Luận văn tiến sĩ toán học Phân lớp đối đồng điều các Ann hàm tử và các Ann phạm trù bện

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

ĐẶNG ĐÌNH HANH

ĐẶNG ĐÌNH HANH

PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC

PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC

ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN

ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62. 46. 05. 01
Mã số: 62. 46. 05. 01
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN TIẾN QUANG

Hà Nội - 2011

Hà Nội - 2011


LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viết chung với
các đồng tác giả. Kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí
của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các số liệu, các kết quả được trình
bày trong trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất
kỳ công trình nào khác.

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Tiến
Quang. Thầy đã dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ khi tác
giả đang là sinh viên. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và
lòng tin tưởng của Thầy dành cho tác giả luôn là động lực lớn giúp tác giả tự
tin và say mê trong nghiên cứu. Qua đây tác giả xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc
và lòng quý mến đối với Thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô và các bạn đồng nghiệp trong Bộ
môn Đại số và Lý thuyết số, các thầy cô và các bạn đồng nghiệp trong khoa
Toán -Tin đã tạo một môi trường công tác và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả
hoàn thành luận án này.
Tác giả xin cảm ơn Ths. Nguyễn Thu Thủy về những sự giúp đỡ chân thành.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội, Phòng Sau đại học và BCN khoa Toán - Tin đã tạo những điều kiện thuận
lợi trong quá trình tác giả học tập, công tác và hoàn thành luận án này.

Tác giả xin chân thành cảm ơn GS. TS. Nguyễn Quốc Thắng, GS. TS. Lê
Văn Thuyết, PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn và hai thầy/cô phản biện độc lập
về những góp ý bổ ích để luận án được hoàn thiện hơn.
Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến ông bà, bố mẹ, anh chị
em hai bên nội ngoại, cùng vợ. Gia đình là nguồn động viên và động lực to lớn
đối với tác giả.

Tác giả

Đặng Đình Hanh

Tác giả


1

2

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

3 ANN-PHẠM TRÙ BỆN
3.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù bện . . . . . . . . . . . .
3.2 Tính phụ thuộc trong hệ tiên đề của Ann-phạm trù bện . . . .
3.3 Mối liên hệ với phạm trù có tính phân phối của M. L. Laplaza
3.4 Mối liên hệ với phạm trù tựa vành . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

2.2
2.3

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . .
Bảng ký hiệu . . . . .
Bảng thuật ngữ . . .
Sơ đồ liên hệ giữa các

. . . . .
. . . . .

. . . . .
chương,

. . .
. . .
. . .
mục

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Phạm trù monoidal bện . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 ⊗-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Phạm trù monoidal . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Hàm tử monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Mũi tên hàm tử monoidal . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Phạm trù monoidal bện . . . . . . . . . . . . .
1.2 Gr-phạm trù và P ic-phạm trù . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Ann-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù . . . . .
1.3.2 Định nghĩa Ann-hàm tử . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Ann-phạm trù thu gọn . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Đối đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Nhóm đối đồng điều Mac Lane của các vành .
1.4.2 Nhóm đối đồng điều Hochschild của các đại số

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

. 3
. 10
. 12
. 14

15
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

15
15
16
17
18

19
20
21
21
28
29
32
32
35

2 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ANN-PHẠM TRÙ VÀ ANN-

HÀM TỬ
2.1

Phân lớp đối đồng điều của các Ann-hàm tử . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Tiêu chuẩn tương đương của một Ann-hàm tử . . . . . .
2.1.2 Ann–hàm tử kiểu (p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3
Ann-hàm tử và các nhóm đối đồng điều chiều thấp của
vành theo nghĩa Mac Lane . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37
. 37
. 37
. 40
. 42

2.1.4 Ann-hàm tử và đối đồng điều Hochschild .
2.1.5 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Đối ngẫu của Ann-phạm trù . . . . . . . . . . . . .
Mối liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

45
47
50
66

72
72
76
79
82

4 PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-PHẠM TRÙ

BỆN
4.1

86

Ann-hàm tử bện và phép chuyển cấu trúc. Ann-phạm trù bện thu

gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Phân lớp các Ann-hàm tử bện kiểu (p, q) . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Các định lý phân lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN
ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHỈ MỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

86
93
97
102

. 103
. 104
. 109


3

4

MỞ ĐẦU

trù [6] và nhóm phạm trù phân bậc [17]. Trong [11], A. Davydov đã nghiên cứu
về tâm đầy của một đại số trong phạm trù tâm của một phạm trù monoidal và
đã thiết lập bất biến Morita của xây dựng này bằng cách mở rộng nó đến các
phạm trù môđun. Tâm của phạm trù monoidal cũng xuất hiện trong bài toán
đối ngẫu của các phạm trù monoidal được đưa ra bởi S. Majid [32, 33].
Trong [20], A. Joyal và R. Street đã phân lớp các nhóm phạm trù bện bởi
phạm trù các hàm quadratic (dựa trên một kết quả của S. Eilenberg và S. Mac

3 (G, A)
Lane về sự biểu diễn hàm quadratic bởi nhóm đối đồng điều aben Hab
[13, 14]). Trước đó, trường hợp nhóm phạm trù đối xứng (hay phạm trù Picard)
đã được phân lớp bởi H. X. Sính [55].
Tình huống tổng quát hơn đối với các nhóm phạm trù Picard được đưa ra
bởi A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall với tên gọi nhóm phạm trù phân bậc [16] (sau
này, A. Cegarra và E. Khmaladze gọi là phạm trù Picard phân bậc [10]). Các
định lý phân lớp đồng luân cho các nhóm phạm trù phân bậc, các nhóm phạm
trù bện phân bậc, và trường hợp riêng của nó, các phạm trù Picard phân bậc đã
được trình bày theo thứ tự trong [17], [9], [10]. Từ mỗi phạm trù như vậy xuất
hiện một 3-đối chu trình theo một nghĩa nào đó mà mỗi lớp tương đẳng của các
phạm trù cùng loại là tương ứng với một lớp đối đồng điều chiều 3.
Các lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal đã thu hút được sự quan tâm
của nhiều tác giả. Năm 1972, M. L. Laplaza [27] đã nghiên cứu về lớp phạm trù
có tính phân phối. Kết quả chính của [27] là chứng minh định lý khớp cho lớp
phạm trù này. Sau đó, trong [16], A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall đã đưa ra khái
niệm phạm trù tựa vành với chủ ý là đưa ra một hệ tiên đề mới gọn hơn của M.
L. Laplaza [27]. Hai khái niệm này là những hình thức hóa của phạm trù các
môđun trên một vành giao hoán.
Năm 1994, M. Kapranov và V. Voevodsky [25] đã bỏ đi những đòi hỏi trong hệ
tiên đề của M. L. Laplaza có liên quan đến ràng buộc giao hoán của phép nhân
và đưa ra tên gọi phạm trù vành cho lớp phạm trù này. Họ đã sử dụng phạm trù
của các không gian vectơ trên một trường K , cùng với tích tenxơ và tổng trực
tiếp để định nghĩa các 2-không gian vectơ trên K . Các phạm trù vành đã được
sử dụng như một công cụ để nghiên cứu các phương trình Zamolodchikov [25].
Để có được những mô tả về cấu trúc, cũng như để có thể phân lớp đối đồng
điều, N. T. Quang đã đưa ra khái niệm Ann-phạm trù [36], như một phạm trù
hóa khái niệm vành, với những đòi hỏi về tính khả nghịch của các vật và của các
mũi tên của phạm trù nền, tương tự như trường hợp của nhóm phạm trù (xem

I. Lý do chọn đề tài

Khái niệm phạm trù monoidal hay tensor phạm trù được đề xuất bởi S. Mac
Lane [29], J. Bénabou [51] vào năm 1963. Mỗi phạm trù monoidal là một tựa vị
nhóm, trong đó tập nền C được thay thế bởi một phạm trù và phép toán nhân
m : C × C → C được thay thế bởi một hàm tử. Trong [29], S. Mac Lane đã đưa
ra điều kiện đủ cho tính khớp của các ràng buộc tự nhiên của một phạm trù
monoidal; và điều kiện đủ cho tính khớp của lớp phạm trù monoidal đối xứng,
tức là một phạm trù monoidal có thêm ràng buộc giao hoán. Bài toán khớp cho
lớp phạm trù monoidal thường được suy ra từ một kết quả mạnh hơn: mỗi phạm
trù monoidal đều tương đương với một phạm trù monoidal chặt chẽ, tức là một
phạm trù monoidal có các ràng buộc đều là những phép đồng nhất. Kết quả này
đã được chứng minh bởi một vài tác giả như N. D. Thuận [50], C. Kassel [23],
P. Schauenburg [48].
Việc xem xét các mối liên hệ phụ thuộc của một số tiên đề trong hệ tiên đề
của một phạm trù monoidal đối xứng đã được G. M. Kelly trình bày trong [26].
Sau này, S. Kasangian và F. Rossi đã xem xét thêm một số mối liên hệ về tính
đối xứng trong một phạm trù monoidal [24].
Phạm trù monoidal được "mịn hóa" để trở thành phạm trù với cấu trúc
nhóm, khi bổ sung thêm khái niệm vật khả nghịch (Xem M. L. Laplaza [28], N.
Saavedra Rivano [54]). Bây giờ, nếu phạm trù nền là một groupoid (nghĩa là mọi
mũi tên đều đẳng cấu) thì ta được khái niệm monoidal category group-like (xem
A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall [16]), hay Gr-category (xem H. X. Sính [55]), hay
nhóm phạm trù [6, 7, 8, 17], hoặc 2-nhóm [4, 12, 19] theo cách gọi gần đây. Các
Gr-phạm trù đã được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều nhóm H 3 (G, A) (xem
[55]). Trong trường hợp nhóm phạm trù có thêm ràng buộc giao hoán, chúng ta
thu được khái niệm phạm trù Picard (Pic-phạm trù ) [55], hay nhóm phạm trù
đối xứng [5] hoặc 2-nhóm đối xứng [12, 19].
Tâm của phạm trù monoidal được giới thiệu bởi A. Joyal và R. Street, như là
sự khái quát hóa của khái niệm tâm của một vị nhóm. Tâm của một phạm trù

monoidal cung cấp một cấu trúc bện tự nhiên và tầm thường, đó là một tensor
phạm trù bện hay một phạm trù monoidal bện và nói chung không đối xứng. Sau
đó, tâm của phạm trù xuất hiện như một công cụ để nghiên cứu nhóm phạm


5

6

[6, 54, 55]). Những đòi hỏi bổ sung này cũng không phải quá đặc biệt, bởi vì nếu
P là một phạm trù Picard thì phạm trù End(P) các Pic-hàm tử trên P là một
Ann-phạm trù (xem N. T. Quang [45]), điều này đã được nhắc lại trong [19].
Mặt khác, mỗi Ann-phạm trù mạnh là một phạm trù vành [35]. Năm 2008, N.
T. Quang đã chứng minh được rằng mỗi lớp tương đẳng các Ann-phạm trù hoàn
toàn được xác định bởi ba bất biến: vành R, R−song môđun M và một phần tử
3
thuộc nhóm đối đồng điều Mac Lane HM
aL (R, M ) (xem [38]). Trường hợp chính
quy (ràng buộc đối xứng thỏa mãn điều kiện cX,X = id đối với mọi vật X ) đã
3 (R, M ) (xem [2]). Từ các kết
được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều Shukla HSh
quả phân lớp của các Ann-phạm trù chính quy, Trần Phương Dung đã giải bài
toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù chính
quy [1]. Mỗi Ann-phạm trù được xem như một one-object của Gpd-categories
trong luận án của M. Dupont [12], hay như một one-point enrichments of SPC
của V. Schmitt [49].
Năm 2006, M. Jibladze và T. Pirashvili [22] đã đưa ra khái niệm vành phạm
trù với những sự sửa đổi từ hệ tiên đề của một Ann-phạm trù. Tuy nhiên, mối
liên hệ giữa hai hệ tiên đề của Ann-phạm trù và vành phạm trù như thế nào?
Hai lớp này có trùng nhau không, lớp này chứa lớp kia hay chúng chỉ giao nhau

một phần? Một vành phạm trù còn được gọi là một 2-vành theo cách gọi trong
[12, 19]. Năm 2010, các tác giả F. Huang, S. H. Chen, W. Chen và Z. J. Zheng đã
định nghĩa các 2-môđun trên các 2-vành và đưa ra sự biểu diễn của các 2-vành
[19].
Bên cạnh những kết quả đã có về Ann-phạm trù, chúng tôi thấy rằng vẫn còn
có những vấn đề liên quan tới Ann-phạm trù cần được nghiên cứu như: bài toán
tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù trong trường hợp
tổng quát, mối liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù, tính bện trong lớp
Ann-phạm trù,... Vì vậy, chúng tôi viết luận án với tiêu đề: "Phân lớp đối đồng
điều các Ann-hàm tử và các Ann-phạm trù bện" để giải quyết những vấn đề nêu
trên.

riêng của nó là Ann-phạm trù đối xứng, đưa ra các ví dụ, xem xét mối liên hệ
giữa Ann-phạm trù đối xứng với các phạm trù có tính phân phối và phạm trù
tựa vành, xây dựng phạm trù thu gọn cho lớp Ann-phạm trù bện và tiến hành
phân lớp các Ann-phạm trù bện.

II. Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận án bao gồm: sử dụng đối đồng điều vành của
Mac Lane để nghiên cứu các Ann-hàm tử, xây dựng Ann-phạm trù cảm sinh
bởi một Ann-hàm tử và xem xét mối liên hệ giữa hai hệ tiên đề của Ann-phạm
trù và vành phạm trù; đưa ra định nghĩa Ann-phạm trù bện và một trường hợp

III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án bao gồm: Ann-phạm trù, Ann-hàm tử và
tính bện (và một trường hợp riêng của nó là tính giao hoán) trong lớp Ann-phạm
trù.
Phạm vi nghiên cứu của luận án là những bài toán thường gặp của lý thuyết

phạm trù với cấu trúc, đó là bài toán phân lớp, xây dựng các ví dụ cụ thể,
nghiên cứu các tính chất, các mối liên hệ phụ thuộc của các tiên đề và mối liên
hệ giữa những lớp phạm trù có cấu trúc tương tự nhau.
IV. Phương pháp nghiên cứu

Ngoài những phương pháp nghiên cứu lý thuyết truyền thống, trong luận án
này chúng tôi sử dụng triệt để phương pháp biểu đồ của lý thuyết phạm trù
để chứng minh các biểu đồ giao hoán, thay cho các biến đổi đẳng thức trừu tượng.
V. Những đóng góp mới của luận án

Luận án đã đóng góp một số kết quả mới về Ann-phạm trù. Kết quả chính
đầu tiên là sử dụng các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane để tiến hành
giải bài toán tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử (Định lý 2.1.8, Định lý 2.1.9).
Kết quả chính thứ hai của luận án là xây dựng Ann-phạm trù đối ngẫu của
một Ann-hàm tử (Định lý 2.2.10). Đây là một phép dựng mới ngoài phép dựng
Ann-phạm trù của một đồng cấu chính quy trong bài toán mở rộng vành. Kết
quả tiếp theo của luận án là Định lý 2.3.3. Định lý đã chỉ ra rằng các Ann-phạm
trù là chứa trong các vành phạm trù. Ngược lại, mỗi vành phạm trù khi bổ sung
thêm một tiên đề về sự tương thích với các ràng buộc đơn vị sẽ trở thành một
Ann-phạm trù (Định lý 2.3.4).
Những đóng góp tiếp theo của luận án có liên quan đến tính bện trong lớp
Ann-phạm trù. Định lý 3.1.6 chỉ ra: Tâm của một Ann-phạm trù là một Annphạm trù bện và nói chung không đối xứng, đây là một kết quả tiếp nối các kết
quả về tâm của một phạm trù monoidal đã được đưa ra trong [21]. Trên cơ sở
xem xét mối liên hệ giữa Ann-phạm trù đối xứng với các phạm trù có tính phân


7

phối và phạm trù tựa vành, luận án đã chỉ ra sự tương đương của hai hệ tiên đề:
phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành (Mệnh đề 3.13), một khẳng

định được A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall đưa ra nhưng không có chứng minh [16].
Trong chương 4 của luận án, trước hết chúng tôi chứng minh sự tương đẳng
của mỗi Ann-phạm trù bện với một Ann-phạm trù bện kiểu (R, M ) (Mệnh đề
4.1.6, Mệnh đề 4.1.7). Từ đây, kết hợp với các kết quả về sự tồn tại và phân lớp
các Ann-hàm tử bện (Định lý 4.2.6), chúng tôi đưa ra và chứng minh các định
lý phân lớp cho các Ann-phạm trù bện (Định lý 4.3.1, Định lý 4.3.2). Những
kết quả này cùng kiểu với những kết quả về sự phân lớp các nhóm phạm trù
bện phân bậc, và một trường hợp riêng của nó là phạm trù Picard phân bậc, đã
được A. Cegarra và E. Khmaladze đưa ra năm 2007 ([9, 10]).
VI. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án

Bên cạnh những công trình nghiên cứu về những lớp phạm trù có hai cấu trúc
monoidal đã được đưa ra bởi M. L. Laplaza, A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall, N.
T. Quang, M. M. Kapranov và V. A. Voevodsky, M. Jibladze và T. Pirashvili,
V. Schmitt, M. Dupont, ... luận án đã làm phong phú thêm những kết quả cho
lớp phạm trù này. Đồng thời, luận án đã nghiên cứu về tính bện trong lớp Annphạm trù, điều này trước đây chỉ thực hiện cho lớp phạm trù có một cấu trúc
monoidal. Các kết quả mà luận án đạt được bổ sung thêm các kết quả đã có về
việc chuyển các kết quả của lý thuyết đại số thuần túy lên lý thuyết phạm trù,
góp phần phát triển lý thuyết phạm trù nói riêng cũng như sự phát triển chung
của Toán học hiện đại.
VII. Bố cục của luận án

Ngoài các phần lời cam đoan, lời cảm ơn, một số ký hiệu dùng trong luận
án, mở đầu, kết luận, các công trình có liên quan đến luận án, mục lục, tài liệu
tham khảo và bản danh mục các từ khóa, luận án gồm bốn chương sau.
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Trình bày về một số kiến thức và
một số kết quả có liên quan đến luận án, bao gồm: Phạm trù monoidal bện,
phạm trù monoidal đối xứng, Gr-phạm trù, P ic-phạm trù, Ann-phạm trù. Phần
cuối của chương 1 trình bày về hai lớp đối đồng điều: đối đồng điều vành của
Mac Lane và đối đồng điều đại số của Hochschild, để sử dụng cho những kết

quả phân lớp ở chương 2 và chương 4.

8

Chương 2: Một số kết quả về Ann-phạm trù và Ann-hàm tử. Chương
này được viết dựa theo [42, 43, 45] và được trình bày trong ba mục. Toàn bộ
chương này trình bày về hai lớp phạm trù với cấu trúc vành, đó là Ann-phạm
trù [2] và vành phạm trù [22]. Mục 2.1 đưa ra một tiêu chuẩn tương đương
của Ann-hàm tử, từ đó bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử đã
được giải quyết nhờ các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane, và trong một
trường hợp riêng, chúng tôi đã sử dụng đối đồng điều Hochschild để phân lớp
các Ann-hàm tử mạnh. Mục 2.2 trình bày về cách xây dựng đối ngẫu B∗ của
một cặp (B, F ) trong A, trong đó F : B → A là một Ann-hàm tử. Trong trường
hợp F = idA , thì đối ngẫu A∗ chính là tâm của một Ann-phạm trù được trình
bày trong [44]. Mục 2.3 trình bày về mối liên hệ giữa hai khái niệm Ann-phạm
trù và vành phạm trù với kết quả đạt được là: mỗi Ann-phạm trù đều là một
vành phạm trù; ngược lại, mỗi vành phạm trù khi bổ sung thêm một tiên đề thì
sẽ trở thành một Ann-phạm trù.
Chương 3: Ann-phạm trù bện. Chương này được viết dựa theo [44], bao gồm
bốn mục. Mục 3.1 trình bày về khái niệm Ann-phạm trù bện, Ann-phạm trù đối
xứng và những ví dụ về hai lớp phạm trù này. Trong những ví dụ đó, đáng lưu
ý là ví dụ về tâm của một Ann-phạm trù, một trường hợp riêng của phép xây
dựng đối ngẫu của cặp (A, idA ) đã được trình bày ở chương 2, với kết quả đạt
được là: tâm của một Ann-phạm trù là một Ann-phạm trù bện và nói chung
không đối xứng. Mục 3.2 xét tính không độc lập của một số tiên đề có liên quan
đến ràng buộc phân phối bên phải trong hệ tiên đề của một Ann-phạm trù bện.
Các mục 3.3 và 3.4 thiết lập các mối liên hệ giữa Ann-phạm trù đối xứng với
các lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal đối xứng đã biết, đó là phạm trù
có tính phân phối của M. L. Laplaza và phạm trù tựa vành của A. Fr¨ohlich và
C. T. C. Wall. Nhờ xét các mối liên hệ này, mục 3.3 chỉ ra sự phụ thuộc của

bốn tiên đề trong hệ tiên đề của phạm trù có tính phân phối, đồng thời suy
ra được định lý khớp cho lớp Ann-phạm trù đối xứng. Mục 3.4 chứng tỏ rằng
hai hệ tiên đề phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành là tương đương.
Chương 4: Phân lớp đối đồng điều của các Ann-phạm trù bện. Chương
này được viết dựa theo [46] và được chia thành ba mục. Trong mục đầu tiên
chúng tôi trình bày về một số tính chất của Ann-hàm tử bện và chứng minh


9

10

định lý chuyển cấu trúc cho lớp Ann-phạm trù bện, từ đó chúng tôi tiến hành
xây dựng Ann-phạm trù bện thu gọn của một Ann-phạm trù bện bất kỳ. Trong
mục 4.2, chúng tôi giải quyết bài toán tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử bện.
Kết quả chính của chương này nằm trong mục 4.3. Dựa trên các kết quả về
Ann-phạm trù thu gọn và sự phân lớp các Ann-hàm tử bện, mục này trình bày
các định lý phân lớp của các Ann-phạm trù bện (Định lý 4.3.1, Định lý 4.3.2).

BẢNG KÝ HIỆU

Ký hiệu
C, D
A, B
SA
(R, M, h)
(R, M, h, β)
S
R
P

ZC
CA
Ob(C)
XY = X ⊗ Y
a+
a
c+
c
(0, g, d)
(1, l, r)
idX
L(R)
(F, F , Fˆ )
idC
(F, F˘ , F , F ∗ )
˘ H), (G, G,
˘ G)
(H, H,
u:F →F
Aut(F )
[X]
π0 (A)
π1 (A) = Aut(0)
MA (PA )
CA

Nghĩa
phạm trù monoidal
Ann-phạm trù, Ann-phạm trù bện
Ann-phạm trù (bện) thu gọn của A

Ann-phạm trù
Ann-phạm trù bện
Ann-phạm trù (bện) kiểu (R, M, h) ((R, M, h, β))
vành phạm trù (2-phạm trù)
phạm trù Picard (Pic-phạm trù)
tâm của phạm trù C
tâm của Ann-phạm trù A
tập các vật của phạm trù C
tích tenxơ của hai vật X và Y
ràng buộc kết hợp của phép cộng
ràng buộc kết hợp của phép nhân
ràng buộc giao hoán của phép cộng
ràng buộc giao hoán (bện) của phép nhân
ràng buộc đơn vị của phép cộng
ràng buộc đơn vị của phép nhân
mũi tên đồng nhất của vật X
ràng buộc phân phối bên trái (phải)
hàm tử monoidal
hàm tử đồng nhất của phạm trù C
Ann-hàm tử
các Ann-hàm tử (bện) chính tắc
mũi tên hàm tử
tập các tự mũi tên của F
lớp tương đương của X
tập các lớp vật của phạm trù A
tập các tự mũi tên của vật 0
vành các song tích (ngoài) của vành A
song tâm của vành A

11
n
ZM
acL
n
BM
acL
n
HM
acL
n
ZHoch
n
BHoch
n
HHoch

nhóm các n-đối chu trình
của vành theo nghĩa Mac Lane
nhóm các n-đối bờ của vành
theo nghĩa Mac Lane
nhóm đối đồng điều thứ n
của vành theo nghĩa Mac Lane
nhóm các n-đối chu trình của các Z-đại số
theo nghĩa Hochschild
nhóm các n-đối bờ của các Z-đại số
theo nghĩa Hochschild
nhóm đối đồng điều thứ n của các Z-đại số
theo nghĩa Hochschild

12

BẢNG THUẬT NGỮ

Dịch
phạm trù
phạm trù monoidal
phạm trù monoidal đối xứng
tenxơ phạm trù bện
nhóm phạm trù
nhóm phạm trù đối xứng
nhóm phạm trù phân bậc
phạm trù Picard phân bậc
vành phạm trù
phạm trù vành
phạm trù tựa vành
phạm trù có tính phân phối
hàm tử
hàm tử monoidal
hàm tử monoidal đối xứng
hàm tử monoidal bện
tương đương monoidal
mở rộng
tương đẳng
2-nhóm
2-nhóm đối xứng
2-vành
phép biến đổi tự nhiên
phép biến đổi monoidal tự nhiên
ràng buộc

ràng buộc kết hợp
ràng buộc giao hoán
ràng buộc đơn vị
ràng buộc phân phối
cấu trúc monoidal
định lý phân lớp

Thuật ngữ
category
monoidal category
symmetric monoidal category
braided tensor category
categorical group
symmetric cat-group
graded categorical group
graded Picard category
categorical ring
ring category
ring-like category
distributivity category
functor
monoidal functor
symmetric monoidal functor
braided monoidal functor
monoidal equivalence
extension
congruence
2-group
symmetric 2-group
2-ring

natural transformation
monoidal natural transformation
constraint
associativity constraint
commutativity constraint
unit constraint
distributivity constraint
monoidal structure
classification theorem


13

định lý khớp
lý thuyết cản trở
vật không
vật đơn vị
vật chính quy

coherence-theorem
obstruction theory
zero object
unit object
regular object

14

SƠ ĐỒ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC CHƯƠNG, MỤC

II.1

✛
❩
⑥
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❩

❄

II.2
€€
✐
€

II.3

❩
❩
€€
€

✻

❩
€€

€

❩
❩
❩

€€
€€ ❩
€€❩
€❩
€
✲ I.2
✲
I.1
✏
✏
✚
✏ ✚
✏
✏
✚
✚
✏
✚
✚
✏✏
✚
✚
✏✏
✚

✚ ✏✏✏
✚
✚✏✏
✮
✏
❂✚
✚
❂✚
❄✚
✲ III.1
✲ III.2
✲

❄

IV.1

✲

IV.2
✻ ✻

I.3

I.4

✛

III.3

✛

✲

III.4

✲

IV.3

✛


15

16

thỏa mãn biểu đồ giao hoán (còn gọi là tiên đề ngũ giác) sau
a

A ⊗ (B ⊗ (C ⊗ D))

✲

(A ⊗ B) ⊗ (C ⊗ D))

id ⊗a

a

❄

❄

A ⊗ ((B ⊗ C) ⊗ D)

Chương 1

((A ⊗ B) ⊗ C) ⊗ D

❍❍
❍
a

❍
❍❍
❥

✟✟

(1.1)

✯
✟✟
✟✟
a⊗id

(A ⊗ (B ⊗ C)) ⊗ D

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

với mọi vật A, B, C, D của C .
Đẳng cấu tự nhiên a còn được gọi là một ràng buộc kết hợp.
Phạm trù với cấu trúc đã thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả. S. Mac
Lane đã đưa ra khái niệm phạm trù monoidal ([29], 1963), Hoàng Xuân Sính đã
đưa ra khái niệm Gr-phạm trù ([55], 1975), A. Joyal và R. Street đã đưa ra khái
niệm phạm trù monoidal bện ([21], 1991). Những kết quả cơ bản về Ann-phạm
trù đã được trình bày trong Luận án Tiến sĩ của Nguyễn Tiến Quang ([2], 1988).
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại những khái niệm và kết quả chủ yếu, dùng
làm cơ sở cho các chương sau. Phần cuối của chương trình bày về các nhóm đối
đồng điều vành của S. Mac Lane và đối đồng điều đại số của Hochschild. Các
nhóm đối đồng điều này sẽ được sử dụng vào bài toán phân lớp các Ann-hàm
tử. Trong toàn bộ luận án này, đôi khi chúng ta viết XY thay cho tích tenxơ
X ⊗ Y của hai vật. Các biểu đồ được sử dụng thường xuyên để việc theo dõi các
các chứng minh được thuận lợi.

