∆F
(1
−

βb)
s
00
3.3.4

Hệ quả 3.3.4

ˆ là liên tục bị chặn thì không gian
Nếu quá trình K
T

do đó C β bị chặn.

ϑs dXs ϑ ∈ Θ

GT (Θ) =
0

Nhận xét : Nếu quá trình F là liên tục thì dễ dàng ta có C β = eβF với
là đóng trong L2 (P ) và biểu diễn

mỗi β > 0 từ đó ta có kết quả sau.

T

3.3.3

Mệnh đề 3.3.3

ϑ
2

L2 (M )

và |ϑ|2 :=

Cho ϑ, ψ ∈ Θ; V0 ∈ L (F0 , P ) và L ∈ M (P ) trực giao mạnh với M
và định nghĩa quá trình V như sau

xác định hai chuẩn tương đương trên Θ.

t

t

ϑtr
s dAs +

Vt := V0 +
0

ψs dMs + Lt , 0 ≤ t ≤ T.
0

31

ϑs dXs
0

2

32

L2 (P )


ˆ bị chặn ta có ngay Θ = L2 (M ) và theo bất đẳng
Chứng minh. : Từ K

T

thức Cauchy-Schwarz ta có

0
T

|ϑ|2 =

||
T
0

≤ ||

T
0

T

0

ϑs dAs +

ϑs dMs ||L2 (P )

ˆT
(1 + K

1
2

T

ϑs dMs T ) 2 ||L2 (P )

T

ϑtr
s dAs = E[H −

H−

ϑtr
s dAs ] +
0

1

ˆ s dBs ||L2 (P ) + ||(

ϑs σs λ

≤

ϑtr
s dAs tức là

tích Galtchouk-Kunita-Wantanabe của H −

0

ψs dMs + LT (ϑ)
0

T

∞

) ϑ

L2 (M ) .

:= H0 (ϑ) +

ψs dMs + LT (ϑ).
0

Áp dụng mệnh đề 3.3.3 với ψ = ϑ, V0 = 0, L ≡ 0 và β > µ2 > 1 dẫn tới

Việc tìm phân tích Fo¨llmer-Schweizer tương đương với việc tìm điểm

bất động của J . Cho β > 0 đặt

1−

1
||ϑ||2L2 (M ) ≤
µ2

1−

1
µ2

T
0

E
ˆ

T
0

E eβ KT

≤

T

ˆ

eβ Ks ϑtr
s σs ϑs dBs

ˆ

Suy ra hai chuẩn tương đương. Mà cứ mỗi dãy ϑn hội tụ tới ϑ trong Θ
thì kéo theo dãy

T
0

ϑns dXs cũng hội tụ tới

T
0

0

xác định một chuẩn trên Θ tương đương với ||.||L2 (M ) (theo bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz). Bây giờ ta sẽ áp dụng mệnh đề 3 với β > µ2 > 1, ϑ =

ϑ1 − ϑ2 , ψ = J (ϑ1 ) − J (ϑ2 ), V0 = H0 (ϑ1 ) − H0 (ϑ2 ), L = L(ϑ1 ) − L(ϑ2 )
dẫn tới VT = 0 do đó ta có :

ϑs dXs trong GT (Θ) dẫn tới

T

||J (ϑ1 ) − J (ϑ2 )||2β = E (

tính đóng của GT (Θ).

ˆ

eβ Ks ψstr σs ψs dBs
0

T
1
ˆ
E (
eβ Ks ψstr σs ψs dBs
2
µ
0
1
= 2 ||ϑ1 − ϑ2 ||2β .
µ

Tiếp theo ta sẽ tìm hiểu thêm một hệ quả thú vị của mệnh đề 3.3.3:

3.3.5

1

2

ϑs dXs

eβ||KT ||∞ |ϑ|22 .

≤

ˆ

2
eβ Ks ϑtr
s σs ϑs dBs ) ||L2 (P )

||ϑ||β := ||(

≤

Hệ quả 3.3.5

ˆ là liên tục và bị chặn thì với H ∈ L2 (FT , P ) có
Nếu quá trình MVT K
phân tích Fo¨llmer-Schweizer là

Do đó J là ánh xạ co trên (Θ, ||.||β ).
Suy ra J có điểm bất động hay H có phân tích Fo¨llmer- Schweizer.

