Luận văn thạc sĩ toán học một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI
2
NGUYỄN HƯƠNG GIANG
MỘT ƯỚC LƯỢNG VÈ SÓ CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG • •
• THEO CHUẨN SCHATTEN VÀ ÁP DỤNG
m
VÀO TOÁN TỬ SCHRÖDINGER
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC • • •
Người hướng dẫn khoa học: TS. TẠ NGỌC TRÍ
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Tạ Ngọc Trí, người đã giúp đỡ tận
tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các thầy cô
giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn
động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập để
hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 8 năm 2014
Nguyễn Hương Giang
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí, luận văn Thạc sĩ
chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Một ước lượng về số các giá trị riêng
theo chuẩn Schatten và áp dụng vào toán tử Schrödinger” được hoàn thành bởi
nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 8 năm 2014

Nguyễn Hương Giang
1
3
Mục lục
Mở đầu Chương 1
1.1.
Không gian Banach
Không gian Hilbert
Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert
Toán tử tuyến tính bị chặn
Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn
Toán tử tuyến tính không bị chặn
Phỗ của toán tử tuyến tính không bị chặn
Toán tử Schrödinger
Định nghĩa và tính chất
Phép biển đổi Fourier
Toán tử Schrödinger tự do
Phổ của toán tử Schrödinger trong một số trường hợp
Toán tử Schrödinger dạng H
0
+ V
Toán tử Schrödinger dang — A — 7—7-
\x\
N N
Toán tử Schrödinger dạng — Ỵ2 + Ỵ2 VJ K{XJ — XK)
j<k
Kiến thức chuẩn bị
4
4
4 7

7
1
3
1
6
1
9
2
4
2
4
2
4
2
8
3
1
3
1
3
2
3
6
1.2.
1.3
.
1.4
.
1.5
.

1.3.
1
.
7
.
Chương 2
2.1.
2.1.1.
2.1.2. 2.2.
2.2.1.
2.2.2
.
2.2.3.
Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn
Schatten và áp dụng vào toán tử Schrödinger
Bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn vết trên nửa nhóm
sai phân
Bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn Hilbert-Schmidt trên
nửa nhóm sai phân
Áp dụng vào toán tử Schrödinger
Tài liệu tham khảo
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Nghiên cứu về phổ của toán tử Schrödinger đã và đang thu hút được sự quan tâm
của nhiều nhà toán học. Việc nghiên cứu này sử dụng nhiều kết quả khác nhau
trong giải tích hàm và lý thuyết phổ.
Luận văn này tìm hiểu bài toán như sau: Giả sử A là một toán tử tự liên hợp với
phổ không âm, giả sử B là một toán tử tự liên hợp khác sao cho hiệu của các DỊ =
E
T A

— E
T B
là các toán tử thuộc lớp vết. vấn đề ở đây là đi xác định cận trên của số
Chương 3.
46
3.1.
4
7
3.2
.
5
5
6
0
3.3.
69
70
các giá trị riêng âm của toán tử tự liên hợp B dưới dạng chuẩn Schatten của DỊ.
Khi có được các ước lượng với cận trên đó chúng ta có thể nghiên cứu trường hợp
khi mà A = — A và B = — A + V hay nói cách khác cận trên của các ước lượng
về số các giá trị riêng âm của toán tử Schrödinger.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết phổ, đặc biệt là về bất đẳng thức giá
trị riêng dưới dạng chuẩn Schatten, cùng với sự giúp đỡ tận tình của TS. Tạ Ngọc
Trí tôi đã chọn nghiên cứu đề tài:
“Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn Schatten và áp dụng vào toán tử
Schrödinger”
Nội dung của các nghiên cứu trên cũng là nội dung chính được
trình bày trong bài báo: [5i| Michael Demuth and Guy Katriel
(2008), “Eigenvalue Inequalities in Terms of Shatten Norm
Bounds on Differences of Semigroups, and Application to

