Xây dựng phần mềm giải phương trình đạo hàm riêng bằng phương pháp không lưới

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ....................................................................................... 3
CHƯƠNG 1 ........................................................................................... 5
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN .......................................................... 5
1.1 Sơ lược về Phương trình đạo hàm riêng ....................................... 5
1.2 Một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu ............................... 6
1.2.1 Các phương trình đạo hàm riêng ........................................... 6
1.2.2 Một số bài toán thực tế đi đến phương trình đạo hàm riêng ... 7
1.3 Khái niệm bài toán biên ............................................................. 15
1.4 Nội suy dữ liệu rời rạc ................................................................ 17
1.5 Ma trận và hàm xác định dương ................................................. 19
1.6 Hàm bán kính ............................................................................. 20
1.7 Hàm xác định dương và đơn điệu hoàn toàn ............................. 21
1.8 Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dương có điều
kiện .................................................................................................. 24
1.9 Ví dụ nội suy bằng RBF ............................................................. 27
CHƯƠNG 2 ......................................................................................... 30
PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI NỘI SUY BỞI HÀM RBF GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG.. ......................................... 30
2.1 Giới thiệu ................................................................................... 30
2.2 Đa thức nội suy Hermit .............................................................. 33
2.3 Phương pháp trùng khớp đối xứng ............................................. 35
2.4 Ví dụ .......................................................................................... 37

1


CHƯƠNG 3 ......................................................................................... 41
MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM THU ĐƯỢC .......................... 41
3.1 Cài đặt chương trình ................................................................... 41
3.1.1 Giao diện chính của chương trình ........................................ 41

3.1.2 Giao diện View bảng các hàm RBF thông dụng .................. 42
3.1.3 Giao diện help của chương trình .......................................... 43
3.2 Các ví dụ .................................................................................... 43
3.2.1 Ví dụ 1 ................................................................................ 43
3.2.2 Ví dụ 2 ................................................................................ 47
3.2.3 Ví dụ 3 ................................................................................ 52
PHỤ LỤC ............................................................................................ 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 70
NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN . Error! Bookmark not
defined.

2


LỜI MỞ ĐẦU
Nhiều bài toán trong khoa học kỹ thuật thông qua mô hình hóa toán học
được đưa đến việc giải các bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng.
Trong một số ít trường hợp đơn giản (miền hình học là miền đơn giản, hệ số
của phương trình là hệ số hằng …), các bài toán có thể tìm được nghiệm
tường minh bằng phương pháp giải tích. Còn đại đa số các trường hợp khác
thì nghiệm tường minh không có hoặc rất phức tạp. Hơn nữa, một số bài toán
trong thực tế chỉ yêu cầu tìm nghiệm của bài toán tại một vị trí nào đó. Vì vậy
người ta sử dụng các phương pháp số để tìm nghiệm gần đúng của chúng.
Hiện nay các phương pháp số được sử dụng phổ biến gồm có phương pháp sai
phân hữu hạn (finite difference method - FDM), phần tử hữu hạn (finite
element method - FEM), khối hữu hạn (finite volume method - FVM),v.v …
Các phương pháp này được gọi chung là phương pháp rời rạc hóa theo không
gian. Đối với các bài toán phụ thuộc thời gian, ta cần thêm công cụ số để rời
rạc hóa phương trình theo biến thời gian.
Nếu như các phương pháp FDM, FEM, FVM, v.v … rời rạc hóa

phương trình đạo hàm riêng trên cơ sở chia nhỏ miền tính toán thành một lưới
(mesh) gồm những phần tử ràng buộc lẫn nhau trên lưới theo những nguyên
tắc xác định (ta gọi chung các phương pháp này là nhóm phương pháp dựa
vào lưới) thì đối với các phương pháp không lưới, miền tính toán được chia
thành một tập hữu hạn các điểm rời rạc, có thể bố trí tùy ý (unstructured) và
không có bất kỳ mối ràng buộc nào về vị trí tương đối giữa chúng trong quá
trình tính toán.
Có nhiều phương pháp không lưới, trong đó có phương pháp Radial
Basis Function (RBF). Nội dung chính của đồ án tốt nghiệp là trình bày các

3


kết quả lý thuyết và thực nghiệm tính toán đối với phương pháp sử dụng RBF
là phương pháp trùng khớp đối xứng. Đồ án bao gồm ba chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình đạo hàm
riêng và phương pháp không lưới (RBF). Một số phương trình đạo hàm riêng
cơ bản và tính chất của RBF được áp dụng cho bài toán nội suy dữ liệu rời rạc.
Đây là những kiến thức quan trọng làm nền tảng cho các kết quả sẽ trình bày
trong các chương tiếp theo của đồ án.
Chương 2: Trình bày phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng
bằng phương pháp không lưới nội suy bởi hàm RBF .
Chương 3: Xây dựng chương trình giải bài toán phương trình đạo hàm
riêng (bài toán biên) bằng phương pháp không lưới (nội suy bởi hàm RBF) để
kiểm tra độ chính xác của phương pháp, các ưu điểm khi sử dụng phương
pháp này. Các kết quả thực nghiệm tính toán đã được kiểm tra bằng các
chương trình thực nghiệm lập trình trong môi trường Matlab trên máy PC.