Trong trường hợp A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C và aA,B,C = id thì a = id gọi là
ràng buộc kết hợp chặt chẽ và C được gọi là A-phạm trù chặt chẽ.
1.1.2

Phạm trù monoidal

Định nghĩa 1.1.4 (Phạm trù monoidal). Một phạm trù monoidal (hay một
AU-phạm trù ) C là một A-phạm trù C cùng với một vật 1 ∈ Ob(C) và hai đẳng
cấu tự nhiên
lA : 1 ⊗ A → A;

rA : A ⊗ 1 → A,

thỏa mãn điều kiện l1 = r1 và làm cho biểu đồ sau giao hoán với mọi vật A, B

của C :
A ⊗ (1 ⊗ B)

aA,1,B

✲

❍❍
❥
id ⊗lB ❍

(A ⊗ 1) ⊗ B

✟
✟✟rA ⊗id
✙

(1.2)

A⊗B

1.1
1.1.1

Phạm trù monoidal bện

Bộ ba (1, l, r) được gọi là một ràng buộc đơn vị.

⊗-phạm trù

Định nghĩa 1.1.1. Cho một phạm trù C . Một hàm tử ⊗ : C × C −→ C được
gọi là một phép toán- hay một luật trên C . Khi đó phạm trù C với phép toán ⊗
được gọi là một ⊗−phạm trù và thường được ký hiệu (C, ⊗).
Định nghĩa 1.1.2. Cho C là một ⊗-phạm trù, và A là một vật của C . Ta gọi A
là vật chính quy nếu các hàm tử F = − ⊗ A và G = A ⊗ − từ C vào C là những
tương đương phạm trù.
Định nghĩa 1.1.3 (A-phạm trù). Một A-phạm trù C là một ⊗-phạm trù C
cùng với một đẳng cấu tự nhiên
∼

aX,Y,Z : A ⊗ (B ⊗ C) −→ (A ⊗ B) ⊗ C,

A, B, C ∈ Ob(C),

Phạm trù monoidal C được ký hiệu là (C, ⊗, a, (1, l, r)). Để đơn giản ta có thể
ký hiệu phạm trù monoidal C là (C, ⊗).

Chú ý 1.1.5.
1) Ràng buộc đơn vị được gọi là chặt chẽ nếu các đẳng cấu l, r đều là đồng
nhất.
2) Một phạm trù monoidal (C, ⊗, a, (1, l, r)) được gọi là phạm trù monoidal chặt
chẽ nếu các ràng buộc a, l, r đều là đồng nhất.


17

18

Mệnh đề 1.1.6 ([26, G. M. Kelly]). Trong phạm trù monoidal, tính giao hoán
của biểu đồ (1.2) tương đương với tính giao hoán của hai biểu đồ sau

a1,A,B

1 ⊗ (A ⊗ B)

✲

❍❍
❥
❍

(1 ⊗ A) ⊗ B

✟
✟✟lA ⊗idB
✙

lA⊗B

aA,B,1

A ⊗ (B ⊗ 1)

✲

❍❍
❥
❍

(F, F , Fˆ ) : C → C ,

(F , F , Fˆ ) : C → C .

(A ⊗ B) ⊗ 1

✟
✟✟rA⊗B
✙

idA ⊗rB

A⊗B

Mệnh đề 1.1.10. Cho hai hàm tử monoidal

A⊗B

Định lý 1.1.7 ([29, S. Mac Lane]). Giữa hai vật bất kỳ của một phạm trù
monoidal C , tồn tại không quá một mũi tên được xây dựng từ a, l, r, phép đồng
nhất và luật ⊗.

Hợp thành của hai hàm tử trên là một hàm tử monoidal (F F, F F , F F ) từ C đến
C , trong đó F F là hợp thành của hai hàm tử theo nghĩa thông thường, và các
đẳng cấu F F A,B : F F (A ⊗ B) → F F A ⊗ F F B , F F : F F 1 → 1 được xác định
bởi các biểu đồ sau
F F A,B

F F (A ⊗ B)

Định lý này thường được gọi là định lý khớp.

(F F )A ⊗ (F F )B

✲

❍❍

❍❍
❥
❍

F (FA,B )

✟

✯
✟✟
✟✟
FF A,F B

F (F A ⊗ F B)

1.1.3

Hàm tử monoidal

F F

F F1

Định nghĩa 1.1.8. Cho hai phạm trù monoidal (C, ⊗, a, (1, l, r)) và

(C , ⊗ , a , (1 , l , r )). Một hàm tử monoidal hay một AU-hàm tử từ C đến C bao
gồm:

F

✲

❅
ˆ) ❅
(F
❘
❅

1

✒
 
 
ˆ
F

 

F 1

1.1.4

Mũi tên hàm tử monoidal

1. một hàm tử F : C → C ,

2. một họ đẳng cấu FA,B : F (A ⊗ B) → F A ⊗ F B tự nhiên với A, B ,
3. một đẳng cấu Fˆ : F 1 → 1 ,
sao cho F tương thích với các ràng buộc kết hợp và các ràng buộc đơn vị, nghĩa
là các biểu đồ sau giao hoán

ˆ : C → D là hai hàm tử monoidal
Định nghĩa 1.1.11. Giả sử (F, F , Fˆ ), (K, K, K)
giữa hai phạm trù monoidal. Một phép biến đổi monoidal tự nhiên hay một mũi
tên hàm tử u : F −→ K là một phép biến đổi tự nhiên sao cho các biểu đồ sau
giao hoán.
F (A ⊗ B)

FA,B

✲

F

✲

F A ⊗ F (B ⊗ C)

id ⊗F

✲

F A ⊗ (F B ⊗ F C)

uA ⊗uB

❄
K(A ⊗ B)

F (a)

❄

FA ⊗ 1
ˆ
id ⊗F

rF A

✲

FA ⊗ F1

F (rA )

✛
FA,1

✲

F (A ⊗ 1)

F (A ⊗ B) ⊗ F C

F ⊗id

✲

❄
(F A ⊗ F B) ⊗ F C)

1 ⊗ FA

FA

✻

✻

F

(1.4)

ˆ ⊗id
F

lF A

✲

FA

✻

✻

F1 ⊗ FA

KA,B

✲

(1.6)

✲
❅
ˆ ❅
F
❘

 
  Kˆ
✠

K1
(1.7)

1

❄
KA ⊗ KB

(1.3)

a

F ((A ⊗ B) ⊗ C)

u1

F1
uA⊗B

F (A ⊗ (B ⊗ C))

FA ⊗ FB

F (lA )

✛

(1.5)

F (1 ⊗ A)

F1,A

Chú ý 1.1.9. 1. Nếu cặp (F, F ) thỏa mãn biểu đồ giao hoán (1.3) thì nó được
gọi là một A-hàm tử.
2. Nếu cặp (F, F ) thỏa mãn biểu đồ giao hoán (1.4), (1.5) thì nó được gọi là
một U-hàm tử.

Định nghĩa 1.1.12. Cho (F, F , Fˆ ) : C → D là một hàm tử monoidal. Trong
ˆ : D → C và các phép biến
trường hợp tồn tại một hàm tử monoidal (K, K, K)
∼

∼
đổi monoidal tự nhiên KF → idC , F K → idD , chúng ta nói rằng (F, F , Fˆ ) là một
tương đương monoidal và C , D là hai phạm trù monoidal tương đương.
˘ : C → C là những ⊗-hàm tử
Bổ đề 1.1.13 ([55, H.X.Sinh]). Cho (F, F˘ ), (K, K)
ˆ : K1 → 1 là những đẳng
tương thích với các ràng buộc đơn vị và Fˆ : F 1 → 1 , K
cấu tương ứng. Khi đó nếu u : F → K là một ⊗-mũi tên sao cho u1 là một đẳng
cấu thì biểu đồ sau giao hoán
u1

F1

✲
❅
ˆ ❅
F
❘

 
✠ Kˆ
 
1

K1


19

20

(B ⊗ D) được xác định như sau:

nghĩa là
ˆ ◦ u1 = Fˆ .
K
1.1.5

a

(A ⊗ B) ⊗ (C ⊗ D)

−1
A,B,C⊗D

✲

aA,C,B⊗D

(A ⊗ C) ⊗ (B ⊗ D)

✛

Chúng ta nhắc lại khái niệm phạm trù monoidal bện theo [21].

trong C sao cho nó thoả mãn hai biểu đồ giao hoán (1.8) và (1.9) sau đây.
✲

(B ⊗ A) ⊗ C

a−1

✲

B ⊗ (A ⊗ C)

a−1

id ⊗c

A ⊗ (B ⊗ C)

c

✲
id ⊗c

✲

(B ⊗ C) ⊗ A

A ⊗ (C ⊗ B)

a−1

B ⊗ (C ⊗ A)

✲

(A ⊗ C) ⊗ B

a

a

c⊗id

❄
(A ⊗ B) ⊗ C

c

✲

C ⊗ (A ⊗ B)

F (A ⊗ B)

✲

✛

A ⊗ ((C ⊗ B) ⊗ D)

✲

FA ⊗ FB
(1.12)

cF A,F B

❄
F (B ⊗ A)

FB,A

✲

❄
FB ⊗ FA

giao hoán.
(1.9)

❄

a

FA,B

F (cA,B )

(1.8)

❄

✲

A ⊗ (C ⊗ (B ⊗ D))

(1.11)

❄

Định nghĩa 1.1.17 (Hàm tử monoidal bện (đối xứng)). Cho C và D là hai
phạm trù monoidal bện (đối xứng). Một ⊗-hàm tử (F, F , Fˆ ) từ C đến D được
gọi là bện (đối xứng) nếu với mỗi cặp (A, B) những vật của C , hình vuông

∼

c = cA,B : A ⊗ B −→ B ⊗ A,

c⊗id

−1
idA ⊗a
C,B,D

Đẳng cấu v được gọi là ràng buộc kết hợp-giao hoán của phạm trù monoidal
đối xứng C .

Định nghĩa 1.1.14. Một bện cho phạm trù monoidal C bao gồm họ các đẳng
cấu tự nhiên

A ⊗ (B ⊗ C)

A ⊗ ((B ⊗ C) ⊗ D)

idA ⊗(cB,C ⊗idD )

❄

❄

✲

vA,B,C,D

Phạm trù monoidal bện

(A ⊗ B) ⊗ C

idA ⊗aB,C,D

A ⊗ (B ⊗ (C ⊗ D))

(C ⊗ A) ⊗ B

Một tensor phạm trù bện hay một phạm trù monoidal bện là một cặp (C, c)
bao gồm một phạm trù monoidal C và một bện c.
Hơn nữa, nếu
cB,A ◦ cA,B = idA⊗B ,
(1.10)
thì C được gọi là một phạm trù monoidal đối xứng, hay một ACU-phạm trù.
Chú ý 1.1.15. Đẳng cấu tự nhiên
∼

c = cA,B : A ⊗ B −→ B ⊗ A,

Một hàm tử monoidal đối xứng còn được gọi là một ACU-hàm tử.

Giả sử C và D là hai phạm trù monoidal đối xứng. Nếu ⊗-hàm tử (F, F ) : C → D
là một A-hàm tử và thỏa mãn biểu đồ giao hoán (1.12) thì nó được gọi là một
AC-hàm tử.

1.2

Các khái niệm và các kết quả trình bày trong tiểu mục này là theo Hoàng Xuân
Sính [55].
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (C, ⊗, a, (1, l, r)) là một phạm trù monoidal. Vật X
của C được gọi là vật khả đảo nếu tồn tại các vật X , X của C sao cho X ⊗X 1,
X ⊗X

thỏa mãn điều kiện (1.10) được gọi là ràng buộc giao hoán hay ràng buộc đối
xứng.
Nhận xét 1.1.16. 1. Trong một phạm trù monoidal đối xứng, tiên đề (1.8)
được suy ra từ các tiên đề còn lại.

Gr-phạm trù và P ic-phạm trù

1.

Nhận xét 1.2.2. Nếu X ⊗ X

x

1, X ⊗ X

x

1 thì X

X .

Hệ quả 1.2.3. X khả đảo khi và chỉ khi tồn tại vật X thỏa mãn X ⊗ X
X ⊗ X 1.

1 và

Mệnh đề 1.2.4. X khả đảo khi và chỉ khi X là vật chính quy.
2. Bởi Định lý khớp của S. Mac Lane ([29]), trong một phạm trù monoidal đối
xứng C , tồn tại duy nhất mũi tên vA,B,C,D : (A ⊗ B) ⊗ (C ⊗ D) → (A ⊗ C) ⊗

Định nghĩa 1.2.5. Một Gr-phạm trù G là một phạm trù monoidal mà tất cả
các vật đều khả nghịch và phạm trù nền là một groupoid, nghĩa là tất cả các
mũi tên đều là đẳng cấu.


21

22

Từ định nghĩa ta suy ra mọi vật của một Gr-phạm trù đều là chính quy.
Một Gr-phạm trù còn được gọi là nhóm phạm trù theo cách gọi gần đây [6, 7],
hay một 2-nhóm trong [12].