Schrödinger Operators”, Ann. Henri Poincare
9, 817 - 834.
2. Mục đích nghiên cứu
• Tìm hiểu về một số kết quả liên quan đến toán tử Schrödinger, phổ
của toán tử Schrödinger trong một số trường hợp.
• Chứng minh các bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn Schatten
và áp dụng kết quả vào toán tử Schrödinger.
3. Nhiệm vụ nghiền cứu
• Trình bày các định nghĩa, các ví dụ cụ thể về toán tử Schrödinger,
phổ của toán tử Schrödinger.
• Chỉ ra một số các kết quả liên quan đến phổ của toán tử Schrödinger.
• Phát biểu và chứng minh các bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng
chuẩn Schatten.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Toán tử Schrödinger, phổ của toán tử Schrödinger
và các bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn Schatten.
• Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo liên quan tới toán tử
Schrödinger, phổ của toán tử Schrödinger, một số bất đẳng thức giá
trị riêng dưới dạng chuẩn Schatten.
5. Phương pháp nghiên cứu
• Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề.
• Sử dụng các kiến thức trong lý thuyết phổ, lý thuyết toán tử, toán tử tuyến tính
bị chặn, toán tử trong không gian Hilbert; đại số Banach.
6. Dự kiến đóng góp
• Nêu các định nghĩa, ví dụ về toán tử Schrödinger và phổ của toán tử
Schrödinger.
• Chỉ ra các kết quả liên quan đến phổ của toán tử Schrödinger.
• Các bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn Schatten và áp dụng vào toán
tử Schrödinger.
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1. Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian vectơ trên trường số K
(K = M hoặc K — C). Một ánh xạ P : X —>• R được gọi là mộtCHUẨN
trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau
(i) P(X) > 0 với mọi X £ X;
P(X) = 0 <=>• X = 9 (9 là kí hiệu phần tử không trong X)\
(ii)P( XX) = |AỊp(x) với mọi số À G K và mọi x ễ I ;
(iii) p(x + y) < p(x) +

p(y) v ớ i m ọ i

x,y £ X.
Số P(X) được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ X, thông thường ta kí hiệu ||
a;|| thay cho P(X).
Không gian vectơ X cùng với chuẩn II-ỊỊ trong nó được gọi là một KHÔNG
GIAN ĐỊNH CHUẨN, kí hiệu (X, II’II).
M ệ n h đ ề 1 . 1 . 2 .

Giả sử X là không gian định chuẩn. Với mọi
x,y e

X, đặt
P{X,Y) = ||(x-y)||.
Khi đó, p là một metric trên X.
Định nghĩa 1.1.3. Dãy (X
n
) trong không gian định chuẩn X được gọi là HỘI TỤ
đến X
0
e X nếu

lim \\x
n
— a^oll = 0.
n—>oo
9
Khi đó, ta kí hiệu
lim X
N
— X
Ữ
hoặc X
N
—> X
Ữ
, khi N —>• 0 0

.
ĩl—>00
M ệ n h đ ề 1 . 1 . 4 .

Dãy (

x
n

)

trong không gian định chuẩn X
được gọi là một dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu
lim ||a:

m
— X
N
\\ = 0.
m,n—>00
Định nghĩa 1.1.5. Không gian metric được gọi là ĐẦY ĐỦ nếu mọi dãy Cauchy
đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.6. Giả sử không gian định chuẩn X là không gian metric đầy đủ
(với khoảng cách P(X, Y) = II(íc — Y)\\). Khi đó X được gọi là một KHÔNG
GIAN ĐỊNH CHUẨN ĐẦY ĐỦ, hay còn gọi là KHÔNG GIAN BANACH.
1.2. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.2.1. Cho "K là một không gian vectơ trên trường số c (gọi tắt là
không gian vectơ phức).
Ánh xạ
X

•K -+ c
(x,y) I — >
(x,y)
được gọi là một TÍCH VÔ HƯỚNG trên IK nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) (X,X) > 0 với mọi X e “K;
(X, X) = 0 <=} X = 9 ( 9 là kí hiệu phần tử không trong 'K );
(ii)(Y,X) = (X,Y) với mọi X,Y <E ÍK;
1
0
(iii) (X + X', Y) = {X, Y) + {Xy) với mọi X, X', Y G ÍK;
(iv) (Àx, Y) = \ (X, Y) với mọi X e ÍK, mọi số À e c.
Các phần tử X, X
1
, Y gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (X, Y) gọi là tích

vô hướng của hai nhân tử X và y.
Định nghĩa 1.2.2. Cho IK là một không gian vectơ trên trường số c. Ánh xạ B :
X !K —> c được gọi là một dạng TUYẾN TÍNH RƯỠI nếu
B(X
0
, •) là tuyến tính, B(-,Y
ữ
) là liên hợp tuyến tính:
B(x +

