CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

CƠ SỞ LÝ THUYẾT
TRƢỜNG ĐIỆN TỪ
Giáo viên: TS. Nguyễn Việt Sơn
Bộ môn: Kỹ thuật đo và Tin học công nghiệp
C1 - 108 - Đại học Bách Khoa Hà Nội

- 2010 -


CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRƢỜNG ĐiỆN TỪ
Tài liệu tham khảo:
1. Cơ sở lý thuyết trƣờng điện từ - Nguyễn Bình Thành , 1970.
2. Electromagnetics -John D. Krauss - 4th edition, McGraw-Hill, 1991
3. Electromagnetic fields and waves - Magdy F. Iskander, Prentice Hall, 1992.
4. Electromagnetics - E.J. Rothwell, M.J. Cloud – CRC Press, 2001.
5. Engineering Electromagnetics - W.H. Hayt, J.A. Buck – McGraw-Hill, 2007 (*).
6. Fundamentals of Engineering electromagnetics - R. Bansal - CRC Press, 2006 (*)
(*) />Cơ sở lý thuyết trường điện từ

2


CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRƢỜNG ĐiỆN TỪ
Nội dung chƣơng trình:
1. Giải tích vector
2. Giới thiệu
3. Luật Coulomb và cường độ điện trường
4. Dịch chuyển điện, luật Gauss, dive

7. Các phương trình Poisson và Laplace.

5. Năng lượng và điện thế

8. Từ trường dừng

6. Vật dẫn - Điện môi - Điện dung

9. Lực từ và điện cảm
10. Trường biến thiên và hệ phương trình Maxwell
11. Sóng phẳng
12. Phản xạ và tán xạ sóng phẳng

Cơ sở lý thuyết trường điện từ

13. Dẫn sóng và bức xạ

3


CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRƢỜNG ĐiỆN TỪ
Chƣơng 1: Giải tích vector

I. Vô hƣớng và vector.
II. Hệ tọa độ Descartes.
III. Tích vô hƣớng - Tích có hƣớng.

IV. Hệ tọa độ trụ.
V. Hệ tọa độ cầu.
VI. Một số công thức giải tích vector

Cơ sở lý thuyết trường điện từ

4


Chƣơng 1: Giải tích vector
I. Vô hƣớng và Vector.
 Đại lƣợng vô hƣớng: Là các đại lượng được biểu diễn bằng 1 số thực (dương,
âm).
 Ví dụ: Khoảng cách, thời gian, nhiệt độ, khối lượng, áp suất, thể tích …

 Ký hiệu: t, m, E, P, …
 Đại lƣợng vector: Là các đại lượng được biểu diễn bằng độ lớn (số thực
dương, âm) và hướng trong không gian (2 chiều, 3 chiều, … nhiều chiều).
 Ví dụ: Lực, vận tốc, gia tốc, điện trường, từ trường …
 Ký hiệu: A, B, E, H, … (có thể thay bằng A, B, E , H ,... )
 Có 3 phương pháp đơn giản để mô tả chính xác 1 vector:
 Hệ tọa độ Descartes.
 Hệ tọa độ trụ.
 Hệ tọa độ cầu.
Cơ sở lý thuyết trường điện từ

5


Chƣơng 1: Giải tích vector
z

II. Hệ tọa độ Descartes.

za

 Được tạo bởi 3 trục vuông góc với nhau từng đôi một.

z = za

 Các trục được chọn theo quy tắc vặn đinh ốc.
 Một điểm A trong không gian Descartes :

x = xa

0

xa

 Giao điểm của 3 mặt phẳng.
 Xác định được tọa độ xa, ya, za.

y = ya
y

x

 P là điểm gốc của vi khối có các vi phân kích thước

z

dx, dy, dz.
 Thể tích của vi khối: dV = dxdydz

0

x

Cơ sở lý thuyết trường điện từ

P

dz
dx

y

dy
dV = dxdydz
6


Chƣơng 1: Giải tích vector
II. Hệ tọa độ Descartes.
 Xét vector r trong hệ tọa độ Descartes:
r=x+y+z
x, y, z là các vector thành phần của r
 Vector thành phần x, y, z
 Độ lớn phụ thuộc vào vector r.
 Hướng không thay đổi.
 Phân tích theo các vector đơn vị.
x = xax ; y = yay ; z = zaz
r = xax + yay + zaz = rxax + ryay + rzaz
 Độ lớn của vector:

| B | B  B  B

2
x

2
y

2
z

z
z
r
0

y

y

x
z

x
az
ax

0

y
ay

x
B
 Vector đơn vị theo hướng của B: a B 

2
2
2
Bx  By  Bz | B |

B

Cơ sở lý thuyết trường điện từ

7


Chƣơng 1: Giải tích vector
III. Tích vô hƣớng – Tích có hƣớng.
1. Tích vô hƣớng
A . B = |A| |B| cosθAB
- |A|, |B| độ lớn của vector A, B
- θAB là góc nhỏ hơn giữa 2 vector A và B
 A . B = AxBx + AyBy + AzBz
 A . A = A2 = |A|2

