Phương trình vô tỷ ôn thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (784.96 KB, 147 trang )
www.k2pi.net
DIỄN ĐÀN TOÁN THPT
www.k2pi.net
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ÔN THI
ĐẠI HỌC 2014
Hà Nội, tháng 1 năm 2014
www.k2pi.net
Mục lục
Lời nói đầu 3
1 Tuyển tập các bài toán 4
1.1 Từ câu 1 đến câu 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Từ câu 21 đến câu 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Từ câu 41 đến câu 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4 Từ câu 61 đến câu 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.5 Từ câu 81 đến câu 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.6 Từ câu 101 đến câu 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.7 Từ câu 121 đến câu 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.8 Từ câu 141 đến câu 160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.9 Từ câu 161 đến câu 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.10 Từ câu 181 đến câu 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.11 Từ câu 201 đến câu 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1.12 Từ câu 221 đến câu 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
1.13 Từ câu 241 đến câu 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
1.14 Từ câu 261 đến câu 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2 Bài tập tự luyện 144
www.k2pi.net Trang 2
www.k2pi.net
Lời nói đầu
Phương trình vô tỷ là dạng toán thường xuất hiện trong đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng. Dù nhiều khi
nó không trực tiếp xuất hiện mà ẩn đằng sau những hệ phương trình, bất phương trình. Đây là câu phân loại
học sinh rất tốt.
Ta cũng biết rằng với sự sáng tạo không ngừng của những người học toán. Phương trình vô tỷ xuất hiện rất
nhiều trên các diễn đàn, trên Google với những hình thức, ý tưởng mới mẻ và đặc sắc
Topic Phương trình vô tỷ ôn thi Đại học 2014 do anh Phạm Kim Chung lập ra nhằm là nơi trao đổi,
thảo luận các bài toán phương trình vô tỷ phục vụ cho việc ôn thi Đại học. Nó đã rất thành công khi rất nhiều
bài toán đặc sắc được đưa ra thảo luận. Xin cảm ơn các thành viên đã tham gia thảo luận, đã đưa ra những bài
toán đặc sắc cùng những lời giải ấn tượng
Bản tổng hợp chia làm 2 phần chính, phần 1 là tuyển tập các bài toán cùng những lời giải, phần 2 là những
bài tập rèn luyện cho bạn đọc. Bố cục của bản tuyển tập được trình bày rất công phu và khiến chúng ta cảm
tưởng như đọc một cuốn sách vậy. Bạn đọc hoàn toàn có thể kích vào đường dẫn trong Mục lục để nhảy đến
nơi cần xem. Quá thuận lợi phải không ?
Tuyển tập được hoàn thành và ra mắt vào những này cuối tháng 1 năm 2014, tức là những ngày cuối của
năm Quý Tỵ. Năm mới, năm Giáp Ngọ đang đến rất gần. Xin mạn phép thay mặt BQT diễn đàn k2pi, chúc
anh chị em trên diễn đàn cùng bạn đọc một năm mới an khang thịnh vượng, vạn sự như ý, cùng đón một cái Tết
thật ấm áp bên gia đình.
Người tổng hợp
Nguyễn Minh Tuấn (Popeye)
Sinh viên K62CLC Khoa Toán Tin - Đại Học Sư Phạm Hà Nội
www.k2pi.net Trang 3
www.k2pi.net
Chương 1
Tuyển tập các bài toán
1.1 Từ câu 1 đến câu 20
Giải phương trình sau :
2x − 3 +
3x − 1
√
3 − 2x
2
+ 2 − x
= 0
♥ Bài 1 ♥
Lời giải
Điều kiện −
3
2
≤ x ≤
3
2
.
Có dạng phân thức thử nghĩ đến nhân liên hợp xem sao?
Phương trình được viết lại dưới dạng
2x − 3 +
(3x − 1)
√
3 − 2x
2
− 2 + x
−3x
2
+ 4x − 1
= 0 ⇔ 2x − 3 +
√
3 − 2x
2
+ x − 2
1 − x
= 0
⇔
3 − 2x
2
− 2x
2
+ 6x − 5 = 0 ⇔
3 − 2x
2
= 2x
2
− 6x + 5
Nhẩm được nghiệm x
0
= 1 nên ta cứ bình phương phương trình một cách bình thường
⇔
2x
2
− 6x + 5 ≥ 0
4x
4
− 24x
3
+ 58x
2
− 60x + 22 = 0
⇔
2x
2
− 6x + 5 ≥ 0
(x − 1)
2
4x
2
− 16x + 22
= 0
⇔ x = 1
Đối chiếu thấy nghiệm thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Lời giải
Đk:
3 − 2x
2
≥ 0
3 − 2x
2
= 2 − x
⇔ −
3
2
≤ x ≤
3
2
Nhận thấy
+ Nếu biến đổi tương đương ( quy đồng mẫu rồi bình phương ta sẽ thu được phương trình bậc cao, và khá dài.
www.k2pi.net Trang 4
www.k2pi.net
1.1 Từ câu 1 đến câu 20 5
Vậy ta hãy nghĩ đến cách khác)
+ Nếu đạt ẩn phụ, trong phương trình không có các nhóm số hạng giống hoặc biểu diễn qua nhau dẽ dàng vậy
phương án này cũng không đặt nhiều hy vọng.
+ Do chứa mẫu có căn và nhìn khá phức tạp, ta thử nghĩ đến việc nhân liên hợp để làm đơn giản cái mẫu, cụ
thể như sau (và thấy mọi chuyễn dường như dễ thở )
Do
3 − 2x
2
> x − 2 với mọi x ∈
−
3
2
;
3
2
nên ta có:
pt ⇔ 3 − 2x =
(3x − 1)
√
3 − 2x
2
− 2 + x
3 − 2x
2
− x
2
+ 4x − 4
⇔ 3 − 2x =
(3x − 1)
√
3 − 2x
2
− 2 + x
(3x − 1) (1 − x)
⇔ 2x
2
− 6x + 5 =
3 − 2x
2
Đến đây hơi bí, đầu tiên ta thử bình phương xem sao. ( Nếu không được có thể nghĩ đến việc đặt ẩn phụ đưa về
hệ đối xứng loại II, phân tích các vế thành một bình phương )
Bình phương ta được:
⇔
2x
2
− 6x + 5 ≥ 0
4x
4
− 24x
3
+ 58x
2
− 60x + 22 = 0
⇔
2x
2
− 6x + 5 ≥ 0
(x − 1)
2
4x
2
− 16x + 22x
= 0
⇔ x = 1
Kết hợp điều kiện bài toán ta có x = 1 là nghiệm của phương trình.