(iv) Các đẳng cấu tự nhiên L, R (các ràng buộc phân phối bên trái, bên phải)

Mệnh đề 1.2.6. Giả sử G, G là những Gr-phạm trù và (F, F ) : G → G là một
⊗-hàm tử tương thích với các ràng buộc kết hợp. Khi đó (F, F ) tương thích với

các ràng buộc đơn vị.

LA,X,Y : A ⊗ (X ⊕ Y ) → (A ⊗ X) ⊕ (A ⊗ Y ),
RX,Y,A : (X ⊕ Y ) ⊗ A → (X ⊗ A) ⊕ (Y ⊗ A),

sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
˘ A ), (RA , R
˘ A ) xác định bởi các
(Ann-1) Đối với mỗi vật A ∈ A các cặp (LA , L
hệ thức sau:

Ta gọi một ⊗-hàm tử kết hợp giữa hai Gr-phạm trù là một Gr-hàm tử . Như
vậy, một Gr-hàm tử bao giờ cũng là một hàm tử monoidal.
Định nghĩa 1.2.7. Một phạm trù Picard hay một P ic-phạm trù P là một
Gr-phạm trù cùng với một ràng buộc giao hoán tương thích với ràng buộc kết
hợp.

LA = A ⊗ −,
˘A
L
X,Y

RA = − ⊗ A,
˘A
R
X,Y

= LA,X,Y ,

là những ⊕−hàm tử tương thích với a+ , và với c+ .

(Ann-2) Đối với mọi vật A, B, X, Y ∈ A các biểu đồ sau là giao hoán:
(AB)(X ⊕ Y )

Một phạm trù Picard còn được gọi là một nhóm phạm trù đối xứng [5] hay
một 2-nhóm đối xứng [12, 19].
Chú ý rằng trong một P ic-phạm trù, ràng buộc giao hoán bao giờ cũng tương
thích với ràng buộc đơn vị.

aA,B,X⊕Y

A(B(X ⊕ Y ))

✛

˘B
idA ⊗L

A(BX ⊕ BY )

✲

˘ AB
L

❄

aA,B,X ⊕aA,B,Y

A(BX) ⊕ A(BY )

✛

aX⊕Y,B,A

(X ⊕ Y )(BA)

✲

((X ⊕ Y )B)A

˘ B ⊗id
R
A

(XB ⊕ Y B)A

✲

˘ BA
R

(XB)A ⊕ (Y B)A

✲

a

(A(X ⊕ Y ))B

❄

aX,B,A ⊕aY,B,A

X(BA) ⊕ Y (BA)
A,X⊕Y,B
✛

A((X ⊕ Y )B)

˘B
idA ⊗R

✲

A(XB ⊕ Y B)

˘ A ⊗id
L
B

(1.15)

˘A
L

❄
(AX ⊕ AY )B

Các khái niệm, các kết quả và các ví dụ trong mục này là của Nguyễn Tiến
Quang [2, 38].

(1.14)

˘A
R

❄

Ann-phạm trù

(1.13)

˘A
L

❄
(AB)X ⊕ (AB)Y

Định nghĩa 1.2.8. Một AC-hàm tử giữa hai P ic-phạm trù được gọi là một
P ic-hàm tử.

1.3

= RX,Y,A .

(A ⊕ B)X ⊕ (A ⊕ B)Y

˘B
R

✲
˘
L

✛

(AX)B ⊕ (AY )B
(A ⊕ B)(X ⊕ Y )

❄

a ⊕ a

A(XB) ⊕ A(Y B)

✛
˘
R

✲

A(X ⊕ Y ) ⊕ B(X ⊕ Y )

˘ X ⊕R
˘Y
R

1.3.1

˘ A ⊕L

˘B
L

(1.16)

Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù
❄

v

(AX ⊕ BX) ⊕ (AY ⊕ BY )

Định nghĩa 1.3.1. Một Ann-phạm trù gồm:
(i) Phạm trù A cùng với hai song hàm tử ⊕, ⊗ : A × A → A;
(ii) Vật cố định 0 ∈ A cùng với các đẳng cấu tự nhiên a+ , c+ , g, d, sao cho
(A, ⊕, a+ , c+ , (0, g, d)) là một nhóm phạm trù đối xứng;

✲

(AX ⊕ AY ) ⊕ (BX ⊕ BY )

trong đó v = vU,V,Z,T : (U ⊕ V ) ⊕ (Z ⊕ T ) → (U ⊕ Z) ⊕ (V ⊕ T )
là mũi tên được
xác định trong biểu đồ (1.11).
(Ann-3) Đối với vật đơn vị 1 ∈ A của phép toán ⊗, các biểu đồ sau là giao hoán:
˘1
L

1(X ⊕ Y )

✲
◗
s
◗

lX⊕Y

X⊕Y

✑
✑ lX ⊕lY
✰

˘1
R

(X ⊕ Y )1

1X ⊕ 1Y

✑

◗

(iii) Vật cố định 1 ∈ A cùng với các đẳng cấu tự nhiên a, l, r sao cho
(A, ⊗, a, (1, l, r)) là một phạm trù monoidal;

❄

(1.17)

✲

◗
rX⊕Y

◗
s
◗

X1 ⊕ Y 1

✑
✑
✰ rX ⊕rY
✑

(1.18)

X⊕Y

Định nghĩa 1.3.2. Một Ann-phạm trù A có ràng buộc giao hoán c thỏa mãn
điều kiện cX,X = id với mọi X ∈ A gọi là một Ann-phạm trù chính quy.


23

24

Lớp các Ann-phạm trù chính quy có mối liên quan chặt chẽ với lý thuyết đối

đồng điều đại số của U. Shukla [56], thể hiện qua định lý phân lớp các Ann-phạm
trù chính quy (Định lý 3.1, chương V [2]), và với bài toán mở rộng vành của
một đồng cấu chính quy (ví dụ 2.4, chương II [2]).
Tiếp theo chúng ta trình bày một số ví dụ thường gặp về Ann-phạm trù. Các
ví dụ này sẽ được sử dụng ở các chương tiếp theo.

α(1, y, z) = α(x, 1, z) = α(x, y, 1) = 0.

Ví dụ 1.3.3 (Ann-phạm trù kiểu (R, M )). Giả sử R là một vành có đơn vị
1 = 0 và M là một R-song môđun. Ta xét một phạm trù I có vật là các phần tử
của vành R, còn các mũi tên đều là những tự đẳng cấu. Cụ thể với mỗi x ∈ R
ta có:
Aut(x) = {x} × M.
Hợp thành của các mũi tên trong I là phép cộng trong M . Hai phép toán ⊕ và
⊗ trên I được xác định như sau:

xξ(y, z, t) − ξ(xy, xz, xt) = λ(x, z, t) − λ(x, y + z, t) + λ(x, y, z + t) − λ(x, y, z). (1.25)
ξ(x, y, z)t − ξ(xt, yt, zt) = ρ(y, z, t) − ρ(x + y, z, t) + ρ(x, y + z, t) − ρ(x, y, t). (1.26)
xη(y, z) − η(xy, xz) = λ(x, y, z) − λ(x, z, y).

(1.27)

η(x, y)z − η(xz, yz) = ρ(x, y, z) − ρ(y, x, z).

(1.28)

α(x, y, z + t) − α(x, y, z) − α(x, y, t) + xλ(y, z, t) + λ(x, yz, yt) − λ(xy, z, t) = 0. (1.29)
α(x, y + z, t) − α(x, y, t) − α(x, z, t) − xρ(y, z, t) + ρ(xy, xz, t) − λ(x, yt, zt) = 0. (1.30)
α(x + y, z, t) − α(x, z, t) − α(y, z, t) + ρ(x, y, z)t + ρ(xz, yz, t) − λ(x, y, zt) = 0. (1.31)
ρ(x, y, z + t) − ρ(x, y, z) − ρ(x, y, t) + λ(x, z, t) + λ(y, z, t) − λ(x + y, z, t) =

−ξ(xz + xt, yz, yt) + ξ(xz, xt, yz) − η(xt, yz) + ξ(xz, yz, xt + yt) − ξ(xz, yz, xt).

(1.32)
λ(1, y, z) = ρ(x, y, 1) = 0.

x ⊕ y = x + y, (x, a) ⊕ (y, b) = (x + y, a + b);
x ⊗ y = x.y, (x, a) ⊗ (y, b) = (xy, xb + ay).

Các ràng buộc đơn vị của phép cộng và phép nhân đều chặt chẽ theo nghĩa
g = id, d = id, l = id, r = id. Ràng buộc kết hợp a+ : x + y + z → x + y + z là một

họ các mũi tên (x + y + z, ξ(x, y, z)), với ξ : R3 → M là một hàm thỏa mãn tiên
đề ngũ giác, nghĩa là
ξ(y, z, t) − ξ(x + y, z, t) + ξ(x, y + z, t) − ξ(x, y, z + t) + ξ(x, y, z) = 0.

(1.19)

Tính tương thích của ràng buộc kết hợp với ràng buộc đơn vị dẫn đến
(1.20)

ξ(0, y, z) = ξ(x, 0, z) = ξ(x, y, 0) = 0.

Ràng buộc giao hoán c+ : x + y → y + x là họ các mũi tên (x + y, η(x, y)), trong
đó η : R2 → M là một hàm thỏa mãn điều kiện
(1.21)

η(x, y) + η(y, x) = 0,

và thỏa mãn tiên đề lục giác về tính tương thích của

a+

với

c+ :

ξ(x, y, z) − ξ(x, z, y) + ξ(z, x, y) + η(x + y, z) − η(x, z) − η(y, z) = 0.

xα(y, z, t) − α(xy, z, t) + α(x, yz, t) − α(x, y, zt) + α(x, y, z)t = 0.

Ví dụ 1.3.4 (Ann-phạm trù các song tích M A của vành A). Cho A là một
vành (không nhất thiết có đơn vị). Theo Mac Lane [31], ta gọi một song tích
của vành A là một cặp ánh xạ a → σa, a → aσ từ A vào chính nó, thỏa mãn các
điều kiện sau:
σ(a + b) = σa + σb,

(a + b)σ = aσ + bσ,
(ab)σ = a(bσ),
a(σb) = (aσ)b,

(1.22)

(1.23)

(1.33)

Ví dụ trên đóng vai trò quan trọng trong việc xét cấu trúc của các Ann-phạm
trù [2], và nó được gọi là Ann-phạm trù kiểu (R, M ) .
Với mỗi Ann-phạm trù kiểu (R, M ), bộ năm hàm h = (ξ, η, α, λ, ρ) là một 3-đối
chu trình của vành R lấy hệ tử trong R-song môđun M theo nghĩa Mac Lane

(xem phần 1.4).
Nếu η có thêm điều kiện chính quy η(x, x) = 0 thì h = (ξ, η, α, λ, ρ) là một
3-đối chu trình của vành R lấy hệ tử trong R-song môđun M theo nghĩa Shukla
(xem chương IV [2]).

σ(ab) = (σa)b,

Các ràng buộc kết hợp a của phép nhân và các ràng buộc phân phối L, R tương
ứng là các hàm α, λ, ρ từ R3 đến M thỏa mãn các hệ thức sau:

(1.24)

với mọi a, b ∈ A. Tổng và tích của hai song tích σ và ν được xác định bởi:
(σ + ν)a = σa + νa;

a(σ + ν) = aσ + aν;

(σν)a = σ(νa);

a(σν) = (aσ)ν.


25

26

Tập hợp tất cả các song tích của vành A cùng với hai phép toán trên lập thành
một vành có đơn vị, ký kiệu bởi MA . Mỗi phần tử c ∈ A cảm sinh một song tích
µc xác định bởi các hệ thức
µc a = ca;

∀a ∈ A,

aµc = ac,

với các tác động
xc = (ϕx)c,

cx = c(ϕx),

Giả sử σ : R → MA là một ánh xạ sao cho σ(x) ∈ θx với x ∈ R và σ thỏa mãn
các điều kiện σ(0) = 0, σ(1) = 1. Khi đó ta xác định được hai ánh xạ

và được gọi là một song tích trong của A. Ánh xạ µ : A → MA là một đồng cấu
vành và nếu A có đơn vị 1 thì µ(1) = 1.
Bởi vì
σµc = µσc ;

µc σ = µcσ

nên ảnh µA của đồng cấu µ là một iđêan hai phía của vành MA .
Bây giờ ta xét phạm trù M A mà các vật là các phần tử của vành MA , và nếu
ϕ, λ là hai song tích của A thì ta đặt
HomM A (ϕ, λ) = {c ∈ A | λ = µc + ϕ}.

Phép hợp thành các mũi tên là phép cộng trong A. Các phép toán ⊕, ⊗ được
xác định bởi các hệ thức sau
ϕ ⊕ λ = ϕ + λ,

∀c ∈ CA , x ∈ R, ϕx ∈ θx.

f : R × R → A,
g : R × R → A,

sao cho
µf (x, y) = σ(x) + σ(y) − σ(x + y),
µg(x, y) = σ(x)σ(y) − σ(xy),

x, y ∈ R.

Từ tính chất kết hợp của phép nhân trong vành MA ta suy ra:
xg(y, z) − g(xy, z) + g(x, yz) − g(x, y)z = α(x, y, z) ∈ CA .

(1.34)

Tương tự, từ tính chất kết hợp và giao hoán của phép cộng trong vành MA ta
suy ra:
f (y, z) − f (x + y, z) + f (x, y + z) − f (x, y) = ξ(x, y, z) ∈ CA .

(1.35)

c ⊕ d = c + d,
f (x, y) − f (y, x) = η(x, y) ∈ CA .

ϕ ⊗ λ = ϕ ◦ λ,
c ⊗ d = cd + cλ + ϕd,

với λ, ϕ ∈ MA , c : ϕ → ϕ , d : λ → λ . Với hai phép toán này, M A trở thành một
Ann-phạm trù với các ràng buộc được xác định một cách tự nhiên đều là chặt
chẽ.