4

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
Trong chương này, chúng ta trình bày sơ lược về phương trình đạo hàm
riêng, một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu và những kết quả lý thuyết
quan trọng về phương pháp không lưới, trong đó bài toán nội suy dữ liệu rời
rạc được đề cập như động lực thúc đẩy sự phát triển của phương pháp. Cách
xây dựng và các tính chất của RBFs thường dùng…v.v. Những kiến thức cơ
sở và kết quả được tham khảo từ các tài liệu.
1.1 Sơ lược về Phương trình đạo hàm riêng
Phương trình đạo hàm riêng là một lĩnh vực quan trọng của toán học.
Có rất nhiều mô hình trong tự nhiên được mô tả bởi một phương trình hoặc
một hệ phương trình vi phân nói chung và phương trình đạo hàm riêng nói
riêng.
Định nghĩa 1.1 Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u ( x1 ,..., xn ) , các biến
độc lập xi và các đạo hàm riêng của nó được gọi là một phương trình vi phân
đạo hàm riêng (hay phương trình đạo hàm riêng). Nó có dạng



u
u
ku
  0,
F  x, u ( x),
,...,
,..., k1
,...
kn


x

x

x
...

x
1
n
1
n



(1.1)

trong đó F là một hàm nào đó của các đối số của nó, với ký hiệu
x  ( x1 ,..., xn )  R n , u ( x )  u ( x1 ,..., xn ) ( a ) .

Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u có mặt trong phương trình được gọi là
cấp của phương trình.
Phương trình được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với ẩn hàm và các
đạo hàm riêng của ẩn hàm. Ví dụ phương trình tuyến tính cấp 2 tổng quát đối
với hàm u= u(x,y) có dạng

5


 2u

 2u
 2u
u
u
a ( x, y ) 2  2b( x, y )
 c ( x, y ) 2  d ( x, y )  e( x, y )  f ( x, y )u  g ( x, y ).
x
xy
y
x
y

(1.2)
Phương trình được gọi là á tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với đạo hàm riêng
cấp cao nhất của ẩn hàm. Ví dụ phương trình á tuyến tính cấp 2 tổng quát có
dạng
 2u
 2u
 2u
a( x, y, u x , u y ) 2  2b( x, y, u x , u y )
 c ( x, y , u x , u y ) 2  d ( x, y, u x , u y )  0
xy
x
y

(1.3)
Trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có hai nét đặc thù cơ bản. Thứ
nhất là mối liên hệ trực tiếp với các bài toán vật lý, vì quá trình nghiên cứu các
bài toán vật lý và cơ học dẫn đến các bài toán phương trình đạo hàm riêng, vì
vậy người ta còn gọi phương trình đạo hàm riêng là phương trình vật lý toán.

Những nhà tiên phong trong lĩnh vực này là J.D’ Alembert (1717-1783),
L.Euler (1707-1783), D.Bernoulli (1700-1782), J.Larange (1736-1813),
P.Laplace (1749-1827), S.Poisson (1781-1840), J.Fourier (1768-1830). Thứ
hai là mối liên hệ mật thiết của phương trình đạo hàm riêng với các nghành
toán học khác như giải tích hàm, lý thuyết hàm, tôpô, đại số, giải tích phức.
1.2 Một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu
Trong mục này chúng ta giới thiệu một số phương trình đạo hàm riêng
tiêu biểu, có ứng dụng trong thực tiễn trong các nghành khoa học như: toán
học, vật lý, hoá học và khoa học trái đất …vv
1.2.1 Các phương trình đạo hàm riêng
1. Phương trình Laplace do Laplace đưa ra vào khoảng nămg 1780

6


n

u

u 

x  Rn .

 0,

xi

i 1

2. Phương trình Helmholtz được Helmholtz nghiên cứu vào năm 1860

u

 u 

3. Phương trình chuyển dịch tuyến tính
n

 (b u)

ut 

i

xi

 0.

i 1

4. Phương trình Liouville được nghiên cứu vào khoảng nămg 1851
n

ut   (bi u ) xi  0.
i 1

5. Phương trình truyền nhiệt được Fourier công bố vào năm 1810-1822.

ut  u
6. Phương trình Schrodinger (1926)

iut  u  0.
7. Phương trình truyền sóng được Alembert đưa ra năm 1752

utt  u  0.
và dạng tổng quát của nó
n

n

utt   aij u x i x j   bi u x i  0.
i 1

i 1

Trên đây là một số phương trình đạo hàm riêng dạng tuyến tính, bên cạnh đó
còn rất nhiều phương trình đạo hàm riêng khác.
1.2.2 Một số bài toán thực tế đi đến phương trình đạo hàm riêng
Trong thực tế có rất nhiều hiện tượng mà những biến đổi của nó theo thời
gian, không gian hay cả thời gian và không gian được mô tả bằng các phương
trình đạo hàm riêng, sau đây là một vài thí dụ:

7


a) Bài toán truyền nhiệt trong thanh vật chất:
Trước khi đi vào bài toán ta xét định luật truyền nhiệt của Fourier:
Luồng nhiệt q( cal/(cm 2 .s)) theo phương x (tức là nhiệt lượng khuyếch
tán qua một đơn vị diện tích của thiết diện thẳng nhỏ S trong một đơn vị
thời gian.) tỉ lệ với tốc độ biến thiên của nhiệt độ u dọc theo phương x, tức

là tỉ lệ với

u
:
x

q = -k  C

u
x

(1.4)

Dấu trừ ở vế phải có nghĩa là nhiệt truyền theo chiều giảm của nhiệt độ.
Ta xét một thanh đồng chất, dài L(cm), có thiết diện thẳng nhỏ không
đổi là S(cm 2 ), có khối lượng riêng là  ( g / cm 2 ) , có nhiệt dung là C(cal/ g .o C ).
Xét một bộ phận vật chất có thể tích là V(cm 3 ). Nếu bộ phận đó có nhiệt độ
không đổi thì thì nhiệt độ u( 0 C) và nhiệt lượng H(cal) của nó liên hệ với nhau
bởi công thức:
H = u  CV

(1.5)

Khi quan sát người ta thấy rằng nếu thanh vật chất có vùng nóng vùng
lạnh thì nhiệt lượng có khả năng khuếch tán từ vùng nóng tới vùng lạnh. Ta
gọi suất khuếch tán là k(cm 3 /s).
Bây giời ta giả sử thanh vật chất bị cách nhiệt khỏi môi trường xung
quanh, trừ tại hai đầu nút. Hãy xét diễn biến theo thời gian của phân bố nhiệt
độ trong thanh.

8


Ta tưởng tượng thanh vật chất đặt trên trục OX từ x = 0 đến x = a + L =
b (hình 1.1)

0

a

b

x

Hình 1.1.

Gọi u(x,t) là nhiệt độ của thanh tại điểm x và tại thời gian t. Sự lan
truyền nhiệt giễn ra dọc theo trục x của thanh vật chất. Nó tuân theo định luật
Fourier (đã trình bày ở trên). Do có luật bảo toàn nhiệt lượng nên có sự cân
bằng nhiệt ở mỗi phân tố nhiệt nhỏ S  x của thanh từ x đến x +  x trong thời
gian  t. Sự cân bằng này mô tả theo công thức:
Nhiệt truyền vào phân tố - Nhiệt ra khỏi phân tố = Nhiệt tích luỹ trong
phân tố.
Trong đó:
Nhiệt truyền vào phân tố là q(x,t)S  t;
Nhiệt ra khỏi phân tố là q(x+  x,t)S  t;
Nhiệt tích luỹ trong phân tố là S  x  C  u, trong đó  u là biến thiên
của nhiệt độ trong khoảng thời gian  t.
Vậy có công thức:
q(x,t)S  t - q(x+  x,t)S  t = S  x  C  u.

hay:

q(x, t) - q(x + x, t)
u
= C
x
t

Khi chuyển qua giới hạn  x  0 ,  t  0 ta có:

9


q
u
= C
x
t

Áp dụng định luật Fourier ta suy ra:
k

 2u
u
=
,
2
x
t

a < x <b, t > 0, k = const > 0.

(1.6)

Phương trình (1.6) mô tả hiện tượng trưyền nhiệt trong thanh vật chất
đồng chất gọi là phương trình truyền nhiệt của thanh, còn gọi là phương trình
truyền nhiệt một chiều.

b) Bài toán truyền nhiệt trong miền phẳng:
Nay ta thay thanh vật chất bằng một bản mỏng vật chất  . Có đường
biên là một đường cong khép kín T, đặt trong mặt phăng Oxy.

y



T

0

x
Hình 1.2.

