Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các bài toán chỉnh hóa cho bài toán forward – backward parabolic với đại lượng phi tuyến dạng lũy thừa

1.21 Phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.22 Các kí hiệu dùng trong luận văn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình chỉnh hóa CahnHilliard.

8

2.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2

Sự tồn tại nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.1

Định lí 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.2

Định lí 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2.3

Lưu ý 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2.4

Lưu ý 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình chỉnh hóa Sobolev. 20
3.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.2

Nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.2.1

Bổ đề 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.2.2

Định lí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.2.3

Mệnh đề 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.2.4

Bổ đề 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2.5

Mệnh đề 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2.6

Mệnh đề 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2.7

Bổ đề 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2.8

Hệ quả. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29


1
1.1

Kiến thức chuẩn bị.
Khơng gian Lp .
Cho (Ω, S, µ) là một khơng gian độ đo, trong đó Ω là một tập con mở của

không gian Euclide n chiều Rn , S là σ đại số trên tập đo được Lebesgue và µ là độ đo
Lebesgue. Cho 1
Với 1

∞, ta định nghĩa không gian Lp như sau

p

p < ∞, ta định nghĩa như sau

Lp = {f : f là hàm đo được và
f

p=

Ω

|f (x)|p dµ(x)

1
p

Ω

=

|f (x)|p dµ(x) < ∞} và

Ω

|f |p dµ

Với p = ∞, ta định nghĩa,

L∞ = {f : f là hàm đo được và |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi, k > 0} và
f

1.2

∞=

inf {k > 0 : |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi trên Ω}.

Khơng gian Hilbert.
Giả sử H là khơng gian vectơ. Tích vơ hướng (u, v) là dạng song tuyến tính từ

H × H vào R, đối xứng, xác định dương (u, u) ≤ 0 ∀u ∈ H và (u, u) > 0 nếu u = 0 .
Nhắc lại rằng tích vơ hướng thỏa mãn bất đẳng thức Cauchy - Schwart:
1

1

|(u, v)| ≤ (u, u) 2 .(v, v) 2 , với mọi u, v ∈ H.
1

Ta cũng nhắc lại rằng |u| = (u, u) 2 là một chuẩn. Thực vậy:
|u + v|2 = |u|2 + |v|2 + 2(u, v) ≤ |u|2 + |v|2 + 2|u||v|.
Cuối cùng là "đẳng thức hình bình hành":
]] | a+b
|2 + | a−b
|2 =
2
2

1
2

|a|2 + |b|2 với mọi a, b ∈ H.

∗ Định nghĩa: Không gian Hilbert là khơng gian vectơ H trang bị một tích vơ hướng
1

(u, v) và không gian này đầy đủ đối với chuẩn (u, v) 2 .
∗ Ví dụ cơ bản: L2 (Ω) trang bị tích vơ hướng
(u, v) =

Ω

u(x)v(x)dx là khơng gian Hilbert.

Không gian Sobolev H 1 là không gian Hilbert "theo mơ hình" L2 (Ω).

1.3

Khơng gian Ck (Ω).
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều Rn và Ω là bao

đóng của Ω. Ta kí hiệu Ck (Ω) với (k = 0; 1; 2; 3...) là tập các hàm có đạo hàm đến cấp
k trong Ω và chúng có thể thác triển liên tục lên Ω. Trong đó, C0k (Ω) là tập các hàm
trên C k (Ω) có giá compact trên Ω. Ta đưa vào C k (Ω) chuẩn

f

C k (Ω)

max |Dα f (x)|

=
|α|≤k

1

x∈Ω


Trong đó, α = (α1 , ......., αn ) được gọi là đa chỉ số là vectơ với các tọa độ nguyên không
âm, |α| = α1 + .... + αn , Dα f =

∂ α1 +...+αn f
.
α
∂x11 ....∂xαnn

Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều

trong Ω của các hàm và tất cả đạo hàm của chúng đến cấp k.

1.4

Không gian đối ngẫu.
Cho V là một không gian định chuẩn. Không gian L(V, R) các phiếm hàm liên

tục trên V với chuẩn
||Λ|| = sup ||Λx||, Λ ∈ L(V, R)

||x||≤1

được gọi là không gian đối ngẫu của V , kí hiệu là V .

1.5

Khơng gian phản xạ.
Giả sử E là khơng gian Banach vào J là phép nhúng chính tắc từ E và E . Ta

nói rằng E phản xạ nếu J(E) = E . Khi đó, ta nói xn hội tụ yếu về x.

1.6

Hội tụ yếu.
Do V là môt họ các hàm số xác định trên V nên nó sinh ra một topo trên V :

topo thơ nhất sao cho mọi phần tử của V đều liên tục. Topo này được gọi là topo
yếu trên V , kí hiệu là τV,V . Dãy {xn } ⊂ V , ta có xn → x đối với topo τV,V , kí hiệu
xn →w x, nếu và chỉ nếu với mọi x∗ ∈ V , x∗ , xn → x∗ , x khi n → ∞. Khi xn → x
đối với topo sinh bởi chuẩn , ta gọi là hội tụ mạnh hay ngắn gọn là hội tụ, kí hiệu
||xn − x|| → 0.

1.7

Định lý Banach - Alaoglu - Bourbaki.
Tập hợp BV = {f ∈ V ; ||f || ≤ 1} compact đối với topo yếu τV,V .

1.8

Hệ quả Định lý Banach - Alaoglu - Bourbaki.

Cho X là không gian Banach phản xạ. Nếu dãy xn bị chặn thì tồn tại x ∈ X

và tồn tại dãy con xnk sao cho dãy con xnk hội tụ về x trong X.

1.9

Bất đẳng thức Holder.
Lấy Ω ⊂ Rn là tập đo được, các hàm f và g là đo được trên Ω và 1 ≤ p ≤ ∞,

khi đó
|f g|dx ≤ ||f ||Lp (Ω) ||g||Lq (Ω) ,
Ω

trong đó

1
p

+

1
q

= 1.

2


1.10

Bất đẳng thức Young.
Lấy f là hàm thực tăng và liên tục trên [0, ∞) và f (0) = 0. Khi đó với mọi

a, b ≥ 0, ta có:
b

a

ab ≤

f −1 dx,

f dx +
0

0

trong đó f −1 là hàm ngược. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = f (a).
Hệ quả 1. Nếu 1 < p < ∞, thì với mọi a, b ≥ 0, ta có:
ab ≤
trong đó

1
p

+

1
q

ap aq
+ ,
p
q

= 1.

Hệ quả 2. (Bất đẳng thức Peter Paul) Với > 0, ta có:
ab ≤ ap + C( )bq .

1.11

Bất đẳng thức Gronwall dạng vi phân.
Lấy u ∈ C 1 ([a, ∞)), α ∈ C([a, ∞)) thỏa u (t) ≤ α(t)u(t), ∀t > a

thì u(t) ≤ u(a)e

t
a

α(s)ds

.

Hệ quả: Với f ≥ 0 và f (s) ≤ cf (s) thì f (t) ≤ f (0)ect ,

∀t ≥ 0.

Ví dụ áp dụng:
Nếu ut = ∆u + u và u|∂Ω = 0 thì

Ω

ut u =

Ω

(∆u + u)u.

Khi đó:
1d
2 dt

u2 dx = −
Ω

|∇u|2 dx +
Ω

u2 dx ⇒
Ω

1d
||u||2 ≤
2 dt

Đặt f (t) = ||u(t)||2L2 (Ω) . Ta được:
1
f (t) ≤ f (t) ⇒ f (t) ≤ 2f (t).
2

Theo bất đẳng thức Gronwall, ta có:
f (t) ≤ ||u(0)||2L2 (Ω) e2t , 0 ≤ t ≤ T.

