Bai tap phan tich da thuc thanh nhan tu lop 8

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ( Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức)
a) 25x2 - 10xy + y2
b) 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3
c) 81x2 – 64y2
d) (xy + 4)2 – (2x + 2y)2
e) ( a 2 + b 2 − 5 ) − 4 ( ab + 2 )
2

2

f) ( a + b + c ) − a 3 − b 3 − c 3
3

( Dùng hằng đẳng thức số 3)
( Dùng hằng đẳng thức số 6 và 7)
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhóm hạng tử)
3
2
2 2
2
a) 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 3
b) x z + x yz − x z − xyz
c) x2y + xy2 – x – y
d) 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z
e) x3 + y(1 – 3x2) + x(3y2 – 1) – y3
f) x3 + 3x2y + x + 3xy2 + y + y3
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp tách hạng tử)
a) x2 - 6x + 8
b) x2 – 8x + 12
2

2
2
c) a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b )
d) x3 – 7x – 6
( Tách c - a = c - b + b - a)
( Tách - 7x = -4x - 3x )
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp thêm - bớt hạng tử )
a) x4 + 4
b) a4 + 64
c) x5 + x + 1
d) x5 + x - 1
Bài 4*: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp đặt ẩn phụ)
Bài giải mẫu : (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
Đặt: x2 + x + 1 = y , ta có x2 + x + 2 = y + 1 .
Ta có: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = y(y + 1) – 12
= y2 + y – 12 = y2 – 9 + y – 3 = (y – 3)(y + 3) + (y – 3) = (y – 3)(y + 4)
Thay x2 + x + 1 = y , ta được :
(x2 + x + 1 – 3)( x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x – 2)( x2 + x + 5)
= [(x – 1)(x + 1) + (x – 1)]( x2 + x + 5) = (x - 1)(x + 2)( x2 + x + 5)
a) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15
b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24
2
2
c) (x + 8x + 7)( x + 8x + 15) + 15
d) (x2 + 3x + 1)( x2 + 3x + 2) – 6
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phối hợp nhiều phương pháp )
a) x2 + 4xy + 3y2
b) 2x2 - 5xy + 2y2 ( Tách -5xy = -4xx - xy)
c) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
d) 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2

Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhẩm nghiệm)
Định lí ( Bedu) : Dư trong phép chia f(x) cho x - a bằng số a.
Suy ra : Nếu f(x) có nghiệm x = a thì f(a) = 0. Khi đó, f(x) có một nhân tử là x – a
và f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)
Bài giải mẫu : Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 3x + 9 thành nhân tử
Với x = -1. ( Dùng MTBT để tìm 1 nghiệm)
Ta có : (-1)3 - 5.(-1)2 + 3.(-1) + 9 = -1 - 5 -3 + 9 = 0. Vậy x = -1 là một nghiệm của
đa thức nên đa thức chia hết cho x - (-1) = x + 1.
Từ cơ sở trên, ta phân tích đa thức thành :
x3 – 5x2 + 3x + 9 = x3 + x2 – 6x2 - 6x + 9x + 9 ( Để làm xuất hiên nhân tử x + 1)
= ( x3 + x2) – ( 6x2 + 6x) + ( 9x + 9 ) = x2( x + 1) - 6x( x + 1) + 9( x + 1)
= (x + 1)( x2 - 6x + 9) = ( x + 1)( x - 3)2
a) x2 – 7x + 10
b) 4 x2 – 3x – 1
c) x 2 − x − 12
d) x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)
e) bc(b + c) + ac(c – a) – ab(a + b)
f) x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz


Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử :
( Dùng phương pháp nhẩm nghiệm và hoán vị vòng)
Bài giải mẫu : Phân tích đa thức a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) thành nhân tử
Xem đa thức với ẩn a. Thay a = b. Ta có :
b(b2 – c2) – b(b2 – c2) + c(b2 – b2) = 0. Vậy a = b là một nghiệm của đa thức
nên đa thức chia hết cho a - b.
Mặt khác: a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = a(b2 – c2) + b(c2 – a2) + c(a2 – b2)
nên vai trò của a, b và c là như nhau, suy ra đa thức cũng chia hết cho b - c; c -a.
+ Bậc của đa thức đã cho bằng 3.
Suy ra : a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = k(a-b)(b-c)(c-a) Với k ∈ Z