T

ξsH dXs + LH
T

H = H0 +

P − a.s

Vận dụng cách chứng minh của hệ quả 3.3.5 ta có bổ đề sau:

0

với Ho ∈ R, ξ H ∈ Θ và LH ∈ M2 (P ) trực giao mạnh với M và E[LH
0 ] =

0.
ˆ bị chặn ta có Θ = L2 (M ). Xét ánh xạ J : Θ → Θ
Chứng minh. Từ K

3.3.6

Bổ đề 3.3.6

ˆ bị chặn thì với H ∈ Lp (FT , P ) (với
Giả sử X là liên tục. Khi đó nếu K
p ≥ 2 ) có phân tích Fo¨llmer-Schweizer với ξ H ∈ Lp (M ) và LH ∈ Mp (P ).

trong đó ánh xạ biến ϑ thành hàm dưới dấu tích phân ψ của M trong phân
33

34


ˆ bị chặn và liên tục theo chứng minh của hệ quả 3.3.5
Chứng minh. Từ K

3.4

Mô tả chiến lược tối ưu

ta có J là ánh xạ co trên (Θ, ||.||β ) do đó ξ H = lim J n (ϑ) với ϑ ∈
n→∞

Θ = L2 (M ). Để chứng minh ξ H ∈ Lp (M ) ta chỉ ra J là ánh xạ Lp (M )
ˆ bị chặn và Lp (M ) ⊆ Lp (A) theo
vào chính nó điều này được suy ra từ K

Trong thực tế sự tồn tại dạng hiển của một chiến lược tối ưu bình
phương trung bình thường không được như ý. Bởi vậy trong mục này luận

bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Cố định ϑ ∈ L (M ) và xét phân tích

văn đưa ra một mô tả của ξ (c) dưới dạng công thức liên hệ ngược nếu X

Galtchouk-Kunita-Wantanabe sau

liên tục và thỏa mãn điều kiện giả sử đặc biệt. Trong trường hợp mô hình

p

T

ϑtr
s dAs = H0 (ϑ) +

H−

khuyếch tán với bộ lọc Brown chúng tôi đã đưa ra cách chứng minh cho

T

0

ψs dMs + LT (ϑ).

trường hợp tổng quát ở đó X là nửa martingale liên tục với quá trình cân

0

Từ H ∈ Lp (M ) và ϑ ∈ Lp (A) ta lấy kì vọng có điều kiện 2 vế với M ∈

bằng bình phương trung bình bị chặn.

M20,loc

Cho X là nửa martingale liên tục thỏa mãn điều kiện cấu trúc (SC) và
ˆ
) là hàm mật độ martingale nhỏ nhất. Nếu
kí hiệu bởi Zˆ := E(− λdM
ˆT ] = 1 thì khi đó theo định lí Girsanov ta có
E [Z

suy ra
T
p
ϑtr
s dAs |F0 ] ∈ L (F0 , P ).

H0 (ϑ) + L0 (ϑ) = E [H −
0

dPˆ
:= ZˆT
dP

Hơn thế nữa do X liên tục và tính trực giao mạnh của L và M nên suy ra

[

ψdM, L(ϑ)] =

ψdM , L(ϑ) = 0 .

Cũng từ bất đẳng thức Burkholder-Davis-Gundy và bất đẳng thức Doob

xác định một độ đo martingale địa phương tương đương Pˆ của X tức là xác
suất Pˆ ≈ P với X là martingale địa phương theo Pˆ . Pˆ là độ đo martingale

ta thu được

ˆ T bị chặn thì ta có
địa phương nhỏ nhất của X. Nếu K

T

ψstr σs ψs dBs
0

1
2

1
2

+ [L(ϑ)]T

=

dPˆ
∈ Lr (P )
dP

1
2

1
2

||[ ψdM ]T + [L(ϑ)]T ||Lp (P )

Lp (P )

≤

√

1

const.||( ψdM + L(ϑ))∗T ||Lp (P )

≤ const.
≤
<

T
0

ψs dMs + LT (ϑ)

const. H −

T
0

dP
∈ Lr (Pˆ ) với mỗi r < ∞.
dPˆ

Lp (P )

Sau đây ta sẽ đi mô tả chiến lược bảo hộ tối ưu trong thị trường không

ˆT
ζˆs dXs + L

(3.5)

0

ˆ ∈ Mr (P ) với mỗi r < ∞ và ζˆ ∈ Lr (M ) với mỗi r < ∞.
với L
Sau đây ta sẽ trình bày một định lý rất quan trọng có nhiều ứng dụng,
trong đó chiến lược bảo hộ tối ưu được mô tả dưới dạng công thức liên hệ
ngược.