3

u2 dx = u
Ω

2


1.12

Ánh xạ Lipschitz.

Môt hàm ϕ : A → Rm , A ∈ Rn được gọi là L-Lipschitz, ∃L > 0 nếu
|ϕ(a) − ϕ(b)| ≤ L|a − b|
với mọi cặp điểm a, b ∈ A. Ta cũng nói ánh xạ L-Lipschitz nếu như L-Lipschitz.

1.13

Ánh xạ Lipschitz địa phương.

Một hàm ϕ : X → Y, trong đó X, Y là khơng gian Banach với

·

X

và

·

Y

Khi đó, ϕ được gọi là Lipschittz địa phương nếu như với mọi B(O, R) ⊂ X và u, v ∈
ϕ(u) − ϕ(v)

B(O, R) tồn tại LR > 0 sao cho

1.14

Y

≤ LR

u−v

X.

Định lý Picard cho không gian Banach.

Lấy O ⊆ V là một tập con mở của không gian Banach V, ta đặt Φ : O → V là một
ánh xạ liên tục Lipschitz địa phương. Khi đó, với bất kì u0 ∈ O, tồn tại T > 0 sao cho
phương trình vi phân thường:
du
dt

= Φ(u), u|t=0 = u0 ∈ O,

có duy nhất nghiệm u ∈ C 1 ((−T, T ); O).

1.15

Nghiệm nối dài trong không gian Banach.

Lấy O ⊂ V là một tập con mở của không gian Banach V, ta đặt Φ : O → V là một
tốn tử liên tục Lipschitz địa phương. Khi đó, với bất kì u0 ∈ C 1 ([0, T ); O) thì phương
trình vi phân thường:
du
dt

= Φ(u), u|t=0 = u0 ∈ O,

tồn tại nghiệm toàn cục T = ∞ hoặc T < ∞ thì nghiệm u(t) khơng thuộc O khi
t → ∞trở thành tập mở khi t → T.

1.16

Định lý Agmon - Douglis - Nirenberg.

Giả sử Ω thuộc lớp C 2 với Γ bị chặn. Cho 1 < p < ∞. Khi đó với mọi ϕ ∈ Lp (Ω) tồn
tại u ∈ W 2,p ∩ W02,p (Ω) là nghiệm duy nhất của phương trình −∆u + u = ϕ trên Ω).
Hơn nữa, nếu Ω thuộc lớp C m+2 , nếu ϕ ∈ W m,p (Ω), với m là số nguyên và m ≥ 1 thì
u ∈ W m+2,p (Ω) và

1.17

u

W m+2,p ≤

C

ϕ

W m,p

.

Bất đẳng thức Poincare.

Ta giả sử rằng Ω là một tập mở bị chặn. Khi đó, tồn tại một hằng số C (phụ thuộc
vào Ω và p) sao cho
4


u

≤ C(p, N ) ∇u

Lp

Đặc biệt, biểu thức ∇u
trên

H01 (Ω)

biểu thức

với chuẩn u

Ω

Lp

Lp ,

∀u ∈ W01,p (Ω), (1 ≤ p < ∞)

là một chuẩn trên W01,p (Ω) tương đương với chuẩn u

∇u∇v là tích vộ hướng sinh ra chuẩn ∇u

L2

W 1,p ,

tương đương

H1 .

Ví dụ: Nếu u ∈ H01 (Ω) thì
||u||L2 (Ω) ≤ C||∇u||L2 (Ω) ;
Khi đó kí hiệu
|∇u|2 dx

||u||H01 =

1.18

1
2

u2 + |∇u|2 dx

là chuẩn tương đương với

Ω

1
2

.

Ω

Bất đẳng thức Nirenberg.
∂j v
∂ mv a
p
|| j ||L ≤ C1 || m ||Lr ||v||L1−a
+ C2 ||v||Lq ,
q
∂ν
∂ν

với
1
j

1 m
1
j
≤ a ≤ 1, = + a( − ) + (1 − a) .
m
p
n
r
n
q
Mệnh đề dưới đây sẽ được sử dụng để chứng minh sự tồn tại của các kết quả.
Mệnh đề 1. Lấy V là không gian Banach phản xạ tách được với không gian đối ngẫu
là V , lấy H là không gian Hilbert tách được thỏa;
(i) V ⊂ H ⊂ V .
(ii) V là được nhúng liên tục vào H và trù mật trong H.
Khi đó, với bất kì p ∈ (1, ∞) không gian
Z := {u|u ∈ Lp ((0, T ); V ), ut ∈ Lq ((0, T ); V )},
trong đó

1.19

1
p

+

1
q

= 1; nhúng liên tục trong C([0, T ]; H).

Khơng gian Sobolev.
Cho Ω ⊂ Rn là một tập mở, bị chặn, có biên ∂Ω trơn. Khi đó với số nguyên

r > 0 và 1 ≤ p ≤ ∞, ta định nghĩa không gian Sobolev như sau:
W r,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω)|Dα u ∈ Lp (Ω), |α| ≤ r}
Trong đó:
W r,p (Ω) là tập hợp tất cả các hàm thuộc Lp (Ω) có đạo hàm suy rộng đến r cũng
thuộc Lp (Ω) và D(Ω) là không gian của tất cả các hàm khả vi vô hạn với giá compact
trong Ω thì trù mật trong Lp (Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞.
5


1.20

Định lý nhúng Sobolev.

Cho Ω ⊂ Rn là một tập mở, bị chặn, có biên ∂Ω là một đa tập thuộc lớp C 1 và r là
một số nguyên, p ∈ [1, ∞) ta có:
a) Nếu rp < n, thì W r,p (Ω) ⊂ Lt (Ω) với t =

np
.
n−rp

Phép nhúng từ W r,p (Ω) vào

Lt (Ω) liên tục và phép nhúng từ W r,p (Ω) vào Lq (Ω) compắc với mọi q ∈ [1, t).
n
<

p
m,α

b) Nếu 0 < m < r −
lượt compắc liên tục) vào C

m + 1, không gian W r,p (Ω) bị nhúng liên tục (lần

(Ω) với α = r −

n
p

− m (lần lượt vào C m,β (Ω) với mọi

β ∈ [0, α)), ở đây C m,β (Ω) là khơng gian các hàm số thực f có các đạo hàm Dj f và
trên C m,β (Ω) ta chọn chuẩn.
m

f

C m,α

|Dm f (x) − Dm f (y)|
.
|x − y|n
x,y∈Ω

sup |Dj f (x)| + sup

=
j=0

x∈Ω

c) Nếu

1
p

−

r
n

> 0, khi đó W r,p (Rn ) ⊂ Lt (Rn ) trong đó

d) Nếu

1
p

−

r
n

= 0, khi đó W r,p (Rn ) ⊂ Lt (Rn ) với mọi t ∈ [p, +∞).

e) Nếu

1
p

−

r
n

< 0, khi đó W r,p (Rn ) ⊂ L∞ (Rn ).
∗

f) Nếu 1 ≤ p < n, khi đó W 1,p (Ω) ⊂ Lp (Ω) trong đó

1
t

1
p∗

1
p

=

=

1
p

− nr .

− n1 .

g) Nếu p = n, khi đó W 1,p (Ω) ⊂ Lt (Ω) với mọi t ∈ [p, +∞).
h) Nếu p > n, khi đó W 1,p (Ω) ⊂ L∞ (Ω) với mọi t ∈ [p, +∞).

