Tư duy giải phương trình, bất phương trình

TƢ DUY GIẢI PHƢƠNG TRÌNH –BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong

TUYỂN TẬP PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH
– HỆ PHƢƠNG TRÌNH
TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QG 2017

B i toán :

2 x2 x2  x  1  1  2 x  x4  3  1  x  1  x .
Sáng tác Nguyễn Đại Dƣơng
HƯỚNG DẪN GIẢI
Xét x  1 Bpt  2x2 x2  x  1  1  2x  x4  3  1  x 





 x2 2 x2  x  1  1   2 x  1



2



x4  3  1  2 x  1  0 

Điều kiện có nghiệm của bpt là x 

1

 x1
2

1
2





Ta có 2x2 x2  x  1  1  2x  x4  3  0  3  x  1 x2  2x  1  0 x 
2

1
2

 0  2 x2 x2  x  1  1  2 x  x4  3  1  x  1  x  1  x  0  x  1
1
Ta thấy x  không là nghiệm. Bpt 
2

Xét hàm f  t  

 2x  1

2

 3 1

2x  1



x4  3  1
x2

1
3 
t2  3  1
với t   0,1  f '  t   2  1 
0

t
t 
t2  3 

 

Hàm nghịch biến trên  0,1  f  2x  1  f x2  2x  1  x2   x  1  0  x  1
2

Vậy tập nghiệm của bpt là S  1

LỚP TOÁN 76/5 PHAN THANH – ĐÀ NẴNG – SDT: 0932589246

3


TƢ DUY GIẢI PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong

B i toán : i i bất ph

ng tr nh

x4  16 x  12
x x 4
3

 6  2  x  1

 x  R .

2

Sáng tác Nguyễn Đại Dƣơng
HƯỚNG DẪN GIẢI



Điều kiện 1  x  0  x  1 . Pt  x4  8x2  4  2 x2  2x  2









x3  x

 x2  2 x  2 x2  2x  2  2 x3  x  0
TH: 1  x  0 .  x2  2x  2  2 x3  x  0
Pt  x2  2x  2  0  x  1,1  3 





TH: x  1 .  x2  2 x  2  2 x2  x  x  x2  1



2

 x 1  0

 x2  2x  2    x  1,1  3 


Vậy S   1,1  3   1,1  3 

 


B i toán : i i ph

ng tr nh





x2  2  x x2  2x  2  x4  4

 x  R .

Sáng tác Nguyễn Đại Dƣơng
HƯỚNG DẪN GIẢI
Điều kiện x  0 .
Xét x  0  2  4  x  0 là nghiệm của ph
Xét x  0 chia 2 vế cho x : x 

ng tr nh.

2
2
4
 x   2  x2  2
x
x
x
2


2
2
2
 x  x 2  x   4 .
x

x
x


Đặt t  x 

2
2
 2  x   t2  2  t  2 2  2
x
x

Pt  t 2  2  t 

t

2



2

 2  4  t 2  t  2  t 4  4t 2  2t 3  t 2  4t  4  0

Xét hàm f  t   2t 3  t 2  4t  4 với t  2 2  2
 f '  t   4t 2  2t  4  0  f  t   f  2 2  2   0


nghiệm.
4

ph

ng

tr nh

vô

LỚP TOÁN 76/5 PHAN THANH – ĐÀ NẴNG –SDT: 0932589246


TƢ DUY GIẢI PHƢƠNG TRÌNH –BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong
ng tr nh có nghiệm duy nhất x  0 .

Vậy ph

B i toán : i i ph

ng tr nh
x4 3x 5
3x 2



13  x 

x 1

x1

 x  R .

Sáng tác Nguyễn Đại Dƣơng
HƯỚNG DẪN GIẢI
Điều kiện 1  x  3 .
Hướng 1: Hàm số:


x4 3x 5
3x 2



2 

13  x 



x 1

3x 2 3x







   x  4 3  x  5  2  3  x    x  13  x  1




  2  3  x   12   2  3  x    x  1  12 




 x  4 3  x  5 2  3  x  13  x  x  1

2

2

x 1

Do 1  x  3  0  x  1  2; 2  2  2  3  x  2





Xét hàm số f  t   t 2  12 t  t 3  12t với t  0,2 





 f '  t   3t 2  12  3 t 2  4  0 t  0,2  . Hàm số nghịch biến.