35

T

dPˆ
ˆT ] +
= E[ZˆT2 ] − E[ZˆT L
dP

ϑtr
s dAs

∞.

(3.4)

Theo bổ đề 3.3.6 và (3.3) ta có phân tích Fo¨llmer-Schweizer như sau:

Lp (P )

Do đó ψ ∈ Lp (M ) và L(ϑ) ∈ Mp (P ) ta có điều phải chứng minh.

đầy đủ.

(3.3)

và

2 [ ψdM + L(ϑ)]T2
Lp (P )

≤

với mỗi r < ∞

36


3.4.1

theo (3.4) và bất đẳng thức Doob và (3.3). Từ LH ∈ M2+ε (P ) theo bổ đề

Định lí 3.3.7

ˆ là bị chặn. Giả sử rằng X thỏa mãn điều kiện
Giả sử X là liên tục và K
ˆ
đặc biệt : LT = 0 trong phân tích (3.5). Khi đó với mỗi H ∈ L2+ε (FT , P )
với ε > 0, nghiệm ξ

(c)

3.3.6 ta thu được
T

[N ]T =
0

của (3.1) được cho bởi

(c)

ξt = ξtH −

ζˆ ˆ
Vt− − c −
ˆ
Zt0

với mỗi δ <

t

ξs(c) dXs ,

ε
2

1
(Zˆs0 )2

1

d[LH ]s ≤ [LH ]T sup
0≤t≤T

(Zˆt0 )2

∈ L1+δ (P )

theo bất đẳng thức Burkholder-Davis-Gundy ta có

(3.6)

E|N |2+2δ
≤ const.E|[N ]T |1+δ .
T

0

trong đó

Suy ra (3.7 ).
t

ˆ ZˆT |Ft ] = E[ZˆT2 ] +
Zˆt0 := E[

Từ LH là P -trực giao mạnh với M, với N và (3.7) và tính nhỏ nhất của Pˆ
dẫn tới N là Pˆ trực giao mạnh Pˆ -martingale với X, theo định lí (3.5) của

ζˆs dXs , 0 ≤ t ≤ T

0

và

[10]. Sử dụng ζˆ ∈ Lr (M ) với mỗi r < ∞ cuối cùng ta thu được

t

ˆ
Vˆt := E[H|F
t ] = H0 +

ξsH dXs + LH
t , 0 ≤ t ≤ T.

T

0

Trước khi chứng minh định lí ta xét bổ đề sau:

0

Bổ đề 3.3.8 : Cho quá trình N được xác định bởi

H0 − c + LH
0
+
Nt :=

E[Zˆ 2 ]
T

t
0

(3.7)

và N là Pˆ -martingale Pˆ -trực giao mạnh với X và N− ξˆ ∈ L2 (M ).

Chứng minh. Theo định nghĩa quá trình Zˆ 0 là dương thực sự bởi vậy N

1
1
1
=
≤ Eˆ
|Ft .
ˆ ZˆT |Ft ]
Zˆt0
E[
ZˆT

∈ L1+δ (P )

từ đó suy ra N− ζˆ thuộc L2 (M ).

Chứng minh. Theo định lí hình chiếu, chiến lược tối ưu ξ (c) được đặc trưng
bởi tính chất rằng

E

xác định tốt. Hơn thế nữa theo bất đẳng thức Jensen ta có

ε
2

sup |Ns |2
0≤s≤T

Sau đây ta sẽ đi chứng minh định lí 3.3.7:

Khi đó

N ∈ M2+η (P ) với η < ε

ζˆstr σs ζˆs dBs

0

với mỗi δ <

1
dLH
s .
ˆ
Zs0

T

Ns− ζˆstr σs ζˆs Ns− dBs ≤

H − c − GT (ξ (c) )
GT (ϑ) = 0
H − c − GT (ξ (c) ) GT (ϑ) = Eˆ
ZˆT

với mỗi ϑ ∈ Θ.
ˆ T GT (ϑ)] = 0 với mỗi ϑ ∈ Θ bị
Từ Pˆ là độ đo martingale của X và E[N
2 ˆ
chặn. Với N ∈ M (P ) Pˆ trực giao mạnh với X. Điều này gợi cho ta việc
tìm N với tính chất đặc biệt

Do đó

sup
0≤t≤T

1
∈ Lr (P ) với mỗi r < ∞,
ˆ
Zt0
37

H − c − GT (ξ (c) ) = NT ZˆT = NT ZˆT0 .