Ví dụ 1.3.5 (Ann-phạm trù của một đồng cấu chính quy). Cho A là một
vành (không nhất thiết có đơn vị). Ta gọi PA = MA /µA là vành các song tích
ngoài của vành A.
Giả sử R là một vành có đơn vị 1 = 0. Mỗi mở rộng vành của A bởi R cảm
sinh một đồng cấu chính quy
nghĩa là: θ(1) = 1 và hai phần tử bất kỳ của θR là giao hoán [Hai song tích
ϕ, ψ được gọi là giao hoán nếu ϕ(aψ) = (ϕa)ψ và ψ(aϕ) = (ψa)ϕ với mọi a ∈ A].

Đảo lại, theo [31], mỗi đồng cấu chính quy θ : R → PA cảm sinh cấu trúc R-song
môđun trên song tâm
CA = {c ∈ A | ca = ac = 0,

Cuối cùng từ tính chất phân phối trong vành MA ta suy ra:
xf (y, z) − f (xy, xz) + g(x, y + z) − g(x, y) − g(x, z) = λ(x, y, z) ∈ CA .

(1.37)

f (x, y)z − f (xz, yz) + g(x + y, z) − g(x, z) − g(y, z) = ρ(x, y, z) ∈ CA .

(1.38)

3
Ta gọi họ h = (ξ, η, α, λ, ρ) ∈ ZM
acL (R, CA ) các ánh xạ được xác định bởi các
hệ thức (1.34)-(1.38) là một cản trở của đồng cấu chính quy (A, R, θ), [h] ∈
3
HM
acL (R, CA ) được gọi là cản trở của đồng cấu θ . Khi tất cả các hàm này đều
bằng không thì ta có mở rộng vành

0 −→ A −→ S −→ R −→ 0

cảm sinh đồng cấu chính quy θ : R → PA . Cụ thể,

θ : R → PA

∀a ∈ A},

(1.36)

S = {(a, r), a ∈ A, r ∈ R}

là một vành với hai phép toán
(a1 , r1 ) + (a2 , r2 ) = (a1 + a2 + f (r1 , r2 ), r1 + r2 ),
(a1 , r1 ).(a2 , r2 ) = (a1 a2 + r1 a2 + a1 r2 + g(r1 , r2 ), r1 r2 ).


27

28

Trường hợp tổng quát được phát biểu trong kết quả dưới đây.

ˆY
id ⊗L

X ⊗ (Y ⊗ 0)

✲

Mệnh đề 1.3.6 ([2, Mệnh đề 2.5, chương II]). Nếu h = (ξ, η, α, λ, ρ) là một
cản trở của một đồng cấu chính quy θ : R → PA thì chúng cùng với (0, id, id) và
(1, id, id) là một họ ràng buộc của một Ann-phạm trù kiểu (R, CA ).

(1.45)

ˆX
L

a

❄

ˆ XY
L

(X ⊗ Y ) ⊗ 0

a

ˆ A : A ⊗ 0 → A,
L

ˆ A : 0 ⊗ A → A,
R

AX
g

A(0 ⊕ X)

✛

✻
ˆA

L ⊕id
✛
A (g)

g

(1.39)

˘A
L

0 ⊕ AX
XA

AX

✛L

✻

0 ⊕ XA

ˆA

❄
AX ⊕ 0

(0 ⊕ X)A

XA

ˆX
L

✛

AX ⊕ A0

d

✛L

0A ⊕ XA

XA ⊕ 0

(1.42)

˘A
R
ˆA
id ⊕R

❄

XA ⊕ 0A

✛

˘ A, L
ˆ A ), (RA , R
˘A, R
ˆ A ) là những hàm tử tương thích với các ràng
nghĩa là, (LA , L
buộc đơn vị của phép ⊕ (còn được gọi là những U −hàm tử).
ˆ A ) (tương
Mệnh đề 1.3.8 ([2, Mệnh đề 3.2]). Trong một Ann-phạm trù A, họ (L
ứng (Rˆ A )) là một mũi tên đẳng cấu giữa hàm tử (A → A ⊗ 0) (tương ứng,
A → 0 ⊗ A) và hàm tử A → 0. Nghĩa là, nếu f : A → B là một mũi tên trong
Ann-phạm trù A thì các biểu đồ sau giao hoán
A⊗0

f ⊗id

✲

❅

ˆA
L

B⊗0

 
✠ Lˆ B

 

❅
❘
0

0⊗A
(1.43)

id ⊗f

✲

❅

ˆA
L

(1.47)

0

✛

❄
0⊗Y

g0 =d0

✲

✻

✻

(X ⊗ 0) ⊕ (Y ⊗ 0)

ˆ X⊕Y
L

˘0
R

✛

g0 =d0

0⊕0

0

ˆ X ⊕R
ˆY
R

(1.48)

(X ⊕ Y ) ⊗ 0

✲

0

✻

✻

ˆ X⊕Y
R

(0 ⊗ X) ⊕ (0 ⊗ Y )

˘0
L

✛

(1.49)

0 ⊗ (X ⊕ Y )

ˆ A ) (tương ứng, họ (R
ˆ A )) là ⊕-mũi tên đẳng cấu giữa ⊕-hàm tử (R0 , R
˘0)
nghĩa là (L
˘ 0 )) và ⊗-hàm tử (θ : A → 0, θ = g −1 ).
(tương ứng, (L0 , L
0

(X ⊕ 0)A

✻

❄

✲

ˆY
R

❄

id ⊕L
✛

A (d)

(1.41)

(1.40)

˘A
L

A0 ⊕ AX

˘A
R
ˆ A ⊕id
R

d

ˆ X ⊕L
ˆY
L

A(X ⊕ 0)

✛

✻

0⊗Y

Mệnh đề 1.3.10 ([2, Mệnh đề 3.4]). Trong Ann-phạm trù A, các biểu đồ sau
giao hoán
0⊕0

LA (d)

✲

ˆ X ⊗id
L

❄

sao cho các biểu đồ sau giao hoán
LA (g)

ˆ X ⊗id
R

(X ⊗ 0) ⊗ Y

ˆY
id ⊗R

X⊗0

Mệnh đề 1.3.7 ([3, Mệnh đề 3.1]). Trong Ann-phạm trù A, tồn tại duy nhất
các đẳng cấu

✲

(1.46)

ˆY
R

(0 ⊗ X) ⊗ Y

X ⊗ (0 ⊗ Y )

0

✻
❄

0

Tiếp theo chúng ta nhắc lại một số tính chất của vật 0 trong một Ann-phạm
trù A.

✲

a

❄
✲

ˆ XY
R

0 ⊗ (X ⊗ Y )

X⊗0

0⊗B

 
✠ Lˆ B
 

❅
❘

Mệnh đề 1.3.11 ([2, Mệnh đề 3.5]). Trong Ann-phạm trù A có các đẳng thức
sau

ˆ 1 = l0
L
và Rˆ 1 = r0 .
(1.50)
1.3.2

Định nghĩa Ann-hàm tử

Theo Mệnh đề 1.2.6, nếu (F, F˘ ) : A → A là một ⊕-hàm tử tương thích với các
ràng buộc kết hợp của của hai nhóm phạm trù thì nó cũng tương thích với các
ràng buộc đơn vị, nghĩa là suy ra được đẳng cấu F+ : F (0) → 0 sao cho (F, F˘ , F+ )
là một hàm tử monoidal. Với những chú ý này chúng ta có định nghĩa Ann-hàm
tử sau đây.

(1.44)

0

Mệnh đề 1.3.9 ([2, Mệnh đề 3.3]). Đối với các vật X, Y của Ann-phạm trù A,
các biểu đồ sau giao hoán

Định nghĩa 1.3.12. Cho A và A là những Ann−phạm trù. Một Ann−hàm tử
từ A đến A là một bộ bốn (F, F˘ , F , F∗ ) trong đó (F, F˘ ) là một hàm tử monoidal
đối xứng đối với phép toán ⊕, (F, F , F∗ ) là hàm tử monoidal đối với phép toán
⊗ và thỏa mãn hai biểu đồ giao hoán sau:
F (X(Y ⊕ Z))

F

✲

F X.F (Y ⊕ Z)

˘
id ⊗F

✲

F (L)

F X(F Y ⊕ F Z)

L

❄
F (XY ⊕ XZ)

˘
F

✲

F (XY ) ⊕ F (XZ)

F ⊕F

✲

❄
F X.F Y ⊕ F X.F Z

(1.51)


29
F

F ((X ⊕ Y )Z)

✲

F (X ⊕ Y ).F Z

30
˘ ⊗id
F

✲

(F X ⊕ F Y ).F Z

F (R)

R

❄

˘
F

F (XZ ⊕ Y Z)

✲

F (XZ) ⊕ F (Y Z)

F ⊕F

✲

(1.52)

❄

Khi đó tập hợp các lớp vật đẳng cấu π0 (A) của A là một vành đối với hai
phép toán +, ×, cảm sinh bởi các phép toán ⊕, ⊗ trên A, còn π1 (A) = Aut(0) là
một nhóm aben mà luật hợp thành được ký hiệu bởi dấu +.

F X.F Z ⊕ F Y.F Z

Tính giao hoán của hai biểu đồ trên được gọi là tính tương thích của hàm tử F
với các ràng buộc phân phối của hai Ann-phạm trù A, A .
Ta gọi u : F → K là một Ann−mũi tên hay một đồng luân giữa hai Ann−hàm
˘ K, K∗ ) nếu nó đồng thời là một ⊕−mũi tên và ⊗−mũi
tử (F, F˘ , F , F∗ ) và (K, K,
tên.
Ann-hàm tử (F, F˘ , F , F∗ ) : A → A được gọi là một Ann-tương đương nếu tồn
tại một Ann-hàm tử (F , F˘ , F , F∗ ) : A → A và các Ann-mũi tên đẳng cấu tự
nhiên u : F ◦ F ∼
= idA , u : F ◦ F ∼

= idA .

Định lý 1.3.14 ([2, Định lý 1.3, chương IV]). Các tác động bên trái, bên phải
của vành π0 (A) lên nhóm aben π1 (A) xác định lần lượt bởi các hệ thức

với X ∈ s, s ∈ π0 (A), u ∈ π1 (A), biến π1 (A) thành π0 (A)-song môđun, trong đó
λ, ρ là các hàm được xác định bởi các biểu các biểu đồ giao hoán sau:
ˆX
L

X.0

✲

0

Bổ đề 1.3.13. Mỗi Ann-hàm tử F = (F, F˘ , F , F∗ ) : A → A đồng luân với một
Ann-hàm tử F = (F , F˘ , F , F∗ ) mà ở đó F 1 = 1 , F∗ = id1 .
Chứng minh. Ta xét họ các mũi tên đẳng cấu trong A :
θX


idF X nếu X = 1,
=
F nếu X = 1,
∗

với X ∈ A. Khi đó từ F ta có thể dựng được Ann-hàm tử F theo cách duy nhất
sao cho θ : F → F trở thành một đồng luân, ở đó


F X nếu X = 1,
FX=
1 nếu X = 1;

F (f : X → Y ) = (θX F (f )(θY )−1 : F X → F Y );

−1
−1
F˘X,Y = (θX ⊕ θY )F˘X,Y θX⊕Y
; FX,Y = (θX ⊗ θY )FX,Y θXY
; F∗ = F∗ θ1−1 = id1 .

Do Bổ đề 1.3.13, ta có thể ký hiệu một Ann-hàm tử bởi (F, F˘ , F ) khi không
cần nhắc tới F∗ .

0.X
(1.54)

λX (u)

id ⊗u

Chúng ta có thể chứng minh được rằng một Ann-hàm tử (F, F˘ , F , F∗ ) : A → A
là một Ann-tương đương khi và chỉ khi F là một tương đương phạm trù.
Để sử dụng cho những phần sau, chúng ta chứng minh bổ đề dưới đây.

(1.53)

su = λX (u), us = ρX (u),

❄
X.0

ˆX
L

✲

0
ρX (u)

u⊗id

❄

❄

✲

ˆX
R

0

0.X

ˆX
R

✲

(1.55)

❄
0

Định lý dưới đây nói về tính chất bất biến của π0 (A) và π1 (A).
Định lý 1.3.15 ([2, Định lý 1.6, chương IV]). Cho A và A là hai Ann-phạm
trù. Khi đó mỗi Ann-hàm tử (F, F˘ , F ) : A → A đều cảm sinh cặp đồng cấu vành:
F0 : π0 (A) → π0 (A ) ;
[X]

→

F1 : π1 (A) →

[F X]

u

π1 (A )

→ γF−10 (F u)

thoả mãn các hệ thức
F1 (su) = F0 (s)F1 (u),

F1 (us) = F1 (u)F0 (s),

trong đó π1 (A) được coi là vành với phép nhân không. Hơn nữa, F là một tương

đương khi và chỉ khi F0 , F1 là những đẳng cấu.
Dưới đây, chúng ta nhắc lại những nét chính của phép xây dựng Ann-phạm
trù thu gọn SA của một Ann-phạm trù A, nhờ phép chuyển cấu trúc (chi tiết
xem [2]). Phạm trù SA có các vật là các phần tử của π0 (A), còn các mũi tên là
những tự đẳng cấu, (r, a) : r → r, r ∈ π0 (A), a ∈ π1 (A). Hợp thành của hai mũi
tên được xác định bởi
(r, a) ◦ (r, b) = (r, a + b).

1.3.3

Ann-phạm trù thu gọn

Giả sử A là một Ann-phạm trù với họ các ràng buộc
(a+ , c+ , (0, g, d), a, (1, l, r), L, R).