1.21

Phương trình vi phân.
Phương trinh vi phân là một phương trình chứa biến độc lập x, hàm cần tìm

y = f (x) và các đạo hàm các cấp của nó. Nói cách khác, một phương trình chứa đạo
hàm hoặc vi phân của hàm cần tim được gọi là phương trình vi phân.
∗ Nếu phương trình có hàm số phải tìm là hàm một biến số thì phương trình đó
được gọi là phương trình vi phân thường.
Ví dụ:
y (x) − x.y(x) = 0; d2 y + xydx2 = 0; (y”)3 + x.y = sinx là những phương trình
vi phân thường.
∗ Nếu phương trình chứa hàm nhiều biến z và các biến số của nó cùng với các đạo
hàm riêng của z được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng.
Ví dụ:
∂z
∂z
x. ∂x
= y. ∂y
;

∂2z
∂x2

=

∂2z
∂y 2

+

∂z
∂y

∂z
= y. ∂y
là những phương trình đạo hàm riêng.

6


1.22

Các kí hiệu dùng trong luận văn.
HE2 (Ω) =

u ∈ H 2 (Ω)

HE2 ∗ (Ω) =

u ∈ H 2 (Ω)

∂u

=0 ;
∂ν
udx = 0 ;
Ω

HE4 (Ω) =

u ∈ H 4 (Ω)

HE4 ∗ (Ω) =

u ∈ H 4 (Ω)

∂u
∂ (3) u
=
=0 ;
∂ν
∂ν 3
udx = 0 ;
Ω

H 4,1 (QT ) = u ∈ L2 (0, T, H 4 (Ω)) ut ∈ L2 (QT ) ;
HE6 (Ω) =

u ∈ H 6 (Ω)

7

∂u

∂ (5) u
=
=0 .
∂ν
∂ν 5


2

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình
chỉnh hóa Cahn-Hilliard.

2.1

Giới thiệu
Xét phương trình Cahn - Hilliard
ut (x, t) + γuxxxx (x, t) = ϕ(u(x, t))xx , 0 < x < L , 0 < t

(2.1a)

ϕ(u(x, t)) = u3 (x, t) − u(x, t)

(2.1b)

Trong đó γ > 0 là hằng số xuất hiện ở các nghiên cứu về pha phân lớp trong các
giải pháp về làm lạnh như thủy tinh, hỗn hợp polymer; Xem Cahn - Hilliard [1958],
Novick - Cohen và Segel [1984], Novick - Cohen [1985].
Ta có (2.1) là phương trình của định luật bảo tồn khối lượng với thông lượng
J = − [ϕ(u(x, t)) − γ uxx (x, t)]x

(2.2)

Một cách rõ ràng, các điểm tới hạn của phương trình Landau - Ginzburg dạng
năng lượng tự do có dạng
L
0

1
Φ(u(x, t)) + γu2x (x, t) dx
2

(2.3a)

u

Φ(u(x, t)) =

ϕ(s)ds

(2.3b)

0

với xấp xỉ các điều kiện biên là các nghiệm ổn định của phương trình (2.1). Xem Carr,
Gurtin và Slemrod [1984] cho các nghiên cứu của (2.3) với γ nhỏ và sự ràng buộc của
khối lượng hạn chế
M=

1
L

L

u(x, t)dx

(2.4)

0

Phương trình (2.1) thỏa mãn bởi điều kiện biên có thơng lượng 0
−ϕ(u(x, t))x + γuxxx (x, t)|x=0,L = 0
∂u(x, t)
=0
∂ν
là điều kiện đầu u(x, 0) = u0 (x, t), 0 < x < L
là điều kiện biên cho (2.3)

do (2.5b) và (2.1b) ta có thể thay thế (2.5a) bởi uxxx (x, t)|x=0,L = 0
Nghiệm của (2.1) và (2.5) thỏa
d
dt

L

L

u(x, t)dx =
0

L

−

ut (x, t)dx =
0

0

8

∂J
dx = 0
∂x

(2.5a)
(2.5b)
(2.5c)
(2.5d)


và do đó
Ta lưu ý từ (2.1) và (2.2) thì ut (x, t) = −γ uxxxx (x, t) + ϕ(u(x, t))xx = − ∂J
∂x
khối lượng tổng là hằng số,
M=

1
L

L

u(x, t)dx =
0

1
L

L

u0 ((x, t))dx, t > 0

(2.6)

0

Phương trình (2.1) đã được nghiên cứu trong các dạng khác với mục đích tạo
ra khơng gian yếu tố hình thành. Cohen - Murray [1981] phát triển điều này trong
mơ hình sinh thái như là một sự khái quát của sự khuếch tán Fickian. Hazewinkel,
Kaashoek và Leynse [1985] chỉ ra rằng phương trình này như là dạng đặc biệt của mơ
hình về sự khơ hạn của dịng sơng bởi Thom.
Ta xem xét sự tồn tại nghiệm toàn cục trong thời gian hữu hạn đối với bài toán
giá trị biên đầu (2.1) và (2.5). Chúng ta cũng mở rộng các kết quả trên đối với bài
toán nhiều chiều.
∂u(x, t)
+ γ∆2 u(x, t) = ∆ϕ(u(x, t)), x ∈ Ω, t > 0
∂t
∂u(x, t)
∂
= 0,
γ∆u(x, t) − ϕ(u(x, t)) = 0, x ∈ Γ, t > 0

∂ν
∂ν
u(x, 0) = u0 (x, t), x ∈ Ω
trong đó Γ là hàm trơn của miền bị chặn Ω trong Rn (n ≤ 3) và

∂
∂ν

(2.7a)
(2.7b)
(2.7c)

là đạo hàm ngồi

tại Γ. Các định lí tồn tại toàn cục được chứng minh trong phần 3.
Xuyên suốt luận văn này, ta sử dụng kí hiệu QT thay cho Ω × (0, T ). Các chuẩn
của L∞ (Ω), L2 (Ω) và H s (Ω) được kí hiệu bởi ||.||∞ , ||.|| và ||.||s , nửa chuẩn ||Ds v(·, t)||
được kí hiệu bởi |v(·, t)|s .
Ta cần lưu ý về bất đẳng thức Friedrich
∀v(x, t) ∈ H01 (Ω), v(·, t) ≤

L/π|v(·, t)|1

n=1

(2.8a)

C(Ω)|v(·, t)|

n ≥ 2.