y, z + w) =

B(x, z) +

B(x,

w) + B(y, z) +
B(y, w), B(ax,by) =

abB(x,y)
với mọi X, y, W e ÍK, a, B e c.
Định nghĩa 1.2.3. Không gian vectơ phức ÍK được trang bị một dạng tuyến
tính rưỡi (•, •) thỏa mãn (X, x) > 0 với mọi X ẽ “K \ {ớ}, được gọi là KHÔNG GIAN
CÓ TÍCH VÔ HƯỚN G (9 kí hiệu là phần tử không trong IK). Khi đó, (•, •) gọi là
tích vô hướng trên ĨÍ. Không gian có tích vô hướng còn gọi là KHÔNG GIAN
TIỀN HILBERT.
Cho !K là không gian tiền Hilbert. Với mỗi X £ ta đặt ỊỊ^II = Y/{X, X). Khi đó,
ta có bất đẳng thức (Cauchy-Schwarz)
|(^J Y)\ ^ IMI ||y|| , VX,Y£M.
Từ bất đẳng thức trên ta suy ra kết quả sau

M ệ n h đ ề 1 . 2 . 4 .

Mọi không gian tiền Hilbert đều là không
gian định chuẩn, với chuẩn
N 1 =

V (
x
’
x
)-
1
1
Từ đây về sau, nếu không nói khác đi, ta luôn hiểu không gian tiền Hilbert là
không gian định chuẩn, với chuẩn ||x|| = Y/(X, X).
Định nghĩa 1.2.5. Nếu không gian tiền Hilbert "K với metric cho bởi P(X,Y) =
II (a;, 2

/) II là một không gian metric đủ, thì ÍK được gọi là KHÔNG GIAN
HILBERT.
Từ đây trở đi, sẽ luôn hiểu là không gian Hilbert.
1.3. Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert
Định nghĩa 1.3.1. Cho 7Í và /c là các không gian Hilbert trên K, kí hiệu
BỰH,ỈC) là tập các toán tử bị chặn trên % và /c, toán tử A e BỰHL, /C). Khi
đó tồn tại duy nhất toán tử A* € BỰHJC) sao cho (AH,K)
K
= (.H,A*K)
K
với
VHEH,KE)C.

Toán tử A* được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A. Trong trường hợp % =
K, và A = A* ta nói A là toán tử tự liên hợp.
1.4. Toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 1.4.1. Cho X,Y là các không gian vectơ định chuẩn trên trường số
K, ánh xạ T : X —¥ Y TUYẾN TÍNH nếu
T(ax + /3y) =

a(Tx) +

/3(Ty)
1
2
với mọi X,Y Ç. X và A, SS G K.
Ta nói rằng ánh xạ tuyến tính T là một TOÁN TỬ TUYẾNTÍNHBỊ CHẶN nếu
tồn tại hằng số С > 0 sao cho
\\Tx\\y < c\\x\\
x
với mọi X £ X .
Số С nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên được gọi là chuẩn của T, kí hiệu là
||T||. Do đó,
mi= sup iiTzii
y
.
IMIx=i
Khi X = Y thì T gọi là toán tử trên X. Khi Y = Кthì toán tử tuyến
t í n h

T đ ư ợ c g ọ i l à

phiếm hàm tuyến tính.

M ệ n h đ ề 1 . 4 . 2 .

Cho T là toán tử tuyến tính từ không gian
định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y. Khi đó, các mệnh đề
sau là tương đương
(ỉ) T bị chặn;
(ii) T liên tục;
(iii) T ỉiên tục tại điểm gốc 9.
Định nghĩa 1.4.3. Cho hai không gian định chuẩn X và Y. Ta kí hiệu £(X,Y) là
TẬP TẤT CẢ CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN từ không gian X vào không
gian Y. Xét А, В là hai toán tử thuộc £(X, y), khi đó ta đưa vào £(X, Y) hai
phép toán
• Tổng của hai toán tử A,B G L(X,Y) là một toán tử, kí hiệu là А + В và
được xác định bởi biểu thức
(A + B)(X) = AX + BX với mọi X G X;
• Tích vô hướng của A £ c với toán tử A G £(x, Y) là một toán tử, kí hiệu
là AA và được xác định bởi biểu thức
(o;^4)(a;) = A (AX ).
Dễ dàng kiểm tra được rằng A + B e L(X,Y), AA E £(X,Y) và hai phép toán
trên thỏa mãn các tiên đề của không gian vectơ. Khi đó, tập L(X,Y) trở thành
một không gian vectơ trên trường c. Trong trường hợp Y — c thì ẮJ(X, C)
được gọi là KHÔNG GIAN LIÊN HỢP của X, kí hiệu là X*. Nếu Y = X thì £
(x, Y) được kí hiệu gọn lại là £( x ) .
Chuẩn T trong L{X,Y) được xác định bởi
ll^ll =
e
X
- Không gian £(X, Y) với chuẩn vừa nêu là
một không gian định chuẩn. Từ định nghĩa trên dễ thấy chuẩn của toán tử có
các tính chất