 

Pt  f 2  3  x  f



* 

x 1  2  3 x  x 1

Cách 1: Bình phƣơng  *    x  2   0
2

Cách 2: Nhóm hằng đẳng thức  *  



 

x 1  3 x 

Cách 3: Đánh giá B.C.S:



2

x 1 1 

1

2

2

3 x 1  0  x  2



 12  x  1  3  x   2

x 1
3x

x2
1
1
Hướng 2: Đặt ẩn phụ. Do bài toán chỉ chứa 2 căn đơn giản

Đẳng thức x y ra khi

Đặt t  x  1  t 2  1  x  0  t  2 .
Pt 

t2  6  4 2  t2
2  t2  2



12  t  t

2

t2  2





Chú ý t 2  2  4  2  t 2  2  2  t 2

2 

2  t2



LỚP TOÁN 76/5 PHAN THANH – ĐÀ NẴNG – SDT: 0932589246

5


TƢ DUY GIẢI PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong


t2  6  4 2  t2
2  t2  2



 t2  6  4 2  t2



 6t 2  4  2  t 2



 t  2  2  t2



12  t  t
2



2 

 2 

2  t2



 2 

2  t2



2  t 2  12t  t 3

2  t 2  12t  t 3

  2t  6   t  4 



2  t2  0

Do 2t  6   t  4  2  t 2  0 t  0, 2 


Pt  t  2  2  t 2  0  x  1  3  x  2
Ngo i ra sau khi đặt ẩn phụ ta còn có thể liên hiệp hoặc bình phƣơng.
Hướng 3: Đánh giá: Do bài toán có nghiệm kép







Pt  x  4 3  x  5 2  3  x  13  x  x  1

 6x  2   3  x  3  x  13  x  x  1
Áp dụng AM-GM:
Pt  6 x  2   3  x 





x 11 x

2
2
x
3  x  13  x   x2  x  4  2  3  x  3  x  0
2
x 1 

 5  x  3

3 x 1

2



3 x  0  3 x 1 x  2

Thử lại ta thấy x  2 là nghiệm của ph ng tr nh.
Vậy ph ng tr nh có nghiệm duy nhất x  2 .

B i toán : i i ph

ng tr nh

 2x  11  x   2 3 x3  3x  2  3  2x  x  R .
Sáng tác Nguyễn Đại Dƣơng
HƯỚNG DẪN GIẢI
1
Điều kiện  2 x  11  x   0   x 
2
Cách 1: Liên hiệp:
Pt  x  2

 2x  11  x  6  5x  4 3 x3  3x  2  0

6

LỚP TOÁN 76/5 PHAN THANH – ĐÀ NẴNG –SDT: 0932589246


TƢ DUY GIẢI PHƢƠNG TRÌNH –BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong


1
22  21x


  3x  2  


0
2
2
2
3 3
3 3
x

2

2
x

3
x

1

 6  5x    6  5x  x  3x  2  x  3x  2 
2
2
  3x  2   0  x 
3
1 
1
22  21x
Do

 0 x   ,1
2

2
2
2 
x  2 2x  3x  1  6  5x    6  5x  3 x3  3x  2  3 x3  3x  2
2

ng tr nh có nghiệm x 

Vậy ph

2
.
3

Cách 2: Đặt ẩn phụ:
Xét x  1  Pt  0  1 nên x  1 không là nghiệm

 2x  11  x  2 3  x  1  x  2  3  2x
2

Xét x  1 . 

2x  1
x  2 3  2x
1
3
1
 23



 2  23
1 
2
1 x
x 1
1 x
1 x
1 x
1 x
Ẩn phụ kiểu 1:
1
Đặt t 
 t  2 . Pt  t  2  2 3 3t  1  t  2
1 x
 t  1  2 t  2  t  5  4 3 3t  1  0




t  3
t 1 2

 t  3   t  16 

0
2
t  2  t  5 2  4  t  5  3 3t  1  16 3 3t  1
2

2



2
1
t  16
0
 t  3 

2 
2
t  1 2 t  2
 t  5   4  t  5  3 3t  1  16 3 3t  1 

1
2
t3
3x
1 x
3
Ẩn phụ kiểu 2:

Đặt t 

1
1
2 
 t2  2
1 x
1 x

Pt  t  2 3 3t 2  5  t 2  4  t 2  t  4  2 3 3t 2  5
Hƣớng 1: Nâng lũy thừa



 t2  t  4





3





 8 3t 2  5  t 6  3t 5  15t 4  24t 3  36t 2  48t  24  0



  t  1 t 4  t 3  12t 2  24  0  t  1 
2

1
2
2 0 x
1 x
3

LỚP TOÁN 76/5 PHAN THANH – ĐÀ NẴNG – SDT: 0932589246

7


TƢ DUY GIẢI PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong
Hƣớng 2: Liên hiệp:   t  1  t  3  2 3 3t 2  5  0
2

 t  1  t  13 
  t  1 
0
2
2
3
3
2
2
 t  3  2  t  3 3t  5  4 3t  5
2

2

2
2


3

3
2
2
t

3

2
t

3
3
t

5

4
3
t

5
 t  13 





  t  1 
2
0

3
3
2
2
t

3

2
t

3
3
t

5

4
3
t

5






2

t 1

1
2
2 0 x
1 x
3
2

Do  t  3   2  t  3  3 3t 2  5  4 3 3t 2  5 x  9  2.3. 3 5  4 3 52  13
2

Cách 3 : Đánh giá
Kiểu 1:

 4 3 x 3  3x  2  6  5x 







2x  1  1  x



2

  3 x 3  3x  2  6  5x

 64 x3  3x  2   6  5x    3x  2   22  21x   0  x 
3

2

2
3

1 
Do 22  21x  0 x   ,1
2 
Thử lại ta thấy x  1 là nghiệm của ph ng tr nh.
Kiểu 2:
2x  1  1  x x
Áp dụng AM-GM:  2 x  11  x  

2
2
1
1 8  8 x  8  8 x  x  2 6  5x
2 3 x3  3x  2  3  8  8 x  8  8 x  x  2  

2
2
3
2
x
6


5
x
  2 x  11  x   2 3 x3  3x  2  
 3  2 x  VP
2
2
2 x  1  1  x
2
Đẳng thức x y ra khi 
x
3
8  8 x  x  2
Thử lại ta thấy x  1 là nghiệm của ph

ng tr nh.

B i toán : i i ph

ng tr nh
3
3

 x 4  3x 2  3x  x  R  .
2 x 1
2 x 1
Sáng tác Nguyễn Đại Dƣơng
HƯỚNG DẪN GIẢI

8

LỚP TOÁN 76/5 PHAN THANH – ĐÀ NẴNG –SDT: 0932589246


TƢ DUY GIẢI PHƢƠNG TRÌNH –BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong
Điều kiện: 2  x  2
Pt 




3





2x  2x



2 x 1

2x  2x





2 x 1

6x



x  0


 2x  2x




 x 4  3x 2  3x

2 x 1



6



2 x 1

2 x 1





2 x 1

Xét (*) . Đặt t  2  x  2  x  4  x2 
6

(*) 

t 4

t 
 t  1 
 2

Cách 1: Liên hiệp:

(*)   x  1  x  2   1 
  x  1  x  2  
2







12

t t 2  2t  2



t2  4
2



12

t t  2t  2

 0   x  1  x  2  

2x  2x 2

2

2



2x 2
Cách 2: Đánh giá:



2x 2 2x
2x 2





t t 2  2t  2



0

 t tt 42tt62   0
2

2



2x



0

t  2  t 2  4t  6 



2
2  x  t 2  4t  6
 2  x   x  1 2  x   1 




2  x  2  t t 2  2t  2


 2  x  0  x  2

Do 1 

* 

 x 3  3x  3

 x3  3x  3  x 3  3x  3 

2

2

 x 4  3x 2  3x




0



 0 x   2,2 



(*)  x3  3x  3 t t 2  2t  2  12
Ta có t 2  4  2 4  x2  4  t  2 . t  2 khi x  2









2
 VT   x  1  x  2   1 t t 2  2t  2  1.2. 2 2  2.2  2  12  VP


2


 x  1  x  2   0
 x  1  x  2

 x  2
Dấu “=” x y ra khi 
x  2

t

2





LỚP TOÁN 76/5 PHAN THANH – ĐÀ NẴNG – SDT: 0932589246

9


TƢ DUY GIẢI PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong
Thử lại ta thấy x  2 là nghiệm của (*)
Vậy ph ng tr nh đã cho có nghiệm x  0, x  2 .
B i toán : i i ph

ng tr nh

x 1  x2  2





1  x  1  x  2x3  x  2

 x  R .