Giải phương trình sau :
(2x − 5)
√
2x + 3 =
2
3
x + 1
2
3
x − 1
♥ Bài 2 ♥
Lời giải
Đk căn có nghĩa và 2 vế cùng dấu là x ≥
5
2
.
Khi đó : P t ⇔ 2x − 5 =
1
3
(2x + 3)
2
3
x − 1
⇔ (2x − 5)
2
=
1
27
4x
2
− 9
⇔ 104x
2
− 540x + 684 = 0 ⇔ x = 3(n)V x =
57
26
(l).
Vậy Pt có 1 nghiệm x = 3.
Giải phương trình sau :
17x + 1
√
3 − 2x
2
+ 2 − x
= 2x − 3
♥ Bài 3 ♥
Lời giải
www.k2pi.net Trang 5
www.k2pi.net
6 Chương 1. Tuyển tập các bài toán
Hình thức giống bài 1 nhưng ta lại không nhân liên hợp được nên cứ quy đồng xem sao?
Viết lại phương trình dưới dạng
2x
2
+ 10x + 7 = (2x − 3)
3 − 2x
2
Đặt u =
3 − 2x
2
⇒ 2x
2
= 3 − u
2
và phương trình trở thành
3 − u
2
+ 10x + 7 = (2x − 3) u ⇔ u
2
+ (2x − 3) u − 10x − 10 = 0
Coi đây là phương trình bậc hai với ẩn là u và tham số là x ta được
∆
u
= (2x − 3)
2
+ 4 (10x + 10) = 4x
2
− 28x + 49 = (2x − 7)
2
Suy ra
u =
3 − 2x + 2x − 7
2
= −2
u =
3 − 2x − 2x + 7
2
= 5 − 2x
. Do u ≥ 0 nên chỉ nhận nghiệm
u = 5 − 2x ⇔
3 − 2x
2
= 5 − 2x ⇔
x ≤
5
2
3 − 2x
2
= 4x
2
− 20x + 25
(vô nghiệm). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Giải phương trình sau :
8x
2
+ 3x +
4x
2
+ x − 2
√
x + 4 = 4
♥ Bài 4 ♥
Lời giải
P t ⇔
√
x + 4
2
+
4x
2
+ x − 2
√
x + 4 + 8x
2
+ 2x − 8 = 0,(1)
∆
√
x+4
=
4x
2
+ x − 6
2
(1) ⇔
√
x + 4 + 2 = 0 (V N)
√
x + 4 + 4x
2
+ x − 4 = 0
⇔
√
x + 4
2
−
√
x + 4 − 4x
2
− 2x = 0, (2)
∆
√
x+4
= (4x + 1)
2
(2) ⇔
√
x + 4 = −2x
√
x + 4 = 2x + 1
⇔ ⇔
x =
1 −
√
65
8
x =
−3 +
√
57
8
Lời giải
ĐK: x ≥ −4
Phương trình viết thành: 2(4x
2
+ x −2) + x + (4x
2
+ x −2)
√
x + 4 = 0 ⇔ (4x
2
+ x −2)(2 +
√
x + 4) + x = 0 (1)
Nếu x = 0 ta thấy không thỏa mãn pt=> x = 0 không là nghiệm
www.k2pi.net Trang 6
www.k2pi.net
1.1 Từ câu 1 đến câu 20 7
Xét x = 0 phương trình (1) tương đương với: −
x(4x
2
+ x − 2)
2 −
√
x + 4
+ x = 0 ⇔ (4x
2
+ x − 2) = 2 −
√
4 + x ⇔
(
√
x + 4)
2
−
√
x + 4 − 4x
2
− 2x = 0(2)
Đặt t =
√
x + 4 ≥ 0 thì (2) thành: t
2
− t − 4x
2
− 2x = 0 ⇔ (t + 2x)(t + 2x −1) = 0
Với t = 2x ⇒
√
x + 4 = 2x ⇔
2x ≥ 0
4x
2
− x − 4 = 0
⇔ x =
1 +
√
65
8
Với t = 1 − 2x ⇒
√
x + 4 = 1 − 2x ⇔
1 − 2x ≥ 0
4x
2
− 5x − 3 = 0
⇒ x =
5 −
√
73
8
(TMĐK)
Giải phương trình sau :
√
x − 3
√
2x − 1 − 1
=
1
√
x + 3 −
√
x − 3
♥ Bài 5 ♥
Lời giải
ĐK: x ≥ 3
Phương trình đã cho tương đương với:
x
2
− 9 −(x −3) =
√
2x − 1 −1 ⇔
x
2
− 9 −
√
2x − 1 −(x −4) = 0 (1)
Nhận xét: Nhận thấy pt có nghiệm là x = 5 và x = 4 ta nghĩ đến cách tạo ra nhân tử chung là (x −4)(x −5) tuy
nhiên muốn tạo ra nhân tử này thì thêm bớt nó rất lẻ. Do vậy ta làm như sau:
(1) ⇔
x
2
− 2x − 8
√
x
2
− 9 +
√
2x − 1
− (x − 4) = 0 ⇔ (x − 4)(
x + 2
√
x
2
− 9 +
√
2x − 1
− 1) = 0
TH1: x = 4 thỏa mãn đk bài toán=>x = 4 là một nghiệm của pt
TH2: Quy đồng ta được:
x
2
− 9 +
√
2x − 1 = x + 2(2)
Đêm (1) cộng (2) ta được:
x
2
− 9 = x − 1 ⇔ x
2
− 9 = x
2
− 2x − 1 ⇔ x = 5 (TMĐK)
Vậy pt có 2 nghiệm là x = 4; x = 5
Giải phương trình sau :
6x
3
+ 15x
2
+ x + 1 =
3x
2
+ 9x + 1
x
2
− x + 1
♥ Bài 6 ♥
Lời giải
Đặt u =
x
2
− x + 1 khi đó phương trình trở thành
u
2
−
3x
2
+ 9x + 1
u + 6x
3
+ 14x
2
+ 2x = 0
Coi đây là phương trình bậc hai với ẩn là u và tham số là x ta được
∆
u
=
3x
2
+ 9x + 1
2
− 4
6x
3
+ 14x
2
+ 2x
=
3x
2
+ 5x + 1
2
Suy ra
u =
3x
2
+ 9x + 1 + 3x
2
+ 5x + 1
2
= 3x
2
+ 7x + 1
u =
3x
2
+ 9x + 1 − 3x
2
− 5x − 1
2
= 2x
.
www.k2pi.net Trang 7
www.k2pi.net
8 Chương 1. Tuyển tập các bài toán
Với u = 2x ⇔
x
2
− x + 1 = 2x ⇔
x ≥ 0
x
2
− x + 1 = 4x
2
⇔ x =
−1 +
√
13
6
.