(i) ||Tx|Ị < Ị|TỊỊ ||a;|| với mọi X G X;
(ii)Với mọi £ > 0, tồn tại X
E
G X : ||T|| — £ < ||Ta;
e
||.
M ệ n h đ ề 1 . 4 . 4 .

Nếu Y là đầy đủ thì L(X, Y) ỉà không gian
Banach.
Từ mệnh đề trên suy ra X* luôn là không gian Banach (vì c là không gian đầy
đủ).
Đ ị n h l ý 1 . 4 . 5

( | Q J , T h e o r e m

V I . l , t r . 1 8 4 ) .

Kí
hiệu £ ( Í K )

là tập các toán tử bị chặn trên không gian Hilbert
ĩí. Cho T
n
là một dãy các toán tử bị chặn và giả sử (

T
n
x,y) hội tụ
1

4
khi n —> oo với mọi x,y £ Khi đó tồn tại T £ £ỰK) sao cho T
n
T
(hội tụ yếu).
Nếu một dãy các toán tử T
N
trên không gian Hilbert có tính chất T
N
X hội tụ với
mọi X e ÍK, khi đó tồn tại T e £(ÍK) sao cho T
N
T (HỘI TỤ MẠNH).
Cho T e £(x, y). Tập các vectơ X G X sao cho TX = 0 được gọi là NHĂN của T,
kí hiệu là Ker(T) = {X € X \ TX = 0}. Tập các vectơ Y &Y sao cho Y = TX với
X G X được gọi là MIỀN GIÁ TRỊ của T, kí hiệu là Ran(T) — {Y — TXI a: G
X}. Tacó Ker(T) và Ran(T) là các không gian con.
Định nghĩa 1.4.6. Cho X và Y là hai không gian Banach, T là toán tử tuyến tính
bị chặn từ X vào Y. Toán tử LIÊN HỢP (trong không gian Banach) của T, kí
hiệu là T'
:
là toán tử tuyến tính bị chặn từ Y* tới X* được cho bởi công thức
( :

T'£){x) =

£{Tx)
với V£ E Y\X e X.
Đ ị n h l ý 1 . 4 . 7 ( [ 9 ] ,

T h e o r e m

V I . 2 , t r . 1 8 6 ) .

Cho
X,Y là hai không gian Banach. Ánh xạT —

» ■

T' là một phép
đẳng cấu đẳng cự của £(x, Y)

vào
Đặc biệt, T là phép biến đổi tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert IK vào
chính nó. Khi đó liên hợp không gian Banach của T là ánh xạ từ "K* tới ÍK*.
Cho C : % —> là ánh xạ ứng với mỗi Y G ĨC, là phiếm hàm tuyến tính bị chặn
(Y, •) trong “K*. Xét C là một phép đẳng cự tuyến tính liên hợp và toàn ánh.
Ta định nghĩa ánh xạ T* : ÍK —> IK bởi công thức
T* = C~
l
T'C.
Khi đó T* thỏa mãn
(x,Ty) = (

Cx)(Ty) =

ựCx)(y) = (C~
l
T'Cx, y) = ự'x,y).
T* được gọi là liên hợp (trong không gian Hilbert) của T nhưng chúng ta

thường gọi là liên hợp và kí hiệu là T* để phân biệt với T'. Chú ý rằng ánh xạ
T —¥ T* là tuyến tính liên hợp nghĩa là AT —► ÃT*, do C là tuyến tính liên
hợp.
Đ ị n h l ý 1 . 4 . 8 ( [ 9 ] , T h e o r e m V I . 3 , t r . 1 8 6 ) .

Cho
£ ( Í K )

là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên Í K .