Sáng tác Nguyễn Đại Dƣơng
HƯỚNG DẪN GIẢI
Điều kiện 1  x  1

4x

Pt  x 1  x 2 

 2x3  x  2

1 x  1 x
Xét x  0 . Pt  0  2  x  0 không là nghiệm
4
2
 2 x2 
Xét x  0 . Pt   1  x2 
x
1 x  1 x
Đặt u  1  x  1  x  u2  2  2 1  x2    u2  4  u   2 ,2 


2
u2 4
2
8
8
(*)
  2 x 2   u2    2 x  
2 u
x
u
2x
8
Xét hàm số f  t   t 2  với t   0,  

t
8
 f '  t   2t  2  0 t  0  f  t  đồng biến.
t
8
 f 2  f  u  f  2     4 2  u2   0  VP  0
u
3
2
8
x 1
  2x  
0
00 x1
2x
x
Điều kiện có nghiệm của ph ng tr nh là x   0,1

Pt 

 

Khi đó

 *   f  u  f  2x   u  2x 

1  x  1  x  2x

Hƣớng 1: Bình phƣơng
2 x 2  2  0

2 x 2  1  0
3


Pt  2  2 1  x  4 x  
2 
3 x
2
2
2
2
2
1  x  2 x  1
x  0  x 
4

2

2

So sánh điều kiện x 





3
là nghiệm duy nhất của ph
2

ng tr nh.

Hƣớng 2: Liên hiệp

10

LỚP TOÁN 76/5 PHAN THANH – ĐÀ NẴNG –SDT: 0932589246


TƢ DUY GIẢI PHƢƠNG TRÌNH –BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong



1
1
 2x  1  2 1  x  2x  1  2 1  x  0  4 x2  3 

0
 2x  1  2 1  x 2x  1  2 1  x 



 x2 



3
3
.

x
4
2

So sánh điều kiện x 

3
là nghiệm duy nhất của ph
2

Cách 2: Nhóm tích.

4 
 *    u  2x   u  2x  xu
  0  1  x  1  x  2x


 1  x  1  x  2 x  1

u2 x  2 x 2 u  4  0  2 

TH 1: Xét (1) t ng tự nh trên.
TH 2: Xét (2).



Ta có u2 x 



1 x  1 x

 x  2x  2x
2



 u2 x  4  x2u  2x  3  x  1  x2

  u  2x  xu4   0



1  x2  2x  1  x  1  x2

  x  1 x 
2

ng tr nh.

2



2



1  x  0 x  1,1

Nên (2) vô nghiệm.
B i toán : i i bất ph

ng tr nh

2x2  x  1 

4x  3 x2  x  1
2  3 x2  x  1

 x  R .

Sáng tác Nguyễn Đại Dƣơng
HƯỚNG DẪN GIẢI
2x2  x  1 

4x  3 x2  x  1
2  3 x2  x  1

Ta có 3 x2  x  1 





3
2

 2x2  x 

 2x  1

2

3 



4x  2
2  3 x2  x  1

3 3
 2  2  3 x2  x  1  0
2

Bpt  2 x2  x 2  3 x2  x  1  4 x  2

LỚP TOÁN 76/5 PHAN THANH – ĐÀ NẴNG – SDT: 0932589246

11


TƢ DUY GIẢI PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong
  2 x  1  2 x  2  3 x x 2  x  1   0


  2 x  1  2 x 2  3 x x 2  x  1  2 x 2  x  1   0













  2 x  1 2 x  x 2  x  1 x  2 x 2  x  1  0

Do 2 x2  x  1  3x2   x  2   3x2  x  x  2 x2  x  1  0
2





Bpt   2 x  1 2 x  x2  x  1  0

1  13
x  0
Xét 2 x  x 2  x  1  0   2
x
2
6

x  x  1  4x

B ng xét dấu
1
1  13

x

6
2
2x+1
---0

+

2x  x  x  1

+

--

2

0

+



+

VT

+
0
-0
+
Dựa vào b ng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất ph ng tr nh là
 1  13 1 
S
, 
6
2 

B i toán : T m các giá trị của m để ph
phân biệt:
x  7  2 15  2 x  x2
3 x3  5x

ng tr nh sau có hai nghiệm thực

m





15  2 x  x 2  9 .

