SKKN Kỹ thuật sử dụng MTCT trong định hướng tìm lời giải cho các bài toán PT, HPT và BPT

Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”

MỤC LỤC
MỤC LỤC............................................................................................................1
A. ĐẶT VẤN ĐỀ.................................................................................................1
B. NỘI DUNG......................................................................................................3
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN...........................................................................................3
II. THỰC TRẠNG............................................................................................3
C. PHẦN KẾT LUẬN........................................................................................60
Quỳnh Lưu , tháng 4 năm 2016.........................................................................61
Tác giả................................................................................................................61
Ngô Quang Vân.................................................................................................61
TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................62
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Hệ phương trình, phương trình và bất phương trình luôn xuất hiện trong
các đề thi tuyển sinh đại học - cao đẳng; đặc biệt dạng toán này luôn có mặt
trong cấu trúc đề thi với tư cách là câu hỏi khó, là bài tập quyết định điểm số
nhằm mục đích phân loại mức độ hiểu biết và trình độ của đối tượng dự thi.
Tầm quan trọng không thế thiếu của hệ phương trình, phương trình và bất
phương trình khiến dạng toán này luôn là mối quan tâm lớn.
Xung quanh việc giải các bài toán hệ phương trình, phương trình và bất
phương trình, từ trước tới nay đã có rất nhiều phương pháp hay, đồng thời có
nhiều hình thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo. Tuy nhiên, để hệ phương trình,
phương trình và bất phương trình ngày càng hấp dẫn và xích lại gần hơn với
chúng ta, càng cần hơn nữa những phát hiện quan trọng giúp việc giải toán hệ
phương trình, phương trình và bất phương trình trở nên dễ dàng, đơn giản hơn.
GV: Ngô Quang Vân

1

Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
Trong các năm học qua Bộ giáo dục đã có chủ trương đưa máy tính Casio
vào hỗ trợ cho việc dạy và học trong chương trình THPT. Nhìn chung đa số học
sinh chỉ sử dụng máy tính ở việc thực hiện các phép tính đơn giản, cũng có học
sinh biết sử dụng máy tính để giải ra nghiệm của phương trình. Nhưng chỉ dừng
lại ở mức độ đó mà chưa ứng dụng máy tính cầm tay ở một mức độ cao hơn như
định hướng tìm lời giải cho các bài toán, tư duy toán học dựa trên công cụ máy
tính cầm tay.
Trong hệ thống các bài tập hệ phương trình, phương trình và bất phương
trình có những bài chúng ta có thể nhận dạng ngay được và tìm ra cách giải rất
nhanh. Đó là những bài có dạng đơn giản, áp dụng nhanh các phương pháp giải
cổ điển và thông dụng . Song cũng có nhiều bài toán mà bề ngoài của nó khó
nhận dạng, cấu trúc phức tạp khiến người đọc không thể một lúc mà tìm thấy
được phương pháp áp dụng phù hợp.
Với mong muốn góp phần đơn giản hóa việc giải các bài tập hệ phương
trình, phương trình và bất phương trình khó, làm phong phú thêm hệ thống các
phương pháp giải dạng toán này. Nhận thức được thực tế đó, tác giả mạnh dạn
đề xuất chuyên đề nghiên cứu “Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định
hướng tìm lời giải các bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương
trình” làm đề tài cho sáng kiến kinh nghiệm này.

GV: Ngô Quang Vân

2

Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
B. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Hiện nay, trong toán học nói chung, các tài liệu tham khảo toán học hoặc
trong giảng dạy toán ở các trường phổ thông nói riêng, đối với bài toán hệ
phương trình, phương trình và bất phương trình thường có các phương pháp giải
phổ biến sau đây: phương pháp biến đổi tương đương - hệ quả, phương pháp đặt
ẩn phụ, phương pháp liên hợp, phương pháp đánh giá và phương pháp hàm số.
Với trình độ lý luận ngày càng cao, do đó hệ thống các bài toán nêu ra cũng bắt
buộc phải đổi mới theo hướng này. Sự đổi mới đó cũng yêu cầu người học tư
duy nhiều hơn, tìm tòi nhiều hơn để “phá tan” được lớp bảo vệ và đưa bài toán
về đúng bản chất của nó. Đối với giáo viên phổ thông, vấn đề giúp học sinh có
được kỹ năng này là rất quan trọng và then chốt, đặc biệt đối với những học
sinh khá và giỏi.
Qua nhiều năm giảng dạy; cùng sự tìm tòi, nghiên cứu của bản thân; học
hỏi các giáo viên, giảng viên có kinh nghiệm lâu năm, tác giả đã đúc kết vấn đề
trên thành một số kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong việc định hướng tìm
lời giải các bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình.
Tổng quan lý luận về kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong việc định
hướng tìm lời giải các bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương
trình: Dựa vào chức năng giải phương trình của máy tính cầm tay CASIO fx570ES PLUS ta tìm được các nghiệm của phương trình đã cho hoặc tìm được
mối liên hệ giữa các ẩn trong hệ phương trình từ đó định hướng tìm lời giải cho
bài toán đó. Cũng có thể máy tính cầm tay CASIO fx-570ES PLUS không giải
được hoặc cho kết quả không thuận lợi, điều đó cũng giúp chúng ta có cơ sở để

định hướng tìm lời giải khác cho bài toán.
II. THỰC TRẠNG
Trong giảng dạy ở trường phổ thông hiện nay, đặc biệt trong day ôn thi
GV: Ngô Quang Vân