(2.8b)

và bất đẳng thức Poincare
 2
L
1


|v(·, t)|21 +

2
L
(∀v(x, t) ∈ H 1 (Ω)), ||v(·, t)||2 ≤


 C(Ω)|v(·, t)|2 +

L

2

v(x, t)dx , n = 1(2.9a)
0
2

v(x, t)dx , n ≥ 2. (2.9b)

1

Ω

và bất đẳng thức Nirenberg (xem Adams [1975])
||

∂ j v(x, t)
∂ mv a
p
+ C2 ||v(·, t)||Lq
||
≤
C
||
||Lr ||v(·, t)||L1−a
q
L
1
j
m
∂ν
∂ν
j
1
j
1 m
1
≤ a ≤ 1, = + a( − ) + (1 − a)
m
p
n

r
n
q

Cuối cùng, ta sử dụng kí hiệu HE2 (Ω) = v(x, t) ∈ H 2 (Ω)

∂v(x,t)
∂ν

(2.10a)
(2.10b)
=0

và bất đẳng thức
|v(x, t)|21 ≤ ||v(·, t)||.||∆v(·, t)||, ∀v(x, t) ∈ HE2 (Ω).
Vì
9

(2.11)


Ω

2.2

∇(v(x, t)∇v(x, t))dx = −

Ω

∆v(x, t).v(x, t)dx ≤ ||∆v(·, t)||L2 .||v(·, t)||L2

Sự tồn tại nghiệm toàn cục
Trong phần này, ta đi chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình bài toán

biên giá trị đầu
ut (x, t) + γuxxxx (x, t) = ϕ(u(x, t))xx , 0 < x < L, 0 < t < T, Ω = (0, L)

(2.12a)

3

∂ u(x, t)
∂u(x, t)
=
=0, t>0
∂ν
∂ν 3
u(x, 0) = u0 (x, t) , 0 < x < L

(2.12b)
(2.12c)

trong đó
ϕ(u(x, t)) = u3 (x, t) − u(x, t)

(2.13)

với γ > 0. Ta dễ dàng chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm theo biến thời gian. Điều
quan trọng là ta áp dụng phát biểu của Picard để chỉ ra sự tồn tại nghiệm trên [0, T ]
ta cần đưa ra một ước lượng tiền nghiệm cho u(x, t).

2.2.1

Định lí 1.

Cho u0 (x, t) ∈ HE2 (Ω) và T > 0, tồn tại nghiệm duy nhất trong H 4,1 (QT ). Hơn nữa,
nếu u0 (x, t) ∈ H 6 (Ω) ∩ HE2 (Ω) và u0xx (x, t) ∈ HE2 (Ω) thì nghiệm này là nghiệm cổ điển.
Chứng minh. Nhân phương trình (2.12a) cho u(x, t) ta được
u(x, t).ut (x, t) + γu(x, t).uxxxx (x, t) = u(x, t).ϕ(u(x, t))xx
và lấy tích phân theo x hay ta cịn nói là lấy tích phân trên miền Ω = (0, L), ta được:
ut (x, t).u(x, t)dx + γ
Ω

⇔

1d
u(·, t)
2 dt

u(x, t).uxxxx (x, t)dx =
Ω

u(x, t)ϕ(u(x, t))xx dx
Ω

L
2

+ γ uxx (·, t)

2

ϕ (u(x, t))u2x (x, t)dx = 0.

+
0

Vì:
Ω

u(x, t).uxxxx (x, t)dx = u(x, t).uxxx (x, t))x |∂Ω −
=−

Ω

Ω

ux (x, t).uxxx (x, t)dx

= −ux (x, t).uxx (x, t))x |∂Ω +
=

Ω

ux (x, t).uxxx (x, t)dx

Ω

uxx (x, t).uxx (x, t)dx

uxx (x, t).uxx (x, t)dx

= uxx (·, t)

2

và
Ω

u(x, t)ϕ(u(x, t))xx dx = u(x, t)ϕ(u(x, t))x |∂Ω −
=−

Ω

Ω

ux (x, t)ϕ(u(x, t))x dx

ux (x, t)ϕ (u(x, t))ux (x, t)dx
10

(2.14)


=−

Ω

ϕ (u(x, t))u2x (x, t)dx

nên ta có được (2.14)

Để đánh giá (2.14) ta lấy đạo hàm (2.13) theo u(x, t) ta có:
ϕ (u(x, t)) = 3u2 (x, t) − 1 ≥ −1 ≥ −c0 ; ta chọn c0 = 1.

(2.15)

Do đó, từ (2.14), ta có:
1d
u(·, t)
2 dt

2

2

+ γ uxx (·, t)

≤ ux (·, t)

2

≤ uxx (·, t) u(·, t)
1
γ
uxx (·, t) 2 + u(·, t) 2 .
≤
2
γ

(2.16a)
(2.16b)

Để có được (2.16a) và (2.16b) ta đã dùng bất đẳng thức (2.11) và bất đẳng thức
CauChy.
Từ (2.16b) suy ra

1d
u(·, t)
2 dt

2

+

γ
uxx (·, t)
2

2

≤

1
u(·, t) 2 .
γ

(2.16c)

Khi đó từ (2.16c) ta có được:
1d
u(·, t)

2 dt
γ
uxx (·, t)
2

2

2

1
u(·, t) 2 .
γ
1
≤
u(·, t) 2 .
γ
≤

(2.16d)
(2.16e)

Do bất đẳng thức Gronwall và từ (2.16d)-(2.16e) suy ra được:
u((·, t))

2

T

≤ ||u0 (·, t)||2 e γ , 0 ≤ t ≤ T,

(2.17a)

||u0 (·, t)||2 Tγ
e , 0 ≤ t ≤ T.
γ

(2.17b)

t

||uxx (·, t)||2 dτ ≤
0

Tiếp theo, ta dùng CT kí hiệu cho hằng số phụ thuộc vào T nhưng độc lập với nghiệm
u(x, t).
Đặt:
u(x,t)

1
1
ϕ(s)ds = u4 (x, t) − u2 (x, t),
4
2
0
L
γ
F (t) =
(Φ(u(x, t)) + u2x (x, t))dx.
2
0

Φ(u(x, t)) =

(2.18a)
(2.18b)

Suy ra
dF
d
=
dt
dt

L
0

γ
Φ(u(x, t)) + u2x (x, t) dx
2
11

(2.19)


Do (2.12a) và (2.12b) ta có:
ut (x, t) = [ϕ(u(x, t)) − γuxx (x, t)]xx .
Khi đó,
d L
dF
γ

=
Φ(u(x, t)) + u2x (x, t) dx
dt
dt 0
2
L
dF
γ
⇒
=
Φ (u(x, t)).ut (x, t) + 2. ux (x, t).uxt (x, t) dx
dt
2
0
Dùng phương pháp tích phân từng phần hai lần ta có
L

L

γux (x, t).uxt (x, t)dx =

γuxx (x, t).ut (x, t)dx

0

0

Nên
dF
=

dt

L

ϕ(u(x, t)).ut (x, t) − γuxx (x, t).ut (x, t) dx
0
L

ϕ(u(x, t)) − γuxx (x, t) .ut (x, t)dx

=
0
L

ϕ(u(x, t)) − γuxx (x, t) . ϕ(u(x, t)) − γuxx (x, t)

=
0

L

=−

dx
xx

2

ϕ(u(x, t)) − γuxx (x, t) dx ≤ 0

(2.20)

x

0

và
L

F (t) ≤ F (0) =
0

γ
(Φ(u0 (x, t)) + u20x (x, t)dx.
2

(2.21)

Ta nhắc lại hệ quả của bất đẳng thức Young (bất đẳng thức Peter Paul) như sau
ab ≤ ap + C bq .
Để đánh giá u2 (x, t), ta chọn a = u2 (x, t) và b = 1; để đánh giá cho |u3 (·, t)|, ta chọn
a = |u3 (·, t)| và b = 1. Khi đó, theo bất đẳng thức Peter Paul ta được
u2 (x, t) ≤ u4 (x, t) + C1 và |u3 (·, t)| ≤ u4 (x, t) + C2 .