38

(3.8)

Bây giờ ta áp dụng quy tắc tích và sử dụng phân tích Fo¨llmer- Schweizer
ˆ T = 0 suy ra
của H và ZˆT cùng với giả sử đặc biệt L
(c)
0
H − c − −GT (ξ ) − NT Zˆ

dẫn tới

N Zˆ 0 = N0 E[ZˆT2 ] +

ˆ
N− ζdX
+

Zˆ 0 dN

(3.9)

T

T

= H0 −c−N0 E[ZˆT2 ]+
0

với H = H0 +
T ˆ

ζs dXs .

T
0

T

(ξsH −ξs(c) −Ns− ζˆs )dXs +LH
T−

Zˆs0 dNs −[N, Zˆ 0 ],

0

(c)
ξsH dXs + LH
T ; GT (ξ ) =

T
0

(c)

ξs dXs ; ZˆT0 = E ZˆT2 +

0

ζˆtr d[N, X] =

ζˆtr d N, X

Pˆ

như bổ đề 3.3.8 sẽ thỏa mãn và

dPˆ
H − c − GT (ξ (c) ) = NT ZˆT0 = NT
.
dP

Suy ra LH là P- trực giao mạnh với M. Vì tính nhỏ nhất của Pˆ suy ra N
được yêu cầu như một Pˆ - martingale Pˆ - trực giao mạnh với X. Theo bổ
đề 3.3.6 ta có LH ∈ M2+ε (P ) và P trực giao mạnh với M. Từ Pˆ s là độ

định cụ thể trong biểu diễn thứ hai của Vˆ . Theo (3.4) chúng ta có

-martingale triệt tiêu tại 0. Hơn nữa với mỗi δ <

ε
2

theo (3.8) và bất đẳng

thức Holder ta có

sup |Nt Gt (ϑ)| ∈ L1+δ (P ).
0≤t≤T

Theo (3.3) và N G(ϑ) là Pˆ -martingale do đó

sup |Nt Gt (ϑ)| ∈ L1 (P ).

LH ∈ M2+η (Pˆ ) với mỗi η < ε.

0≤t≤T

Từ K bị chặn ta có Θ = L2 (M ) và ξ (c) = ξ H − N− ζˆ ∈ Θ (theo bổ đề
3.3.8).
Tiếp theo ta sẽ chỉ ra ξ (c) là tối ưu và thỏa mãn (3.5).
Theo bổ đề 3.3.8 N là Pˆ - martingale Pˆ trực giao mạnh với X. Giả sử đặc
ˆ T = 0 và tính liên tục của X dẫn tới
biệt L

39

(3.10)

Với mỗi ϑ ∈ Θ tính Pˆ trực giao mạnh của N và X dẫn tới N G(ϑ) là Pˆ

đo martingale nhỏ nhất và X liên tục nên theo định lí (3.5) trong [10] dẫn
tới LH là Pˆ - martingale Pˆ - trực giao mạnh với X. Điều này được khẳng

ζˆtr d N, X

ξ (c) dX.

thỏa mãn (3.6) trong định lí 3.3.7.
Từ (3.9) và định nghĩa của Zˆ 0 ; Vˆ ta có

ξ (c) := ξ H − N− ξˆ

ζˆtr d[N, X] =

= Vˆ − c −

ζˆ
N− Zˆ−0
ξ (c) = ξ H − N− ζˆ = ξ H −
ˆ
Z0

=0

với N là Pˆ trực giao mạnh với X . Do đó ta chọn được Nt theo công thức

[N, Zˆ 0 ] =

(ξ H − ξ (c) )dX + LH

Từ Zˆ 0 liên tục ta thu được

ˆ T = 0 và tính liên tục của X,
Nhưng theo giả sử L
[N, Zˆ 0 ] =

= H0 − c +

Pˆ

Từ đó suy ra

ˆ T GT (ϑ)] = 0
E[(H − c − GT (ξ (c) ))GT (ϑ)] = E[N
với mỗi ϑ ∈ Θ. Do đó tính tối ưu của ξ (c) được chứng minh.