3

Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
đại học, các bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình là một
vấn đề khó tiếp cận với học sinh và giáo viên. Cái khó ở đây thể hiện có nhiều
phương pháp giải hệ phương trình, phương trình và bất phương trình nhưng lại
khó vận dụng để áp dụng cụ thể cho từng bài toán đó. Mỗi bài toán đưa ra đều
được che đậy bởi một lớp phủ bên ngoài bản chất của bài toán. Đồng thời các
phương pháp giải hệ phương trình, phương trình và bất phương trình không thể
sử dụng được trực tiếp mà phải thông qua một số định hướng nhất định. Nói cụ
thể hơn, từ việc giải phương trình bằng máy tính cầm tay CASIO fx-570ES
PLUS, định hướng để lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Đây chính là điểm
yếu mà học sinh và giáo viên phổ thông cần có thêm sự hộ trợ để giải quyết các
bài toán loại này.
III. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Trước hết cần phải khẳng định, đây là dạng toán thường xuyên xuất hiện
trong đề thi cao đẳng - đại học khối A, B, D; đề thi THPT QG. Dạng toán này
có mặt cũng nhằm mục đích phân loại học sinh khá, giỏi để tìm kiếm và đào tạo
chuyên môn mũi nhọn.
Đối với bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình có

nhiều phương pháp giải nhưng trong giai đoạn hiện nay, để giải các bài toán
bằng các những phương pháp này, đòi hỏi các đối tượng học cần đào sâu nghiên
cứu, để đưa bài toán đa màu sắc về một dạng toán cụ thể, từ đó người học có thể
áp dụng dễ dàng khi gặp những bài toán loại này.
Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay là kỹ thuật đưa bài toán ban đầu về
các bài toán dễ nhìn thấy phương pháp giải thông thường, tạo khả năng liên kết
các bài toán có cùng dạng nhưng đã được phủ bởi một số phép đổi biến.
Với gần mười sáu năm giảng dạy cùng sự học hỏi, rèn luyện, tự nghiên
cứu, bản thân tác giả đã đúc kết một số vấn đề có tính liên kết phương pháp giải
hệ phương trình, phương trình và bất phương trình bằng việc định hướng nhờ
GV: Ngô Quang Vân

4

Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
máy tính cầm tay. Sau đây là một số kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong
định hướng tìm lời giải cho các bài toán hệ phương trình, phương trình và bất
phương trình:
1. Cách sử dụng máy tính cầm tay
1.1. Cách nhập ẩn vào máy tính cầm tay CASIO fx-570ES PLUS
x : ALPHA → )
y : ALPHA → S ↔ D
x 2 : ALPHA → ) → x 2
y 2 : ALPHA → S ↔ D → x 2
x3 : ALPHA → ) → SHIFT → x 2

y3 : ALPHA → S ↔ D → SHIFT → x 2
x n : ALPHA → ) → x

→n

y n : ALPHA → S ↔ D → x

→n

:
3

: SHIFT →

n

: SHIFT → x

→n

= : ALPHA → CALC
1.2. Cách giải phương trình bằng máy tính cầm tay CASIO fx-570ES PLUS
SHIFT → CALC . Trên màn hình máy tính xuất hiện Solve for X ta bấm

tiếp = lúc đó máy tính sẽ tiến hành giải và cho kết quả.
2. Vận dụng vào định hướng tìm lời giải bài toán
2.1. Hệ phương trình
Đối với hệ phương trình, các phương trình trong hệ thường được che đậy
GV: Ngô Quang Vân

5

Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
bởi một số phép biến đổi hoặc mối liên hệ giữa các ẩn hay sự kết hợp các
phương trình. Để “phá tan” được lớp che đậy đó ta cần có sự hộ trợ của máy
tính cầm tay CASIO fx-570ES PLUS . Sau đây tôi muốn thông qua hệ thống các
bài toán cụ thể hình thành cho học sinh cách định hướng tìm lời giải bài toán
nhờ các kỹ thuật phân tích đa thức hai biến thành nhân tử, kỹ thuật dự đoán mối
liên hệ giữa các ẩn và kỹ thuật kết hợp các phương trình trong hệ bằng máy tính
cầm tay CASIO fx-570ES PLUS .
2.1.1. Hệ có chứa phương trình đa thức hai biến
 x3 − y 3 + 3 y 2 + x − 4 y + 2 = 0 (1)

Bài 1. Giải hệ phương trình  3
 x + x − 3 = 2 x + 2 + y (2)


Định hướng cách giải
Từ (1) dùng máy tính cầm tay (MTCT) thực hiên như sau
Bậc của x và y bằng nhau
Cho x = 1000 ta được C = - y3 + 3y2 - 4y + 1000001002
Nhập phương trình - y3 + 3y2 - 4y + 1000001002 = 0 vào MTCT và
giải, ta được kết quả y = 1001
Khi đó thực hiện việc chia đa thức đưa C về dạng
C = (y - 1001)(- y2 - 998y - 999002)

Cho 1001 = x + 1, 998 = x - 2 và 999002 = (x - 1)x + 2 ta được
C = ( x +1-y)(y2 + xy - 2y + x2 - x + 2)
Giải
Điều kiện x ≥ −2
Ta có (1) ⇔ ( x +1-y)(y2 + xy - 2y + x2 - x + 2) = 0
 y = x + 1 (3)

⇔

 y 2 + ( x − 2) y + x 2 − x + 2 = 0 (4)


• (4) vô nghiệm vì ∆y < 0
GV: Ngô Quang Vân

6

Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
• Thay (3) vào (2) ta được x3 − 4 = 2 x + 2 (5) (nhập vào MTCT ta giải được
một nghiệm x = 2)
3
Khi đó (5) ⇔ x − 8 = 2

(

x+2 −2

(

)

⇔ ( x − 2 ) x2 + 2 x + 4 =


⇔ ( x − 2)  x2 + 2 x + 4 −


)
2 ( x − 2)
x+2 +2

2
÷= 0
x+2+2

+/ x = 2 ⇒ y = 3 (thoả mãn)
2
+/ x + 2 x + 4 −

2
2
= 0 ⇔ x2 + 2 x + 4 =
.
x+2 +2
x+2 +2

2
≤ 1. Do đó trường hợp này vô
x+2 +2

Ta có x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 ≥ 3 và

nghiệm. Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x;y) là (2;3).
 2 y 3 + ( 4 − x ) y 2 = x 2 + 2 x − 4 y (1)