(2.22)

Kết hợp với (2.17a), (2.18b) và (2.21), ta có:
γ
2

L
0

γ
ux (x, t).ux (x, t)dx = ||ux (·, t)||2 ≤
2

L
0
L

≤
0

1 4
u (x, t) −
4
1 4
u (x, t) −
4 0

≤ F (0) + C1 + C2
≤ F (0) + C3 ,
12

1 2
u (x, t) +
2
1 2
u (x, t) +

2 0

γ 2
u (x, t) dx
2 x
γ 2
u (x, t) dx
2 0x


hay
γ
||ux (·, t)||2 ≤ C3 + F (0) = C.
2
⇒ ux (x, t) ∈ L2

(2.23)

mặt khác từ
L
0

Φu(x, t) ≤ C

⇒ u(x, t) ∈ L2
Theo định nghĩa của không gian H 1 (Ω) nên ta có u(x, t) ∈ H 1 (Ω).
Do định lí nhúng Sobolev, H 1

L∞ , (2.17a)-(2.23) suy ra

||u(·, t)||∞ ≤ C , ∀t ∈ [0, T ].

(2.24)

Tiếp theo, ta nhân phương trình (2.12a) cho uxxxx (x, t) và lấy tích phân theo x, ta
được:
1d
uxx (·, t)
2 dt

L
2

2

+ γ uxxxx (·, t)

=

ϕ(u(x, t))xx uxxxx (x, t)dx.

(2.25)

0

Lưu ý,
ϕ(u(x, t))xx = ϕ (u(x, t))uxx (x, t) + ϕ u2x (x, t)
= (3u2 (x, t) − 1)uxx (x, t) + 6u(x, t).u2x (x, t).

(2.26)

Bởi bất đẳng thức Nirenberg (2.10a)-(2.10b), ta chọn
p = ∞, m = 4, r = q = 2, j = 1, khi đó với 1 ≤ p ≤ ∞, ta được: a = 83 . Suy ra
3

5

||ux (·, t)||∞ ≤ C(||uxxxx (·, t)|| 8 ||u(·, t)|| 8 + ||u(·, t)||),

(2.27)

sử dụng (2.23)-(2.24) ta có bất đẳng thức:
L

ϕ (u(x, t)).u2x (x, t).uxxxx (x, t)dx ≤ CT .||ux (·, t)||∞ .||ux (·, t)||.||uxxxx (·, t)||
0
3

≤ CT . ||uxxxx (·, t)|| 8 + 1 .||uxxxx (·, t)||
γ
≤ ||uxxxx (·, t)||2 + CT .
(2.28)
4
Từ (2.24)-(2.25)-(2.26)-(2.28) ta được:
L

1d
||uxx (·, t)||2 + γ||uxxxx (·, t)||2 ≤
2 dt

ϕ (u(x, t)).uxx (x, t).uxxxx (x, t)dx
0
L

ϕ (u(x, t)).u2x (x, t).uxxxx (x, t)dx

+
0

γ
≤ ||uxxxx (·, t)||2 + CT ||uxx (·, t)||2 ,
2

13

(2.29)


và theo bất đẳng thức Gronwall, ta được:
||uxx (·, t)||2 ≤ CT ,

∀t ∈ [0, T ];

(2.30a)

||uxxxx (·, t)||2 dτ ≤ CT ,

∀t ∈ [0, T ].

(2.30b)

t
0

Bởi các ước lượng (2.17a)-(2.17b)-(2.25)-(2.26)-(2.30a)-(2.30b) hoàn tất chứng minh
sự tồn tại nghiệm tổng quát u(x, t) ∈ H 4,1 (QT ).
Hơn nữa tính chính quy của nghiệm được xác định bởi việc sử dụng phương pháp
Bootstrap. Do u(x, t) ∈ H 4,1 (QT ), ta có:
ux (x, t) ∈ L∞ (QT ), uxx (x, t) ∈ L2 (0, T ; L∞ (Ω)).

(2.31)

Bởi các tính toán trực tiếp,
f (x, t) ≡ ∆ϕ(u(x, t)), f ∈ L2 (QT ), f ∈ L2 (QT ).

(2.32)

Được biết trong (Lions và Magennes 1972), nếu f ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)) và v0 (x, t) ∈
HE2 (Ω), thì bài toán biên giá trị đầu
vt (x, t) + γvxxxx (x, t) = f

(2.33a)

3

∂v(x, t)
∂ v(x, t)
=
, v|t=0 = v0 (x, t)
∂ν

∂ν 3

(2.33b)

có nghiệm duy nhất là v(x, t) ∈ H 4,1 (QT ). Dễ dàng thấy rằng:
f (x, t) ≡

∂
∆ϕ(u(x, t))
∂ν

v0 (x, t) = ∇u0 (x, t)

thì

v(x, t) = ∇u(x, t) ∈ H 4,1 (QT ),
(2.34a)

f (x, t) ≡ ∆2 ϕ(u(x, t))

v0 (x, t) = ∆u0 (x, t)

thì

v(x, t) = ∆u(x, t) ∈ H 4,1 (QT ).
(2.34b)

Hơn nữa, (2.34) kéo theo
∂
∆ϕ ∈ L2 (QT )

∂t
∂
2
và giả thiết rằng ∂ν ∆ u0 (x, t) = 0, ta có v0 = −γ∆2 u0 (x, t) + ∆ϕ(u0 (x, t)) ∈ HE2 (I).
f=

Do đó:
v(x, t) = ut (x, t) ∈ H 4,1 (QT ),

(2.35)

và bởi lý thuyết nội suy, (2.34) và (2.35) kéo theo:
ux (x, t), uxxxx (x, t) ∈ C(QT ).

(2.36)

Kết thúc chứng minh cho sự tồn tại nghiệm cổ điển. Bây giờ ta sẽ đi chứng minh sự
tồn tại của nghiệm tổng quát với γ lớn thật sự và ||u0 ||2 thật sự nhỏ. Từ (2.12) suy ra
1
L

L

u(x, t)dx =
0

1
L
14

L

u0 (x)dx ≡ M.
0

(2.37)


Nếu ta đặt:
v(x, t) = u(x, t) − M

(2.38)

thì
L

v(x, t)dx = 0,

(2.39)

0

thì bài tốn (2.12) trở thành:
2
vt (x, t) + γvxx
(x, t) = ϕ˜xx (v(x, t)),

∂v(x, t)
∂ 3 v(x, t)
=

=0
∂ν
∂ν 3
v(x, 0) = u0 (x, t) − M

(2.40a)
(2.40b)
(2.40c)

trong đó
ϕ(v(x,
˜
t)) = v 3 (x, t) + 3M v 2 (x, t) + (3M 2 + M − 1)v(x, t).

2.2.2

(2.41)

Định lí 2.

Nếu γ > L2 /π 2 , u0 (x, t) ∈ HE2 (Ω) và ||u0 (·, t)||2 là thật sự nhỏ, thì tồn tại duy nhất
nghiệm tổng quát u(x, t) ∈ H 4,1 (QT ) cho (2.12). Hơn nữa, nghiệm thỏa:
lim ||u(·, t) − M ||∞ = lim ||ux (·, t)||∞ = lim ||uxx (·, t)|| = 0.

t→∞

t→∞

t→∞

(2.42)

Chứng minh. Dễ thấy bài toán (2.12) tương đương với bài toán (2.40). Như đã đề cập,
ta có nghiệm riêng tồn tại và duy nhất theo thời gian sao cho nghiệm tổng quát tồn
tại điều này cần thiết phải chi ra một tiền ước lượng v. Theo đó, kí hiệu Cj , j = 1, 2, ...
là các hằng số độc lập theo v và t. Nếu ta đặt
γ0 = 3M 2 + M − 1,

γ˜1 = 3M.