Với u = 3x
2
+ 7x + 1 ⇔
x
2
− x + 1 = 3x
2
+ 7x + 1 ⇔
3x
2
+ 7x + 1 ≥ 0
3x
3x
3
+ 14x
2
+ 18x + 5
= 0
.
⇔
3x
2
+ 7x + 1 ≥ 0
3x
x +
5
3
3x
2
+ 9x + 3
= 0
⇔
x = 0
x = −
3 +
√
5
2
.
Vậy phương trình có ba nghiệm là x ∈
−
1 +
√
13
6
; 0; −
3 +
√
5
2
.
Giải phương trình sau :
(x − 3)
√
1 + x + x
√
4 − x = 2x − 3
♥ Bài 7 ♥
Lời giải
ĐK: −1 ≤ x ≤ 4
PT đã cho tương đương với:
(x − 3)(
√
1 + x − 1) + x(
√
4 − x − 1) = 0
⇔
(x − 3)x
√
1 + x + 1
−
x(x − 3)
√
4 − x + 1
= 0
⇔
x(x − 3) = 0(1)
√
1 + x + 1 =
√
4 − x + 1(2)
Từ (1) ta có x = 0 hoặc x = 3
Từ (2) ta có x =
3
2
Lời giải
Đk −1 ≤ x ≤ 4
Đặt u =
√
x + 1 ⇒ u
2
= 1 + x
v =
√
4 − x ⇒ v
2
= 4 − x
có hệ
u
2
+ v
2
= 5 (1)
u
3
− v
3
− 4u + 4v = 2u
2
− 5 (2)
từ(2) (u − v)
u
2
+ uv + v
2
− 4 (u − v) = (u − v) (u + v)
⇐⇒ u = v ∨u
2
+ uv + v
2
− 4 − u − v = 0(∗) lại có (u + v)
2
= 5 + 2uv
phương trình (*) thành (u + v)
2
− 2 (u + v) − 3 = 0 ⇐⇒ u + v = 3
khi u=v ⇐⇒ x =
3
2
nhận
khi u = 3 − v thế (1) ta có v = 1 ∨ v = 2 ⇐⇒ x = 3 ∨x = 0
vậy có 3 nghiệm x = 0, x = 3, x =
3
2
www.k2pi.net Trang 8
www.k2pi.net
1.1 Từ câu 1 đến câu 20 9
Giải phương trình sau :
(x + 2)
x
2
− 2x + 4 = (x − 1)
x
2
+ 4x + 7
♥ Bài 8 ♥
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương với
⇔
(x + 2) (x − 1) ≥ 0
(x + 2)
2
x
2
− 2x + 4
= (x − 1)
2
x
2
+ 4x + 7
⇔
(x + 2) (x − 1) ≥ 0
3(x + 2)
2
= 3(x − 1)
2
Hệ phương trình cuối vô nghiệm.
Vậy phương trình vô nghiệm.
Lời giải
Thấy căn thử đặt xem sao, không ngờ nó ngon thật thầy ơi
Đặt
x
2
− 2x + 4 = a;
x
2
+ 4x + 7 = b (a; b > 0)
Ta có:
•x + 2 =
b
2
− a
2
+ 9
6
•x − 1 =
b
2
− a
2
− 9
6
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
b
2
− a
2
+ 9
6
a =
b
2
− a
2
− 9
6
b
⇔
b
2
− a
2
+ 9
a =
b
2
− a
2
− 9
b
⇔ (a + b) (a − 3 − b) (a + 3 − b) = 0
•a − 3 = b ⇔
x
2
− 2x + 4 =
x
2
+ 4x + 7 + 3
⇒
x
2
+ 4x + 7 = −x − 2
⇒
x ≤ 2
x
2
+ 4x + 7 = x
2
− 4x + 4
⇔
x ≤ 2
7 = 4(V L)
•a + 3 = b ⇔
x
2
− 2x + 4 + 3 =
x
2
+ 4x + 7
⇒
x
2
− 2x + 4 = x − 1 ⇒
x ≥ 1
4 = 1(V L)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Giải phương trình sau :
(2
√
2x − 1 + x + 1)
2
− 9x
2
+ 15 = 22x
♥ Bài 9 ♥
www.k2pi.net Trang 9
www.k2pi.net
10 Chương 1. Tuyển tập các bài toán
Lời giải
Điều kiện x ≥
1
2
.
Cứ rút gọn phương trình xem ta được gì?
2x
2
+ 3x − 3 = (x + 1)
√
2x − 1
Nhẩm được nghiệm x = 1 nên bình phương hai vế ta được
2x
2
+ 3x − 3 ≥ 0
2x
2
+ 3x − 3
2
= (x + 1)
2
(2x − 1)
⇔
2x
2
+ 3x − 3 ≥ 0
(x − 1)
2x
3
+ 7x
2
+ 4x − 5
= 0
⇔ x = 1
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
P/s: Phương trình bậc ba chứng minh vô nghiệm trong điều kiện đó, hơi tắt chút các bạn hoàn thiện giúp mình
Lời giải
Điều kiện:
x ≥
1
2
Phương trình đã cho tương đương:
2
√
2x − 1 + x + 1
2
= (x + 3) (9x − 5)
Đặt căn tiếp nào! Đặt
√
2x − 1 = a (a ≥ 0)
Ta có:
•x + 1 =
a
2
+ 3
2
•x + 3 =
a
2
+ 7
2
•9x − 5 =
9a
2
− 1
2
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
2a +
a
2
+ 3
2
2
=
a
2
+ 7
2
9a
2
− 1
2
⇔
a
2
+ 4a + 3
2
=
a
2
+ 7
9a
2
− 1
⇔ −8 (a − 1)
a
3
+ 5a + 2
= 0 ⇔
a = 1
a
3
+ 5a + 2 = 0
•a = 1 ⇔
√
2x − 1 = 1 ⇒ 2x − 1 = 1 ⇒ x = 1
•a
3
+ 5a + 2 = 0
Dễ thấy a > 0 nên a
3
+ 5a + 2 > 0
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = 1
www.k2pi.net Trang 10
www.k2pi.net
1.1 Từ câu 1 đến câu 20 11
Giải phương trình sau :
x
3
+ 22x
2
− 11x − (6x
2
+ 12x − 6)
√
2x − 1 = 0
♥ Bài 10 ♥
Lời giải
Điều kiện:
x ≥
1
2
Phương trình đã cho được viết lại thành:
x
3
+ 22x
2
− 11x = (6x
2
+ 12x − 6)
√
2x − 1
Bình phương 2 vế lên xem sao Khi đó, ta được:
(x − 1)
2
x
2
− 18x + 9
x
2
− 8x + 4
= 0
⇔
x = 1
x
2
− 18x + 9 = 0
x
2
− 8x + 4 = 0
⇔
x = 1
x = 9 ± 6
√
2
x = 4 ± 2
√
3
Đối chiếu với điều kiện Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
x = 1
x = 9 ± 6
√
2
x = 4 ± 2
√
3
Lời giải
Điều kiện x ≥
1
2
.