Với
mọi T,s ẽ £ ( Í K )

ta có
(a) T — » ■

T* là phép đẳng cấu đẳng cự tuyến tính liên
hợp từ L(ĩi) lên £ ( K ) ;
(b) (TSỴ = S*T*;
(c)

(

T*y = T;
(d) Nếu T có toán tử ngược bị chặn T

- 1

thì T* có toán tử
ngược bị chặn và ( T * ) -

1

= ( T

- 1

) * ;
(e)Ánh xạ T —)■ T* luôn liên tục trong tôpô toán tử yếu và đều
nhưng nó chỉ liên tục trong tôpô toán tử mạnh nếu Í K

là
hữu hạn chiều;
(Ỉ) irril = ||ĩf.
Định nghĩa 1.4.9. Toán tử bị chặn T trong không gian Hilbert được gọi là TỰ
LIÊN HỢP nếu T = T*.
Định nghĩa 1.4.10. Nếu P e £(ÍK) và P
2
= P thì P được gọi
là một PHÉP CHIẾU. Nếu thêm điều kiện P = P* thì P được
gọi là PHÉP CHIẾU TRỰC GIAO.
1
6
Định nghĩa 1.4.11. Cho X là không gian Banach, £(x) tà tập các toán tử tuyến
tính bị chặn trên X. Toán tử A e £{X) được gọi là KHẢ NGHỊCH nếu tồn tại toán
t ửổ ẽ £ ( I ) sao cho AB = BA = 1 (1 là toán tử đơn vị trong X). Khi đó, toán tử
B được gọi là toán tử ngược của A và kí hiệu là B = A~
X

.
Đ ị n h l ý 1 . 4 . 1 2 .

Nếu A e £ ( ^ 0

là một toán tử tuyến tính
thỏa mãn \\A\\ < 1, thì toán tử ( 1 —

Ä) là khả nghịch.
Đ ị n h l ý 1 . 4 . 1 3 .

Nếu toán tử A,B e £ ( - * 0

là khả nghich
thì tích AB củng khả nghịch và
{AB)-
1
= B~
1
A~
1
.
Đ ị n h l ý 1 . 4 . 1 4 .

Nếu toán tử A e

£(x) khả nghịch và toán
tử B £ £>{x) sao cho
<
P=ĨỊ[

thì toán tử B khả nghịch.
Định nghĩa 1.4.15. Toán tử T được gọi là compact nếu nó liên tục và biến mỗi
tập bị chặn thành tập compact tương đối, nghĩa là: Nếu M là tập bị chặn thì
T(M) là compact tương đối (T(M) compact).
Định nghĩa 1.4.16. TOÁN TỬ HILBERT-SCHMIDT T là toán tử trên "K thỏa mãn
tính chất
00
\\Te
n
\\
2
< o o ,
71=1
với { e i , e
n
, . . .} là một cơ sở trực chuẩn của 'K.
Toán tử Hilbert-Schmidt không chỉ là toán tử bị chặn mà còn compact.
1.5. Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa1.5.1. Cho X là không gian Banach trên trường số c,
1
7
C(X) là tập
toán tử
tửT e £(X).
Toán tử T được gọi là KHẢ NGHỊCH nếu tồn tại toán tử T' e £{X) sao cho TT'
= T T = 1. Tập các toán tử khả nghịch của £{X) được ký hiệu là
cự)-
1
.
PHỖ của toán tử T kí hiệu là Ơ(T) là tập tất cả các số phức Л sao cho (T — Л1)

Ị £(X)
-1
, trong đó 1 là toán tử đơn vị trong X.
Định nghĩa 1.5.2. Cho T G £(ÍK). TẬP HỢP GIẢI ĐƯỢC của T xác định bởi
p(T) = IA <E CỊ (T - Al)-
1
G £(:K)Ị (1.1)
Chính xác hơn, số phức Л G P(T) khi và chỉ khi (T — Л1) là song ánh với toán
tử ngược bị chặn. Phần bù của tập giải được chính là PHỖ. Tức là
a(T) = C\p(T). ( 1 . 2 )

Đặc biệt, Л € Ơ(T) nếu (T — Л1) có hạt nhân không tầm thường. Một vectơ
-Ф £ К er (т — Л1) được gọi là VECTƠ RIÊNG và Л được gọi là GIÁ TRỊ RIÊNG
trong trường hợp đó.
Hàm
R
T
: P{T) ->• £(:к)
Л I—^ (T — Al)
-1
được gọi là GIẢI ĐƯỢC của T tại Л. Ta có công thức sau
R
T
{\Y = ((T - Al)
-1
)* = ((T - Al)*)-
1
= (T* - A*)
-1
=