Sáng tác Nguyễn Đại Dƣơng
HƯỚNG DẪN GIẢI
Tập xác định D   3,5
Ta có





x  7  2 15  2 x  x 2
3 x3  5x



3  x  3   5  x   4

x3  5x 3 x3  5x



2 3 x3  5x

Pt  x  3  5  x  2m
12









 x  3 5  x 

2 3 x3  5x





x3  5x
2

 x  3 5  x   9 

LỚP TOÁN 76/5 PHAN THANH – ĐÀ NẴNG –SDT: 0932589246


TƢ DUY GIẢI PHƢƠNG TRÌNH –BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong
Đặt t  x  3  5  x  t 2  8  2

 x  3 5  x 

Xét t  x   x  3  5  x với x   3,5
1
1
 t ' x 

 t ' x  0  x  1
2 x3 2 5x
1
1

1
 t " x  

 t " 1    0  x  1 là cực đại
3
3
16
4 x3
4 5x
BBT 1:
x
t’(x)
t(x)

3

1
0
4

5

2 2

Dựa vào BBT  2 2  t  x   4  t  2 2 ,4 


1
10
Ph ng tr nh  t  m t 2  10   t 

m
t
10
Xét hàm f  t   t 
với t   2 2 ,4 


t
2
10 t  10
 f ' t   1  2 
 f '  t   0  t  10  f
t
t2
9
13
, f 4 
Ta có f 2 2 
2
2



2 2



 10   2

10

 

BBT 2:
t

2 2

f’(t)

f(t)

--

10
0

4
+
13
2

9
2

2 10

Dựa vào BBT 1 ta thấy với 1 giá trị của t  t  4  cho ta 2 giá trị của x nên
để ph

ng tr nh (1) có 2 nghiệm x phân biệt th ph
2
 9
1 13
2
 
 m

m 2
9
  13
nghiệm t duy nhất   2

1
1
m 
  2 10
2 10
m


ng tr nh (2) có 1

LỚP TOÁN 76/5 PHAN THANH – ĐÀ NẴNG – SDT: 0932589246

13


TƢ DUY GIẢI PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong

Ta thấy với m 

2
 t  4  x  1 th ph
13

ng tr nh (1) có 1 nghiệm không

thỏa yêu cầu.
 2
2  1 
Vậy m   ,


 13 9  

  2 10 
B i toán : i i ph

ng tr nh

3x

2

x

 3x

2

2

 32

x 4  x 2 1

Đặt a  3x , b  3 x , c  32

x 4  x 2 1

2

2

2

Pt  ab  9a 

9

x 4  x 2 1

.
Sáng tác Nguyễn Đại Dƣơng
HƯỚNG DẪN GIẢI

1 2
3
9

x x
x
Pt  3 3  9.3 

x 4  x 2 1  x  2

.3 x  32

x 4  x 2 1

b 
1
1
bc  c  b  9a  c   9a  c  0   9a  c    1   0
9
9
9 
2

 9a  c  9.3x  32

x4  x 1

 3x

2

2

 32

x4  x2 1

 x2  2  2 x4  x2  1

x  0

 x  8 x  0  
2 2
x   3

4

Vậy ph

2

ng tr nh có nghiệm x  0, x  

2 2
3

.

B i toán : i i hệ ph ng tr nh
 x 2  2 x y 2  2 x  1  y 2  2 x  xy

 x, y  R


 y 2  2 y x 2  2 y  1  x 2  2 y  xy

Sáng tác Nguyễn Đại Dƣơng
HƯỚNG DẪN GIẢI

xy
y2  2x
x2  2x 

2
2

 y2  2x  1  0
y  2x  1
y  2x  1
Thấy  2
không thỏa, Hệ  
xy
 x  2 y  1  0
x2  2 y
 2
y

2
y



2
2

x  2y  1
x  2y  1





14




LỚP TOÁN 76/5 PHAN THANH – ĐÀ NẴNG –SDT: 0932589246


TƢ DUY GIẢI PHƢƠNG TRÌNH –BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong


1
1


Trừ 2 pt  x  y  2x  2 y 

 xy

2
2
2

2


y  2x  1 x  2 y  1
 y  2x  1 x  2 y  1 
t
t2
Xét hàm f  t  
 f ' t  
 0 t  1 hàm đồng biến
3
t 1
t 1
2
2
Khi y  2x  x  2 y  VT  0  VP
2

y2  2x

2

x2  2 y

Khi y 2  2x  x2  2 y  VT  0  VP
Khi y 2  2x  x2  2 y  VT  0  VP

 x2  y 2  2x  2 y  0   x  y  x  y  2   0



TH: x  y thay vào  x2  2x



x2  2x  1  x2  2x  x2









 x 2  2 x   x  1  x 2  2 x  x ,voi x  1

2
2
 x  2 x x  1  x  2 x  x   x 2  2 x  x  1  x 2  2 x  x ,voi 1  x  0

 x 2  2 x x  1  x 2  2 x  x ,voi x  0
 

 x  y  0, x  y  3









TH: x  y  2  y  2  x thay vào  x2  2x x2  2x  5  x2  2x  4  2x  x2
Do 2x  x2  1   x  1  1  VT    VP pt vô nghiệm.
2

Vậy hệ đã cho có nghiệm  0,0  ,  3,3 

B i toán : i i hệ ph ng tr nh
3
2
3

3x  x y  2 y  x  2 y  x 9 y  2
 x, y  R .
 2
2
2
x

y

9
y

2



Sáng tác Nguyễn Đại Dƣơng
HƯỚNG DẪN GIẢI









Thay (2) vào (1)  3x3  x2 y  2 y3  x  2 y  x 2x2  y2   x  2y  x2  xy  y 2  1  0
Thay vào (2) 9 y 2  9 y  2   3y  1   3y  1  9 y  2  9 y  2
2


1 5
1 5
3 y  1  0
 3y  1  9 y  2   2
y
x
6
3

9 y  3 y  1  0
 1 5 1 5   1 5 1 5 
,
,
Hệ đã cho có nghiệm 

;

 6
  6

3
3

 


LỚP TOÁN 76/5 PHAN THANH – ĐÀ NẴNG – SDT: 0932589246

15


TƢ DUY GIẢI PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong
B i toán : i i hệ ph ng tr nh
3x 2  7 x  y  4  xy  y  x 2 x  2

 x, y  R .

y x2  2  2 y y  x3


Sáng tác Nguyễn Đại Dƣơng
HƯỚNG DẪN GIẢI

 y  0, y  x  0

Điều kiện 

x  1



Pt 1 



 y  x  2x  2   2x  2    y  x  2x  2   2x  4   0



 y  3x  2
. Thay vào (2)
y  x 2x  2  2x  2  
x  1  y  1
x  1  y  1
 x3  x2   3x  2  3x  2  3x  2 (3)  x  3x  2  
x  2  y  4

TH 1:

TH 2:

y  x 2x  2  2x  4  0 (*)


x  2

Từ pt(2) y x2  2  y y  y y  x 3  3xy  x 2  3x  2  0  

x  1
Kết hợp điều kiện  x  1  x  2

y  x  0
 y  x 2 x  2  2  x  2   0  (*)  
xy2

x  2





Thử lại  2,2  không ph i là nghiệm của hệ.
Vậy hệ có nghiệm 1,1 ,  2,4 

Nhóm pt (1)
Cách 1: Đặt 1 căn thức đƣa về đa thức:
Đặt t  y  x 2x  2  t 2   y  x  2x  2   y  x 

t2
2x  2


t2 
2
1


3
x

7
x

1

x
x


   2x  2   4  t  0  t  2x  2 t  2x  4   0


Cách 2: Ẩn phụ không ho n to n:
1  21  y  x  2x  2    y  x  2x  2   2x2  6x  4  0
1
Đặt t  y  x 2 x  2  1  t 2  t  2 x 2  6 x  4  0
2
16

LỚP TOÁN 76/5 PHAN THANH – ĐÀ NẴNG –SDT: 0932589246


TƢ DUY GIẢI PHƢƠNG TRÌNH –BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong
Ta có t  12  4

t  2 x  2

2
1
2 x2  6 x  4   2 x  3   
2
t  2 x  4





Cách 3: Liên hiệp

1   x  1 3x  4   y 1  x  
  x  1 3x  2  y   2x  2 

y  x 2x  2  0



y  x  2x  2  0

Xét

y  x  2x  2  0  x  y  1 thử lại  1,1 là nghiệm của hệ

Xét

y  x  2x  2  0

1 



2
0
x  1  3x  y  2   x  1 

y  x  2 x  2 





Từ pt(2) y x2  2  y y  y y  x3  3xy  x2  3x  2  0  x  2

2
 x 1 1

 x 1 
0
y

x

2
x

2
y


x

2
x

2

2


 x 1 

của hệ.
i i tiếp t

2
y  x  2x  2

 0  x  y  2 thử lại  2,2  không là nghiệm

ng tự nh trên.