Nhận thấy x
0
= 1 là nghiệm của phương trình nên thực hiện nhân liên hợp ta được
x
3
+ 16x
2
− 23x + 6 − 6
x
2
+ 2x − 1
√
2x − 1 − 1
= 0.
⇔ (x − 1)
x
2
+ 17x − 6
− 6
x
2
+ 2x − 1
.
x − 1
√
2x − 1 + 1
= 0.
⇔
x = 1
x
2
+ 17 − 6 −
6
x
2
+ 2x − 1
√
2x − 1 + 1
= 0(1)
.
Ta giải phương trình (1). Quy đồng ta được
x
2
+ 17x − 6
√
2x − 1 = 11x
2
+ 7x − 6.
Tiếp tục nhân liên hợp ta được
x
2
+ 17x − 6
√
2x − 1 − 1
= 10x
2
− 10x.
⇔
2 (x − 1)
x
2
+ 17x − 6
√
2x − 1 + 1
= 10x (x − 1) ⇔
x = 1
10x
√
2x − 1 + 1
= 2
x
2
+ 17x − 6
(2)
.
Phương trình (2) tương đương với
5x
√
2x − 1 = x
2
+ 12x − 6 ⇔ x
2
− 5x.
√
2x − 1 + 6
√
2x − 1
2
= 0.
www.k2pi.net Trang 11
www.k2pi.net
12 Chương 1. Tuyển tập các bài toán
⇔
x − 2
√
2x − 1
x − 3
√
2x − 1
= 0 ⇔
x = 2
√
2x − 1
x = 3
√
2x − 1
⇔
x = 4 ± 2
√
3
x = 9 ± 6
√
2
.
Đối chiếu thấy tất cả các nghiệm đều thỏa mãn.
Vậy phương trình có 5 nghiệm x ∈
1; 4 ± 2
√
3; 9 ± 6
√
2
.
Giải phương trình sau :
√
x + 1 +
4
√
x − 1 =
√
x − 1 +
x
2
− 2x + 3
♥ Bài 11 ♥
Lời giải
Đk: x ≥ 1 (*)
pt ⇔
4
√
x − 1 +
(x − 1) + 2 =
4
(x − 1)
2
+
(x − 1)
2
+ 2 (**)
Xét hàm số: f (t) =
4
√
t +
√
t + 2 ( t ≥ 0 )
f
=
1
4
4
√
t
3
+
1
2
√
t + 2
> 0 với mọi t > 0
Vậy hàm f liên tục và đơn điệu tăng trên tập số thực t > 0
Ta có (**) ⇔ f (x − 1) = f
(x − 1)
2
⇔ x − 1 = (x − 1)
2
⇔ x = 1; x = 2
Kết hợp điều kiện (*) ta có x = 1 và x = 2 là nghiệm của phương trình.
Giải phương trình sau :
3x
2
+ 33 + 3
√
x = 2x + 7
♥ Bài 12 ♥
Lời giải
Đặt t =
√
x, t ≥ 0
Ta có P t :
3t
4
+ 33 = 2t
2
− 3t + 7
⇔ 3t
4
+ 33 =
2t
2
− 3t + 7
2
⇔ t
4
− 12t
3
+ 37t
2
− 42t + 16 = 0 ⇔ (t − 1)
2
(t − 2) (t − 8) = 0
Vậy Pt có 3 nghiệm : x = 1; x = 4; x = 64.
Giải phương trình sau :
2 (5x − 3)
√
x + 1 + 5 (x + 1)
√
3 − x = 3 (5x + 1)
♥ Bài 13 ♥
www.k2pi.net Trang 12
www.k2pi.net
1.1 Từ câu 1 đến câu 20 13
Lời giải
Điều kiện −1 ≤ x ≤ 3.
Thấy sự xuất hiện của hai căn thức nên ta đặt ẩn phụ dạng hai ẩn xem sao?
Đặt
u =
√
x + 1
v =
√
3 − x
, (0 ≤ u, v ≤ 2) thì ta có u
2
+ v
2
= 4.
Đồng nhất hệ số ta phân tích được
5x − 3 = 3u
2
− 2v
2
x + 1 = u
2
5x + 1 = 4u
2
− v
2
.
Khi đó phương trình đã cho trở thành
2
3u
2
− 2v
2
+ 5uv
2
= 3
4u
2
− v
2
⇔ 6u
2
(2 − u) = v
2
(u + 3)
Vậy ta có hệ phương trình
6u
2
(2 − u) = v
2
(u + 3)
u
2
+ v
2
= 4
⇔
(2 − u)
2
(2 + u)
2
= v
4
36u
4
(2 − u)
2
= v
4
(u + 3)
2
⇔
u
2
+ v
2
= 4
36u
4
v
4
= v
4
(u + 3)
2
(2 + u)
2
⇔
u
2
+ v
2
= 4
v = 0
6u
2
= (u + 2) (u + 3)
⇔
u = 2
u =
5 +
√
145
10
Với u = 2 ⇔
√
x + 1 = 2 ⇔ x = 3.
Với u =
5 +
√
145
10
⇔
√
x + 1 =
5 +
√
145
10
⇔ x =
7 +
√
145
10
.
Vậy phương trình có hai nghiệm là x ∈
3;
7 +
√
145
10
.
Giải phương trình sau :
4x
2
+ (2x − 5)
√
4x + 2 + 17 = 4x + (2x + 3)
√
6 − 4x
♥ Bài 14 ♥
Lời giải
4x
2
+ (2x − 5)
√
4x + 2 + 17 = 4x + (2x + 3)
√
6 − 4x(1)
ĐK :
−1
2
≤ x ≤
3
2
.
(1) ⇔ (2x + 3)
√
6 − 4x − (2x − 5)
√
4x + 2 = (2x − 1)
2
+ 16
⇔ (2x + 3)
√
6 − 4x + (5 − 2x)
√
4x + 2 = (2x − 1)
2
+ 16
V T ≥ 16(∗)
V P
2
=
(2x + 3)
√
6 − 4x + (5 − 2x)
√
4x + 2
2
V P
2
≤ 2.
(2x + 3)
√
6 − 4x
2
+
(5 − 2x)
√
4x + 2
2
⇔ V P
2
≤ 2
−96x
2
+ 96x + 104
= 2
−24(2x − 1)
2
+ 128
≤ 2.128 = 256.