R
A
*(X*).
Đặc biệt,
p(T') = p(TỴ.
Định nghĩa 1.5.3. Cho T G £{X).
1
8
(a) X Ф ớ, X € X thỏa mãn TX = XX với Л € с được gọi là VECTƠ RIÊNG
của T, X tương ứng được gọi là GIÁ TRỊ RIÊNG. Nếu Л là một giá trị
riêng thì T — X1 không là đơn ánh do đó Л thuộc phổ của T. Tập các
giá trị riêng được gọi là PHỔ ĐIỂM của T, kí hiệu là ƠP(T);
(b) Nếu Л không là giá trị riêng và nếu Ran(T — Л1) không trù mật thì Л
thuộc PHỔ DƯ\
(c) PHỔ RỜI RẠC, kí hiệu ƠD(T) là tập các giá trị riêng bị cô lập với số bội
hữu hạn. Khi T là toán tử liên hợp thì
ƠD{T) = { Л £ ƠP(T)I rank(P
T
(A — £, X + e)) < oo với mỗi £ > 0

} ;
(d) PHỔ THIẾT YẾU Ơ
E S S
(T) = Ơ(T)\ƠD(T), khi T là toán tử tự liên hợp thì
ƠESS(T) = { A ẽ K| rank(P
T
(A — £, X + e)) = 0 0

với mỗi £ > 0

} .
Đ ị n h l ý 1 . 5 . 4 ( H ,

T h e o r e m

2 . 1 4 , t r . 7 0 ) .

Tập giải
được p(T)

là tập mở và RT '■ p(T) —

» •

£ ( Í K )

là hàm giải
tích, nghĩa là có khai triển chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối quanh
điểm A

0

€

p(T). Thêm vào đó
||R
T
(A)|| > disk(A,<r(T))-‘
và nếu T bị chặn thì ta có { A

£ сI | A | > | | T | | }

Ç

p(T).
B Ổ đ ề 1 . 5 . 5

( P H , L e m m a

2 . 1 5 , t r . 7 1 ) .

Ta có X £
ơ( T )

nếu tồn tại dãy (iỊ)
n
) £

D(T)

thỏa mãn | | < ^

n

| | = 1

và
I I ( T — A ) ' 0

n

| |

—> 0 .

Nếu X ỉà điểm biên của p(T)

thì
1
9
điều ngược lại vẫn đúng. Dãy (ipn) có tính chất như trên được gọi
là dãy Weyl.
Một số kết quả về ánh xạ phổ
Bổ đề 1.5.6 ([131, Lemma 2.16, tr. 71). GIẢ SỬ T LÀ ĐƠN ÁNH. KHỈ ĐÓ
a(T-
1
)\{0} = KT)\{0})-
1
.
Ngoài rata có TĩỊ) =

Xip khi vàchỉ khi T~
lf
ệ — X^ĩỊ), A

^ 0 .
Định lý 1.5.7 (P3J, Theorem 2.17, tr. 71). CHO T LÀ TOÁN TỬ ĐỐI
XỨNG.
Khi đó T là toán tử tự liên hợp khi và chỉ khi ơ (T)

C M

và (T —
X) > 0 , I g I

khi và chỉ khi ơ(T)

c

[X, o o ] .

Hơn nữa Ị Ị ì ?
t ( A ) | | < | I m ( À ) Ị

- 1



nếu ( :

T-E) ^ 0 ; | | i ? r ( A ) | | < | A
- X |

_ 1



nếu X < X.
Định lý 1.5.8 ([CDS], Theorem 2.18, tr. 72). CHO T LÀ TOÁN TỬ TỰ LIÊN
HỢP . KHỈ ĐÓ

i n f

ơ(T) =

i n f

(ip. Tib)
^D(T),m=i
và
s u p

ơ(T)

=

s u p

(ip, Tip).
■ệeD(T),\\ỉjj\\=i
Định lý 1.5.9 (P3Ị, Theorem 2.19, tr. 72). CHO T LÀ TOÁN TỬ ĐỐI
XỨNG.
Khi đó tất cả các giá trị riênglà thực và các vectơ riêng tương ứng
với
cấc giá trị riêng này trực giao.
2
0
Đ ị n h l ý 1 . 5 . 1 0 ( P 3 Ị ,

T h e o r e m

2 . 2 0 , t r . 7 2 ) .