=0
40

(3.11)


3.4.2

tương ứng với X. Theo tài chính chúng ta muốn xấp xỉ bản thanh toán an

Hệ quả 3.4.9

toàn 1 bởi giá trị cuối cùng của một chiến lược tự tài trợ với vốn ban đầu

Với giả thiết của định lí 3.4.7 thì rủi ro toàn phương nhỏ nhất được cho

0 bởi việc đầu tư vào tài sản rủi ro là X 1 , ..., X d ; chất lượng xấp xỉ có thể

bởi

J0 = E ((H − c − GT (ξ (c) ))2 =

2
(H0 − c)2 + E[(LH
0 ) ]

+Eˆ
2
ˆ
E[Z ]
T

T
0

1
d[LH ]
ˆ
Zs0

đo được bởi hàm lỗ toàn phương. Dưới giả sử của định lí 3.3.7 nghiệm của

.

bài toán tối ưu bình phương trung bình được cho bởi

s
(0)

ξt = −E(

ζˆt
ζˆ
dX)t 0 ; 0 ≤ t ≤ T.
Zˆ 0
Zˆt

(3.12)

Vì với Vˆ ≡ 1 và ξ H ≡ 0 và công thức (3.6) trong định lí 3.3.7 thêm 1 vào

Chứng minh. Theo (3.10) và (3.11) ta có

2 vế suy ra

ˆ T (H − c − GT (ξ (c) ))]
J0 = E[N

1−

ˆ T (H0 − c + GT (ξ H − ξ (c) ) + LH
= E[N
T )]
H
(c)
ˆ T (H0 − c)] + E[N
ˆ T LH
ˆ
= E[N
T ]( vì E[NT GT (ξ − ξ )] = 0).

Theo như bổ đề 8 ta có N là Pˆ -martingale suy ra
1
ˆ T (H0 − c)] = (H0 − c)E[N
ˆ 0] =
ˆ H

E[N
(H0 − c)2 + (H0 − c)E[L
0 ]
E[ZˆT2 ]
1
=
(H0 − c)2 .
E[Zˆ 2 ]
T

do đó 1 −

ξ (0) dX = E(

T
0

1
d[LH ]s .
Zˆs0

ζˆ
dX)
Zˆ 0

ξ (0) dX)dX,

thay vào công thức định lí 3.3.7 ta có

(3.12) và với rủi ro toàn phương nhỏ nhất

J0 =

1
(H0 = 1; LH = 0).
E[Zˆ 2 ]
T

Ví dụ 3.1. Giả sử H thỏa mãn điều kiện đặc biệt LH
T = 0 trong phân tích

F o¨llmer-Schweizer của H

H
H
ˆ H
ˆ
Từ E[L
và N
0 ] = E[L0 ] = 0 bởi vậy P = P trên F0 . Ta lại có L
∈ M2 (Pˆ ). Do đó
2
ˆ H
E[(L
0 ) ]
H
H
ˆ T LH
ˆ
ˆ
E[N

+ Eˆ
T ] = E[N0 L0 ] + E[[N, L ]T ] =
2
ˆ
E[ZT ]

ζˆ
(1 −
ˆ
Z (0)

ξ (0) dX = 1 +

T

ξsH dXs

H = H0 +

(3.13)

0

với H0 ∈ R và ξ H ∈ Θ.
Nếu chúng ta không những được tự do lựa chọn ϑ mà còn chọn được vốn
ban đầu c trong bài toán tối ưu. Nghiệm tầm thường sẽ được cho bởi

Sau đây ta sẽ áp dụng các kết quả trên vào một số ví dụ cụ thể để thấy
được ý nghĩa thú vị của chúng.

3.5

c = H0 và ξ (H0 ) = ξ H với rủi ro toàn phương bằng 0. Cho ngoại sinh c bất
kì theo định lí hình chiếu và chiến lược tối ưu ξ (c) của bài toán (3.1) là
hàm tuyến tính của H. Hơn nữa theo (3.2) phần GT (ξ H ) có thể được bảo
hộ hoàn hảo bởi ξ H và phần dư H0 − c là một hằng số có thể được xấp xỉ

Xấp xỉ một tài sản phi rủi ro

như phần trên ta có nghiệm là :
Trong ví dụ đầu tiên ta xét là trường hợp đơn giản cho H =1 và c=0.
2