⇒ V P ≤ 16(∗∗)
www.k2pi.net Trang 13
www.k2pi.net
14 Chương 1. Tuyển tập các bài toán
Từ (*) và (**) ⇒ x =
1
2
Lời giải
Điều kiện : −
1
2
≤ x ≤
3
2
Phương trình đã cho tương đương với phương trình :
16x
2
− 16x + 68 = 4 (4x + 2)
√
6 − 4x + 4 (5 − 2x)
√
4x + 2
⇔ 16x
2
− 16x + 68 =
√
6 − 4x +
√
4x + 2
3
(1)
Đặt t =
√
6 − 4x +
√
4x + 2, t ≥ 0 ⇒ 16x
2
− 16x = 12 −
t
2
− 8
2
4
. Lúc đó phương trình (1) trở thành :
12 −
t
2
− 8
2
4
+ 68 = t
3
⇔ t
4
+ 4t
3
− 16t
2
− 256 = 0
⇔ t = 4 ⇔
√
6 − 4x +
√
4x + 2 = 4 ⇔
√
6 − 4x − 2 +
√
4x + 2 − 2 = 0
⇔
2 (1 − 2x)
√
6 − 4x + 2
+
2 (2x − 1)
√
4x + 2 + 2
= 0
⇔
2x − 1 = 0
√
6 − 4x =
√
4x + 2
⇔ x =
1
2
Giải phương trình sau :
(7 − 6x)
√
4 + 3x + (13 + 6x)
√
1 − 3x = 5
−9x
2
− 24x − 11
♥ Bài 15 ♥
Lời giải
Đầu tiên đặt: u =
√
4 + 3x; v =
√
1 − 3x thì:
u
2
+ v
2
= 5.
P T ⇐⇒ (5 + 2v
2
)u + (5 + 2u
2
)v =
u
2
v
2
− 4u
2
+ v
2
⇐⇒ (u + v)
3
=
5 − u
4
⇐⇒ (5 + 2uv)
3
+ u
4
= 5.
Điều này vô lí.
Vậy PT đã cho vô nghiệm
Giải phương trình sau :
√
3x − 7 + (4x − 7)
√
7 − x = 32
♥ Bài 16 ♥
www.k2pi.net Trang 14
www.k2pi.net
1.1 Từ câu 1 đến câu 20 15
Lời giải
Điều kiện :
7
3
≤ x ≤ 7
Đặt : a =
√
7 − x
0 ≤ a ≤
14
3
Phương trình đã cho trở thành :
14 − 3a
2
− 4a
3
+ 21a − 32 = 0
Mà :
• 0 ≤ f (a) =
14 − 3a
2
≤
√
14
• g (a) = −4a
3
+ 21a − 32, 0 ≤ a ≤
14
3
;
g
(a) = −12a
2
+ 21
⇒ −32 = g (0) ≤ g (a) ≤ g
√
7
2
= −32 + 7
√
7
Nên : f (a) + g (a) ≤ −32 + 7
√
7 +
√
14 < 0
Hay phương trình đã cho VN.
Giải phương trình sau :
4x − 1
√
4x − 3
+
11 − 2x
√
5 − x
=
15
2
♥ Bài 17 ♥
Lời giải
4x − 1
√
4x − 3
+
11 − 2x
√
5 − x
=
15
2
⇔
√
4x − 3 +
2
√
4x − 3
+ 2
√
5 − x +
1
√
5 − x
=
15
2
⇔
√
4x − 3 + 2
√
5 − x
+
2
√
4x − 3
+
1
√
5 − x
=
15
2
⇔
√
4x − 3 + 2
√
5 − x
+
√
4x − 3 + 2
√
5 − x
(4x − 3)(5 − x)
=
15
2
.(1)
√
4x − 3 + 2
√
5 − x = a ≥ 0
(4x − 3)(5 − x) = b ≥ 0
⇒ a
2
− 4b = 17. ⇒ b =
a
2
− 17
4
.
(1) → a +
4a
−17 + a
2
=
15
2
.
⇔ 2a
3
− 15a
2
− 26a + 255 = 0
⇔ (a − 5)(2a
2
− 5a + 51) = 0
⇔ a = 5.
⇒
√
4x − 3 + 2
√
5 − x = 5
(4x − 3)(5 − x) = 2
⇔
x =
19
4
x = 1
www.k2pi.net Trang 15
www.k2pi.net
16 Chương 1. Tuyển tập các bài toán
Giải phương trình sau :
x +
x
2
− 3x + 9 =
x
2
+ 2x + 10 + 1
♥ Bài 18 ♥
Lời giải
Nhận thấy x = 1 không là nghiệm của phương trình nên đưa về hệ
x
2
+ 2x + 10 −
x
2
− 3x + 9 = x − 1
x
2
+ 2x + 10 +
x
2
− 3x + 9 =
5x + 1
x − 1
.
Suy ra 2
x
2
− 3x + 9 =
5x + 1
x − 1
− (x − 1) =
−x
2
+ 7x
x − 1
.
⇔ 2 (x − 1)
x
2
− 3x + 9 = −x
2
+ 7x ⇔
(x − 1)
−x
2
+ 7x
≥ 0
4(x − 1)
2
x
2
− 3x + 9
= x
2
(7 − x)
2
.
⇔
(x − 1)
−x
2
+ 7x
≥ 0
(x − 3)
x
3
+ x
2
+ 8x − 4
⇔ x = 3.
Giải phương trình sau :
1
√
x − 1
+
23
2
x =
1
√
2x − 3
+ 3x
2
+ 11
♥ Bài 19 ♥
Lời giải
Điều kiện x >
3
2
.
Nhẩm được nghiệm x
0
= 2 nên thử nhân liên hợp xem sao?
Viết lại phương trình dưới dạng
1
√
x − 1
−
1
√
2x − 3
= 3x
2
−
23
2
x + 11
⇔
x − 2
√
x − 1.
√
2x − 3
√
x − 1 +
√
2x − 3
= (x − 2)
3x −
11
2
⇔
x = 2
1
√
x − 1.
√
2x − 3
√
x − 1 +
√
2x − 3
= 3x −
11
2
(1)
Phương trình (1) dễ thấy chuyển vế ta được một hàm đơn điệu vậy cái ta cần là tìm được một nghiệm nữa của
phương trình và đó chính là x = 2.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
www.k2pi.net Trang 16
www.k2pi.net
1.2 Từ câu 21 đến câu 40 17
Giải phương trình sau :
2 − x
4
=
√
2x − 3 −
3
√
x − 1
♥ Bài 20 ♥
Lời giải
2 − x
4
=
√
2x − 3 −
3
√
x − 1
ŒK : x ≥
3
2
.