Bài 2. Giải hệ phương trình 
2
3 x − 1 + 3 3x − 2 y + 4 = ( x + 1) + x − 10 y + 8 (2)


(

)

Định hướng cách giải
Từ (1) dùng máy tính cầm tay (MTCT) thực hiên như sau
Bậc của x nhỏ hơn y
Cho x = 1000 ta được C = 2y3 – 996y2 + 4y - 1002000
Nhập phương trình 2y3 – 996y2 + 4y - 1002000 = 0 vào MTCT và giải,
ta được kết quả y = 500
Khi đó thực hiện việc chia đa thức đưa C về dạng
C = (y - 500)(2y2 + 4y + 2004)
Cho 500 =

(

x
x

2
và 2004 = 2x +4 ta được C =  y − ÷ 2 y + 4 y + 2 x + 4
2
2


)

Giải
Điều kiện x ≥ 1
GV: Ngô Quang Vân

7

Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”

(

)

x


2
Ta có (1) ⇔  y − ÷ 2 y + 4 y + 2 x + 4 = 0
2




x

 y − 2 = 0 (3)
⇔
 2 y 2 + 4 y + 2 x + 4 = 0 (4)

(4) vô nghiệm vì vế trái luôn dương.
(3) ⇔ x = 2y thay vào (2) ta được 3

(

)

x −1 + 3 2 x + 4 = x 2 − 2 x + 9 (5)

(Dùng MTCT ta nhẩm được một nghiệm x = 2).


3
6

+
− x ÷÷ = 0

Khi đó (5) ⇔ ( x − 2) 
 x −1 + 1 3 ( 2 x + 4 ) 2 + 23 2 x + 4 + 4
÷


 x − 2 = 0 (6)

3
6
⇔
+
− x = 0 (7)

2
x
−
1
+
1
3
3

( 2 x + 4) + 2 2 x + 4 + 4

(6) ⇔ x = 2
Giải (7)
Xét 1 ≤ x < 2 ta có
⇒

3

3
6
1
> ,
>
x −1 + 1 2 3 ( 2 x + 4 ) 2 + 2 3 2 x + 4 + 4 2

3
6
+
>2
x −1 + 1 3 ( 2 x + 4 ) 2 + 2 3 2 x + 4 + 4

nên vế trái (7) luôn dương suy ra (7) vô nghiệm
Xét x > 2 ta có
⇒

3
3
6
1
< ,
<
x −1 + 1 2 3 ( 2 x + 4) 2 + 23 2 x + 4 + 4 2

3
6
+
<2
x −1 + 1 3 ( 2 x + 4 ) 2 + 2 3 2 x + 4 + 4

nên vế trái (7) luôn âm suy ra (7) vô nghiệm.
Xét x = 2 thỏa mãn (7) suy ra x = 2 là một nghiệm của (7)
GV: Ngô Quang Vân

8

Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
Vây hệ phương trình đã cho có một nghiện (x;y) là (2;1).
 x − 1 + y + 1 = 4 (1)

Bài 3. Giải hệ phương trình 
 x 4 + ( y + 1)2 = x3 ( y + 2 ) + xy + 1 (2)


Định hướng cách giải
Từ (2) dùng máy tính cầm tay (MTCT) thực hiên như sau
Bậc của x lớn hơn y
Cho y = 1000 ta được C = x4 - 1002x3 - 1000x + 1002000
Nhập phương trình x4 - 1002x3 - 1000x + 1002000 = 0 vào MTCT và
giải, ta được kết quả x = 1002
Khi đó C = (x - 1002)(x3 - 1000)
Cho 1002 = y + 2 và 1000 = y ta được C = ( x - 2 - y)(x3 - y)
Giải
Điều kiện x ≥ 1, y ≥ −1

y = x−2

Ta có (2) ⇔ ( x - 2 - y)(x3 - y) = 0 ⇔ 

 y = x

Với y = x - 2 thay vào (1), ta được: (1) ⇔

3

x-1 +

x-1 = 4 ⇔

x-1 = 2

⇔ x=5⇒y=3
Với y = x thay vào (1), ta được: (1) ⇔

x-1 +

⇔

x3 +1 = 4

x-1 - 1 +

x3 +1 - 3 = 0

⇔ + =0

⇔ (x - 2) + = 0
⇔ x = 2 hay + = 0 (vô nghiệm)
Do đó x = 2 ⇒ y = 8.
Vậy nghiệm (x;y) của hệ đã cho là (2;8), (5;3).

GV: Ngô Quang Vân

9

Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
 3
3
2
 y + y = x + 3x + 4 x + 2 (1)
Bài 4. Giải hệ phương trình: 
 2 3 3 y − 5 + 3 6 − 5 x − 8 = 0 (2)


Định hướng cách giải
Từ (1) dùng máy tính cầm tay (MTCT) thực hiên như sau
Bậc của x nhỏ hơn y
Cho y = 1000 ta được C = x3 + 3x2 + 4x - 1000000998
Nhập phương trình x3 + 3x2 + 4x - 1000000998 = 0 vào MTCT và
giải, ta được kết quả x = 999
Khi đó C = (x - 999)(x2 + 1002x + 1001002)

Cho 999 = y - 1, 1002 = y + 2 và 1001002 = y2 + y + 2 ta được
C = (x – y + 1)(x2 + xy + 2x + y2 + y + 2)
Giải
Điều kiện x ≤

6
5

Ta có (1) ⇔ (x – y + 1)(x2 + xy + 2x + y2 + y + 2) = 0
 y = x + 1 (3)
⇔
 2
2
 x + xy + 2 x + y + y + 2 = 0 (4)

(4) vô nghiệm vì ∆x < 0.
Do đó y = x + 1 thay vào (2) ta được 2 3 3x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0
a = 3 3x − 2
Đặt 
. Ta có hệ phương trình sau
0 ≤ b = 6 − 5 x