10


Khi đó ta có phương trình truyền nhiệt trong môi trường phẳng đồng
chất:
u

 2u  2u
= k( 2  2 ), (x,y)   , t > 0, k = const
t
x
y

(1.7)

trong trường hợp tổng quát khi k phụ thuộc vào x,t,y,u ta có phương trình:

u

u
 
u 
= k1 x, y , t , u    k 2 x, y, t , u   + f(x,y,t,u), (x,y)   , t > 0
t
x 
x  y 
y 

(1.8)

hay khi k không phụ thuộc vào u ta có phương trình tuyến tính:
u

u
 
u 
= k1 x, y , t    k 2 x, y , t   - q(x,y,t)u + f(x,y,t), (x,y)   ,

t
x 
x  y 
y 

t>0

(1.9)
Vậy các phương trình (1.7), (1.8), (1.9) là các phưong trình truyền nhiệt

hai chiều.
c) Bài toán truyền nhiệt trong không gian ba chiều:
Tương tự khi ta thay bản mỏng vật chất bằng một khối vật chất V có
mặt biên khép kín là  , đặt trong không gian Oxyz. Khi đó ta có phương trình
truyền nhiệt trong môi trường không gian đồng chất là:
 2u
u
 2u  2u
= k( 2  2 + 2 ), (x,y,z)
t
z
x
y

 V, t > 0, k = const

11

(1.10)

y
T
Ω

z
x

Hình 1.3

Trong trường hợp tổng quát khi k phụ thuộc vào x, y, t, u ta có phương trình:

u
u

u
 
u 
= k1 x, y , z, t , u    k 2 x, y, z, t , u   + k 3 x, y, z, t , u   +
t
x 
x  y 
y 
z 
z 

f(x,y,z,t,u)

(x,y,z)  V, t > 0,

(1.11)

nếu k không phụ thuộc vào u ta có phương trình truyền nhiệt tuyến tính:

u
u

u
 
u 
= k1 x, y , z, t     k 2 x, y , z, t   +  k 3 x, y , z, t   t
x 
x  y 
y 
z 
z 

q(x,y,z,t)u + f(x,y,z,t)
(x,y,z)  V, t > 0,

12

(1.12)


d) Phương trình truyền nhiệt dừng:
Tại một thời điểm nào đó sự phân bố nhiệt độ trên thanh vật chất, bản
mỏng vật chất, khối vật chất đã ổn định, không còn thay đổi theo thời gian thì
ta gọi đó là hiện tượng truyền nhiệt dừng. Lúc đó nhiệt độ không thay đổi theo
thời gian nữa hay

u
= 0, và do đó ta có phương trình truyền nhiệt dừng như
t

sau:
Trong môi trường một chiều:

hay:

d 2u
 0, a < b
dx 2

(1.13)

d 
du 
k  x, u   = f( x, u ), a < x < b;

dx 
dx 

(1.14)

hay khi k không phụ thuộc vào u ta có:
d 
du 
k  x   - q( x )u = f( x ), a < x < b;


dx 
dx 

(1.15)

Trong trường hợp hai chiều:
 2u  2u
= 0, (x,y)   ,

x 2 y 2

( 1.16)

hay:
 
u   
u 
k1  x, y , u     k 2  x, y , u   = f(x,y,u), (x,y)  

x 
x  y 
y 

(1.17)

Hay với hàm tuyến tính ta có phương trình dạng:
 
u   
u 
k1  x, y    k 2  x, y   - q(x,y)u = f(x,y,u), (x,y)  


x 
x  y 
y 

13

(1.18)


Trong trường hợp ba chiều:
 2u
 2u  2u
+ 2 = 0, (x,y,z)  V

z
x 2 y 2

(1.19)

hay:
 
u   
u   
u 
k1  x, y , z , u    k 2  x, y, z , u    k 3  x, y, z , u   = f(x,y,z,u),

x 
x  y 
y  z 

z 

(x,y,z)  V
(1.20)
hay khi k không phụ thuộc vào u ta có phương trình tuyến tính:
 
u   
u   
u 
k1  x, y , z     k 2  x, y, z    k 3  x, y, z   - q(x,y,z)u = f(x,y,z,u),

x 
x  y 
y  z 
z 

(x,y,z)  V

(1.21)

Các phương trình (1.16), (1.19) được gọi là phương trình Laplace hai
chiều và ba chiều.
Khi vế phải của (1.16), (1.19) khác 0 ta có phương trình:
 2u  2u
= f(x,y), (x,y)   ,

x 2 y 2

(1.22)

 2u
 2u  2u
+
= f(x,y,z), (x,y,z)  V,

z 2
x 2 y 2

(1.23)

Người ta gọi chúng là phương trình Poisson hai chiều và ba chiều.
e) Phương trình dây rung
Xét một dây đàn bằng kim loại đồng chất , căng, thẳng, có độ dài L, cố
định hai đầu mút. Khi gẩy dây đàn tách ra khỏi vị trí cân bằng một chút rồi

14


buông ra, dây đàn sẽ rung lên và phát ra âm thanh. Để mô tả hiện tượng rung
của dây đàn ta tưởng tượng dây đàn đặt trên một trục Ox từ x = a đến x =b =
a+L, và vẽ trục Ou vuông góc với Ox để biểu diễn đọ lệch của dây đàn.