⇔
√
2x − 3 − 1 +
x
2
−
3
√
x − 1 +
x − 2
4
= 0
⇔
2x − 4
√
2x − 3 + 1
+
(x − 2)(x
2
+ 2x − 4)
8A
+
x − 2
4
= 0
⇔ x = 2
do :
1
√
2x − 3 + 1
+
x
2
+ 2x − 4
8A
+
1
4
> 0; ∀x ≥
3
2
1.2 Từ câu 21 đến câu 40
Giải phương trình sau :
4x
2
+ 3(x
2
− x)
√
x + 1 = 2(x
3
+ 1)
♥ Bài 21 ♥
Lời giải
4x
2
+ 3(x
2
− x)
√
x + 1 = 2(x
3
+ 1)
ĐK : x ≥ −1.
⇔ 4x
2
− 2x
3
− 2 + 3(x
2
− x)
√
x + 1 = 0
⇔ (x − 1)
3x
√
x + 1 − 2x
2
+ 2x + 2
= 0
⇔
x = 1
3x
√
x + 1 = 2x
2
− 2x − 2
⇔
x = 1
4x
4
− 17x
3
− 13x
2
+ 8x + 4 = 0
⇔
x = 1
(x
2
− 4x − 4)(4x
2
− x − 1) = 0
www.k2pi.net Trang 17
www.k2pi.net
18 Chương 1. Tuyển tập các bài toán
Giải phương trình sau :
x
2
+ 4x + 3 +
x
2
+ x =
3x
2
+ 4x + 1
♥ Bài 22 ♥
Lời giải
đk x ≤ −3 ∨ x ≥ 0,x = −1
Phương trình thành
(x + 1) (x + 3) +
x (x + 1) =
(x + 1) (3x + 1)
xét x = −1 thoả mãn
x ≥ 0, phương trình thành
√
x + 3 +
√
x =
√
3x + 1
⇐⇒ 3x
2
+ 16x − 4 = 0, x ≥ 2 ⇐⇒ x =
−8 +
√
76
3
loại
TH: x ≤ −3
phương trình thành
√
−x − 3 +
√
−x =
√
−3x − 1 ⇐⇒ 3x
2
+ 16x − 4 = 0
⇐⇒ x =
−8 −
√
76
3
Lời giải
Điều kiện :
x
2
+ 4x + 3 ≥ 0
x
2
+ x ≥ 0
3x
2
+ 4x + 1 ≥ 0
Phương trình đã cho tương đương với :
2
(x
2
+ x) (x
2
+ 4x + 3) = x
2
− x − 2
⇔ 2
(x + 1)
2
(x
2
+ 3x) = (x + 1) (x − 2)
⇔
x
2
− x − 2 ≥ 0
(x + 1)
2
3x
2
+ 16x − 4
= 0
⇔
x = −1
x =
−8 −
√
76
3
Giải phương trình sau :
x − 2
x − 1
+
x + 2
√
x + 2 +
√
x − 2
2
= 1
♥ Bài 23 ♥
Lời giải
Nhân liên hợp cái mẫu đưa về
16
√
x − 2 + (x + 2)(
√
x + 2 −
√
x − 2)
2
√
x − 1 = 16
√
x − 1
Phá tung tóe ra được
x.
√
x − 2
√
x − 1.
√
x + 2 =
√
x − 1(x
2
+ 2x − 8) +
√
x − 2(8 − 2
√
x − 1
√
x + 2)
www.k2pi.net Trang 18
www.k2pi.net
1.2 Từ câu 21 đến câu 40 19
Trong đó x
2
+ 2x − 8 = (x − 2)(x + 4) nên thấy ngay x = 2 là nghiệm, cái còn lại là
x.
√
x − 1.
√
x + 2 =
√
x − 1.
√
x − 2.(x + 4) + 8 − 2
√
x − 1
√
x + 2
Cáo lỗi do nhìn nhầm nên đoạn cuối nãy mình làm sai,nhưng cái phương trình trên vẫn vô nghiệm, có thể làm
tạm thời như sau
(x + 2)
√
x − 1
√
x + 2 = 8 + (x + 4)
√
x − 1
√
x − 2 bình phương 2 vế thu gọn được
(x − 2)(3x + 13) = 4(x + 4)
√
x − 1
√
x − 2, lại có nghiệm x = 2
cái còn lại
√
x − 2(3x + 13) = 4(x + 4)
√
x − 1 vô nghiệm do đk x ≥ 2
Lời giải
ĐK x ≥ 2
P T ⇔
4
x−2
x+2
3
x−2
x+2
+ 1
+
1
1 +
x−2
x+2
2
= 1
Đặt t =
x − 2
x + 2
, (t ≥ 0)
PT trở thành
2t
√
3t
2
+ 1
+
1
(1 + t)
2
= 1
⇔
2t
√
3t
2
+ 1
=
t
2
+ 2t
(t + 1)
2
⇔
4t
2
3t
2
+ 1
=
t
2
+ 2t
2
(t + 1)
4
⇔ t
3
t
3
+ 4t
2
+ 11t + 12
= 0
⇔ t = 0
Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 2
Lời giải
Tạm thời chưa nghĩ ra cách khác đành dùng cách trâu bò nhất
Điều kiện x ≥ 2.
Viết lại phương trình dưới dạng
x − 2
x − 1
+
1
x−2
x+2
+ 1
2
= 1
Đặt
u =
x − 2
x − 1
v =
x − 2
x + 2
, (0 ≤ u, v < 1) khi đó phương trình trở thành
u +
1
(v + 1)
2
= 1
Mặt khác x =
2 − u
2
1 − u
2
=
2
1 + v
2
1 − v
2
. Vì vậy ta có hệ phương trình
www.k2pi.net Trang 19
www.k2pi.net
20 Chương 1. Tuyển tập các bài toán
u +
1
(v + 1)
2
= 1
2 − u
2
1 − u
2
=
2
1 + v
2
1 − v
2
⇔
u = 1 −
1
(v + 1)
2
2 −
1 −
1
(v+1)
2
2
1 −
1 −
1
(v+1)
2
2
=
2
1 + v
2
1 − v
2
⇔
u = 1 −
1
(v + 1)
2
2(v + 1)
4
−
v
2
+ 2v
2
(v + 1)
4
− (v
2
+ 2v)
2
=
2
1 + v
2
1 − v
2
⇔
u = 1 −
1
(v + 1)
2
v
4
+ 4v
3
+ 8v
2
+ 8v + 2
2v
2
+ 4v + 1
=
2
1 + v
2
1 − v
2
⇔
u = 1 −
1
(v + 1)
2
v
6
+ 5v
5
+ 11v
4
+ 12v
3
= 0
⇔ u = v = 0 ⇔ x = 2
Giải phương trình sau :
5x
2
√
x + 1
+
x
2
+ x + 2
x
2
+
√
x + 2
2
+
x
2
+ x + 3
x
2
+
√
x + 3
2
= 2
♥ Bài 24 ♥
Lời giải
Theo BCS ta có:
x
2
+
√
x + 2
2
≤
x
2
+ 1
x
2
+ x + 2
x
2
+
√
x + 3
2
≤
x
2
+ 1
x
2
+ x + 3
Suy ra vế trái Pt : V T ≥
5x
2
√
x + 1
+
2
x
2
+ 1
≥
5x
2
√
x + 1
−
2x
2
x
2
+ 1
+ 2
⇒ V T ≥
x
2
5x
2
+ 5 − 2
√
x + 1
(x
2
+ 1)
√
x + 1
+ 2 ≥
x
2
5x
2
− x + 3 +
1 −
√
x + 1
2
(x
2
+ 1)
√
x + 1
+ 2
⇒ V T ≥ 2 = V P .
