kiểm định jarque bera

1
KIỂM ĐỊNH CỦA PHÂN PHỐI CHUẨN JARQUE - BERA
Bài toán trị số p cho kiểm chứng giả thuyết thường được dựa trên giả thiết phân bố chuẩn.
Do đó, phép thử kiểm định của giả thiết phân phối chuẩn tắc có thể hữu ích để kiểm tra. Nhiều
kiểm định của phân phối chuẩn đã được phát triển bởi những nhà thống kê khác nhau.
Chúng tôi xin được đề cập đến phép thử Jarque - Bera.
Xét hai thống kê mới là: hệ số bất đối xứng và độ nhọn.
* Hệ số bất đối xứng được định nghĩa là:
S=

1
n

n
i=1 (Xi −
(˜
σ 2 )3/2

¯ 3
X)

với

σ
˜2 =

1
n

n
i=1 (Xi

¯ 2.
− X)

Hệ số bất đối xứng còn được tính theo công thức:
γ1 =

µ3
σ3

Ở đây: µ3 là mômen trung tâm mẫu bậc 3 và σ là độ lệch chuẩn.

Hình 1: Đồ thị biểu diễn hệ số bất đối xứng
Hệ số bất đối xứng là một đại lượng đo lường mức độ đối xứng của những quan sát về trung
bình. Với phân phối chuẩn, giá trị của hệ số bất đối xứng bằng 0.
- Phân phối lệch về bên phải là bất đối xứng dương. Khi đó, số mode nhỏ hơn số trung vị và
số trung vị lại nhỏ hơn số trung bình.
- Phân phối lệch về bên trái là bất đối xứng âm. Khi đó, số trung bình nhỏ hơn số trung vị
và số trung vị nhỏ hơn số mod.
- Nếu hệ số này bằng 0, thì phân phối là cân xứng. Khi đó, các số trung bình, trung vị và
mod bằng nhau.
* Độ nhọn mẫu được định nghĩa là:
1
K=
n

n
i=1 (Xi −
(˜
σ 2 )2

¯ 4
X)

.


2
Độ nhọn mẫu còn được tính theo công thức: γ2 =

µ4
σ4

Ở đây: µ4 là mômen trung tâm mẫu bậc 4 và σ là độ lệch chuẩn.
Độ nhọn là một đại lượng thống kê mô tả mức độ tập trung của phân phối xác suất của một
biến ngẫu nhiên, cụ thể là mức độ tập trung của các quan sát quanh trung tâm của phân phối
trong mối quan hệ với hai đuôi.
Nói cách khác, độ nhọn đo lường mức độ nhọn hay bẹt của phân phối so với phân phối chuẩn.
Với phân phối chuẩn thì độ nhọn có giá trị bằng 3. Công thức độ nhọn thặng dư còn được
viết lại với dạng đã trừ đi 3.
Độ nhọn thặng dư được định nghĩa là:
EK = K – 3.
Do đó, phân phối chuẩn có giá trị độ nhọn thặng dư bằng 0.
Phân phối có đuôi dày là phân phối logistic với hàm mật độ xác suất:
√
3
exp(−x/b)
f (x) =
với b =
.

2
b[1 + exp(−x/b)]
π
Phân phối này có trung bình 0, phương sai 1, hệ số bất đối xứng bằng 0 và hệ số của độ nhọn
bằng 4,2.
Ta thấy độ nhọn của phân phối này lớn hơn 3. Như vậy, độ nhọn thặng dư là dương và được
gọi là độ nhọn vượt chuẩn.
- Khi độ nhọn bằng 3, phân phối tập trung ở mức độ bình thường.
- Khi độ nhọn lớn hơn 3, phân phối tập trung hơn mức bình thường; đỉnh của đồ thị hình
chuông của phân phối cao và nhọn trong khi 2 đuôi ngắn hơn.
- Khi độ nhọn nhỏ hơn 3, phân phối tập trung kém mức bình thường; đỉnh của đồ thị hình
chuông của phân phối thấp và tù hơn với 2 đuôi dài hơn.
Biểu đồ bên dưới so sánh dạng của hàm mật độ xác suất cho phân phối chuẩn tắc (trung bình
0 và phương sai 1) và phân phối dày đuôi cũng có trung bình 0 và phương sai 1.