2a + 3b = 8
 a = −2
⇔
 3

2
b = 4
5a + 3b = 8

 3 3x − 2 = −2
⇔ x = −2
Khi đó 
 6 − 5 x = 4

Vậy hệ có một nghiệm (x;y) là (-2;-1)

GV: Ngô Quang Vân

10 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
2

x − y)
(
 2 x + 1 + 2 y + 1 =
(1)
2
Bài 5. Giải hệ phương trình: 

 ( x + y ) ( x + 2 y ) + 3x + 2 y = 4 (2)

( x, y ∈ ¡ )

Định hướng cách giải

Bằng MTCT ta đưa phương trình (2) ⇔ ( x + y − 1) ( x + 2 y + 4 ) = 0
Giải
Điều kiện x ≥ −

1
1
và y ≥ −
2
2


 x + y − 1 = 0 (3)
Khi đó (2) ⇔ ( x + y − 1) ( x + 2 y + 4 ) = 0 ⇔ 
 x + 2 y + 4 = 0 (4)


Dễ thấy (4) loại
Khi đó (1) ⇔ 2 x + 1 + 2 y + 1 = (

2

x + y ) − 4 xy
2
2

 ( x + y ) 2 − 4 xy 
÷
⇔ 2 ( x + y ) + 2 + 2 4 xy + 2 ( x + y ) + 1 = 

÷

2



⇔ 8 4 xy + 3 = ( 4 xy + 3) ( 4 xy − 5 )
 4 xy + 3 = 0

⇔

2

( 4 xy − 5) 4 xy + 3 = 8 (loai ) (do 1 = ( x + y ) ≥ 4 xy ⇒ 4 xy − 5 < 0)

1 
3

x=−
x=
x + y = 1




2∨
2
Hệ đã cho tương đương: 

3⇔
 xy = − 4
y = 3

y = − 1

2

2
 1 3 3 1
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm:  − ; ÷,  ; − ÷
 2 2 2 2

GV: Ngô Quang Vân

11 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
Nhận xét: Máy tính cầm tay chỉ trợ giúp cho ta định hướng việc tìm lời giải
ban
đâu hay là sử khởi động và tạo hưng phấn và hứng thú để giải bài toán. Để giải
được trọn vẹn một bài toán khó chúng ta cần chuẩn bị thêm nhiều kỹ năng khác
nữa.
2.1.2. Hệ phương trình vô tỉ

2
 4 x + (4 x − 9)( x − y ) + xy = 3 y (1)
Bài 6. Giải hệ phương trình 
 4 ( x + 2)( y + 2 x) = 3( x + 3) (2)


Định hướng cách giải
- Nhập phương trình (1) vào máy tính cầm tay ấn SHIFT → SOLVE trên
màn hình máy tính cầm tay xuất hiện Y ? ta nhập “1 =” trên màn hình hiện
“Solve for X” ta ấn tiếp “=” máy xử lí trong mấy giây và cho kết quả X = 1
- Ấn phím “ mũi tên chỉ sang trái” để quay trở về phương trình và tiếp túc quá
trình như trên với Y = 2, 3, 4, 5,6
Ta có bảng kết quả sau
Y
X

1
1

2
2

3
3

4
4

5
5

6
6

- Từ đó dễ dàng nhận thấy x = y hay x – y = 0 và do đó phương trình (1) tách
được nhân tử x – y.

Giải
Ta có (1) ⇔ 4 x 2 + (4 x − 9)( x − y) − 2 y + xy − y = 0
⇔

( x − y )(8 x + 4 y − 9)
4 x 2 + (4 x − 9)( x − y) + 2 y


 x = y (3)
⇔
8x + 4 y − 9

+
 4 x 2 + (4 x − 9)( x − y ) + 2 y


+

y( x − y)
=0
xy + y

y
= 0 (4)
xy + y

Thay (3) vào (2) ta được 4 3x( x + 2) = 3( x + 3) ⇒ x = 1
GV: Ngô Quang Vân

12 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An

Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
Suy ra hệ phương trình trong trường hợp này có một nghiệm (1;1)
Xét phương trình

8x + 4 y − 9
4 x 2 + (4 x − 9)( x − y) + 2 y

+

y
= 0 (4)
xy + y

9( x + 3)2
Từ phương trình (2) ta có 16(x + 2)(y + 2x) = 9(x + 3) ⇒ 8 x + 4 y =
4( x + 2)
9( x + 3)2
( x + 1)2
⇒ 8x + 4 y − 9 =
−9 = 9
> 0, ∀x ≥ 0
4( x + 2)
4( x + 2)
2

Suy ra vế trái của (4) luôn dương suy ra (4) vô nghiệm

Vậy hệ đã cho có một nghiệm là (1;1).
Nhận xét: Ngoài thành thạo về kỹ thuật định hướng tìm lời giải bằng máy tính
học sinh còn cần rèn luyện thêm kỹ năng đánh giá, đặt ẩn phụ. Kỹ năng này
máy tính không thể trợ giúp ta được.
Bài 7. (KB-2014) Giải hệ phương trình

( 1 − y ) x − y + x = 2 + ( x − y − 1) y (1)

 2 y 2 − 3x + 6 y + 1 = 2 x − 2 y − 4 x − 5 y − 3 (2)


Định hướng cách giải
- Thấy ngay phương trình số (2) khó biến đổi, phương trình (1) có vẻ dễ hơn
nên ta thử giải (1). Do điều kiện x ≥ y bởi vậy lúc khởi tạo giá trị ban đầu
“Solve for X” ta phải nhập số lớn hơn Y, chẳng hạn là “9 =”
- Nhập phương trình (1) vào MTCT ấn SHIFT → SOLVE trên màn hình
MTCT xuất hiện Y ? ta nhập “0 =” trên màn hình hiện “Solve for X” ta ấn
tiếp “9 =” máy xử lí trong mấy giây và cho kết quả X = 1
- Ấn phím “ mũi tên chỉ sang trái” để quay trở về phương trình và tiếp túc quá
trình như trên với Y = 1, 2, 3, 4,5. Ta có bảng kết quả sau
Y
X

0
1

1
2

2

3

3
4

- Từ đó dễ dàng nhận thấy x - y =1 hoặc
GV: Ngô Quang Vân

4
5

5
6

x − y = 1 và do đó phương trình (1)

13 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
tách được nhân tử “ x - y - 1” hoặc “ x − y −1 ”
- Đầu tiên ta đi theo hướng “ x - y - 1” trước vì vế phải đã có sẵn rồi, ta chỉ
cần biến đổi các biểu thức còn lại. Nếu được ta dừng lại không thì ta chuyển
hướng.