U(x,t)

U(x,o)
x

x

Hình 1.4

Gọi u( x ,t) là độ lệch vuông góc với Ox của dây tại điểm x ở thời điểm
t. Khi đó người ta chứng minh được hàm số u( x ,t) thoả mãn phương trình đạo
hàm riêng:
 2u
 2u
 c2 2 ,
t
x

a < x < b, t > 0

(1.24)

trong đó c là hằng số đặc trưng cho tính đàn hồi của dây.
Phương trình này mô tả hiện tượng rung động của dây đàn, nên được gọi
là phương trình dây rung hay phương trình truyền sóng một chiều.
1.3 Khái niệm bài toán biên
Như ta đã biết một phương trình vi phân thường có vô số nghiệm. Ta phải
thêm một số diều kiện phụ nữa thì bài toán mới có nghiệm duy nhất.

15


Một phương trình vi phân thường cấp một kèm thêm một điều kiện phụ tại
một điểm:
y '  f ( x , y ), x 0  x  X ,

y ( x0 )   .

tạo nên một bài toán hoàn chỉnh, có tên là bài toán Cauchy hay bài toán trị ban

đầu.
Một phương trình vi phân thường cấp hai kèm thêm hai điều kiện phụ
tại hai điểm khác nhau:
y ' '  f ( x, y ),

a  x  b,

y (a )   , y (b)   .

tạo nên một bài toán hoàn chỉnh có tên là bài toán biên loại một, điều kiện
y (a )   , y (b)   gọi là điều kiện biên (loại một).

Đối với phương trình đạo hàm riêng cũng tương tự. Muốn có nghiệm
duy nhất thì phương trình đạo hàm riêng phải kem theo một điều kiện phụ.
Mỗi cách cho điều kiện phụ xác định một lớp bài toán riêng biệt.
Thí dụ:
Đối với phương trình Poisson hai chiều:
 2u  2u
= f ( x, y),

x 2 y 2

( x, y )  

điều kiện phụ chô tại miền biên T của miền  .
Điều kiện phụ:
u ( x, y )  g ( x, y ),

( x, y )  T

gọi là điều kiện biên loại một hay điều kiện Dirichlet.

16

(1.25)


Bài toán tìm hàm số u = u(x,y) thoả mãn phương trình (1.21) và điều
kiện biên (1.25) gọi là bài toán biên loại một hay bài toán biên Dirichlet đối
với phương trình Poisson (1.21).
Ý nghĩa vật lý của bài toán này là:
Nó mô tả sự phân bố nhiệt độ đã ổn định trong miền phẳng  khi phân
bố nhiệt độ tại biên T đã ổn định là g ( x, y) .
Điều kiện phụ:
 u

 n   ( x, y )u  ( x , y )T  g ( x, y ) ( x , y )T

(1.26)

T là biên của  trong đó n là pháp tuyến (hướng ra) ngoài của biên T,
gọi là điều kiện biên loại ba.
Về mặt vật lý điề kiện biên này mô tả quan hệ giữa luộng nhiêtj và nhiệt
độ ở biên của bản mỏng vật chất  .
Bài toán tìm u = u(x,y) thoả mãn phương trình đạo hàm riêng (1.21) và
điều kiện biên (1.26) gọi là bài toán biên loại ba đối với phương trình Poisson.
1.4 Nội suy dữ liệu rời rạc
Trong nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật cần giải bài toán: Cho tập dữ liệu
(gồm các kết quả đo đạc và vị trí thu được những kết quả đó), yêu cầu cần một
qui tắc cho phép suy diễn thông tin từ những kết quả đã có. Vì vậy ta mong

muốn tìm một hàm đủ “tốt” phù hợp với tập dữ liệu đã có. Có nhiều cách để
quyết định thế nào là “tốt”, và một trong các tiêu chuẩn là muốn hàm xấp xỉ có
giá trị chính xác với những kết quả đo đạc được tại những vị trí đã cho. Đáp
ứng các tiêu chuẩn này gọi là bài toán nội suy. Và nếu những vị trí mà đã cho
kết quả đo đạc không nằm trên một lưới chuẩn thì tiến trình trên gọi là nội suy
dữ liệu rời rạc. Chính xác hơn ta có:

17


Bài toán 1.1 Cho tập dữ liệu (xj, yj), j=1, ...,N với xj  Rs, yj  R. Tìm một hàm
(liên tục) Pf thỏa mãn:
Pf (xj)= yj, j=1, ... ,N.