Xét về khía cạnh toán học là tìm hình chiếu của 1 trong L (P ) trên GT (Θ)
41

(c)

ξt = ξtH − (H0 − c)E(

ζˆ
ζˆt
(0)
dX)t 0 = ξtH + (H0 − c)ξt , 0 ≤ t ≤ T.
Zˆ 0
Zˆt
42


với rủi ro toàn phương nhỏ nhất là

T

ˆ

2
e−KT (H0 − c)2 + E[(LH
0 ) ]+E

J0 =

ˆ

eKs d[LH ]s
0

3.6

Bảo hộ trong trường hợp quá trình cân bằng
mean-variance tất định

=

T

ˆ

2
e−KT (H0 − c)2 + E[(LH
0 ) ]+E

ˆ

eKs d LH

P
s

.

0

Sau đây ta sẽ xét đến những ví dụ mà định lí 3.3.7 được thỏa mãn. Giả
sử X là nửa martingale liên tục thỏa mãn điều kiện cấu trúc. Tính liên tục
ˆ dẫn tới
của K

3.7

Mô hình khuyếch tán hầu đầy đủ

Cho X thỏa mãn

Zˆ = E(−

ˆ
λdM
) = E(−

ˆ
ˆ = E(−

λdX
+ K)

ˆ
K
ˆ
λdX)e
,

dXti
= (bit − rt )dt +
Xti

cụ thể ta có

dPˆ
ˆ
= ZˆT = eKT E(−
dP

ˆ
λdX)
T =e

ˆT
K

E(−

ˆ

ˆ
λdX)
s λs dXs ).

0

ˆ T là tất định khi đó K
ˆ bị
Nếu ta giả sử rằng giá trị của quá trình MVT K
ˆT
K
ˆ
ˆ
chặn và ZT = e + ζdX với
ζˆ := −e

ˆT
K

E(−

ˆ
ˆ
λdX)
λ.

(3.14)

ˆ T = 0 được thỏa mãn theo công thức (3.5), từ
Suy ra giả sử đặc biệt L

ˆ
ˆ
tính bị chặn của K suy ra rằng ζˆ ∈ Θ. Hơn thế nữa, E(− λdX)
là
ˆ
P − martingale, do đó ta có
ˆ ZˆT |Ft ] = eKˆ T E(−
Zˆt0 = E[

n

vtij dWtj = mit dt +
j=1

vtij dWtj
j=1

với chuyển động Brownian W trong Rn . Quá trình b và v mô tả tỉ lệ tăng

T

(1 −

n

giá và độ dao động của d chứng khoán S 1 , ..., S d trong đó r là lãi xuất an
toàn được trả bởi trái phiếu S 0 . Giá chiết khấu được cho bởi X i =

Si
S0 .

Bài

toán này đã được khái quát hóa từ mô hình Black-Scholes.
Nếu chúng ta giả sử rằng d ≤ n và ma trận vt có hạng đầy đủ tại mọi
thời điểm t với P − h.c.c so sánh các công thức ta có

dA
dM =
dM

ˆ
λdM
=

(b − r1)tr (vv tr )−1 vdW,

(3.17)

với

dA = Xt mt dt, d M = (vv tr )Xt dt, dM = Xt vdW
và

ˆ
λdX)
t, 0 ≤ t ≤ T

ˆ
λdM

=[

ˆ =
K

ˆ
λdM
]

và điều này dẫn tới

−

ζˆt
ˆ t , 0 ≤ t ≤ T.
=λ
Zˆt0

(3.15)

=

43

(3.18)
i 2
ˆ tr λ
ˆ
λ
s s (∆M )s

=
s

0

2
s

s

t

ξs(c) dXs , 0 ≤ t ≤ T.

ˆ
λdM

d

Cho biến ngẫu nhiên H nghiệm của bài toán tối ưu được cho bởi
(c)
ˆ t Vˆt− − c −
ξt = ξtH + λ

∆

(3.16)

=

i=1

(bs − rs 1)tr (vs vstr )−1 (bs − rs 1)ds
44


với 1 := (1...1)tr ∈ Rd . Do đó chúng ta sẽ nhận được quá trình MVT bị

Ví dụ 3.2. Lấy d=1 và cho X là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu

chặn được bảo toàn theo tiêu chuẩn rủi ro của giá thị trường là

nhiên

dXt
= m(t; Xt )dt + v(t, Xt )dWt
(3.20)
Xt
với giả sử thích hợp đối với hàm m, v (3.20) có nghiệm mạnh duy nhất

vstr (vs vstr )−1 (bs − rs 1); 0 ≤ s ≤ T
bị chặn.