( 1 − y ) x − y + x = 2 + ( x − y −1) y
⇔ ( 1 − y ) x − y + x − 2 − ( x − y − 1) y = 0
⇔ ( 1 − y ) x − y + x − y − 1 + y − 1 − ( x − y − 1) y = 0

⇔ ( 1 − y )  x − y −1 + ( x − y − 1) 1 − y  = 0

(

)

(

) (

⇔ 1 − y  x − y − 1  1 + y +


)

x − y + 1  = 0

- Như vậy đến đây ta đã tìm được lời giải cho bài toán trên
Giải

y ≥ 0

Điều kiện:  x ≥ 2 y
4 x − 5 y − 3 ≥ 0


Khi đó (1) ⇔ ( 1 − y ) x − y + x − 2 − ( x − y −1) y = 0
⇔ ( 1 − y ) x − y + x − y − 1 + y − 1 − ( x − y − 1) y = 0
⇔ ( 1 − y )  x − y −1 + ( x − y − 1) 1 − y  = 0

(

)

(

) (

⇔ 1 − y  x − y − 1  1 + y +


)

x − y + 1  = 0

 x − y −1 = 0
 x = y +1
⇔
⇔
1 − y = 0
 y =1


Với y = 1 thay vào (2) ta được x = 3
Với y = x - 1 thay vào (2) ta được 2 x 2 − x − 3 = 2 − x (3)
Định hướng cách giải phương trình (3)
- Nhập phương trình vào MTCT
GV: Ngô Quang Vân

14 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An

Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
-

SHIFT → CALC → =

kết quả cho ta một nghiệm vô tỉ

-

SHIFT → RCL → (−)

để nhớ nghiệm vô tỉ đó ( hay gán nó bằng A)

- Thử tính giá trị của biếu thức chứa căn trong phương trình
→ 2 → − → ALPHA → (−) → =

kết quả bằng một số vô tỉ

- Thử tính giá trị của biếu thức chứa căn trong phương trình trừ đi nghiệm
→ 2 → − → ALPHA → (−) → − → ALPHA → (−) → =
kết quả bằng -1.
- Khi đó ta có ta có

(

2− x

)

2

− ( x − 1)2 hay x 2 − x − 1 là nhân tử chung.

- Đến đây ta đã định hướng được cách giải phương trình (3)
Ta giải (3) với điều kiện 1 ≤ x ≤ 2

) (

(

)

2
Ta có (3) ⇔ 2 x − x − 1 + x − 1 − 2 − x = 0

(

) 

⇔ x2 − x −1  2 +


1
=0
x −1 + 2 − x 

⇔ x2 − x −1 = 0 ⇔ x =

1± 5
.
2

Đối chiếu với điều kiện và kết hợp trường hợp trên ta được nghiệm (x;y) của hệ
 1+ 5

đã cho là (3;1) và 


2

;

5 −1 
÷.
2 ÷

Nhận xét: Qua việc giải bài toán trên, ta thấy máy tính cầm tay đóng vai trò
rất quan trọng trong việc định hướng tìm lời giải bài toán.

( 2027 − 3x ) 4 − x + (6 y − 2024) 3 − 2 y = 0 (1)
Bài 8. Giải hệ phương trình 
 2 7 x − 8 y + 3 14 x − 18 y = x 2 + 6 x + 13 (2)


Định hướng cách giải
GV: Ngô Quang Vân

15 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
- Thấy ngay phương trình số (2) khó biến đổi, phương trình (1) có vẻ dễ hơn
nên ta thử giải (1).
- Nhập phương trình (1) vào máy tính cầm tay ấn

SHIFT → SOLVE

trên

màn hình MTCT xuất hiện Y ? ta nhập “0 =” trên màn hình hiện “Solve for X”
ta ấn tiếp “3 =” máy xử lí trong mấy giây và cho kết quả X = 1
- Ấn phím “ mũi tên chỉ sang trái” để quay trở về phương trình và tiếp túc quá
trình như trên với Y = 1, 2, -1, -2,-3. Ta có bảng kết quả sau
Y
X
- Dự đoán

0
1

1
3

2

-1 -2 -3
’
Can -1 -3 -5
t

4 − x = 3 − 2 y và x, y đứng độc lập nên chỉ có thể là đưa về xét

hàm số trung gian.
- Đến đây ta đã định hướng được cách giải bài toán.
Giải

x ≤ 4

3

Điều kiện:  y ≤
2

7 x − 8 y ≥ 0,14 x − 18 y ≥ 0

Ta có (1) ⇔ 3(4 − x) + 2015 4 − x = 3(3 − 2 y) + 2015  3 − 2 y (3)
Xét hàm số f (t ) = ( 3t + 2015 ) t với t ≥ 0
Dễ dàng kiểm tra được hàm số luôn đồng biến trên 0; +∞ ) .
Do đó (3) ⇔ 4 − x = 3 − 2 y ⇔ y =

x −1
2

Thay vào (2) ta được phương trình

2 3x + 4 + 3 5 x + 9 = x 2 + 6 x + 13

(4)

Định hướng cách giải phương trình (4)
- Nhập phương trình vào MTCT
-

SHIFT → CALC → =

kết quả cho ta một nghiệm là -1

- Ấn phím “ mũi tên chỉ sang trái” để quay trở về phương trình
16 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An
GV: Ngô Quang Vân


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
-

SHIFT → CALC → 1 → =

kết quả cho ta nghiệm là 0

- Khi đó ta có ta có x 2 + x là nhân tử chung.
- Đến đây ta đã định hướng được cách giải phương trình (4)
4
Giải (4) với điều kiện − ≤ x ≤ 4

3
Ta có (4) ⇔ 2 3x + 4 − 2( x + 2) + 3 5 x + 9 − 3( x + 3) = x 2 + x
⇔−

2 x( x + 1)
3x( x + 1)
−
= x( x + 1)
3x + 4 + x + 2
5x + 9 + x + 3



2
3
+
+ 1 = 0
5x + 9 + x + 3 
 3x + 4 + x + 2

⇔ x( x + 1) 

x = 0

⇔ x( x + 1) = 0 ⇔ 

 x = −1

.

