khoang cach tu diem toi mat phang lời giải chi tiết

Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán

Thầy Đặng Việt Hùng

01. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MẶT PHẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng
BÀI TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a. Hình chiếu vuông góc
của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC, mặt phẳng (SAC) tạo với đáy (ABC) một
góc 600. Tính thể tích hình chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAC) theo a, trong đó I
là trung điểm SB.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết AC = 2 3a; BD = 2a, khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng

a 3
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
4
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Hình chiếu của đỉnh S trên mặt
phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AD, góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) bằng 600. Tính
thể tích của khối chóp S.HABC và khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SBC).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, BC = 2a. Gọi O là trung điểm
(SAB) bằng

của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn OA + 2OH = 0 , góc giữa SC và mặt
đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm I của SB tới mặt phẳng
(SAH).
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh AB = a, AD = 2a, tam giác SAC là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm của SD, N là điểm trên
cạnh SC sao cho SC = 3SN. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ N đến mặt phẳng
(ACM).
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với BC là đáy nhỏ. Biết rằng

tam giác SAB là tam giác đều có cạnh với độ dài bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy,

SC = a 5 và khoảng cách từ D tới mặt phẳng (SHC) bằng 2a 2 (với H là trung điểm AB ). Tính thể tích
khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Gọi M là trung điểm
của AD, H là giao điểm của AC và BM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và tâm mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S.ABCD nằm ở mặt đáy. Tính thể tích khối chóp đã cho và khoảng cách từ H đến mặt
phẳng (SCM) theo a.
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và AB = 4a, hình chiếu vuông góc của
đỉnh S lên (ABCD) trùng với trung điểm I của đoạn thẳng OA. Biết khoảng cách từ I đến (SAB) bằng
2
SI . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
2
a
; BC = a . Hai mặt phẳng
2
(SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt đáy (ABC) góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ B
tới mặt phẳng (SAC) theo a biết mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy (ABC).

Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, với AC =

Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc

www.moon.vn


Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán

Thầy Đặng Việt Hùng

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1:
Gọi H, J lần lượt là trung điểm của BC, AC.
 SH ⊥ ( ABC )
Ta có 
⇒ AC ⊥ SJ . Suy ra góc SJH = 600
 HJ ⊥ AC

S

I

BC
AB
a 6
2a
= a 2; HJ =
=
; SH = HJ .tan 600 =
2
2
2
2
2
1
AB. AC 1 6
a3 6
Ta có VS . ABC = SH .
. 2 .a 3 =
.

= .
3
2
6 2
6
 HE ⊥ SJ
Gọi E là hình chiếu của H lên SJ, khi đó ta có 
⇒ HE ⊥ ( SAC )
 HE ⊥ AC
Mặt khác, do IH / / SC ⇒ IH / /( SAC ) , suy ra
AB =

E

B

( )

C

H
J

A

d [ I ,(SAC)] = d [ H ,(SAC)] = HE = HJ .sin600 =

6
a.
4

Bài 2:
Do hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD) nên SO ⊥ (ABCD).
1
Suy ra VSABCD = SO.SABCD
S
3
2
Diện tích đáy S ABCD = AC .BD = 2 3a
Ta dễ dàng chứng minh được tam giác ABD đều.
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là
trung điểm của HB ta có DH ⊥ AB và DH = a 3.
1
2

Ta có OK // DH và OK = DH =

a 3
2

I

D

A

a 3

⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK)
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI

⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng
(SAB)
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao ⇒

O
C

H
a

K
B

1
1
1
a
=
+
⇒ SO =
2
2
2
OI
OK
SO
2

a
2

Đường cao của hình chóp là SO = .
3a 3
3
1
a 2
Bài 3: Gọi I là trung điểm của AO, suy ra HI = OD =
2
4
Ta có
( SAC ) ∩ ( ABCD ) = AC
⇒ ( SAC ; ABCD ) = SIH = 600

AC
⊥
(
SHI
)

a 2
a 6
SH = HI .tan SIH =
. 3=
4
4
1 a 3a 2
S H . ABC = S ABCD − S HDC = a 2 − a. =
2 2
4
1

1 a 6 3a 2 a 3 6
Từ đó ta có VS . HABC = SH .S H . ABC = .
=
3
3 4 4
16
(đvtt).
Gọi E là trung điểm của BC, suy ra BC ⊥ ( SHE )
1
3

Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD = S ABCD .SO =

Dựng HK ⊥ SE ⇒ HK ⊥ ( SBC ) hay HK = d ( H ;( SBC ) )

Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc

www.moon.vn


Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán

Thầy Đặng Việt Hùng

1
1
1
1
1
8

1
11
a 3 a 33
.
=
+
= 2 + 2 = 2 + 2 = 2 ⇔ HK =
=
2
2
2
3a
3a
11
HK
SH
HJ
a .6 a
a
11
16
a 33
Vậy d ( H ;( SBC ) ) =
.
11
Bài 4: OA + 2OH = 0 nên H thuộc tia đối của tia OA và OA =
2OH.
a
3a
BC = AB 2 = 2a ⇒ AB = AC = a 2; AO = a; OH = ⇒ AH = .

