Bai tập phân tích đa thức thành nhân tử

CÁC DẠNG BÀI TẬP CẦN KHAI THÁC
A) . DẠNG 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử
chung:
+ Bài tập :
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 3x – 3y
b) 2x
2
+ 5x
3
+ x
2
y
c) 14x
2
y – 21 xy
2
+ 28x
2
y
2
d) x(y – 1 ) – y(y – 1)
e) 10x(x – y) – 8y(y – x)
Giải:
a) 3x – 3y = 3(x – y)
b) 2x
2
+ 5x
3
+ x
2

y = x
2
(2 + 5x + y)
c) 14x
2
y – 21 xy
2
+ 28x
2
y
2
= 7xy( 2x – 3y + 4xy)
d) x(y – 1 ) – y(y – 1) = (y – 1)(x – y)
e) 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2 (x – y)(5x + 4y)
2) Tìm x , biết :
a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0
b) 5x
2
= 13x
Giải:
a) Ta có : 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0

⇔
5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0

⇔
(x – 2000)(5x – 1) = 0

⇔
x – 2000 = 0 hoặc 5x – 1 = 0

• x – 2000 = 0
⇔
x = 2000
• 5x – 1 = 0
⇔
5x = 1
⇔
x =
5
1
Vậy x = 2000 hoặc x =
1
2
b) 5x
2
= 13x
⇔
5x
2
– 13x = 0

⇔
x(5x – 13 ) = 0

⇔
5x = 0 hoặc 5x – 13 = 0
• x = 0
• 5x – 13 = 0
⇔
x =

13
5
Vậy x = 0 hoặc x =
13
5
3) Chứng minh rằng : 55
n+1
– 55
2
chia hết cho 54 ( Với n là số tự nhiên )
Giải:
Ta có : 55
n+1
– 55 = 55
n
.55 – 55
n
= 55
n
(55 – 1) = 55
n
.54
Mà 54 chia hết cho 54 nên 55
n
.54 ( đpcm)
4 ) Tính nhanh
a) 15,8 . 35 + 15,8 . 65
b) 1,43 . 141 – 1.43 . 41
Giải:
a) 15,8 . 35 + 15,8 . 65 = 15,8(35 + 65) = 15,8 . 100 = 1580

b) 1,43 . 141 – 1.43 . 41 = 1,43 ( 141 – 41 ) 1,43 . 100 =143
+ Bài tập tương tự:
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 6x
4
– 9x
3
b) x
2
y
2
z + xy
2
z
2
+ x
2
yz
2
c) (x + y )
3
– x
3
– y
3
d) 2x(x + 3) + 2(x + 3)
2) Tìm x , biết
a) 5x(x – 2) – x – 2 = 0
b) 4x(x + 1) = 8( x + 1)
c) x(2x + 1) +

1 2
x
3 3
-
= 0
d) x(x – 4) + (x – 4)
2
= 0
3) Chứng minh rằng :
a) Bình phương của một số lẻ chia cho 4 thì dư 1
b) Bình phương của một số lẻ chia cho 8thì dư 1
+ Khái quat hóa bài toán :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
A = p
m+2
.q – p
m+1
.q
3
– p
2
.q
n+1
+ p.q
n+3
+ Đề xuất bài tập tương tự:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4x(x – 2y) + 8y(2y – x )
b) 3x(x + 7)
2

– 11x
2
(x + 7 + 9(x + 7)
c) -16a
4
b
6
– 24a
5
b
5
– 9a
6
b
4
d) 8m
3
+ 36m
2
n + 54mn
2
+ 27n
3
B) . DẠNG 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dung hằng đẳng
thức
+ Bài tập :
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x
2
+ 6x + 9

b) 10x – 25 – x
2
c) (a + b)
3
+ (a – b)
3
d) (a + b)
3
– (a – b)
3
e) x
3
+ 27
f) 81x
2
– 64y
2
g) 8x
3
+ 12x
2
y + 6xy
2
+ y
3
Giải:
a) x
2
+ 6x + 9 = x
2

+ 2 .x . 3 + 3
2
= (x + 3)
2
b) 10x – 25 – x
2
= -( x
2
– 2.x.5 + 5
2
) = - (x – 5)
2
c) (a + b)
3
+ (a – b)
3
= [(a + b) + (a – b)][(a + b)
2
– (a + b)(a – b) + (a –
b)
2
= 2a[a
2
+ 2ab + b
2
– (a
2
- b
2
) + a