Đối chiếu với điều kiện ta được hai nghiệm (x;y) của hệ phương trình đã cho là
1

 0; − 2 ÷ và ( −1; −1) .



4
4
 x + 1 + x − 1 − y + 2 = y (1)

 x 2 + 2 x( y − 1) + y 2 − 6 y + 1 = 0 (2)


Bài 9. (KA-2013) Giải hệ phương trình
Định hướng cách giải

- Bằng MTCT ta thấy ngay phương trình số (2) không thể phân tích được
thành nhân tử, nên ta giải (1).
- Nhập phương trình (1) vào MTCT ấn SHIFT → SOLVE trên màn hình
MTCT xuất hiện Y ? ta nhập “0 =” trên màn hình hiện “Solve for X” ta ấn
tiếp “3 =” máy xử lí trong mấy giây và cho kết quả X = 1
- Ấn phím “ mũi tên chỉ sang trái” để quay trở về phương trình và tiếp túc quá
trình như trên với Y = 1, 2, 3, 4, 5. Ta có bảng kết quả sau
Y
GV: Ngô Quang Vân

0

1

2

3

4

5

17 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
X

1

Can’ 17 82 257
t

626

- Dự đoán y = 4 x − 1 và x, y đứng độc lập nên chỉ có thể là sử dụng hàm số
trung gian.
- Đến đây ta đã định hướng được cách giải bài toán.
Giải
Điều kiện: x ≥ 1
Ta có (1) ⇔

( 4 x −1 )

4

+ 2 + 4 x − 1 = y 4 + 2 + y (3)
(Do từ phương trình (2) suy ra y ≥ 0 )

Xét hàm số f (t ) = t 4 + 2 + t với t ≥ 0

Dễ dàng kiểm tra được hàm số luôn đồng biến trên 0; +∞ ) .
Do đó

(3) ⇔ y = 4 x − 1

(

)

7
4
Thay vào phương trình (2) ta được y y + 2 y + y − 4 = 0 (4)

Xét hàm số g ( y) = y 7 + 2 y 4 + y − 4 với y ≥ 0
Dễ thấy hàm số đồng biến trên  0; +∞ ) và g (1) = 0 nên (4) có hai nghiệm y = 0
và y = 1 suy ra x = 1 và x = 2.
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (x;y) là (1;0) và (2;1).
Bài 10. (KA-2014) Giải hệ phương trình

(

)


2
 x 12 − y + y 12 − x = 12 (1)

 x3 − 8 x − 1 = 2 y − 2 (2)


Định hướng cách giải
- Bằng MTCT ta thấy ngay phương trình số (2) khi cho Y nguyên thì X vô tỉ
không thể định hướng giải từ (2) nên ta đi tìm cách giải từ (1).
- Nhập phương trình (1) vào MTCT ấn SHIFT → SOLVE trên màn hình
MTCT xuất hiện Y ? ta nhập “0 =” trên màn hình hiện “Solve for X” ta ấn
tiếp “1 =” máy xử lí trong mấy giây và cho kết quả X vô tỉ.
GV: Ngô Quang Vân

18 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
- Ấn phím “ mũi tên chỉ sang trái” để quay trở về phương trình và tiếp túc quá
trình như trên với Y = 1 trên màn hình hiện “Solve for X” ta ấn tiếp “1 =”
máy xử lí trong mấy giây và cho kết quả X vô tỉ.
- Không thể làm gì được với ẩn X và tham số Y. Ta nhận thấy trong phương
trình (1) vai trò của X và Y có thể hoán đổi cho nhau. Do đó ta thử nhập vào
máy tính cầm tay là X thay cho Y và Y thay cho X xem sao.

- Ta có ngay bảng kết quả tuyệt đẹp sau:
Y

1
2
0

X

11

8

3

1

2

3

Can’
t
4

- Dự đoán x = 12 − y và x, y không độc lập, nếu chia thì vướng số 12. Do đó
phương pháp hàm số không thực hiện được như các bài trên. Cũng khó có
khả năng đưa về dạng tích. Như vậy khả năng cao là đánh giá.
- Căn cứ vào dự đoán trên ta biến đổi (1) như sau

(

)

x 2 − 2 x 12 − y + 12 − y + y − 2 y 12 − x 2 + 12 − x 2 = 0

(

⇔ x − 12 − y

)

2

+

(

y − 12 − x 2

)

2

=0

- Đến đây ta đã định hướng được cách giải bài toán.
Giải
y ≥ 2


Điều kiện:  y ≤ 12

2
 y (12 − x ) ≥ 0

(

)

Khi đó (1) ⇔ x 2 − 2 x 12 − y + 12 − y + y − 2 y 12 − x 2 + 12 − x 2 = 0

(

⇔ x − 12 − y

GV: Ngô Quang Vân

)

2

+

(

y − 12 − x 2

)

2

=0

19 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
 x − 12 − y = 0
 y = 12 − x 2
⇔ 
⇔ 
 y − 12 − x 2 = 0
 x ≥ 0

Thay vào (2) ta được x3 − 8 x −1 = 2 10 − x 2 (3)
(Dùng MTCT ta giải được một nghiệm nguyên x = 3)
Ta có (3) ⇔ x3 − 8 x − 3 + 2 1 − 10 − x 2 ÷ = 0