Và : V T = V P = 2 ⇔ x = 0.
Vậy Pt có nghiệm duy nhất : x = 0.
Giải phương trình sau :
(2x − 9)
√
x + 7 +
√
3x − 2 + 2x + 9 = 0
♥ Bài 25 ♥
Lời giải
Điều kiệnx ≥
2
3
.
Nhẩm được nghiệm x
0
= 2 nên thử liên hợp xem sao?
Phương trình được viết lại dưới dạng
(2x − 9)
√
x + 7 − 3
+
√
3x − 2 − 2
+ 8 (x − 2) = 0
⇔ (x − 2)
2x − 9
√
x + 7 + 3
+
3
√
3x − 2 + 2
+ 8
= 0
Mặt khác
2x − 9
√
x + 7 + 3
+
3
√
3x − 2 + 2
+ 8 > 0, ∀x ≥
2
3
nên phương trình tương đương với x = 2.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
www.k2pi.net Trang 20
www.k2pi.net
1.2 Từ câu 21 đến câu 40 21
Giải phương trình sau :
x
3
√
x
3
+ 1
= x −
1
x
♥ Bài 26 ♥
Lời giải
Điều kiện :
x > −1
x = 0
Viết lại phương trình :
x
4
√
x
3
+ 1
= (x − 1) (x + 1) (*) suy ra : x > 1
Lúc đó :
(∗) ⇔ x
4
=
x
2
− 1
x
3
+ 1 ⇔ x =
1 −
1
x
2
x +
1
x
2
Đặt : a = 1 −
1
x
2
> 0; b =
x +
1
x
2
PT trên trở thành :
a + b
2
− 1 = ab ⇔ b
2
− ab + a − 1 = 0
∆
a
= a
2
− 4 (a − 1) = (a − 2)
2
⇒
b = a − 1
b = 1
• b = a − 1 ⇒
x +
1
x
2
= −
1
x
2
(V N)
• b = 1 ⇒ x +
1
x
2
= 1 (V N do x > 1)
Kết luận : Người đẹp vô nghiệm
Lời giải
Hoặc có thể đánh giá bằng bất đẳng thức Cô si như sau
V P =
x
2
− 1
(x + 1) (x
2
− x + 1) ≤
x
2
− 1
.
x + 1 + x
2
− x + 1
2
.
=
x
4
+ x
2
− 2
2
=
2x
4
−
x
2
− 1
2
− 1 − x
2
2
< x
4
= V T
Nên phương trình vô nghiệm.
Giải phương trình sau :
1
3x − 2
√
x − 1.
√
2x − 3
√
x − 1 +
√
2x − 3
=
√
2x − 3 −
√
x − 1 + 2
16 (x − 2)
♥ Bài 27 ♥
Lời giải
Đk:
3
2
≤ x = 2
P t ⇔
1
3x − 2
(2x − 3) (x − 1)
=
√
2x − 3 −
√
x − 1 + 2
16
√
2x − 3 −
√
x − 1
www.k2pi.net Trang 21
www.k2pi.net
22 Chương 1. Tuyển tập các bài toán
Đặt :t =
√
2x − 3 −
√
x − 1, −
1
√
2
≤ t = 0
Ta có Pt theo t là :
1
t
2
+ 4
=
t + 2
16t
⇔
t = 2
t = 2
√
2 − 2
t = −2
√
2 − 2 (loi)
Ta giải 2 Pt :
√
2x − 3 −
√
x − 1 = 2
√
2x − 3 −
√
x − 1 = 2
√
2 − 2
⇔
x = 26
x = 38 − 24
√
2 + 4
139 − 98
√
2
Vậy Pt có 2 nghiệm : x = 26; x = 38 −24
√
2 + 4
139 − 98
√
2.
Giải phương trình sau :
3
x
2
+ 1
2
− 15 = 8x
2
2 (2 − x
2
)
♥ Bài 28 ♥
Lời giải
Đk |x| ≤
√
2
Đặt a = x
2
+ 1, b =
4 − 2x
2
⇒ a ≥ 1, b ≥ 0
ta có hệ
2a + b
2
= 6 (1)
3a
2
− 15 = 8b (a − 1) (2)
Từ (1) thế (2): 3b
4
+ 16b
3
− 36b
2
− 64b + 48 = 0 ⇐⇒
3b
2
− 2b − 12
b
2
+ 6b − 4
= 0
⇐⇒ b = 1 +
√
37 ∨ b = −3 +
√
13
b = 1 +
√
37 loại
b = −3 +
√
13 ⇒ x = ±
3
√
13 − 9
Giải phương trình sau :
x
4
− x
2
+ 1 +
x (x
2
− x + 1) =
(x
2
+ 1)
3
x
♥ Bài 29 ♥
Lời giải
Có lẽ đề là
x
4
+ x
2
+ 1 +
x (x
2
− x + 1) =
(x
2
+ 1)
3
x
Chia 2 vế cho x ta được
P T ⇔
x
2
+
1
x
2
+ 1 +
x +
1
x
− 1 =
x +
1
x
3
www.k2pi.net Trang 22
www.k2pi.net
1.2 Từ câu 21 đến câu 40 23
Để đơn giản, ta đặt t = x +
1
x
(t ≥ 2)
PT trở thành
t
2
− 1 +
√
t − 1 = t
√
t
⇔ t
2
+ t − 2 + 2
(t
2
− 1) (t + 1) = t
3
⇔
(t
2
− 1) (t − 1) − 1
2
= 0
⇔
t
2
− 1
(t − 1) − 1 = 0
⇔ t
t
2
− t − 1
= 0 (vô nghiệm, do t ≥ 2)
Chú ý cũng có thể sử dụng ngay BĐT Bunyakovsky mà không cần bình phương
V T = 1.
t
2
− 1 +
√
t − 1.1 ≤
(1 + t − 1) (t
2
− 1 + 1) = t
√
t = V P
Thực ra nếu đề là
x
4
− x
2
+ 1 +
x (x
2
− x + 1) =
(x
2
+ 1)
3
x
(∗)
thì V T (∗) <
x
4
+ x
2
+ 1 +
x (x
2
− x + 1) < V P (∗)
Giải phương trình sau :
x
√
1 + x + (x + 2)
√
1 − x = x +
(1 − x) (1 + x) + 1
♥ Bài 30 ♥
Lời giải
x
√
1 + x + (x + 2)
√
1 − x = x +
(1 − x) (1 + x) + 1
ĐK : −1 ≤ x ≤ 1.