2
2
a 5
Ta có HC = HO 2 + OC 2 =
.
2
a 15
Lại có SC ; ABC = SCH = 600 ⇒ SH = HC.tan 600 =
.
2
2 a 15
1 1
a 3 15
Từ đó ta được VS . ABC = . a 2 .
=
.
3 2
2
6
 BO ⊥ AH
d ( I ,( SAH )) SI 1
Ta có 
⇒ BO ⊥ ( SAH ) 
→
=
=
d ( B,( SAH )) SB 2
 BO ⊥ SH
1
1

a
Do đó, d ( I ,( SAH )) = d ( B,( SAH )) = BI = .
2
2
2

Ta có

(

)

(

)

Bài 5:

Gọi O là trung điểm của AC, do ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) .
Suy ra SO là chiều cao của chóp.
a 15
AC = AB 2 + BC 2 = a 5 ⇒ SO = SA2 − AO 2 =
2
N
M
3
1
a 15
VS . ABCD = SO. AB. AD =
.

3
3
3V
1
A
VN . ACM = d ( N ;( ACM )).S ∆ACM ⇒ d ( N ;( ACM )) = N . ACM
D
3
S∆ACM
1
1
1
Lại có, VN . ACM = VS . ADC − VS . AMN − VM . ADC = VS . ADC − VS . ADC − VS . ADC = VS . ADC
O
6
2
3
B
3
1
a 15
C
⇒ VN . ACM = VS . ABDC =
.
6
18
2
CS 2 + CD 2 SD
7a 2
a 13

2
Áp dụng công thức đường trung tuyến CM =
−
=
; AM =
.
2
4
4
2
AM 2 + AC 2 − CM 2
13
7
1
a 2 91
Suy ra cos A =
=
⇒ sin A =
⇒ S ∆ACM = AC . AM .sin A =
.
2 AM . AC
2
8
2 5
2 5
3V
4a 15
Vậy d ( N ;( ACM )) = N . ACM =
.
S∆ACM

3 91
S

Bài 6:
S

( SAB) ⊥ ( ABCD)

Ta có ( SAB) ∩ ( ABCD) = AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD)
 SH ⊥ AB

A

G

D

SH = a 3; HC = a 2; BC = a; CG / / AB

⇒∆AHG và ∆CHG vuông cân.

H

I
K
B

C

Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc

www.moon.vn


Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán

Thầy Đặng Việt Hùng

( SHC ) ⊥ ( ABCD)

Mặt khác ( SHC ) ∩ ( ABCD) = HC ⇒ DH ⊥ ( SHC )
 DK ⊥ HC

Suy ra DK = d ( D; ( SHC ) ) = 2a 2
Ta có AGH = ADK = 450 ⇒ ∆IDG vuông cân tại I.
Đặt GD = GI = x ⇒ DI = x 2; CI = 2a − x ⇒ KI = a 2 −
KI + ID = KD ⇒ a 2 −

x 2
2

x 2
1
4
+ x 2 = 2a 2 ⇒ x = 2a ⇒ DK ≡ DC ⇒ VSABCD = SH .S ABCD = a 3 3 .
2
3
3

Bài 7: Ta dễ dàng tính được

+ OA = OS =
+V=

a 5
a 5
a 10
⇒ OH =
⇒ SH =
2
6
3

2a 3 10
9

+ Ta dễ dàng chứng minh được HM ⊥ HC ⇒ HM =

Bài 8:

a 2
⇒ d ( H ; SCM ) = ...
3

S

K
D
I
A

H

O

C

B

Trong (ABCD) từ điểm I kẻ IH song song BC với H thuộc AB. Do BC ⊥ AB => IH ⊥ AB
Mà SI ⊥ (ABCD) => SI ⊥ AB. Hay AB ⊥ (SHI) .
2
Từ I trong mặt phẳng (SHI) kẻ IK ⊥ SH tại K. ⇒ IK = d ( I ; ( SAB) ) =
SI (1)
2
IH
AI 1
BC
Ta có
=
= => IH =
=a
4
BC AC 4
Mà

1
1
1
+
= 2 (2) (Do tam giác SIH vuông tại I đường cao IK)

2
2
IS
IH
IK

2
1
1
− 2 =
=> SI = IH = a
2
SI
SI
IH 2
1
1
16a 3
(đvtt)
Suy ra, thể tích khối chóp S.ABCD là V = SI .S ABCD = SI . AB 2 =
3
3
3
Bài 9: (Các em tự vẽ hình nhé)
Từ (1) và (2) =>

Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc

www.moon.vn

Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán

-

∆ABC vuông tại A có AC =

Thầy Đặng Việt Hùng

a
; BC = a
2

⇒ B = 300 ; C = 600 .
-

Kẻ SH ⊥ BC thì SH ⊥ ( ABC )

-

Và các góc SMH, SNH bằng 600, và HM = HN
HN
HM
Ta có : a = BC = BH + CH =
+
0
sin 30
sin 600

-

⇒ Tính được HM =
-

S ABC

(3 − 3)a
3( 3 − 1)a
; SH =
4
4

1
3a 2
= AB. AC =
2
8
1
= SH .S
3

(3 − 3)a 3
ABC =
32

-

Thể tích VS . ABC

-

Gọi khoảng cách từ B tới mp(SAC) là h thì h =

-

∆SHM tính được SM =

3VS . ABC
S SAC

(3 − 3)a
1
(3 − 3)a 2
3V
3a
⇒ S SAC = SM . AC =
⇒h=
=
.
2
2
8
4
S SAC

Vậy khoảng cách từ B tới (SAC) là

3a
4

Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc

www.moon.vn