(1.27)

Ý tưởng chung để giải bài toán nội suy là tìm hàm Pf dưới dạng tổ hợp
tuyến tính của hệ hàm cơ sở Bk nk1 , nghĩa là:
N

Pf (x ) =

 C B ( x),
k

k

x R

s

(1.28)

k 1

Từ đó, thay điều kiện (1.1) dẫn đến việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính
để xác định các hệ số c k k 1 :
n

Ac  y
trong đó Ajk = Bk(xj), j,k= 1, …,N, c=[c1,…,cN]T, và y=[y1,…,yN]T.
Bài toán 1.1 sẽ được đặt đúng, nghĩa là tồn tại và duy nhất nghiệm, khi
và chỉ khi ma trận A là không suy biến.
Trong trường hợp một chiều, ta luôn xây dựng được đa thức nội suy bậc
n-1 cho n điểm nội suy phân biệt tùy ý. Tuy nhiên khi s  2, ta có kết quả phủ
định sau:
Định lý 1.1 (Mairhuber- Curtis) Nếu   R s , s  2 chứa một điểm trong thì
trong  không tồn tại không gian Haar các hàm liên tục, trừ trường hợp
không gian một chiều.
Trong đó, không gian Haar được định nghĩa:
Định nghĩa 1.1 Cho không gian hàm tuyến tính hữu hạn chiều B  C () . gọi
{B1, B2, …, Bn} là một cơ sở của B. Khi đó B được gọi là không gian Haar trên
 nếu det(A)  0 với mọi tập các điểm phân biệt {x1, x2, …, xn}   . Ở đây ma

trận A là ma trận được xây dựng bởi Aj,k = Bk(xj);j,k= 1,…,n.

18


Sự tồn tại của không gian Haar đảm bảo tính khả nghịch của ma trận

nội suy, nghĩa là tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán nội suy 1.1. Không gian
các đa thức một biến bậc n – 1 chính là không gian Haar n chiều với tập dữ
liệu (xj,yj), j= 1, …, n, xj  R, yj  R. Cơ sở chính tắc của không gian này là
{B1 =1, B2 = x, B3 = x2, …, Bn = xn-1}.
Định lý trên cho thấy, để giải quyết bài toán nội suy dữ liệu rời rạc
trong không gian nhiều chiều chúng ta không thể xây dựng trước tập các hàm
cơ sở không phụ thuộc dữ liệu. Để giải quyết vấn đề không suy biến của ma
trận A, ta cần một phương pháp khác để xây dựng hàm nội suy. Thay vì sử
dụng biểu diễn tuyến tính thông qua một hệ hàm cơ sở không phụ thuộc dữ
liệu, ta biểu diễn tuyến tính thông qua một hàm đơn phụ thuộc dữ liệu đã cho,
có tính khoảng cách, đối xứng với tâm nào đó của dữ liệu tương ứng. Phương
pháp này được đề xuất bởi R.L Hardy năm 1971 và được gọi là phương pháp
hàm cơ sở bán kính.
1.5 Ma trận và hàm xác định dương
Định nghĩa 1.2 Ma trận giá trị thực, đối xứng A được gọi là nửa xác định
dương nếu dạng toàn phương tương ứng là không âm:
n

n

 c c A
j k

jk

0

(1.29)

j 1 k 1

với c =[c1, ... , cN]T  RN. Nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi
c = (0,…,0)T thì ma trận A được gọi là xác định dương.
Tính chất quan trọng của ma trận xác định dương là nó có tất cả các giá
trị riêng đều dương và không suy biến.
n
Nếu hệ hàm cơ sở Bk k 1 trong khai triển (1.28) làm cho ma trận nội

suy xác định dương, thì bài toán nội suy được đặt đúng. Hàm xác định dương
được định nghĩa như sau:

19


Định nghĩa 1.3 Hàm liên tục  : RS  R là xác định dương khi và chỉ khi nó là
hàm chẵn và thỏa mãn:
N

N

 c c ( x
j k

j

 xk )  0

(1.30)

j 1 k 1

với mọi n điểm đôi một khác nhau x1,…, xn  RS và c = (c1,…, cn)T  Rn.
Hàm  gọi là xác định dương chặt nếu dấu bằng của (1.30) xảy ra khi
và chỉ khi c = (0, ..,0)T.
Từ định nghĩa 1.3 và tính chất của ma trận xác định dương ta thấy, có
thể sử dụng các hàm xác định dương chặt Bk =  (x - xk) làm hệ hàm cơ sở, và
khi đó ta có:
n

Pf ( x )   ck  ( x  xk )

(1.31)

k 1

Ma trận nội suy trở thành:
(1.32)

A jk  Bk ( x j )   ( x j  xk ), j , k  1,...n

Tuy nhiên giải bài toán nội suy sẽ trở nên khó khăn trong không gian
nhiều chiều. Do đó thay vì sử dụng hàm đa biến (x) (độ phức tạp sẽ tăng lên
theo số chiều), chỉ làm việc với hàm một biến  cho tất cả số chiều s.
1.6 Hàm bán kính
Định nghĩa 1.4 Một hàm Ф : Rs → R gọi là bán kính với điều kiện tại đó tồn
tại một biểu thức biến thiên hàm φ:[0,+∞)→ R thí dụ như
 (x)  φ(r),

với r = x , và  là một chuẩn nào đó trong Rs (thường dùng chuẩn
Euclidean). Hàm  tương ứng gọi là hàm cơ sở bán kính. Ta nói hàm  là xác

định dương (chặt) khi và chỉ khi hàm  là xác định dương (chặt).