Giả
sử T là toán tử đối xứng có cơ sở trực chuẩn của các hàm riêng
Khi đó T ỉà toán
tử
tự liên hợp thiết yếu. Đặc biệt, nó tự liên hợp thiết yếu trên
s p a n ( < £ j ) .
1.6. Toán tử tuyến tính không bị chặn
Không phải tất cả toán tử trong vật lí toán học đều bị chặn. Những toán tử
không bị chặn không thể xác định khắp nơi trên toàn bộ không gian.
Đ ị n h l ý 1 . 6 . 1 ( H e l l i n g e r

T o e p l i t z ,

[ 3 j , t r . 8 4 ) .
Cho T là toán tử tuyến tính xác định khắp nơi trên không gian
Hilbert ĩí thỏa mãn {(p,Tip)

=

{T<f,ìp}, với mọi (p,tp e I K .
Khi đó T bị chặn.
Như vậy, kết quả trên cho thấy rằng toán tử tuyến tính không bị chặn T sẽ chỉ
xác định trên một tập con tuyến tính TRÙ MẬT của không gian Hilbert ĨÍ. Do
đó, một toán tử trên không gian Hilbert ÍK là ánh xạ tuyến tính từ MIỀN của nó
(một không gian con tuyến tính của ÍK) vào :JÍ. Trừ khi ta chỉ định nếu không,
ta sẽ luôn giả thiết rằng miền đó là trù mật. Không gian con đó được kí hiệu là
D (T), gọi là miền của toán tử T.
Nếu toán tử tuyến tính T : ÍK —> ÍK bị chặn thì tồn tại hằng số C > 0 sao cho

IITzII < c IIa;II, với mọi X G 'K.
Toán tử không bị chặn T là một ánh xạ tuyến tính xác định trên miền D(T) C
ÍK sao cho tồn tại một dãy số {XJ} ,XJ € D(T), ||zjỊỊ = L,J =
2
1
1,2, và ||Txj|| —> 0 0

. Ta thường xét D(T) là tập con tuyến tính trù mật
trong % : D{T) = %.
Định nghĩa 1.6.2. Cho T là toán tử không bị chặn xác định trên miền D(T) của
không gian Hilbert. Ta nói T ĐÓNG nếu với mỗi XJ e D(T),XJ X và TXJ —¥ Y,
thì X £ D(T) YẦTX = Y.
Toán tử T' là một MỞ RỘNG của T (tức là T c T') nếu D(T) C D(T') và TX =
T'X với mọi X e D(T). Hơn nữa, ta nói T là đóng được nếu T có một mở rộng
đóng. Khi đó, mỗi toán tử đóng được có một mở rộng đóng nhỏ nhất, được gọi
là BAO ĐÓNG của nó và kí hiệu là T. Nếu toán tử T đóng được, lõi của T là tập
con của D(T) sao cho bao đóng của T hạn chế trên tập này chính là T.
Định nghĩa 1.6.3. Cho T là toán tử không bị chặn xác định trên D(T) của
không gian Hilbert 'K. Kí hiệu DỰ*) là tập các phần tử Y € 'K mà tồn tại phần
tử Z € ÍK sao cho với mọi X € D(T) ta có
(Tx,y) = (x,z).
Với mỗi Y € D(T*), ta đặt T*Y = Z VẦ toán tử T* này được gọi là toán tử
LIÊN HỢP của T.
Đ ị n h l ý 1 . 6 . 4

Q Q J , T h e o r e m

V I I I . 1 , t r . 2 5 2 ) .
Cho T là toán tử không bị chặn xác định trên D(T)

của không
gian Hilbert

Í K .

Khi đó
(a) T* là đóng;
(b) T đóng được nếu và chỉ nếu D(T*) trù mật trong %,
trường hợp này T = T**;
(c)Nếu T đóng được thì (TỴ =

T*.
2
2
Định nghĩa 1.6.5. Toán tử không bị chặn T được gọi là ĐỐI XỨNG nếu T c T*,
nghĩa là nếu D(T) c D(T*) và TIP = T*IP với mọi IP e D(T). Tương đương, T
là đối xứng khi và chỉ khi với mọi
<p,ip

G

D{T).
Định nghĩa 1.6.6. T được gọi là TỰ LIÊN HỢP nếu T đối xứng và D(T) =
DỰ*).
Một toán tử đối xứng luôn luôn đóng được, vì D(T*) D D(T) là trù mật trong
IK. Nếu T đối xứng, T* mở rộng đóng của T, vậy thì toán tử nhỏ nhất mở rộng
đóng T** của T phải chứa trong T*. Do đó, với toán tử đối xứng ta có
rj-i rj-i*
với toán tử đóng đối xứng
và với toán tử tự liên hợp