2( x + 3) 



1 + 10 − x 2 

⇔ ( x − 3)  x 2 + 3x + 1 +

=0

Vi x ≥ 0 do đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (3;3).
2.1.3. Hệ kết hợp hai phương trình
 2
 2 x − 11x − 2 y + 9 = 0 (1)
Bài 11. Giải hệ phương trình 
 4 x 2 − 22 x + 21 + y 3 + 3 y 2 + y = (2 x + 1) 2 x − 1 (2)


Định hướng cách giải
- Bằng MTCT ta thấy ngay cả hai phương trình với Y nguyên suy ra X vô tỉ,
nên không thể định hướng theo các cách đã làm ở trên.
- Lấy (2) - k.(1) bấm máy với k = 1,2,3,4,…,-1, -2, -3, -4,… và Y = 0
- Với k = 1, Y = 0 → X = 9… ra nghiệm X xấu.
- Với k = 2, Y = 0 → X = 1, Y = 1 → X = 2.5 tiếp tục với một số giá trị của Y
ta có bảng sau:
Y
X

0
1

1
2.5

2

5

3
8.
5

4
13

5
18.
5

- Dự đoán y + 1 = 2 x −1 và x, y đứng độc lập nên chỉ có thể là sử dụng hàm
số trung gian
- Đến đây ta đã định hướng được cách giải bài toán.
Giải
GV: Ngô Quang Vân

20 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
Điều kiện: x ≥

1
2
y3 + 3 y 2 + 5 y + 3 = (2 x + 1) 2 x −1

Lấy (2) - 2.(1) ta được:

(

)

⇔ y3 + 3 y 2 + 3 y + 1 + 2( y + 1) = (2 x −1) 2 x −1 + 2 2 x −1
3

⇔ ( y + 1) + 2( y + 1) =

(

)

3

2 x −1 + 2 2 x −1 (3)

Xét hàm số f (t ) = t 3 + 2t . Dễ dàng kiểm tra được hàm số đồng biến trên ¡ .
Do đó (3) ⇔ y + 1 = 2 x −1 .
Thay vào (2) ta được: 2 x 2 −11x − 2 2 x −1 + 11 = 0

(4)

Định hướng cách giải phương trình (4)
- Nhập phương trình vào MTCT
-

SHIFT → CALC → =

kết quả cho ta một nghiệm là 5

- Ấn phím “ mũi tên chỉ sang trái” để quay trở về phương trình
- SHIFT → CALC → 2 → =

kết quả cho ta nghiệm là 1

- Khi đó ta có x 2 − 6 x + 5 là nhân tử chung.
- Đến đây ta đã định hướng được cách giải phương trình (4)
Ta giải (4) với điều kiện x ≥

1
2

Ta có (4) ⇔ (2 x 2 −12 x + 10) + ( x + 1 − 2 2 x −1) = 0
x2 − 6 x + 5
⇔ 2( x − 6 x + 5) +
=0
x + 1 + 2 2 x −1
2

(

) 

⇔ x2 − 6 x + 5  2 +



1
÷= 0
x + 1 + 2 2 x −1 
x =1

⇔ x2 − 6 x + 5 = 0 ⇔ 

x = 5

Với x = 1 thì y = 0, với x = 5 thì y = 2
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (x;y) là (1;0) và (5;2)
GV: Ngô Quang Vân

21 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
 3
3
2
2
 x − y + 2 x + y + 3 = 0 (1)
Bài 12. Giải hệ phương trình 
 x 2 + 2 y 2 + 4 x − 4 y + 1 = 0 (2)


Định hướng cách giải
- Bằng MTCT ta thấy ngay cả hai phương trình với Y nguyên suy ra X lẻ, nên

không thể định hướng theo các cách đã làm ở trên.
- Lấy (1) - k.(2) bấm máy với k = 1,2,3,4,…,-1, -2, -3, -4,… và Y = 0
- Với k = 1, Y = 0 → X = 1… ra nghiệm X vô tỉ.
- Với k = -1, Y = 0 → X = -2, Y = 1 → X = -1 tiếp tục với một số giá trị của Y
ta có bảng sau:
Y
X

0
2

1
-1

2
0

3 4 5
1 2 3

- Dự đoán y = x + 2 hay x - y + 2 = 0 và đây là hàm đa thức hai biên nên ta có
thể phân tích thành nhân tử.
- Đến đây ta đã định hướng được cách giải bài toán.
Giải
Cộng theo vế phương trình (1) và phương trình (2), ta được phương trình
x3 − y 3 + 3x 2 + 3 y 2 + 4 x − 4 y + 4 = 0
⇔ x3 + 3x 2 + 3 x + 1 + x + 1 − y 3 + 3 y 2 − 3 y + 1 − y + 1 = 0
3

⇔ ( x + 1) + x + 1 − ( y − 1) − ( y − 1) = 0

3

⇔ ( x − y + 2 ) ( x + 1) + ( x + 1)( y −1) + ( y − 1)2 + 1 = 0 ⇔ x − y + 2 = 0 ⇔ y = x + 2
2





Thay vào phương trình (2), ta được

3x 2 + 8 x + 1 = 0 ⇔ x =

−4 ± 13
3

 −4 + 13 2 + 13 
 −4 − 13 2 − 13 
;
;
÷ và 
÷.