thích nghi được với bộ lọc FW . Điều này dẫn tới điều kiện (3.19) được thỏa
ˆ T = 0 cũng thỏa mãn với bộ lọc bất kì F thu được từ FW và
mãn do đó L

Trong trường hợp một chiều d=1 suy ra điều kiện rằng

ms
bs − rs
=
; 0≤s≤T
vs
vs

chúng ta có thể áp dụng kết quả của định lí 3.3.7 và hệ quả 3.4.9.

bị chặn.
Nếu ta chọn P - tăng FW là bộ lọc được sinh bởi W và d=n thì nó được
biết đến mô hình kết quả là đầy đủ và mỗi biến ngẫu nhiên khả tích đầy

ˆ T = 0 thì
Ví dụ 3.3. Trong trường hợp tổng quát hơn, giả sử đặc biệt L
X
cũng thỏa mãn nếu ZˆT là F - đo được và nếu X có tính chất biểu diễn
T

khả đoán cho chính bộ lọc của nó chẳng hạn X được cho bởi

đủ có thể được viết như tổng của hằng số và tích phân ngẫu nhiên tương

dXi
= mit dt +
Xti

ứng với X. Thực vậy, theo định lí biểu diễn Ito dẫn tới biểu diễn bởi hằng
số cộng với tích phân ngẫu nhiên của W và có thể được viết lại trong các
thành phần của X với việc sử dụng quy tắc Bayes và nghịch đảo của vt .

từ biểu diễn

lọc FW ⊆ F tùy ý. Nếu chúng ta giả sử rằng giá rủi ro của thị trường

biểu diễn rõ ràng cho

là thích nghi với FW khi đó (3.7) dẫn tới ZˆT = E(−

v ij (Xt )dWtj
j=1

với mi bị chặn và thích nghi với FX và v ij chính tắc đủ. ZˆT là FX
T - đo được

Tuy nhiên, sự đầy đủ thì hạn chế như một giả sử và chúng ta không
ˆ T = 0. Giả sử cho d=n nhưng bộ
yêu cầu sự đầy đủ của nó để thu được L

v tr (vv tr )−1 (b − r1) = v tr (vv tr )−1 m

d

ˆ
ZˆT = eKT E(−

ˆ
λdX)
T,

ˆ
ˆ và giả sử đo được của m và v .
λdX
và K

(3.19)

ˆ
λdM
)T là FW
T - đo

được và do đó có thể biểu diễn như một hằng số cộng với một tích phân
ˆ T = 0 được thỏa
ngẫu nhiên của X theo lập luận như trên. Do đó giả sử L

Ví dụ 3.4. Chúng ta xét trường hợp d = 1 và bộ lọc F được sinh bởi W
và chuyển động Brownian W độc lập. Một P-martingale trực giao bất kì
với M là tích phân ngẫu nhiên của W do đó thành phần trực giao trong
phân tích Fo¨llmer-Schweizer của H có dạng

mãn và chúng ta có thể áp dụng định lí 3.3.7 và hệ quả 3.4.9 để xác định

LH = LH
0 +

chiến lược tối ưu và rủi ro toàn phương nhỏ nhất cho biến ngẫu nhiên bất

η H dW

kì H. Chú ý rằng tính không đầy đủ trong mô hình này suy ra từ thực

H
với η bất kì. Hơn thế nữa F0 là tầm thường và LH
0 = E[L0 ] = 0. Khi đó

tế rằng bộ lọc F chứa đựng nhiều thông tin hơn là được cho bởi giá chiết

rủi ro toàn phương nhỏ nhất được cho bởi

khấu X hoặc giá S.