Cho a = 0; b = 1; c = 2. Ta có :
0 ×( 12 − 2 2 ) − 1 ×( 02 − 2 2 ) + 2 ×( 02 − 12 ) = k ( 0 − 1) ( 1 − 2 ) ( 2 − 0 )
⇔ 2 = 2k ⇔ k = 1 . Vậy a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = (a-b)(b-c)(c-a)
a) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3

b) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3

c) ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)

d) bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc

BÀI TẬP VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Bài 1: Tìm x , biết :
a) (2x – 1)2 – (x +3)2 = 0
b) 5x(x – 3) + 3 – x = 0
2
2
2
2
c) (5x + 3x – 2 ) = (4x – 3x – 2 )
d) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0
Bài 2: Chứng minh rằng: n3 – n chia hết cho 6 với mọi n ∈ Z.
Bài 3: Cho a, b , c thỏa mãn a + b + c = 0 . Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài 4: Chứng minh rẳng :
a) 24 n M15
b) 55n+1 – 552 chia hết cho 54
Bài 5: Cho x + y = -3 và x.y = -28. Tính giá trị các biểu thức sau theo m,n.
a) x2 + y2
b) x3 + y3
c) x4 + y4

2
2
2
Bài 6: a) Cho a + b + c + 3 = 2 ( a + b + c ) . Chứng minh : a = b = c = 1.

b) Cho ( a + b + c ) = 3 ( ab + ac + bc ) . Chứng minh : a = b = c. ( nhân 2 vế cho 2)
Chuyển về dạng bình phương của tổng hoặc hiệu
Bài 7:
a) Cho a +b +c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2.Tính giá trị của : a4 + b4 + c4.
b) Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện : x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0.
Hãy tính giá trị của Biếu thức : S = (x-1)2011 + (y - 1)2012 + (z +1)2013
Bài 8: Chứng minh rằng:
2

a) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ ab + ac + ad

b) a 2 + 4b 2 + 4c 2 ≥ 4ab − 4ac + 8bc

Bài 9: Chứng minh rằng:
Nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z 3 = 3xyz
Bài 10: Chứng minh : a2 + 4b2 + 4c2 ≥ 4ab - 4ac + 8bc
( Viết về dạng bình phương của một tổng)




ĐÁP ÁN
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ( Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức)
a) 25x2 - 10xy + y2
= ( 5x - y)2

b) 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3
= ( 2x + 3y)2
c) 81x2 – 64y2 = (9x)2 - (8y)2
= ( 9x + 8y)(9x - 8y)
2
2
d) (xy + 4) – (2x + 2y) = ( xy + 4 + 2 x + 2 y ) ( xy + 4 − 2 x − 2 y )
e) ( a 2 + b 2 − 5 ) − 4 ( ab + 2 ) = ( a 2 + b 2 − 5 ) −  2 ( ab + 2 ) 
=  a 2 + b 2 − 5 − 2 ( ab + 2 )   a 2 + b 2 − 5 + 2 ( ab + 2 )  =
2

2

2

2

2
2
= ( a + b ) − 32  ( a + b ) − 12  = ( a + b + 3) ( a + b − 3) ( a + b + 1) ( a + b − 1)



3
3
3
3
3
f) ( a + b + c ) − a 3 − b 3 − c 3
= ( a + b + c ) − a  − b + c

2
2
2
2
= ( a + b + c − a ) ( a + b + c ) + ( a + b + c ) a + a  − ( b + c ) b − bc + c
2
2
2
2
2
2
2
= ( b + c ) a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac + a + ab + ac + a − b + bc − c

(

(
= ( b + c ) ( 3a

(

2

)

+ 3ab + 3bc + 3ac = ( b + c ) 3a ( a + b ) + 3b ( a + b ) 

= 3( a + b) ( b + c) ( a + c)

)

)

)

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhóm hạng tử)
3
2
2
2
a) 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 3 = ( 2 x + 2 x ) + ( 3 x + 3 ) = 2 x ( x + 1) + 3 ( x + 1)
= ( x 2 + 1) ( 2 x + 3)

2
3
2
2 2
2
b) x z + x yz − x z − xyz = xz ( x + xy − xz − yz )

2
= xz ( x − xz ) + ( xy − yz )  = xz  x ( x − z ) + y ( x − z )  = = xz ( x − z ) ( x + y )
2
2
c) x2y + xy2 – x – y = ( x y + xy ) − ( x + y ) = xy ( x + y ) − ( x + y ) = ( x + y ) ( xy − 1)
d) 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z
= ( 8 xy 3 − 24 y 2 ) − ( 5 xyz − 15 z ) = 8 y 2 ( xy − 3) − 5 z ( xy − 3) = ( xy − 3) ( 8 y 2 − 5 z )

e) x3 + y(1 – 3x2) + x(3y2 – 1) – y3 = x 3 − 3 x 2 y + 3xy 2 − y 3 − x + y = ( x − y ) − ( x − y )
3

2
2
= ( x − y ) ( x + xy + y − 1)

2
2
f) x3 + 3x2y + x + 3xy2 + y + y3 = ( x + y ) + ( x + y ) = ( x + y ) ( x − xy + y + 1)
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp tách hạng tử)
2
a) x2 - 6x + 8 = x − 2 x − 4 x + 8 = x ( x − 2 ) − 4 ( x − 2 ) = ( x − 2 ) ( x − 4 )
b) x2 – 8x + 12 = ( x − 2 ) ( x − 6 )
3