20


1.7 Hàm xác định dương và đơn điệu hoàn toàn
Trong phần này trình bày kết quả quan trọng xây dựng một số hàm bán
kính thỏa mãn tính khả nghịch của ma trận nội suy tương ứng, dựa trên tính
chất của hàm đơn điệu hoàn toàn.
Định nghĩa 1.5 Hàm   C  ( R0 ) được gọi là đơn điệu hoàn toàn khi và chỉ
khi (1) l  ( l ) (t )  0
với mọi l = 0, 1, …, với mọi t.
Việc xây dựng hàm bán kính xác định dương thông qua hàm đơn điệu
hoàn toàn dựa vào kết quả sau, được đưa ra bởi Schoenberg 1938.
Định lý 1.2 Cho  : R  R là hàm liên tục đơn điệu hoàn toàn. Khi đó với mọi
tập điểm hữu hạn phân biệt từng đôi một (x1, x2, …, xn) R S , hàm bán kính
 ( x)   (r 2 ), r  x là hàm xác định dương.

Để chứng minh định lý 1.2, ta sử dụng bổ đề sau, được gọi là biểu diễn
Bernstein-Widder.

Nó

được

đưa

ra

trong

lý

thuyết

biểu

diễn

Bernstein(Widder, 1946).
Bổ đề 1.1 (biểu diễn Bernstein-Widder) Hàm  :R+  R là hàm đơn điệu hoàn
toàn khi và chỉ khi nó là biến đổi Laplace của một bộ đo Borel không giảm bị
chặn dưới  , d   0, nghĩa là


 (t )   e t d ( )

(1.33)

0

Chứng minh định lý 1.2
Với mọi c = (c1,…,cn)T  Rn xét cT Ac =

n

n

n

n

2

 c j ck A jk   c j ck ( x j  xk )
j 1 k 1

j 1 k 1

Vì  là hàm đơn điệu hoàn toàn nên theo (1.33) ta có biểu diễn:

21




2

 ( x j  xk )   e

 x j  xk

n

2

d ( ). Khi đó c

T



n

Ac   c j c k  e
j 1 k 1

0

 x j  xk

2

d ( )

0

Do tổng hữu hạn và tuyến tính của tích phân ta có:
T

 n

n

c Ac    c j ck e

 x j  xk

2

d ( )

0 j 1 k 1

Biến đổi Fourier hàm e
n

Từ đó ta có:

r

n

 c c e

2

s
2

là:  e

 x j  xk

j k

j 1 k 1

T

 n

n

Suy ra: c Ac    c j ck e

2

r2
4



s
2



(2 ) 2

 x j  x k

s
2

2

n

 c e

Rs

ix j y

j

e



y

2

4

s
2

 dy  0

j 1

2

d ( )  0 (đpcm)./.

0 j 1 k 1

Ví dụ 1.1

t
Xét hàm  (t )  e
với   0 . Ta có: (1) l  ( l ) (t )  ( ) l e t  0. Suy ra
2

hàm này là đơn điệu hoàn toàn. Do đó hàm Gaussian (GA)  (r )  e r có thể
sử dụng làm hàm cơ sở bán kính đảm bảo tính xác định dương của ma trận nội
suy.
Tương tự, hàm  (t )  (t   2 )   ,  ,   0 cũng là hàm đơn điệu hoàn toàn. Hàm
cơ sở bán kính  (r )  (r 2   2 )   ,

 ,   0 được gọi là hàm Inverse

Multiquadric (IMQ).
Theo định nghĩa hàm đơn điệu hoàn toàn, ta có  (t )  0,  ' (t )  0,... Tuy
nhiên nếu có  ' đơn điệu hoàn toàn ( ' (t )  0,  ' ' (t )  0,...) ta vẫn có thể sử dụng
được hàm  đảm bảo ma trận không suy biến.
Định lý 1.3 Cho   C  0,  là hàm thỏa mãn  ' đơn điệu hoàn toàn,
khác hằng số. Giả sử thêm rằng  (0)  0 . Khi đó ma trận nội suy không suy
biến với  ( x)   ( x )   (r 2 ) .

22


Chứng minh định lý 1.3
t
t
Viết lại hàm  (t ) dưới dạng:  (t )   (0)    ( x)dx

(1.34)

0

Vì  ' ( x) là hàm đơn điệu hoàn toàn nên theo bổ đề 1.1 ta có thể biểu diễn:


 ' ( x )   e x d ( )

(1.35)

0

t 

Thay (1.35) vào tích phân (1.34) ta được:  (t )   (0)    e x d ( )dx.
0 0

Theo định lý Fubini, đổi thứ tự lấy tích phân suy ra:
 t

 (t )   (0)    e x dxd ( ) .
0 0


Dễ thấy  e

x

1 t 1
1

1
dx   e t  . Do đó  (t )   (0)   (  e  )d ( ).