2
– 2ab + b
2
= 2a(a
2
+ 3b
2
)
d) (a + b)
3
– (a – b)
3
= [(a + b) - (a – b)][(a + b)
2
+ (a + b)(a – b) + (a –
b)
2
]
= ( a + b – a + b) (a
2
+ 2ab + b
2
+ a
2
- b
2
+ a
2
– 2ab +
b

2
= 2b(3a
2
+ b
2
)
e) x
3
+ 27 = ( x + 3)(x
2
– 3x + 9)
f) 81x
2
– 64y
2
= (9x)
2
– (8y)
2
= (9x + 8y)(9x – 8y)
g) 8x
3
+ 12x
2
y + 6xy
2
+ y
3
= (2x)
3

+ 3.(2x)
2
.y + 3.(2x).y
2
+ y
3
= (2x + y)
3
2) Tìm x , biết :
a) x
2
– 25 = 0
b) x
2
– 4x + 4 = 0
Giải :
a) x
2
– 25 = 0

⇔
( x – 5 )(x + 5) = 0
⇔



−=
=
5
5

x
x
b) x
2
– 4x + 4 = 0
⇔
x
2
– 2.2x + 2
2
= 0

⇔
(x – 2)
2
= 0

⇔
x – 2 = 0

⇔
x = 2
3) Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết
cho 8
Giải:
Gọi hai số lẻ liên tiếp là 2a – 1 và 2a + 1 ( a là số nguyên ) . Hiệu các
bình phương của chúng là: ( 2a + 1)
2
– (2a – 1)
2

.
Ta thấy ( 2a + 1)
2
– (2a – 1)
2
. = (2a + 1 + 2a – 1 )(2a + 1 -2a + 1)
= 4a.2 = 8a chia hết cho 8
4)Tính nhẩm:
c) 73
2
– 27
2

d) 37
2
– 13
2

e) 2002
2
– 2
2

Giải:
a) 73
2
– 27
2
= ( 73 + 27) (73 – 27) = 100 . 46 = 4600
b) 37

2
– 13
2
= (37 – 13 )(37 + 13) = 24 . 50 = 1200
c) 2002
2
– 2
2
= (2002 – 2)(2002 + 2) = 2000 . 2004 = 4008000
+ Bài tập tương tự:
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) ( a + b + c)
3
– a
3
– b
3
– c
3
b) 8(x + y + z)
3
– (x + y)
3
– (y + z)
3
– (z – x)
3
c) 8x
3
– 27

d) – x
3
+ 9x
2
– 27x + 27
2) Tìm x , biết :
a) 4x
2
– 49 = 0
b) x
2
+ 36 = 0
3) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có : (4n + 3)
2
– 25 chia hết cho
8
4) Tính nhanh giá trò của biểu thức sau với a = 1982
M = (a + 4)
2
+ 2(a + 4)(6 – a) + (6 – a)
2
+ Khái quat hóa bài toán :
- Chứng minh hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8
- Chứng minh hiệu các bình phương của hai số chẳnû liên tiếp thì chia hết cho 16
+ Đề xuất bài tập tương tự:
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) ( 3x – 2y)
2
– (2x + y)
2

b) 27x
3
– 0,001
c) [4abcd + (a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
2
)]
2
– 4[cd(a
2
+ b
2
) + ab(c
2
+ d
2
)]
2
d) x
6
+ 2x
5
+ x
4
– 2x

3
– 2x
2
+ 1
2) Chứng minh rằng biểu thức : 4x(x + y) ( x + y + z)(x + y) y
2
z
2
luôn luôn
không âm với mọi giá trò của x , y và z
C) . DẠNG 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
+ Bài tập :
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x
2
+ 4x – y
2
+ 4
b) 3x
2
+ 6xy + + 3y
2
– 3z
2
c) x
2
– 2xy + y
2
– z
2

+ 2zt - t
2

d) x
2
(y – z) + y
2
(z – x) + z
2
(x – y)
Giải:
a) x
2
+ 4x – y
2
+ 4 = x
2
+2.x.2 + 2
2
– y
2
= (x + 2)
2
– y
2
= (x + 2 – y)(x + 2 + y)
b) 3x
2
+ 6xy + + 3y
2

– 3z
2
= 3[(x
2
+ 2xy + y
2
) – z
2
]
= 3[(x + y)
2
– z
2
] = 3(x + y + t)(x + y – z)
c) x
2
– 2xy + y
2
– z
2
+ 2zt - t
2
= (x
2
– 2xy + y
2
) – (z
2
- 2zt + t
2