Trong A chọn hệ đại diện Xs , s ∈ π0 (A) sao cho X0 = 0, X1 = 1, và một họ các
đẳng cấu iX : X → Xs thoả mãn iXs = idXs . Khi đó ta có thể xác định hai hàm tử


31

32

G : A → SA,

H : SA → A,

G(X) = [X] = s,

H(s) = Xs ,

−1
G(f ) = (s, γX
(iY f i−1
H(s, u) = γXs (u),
X )),
s
với X, Y ∈ s và f : X → Y , còn γX là ánh xạ được xác định bởi biểu đồ giao
hoán sau:
γX (u)

X

✲

✻
g

X

✻
gX

X

0⊕X

u⊕id

✲

(1.56)

0⊕X

Hai phép toán trên SA được xác định bởi

là một Ann-tương đương.
˘ H), (G, G,
˘ G) được gọi là các Ann-tương đương chính tắc.
(H, H,
Mệnh đề 2.8, chương IV [2], đã chứng tỏ rằng, trong một Ann-phạm trù thu
gọn SA, họ h = (ξ, η, α, λ, ρ) thỏa mãn các hệ thức (1.57)–(1.60), (1.69)–(1.76),
và do đó nó là một 3-đối chu trình của vành π0 (A) lấy hệ tử trong π0 (A)-song
môđun π1 (A) theo nghĩa Mac Lane.
Từ Định lý 1.3.15 và Định lý 7.6 [38], mỗi Ann-phạm trù A được xác định
duy nhất, sai khác bởi một Ann-tương đương, bởi ba bất biến đặc trưng:
1. Vành π0 (A) các lớp vật của phạm trù A;

s ⊕ t = G(H(s) ⊕ H(t)) = s + t,

2. π0 (A)-song môđun π1 (A) = Aut(0);

s ⊗ t = G(H(s) ⊗ H(t)) = st,

3
3. Phần tử [h] ∈ HM
acL (π0 (A), π1 (A)) (đối đồng điều vành theo nghĩa Mac
Lane).

(s, u) ⊕ (t, v) = G(H(s, u) ⊕ H(t, v)) = (s + t, u + v),
(s, u) ⊗ (t, v) = G(H(s, u) ⊗ H(t, v)) = (st, sv + ut),

với s, t ∈ π0 (A), u, v ∈ π1 (A). Hiển nhiên chúng không phụ thuộc vào sự lựa chọn
hệ đại diện Xs , iX .
Các ràng buộc trong SA được xác định bởi các ràng buộc trong A nhờ khái
niệm đính. Một đính trong A gồm một hệ đại diện (Xs )s∈π0 (A) sao cho X0 =
0, X1 = 1 và các đẳng cấu
ϕs,t : Xs ⊕ Xt → Xs+t , ψs,t : Xs Xt → Xst ,

với mọi s, t ∈ π0 (A) sao cho
ϕ0,t = gXt ,

ϕs,0 = dXs ,

ψ1,t = lXt ,

ˆ Xt ,
ψs,1 = rXs , ψ0,t = R

ˆ Xs .
ψs,0 = L

Đối với hai phép toán ⊕, ⊗ trên SA các ràng buộc đơn vị được chọn tương
ứng là (0, id, id) và (1, id, id). Đặt ϕ = (ϕs,t ) và ψ = (ψs,t ) ta có thể xác định được
các ràng buộc ξ, η, α, λ, ρ lần lượt tương thích với các ràng buộc a+ , c+ , a, L, R
˘ = ϕ−1 , H = ψ −1 , H∗ = id1 . Khi đó
của A qua H, H
(SA, ξ, η, (0, id, id), α, (1, id, id), λ, ρ)
˘ = ϕ−1 , H =

là một Ann-phạm trù tương đương với A bởi Ann-tương đương (H, H
−1
ψ , H∗ ). Đồng thời, hàm tử G : A → SA cùng với các đẳng cấu hàm tử
˘ X,Y = G(iX ⊕ iY ),
G

GX,Y = G(iX ⊗ iY ),

G∗ = id1

Trong trường hợp các Ann-phạm trù chính quy (có ràng buộc đối xứng thỏa
mãn điều kiện cX,X = id đối với mọi vật X ) thì phần tử [h] được nói đến ở
3 (π (A), π (A)) của các Z-đại số theo nghĩa Shukla (xem
trên thuộc vào nhóm HSh
0
1
Định lý 3.1, chương IV [2]).

1.4
1.4.1

Đối đồng điều
Nhóm đối đồng điều Mac Lane của các vành

Các nhóm đối đồng điều chiều thấp của vành theo nghĩa Mac Lane đã được
Nguyễn Tiến Quang sử dụng để phân lớp các Ann-phạm trù tổng quát [38].
Trong phần 2.1, chúng ta sẽ sử dụng các nhóm đối đồng điều này để tiến hành
phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù.
Giả sử R là một vành và M là một R−song môđun. Từ định nghĩa đối đồng
điều vành của S. Mac Lane [53], chúng ta thu được mô tả về các phần tử của

3
nhóm đối đồng điều HM
acL (R, M ) như sau.
3
Nhóm ZM
(R,
M
)
các
3-đối dây chuyền của vành R lấy hệ tử trong R−song
acL
module M bao gồm các bộ bốn h = (σ, α, λ, ρ) các ánh xạ:
σ : R4 → M ; α, λ, ρ : R3 → M,

thoả mãn các điều kiện sau với mọi x, y, z, t ∈ R:
xα(y, z, t) − α(xy, z, t) + α(x, yz, t) − α(x, y, zt) + α(x, y, z)t = 0,

(1.57)


33

34

α(x, z, t) + α(y, z, t) − α(x + y, z, t) + ρ(xz, yz, t) − ρ(x, y, zt) + ρ(x, y, z)t = 0, (1.58)
− α(x, y, t) − α(x, z, t) + α(x, y + z, t) + xρ(y, z, t) − ρ(xy, xz, t)

(1.59)

− λ(x, yt, zt) + λ(x, y, z)t = 0,

ξ, α, λ, ρ : R3 → M, η : R2 → M

α(x, y, z) + α(x, y, t) − α(x, y, z + t) + xλ(y, z, t) − λ(xy, z, t) + λ(x, yz, yt) = 0, (1.60)
λ(x, z, t) + λ(y, z, t) − λ(x + y, z, t) + ρ(x, y, z) + ρ(x, y, t) − ρ(x, y, z + t)

(1.61)

+ σ(xz, xt, yz, yt) = 0,
λ(x, a, b) + λ(x, c, d) − λ(x, a + c, b + d) − λ(x, a, c) − λ(x, b, d)

3
Nhóm ZM
acL (R, M ) các 3-đối dây chuyền của vành R lấy hệ tử trong R−song
module M bao gồm các bộ năm h = (ξ, η, α, λ, ρ) các ánh xạ:

thoả mãn các hệ thức (1.57)–(1.60) và các hệ thức dưới đây, với mọi x, y, z, t ∈ R:
ξ(y, z, t) − ξ(x + y, z, t) + ξ(x, y + z, t) − ξ(x, y, z + t) + ξ(x, y, z) = 0,

(1.69)

ξ(x, y, z) − ξ(x, z, y) + ξ(z, x, y) + η(x + y, z) − η(x, z) − η(y, z) = 0,

(1.70)

(1.62)

+ λ(x, a + b, c + d) − xσ(a, b, c, d) + σ(xa, xb, xc, xd) = 0,

η(x, y) + η(y, x) = 0,

(1.71)

xη(y, z) − η(xy, xz) = λ(x, y, z) − λ(x, z, y),

(1.72)

+ ρ(a + b, c + d, x) − σ(ax, bx, cx, dx) + σ(a, b, c, d)x = 0,

η(x, y)z − η(xz, yz) = ρ(x, y, z) − ρ(y, x, z),

(1.73)

− σ(a, b, c, d) − σ(x, y, z, t) + σ(a + x, b + y, c + z, d + t)

xξ(y, z, t) − ξ(xy, xz, xt) = λ(x, z, t) − λ(x, y + z, t) + λ(x, y, z + t) − λ(x, y, z), (1.74)

ρ(a, b, x) + ρ(c, d, x) − ρ(a + c, b + d, x) − ρ(a, c, x) − ρ(b, d, x)

+ σ(a, b, x, y) + σ(c, d, z, t) − σ(a + c, b + d, x + z, y + t)

(1.63)

(1.64)

− σ(a, c, x, z) − σ(b, d, y, t) + σ(a + b, c + d, x + y, z + t) = 0,

ξ(x, y, z)t − ξ(xt, yt, zt) = ρ(y, z, t) − ρ(x + y, z, t) + ρ(x, y + z, t) − ρ(x, y, z), (1.75)
ρ(x, y, z + t) − ρ(x, y, z) − ρ(x, y, t) + λ(x, z, t) + λ(y, z, t) − λ(x + y, z, t) =

và bốn hàm này thỏa mãn các điều kiện chuẩn tắc:

ξ(xz + xt, yz, yt) + ξ(xz, xt, yz) − η(xt, yz) + ξ(xz + yz, xt, yt) − ξ(xz, yz, xt),

(1.76)

α(0, y, z) = α(x, 0, z) = α(x, y, 0) = 0,

và thỏa mãn các điều kiện chuẩn tắc:

λ(0, y, z) = λ(x, 0, z) = λ(x, y, 0) = 0,
ρ(0, y, z) = ρ(x, 0, z) = ρ(x, y, 0) = 0,

ξ(0, y, z) = ξ(x, 0, z) = ξ(x, y, 0) = 0,

σ(a, b, 0, 0) = σ(0, 0, c, d) = σ(a, 0, c, 0) = σ(0, b, 0, d) = σ(a, 0, 0, d) = 0.

α(1, y, z) = α(x, 1, z) = α(x, y, 1) = 0,

3
3
Nhóm con BM
acL (R, M ) ⊂ ZM acL (R, M ) của các 3-đối bờ là những bộ bốn h =
(σ, α, λ, ρ) sao cho tồn tại các ánh xạ g = (µ, ν) : R2 → M thoả mãn h = ∂M acL g ,
nghĩa là:
α(x, y, z) = xν(y, z) − ν(xy, z) + ν(x, yz) − ν(x, y)z,
(1.65)

α(0, y, z) = α(x, 0, z) = α(x, y, 0) = 0,

λ(x, y, z) = ν(x, y + z) − ν(x, y) − ν(x, z) + xµ(y, z) − µ(xy, xz),

(1.66)

ρ(x, y, z) = ν(x + y, z) − ν(x, z) − ν(y, z) + µ(x, y)z − µ(xz, yz),

(1.67)

σ(x, y, z, t) = µ(x, y)+µ(z, t)−µ(x+z, y +t)−µ(x, z)−µ(y, t)+µ(x+y, z +t). (1.68)

Để thuận lợi cho việc sử dụng đối đồng điều Mac Lane vào bài toán phân lớp
các Ann-phạm trù [38], N. T. Quang đã đưa ra một mô tả khác cho lớp đối đồng
điều vành của Mac Lane như sau (xem Mệnh đề 7.2, Mệnh đề 7.3 [38]).

λ(1, y, z) = λ(0, y, z) = λ(x, 0, z) = λ(x, y, 0) = 0,
ρ(x, y, 1) = ρ(0, y, z) = ρ(x, 0, z) = ρ(x, y, 0) = 0.
3
3
Nhóm con BM
acL (R, M ) ⊂ ZM acL (R, M ) của các 3-đối bờ là những bộ năm h =
(ξ, η, α, λ, ρ) sao cho tồn tại các ánh xạ g = (µ, ν) : R2 → M thoả mãn h = ∂M acL g ,
nghĩa là α, λ, ρ thỏa mãn các đẳng thức (1.65)–(1.67) và các hàm ξ, η thỏa mãn
các đẳng thức:

ξ(x, y, z) = µ(y, z) − µ(x + y, z) + µ(x, y + z) − µ(x, y),

(1.77)

η(y, x) = µ(x, y) − µ(y, x),

(1.78)

ở đó µ, ν thỏa mãn các điều kiện chuẩn tắc µ(0, y) = µ(x, 0) = 0 và
ν(0, y) = ν(x, 0) = ν(1, y) = ν(x, 1) = 0.


35

36

2
Nhóm ZM
acL (R, M ) bao gồm các 2-đối dây chuyền g = (µ, ν) của vành R lấy
hệ tử trong R−song module M thoả mãn

với một a cố định nào đó thuộc A.
2
(Λ, A) bao gồm các 2-đối chu trình là những hàm song tuyến tính
Nhóm ZHochs
2
g : Λ → A thỏa mãn điều kiện

∂M acL g = 0.
2
2
Nhóm con BM
acL (R, M ) ⊂ ZM acL (R, M ) của các 2-đối bờ gồm những cặp (µ, ν)
sao cho tồn tại các ánh xạ t : R → M thoả mãn (µ, ν) = ∂M acL t, nghĩa là:

µ(x, y) = t(y) − t(x + y) + t(x),

(1.79)

ν(x, y) = xt(y) − t(xy) + t(x)y,

(1.80)

trong đó t thoả mãn điều kiện chuẩn tắc t(0) = t(1) = 0.
1
Nhóm ZM
acL (R, M ) bao gồm các 1-đối dây chuyền t của vành R lấy hệ tử
trong R−song môđun M thoả mãn
∂M acL t = 0.
1
1
Nhóm con BM
acL (R, M ) ⊂ ZM acL (R, M ) của các 1-đối bờ là những hàm t sao cho
tồn tại a ∈ R thoả mãn t(x) = ax − xa.
Các nhóm thương

được gọi là nhóm đối đồng điều Mac Lane thứ i của vành R với hệ tử trong
R-song môđun M .

Nhóm đối đồng điều Hochschild của các đại số

Giả sử K là một vành giao hoán, Λ là một đại số trên K và A là một Λ-song
môđun. Từ định nghĩa đối đồng điều đại số của Hochschild [18], chúng ta thu
n
được mô tả về các phần tử của nhóm đối đồng điều HHochs
(Λ, A), n = 1, 2, 3 như

sau, với λ1 , λ2 , λ3 , λ4 ∈ Λ.
1
Nhóm ZHochs
(Λ, A) các 1-đối chu trình bao gồm các đồng cấu K -môđun f :
Λ → A thỏa mãn đẳng thức
f (λ1 , λ2 ) = λ1 f (λ2 ) + f (λ1 )λ2 .