(2.43)

Phương trình (2.40a) có thể được viết lại như sau:
2
(x, t) − γ0 vxx (x, t) = f ≡ ∆(v 3 (x, t) + γ˜1 v 2 (x, t)).
vt (x, t) + γvxx

(2.44)

Do ||u0 (·, t)||2 được giả sử là rất nhỏ, ta có thể giả sử như sau:
|γ0 | < γπ 2 /L2 .

(2.45)

Với t > 0 cố định, đặt:
t

N (t) = sup ||v(τ )||22 +
0<τ

||v(τ )||22 τ.

(2.46)

0

Mục đích ta đi chứng minh N (t) là bị chặn và độc lập với t, ở điều kiện ban đầu. Các
bước chứng minh như sau.
15


Bước 1. Nhân (2.44) cho v và lấy tích phân theo x, ta được:
L

1d
||v(·, t)||2 + γ||vxx (·, t)||2 + γ0 ||vx (·, t)||2 =
2 dt

f v(x, t)dx.

(2.47)

0

Do vx (x, t) ∈ H01 (Ω), bất đẳng thức Freidrich (2.8) suy ra:
1d
||v(·, t)||2 + C1 ||vxx (·, t)||2 ≤
2 dt

L

f v(x, t)dx,

(2.48)

0

trong đó
C1 = γ − |γ0 |L2 /π 2 > 0.
L
0

Do

(2.49)

v(x, t)dx = 0, Do bất đẳng thức Poincare và Freidrich, ta có:
||v(·, t)||2 ≤ C2 ||vxx (·, t)||2 ,

(2.50)

1d
||v(·, t)||2 + C3 ||v(·, t)||22 ≤ C4 ||f ||2 .
2 dt

(2.51)

từ (3.37) suy ra:

Bước 2. Nhân (2.44) cho vt (x, t) và lấy tích phân theo x, ta được:

||

d
∂v(·, t) 2
|| + γ||vxx (·, t)||2 + γ0 ||vx (·, t)||2 ≤ ||f ||2 .
∂t
dt

(2.52)

Lấy tích phân (2.52) theo t, sử dụng bất đẳng thức Freidrich (2.8) và chú ý (2.49)
ta được:
t

t
2

2

2

2

||f ||2 dτ.

||vt (·, t)|| dτ + C1 ||vxx (·, t)|| ≤ γ||v0xx (·, t)|| + |γ0 |||v0x (·, t)|| +
0

0

(2.53)
Kết hợp với (2.51)-(2.53) ta được:
t

N (t) ≤ C4

||v0 (·, t)||22

||f ||2 dτ .

+

(2.54)

0

Do
f ≡ v 3 (x, t) + γ˜1 v 2 (x, t)

xx

˜ 1 v(x, t) vxx (x, t) + (6v(x, t)
= 3v 2 (x, t) + 2γ
+ 2γ˜1 )(vx (x, t))2 ,

||f ||2 ≤ C5

||v(·, t)||4∞ + ||v||2∞ ||vxx (·, t)||2

+ ||v(·, t)||2∞ ||vx (·, t)||2∞ + ||vx (·, t)||2∞ ||vx (·, t)||2

16

(2.55)


Với bất đẳng thức Sobolev và Poincare cho không gian một chiều, suy ra:
||v(·, t)||∞ ≤ C6 ||vx (·, t)||,

||vx (·, t)||∞ ≤ C7 ||vxx (·, t)||

và từ (2.55), suy ra:
||f ||2 ≤ C8 ||vxx (·, t)||4 + ||vxx (·, t)||6
và
t

t

||f ||2 dτ ≤ C8 sup ||v(·, t)||22 1 + sup ||v(·, t)||22
τ ∈[0,T ]

0

τ ∈[0,T ]

||v(·, t)||22 dτ.

(2.56)

0

Kết hợp (2.54)-(2.56), suy ra:
N (t) ≤ C9 ||v0 (·, t)||22 + N (t)2 + N (t)3 , ∀t > 0.

(2.57)

Bởi việc khảo sát đồ thị hàm F (N ) = C9 {||v0 (·, t)||22 + N 2 + N 3 } − N và theo
mệnh đề của Klainerman và Ponce [1983] thì rõ ràng nếu ||v0 (·, t)||2 là thật sự
nhỏ thì tồn tại hằng số C10 thỏa
N (t) ≤ C10 ||v0 (·, t)||22 ,

∀t > 0.

(2.58)

Điều này chứng tỏ sự tồn tại nghiệm tổng quát yếu trong H 2,1 (QT ). Để kết thúc
chứng minh về sự tồn tại nghiệm tổng quát trong H 4,1 (QT ), ta thấy khi nhân
2
(2.44) bởi −vxx (x, t) và vxx
(x, t), ta được các bất đẳng thức sau.
t

t

||vxxx (·, t)||2 dτ ≤ C11 ||v(·, t)||21 +

||vx (·, t)||2 +
0

||f ||2 dτ ,

(2.59a)

||f ||2 dτ .

(2.59b)

0
t

t
2
||vxx
(·, t)||2 dτ

2

||vxx (·, t)|| +

≤ C12

||v(·, t)||22

0

+
0

Do đó, các biên trong H 4,1 (QT ) thỏa (2.56)-(2.57)-(2.59).
Để chứng minh v(x, t) tiến tới 0 khi t → ∞ , ta ta thấy rằng, do (2.58) và mọi t,
||f ||2 ≤ ||vxx (·, t)||2 ,

trong đó

(2.60)

đủ nhỏ để ||v0 (·, t)||2 nhỏ, từ đó (3.40) trở thành:
1d
||v(·, t)||2 + (C3 − C4 )||v(·, t)||22 ≤ 0.
2 dt

(2.61)

kéo theo với (||v0 (·, t)||2 ) nhỏ thì ||v(·, t)|| tiến nhanh đến 0. Tương tự, ta có
||v(·, t)||2 → 0 khi t → ∞ từ các bất đẳng thức tương ứng với (3.48). Do đó, ta
cũng có ||v(·, t)||∞ và ||vx (·, t)||∞ cũng tiến tới 0 khi t → ∞.

17


2.2.3

Lưu ý 1.

Nếu điều kiện đầu gần như là hằng M và |ϕ (M )| < γπ 2 /L2 , ta cũng có các kết quả
tương tự. Đặc biệt, phương trình mơ phỏng chuyển động chất lỏng trên bề mặt của
SIVASHINSKY [1983].
ut (x, t) + u2xx (x, t) + αu(x, t) − (2u(x, t) − 1/2u2 (x, t))xx = 0, α > 0,

(2.62)

với điều kiện đầu và biên giống (3.1b,c). Nếu π 2 > 2L2 hoặc α > 1 thì bài tốn (2.62,

2.12b, 2.12c) có nghiệm tổng qt được suy ra từ điều kiện đầu là nhỏ.
2.2.4

Lưu ý 2.

Không gian chiều n ≤ 3. Các bài toán tương ứng cho n = 2, 3 là:
∂u(x, t)
+ γ∆2 u(x, t) = ∆ϕ(u(x, t)),
∂t
∂
∂u(x, t)
=
∆u(x, t) = 0, trên Γ
∂ν
∂ν
u|t=0 = u0 (x, t),

(2.63a)
(2.63b)
(2.63c)

trong đó Ω là miền bị chặn với biên trơn Γ và ν là biên ngoài của Γ. Với u0 (x, t) ∈ HE2 (Ω)
tồn tại duy nhất nghiệm tổng quát u(x, t) ∈ H 4,1 (QT ). Chứng minh tương tự định lí 1
dưới phép đổi biến
v(x, t) = u(x, t) − M, M =

u0 (x, t)dx/|Ω|,

(2.64)

Ω

không mất tính tổng quát, giả sử rằng:
u0 (x, t)dx = 0 =
Ω

u(x, t)dt.