2
2
2
2
2
2
c) a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b ) = a ( b − c ) + b ( c − b + b − a ) + c ( a − b )
= a2 ( b − c ) + b2 ( c − b ) + b2 ( b − a ) + c2 ( a − b )

= a2 ( b − c ) − b 2 ( b − c ) − b 2 ( a − b ) + c2 ( a − b )

= ( a − b) ( a + b) ( b − c) − ( a − b ) ( b + c) ( b − c) = ( a − b) ( b − c) ( a − c)
d) x3 – 7x – 6 = x 3 − 4 x − 3x − 6 = x ( x − 2 ) ( x + 2 ) − 3 ( x + 2 )
= ( x + 2 ) ( x 2 − 2 x − 3) = = ( x + 1) ( x + 2 ) ( x − 3)

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp thêm - bớt hạng tử )
a) x4 + 4 = x 4 + 4 x 2 + 4 − 4 x 2 ( Thêm bớt hạng tử ±4x 2 )
2
2
= ( x2 + 2) − ( 2 x ) = ( x2 − 2 x + 2) ( x2 + 2 x + 2 )
4
2
2
4
2
2
b) a4 + 64 = a + 16a + 64 − 16a = ( a + 16a + 64 ) − 16a

= ( a 2 + 8 ) − ( 4a ) = ( a 2 + 4a + 8 ) ( a 2 − 4a + 8 )
2

2

5
2
2
2
2
2
c) x5 + x + 1 x − x + x + x + 1 = x ( x − 1) ( x + x + 1) + ( x + x + 1)

2
3
2
= ( x + x + 1) ( x − x + 1)

d) x5 + x - 1 = x5 + x2 - x2 + x - 1 = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1)
= (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
Bài 4*: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp đặt ẩn phụ)
a) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 ( *) . Đặt t = x2 + x. Ta có :
(x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 = t2 - 2t - 15 = ( t + 3)( t - 5)
2
2
( *) = ( x + x + 3) ( x + x − 5 )
b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24
c) (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15
d) (x2 + 3x + 1)( x2 + 3x + 2) – 6

Giải bài 3:
Cách 1 : Từ a + b + c = 0 ⇒ a + b = - c ⇒ (a + b)3 = (- c)3
⇒ a3 + b3 + 3ab(a + b) = - c3 ⇒ a3 + b3 + 3ab(- c) = - c3
⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc
Cách 2 :a + b + c = 0 ⇒ a + b = - c ⇒ - ab(a + b) = abc
⇒ - a2b – ab2 = abc
Tương tự : - b2c – bc2 = abc ; - c2a – ca2 = abc
Do đó :
3abc = - a2b – ab2 – b2c – bc2 – c2a – ca2
⇒ 3abc = - a2(b + c) – b2(a + c) – c2(a + b)
⇒ 3abc = - a2(-a) – b2(-b) – c2(-c)
⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc
Cách 3 :a + b + c = 0 ⇒ a + b = - c ⇒ - c2(a + b) = c3
⇒ -a2c – bc2 = c3
Tương tự : -ab2 – cb2 = b3 ; -ba2 – ca2 = a3
Do đó : -ab2 – cb2 – ab2 – cb2 – ba2 – ca2 = a3 + b3 + c3
⇒ - ac( c + a) – bc(c + b) – ab(b + a) = a3 + b3 + c3
⇒ -ac(-b) – bc(-a) – ab(-c) = a3 + b3 + c3 ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc

Bài 8: Chứng minh rằng:
a) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ ab + ac + ad
Giải

b) a 2 + 4b 2 + 4c 2 ≥ 4ab − 4ac + 8bc

a) Ta cã: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − ab − ac − ad

2
2
 a2
a2
2 a
2 a
2
=  − ab + b ÷+  − ac + c ÷+  − ad + d ÷+
 4
  4
  4
 4
2

2

2

a2
a
 a
 a


=  − b +  − c +  − d  +
≥0
4
2
 2
 2

⇒ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ ab + ac + ad (®pcm)


b) Ta cã: a 2 + 4b 2 + 4c 2 − 4ab + 4ac − 8bc = (a 2 − 4ab + 4b 2 ) + 4c 2 + (4ac − 8bc)
= (a − 2b) 2 + 2.(a − 2b).2c + (2c) 2

= (a − 2b + 2c ) 2 ≥ 0

(®pcm)
Bài 9: Chứng minh rằng: Nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z 3 = 3xyz
Từ x + y + z = 0 ⇒ x + y = - z nên x3 + y3 + z 3 = x3 + y3 - ( x+ y) 3
= x3 + y3 - x3 - y3 - 3xy(x + y) = - 3xy(-z ) = 3xyz.
⇒ a 2 + 4b 2 + 4c 2 ≥ 4ab − 4ac + 8bc