)
= (x – y)
2
– (z – t)
2
= (x – y + z – t )(x – y – z + t)
d) x
2
(y – z) + y
2
(z – x) + z
2
(x – y)
+ Cách 1: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện
nhân tử
chung y – z
x
2
(y – z) + y
2
(z – x) + z
2
(x – y) = x
2
(y – z) + y
2
z – y
2
x + z
2

x – z
2
y
= x
2
(y – z) + yz(y – z) – x(y
2
- z
2
)
= (y – z)(x
2
+ yz – xy – xz)
= (y – z)[x(x – y) – z(x – y)]
= (y – z )(x – y)(x – z)
+ Cách 2:Tách z – x = -[(y – z) + (x –y)]
x
2
(y – z) + y
2
(z – x) + z
2
(x – y) = x
2
(y – z) – y
2
[(y – x) + (x – y)] + z
2
(x –
y)

= (y – z)(x
2
- y
2
) – (x – y)(y
2
– z
2
)
= (y – z)(x + y)(x – y) – (x – y)(y + z)(y –
z)
= (y – z)(x – y)(x + y – y – z )
= (y – z)(x – y)(x – z)
2) Tìm x , biết :
a) x(x – 2) + x – 2 = 0
b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0
Giải:
a) x(x – 2) + x – 2 = 0
⇔
(x – 2)(x + 1) = 0

⇔
x – 2 = 0 hoặc x +1 = 0

⇔
x = 2 hoặc x = -1
b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0
⇔
5x(x – 3) – (x – 3) = 0

⇔
(x – 3)(5x – 1) = 0

⇔
x – 3 = 0 hoặc x – 1 = 0

⇔
x = 3 hoặc x = 1
+ Bài tập tương tự:
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x
3
+ 3x
2
y

+ x + 3xy
2
+ y + y
3
b) x
3
+ y(1 – 3x
2
) + x(3y
2
– 1) – y
3
c) 27x
3

+ 27x
2
+ 9x + 1 + +
1
3
d) x
2
y + xy
2
– x – y
e) 8xy
3
– 5xyz – 24y
2
+ 15z
2) Tìm x , biết :
a) x
2
– 6x + 8 = 0
b) 9x
2
+ 6x – 8 = 0
c) x
3
+ x
2
+ x + 1 = 0
d) x
3
- x

2
- x + 1 = 0
+ Khái quát hóa bài toán :
Phân tích đa thức thành nhân tử : p
m + 2
q – p
m + 1
q
3
– p
2
q
n + 1
+ pq
n + 3
+ Đề xuất bài tập:
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) bc(b + c) + ac(c – a) – ab(a + b)
b) x(x + 1)
2
+ x(x – 5) – 5(x + 1)
2
c) ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
d) x
3
z + x
2
yz – x
2
z

2
– xyz
2
2) Tìm tất cả các giá trò của x , y sao cho: xy + 1 = x + y
3) Phân tích đa thức thành nhân tử rồi tính giá trò của đa thức với x = 5,1 ; y =
3,1 của đa thức : x
2
– xy – 3x + 3y
D) . DẠNG 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương
pháp
+ Bài tập :
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc
b) (x – y )
3
+ (y – z )
3
+ (z – x)
3
Giải:
a) •° Cách 1:
a
3
+ b

3
+ c
3
– 3abc = (a + b)
3
– 3ab(a + b) + c
3
– 3abc
= (a + b)
3
+ c
3
– 3ab(a + b) – 3abc
= (a + b + c)[(a + b)
2
– (a + b) c + c
2
] – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)(a
2
+ 2ab + b
2
– ac –bc + c
2
– 3ab
=(a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c

2
– ab – bc – ca )
• ° Cách 2:
a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = a
3
+ a
2
b + a
2
c + b
3
+ ab
2
+ b
2
c + c
3
+ ac
2
+ bc
2
– a
2
b –

abc - a
2
c – ac
2
– abc –b
2
c – abc – bc
2
= a
2
(a + b + c) + b
2
(b + a + c) + c
2
(c + a + b) – ab(a + b
+ c)
– ac((a + c + b) – bc(b + a + c)
= (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
– ab – ac – bc)
b) • ° Cách 1:
Đặt x – y = a ; y – z = b ; z – x = c, thì a + b + c = 0