(2.65)

Ω

Theo (2.17)-(2.23) ta có
t

|u(x, t)|22 dτ ≤ CT , ∀t ∈ (0, T ].

||u(·, t)||1 +

(2.66)

0

Từ (2.25) ước lượng rất quan trọng sẽ là ||ϕ(u(x, t))xx ||. Do các điều kiện biên, (2.65)
và bất đẳng thức Poincare - Freidrich thì ||u2xx (·, t)|| là ||u(·, t)||4 .
Tương tự trong một chiều do định lí nhúng Sobolev thì H 1 (Ω)

Lt (Ω).

Cụ thể ta có,

Với n = 2, r=1, p = 2 thì W 1,p (Ω) ⊂ Lt (Ω) với mọi t ∈ [p, +∞[.
Với n = 3, r=1, p = 2 thì W 1,p (Ω) ⊂ Lk (Ω) với k = 6 được tính từ cơng thức

1
k

= p1 − n1 .

Nên ta có:
||u(·, t)||Lq ≤ CT , q < ∞(n = 2),

(2.67a)

||u(·, t)||L6 ≤ CT (n = 3).

(2.67b)

18


Bởi bất đẳng thức Nirenberg (2.10), ta có:
−1
||u(·, t)||∞ ≤ C||∆2 u(·, t)||a ||u(·, t)||L1−a
, n = 2.
q , a = (1 + 3q/2)
5

1

||u(·, t)||∞ ≤ C||∆2 u(·, t)|| 6 ||u(·, t)||L6 6 , n = 3

1

5

1
4

3
4

||Du(·, t)||L4 ≤ C||∆2 u(·, t)|| 6 ||Du(·, t)|| 6 , n = 2.
||Du(·, t)||L4 ≤ C||∆2 u(·, t)|| ||Du(·, t)|| , n = 3.
2

1

||∆u(·, t)|| ≤ C||∆2 u(·, t)|| 3 ||∆u(·, t)|| 3, , n = 2.
1

(2.68a)
(2.68b)

(2.69a)
(2.69b)

(2.70a)

1

||∆u(·, t)|| ≤ C||∆2 u(·, t)|| 2 ||Du(·, t)|| 2 , n = 3.

(2.70b)

Từ các bất đẳng thức trên ta suy ra
1

2

||u2 (·, t)∆u(·, t)|| ≤ ||u(·, t)||2∞ ||∆u(·, t)|| 3 ≤ CT ||∆2 u(·, t)|| 3 +2a , n = 2.
5
6

||u2 (·, t).∆u(·, t)|| ≤ CT ||∆2 u(·, t)|| , n = 3.
1

||u(·, t)|∆u(·, t)|2 || ≤ ||u(·, t)||∞ ||∆u(·, t)||2L4 ≤ CT ||∆2 u(·, t)|| 3 +a , n = 2.
2
3

||u(·, t)|∆u(·, t)|2 || ≤ CT ||∆2 u(·, t)|| , n = 3.

(2.71a)
(2.71b)

(2.72a)
(2.72b)

Do
∆ϕ(u(x, t)) = ϕ (u(x, t))∆u(x, t) + ϕ (u(x, t))|∇u(x, t)|2 .
Áp dụng bất đẳng thức Young cho vế phải bất đẳng thức trên ta được:

1d
||∆u(·, t)||2 + γ||∆2 u(·, t)||2 =
2 dt

(x, t)∆ϕ(u(x, t))∆2 u(x, t)dx.
u

Sử dụng (2.72), ta được:
t
2

||∆2 u(·, t)||2 dτ ≤ CT , ∀t ∈ [0, T ].

||∆u(·, t)|| +
0

Kết thúc chứng minh sự tồn tại nghiệm tổng quát.

19

(2.73)


3

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình
chỉnh hóa Sobolev.

3.1

Giới thiệu

Ta xét phương trình
ut (x, t) = ∆ ϕ(u(x, t)) + ut (x, t) , x ∈ Ω, t ∈ R

(3.1)

n.∇ ϕ(u(x, t)) + ut (x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ∈ R

(3.2)

u(x, 0) = u0 (x, t), x ∈ Ω

(3.3)

với điều kiện biên

và điều kiện đầu

Ở đây ϕ là hàm không đơn điệu lập phương, các giả thiết chính xác cho chúng được
nêu trong phần sau. Với Ω là miền bị chặn, liên thông miền trong RN với biên trơn
và ν > 0 là hằng số. Trong luận văn này, chúng ta đi chứng minh sự tồn tại và duy
nhất nghiệm địa phương theo thời gian của bài toán (3.1) bằng cách dùng định lý và
kết quả cơ bản của phương trình vi phân thường. Chúng ta chứng minh các tính chất
cho nghiệm này, đặc biệt là tính bị chặn đều của nghiệm theo thời gian để suy ra sự
tồn tại nghiệm toàn cục trên (0, +∞) và một dạng chỉnh hóa khác là việc kết hợp với
phương trình Cahn-Hilliard
ut (x, t) = ∆(ϕ(u(x, t)) − k∆u(x, t))

(3.4)

Phương trình Cahn-Hilliard được giới thiệu bởi Cahn để mơ hình hóa các pha phân
lớp của bài tốn hỗn hợp thành trạng thái thuần nhất không ổn định. Điều này thì
được dựa vào ngun lí động tựa cân bằng đó là thơng lượng nên là tỉ lệ đối với độ
dốc của thế vị hóa học. Trên phương diện, sự tập trung của u(x, t) của một loài, thế
vị hóa học µ = ϕ(u(x, t)) − k∆u(x, t) xuất hiện như là đạo hàm của hàm năng lượng
tự do cái mà giảm theo thời gian đối với các nghiệm của (3.4) nghĩa là,
I(u(x, t)) =
Ω

1
Φ(u(x, t)) + k|∇u(x, t)|2 dx.
2

(3.5)

trong đó Φ (u(x, t)) = ϕ(u(x, t))
Việc tìm kiếm các ước lượng tốt hơn, các tác giả đã cải tiến mơ hình của Cahn’s
bằng cách tách các tác động của độ nhớt lên sự cân bằng. Binder, Frisch và Jackle
[BFJ] đã giả định một mơ hình tuyến tính cho pha phân lớp phân rã lùi khi thế vị hóa
học bao gồm yếu tố lũy tiến. Khi nhân lũy tiến dạng mũ đơn exp(−γt), phương trình
cho sự tập trung như sau:
utt (x, t) + γut (x, t) = M ∆(γD0 u(x, t) − γK∆u(x, t) + D∞ ut (x, t) − K∆ut (x, t)) (3.6)
20


trong đó M, D0 , D∞ và K là các hằng số. Stephenson cũng tìm hiểu các phương trình
như trong (3.6). Các cơng trình liên quan cũng được nhiều tác giả quan tâm dưới dạng
"khuếch tán phi truyền thống". Phương trình
ut (x, t) + D∗ utt (x, t) = ∆ Du(x, t) − E∆u(x, t) + Dut (x, t)