⇔ x
2
+ x − 1 +
x + 2 −
√
x + 1
√
1 − x − x
= 0
⇔
x
2
+ x − 1
1 −
x + 2 −
√
x + 1
√
1 − x + x
= 0
⇔
x
2
+ x − 1 = 0
x + 2 −
√
x + 1 =
√
1 − x + x
⇔
x =
−1 ±
√
5
2
x = 0
Giải phương trình sau :
3
√
3x + 2 + x
√
3x − 2 = 2
2x
2
+ 1
♥ Bài 31 ♥
Lời giải
a.T H1 : x ≥ 1
www.k2pi.net Trang 23
www.k2pi.net
24 Chương 1. Tuyển tập các bài toán
P t ⇔
3
√
3x + 2 − 2
+
3x − 2
2x
2
+ 1
+
x −
√
3x − 2
√
3x − 2 = 0
⇔
3(x − 2)
3
(3x + 2)
2
+ 2
3
√
3x + 2 + 4
+
(x − 2)(x + 2)
3x + 2
√
2x
2
+ 1
+
(x − 2)(x − 1)
√
3x − 2
x +
√
3x − 2
= 0 ⇔ x = 2.
b.T H2 :
2
3
≤ x < 1.
P t ⇔
x + 1 −
3
√
3x + 2
+ x
1 −
√
3x − 2
+
2
2x
2
+ 1 − 2x − 1
= 0
⇔
x
3
+ 3x
2
− 1
(x + 1)
2
+ (x + 1)
3
√
3x + 2 +
3
(3x + 2)
2
+
3x(1 − x)
1 +
√
3x − 2
+
4x
2
− 4x + 3
2
√
2x
2
+ 1 + 2x + 1
= 0, (1)
Pt (1) vô nghiệm do VT>0
Vậy Pt đã cho có 1 nghiệm : x = 2.
Giải phương trình sau :
3 +
√
x
x
2
+ x
√
x + x + 3
+
x +
√
x + 2
x
2
+ x
√
x + 3
+
x
√
x + x + 2
x
2
+
√
x + 4
+
x
2
+ x
√
x + 2
x + x
√
x + 4
+
x
2
+ 3
x
√
x + x +
√
x + 3
=
10
3
♥ Bài 32 ♥
Lời giải
Điều kiện : x ≥ 0
Ta có : 3 +
√
x = (
√
x + 1) + 2; x +
√
x + 2 = (
√
x + 1) + (x + 1)
x
√
x + x + 2 = (x + 1) + (x
√
x + 1); x
2
+ x
√
x + 2 = (x
2
+ 1) + (x
√
x + 1)
x
2
+ 3 = (x
2
+ 1) + 2
Đặt a = 2; b =
√
x + 1; c = x + 1; d = x
√
x + 1; e = x
2
+ 1
Khi đó phương trình đã cho trở thành :
a + b
c + d + e
+
b + c
a + d + e
+
c + d
a + b + e
+
d + e
a + b + c
+
e + a
b + c + d
=
10
3
Cộng 5 vào hai vế của phương trình ( cộng 1 vào mỗi phân số ) , ta được :
(a + b + c + d + e).(
1
c + d + e
+
1
a + d + e
+
1
a + b + e
+
1
a + b + c
+
1
b + c + d
) =
25
3
⇔ 3(a + b + c + d + e).(
1
c + d + e
+
1
a + d + e
+
1
a + b + e
+
1
a + b + c
+
1
b + c + d
) = 25
Đặt A = 3(a + b + c + d + e); B =
1
c + d + e
+
1
a + d + e
+
1
a + b + e
+
1
a + b + c
+
1
b + c + d
Theo bất đẳng thức AM − GM ta có : A.B ≥ 25
Dấu ” = ” xảy ra khi a = b = c = d = e ⇔ x = 1(T MŒK)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm : x = 1
Giải phương trình sau :
x
3
√
x
3
+ 1
=
1
x
− x
♥ Bài 33 ♥
www.k2pi.net Trang 24
www.k2pi.net
1.2 Từ câu 21 đến câu 40 25
Lời giải
Bài toán này khá đơn giản, nó dựa vào biến đổi:
x
3
√
x
3
+ 1
=
x
3
+ 1 −
1
√
x
3
+ 1
Đến đây hàm số 1 phát là ra luôn
Giải phương trình sau :
2
√
x + 1 −
√
x
+
1
x +
√
x
2
+ 1
= 3
♥ Bài 34 ♥
Lời giải
Điều kiện x ≥ 0.
Viết lại phương trình dưới dạng
2
√
x + 1 +
√
x
+
x
2
+ 1 − x = 3.
Nếu x > 1 khi đó V T > 2
√
x + 1 +
√
x
> 3 = V P , phương trình vô nghiệm.
Nếu 0 ≤ x ≤ 1.
Xét hàm số f(x) = 2
√
x + 1 +
√
x
+
x
2
+ 1 − x − 3.
Ta có
f
(x) =
1
√
x
+
1
√
x + 1
+
x
√
x
2
+ 1
− 1 =
1
√
x
− 1
+
1
√
x + 1
+
x
√
x + 1
> 0, ∀x ∈ (0; 1].
Do đó f(x) là hàm đồng biến trên [0; 1]. Nhận thấy f(0) = 0 nên suy ra x = 0 là nghiệm duy nhất của phương
trình
Giải phương trình sau :
√
2x + 4 − 2
√
2 − x =
6x − 4
√
x
2
+ 4
♥ Bài 35 ♥
Lời giải
ĐK x ∈
−2; 2
P T ⇔
6x − 4
√
2x + 4 + 2
√
2 − x
=
6x − 4
√
x
2
+ 4
⇔ x =
2
3
hoặc
√
2x + 4 + 2
√
2 − x =
x
2
+ 4 (1)
(1) ⇔ 4
2 (4 − x
2
) = (x − 2) (x + 4)
Ta thấy V T (1) ≥ 0 ≥ V P (1) do x ∈
−2; 2
, V T (1) = V P (1) ⇔ x = 2
Vậy PT có nghiệm x =
2
3
, x = 2.
www.k2pi.net Trang 25