3

Hình 2: Đồ thị so sánh dạng của hàm mật độ xác suất cho phân phối chuẩn tắc và phân phối dày
đuôi
Lưu ý:
Công thức tính toán hiệu chỉnh cho hệ số bất đối xứng là:
g1 =

n
.
(n − 1)(n − 2)

n
i=1 (Xi −

3
(s2 ) 2

¯ 3
X)

.

Công thức tính toán hiệu chỉnh cho độ nhọn thặng dư là:

g2 =

n(n + 1)
.
(n − 1)(n − 2)(n − 3)

n
i=1

¯
Xi − X
s

4

−

3(n − 1)2
.
(n − 2)(n − 3)

Kiểm định Jarque – Bera cho phân phối chuẩn tắc được phát biểu như sau:
Xét kiểm định giả thiết:
H0 : phân phối chuẩn, hệ số bất đối xứng và độ nhọn thặng dư bằng không;
H1 : không là phân phối chuẩn.
S 2 (EK)2
+
.
6
24
Giả thuyết không của phân phối chuẩn tắc bị bác bỏ nếu tính toán của thống kê kiểm định lớn
hơn giá trị tới hạn lấy từ phân phối χ(2 2) .
Giá trị tới hạn có thể tra từ Bảng Phụ lục cho phân phối khi bình phương χ2 như sau:
Thống kê kiểm định Jarque - Bera là: JB = n.

Mức ý nghĩa α
0.10
0.05
0.01

Giá trị tới hạn
4.61
5.99
9.21


4
Bảng tiêu chuẩn kiểm định này dùng cho mẫu lớn, với mẫu nhỏ có thể được xem là gần đúng.
Ví dụ: Tập hợp dữ liệu thị trường chứng khoán có ghi lại số phần trăm hàng ngày đã quan sát
được vào năm 1997 của hai công ty vàng Barrick và ngân hàng New York.

Mẫu quan sát được có: n = 253 ngày giao dịch.
Đối với mỗi công ty, vấn đề đặt ra là làm phép thử kiểm định cho phân phối chuẩn của những
quan sát ghi lại hàng ngày. Những thống kê khác nhau được cho trong bảng dưới đây:
Thống kê mẫu nhỏ

Hệ số bất đối xứng g1
Độ nhọn dư g2

Barrick Gold
0.01
1.38

Bank of NY
- 0.14
0.41

Barrick Gold
0.01
1.33

Bank of NY
- 0.14
0.38

Thống kê mẫu lớn

Hệ số bất đối xứng S
Độ nhọn dư EK

Kiểm định Jarque - Bera cho phân phối chuẩn với thống kê mẫu lớn

Thống kê kiểm định JB
Trị số p

Barrick Gold
18.73
< 0.0005

Bank of NY
2.31
0.315

Cả hai loại mẫu nhỏ và mẫu lớn của hệ số bất đối xứng và độ nhọn dư của thống kê được
trình bày để nhấn mạnh đến phương pháp luận.
Với công ty vàng Barrick, thống kê kiểm định Jarque - Bera là 18.73 lớn hơn giá trị tới hạn với
bất kỳ mức ý nghĩa hợp lý để dẫn đến kết luận được ghi lại hàng ngày không theo phân phối chuẩn.
Từ đó, độ nhọn thặng dư của thống kê lớn hơn 0, cho thấy những gì ghi lại hàng ngày theo
phân phối miêu tả độ nhọn vượt chuẩn.
Những nhà nghiên cứu đã gợi ý rằng độ nhọn vượt chuẩn phát sinh từ mô hình không ổn định
trong thị trường tài chính, trong đó những giai đoạn của sự không ổn định cao được tiếp nối bởi
những giai đoạn của ổn định tương đối.
Với ngân hàng New York, tính toán trị số p cho thống kê kiểm định Jarque - Bera được minh
hoạ trong biểu đồ bên dưới.
Rõ ràng, trị số p lớn hơn bất kỳ mức ý nghĩa thường nào (chẳng hạn: α = 0.10, 0.05 hoặc
0.01) để thấy rằng không có bằng chứng nào để gạt bỏ giả thuyết không của phân phối chuẩn cho


5
những quan sát hàng ngày của ngân hàng New York.

Hình 3: Hàm mật độ xác suất của phân phối χ2 với 2 bậc tự do