Giải phƣơng trình (3) x3  x2  3x  2   3x  2  3x  2







Cách 1: Nhóm tích  x  3x  2 x2  x 3x  2  3x  2  1  0

x2  x 3x  2  3x  2  1  0 x  1
Cách 2: Hàm số
x 3  x 2   3x  2  3 x  2  3 x  2  x 3  x 2  3 x  2  3 x  2
3

2

Hàm số f  t   t 3  t 2 với t  1
Cách 3: Liên hiệp





 x 3  4 x 2  5x  2   3x  2  x  3x  2  0
  x  1  x  2    3 x  2 
2

 x  1 x  2   0

x  3x  2

3x  2 
  x  1 x  2   x  1 
0
x  3x  2 

3x  2

 0 x  1
 x  1  x  2 Do x  1 
x  3x  2

LỚP TOÁN 76/5 PHAN THANH – ĐÀ NẴNG – SDT: 0932589246

17


TƢ DUY GIẢI PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong
B i toán : i i hệ ph ng tr nh
2 x 2  2 xy  y 2  2  2 y  4 x

 x, y  R .
 2
x  2 y 2   2 x  1 2 y  2   x  y


Sáng tác Nguyễn Đại Dƣơng
HƯỚNG DẪN GIẢI
 2 x  1 y  1  0
Điều kiện 
2
2
 x  2 y  0
Từ (2)  x  y  0 , từ (1)  2x  x  y   y 2   2x  1 2 y  2   0  x  0

 y 1
2

2 x2  2 xy  y 2   2 x  1 2 y  2 
 2

2 x  2 xy  y   2 x  1 2 y  2 
Hệ 

2
2
2
2
2
2
 x  2 y   2 x  1 2 y  2   x  y  x  2 y  2 x  2 xy  y  x  y  0

Pt (2)  x  2 y 
2

x2  2 y 2

2



2 x  2 xy  y  x  y
2

2





 0  x2  2 y 2  x  2 y



Thay vào (1)  3  2 2 y 2  2 2 2  1 y  2  0 (vô nghiệm do y  1 )
Vậy hệ đã cho vô nghiệm.
Cách 2: Do (2) đẳng cấp nên chia 2 vế (2) cho y đặt t 

x
.
y



t2  2
0
t 2  2  2t 2  2t  1  t  1  0  t 2  2  1 
2


2
t

2
t

1


t

1


 t  2  x  2y .

B i toán : i i hệ ph ng tr nh
 x 4  8 x 3  12 x 2  4 x  y 2  4 y



 x  R .

2

4
x

42
x

40

8
x

y

4

x

1

Sáng tác Nguyễn Đại Dƣơng
HƯỚNG DẪN GIẢI







Pt 1  x2  y x2  8x  y  4  0

Từ  2   8 x  y  4x2  42x  40  4 x  1  f  x 

18

LỚP TOÁN 76/5 PHAN THANH – ĐÀ NẴNG –SDT: 0932589246


TƢ DUY GIẢI PHƢƠNG TRÌNH –BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong
Xét hàm số f  x   4x2  42x  40  4 x  1 với x  1
4 x  21

Ta có f '  x  

4 x2  42 x  40



2
x 1

 0 x  1

Hàm số đồng biến  f  x   f 1  6  8x  y  6  8 x  y  6
Nên x2  8x  y  4  0 . 1  x2  y  0
Thay vào (2)