(1.81)

1
Nhóm BHochs
(Λ, A) bao gồm các 1-đối bờ là những hàm có dạng

fa (λ) = aλ − λa,

(1.83)

2
(Λ, A) bao gồm các 2-đối bờ là những hàm g : Λ2 → A sao cho
Nhóm BHochs
tồn tại đồng cấu K -môđun f : Λ → A thỏa mãn đẳng thức

g(λ1 , λ2 ) = λ1 f (λ2 ) + f (λ1 )λ2 .

(1.84)

3
(Λ, A) bao gồm các 3-đối chu trình là những hàm đa tuyến tính
Nhóm ZHochs
3

α : Λ → A thỏa mãn điều kiện

λ1 α(λ2 , λ3 , λ4 )−α(λ1 λ2 , λ3 , λ4 )+α(λ1 , λ2 λ3 , λ4 )−α(λ1 , λ2 , λ3 λ4 )+α(λ1 , λ2 , λ3 )λ4 = 0.

(1.85)
3
Nhóm BHochs
(Λ, A) bao gồm các 3-đối bờ là những hàm α : Λ3 → A sao cho
tồn tại hàm song tuyến tính g : Λ → A thỏa mãn đẳng thức
α(λ1 , λ2 , λ3 ) = λ1 g(λ2 , λ3 ) − g(λ1 λ2 , λ3 ) + g(λ1 , λ2 λ3 ) − g(λ1 , λ2 )λ3 .

(1.86)

Cuối cùng

i
i
i
HM
acL (R, M ) = ZM acL (R, M )/BM acL (R, M ), i = 1, 2, 3

1.4.2

λ1 g(λ2 , λ3 ) − g(λ1 λ2 , λ3 ) + g(λ1 , λ2 λ3 ) − g(λ1 , λ2 )λ3 = 0.

(1.82)

n
n
n

HHochs
(Λ, A) = ZHochs
(Λ, A)/BHochs
(Λ, A), n = 1, 2, 3,

được gọi là nhóm đối đồng điều thứ n của K -đại số Λ lấy hệ tử trong Λ-song
môđun A.


37

38

- giao hoán" v, v nếu biểu đồ sau là giao hoán với mọi X, Y, Z, T ∈ Ob(A)
˘
F

F ((X ⊕ Y ) ⊕ (Z ⊕ T ))

✲

F (X ⊕ Y ) ⊕ F (Z ⊕ T )

˘ +F
˘
F

(F X ⊕ F Y ) ⊕ (F Z ⊕ F T )

✲

F (v)

Chương 2
MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ANN-PHẠM TRÙ VÀ ANN-HÀM
TỬ

Năm 1988, Nguyễn Tiến Quang đã đưa ra khái niệm Ann-phạm trù và phân
lớp đối đồng điều cho các Ann-phạm trù chính quy [2]. Tiếp theo, năm 1992,
Trần Phương Dung đã phân lớp đối đồng điều cho các Ann-hàm tử giữa các
Ann-phạm trù chính quy [1] nhờ các nhóm đối đồng điều của Shukla. Vào năm
2008, Nguyễn Tiến Quang đã hoàn thành bài toán phân lớp các Ann-phạm trù
trong trường hợp tổng quát [38]. Chương này chúng tôi trình bày các kết quả
nghiên cứu nối tiếp về Ann-phạm trù. Mục 2.1 trình bày về các kết quả phân
lớp các Ann-hàm tử giữa hai Ann-phạm trù tổng quát bởi nhóm đối đồng điều
vành của Mac Lane. Mục 2.2 xây dựng một Ann-phạm trù cảm sinh bởi một
Ann-hàm tử. Mục 2.3 trình bày về mối liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm
trù.
Các kết quả của chương này được viết dựa theo [42, 43, 45].

2.1

Phân lớp đối đồng điều của các Ann-hàm tử

❄

˘
F

F ((X ⊕ Z) ⊕ (Y ⊕ T ))

✲

F (X ⊕ Z) ⊕ F (Y ⊕ T )

Định nghĩa 2.1.1. Cho A, A là những ⊕−phạm trù monoidal đối xứng. Khi
đó ⊕−hàm tử (F, F˘ ) : A → A được gọi là tương thích với các ràng buộc "kết hợp

(F X ⊕ F Z) ⊕ (F Y ⊕ F T )

✲

Bổ đề 2.1.2. Giả sử ⊕−hàm tử (F, F˘ ) : A → A tương thích với các ràng buộc
đơn vị. Thế thì (F, F˘ ) là một AC−hàm tử khi và chỉ khi nó tương thích với các
ràng buộc v, v .
Chứng minh. Điều kiện cần đã được chứng minh bởi D. B. A. Epstein (Bổ đề
1.5 [15]).
Bây giờ ta giả sử biểu đồ (2.1) giao hoán. Để chứng minh cặp (F, F˘ ) tương
thích với các ràng buộc giao hoán ta xét biểu đồ dưới đây:
F (v)

F ((0 ⊕ X) ⊕ (Y ⊕ 0))

❅
F (g ⊕ d) ❅
❘
❅

F˘

❄

F˘

F (0 ⊕ X) ⊕ F (Y ⊕ 0)

✲
 

(VII)

F (X ⊕ Y )

(VI)

✲ F (Y

F (c+ )

  F (g ⊕ d)
 
✠
(VIII)

F˘ ⊕ F˘

F (0 ⊕ Y ) ⊕ F (X ⊕ 0)

 
❅

❅
❘
❅

❄
✻

 
✒
  (F ⊕ id) ⊕ (id ⊕F )
 

(F 0 ⊕ F X) ⊕ (F Y ⊕ F 0)

c

+

FX ⊕ FY

g ⊕d

(II)

❄

F˘

❄

F˘

(V)

F ((0 ⊕ Y ) ⊕ (X ⊕ 0))

⊕ X)

❅

F (g) ⊕ F (d)

Tiêu chuẩn tương đương của một Ann-hàm tử

Để thiết lập được mối liên hệ giữa các Ann-hàm tử với các nhóm đối đồng điều
Mac Lane của vành, trước hết chúng ta chỉ ra một tính chất đặc trưng của Annhàm tử, có liên quan tới ràng buộc kết hợp-giao hoán v của phạm trù monoidal
đối xứng.

❄

˘ +F
˘
F

Khi đó

(0 ⊕ F X) ⊕ (F Y ⊕ 0)

2.1.1

(2.1)

v

✲ FY
(III)
v

(I)
v

 
✠
❄ 

F (g) ⊕ F (d)

⊕ FX

✻

g ⊕d

(IV)

F˘ ⊕ F˘

✲ (0 ⊕ F Y ) ⊕ (F X ⊕ 0)
❅
■

❅

(F ⊕ id) ⊕ (id ⊕F )

❅ ❄
✲

(F 0 ⊕ F Y ) ⊕ (F X ⊕ F 0)

Trong biểu đồ trên, miền (I) giao hoán do tính chất tự nhiên của mũi tên v ,
miền (II) và miền (IV) giao hoán do (F, F˘ ) tương thích với các ràng buộc đơn vị,
miền (III) và miền (VII) giao hoán do định lý khớp trong một một trù monoidal
đối xứng, miền (VI) và miền (VIII) giao hoán do tính chất tự nhiên của F˘ , miền
ngoài giao hoán theo biểu đồ (2.1). Từ đó suy ra miền (V) giao hoán. Vậy (F, F˘ )
tương thích với các ràng buộc giao hoán.


39

40

Để chứng tỏ cặp (F, F˘ ) tương thích với các ràng buộc kết hợp, chúng ta xét
biểu đồ dưới đây.
F (v)

F ((X ⊕ 0) ⊕ (Y ⊕ Z))

✻

❅

F (g ⊕ id)

(X)

❅

F˘

F (a )

F (X ⊕ (Y ⊕ Z))
F˘

F˘

F X ⊕ F (Y ⊕ Z)
F (g) ⊕ id
F (X ⊕ 0) ⊕ F (Y ⊕ Z)

✻

(V)

❅
■
❅

F (g −1 ) ⊕ F˘

F˘ ⊕ id

g ⊕ id

(VII)

+

 
 

(F X ⊕ 0) ⊕ (F Y ⊕ F Z)

✒
 
 

(id ⊕F ) ⊕ id

v

(I)

 

✻

id ⊕d

(IV)

F˘ ⊕ F˘

π1 (A )

→ γF−10 (F u)

F1 (us) = F1 (u)F0 (s).

(2.2)

Cặp (F0 , F1 ) được gọi là cặp đồng cấu cảm sinh của Ann−hàm tử (F, F˘ , F ).
Nếu S, S tương ứng là những Ann−phạm trù thu gọn của A, A thì hàm tử
SF : S → S xác định bởi

❅
■
❅

id ⊕(F ⊕ id)

SF (s) = F0 (s), SF (s, u) = (F0 s, F1 u)

❅
❅

✲

(F X ⊕ F Y ) ⊕ (F 0 ⊕ F Z)

Trong biểu đồ trên, miền (I) giao hoán do tính chất tự nhiên của mũi tên v ;
miền (II) có thành phần thứ nhất giao hoán do (F, F˘ ) tương thích với các ràng
buộc đơn vị, thành phần thứ hai giao hoán do luật hợp thành của các mũi tên
và do đó miền (II) giao hoán; miền (III) và miền (X) giao hoán do định lý khớp
trong một phạm trù monoidal đối xứng; miền (IV) có thành phần thứ nhất giao
hoán do luật hợp thành của các mũi tên, thành phần thứ hai giao hoán do (F, F˘ )
tương thích với các ràng buộc đơn vị, do đó miền (IV) giao hoán; các miền (V)
và (VII) giao hoán do luật hợp thành của các mũi tên; các miền (VIII) và (IX)
giao hoán do tính chất tự nhiên của F˘ ; miền ngoài giao hoán do biểu đồ (2.1).
Vậy miền (V) giao hoán, nghĩa là cặp (F, F˘ ) tương thích với các ràng buộc kết
hợp.
Mệnh đề 2.1.3. Trong định nghĩa của Ann-hàm tử, điều kiện (F, F˘ ) là ⊕-hàm
tử monoidal đối xứng tương đương với hai điều kiện sau:
(i) (F, F˘ ) tương thích với các ràng buộc đơn vị của phép cộng,
(ii) (F, F˘ ) tương thích với các ràng buộc kết hợp–giao hoán v, v .
Chứng minh. Trực tiếp suy ra từ Bổ đề 2.1.2.

u

F1 (su) = F0 (s)F1 (u);

✻

✲ (F X ⊕ F Y ) ⊕ (0 ⊕ F Z)

v

F1 : π1 (A) →

[F X]

thoả mãn các hệ thức

✲ (F X ⊕ F Y ) ⊕ F Z
(III)

→

F (X ⊕ Y ) ⊕ F (0 ⊕ Z)

F ⊕ F (d−1 )

 
(F X ⊕ F 0) ⊕ (F Y ⊕ F Z)

[X]

✒
 
 
˘
a

✻

Dưới đây, chúng ta sẽ chỉ ra rằng mỗi Ann-hàm tử (F, F˘ , F ) : A → A cảm sinh
một Ann-hàm tử SF trên các Ann-phạm trù thu gọn của chúng.
Theo Định lý 1.3.15, mỗi Ann-hàm tử (F, F˘ , F ) : A → A đều cảm sinh cặp
đồng cấu vành:
F0 : π0 (A) → π0 (A ) ;

✻❅
■
❅ id ⊕F (d)
❅

(VI)

F X ⊕ (F Y ⊕ F Z)
(II)

(IX)

id ⊕F˘

❅

F˘ ⊕ F˘

✻

Ann–hàm tử kiểu (p, q)

F (X ⊕ Y ) ⊕ F Z

✒
  ✻
 

 

F˘

✲ F ((X ⊕ Y ) ⊕ Z)

✻

(VIII)

✻

F (id ⊕d)

 
 
✠
 

+

❅
❘
❅

F ((X ⊕ Y ) ⊕ (0 ⊕ Z))

✲
 

2.1.2

được gọi là hàm tử cảm sinh của (F, F˘ , F ) trên các Ann−phạm trù thu gọn.
Mệnh đề 2.1.4. Giả sử SF là hàm tử cảm sinh của Ann−hàm tử (F, F˘ , F ) :
A → A . Khi đó biểu đồ dưới đây là giao hoán
F✲

A
H

A

✻

S

G
SF✲

❄

S

trong đó, H, G là những Ann-tương đương chính tắc, và do đó SF cảm sinh một
Ann-hàm tử.

Chứng minh. Được suy ra từ Mệnh đề 3.3, chương IV [2].
Định nghĩa 2.1.5. Giả sử S = (R, M, h), S = (R , M , h ) là những Ann−phạm
trù. Một hàm tử F : S → S được gọi là một hàm tử kiểu (p, q) nếu
F (x) = p(x),

F (x, a) = (p(x), q(a)),

trong đó p : R → R là một đồng cấu vành và q : M → M là một đồng cấu nhóm
thỏa mãn
q(xa) = p(x)q(a),
q(ax) = q(a)p(x),
(2.3)
với x ∈ R, a ∈ M.


41

42

Mệnh đề 2.1.6 ([43, Mệnh đề 4.3]). Giả sử A = (R, M, h), A = (R , M , h ) là
hai Ann-phạm trù và (F, F˘ , F ) là một Ann-hàm tử từ A đến A . Khi đó (F, F˘ , F )
là một hàm tử kiểu (p, q).
Chứng minh. Với x, y ∈ R, ta có
F˘x,y : F (x ⊕ y) → F (x) ⊕ F (y),

Fx,y : F (x ⊗ y) → F (x) ⊗ F (y),

là những mũi tên trong A . Từ đó F (x) + F (y) = F (x + y), F (x). F (y) = F (xy),
bởi vậy ánh xạ p : R → R cho bởi p(x) = F (x) là một đồng cấu vành.
Giả sử F (x, a) = (p(x), qx (a)). Do (F, F˘ ) là một Gr-hàm tử nên theo Định lý 5
[40], ta suy ra qx = q với mọi x ∈ R, hơn nữa q là một đồng cấu nhóm:
q(a + b) = q(a) + q(b),

(2.4)

Định nghĩa 2.1.7. Nếu F : S → S là một hàm tử kiểu (p, q) thì F cảm sinh
các 3-đối chu trình h∗ = q∗ h = qh, h ∗ = p∗ h = h p, chẳng hạn,

Hàm k = q∗ h − p∗ h được gọi là một cản trở của hàm tử kiểu (p, q).

