truong so phuc

Xây dựng trường số phức C
Xây dựng trường số phức C

Xét R
2
= { (a,b) | a, b R} với 2 phép toán + và
x được định nghĩa như sau:
(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
(a,b) (c,d) = (ac-bd, ad +bc)
Chứng minh (R
2
, +, .)-Trường.
1. (R
2
, +) - Nhóm Aben.
2. (R
2
\{(0,0)} , .) - Nhóm nhân giao hoán có đơn vị.
3. Phép nhân phân phối với phép cộng:



(R
(R
2
2
, +) - Nhãm Aben.
, +) - Nhãm Aben.
ThËt vËy: ∀ (a,b) ; (c,d) ; (e,f) ∈ R
2

ta cã:
(a,b) + ((c,d)+(e,f)) = (a+c)+(c+e, d+f)
= (a+(c+e), b+(d+f))= ((a+c)+e, (b+d)+f)
=((a, b)+(c, d)) +(e+f)
(a,b) + (c,d) =(a+c, b+d)=(c+a, d+b)= (c, d) + (a, b)
(0, 0) ∈ R
2
ta cã (0, 0) + (a, b) = (0+a, 0+b)= (a, b)
=> (0, 0) phÇn tö trung lËp.
Víi mçi (a, b) ∈ R
2
ta cã (-a, -b) ∈ R
2

(a, b) +(-a, - b) = (a - a, b - b) = (0, 0)
=> (-a, -b) phÇn tö ®èi cña (a, b).



(R
(R
2
2
\{(0,0)} , .) - Nhãm nh©n cã ®¬n vÞ.
\{(0,0)} , .) - Nhãm nh©n cã ®¬n vÞ.
ThËt vËy: ∀ (a,b) ; (c,d) ; (e,f) ∈ R
2
ta cã:
(a,b) ((c,d) (e,f)) = (a+b)(ce - df, cf + de)
= (a(ce - df) - b(cf + de), a(cf + de) + b(ce - df))

= (ace - adf - bcf + bde, acf + ade + bce - bdf)
= ((ac - bd)e -(ad + bc)f, (ac - bd)f + (ad + bc)e)
= (ac - bd, ad + bc) (e, f) = ((a, b) (c, d)) (e, f).
(a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
= (ca - db, da + cb) = (c, d)(a, b).


Phần tử đơn vị và phần tử đối
Phần tử đơn vị và phần tử đối
(1, 0) R
2
ta có (1, 0) (a, b) = (1a - 0 b, 1b + 0 a)= (a, b)
=> (1, 0) phần tử đơn vị.
Với mỗi (a, b) R
2
, (a, b) # (0, 0) ta có (a', b') R
2
và
(a, b) (a', b') = (aa'-bb', ab' + a'b) = (1, 0)
=> aa' - bb' =1 (1) và ab' + a'b =0 (2)
a # 0 từ (2) => b' = - a'b/b thay vào (1)
ta được a' = a/(a
2
+b
2
) và b' = -b/ (a
2
+b
2

)
=> (a/(a
2
+b
2
), -b/(a
2
+b
2
) là phần tử đối của (a, b).


PhÐp nh©n ph©n phèi víi phÐp céng
PhÐp nh©n ph©n phèi víi phÐp céng


(a,b) ((c,d) + (e,f)) = (a,b) ((c + e), (d + f))
= (a(c+e)-b(d+f), a(d+f)+b(c+e)
=(ac+ae-bd-bf, ad+af +bc+be)
= (ac -bd +ae -bf), ad+be+ af +bc)
=(ac -bd, ad +bc) + (ae-bf, af+be)
=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)

(R
(R
2
2
, +, .) lµ 1 tr­êng
, +, .) lµ 1 tr­êng

  Ta thÊy: (a,b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1)
ký hiÖu (a, 0) = a ; (b, 0)=b ; (0,1)=i
=>(a,b) = a + bi vµ ta cã
(a,b)+(c,d)=(a+bi)+(c+di)=(a+c) + (b+d)i
(0,1)(0,1) =(0-1, 0-0) = (-1,0) =i
2
(a,b)(c,d)=(a+bi)(c+di)=(ac-bd) + (ad+bc)i
Ta ký hiÖu tr­êng R
2
= C vµ gäi tr­êng sè phøc.

C trường số phức
C trường số phức


z = a + bi C là 1số phức ; a phần thực, b phần ảo của số phức.
Một số phức phần thực bằng 0, phần ảo # 0 gọi là số phức thuần
ảo.
Cộng 2 số phức: cộng phần thức với nhau và cộng phần ảo với nhau.
Nhân 2 số phức ta nhân bình thường và thay i
2
= -1.
2 số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thức bằng nhau và phần ảo
bằng nhau.
Với a R => a = a + 0i C => R C Trường số thực là trường
con của trường số phức.
Trong C phương trình x
2
+ 1 = 0 có 2 nghiệm +i và - i ;

C = R
2
trường số phức lấp đầy mặt phẳng.

Biểu diễn hình học của số phức
Biểu diễn hình học của số phức
Trong mp lấy hệ toạ độ Đề các xOy, mỗi véc tơ cho
ta một cặp (a,b) gọi là toạ độ của
Gọi E ={ } ta có song ánh
OM
uuuur
OM
uuuur
OM
uuuur
:
OM ( )
f E C
f OM a bi

= +
uuuur uuuuur
a
,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
OM a bi OP c di
f OM OP a c b d i

a bi c di f OM f OP
f OM OP a c b d i
a bi c di f OM f OP
= + = +
+ = + + +
= + + + = +
= +
= + + =
uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuur

BiÓu diÔn h×nh häc cña sè phøc
BiÓu diÔn h×nh häc cña sè phøc
.
VËy tæng, hiÖu 2 vÐc t¬ z, w lµ tæng, hiÖu 2 sè phøc
,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
OM a bi OP c di
f OM OP a c b d i
a bi c di f OM f OP
f OM OP a c b d i
a bi c di f OM f OP
= + = +
+ = + + +

= + + + = +
− = − + −
= + − + = −
uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuur
Z-w
z+w
-w
O
w
z
x
y

Mô-đun và acgumen của số phức
Mô-đun và acgumen của số phức
Cho số phức z=a+bi, trên mp
trong hệ trục toạ độ Đề các,
z xác định bởi độ dài r và
góc giữa véc tơ z và chiều
dương trục hoành.
.
2 2
,
r a b
a rCos b rSin

= +

= =


( sin )z a bi r cos i

= + = +
Ta có dạng biểu diễn lượng
giác của số phức
r > 0 gọi là mô-đun
kí hiệu |z|=r
Góc sai khác 2k gọi là
acgumen của số phức
kí hiệu = argz
y
x
b
r
O
a
z

( sin ) '( ' sin ')
', ' 2 , k Z
r cos i r cos i
r r k

+ = +
= = +