J0 =

(H0 − c)2
+ Eˆ
E[Zˆ 2 ]
T

45

46

T
0

1 H 2
(ηs ) ds .
Zˆs0

Ví dụ 3.5. Cho Y là nghiệm mạnh của phương trình vi phân ngẫu nhiên

3.8

Mô hình biến động ngẫu nhiên có tính Markovian

dYt = a(t, Xt , Yt )dt + b(t, Xt , Yt )dWt

(3.24)

với chuyển động Brownian W độc lập theo P. Với giả sử chính tắc đối với
các hàm hệ số m, v, a, b, hàm vˆ là C 1,2,2 trên [0, T ) × (0, ∞) × R và nghiệm

Bây giờ chúng ta sẽ áp dụng định lí 3.3.7 cho mô hình biến động ngẫu

duy nhất của phương trình vi phân thông thường

nhiên. Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên sau:

dXt
= m(t, Xt , Yt )dt + v(t, Xt , Yt )dWt .
Xt

vˆ
1 ∂ 2 vˆ
∂ 2 vˆ
∂ˆ
v
+ a + b2 2 + x2 v 2 2 = 0, (0, T ) × (0, ∞) × R

∂t
∂y 2 ∂y
∂x

(3.21)

với điều kiện bị chặn vˆ(T, x, y) = h(x, y) với mọi x, y ∈ R+ × R . Áp dụng

Trong đó Y là thừa số ngẫu nhiên được thêm vào nhận giá trị trong Y

công thức Ito cho vˆ ta có :

bị ảnh hưởng theo sự phát triển của X. Chúng ta giả sử rằng m, v, Y như

∂ˆ
v
∂ˆ
v
∂ˆ
v
∂ˆ
v
dt +
Xmdt +
XvdW + adt
∂t
∂x
∂x
∂y
∂ˆ

v
1 ∂ 2 vˆ
1
∂ 2 vˆ
1 ∂ 2 vˆ 2
+ bdW +
xvbdW dW + x2 v 2 2 dt +
b dt
∂y
2 ∂x∂y
2
∂x
2 ∂ 2y
1 ∂ 2 vˆ
+
xvbdW dW .
2 ∂y∂x
dˆ
v=

(3.21) có nghiệm mạnh duy nhất và coi F như P-tăng của bộ lọc sinh bởi
X và Y. Từ đó Y sẽ đặc trưng cho một định lượng phi mậu dịch. Mô hình
(3.21) không đầy đủ trong trường hợp tổng quát.
Hơn thế nữa chúng ta giả sử rằng (X,Y) là quá trình markov theo P.
Nếu ta hạn chế sự quan tâm của chúng ta tới tài sản phái sinh dạng

Khi đó dẫn tới

H = h(Xt , Yt ). Việc tìm phân tích Fo¨llmer-Schweizer của H thì dễ dàng.
ξtH =

Từ

ˆ t = dA = Xt m(t, Xt , Yt )dt = m(t, Xt , Yt ) , 0 ≤ t ≤ T. (3.22)
λ
dM
Xt2 .v 2 (t, Xt , Yt )dt Xt v 2 (t, Xt , Yt )
và

dPˆ
= ZˆT = E(−
dP

m(s, Xs , Ys )
dWs )T .
v(s, Xs , Ys )

(3.23)

Theo công thức Bayes và tính Markov của (X,Y) với P suy ra

ˆ
ˆ
Vˆt = E[H|
Ft ] = E[h(X
ˆ(t, Xt , Yt )
T , YT )|Ft ] = v
với hàm vˆ : [0, T ].R+ .Y → R điều này có thể sử dụng để đưa ra biểu diễn
rõ ràng cho ξ H , LH như ví dụ sau được minh họa.

47

và

∂ˆ
v
(T, Xt , Yt ) với 0 ≤ t ≤ T
∂x

t

∂ˆ
v
(T, Xs , Ys )b(s, Xs , Ys )dWs , 0 ≤ t ≤ T.
∂x
0
Từ đó áp dụng công thức định lí 3.4.7 ta có chiến lược ξ (c) để đáp ứng.
LH
t =

Mệnh đề 3.8.10. Giả sử m và v trong (3.21) không phụ thuộc vào y. Khi
đó giả sử đặc biệt thỏa mãn và biểu thức dưới dấu tích phân ζˆ trong (3.5)
thì rõ ràng được cho bởi

∂g
ˆ t g(t, Xt ) , 0 ≤ t ≤ T.
ζˆ = Zˆt
(t, Xt ) − λ
(3.25)
∂x

Trong đó g : [0, T ] × R+ → R là nghiệm duy nhất của phương trình vi
phân thường

∂g m2
∂g 1 2 2 ∂ 2 g
+ xv
− xm
+ 2 g = 0 trên (0, T ) × (0, ∞)
2
∂t 2
∂x
∂x
v
48

(3.26)