3
3 ÷
3
3 ÷



Vậy hệ đã cho có các nghiệm là 

GV: Ngô Quang Vân

22 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
3

2 ( x + y ) + 4 xy − 3 = 0 (1)
Bài 13. Giải hệ phương trình 
( x + y ) 4 − 2 x 2 − 4 xy + 2 y 2 + x − 3 y + 1 = 0 (2)


Định hướng cách giải
- Bằng MTCT ta thấy ngay cả hai phương trình với Y nguyên suy ra X vô tỉ,
nên không thể định hướng theo các cách đã làm ở trên.
- Lấy (2) - k.(1) bấm máy với k = 1,2,3,4,…,-1, -2, -3, -4,… và Y = 0
- Với k = 1, Y = 0 → X vô tỉ.
- Với k = -1, Y = 0 → X = 1, Y = 1 → X = 0 tiếp tục với một số giá trị của Y
ta có bảng sau:
Y
X

0
1

1
0

2
-1

3
-2

4
-3

5
-4

- Dự đoán x + y = 1 hay x + y - 1 = 0 và đây là hàm đa thức hai biên nên ta có
thể phân tích thành nhân tử.
- Đến đây ta đã định hướng được cách giải bài toán.
Giải
Cộng theo vế phương trình (1) và phương trình (2), ta được phương trình
4
3
( x + y ) − 2 x 2 − 4 xy + 2 y 2 + x − 3 y + 1 + 2 ( x + y ) + 4 xy − 3 = 0
4

3

⇔ ( x + y ) + 2 ( x + y ) − 2 x2 + 2 y 2 + x − 3 y − 2 = 0
⇔ ( x + y)

3

( x + y −1) + 3 ( x + y ) 3 −1 − 2  x2 − ( x −1)2  + x + y −1 = 0

{

3

{

3

}

⇔ ( x + y − 1) ( x + y ) + 3 ( x + y ) + ( x + y ) + 1 − 2( x − y + 1) + 1 = 0


2

2

}

⇔ ( x + y − 1) ( x + y ) + 3 ( x + y ) + 2 + x + 5 y = 0
 x + y − 1 = 0 (3)
⇔
3
2

( x + y ) + 3 ( x + y ) + 2 + x + 5 y = 0 (4)

+/ Lấy 2.(4) - (1) ta được phương trình: 6 x 2 + 12 xy + 6 y 2 − 4 xy + 2 x + 10 y + 7 = 0
23 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An
GV: Ngô Quang Vân


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”
2

2
2

2  14
4 
25 
 25 
⇔x 5+
y ÷ + ( x + 1) + 
y +  +6− ÷ = 0
14 
5 
 14 

 5

Do vế trái dương nên phương trình vô nghiệm.
1
1

+/ Từ (3) thay vào (1) ta được −4 x2 + 4 x −1 = 0 ⇔ x = ⇒ y =
2
2
1 1
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x;y) là  ; ÷
2 2
 3
2
 x + 3xy + 49 = 0 (1)
Bài 14.(HSG-QG-2004) Giải hệ phương trình 
 x 2 − 8 xy + y 2 + 17 x − 8 y = 0 (2)


Định hướng cách giải
- Bằng MTCT ta thấy ngay cả hai phương trình với Y nguyên suy ra X vô tỉ,
nên không thể định hướng theo các cách đã làm ở trên.
- Lấy (1) - k.(2) bấm máy với k = 1,2,3,4,…,-1, -2, -3, -4,… và Y = 0
- Với k = 1, Y = 0 → X vô tỉ.
- Với k = -1, Y = 0 → X vô tỉ.
- …
- Với k = -3, Y = 0 → X = -1, Y = 1 → X = -1 tiếp tục với một số giá trị của Y
ta có bảng sau:
Y
X

0
1

1 2
-1 -1

3
1

4
-1

5
-1

- Dự đoán x = −1 với mọi y hay x + 1 = 0 và đây là hàm đa thức hai biên nên
ta có thể phân tích thành nhân tử.
- Đến đây ta đã định hướng được cách giải bài toán.
Giải
Cộng theo vế phương trình (1) với 3 lần phương trình (2), ta được phương trình
x3 + 3xy 2 + 49 + 3x 2 − 24 xy + 3 y 2 − 24 y + 51x = 0
GV: Ngô Quang Vân

24 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An


Đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng tìm lời giải các

bài toán hệ phương trình, phương trình và bất phương trình”

(

)

⇔ ( x + 1) x 2 + 2 x + 3 y 2 − 24 y + 49 = 0

(

2

⇔ ( x + 1) ( x + 1) + 3 ( y − 4 )

2

)

 x + 1 = 0 (3)
=0 ⇔
2
2

( x + 1) + 3 ( y − 4 ) = 0 (4)

+/ Ta có (3) ⇔ x = −1 thay vào (1) ta được ⇔ y = ±4
+/ Ta có (4) ⇔ x = −1 và ⇔ y = 4
Vây hệ đã cho có hai nghiệm (x;y) là (-1;4) và (-1;-4).
 3
2
 x + 3x + x + 3 y + 3 = 0 (1)
Bài 15. Giải hệ phương trình 
 y 3 + 6 y 2 − 3x + 16 y + 11 = 0 (2)


Định hướng cách giải:
- Bằng MTCT ta thấy ngay cả hai phương trình với Y nguyên suy ra X vô tỉ,

nên không thể định hướng theo các cách phân tích các đa thức thành nhân tử
đã làm ở trên.
- Lấy (1) - k.(2) bấm máy với k = 1,2,3,4,…,-1, -2, -3, -4,… và Y = 0
- Với k = 1, Y = 0 → X = 1, Y = 1 → X = 2 tiếp tục với một số giá trị của Y
ta có bảng sau:
Y
X

0
1

1
2

2
3

3
4

4
5

5
6

- Dự đoán x = y + 1 hay x - y - 1 = 0 và đây là hàm đa thức hai biên x, y độc
lập và cùng bậc nên chỉ có thể là phương pháp hàm số.
- Đến đây ta đã định hướng được cách giải bài toán.
Giải

Trừ theo vế phương trình (1) với phương trình (2), ta được phương trình
x3 − y3 + 3x 2 − 6 y 2 + 4 x −13 y − 8 = 0
3

3

⇔ x3 + 3x 2 + 4 x = y3 + 6 y 2 + 13 y + 8 ⇔ ( x + 1) + x + 1 = ( y + 2 ) + y + 2 (3)
Xét hàm số f (t ) = t 3 + t . Dễ kiểm tra được hàm số đồng biến trên ¡ . Do đó
GV: Ngô Quang Vân

25 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An