+ Ỷ
Từ đó có thể dễ dàng thấy được một toán tử đối xứng đóng T là tự liên hợp khi
và chỉ khi T* đối xứng.
Định nghĩa 1.6.7. Một toán tử đối xứng T được gọi là TỰ LIÊN HỢP THIẾT
YẾU nếu bao đóng T là tự liên hợp.
Đ ị n h l ý 1 . 6 . 8 ( [ § ] ,

T h e o r e m

V I I I . 3 , t r . 2 5 6 ) .
Cho T là toán tử đối xứng trên không gian Hilbert !K. Khi đó ba
mệnh đề sau là tương đương
2
3
(a) T là tự liên hợp;
(b) T ĐÓNG VÀ Ker(T* ± i) = {0};
(c)Ran(T ± i) = 'K.
H ệ q u ả 1 . 6 . 9

( | 9 j , C o r o l l a r y ,

t r . 2 5 7 ) .

Cho T là
toán tử đối xứng trên không gian Hilbert. Khi đó cấc điều sau
tương đương
(a) T là tự liên hợp thiết yếu;
(b) Ker(T* ± i) = {0};
(c)Ran(T ± i) TRÙ MẬT.
Đ ị n h l ý 1 . 6 . 1 0 ( K a t o R e l l i c h , Ị H Ị ,

T h e o r e m
1 . 1 1 . 2 , t r . 2 1 ) .

Giả sử Ti tự liên hợp, T
2
đối xứng với D(Tị)
C

D(T
2
). Giả sử tồn tại a,b với a < 1

thỏa mãn
\\T
2
x\\ < a ịịTịxịị + b ||a:|| ,
với mọi X €

D(Ti). Khi đó, toán tử Tị + T
2
tự liên hợp trên D{Ti)
và tự liên hợp thiết yếu trên miền lõi bất kỳ của Tị.
Toán tử T
2
trong định lý Kato Rellich có thể được coi như TOÁN TỬ NHIỄU
của TỊ.
2
4
1.7. Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn

Định nghĩa 1.7.1. Cho T là toán tử không bị chặn trong ÍK. Ta nói một số phức
P là một phần tử của TẬP HỢP GIẢI ĐƯỢC của T nếu T — PL là song ánh từ
D(T) lên ÍK với phép biến đổi ngược bị chặn, 1 là toán tử đơn vị.
Định nghĩa 1.7.2. PHỔ của toán tử T, kí hiệu bởi Ơ(T) là tập các số phức
không thuộc vào tập giải được của T. Mỗi giá trị riêng của T đều thuộc Ơ(T).
PHỔ RỜI RẠC của T, kí hiệu bởi ƠFI(T) là tập các giá trị riêng bị cô lập với số
bội hữu hạn. PHỖ THIẾT YẾU của T, kí hiệu bởi Ơess(T) là tập Ơ{T)\Ơ
D
(T).
Như ta đã biết tập phổ của một toán tử bị chặn là bị chặn. Tuy nhiên điều này
không đúng trong trường hợp toán tử không bị chặn (xem chi tiết, [ij).
Có một phương pháp khác để xác định TOÁN TỨ TỰ LIÊN HỢP MỞ RỘNG của
một số loại toán tử không bị chặn. Đó là thông qua DẠNG TOÀN PHƯƠNG.
Định nghĩa 1.7.3. Dạng toàn phương là một ánh xạ Q : Q{Q) X Q{Q) -¥ c,
trong đó Q(Q) là tập con tuyến tính trù mật của ÍK, được gọi là MIỀN HÌNH
THỨC, sao cho Q(X,-) tuyến tính và Q(-,Y) liên hợp tuyến tính với mọi X, Y E
Q{Q).
Ta tóm lược cách làm thế nào để liên kết một dạng toàn phương và một toán tử
không bị chặn. Trước hết ta chú ý tới định nghĩa toán tử dương mở rộng tới
toán tử không bị chặn. Ta nói rằng toán tử T dương, kí hiệu T > 0, nếu T đối
xứng và (TX,X) > 0 với mọi X E Đ(T). Với mỗi toán tử dương T ta có thể xác
định một tích vô hướng {X,Y)
T
trên D(T) bởi
(x,y)
T
= (Tx, y) +

(x,y).
2

5