0
n

Xét dạng toàn phương c

T

n

2

Ac   c j ck ( x j  xk ) với điều kiện
j 1 k 1

n

c

j

 0 , ta có :

j 1

n

n







0

1


cT Ac   c j ck   (0)   ( e
j 1 k 1

n

(Các thành phần

2

 x j  xk 

1


 n

n

 n
n

1 
)d ( )      c j ck e

0 j 1 k 1


n

 c j ck (0)    c j ck
j 1 k 1

0 j 1 k 1

x j  xk

1
d ( )  0 do điều kiện


2

d ( )
n

c

j 0

)

j 1

n

Vậy ta có: cT Ac  0c :  c j  0, c  0.
j 1

Điều này chứng tỏ ma trận A phải có n-1 giá trị riêng âm và một giá trị
riêng không âm.

23


Thật vậy, giả sử ma trận A có ít nhất 2 giá trị riêng không âm là 1 , 2 .
Gọi hai véc tơ riêng tương ứng, trực giao là d1, d2 .(điều này có được do ma
trận A đối xứng). Đặt c = ad1+ bd2  0. Ta có: 0 > cT Ac  a 21  b 2 2  0 . (Mâu
thuẫn). Vậy A có một giá trị riêng không âm.
Do giả thiết  (0)  0 nên Tr ( A)  n. (0)  0. Mặt khác, vết của ma trận A
là tổng của các véc tơ riêng. Nếu véc tơ riêng không âm trên bằng 0 thì mâu
thuẫn. Vậy nên véc tơ riêng không âm nói trên phải là dương.
Từ các lập luận trên suy ra det A là tích các giá trị riêng khác không nên
nó khác không.(đpcm)./
Qua chứng minh định lý 3.3, ta thấy nếu  ' đơn điệu hoàn toàn và thêm
n

điều kiện

c

2

T

j

 0 thì c Ac < 0 với ma trận A  ( ( x j  xk )) ma trận A xác

j 1

định có điều kiện.
Trong trường hợp tổng quát, nếu với giả thiết yếu hơn về tính đơn điệu
hoàn toàn của  , nghĩa là  ( k ) , k  1 là hàm đơn điệu hoàn toàn thì cần các điều
kiện nào để sử dụng được  (theo nghĩa ma trạn nội suy tương ứng không suy
biến)?. Vấn đề này đã được Micchelli (1986) nghiên cứu và đưa ra những kết
quả quan trọng về hàm xác định dương có điều kiện.
1.8 Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dương có điều kiện
Định nghĩa 1.6 Hàm  : R s  R được gọi là xác định dương có điều kiện bậc
N

m nếu

N

 c c ( x

j k

j

 x k )  0 c  R n thỏa mãn:

j 1 k 1
n

c

j

p( x j )  0, p  Psm1 (đa thức thuộc không gian các đa thức s biến có bậc

j 1

 m-1). Nếu đẳng thức chỉ xảy ra với c=0 thì  gọi là xác định dương chặt có

điều kiện.

24


Điều quan trọng là có thể sử dụng hàm xác định dương có điều kiện bậc
m để nội suy nếu ta cộng vào biểu thức (1.31) một đa thức đa biến bậc (m-1)
triệt tiêu trên tập dữ liệu đã cho. Cụ thể, hàm nội suy với độ chính xác đa thức
được cho dưới dạng:
n


P
(
x
)

c j  ( x  x j )  p( x)

f

j 1

n
  c j x j  0,
 m

j 1

(1.36)

s

với các ký hiệu đa chỉ số:   N 0S ,

   i , và

x   x11 .x2 2 ...x s s .

i 1

Khi thay điều kiện nội suy ta được hệ phương trình Ac = y. Để xác định

n

hệ số của p(x) ta sử dụng các điều kiện

 c x  0,
j

j

 m

(1.37)

j 1

Ví dụ 1.2
Xây dựng hàm nội suy trong không gian 2 chiều với tập dữ liệu cho
trước

 ( x j , y j ), f ( x j , y j ) nj1 , sử dụng hàm xác định dương có điều kiện bậc 2

ta được:
n

Pf ( x, y )   c j (( x, y )  ( x j , y j ))  p ( x, y )

(1.38)

j 1

trong đó p( x, y) là đa thức hai biến bậc 1 triệt tiêu tại các điểm nội suy.
p ( x, y)  a1  a2 x  a3 y

(1.39)

Cho (1.38) thỏa mãn điều kiện nội suy được hệ:

 c (( x , y
j

k

k

)  ( x j , y j ))  f ( xk , y k );

k  1,2,..., n

Để xác định các hệ số a1, a2, a3 sử dụng (1.37), được thêm ba điều kiện
sau:

25