F

F

F (x ⊗ y) −−−→ F x ⊗ F y

với mọi mũi tên (x, a), (y, b). Vì vậy ta có F ((x, a) ⊗ (y, b)) = F (x, a) ⊗ F (y, b),
nghĩa là:
qxy (ay + xb) = qx (a)F (y) + F (x)qy (b).
(2.5)
Thay qx = qy = qxy = q vào (2.5) ta được:
(2.6)

Thay x = 1 vào (2.6) ta được:

Giả sử (F, F˘ , F ) : S → S là một Ann-hàm tử kiểu (p, q). Tiếp theo chúng ta sẽ
khảo sát mối liên hệ giữa các đẳng cấu F˘ , F với các ràng buộc của các Ann-phạm
trù S, S .
Bởi vì F˘x,y = (•, µ(x, y)), Fx,y = (•, ν(x, y)) với các hàm µ, ν : R2 → M , nên ta
sẽ gọi gF = (µ, ν) là cặp hàm liên kết với F˘ , F và ta có thể xem mỗi Ann-hàm tử
F : S → S là một bộ ba (p, q, gF ), trong đó p : R → R là một đồng cấu vành,
q : M → M là một đồng cấu nhóm thỏa mãn điều kiện (2.3). Theo Bổ đề 2.1.2,
(F, F˘ , F ) tương thích với cặp ràng buộc (v, v ), nghĩa là biểu đồ (2.1) giao hoán,
và do đó ta được:
σ∗ (x, y, z, t) − σ ∗ (x, y, z, t) =µ(x, y) + µ(z, t) − µ(x + z, y + t) − µ(x, z)

(2.7)

(2.9)

− µ(y, t) + µ(x + y, z + t)

Bởi vì F tương thích với các ràng buộc kết hợp của phép nhân, ràng buộc
phân phối của hai Ann-phạm trù S và S nên ta có:

Thay y = 1 vào (2.6) ta được:
q(xb) = F (x)q(b) = p(x)q(b).

Bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa hai Ann-phạm trù đã
được Trần Phương Dung giải quyết cho trường hợp các Ann-phạm trù chính
quy (Định lý 4.2, Định lý 4.4 [1]) nhờ các tính toán của Nguyễn Tiến Quang về
các nhóm đối đồng điều đại số chiều thấp của Shukla [2]. Trong mục này, chúng
tôi sẽ mở rộng các kết quả phân lớp của Trần Phương Dung cho các Ann-hàm
tử trong trường hợp tổng quát. Trong cả mục này, ta ký hiệu S, S là những
Ann-phạm trù dạng (R, M, h), (R , M , h ).

σ∗ (x, y, z, t) = q(σ(x, y, z, t)).

F (x ⊗ y) −−−→ F x ⊗ F y



F ((x,a))⊗F ((y,b))
F ((x,a)⊗(y,b))

q(ay) = q(a)F (y) = q(a)p(y).

Ann-hàm tử và các nhóm đối đồng điều chiều thấp của vành theo
nghĩa Mac Lane

σ ∗ (x, y, z, t) = σ (p(x), p(y), p(z), p(t)),

với mọi a, b ∈ M .
Do (F, F ) là một ⊗−hàm tử nên biểu đồ sau là giao hoán

q(ay + xb) = q(a)F (y) + F (x)q(b).

2.1.3

(2.8)
α∗ (x, y, z) − α ∗ (x, y, z) = xν(y, z) − ν(xy, z) + ν(x, yz) − ν(x, y)z.

Nếu ta xem R –song môđun M như là một R−song môđun bởi các tác động
xa = p(x).a , a x = a p(x) thì từ các đẳng thức (2.4), (2.7), (2.8) chúng ta thu
được q : M → M là một đồng cấu giữa các R–song môđun.

(2.10)

λ∗ (x, y, z) − λ ∗ (x, y, z) = ν(x, y + z) − ν(x, y) − ν(x, z) + xµ(y, z) − µ(xy, xz). (2.11)
ρ∗ (x, y, z) − ρ ∗ (x, y, z) = ν(x + y, z) − ν(x, z) − ν(y, z) + µ(x, y)z − µ(xz, yz). (2.12)


43

44

Từ các đẳng thức (2.9) − (2.12) ta suy ra:
q∗ h − p∗ h = δM acL gF .

(2.13)

Từ đó chúng ta có định lý sau nói về sự tồn tại của các Ann-hàm tử.
Định lý 2.1.8 ([43, Định lý 4.4]). Hàm tử F : S → S kiểu (p, q) là một Ann−hàm
3
tử nếu và chỉ nếu cái cản trở [k] = 0 trong HM
acL (R, M ).
Chứng minh. Giả sử (F, F˘ , F ) : S → S là một Ann−hàm tử kiểu (p, q). Từ đẳng
3
thức (2.13) ta suy ra cái cản trở [k] của F triệt tiêu trong nhóm HM
acL (R, M ).
3
Ngược lại, giả sử cái cản trở của hàm tử F triệt tiêu trong nhóm HM
acL (R, M ).
∗
Từ đó suy ra tồn tại một 2-đối dây chuyền g = (µ, ν) sao cho q∗ h − p h = δM acL g .
Lấy F˘ , F là các mũi tên hàm tử liên kết với các hàm µ, ν . Khi đó, do các hàm
µ, ν thỏa mãn các đẳng thức (2.9), (2.10), (2.11), (2.12), ta suy ra F tương ứng
tương thích với các ràng buộc kết hợp-giao hoán của phép ⊕, các ràng buộc kết
hợp của phép ⊗, các ràng buộc phân phối bên trái và các ràng buộc phân phối
bên phải. Từ đó suy ra (F, F˘ , F ) là một Ann-hàm tử.

Từ các đẳng thức (2.13) và (2.14) ta suy ra gF − gK là một 2-đối chu trình.
Xét tương ứng:
Φ : [K] → [gF − gK ],

giữa tập hợp các lớp tương đẳng của các Ann-hàm tử kiểu (p, q) từ S đến S và
2
nhóm HM
acL (R, M ).
Trước hết chúng ta chỉ ra rằng tương ứng trên là một ánh xạ. Thật vậy, giả
sử
˘ ,K ) : S → S
(K , K

cũng là một Ann-hàm tử kiểu (p, q) và u : K → K là một Ann-mũi tên. Từ u là
⊕−mũi tên và ⊗−mũi tên chúng ta suy ra các biểu đồ sau giao hoán:
K(x ⊕ y)

(i) Tồn tại một song ánh giữa tập các lớp tương đẳng của các Ann−hàm tử
2
kiểu (p, q) và nhóm đối đồng điều HM
acL (R, M ) của vành R lấy hệ tử trong
R−song môđun M .
(ii) Tồn tại một song ánh

✲

ux⊕y

K(x) ⊕ K(y)

K (x ⊕ y)

✲

✲

ux⊗y

K (x ⊗ y)

K x⊕K y

Kx ⊗ Ky

ux ⊗uy

❄

❄

˘
K

K

K(x ⊗ y)

ux ⊕uy

❄

❄

K

✲

K x⊗K y

Từ đó ta được:
gK = gK + δM acL (u).

Định lý sau trình bày về sự phân lớp các Ann-hàm tử có cùng kiểu (p, q).
Định lý 2.1.9 ([43, Định lý 4.5]). Nếu có một Ann-hàm tử (F, F˘ , F ) : S → S ,
kiểu (p, q) thì:

˘
K

(2.15)

Do đó
gF − gK = gF − gK − δM acL (u).
2
Vậy [gF − gK ] = [gF − gK ] ∈ HM
acL (R, M ).
Bây giờ chúng ta chứng minh Φ là một đơn ánh. Giả sử

˘ K), (K , K
˘ ,K ) : S → S
(K, K,

là hai Ann-hàm tử cùng kiểu (p, q) và thoả mãn điều kiện
1

Aut(F ) → ZM
acL (R, M )

2
[gF − gK ] = [gF − gK ] ∈ HM
acL (R, M ).

1
giữa nhóm của các tự mũi tên của Ann-hàm tử F và nhóm ZM
acL (R, M ).

Khi đó tồn tại 1-đối dây chuyền u sao cho

Chứng minh. (i) Giả sử tồn tại Ann-hàm tử (F, F˘ , F ) : S → S , kiểu (p, q). Từ đó
gF thỏa mãn đẳng thức (2.13). Cố định 2-đối dây chuyền gF . Bây giờ giả sử
˘ K) : S → S
(K, K,

nghĩa là
gK = gK + δM acL (u).

là một Ann-hàm tử kiểu (p, q) đã cho. Khi đó suy ra gK thỏa mãn đẳng thức
q∗ h − p∗ h = δM acL gK .

gF − gK = gF − gK + δM acL (u)

(2.14)

Từ đẳng thức trên ta suy ra u : K → K là một Ann-mũi tên, do vậy ta được
[K] = [K ].

45

46

Cuối cùng chúng ta còn phải chỉ ra tương ứng Φ là một toàn ánh. Thật vậy giả
sử g là một 2-đối chu trình bất kỳ. Ta có:

làm mạnh lên bởi các kết quả trong [43] bằng cách bỏ đi điều kiện chính quy
của các Ann-hàm tử. Các kết quả dưới đây được viết dựa theo [43].
Dưới đây, chúng ta sẽ tìm điều kiện để tồn tại các Ann-hàm tử có dạng

δM acL (gF − g) = δM acL gF − δM acL g = δM acL gF = q∗ h − p∗ h .

F = (F, id, F ) : S → S

Khi đó theo Định lý 2.1.8, tồn tại Ann-hàm tử
kiểu (p, 0), trong đó p : R → R là một đồng cấu vành.
Giả sử tồn tại Ann-hàm tử

˘ K) : S → S
(K, K,
˘ K liên kết với 2-đối dây chuyền gF − g .
kiểu (p, q), với cặp đẳng cấu K,
Rõ ràng Φ(K) = [g]. Vậy Φ là một toàn ánh.

F = (F, id, F = ν) : S → S

kiểu (p, 0). Khi đó, các đẳng thức (2.9) - (2.12) trở thành:

(ii) Giả sử F = (F, F˘ , F ) : S → S là một Ann-hàm tử kiểu (p, q) và u ∈ Aut(F ).
Với mỗi x ∈ R ta có ux = (p(x), t(x)) : F (x) → F (x), trong đó t : R → M là một
hàm. Do u là những ⊕, ⊗-mũi tên nên ta có:

σ ∗ (x, y, z, t) = 0.

(2.18)

−α ∗ (x, y, z) = xν(y, z) − ν(xy, z) + ν(x, yz) − ν(x, y)z.

(2.19)

−λ (x, y, z) = ν(x, y + z) − ν(x, y) − ν(x, z).

(2.20)

t(x) − t(x + y) + t(y) = 0,

(2.16)

−ρ ∗ (x, y, z) = ν(x + y, z) − ν(x, z) − ν(y, z).

(2.21)

t(x)y − t(xy) + xt(y) = 0.

(2.17)

1

Từ đó suy ra t ∈ ZM
acL (R, M ). Vậy tồn tại ánh xạ
1
Aut(F ) → ZM
acL (R, M )

u → t.

Do ux = (p(x), t(x)) trong đó p cố định nên ánh xạ trên là một đơn ánh. Ngược
1 (R, M ) ta xét mũi tên
lại, với mỗi t ∈ Zab

∗

và Định lý 2.1.8 trở thành
Hệ quả 2.1.10 ([43, Hệ quả 5.1]). Giả sử p : R → R là một đồng cấu vành.
Tồn tại một Ann-hàm tử (F, id, F ) từ S đến S kiểu (p, 0) khi và chỉ khi [h ∗ ] =
3
0 ∈ HM
acL (R, M ).
Mỗi đối chu trình của các Z−đại số theo nghĩa Hochschild đều là những hàm
đa tuyến tính. Điều đó gợi ý chúng ta đến định nghĩa dưới đây:
Định nghĩa 2.1.11. Một Ann-hàm tử

ux = (p(x), t(x)) : F (x) → F (x).

(F, id, F ) : S → S

Do t thoả mãn đẳng thức (2.16) nên ta suy ra u là một ⊕-mũi tên. Tương tự, do
t thoả mãn đẳng thức (2.17) nên ta suy ra u là một ⊗-mũi tên. Vậy u ∈ Aut(F ).

Tóm lại ta có song ánh

kiểu (p, 0) được gọi là một Ann-hàm tử mạnh nếu hàm ν : R2 → M tương ứng
với F là song cộng tính.

1
Aut(F ) ↔ ZM
acL (R, M ).

Nếu ν là một hàm song cộng tính chuẩn tắc thì ν là một 2-đối chu trình của
Z-đại số của R với hệ tử trong R−song môđun M theo nghĩa Hochschild. Từ

đó, trong các đẳng thức (2.18)-(2.21), α ∗ là một hàm đa tuyến tính chuẩn tắc,
các hàm còn lại bằng 0. Bởi vậy chúng ta có thể đồng nhất
2.1.4

Ann-hàm tử và đối đồng điều Hochschild

Mối liên hệ giữa các Ann-hàm tử mạnh, chính quy giữa các Ann-phạm trù chính
quy với các nhóm đối đồng điều Hochschild đã được được thiết lập trong [41]
(chi tiết, xem các Mệnh đề 3, Định lý 4 [41]). Sau đó các kết quả này đã được

h ∗ ≡ α ∗ = δ(−ν),

trong đó δ(ν) một 3-đối bờ của vành R lấy hệ tử trong R−song môđun M theo
nghĩa Hochschild. Từ đó chúng ta có mệnh đề sau, như là một hệ quả trực tiếp
của Định lý 2.1.8.