4x2  42x  40  x2  8x  4 x  1

 3x 2  18 x  24  8 x  x  8  x  1








x2  7 x  8  3 x 3 x2  7 x  8  x  0

 x 2  7 x  8  3 x  x  4  y  16

Hệ đã cho có nghiệm  4, 16 

B i toán : i i hệ ph ng tr nh

2
3

3 2 x  4  x  2  6 3 y  1  2 y
 x, y  R .
 2
3
3
x

x

8
y

2
x

4


Sáng tác Nguyễn Đại Dƣơng
HƯỚNG DẪN GIẢI
Điều kiện x  2


x2  2 x  2
  8y3
Từ (2)  x2  2 x  x  3 2 x  4  8 y 3   x  2   x 
2



2
3
3
 x  x 2x  4  2x  4 
Do VT  0 x    y  0

1  3 3 2  x  2   8  x  2  3 3 2  2 y   8  2 y
Xét hàm số f  t   3 3 2t 2  8  t với t  0,  
2

 f ' t  

1  f 

4t
3

2t 2  8

2

 1  0 t  0 . Hàm số đồng biến trên 0,  



x  2  f  2y   x  2  2y

Thay vào (2) x2  x  3 2x  4   x  2  x  2

LỚP TOÁN 76/5 PHAN THANH – ĐÀ NẴNG – SDT: 0932589246

19


TƢ DUY GIẢI PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong
 x  x  2    x  2  x  2  x  3 2x  4  0


x2  2x  2
0
  x  2 x  x  2 
2
2
3
3

x  x 2 x  4  2 x  4 
 x2  x  2

x2  2x  2
0
  x  2 

 x  x  2 x 2  x 3 2 x  4  3 2 x  4 2 
 x2 y0

Vậy hệ đã cho có nghiệm  2,0 

B i toán : i i hệ ph ng tr nh
 y 3  3x  1   x  3  y 3  1


 x  y  13  3 x 3  9

 x, y  R .

Sáng tác Nguyễn Đại Dƣơng
HƯỚNG DẪN GIẢI

1 
TH 1:



y3  1  3



 y3  1  3
y3  1  x  0  
 y3  1  x




y 3  1  3  y  2 thay vào (2)

 x  15  3 x3  9  x3  x2  30x  144  0  x  3

Suy ra hệ có nghiệm  3,2 
TH 2:


x  0

x  0
y3  1  x   2

thay vào (2)

3
3 2
x  y  1 
y  x  1


 x  13  3 x2  1  3 x3  9







x3  9  x  3  2 x  4  3 x2  1  0

 x  3   8x2  25x  21



0
2
x3  1  x  3  2 x  4    2 x  4  3 x2  1  3 x2  1
 3x x  2

  
8 x 2  25x  21
0
  x  3 
 x3  1  x  3 2x  4 2  2x  4 3 x2  1  3 x2  1 

 



2
 x  3 Do x  x  2   0 và 8x  25x  21  0 x  0
x  x  2  x  3 

 y  3 x2  1  2 .
20

LỚP TOÁN 76/5 PHAN THANH – ĐÀ NẴNG –SDT: 0932589246


TƢ DUY GIẢI PHƢƠNG TRÌNH –BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong
Vậy hệ đã cho có nghiệm  3,2  .
B i toán : i i hệ ph ng tr nh

 x  x 2  xy  1  3  x  y 

 x, y  R .

2

3
x

y

x

xy

5
x

5
y

1

Sáng tác Nguyễn Đại Dƣơng
HƯỚNG DẪN GIẢI
 x  0
Điêu kiện 
 x  y  0
Do x  y  0 không là nghiệm của hệ.


x
1
1
1


3

xy xy
 xy xy
Hệ  
.
x
1
 3
 xy  xy  xy 5


Đặt a 

x
1
,b 
 a  0, b  0
xy
xy

2



ab  a  b  3
 b  1 a  b  1  2 1
Hệ  


2
2
3b  a  b  5 

 b  1  a  b  1  5  2 

Thay (1) vào (2)   b  1 
2

3
2
 5   b  1  5  b  1  2  0
b1

b  1  2

 b  1 a  1
b  1  1  2  loai 
 1
1

 xy
 x  y  1  x  1




 y  0
 y  0
x

 x y 1


Hệ đã cho có nghiệm  1,0 

a  x
a  ab  1  3b2
Cách 2: Đặt 
Hệ  
2
3b  ab  5b  1
b  x  y
Lấy (1) – (2)  a  3b  2b2  a  3b  2b2 thay vào (2)
LỚP TOÁN 76/5 PHAN THANH – ĐÀ NẴNG – SDT: 0932589246

21


TƢ DUY GIẢI PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong
b  1
 3b  3b  2b b  5b  1  2b  2b  3b  1  0   2  2
b 
2



2



2

3

2

 loai 

 x  1
.
 b  1 a  1 
 y  0

22

LỚP TOÁN 76/5 PHAN THANH – ĐÀ NẴNG –SDT: 0932589246