xuất hiện trong các cơng trình của Aifantis, trong khi phương trình (3.6) với K = 0
xuất hiện trong các bài của Durning và Jackle và Freisch.
Chọn K = 0 và đặt γ lớn trong (3.6) với D∞ /γ cố định, ta sẽ đưa ra dạng tuyến
tính của (3.1). Phương trình tuyến tính này cũng được đề cập đến trong Aifantis,
Ting, Chen và Gurten. Hạng tử ∆ut (x, t) được lí giải như là độ nhớt. Trong bài này,
ta cũng đánh giá một phương trình giống (3.1) dựa vào giới hạn dịng chảy chậm cho
các phương trình của chuyển động, kết hợp của hai dịng với độ nhớt Newton.
Phương trình phi tuyến (3.1) có thể được xem như là biến thể của phương trình
Cahn-Hilliard với các tác động nhớt. Như mơ hình cho pha phân tầng bởi phân rã lùi,
phương trình (3.1) có thơng dịng đặc biệt mà trong đó năng lượng gây bởi tính khơng
thuần nhất hay các pha biên bị bỏ qua. Trường hợp này ít được quan tâm. Chúng ta
thường quan tâm đến sự không ổn định xuất hiện thường xuyên trong bài toán khuếch
tán ngược gây ra các thành phần phức trong các nghiệm của phương trình phi tuyến
(3.1). Chúng ta quan tâm đến việc xác định liệu rằng các nghiệm có ổn định đến trạng
thái nào khơng, yếu tố nào là ổn định và ổn định theo nghĩa nào. Các kết quả thường
không tốt cho hệ phân tán.
Ta dễ dàng chỉ ra nghiệm không ổn định của (3.1) với năng lượng
Φ(u(x, t))

I(u(x, t)) =

(3.7)

Ω

là giảm theo thời gian, trong khi trung bình sự tập trung
u(x, t) =

u(x, t)/|Ω|

(3.8)

Ω

là hằng số theo thời gian. Nhưng sự phân tán của cơ lưu chất thì khá nhỏ, ta dễ dàng
chứng minh được nghiệm này thì ổn định tới trạng thái ổn định khi t là lớn. Theo Gibbs,
ta mong rằng nghiệm này thì tiến tới trạng thái mà Gibbs cho cực tiểu hóa năng lượng
I(u(x, t)) đến u(x, t) là hằng. Nếu u(x, t) nằm giữa khoảng αM và βM thì chúng chính
là phép thiết lập vùng diện tích bằng nhau của Maxwell (do đó ϕ(αM ) = ϕ(βM ) = ϕM
và tích phân của ϕ − ϕM trên (αM , βM ) là 0), nó được biết đến như là trạng thái mà
u(x, t) đạt được nhỏ nhất, phải thỏa tại mỗi điểm x.
u(x, t) = αM hoặc u(x, t) = βM , để ϕ(u(x, t)) = ϕM mọi nơi.

(3.9)

Điều này chỉ ra rằng các kỳ vọng này là khơng chính xác. Thứ nhất, chúng q
xa so với các trạng thái của các nghiệm của (3.1), cái mà thỏa mãn khi hạn chế trên
21


u(x, t), mọi hàm đo được u(x, t) bị chặn phải thỏa mãn ϕ(u(x, t)) là hằng số, là nghiệm
độc lập theo thời gian của (3.1). Thứ hai, liệu rằng ϕ = ϕM hay khơng. Nghĩa là, các
thế vị hóa học là hằng số, các pha có thể được sắp xếp như yếu tố ngẫu nhiên trong
không gian. Hơn nữa, các kết quả chỉ ra rằng các nghiệm có thể ổn định mà không bị
hạn chế bởi luật cân bằng diện tích.
Ta quan tâm đến trạng thái u(x, t) ∈ (αM , α+ ) hoặc (β− , βM ) như là siêu bền, do
chúng chỉ là năng lượng cực tiểu địa phương, và các trạng thái thỏa u(x, t) ≤ αM hoặc
u(x, t) ≥ βM là ổn định tuyệt đối . Định lí 2 kéo theo các nghiệm trơn của (3.1) gần
với các trạng thái rời rạc chứa các hỗn pha của siêu ổn định hoặc ổn định tuyệt đối
ngẫu nhiên. Nó dường như khơng thật sự là các trạng thái vật lí theo thời gian. các

trường hợp này, các kết quả đưa ra các ảnh hưởng khác như trên, chỉ ra việc triệt tiêu
độ nhớt thì khơng ảnh hưởng đến việc xác định nghiệm cho trạng thái cân bằng cực
tiểu. Trong phần sau, ta thiết lập phương trình (3.1) là đặt chỉnh cho điều kiện đầu
u(x, 0) trong L∞ (Ω) hoặc là cho điều kiện đầu liên tục cũng như các tính chất khơng
liên tục về đièu kiện đầu được chấp nhận và nó khơng được hình thành trong điều kiện
thời gian hữu hạn. Ta chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu với t > 0 bởi việc xác định
các khoảng bất biến dương cho u(x, t).

22


3.2

Nghiệm yếu
Trong phần này, ta tiến hành xây dựng nghiệm yếu cho phương trình (3.1) theo

thời gian cho các giá trị đầu trong L∞ (Ω) và ta nghiên cứu các tính chất chính qui của
nghiệm. Trước hết, ta sẽ biến đổi phương trình (3.1) thành (3.10) như sau:
ut (x, t) = ∆ ϕ(u(x, t)) + ut (x, t)
⇔ ut (x, t) = ∆ϕ(u(x, t)) + ∆ut (x, t)
⇔ ut (x, t) − ∆ut (x, t) = ∆ϕ(u(x, t)
⇔ (I − ∆)ut (x, t) = ∆ϕ(u(x, t))
⇔ ut (x, t) = (I − ∆)−1 ∆ϕ(u(x, t))
1
def
(I − ∆)−1 − I .ϕ(u(x, t)) = F (u(x, t)).
⇔ ut (x, t) =
Trong đó, ta chứng minh được (I − ∆)−1 ∆ =

1

(I − ∆)−1 − I .

Toán tử (I − ∆)−1 được định nghĩa bởi việc đặt w = (I − ∆)−1 g khi w thỏa

(I − ∆)w = g trong Ω
(3.10)
w = 0 trên ∂Ω.
Khi đó, ta xét bài tốn sau:

ut (x, t) = F (u(x, t))

(3.11)

u(0, t) = u (x, t).
0
Do F là Lipschitz (đều trên R) và u0 (x, t) ∈ L∞ (Ω), sự tồn tại và duy nhất của
nghiệm khả vi liên tục (3.13) được định nghĩa trên R kéo theo những kết quả kinh điển
về phương trình vi phân cổ điển trong không gian Banach, chỉ ra rằng ánh xạ tuyến
tính g → (I − ∆)−1 là bị chặn trong L∞ (Ω). Vì vậy, để đưa ra chứng minh chi tiết
trước hết xét bổ đề (3.2.1) sau:
3.2.1

Bổ đề 1.

Đặt g ∈ L∞ (Ω). Khi đó bài tốn (3.11)-(3.12) có nghiệm duy nhất w trong W 2,p (Ω),
∀p, 1 < p < ∞. Nếu g(x) không là hằng số hầu khắp nơi thì
ess inf g(x) < w(x) < ess sup g(x) ∀x ∈ Ω.

Theo Định lí Agmon- Douglis-Nirenberg (xem ADAMS R Sobolev space, 1975) dẫn

đến kết quả tồn tại và duy nhất nghiệm yếu u(x, t) ∈ H 2 ∩ H01 , w ∈ L2 (Ω). Lưu ý: Ở
đây W 2,p là không gian Sobolev với chuẩn:
||u(·, t)||2,p = ||u(·, t)||2p + ||∇u(·, t)||2p .
23