;

;

A.B=B.A

B
θBa a
B.a
Thành phần vô hướng của vector
B theo hướng vector đơn vị a

B

aA . aA = 1

 Xét vector B và vector đơn vị a theo hướng của B:
 B . a = |B| |a| cos θBa = |B| cos θBa
 (B . a) a  vector hình chiếu của vector B lên
phương (hướng) của vector đơn vị a
Cơ sở lý thuyết trường điện từ

θBa a
(B . a) a
Thành phần có hướng của vector B
theo hướng vector đơn vị a

8


Chƣơng 1: Giải tích vector
III. Tích vô hƣớng – Tích có hƣớng.
1. Tích vô hƣớng
 Ví dụ: Xét một trường vector G = yax – 2.5xay + 3az, và điểm Q(4, 5, 2), vector
1

a N   2a x  a y  2a z  .Tính:
3
a. Giá trị của trường vector G tại điểm Q
b. Tính thành phần vô hướng của G tại Q theo hướng của vector aN
c. Tính thành phần có hướng của G tại Q theo hướng của vector aN
Giải:
a. Giá trị của trường vector: G(rQ) = 5ax – 2,5.4.ay + 3az = 5ax – 10ay + 3az
b. Thành phần vô hướng:
1
1
G  a N  (5a x  10a y  3a z )  (2a x  a y  2a z )  (10  10  6)  2
3
3
c. Thành phần có hướng:
1
(G  a N )a N  (2) (2a x  a y  2a z )  1.333a x  0.667a y  1.333a z
3
Cơ sở lý thuyết trường điện từ

9


Chƣơng 1: Giải tích vector
III. Tích vô hƣớng – Tích có hƣớng.
2. Tích có hƣớng
 Định nghĩa:
A x B = aN |A| |B| sinθAB
trong đó aN vector pháp tuyến

ax

A x B = - (B x A) A  B  Ax
Bx

ay
Ay
By

A

az
Az
Bz

θAB

B

AB

ax, ay, az : véctơ đơn vị của các trục x, y, z
Ví dụ:
A = 2ax - 3ay + az ; B = -4ax - 2ay + 5az

Cơ sở lý thuyết trường điện từ

ax a y az
A  B  2 3 1  13a x  14a y  16a z
4 2 5

10

Chƣơng 1: Giải tích vector
IV. Hệ tọa độ trụ tròn
 Một điểm P trong hệ tọa độ trụ tròn:
 ρ khoảng cách từ P đến trục trụ.
 φ góc dương hợp bởi trục tọa độ góc
với đường thẳng nối gốc tọa độ với
hình chiếu của P lên mặt tọa độ cực.
 z độ cao của điểm P so với mặt
phẳng của hệ tọa độ góc.
 Có thể coi P là giao của 3 mặt:
 Mặt phẳng z = const
 Mặt cong ρ = const.
 Mặt phẳng đường sinh φ = const.

P(ρ, φ, z)

 Không xét các hệ tọa độ trụ ellipse, hệ tọa độ trụ hyperbol, …
Cơ sở lý thuyết trường điện từ

11


Chƣơng 1: Giải tích vector
IV. Hệ tọa độ trụ tròn .
 Vector đơn vị trong hệ tọa độ trụ tròn: aρ , aφ , az
 aρ : vector pháp tuyến của mặt trụ ρ = ρ1
 aφ : vector pháp tuyến của mặt phẳng φ = φ1
 az : tương tự trong trục tọa độ Descartes

 Tính chất:

 aρ , aφ thay đổi theo φ  trong các phép
đạo hàm, tích phân theo biến φ, các vector
aρ , aφ là hàm của φ.
 aρ x aφ = az
Cơ sở lý thuyết trường điện từ

 x   cos 
Công thức 
 y   sin 
chuyển đổi: 
 zz

  x2  y 2

y



arctg

x

zz

12


Chƣơng 1: Giải tích vector
IV. Hệ tọa độ trụ tròn .
 Xét vi khối có kích thướng vô cùng nhỏ có kích thước dρ, ρdφ, và dz

dV = ρ dρ dφ dz
 Diện tích mặt trụ:

2πr.(h + r)
 Thể tích khối trụ:

π.r2.h
(h chiều cao của trụ)

Cơ sở lý thuyết trường điện từ

13


Chƣơng 1: Giải tích vector
V. Hệ tọa độ cầu

P(r, θ, φ)

 Xây dựng hệ tọa độ cầu dựa trên hệ tọa độ
Descartes: Một điểm P trong không gian được xác
định bởi
 r khoảng cách từ P đến gốc tọa độ (tâm cầu).
 θ góc hợp bởi chiều dương của trục z với đường
thẳng nối gốc tọa độ với điểm P.
 φ góc dương hợp bởi trục x với đường thẳng nối

gốc tọa độ với hình chiếu của P lên mặt tọa độ
cực.
 Có thể coi điểm P trong không gian tọa độ cầu là
giao của 3 mặt phẳng:

Cơ sở lý thuyết trường điện từ

14


Chƣơng 1: Giải tích vector
V. Hệ tọa độ cầu
 Xây dựng hệ tọa độ cầu dựa trên hệ tọa độ
Descartes: Một điểm P trong không gian được xác
định bởi:
 r khoảng cách từ P đến gốc tọa độ (tâm cầu).
 θ góc hợp bởi chiều dương của trục z với đường

thẳng nối gốc tọa độ với điểm P.
 φ góc dương hợp bởi trục x với đường thẳng nối
gốc tọa độ với hình chiếu của P lên mặt tọa độ
cực.
Cơ sở lý thuyết trường điện từ

15


Chƣơng 1: Giải tích vector
V. Hệ tọa độ cầu
 Vector đơn vị trong hệ tọa độ cầu:

 ar: vector pháp tuyến của mặt cầu tại
điểm P, có chiều hướng ra ngoài, nằm
trên đáy của hình nón θ = const, và mặt
phẳng φ = const

 aθ : vector pháp tuyến của đáy mặt nón,
nằm trong mặt phẳng, và tiếp tuyến với
mặt cầu tại P.
 aφ : giống trong hệ tọa độ trụ tròn.
Cơ sở lý thuyết trường điện từ

 x  r sin  cos 
Công thức 
chuyển đổi:  y  r sin  sin 
 z  r cos 


16


Chƣơng 1: Giải tích vector
V. Hệ tọa độ cầu
 Xét 1 vi khối có kích thước vô cùng nhỏ:

dV = r2 sinθ dr dθ dφ
 Diện tích mặt cầu:

Scầu = 4π.r2
 Thể tích khối cầu:

Vcầu = 4/3. π. r3

Cơ sở lý thuyết trường điện từ

17


Chƣơng 1: Giải tích vector
VI. Một số công thức giải tích vector
Tính độ biến thiên vector (Grad - gradient)

Grad A 

A
A
A
ax 
ay 
az
x
y
z

Tính độ tản của vector (div - divergence)

 Ax  Ay  Az
divA  A 


x y z

Tính độ xoáy của vector (Rot - rotationnel)

 ax

A
RotA    A  
x

 Ax

Cơ sở lý thuyết trường điện từ

ay
A
y
Ay

az 

A
z 

Az 

 2A  2A  2A
divgradA  A 

 2
2

2
x
y
z

18


CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRƢỜNG ĐiỆN TỪ
Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ
I. Khái niệm cơ bản.
II. Các thông số cơ bản của trƣờng điện từ và môi trƣờng mang điện.
III. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích điểm.
IV. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích khối liên tục.
V. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích đƣờng.
VI. Cƣờng độ điện trƣờng của điện tích mặt.
VII. Đƣờng sức - Ống sức.
Cơ sở lý thuyết trường điện từ

19


Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ
I. Khái niệm cơ bản
 Định nghĩa: Trường điện từ là một dạng vật chất cơ bản, chuyển động với vận
tốc c trong mọi hệ quy chiếu quán tính trong chân không, nó thể hiện sự tồn tại
và vận động qua những tương tác với một dạng vật chất khác là những hạt
hoặc những môi trường mang điện.
 Tính tồn tại: Trường điện từ có khả năng tác dụng động lực học lên các vật thể,
trường điện từ có năng lượng, động lượng phân bố, chuyển động trong không

gian, với vận tốc hữu hạn.
 Tính vận động: Thể hiện ở khả năng tác dụng lên các vật thể, môi trường (vd:
lực lorenx) và sự lan truyền tác dụng đó.

Cơ sở lý thuyết trường điện từ

20


Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ
I. Khái niệm cơ bản
 Trong một hệ quy chiếu có quán tính, trường điện từ có hai mặt tương tác lực
(lực Lorentz) với hạt (vật nhỏ) mang điện tùy theo cách chuyển động của vật
trong hệ.
 Lực điện FE: Thay đổi theo vị trí của vật, không phụ thuộc vào vận tốc của
q
eE
FE
vật (mặt điện trường).

FM

 Lực từ FM: Chỉ tác động khi vật chuyển động (mặt từ trường).

F = FE + FM

q

eB

 Điện trường, từ trường, các lực Lorentz và năng lượng của
chúng là những khái niệm tương đối do sự chuyển động của

v

vật mạng điện chỉ xác định trong một hệ quy chiếu cụ thể.
Cơ sở lý thuyết trường điện từ

21


Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ
II. Các thông số cơ bản của trƣờng điện từ và môi trƣờng mang điện
 Để xây dựng mô hình hệ Trường – Môi trường mang điện, cần xác định những
thông số biểu diễn và mô tả hệ:
 Biến trạng thái: Đo và biểu diễn trạng thái và quá trình động lực học của hệ
hoặc năng lực tương tác của các thành viên trong hệ.
 Biến hành vi: Biểu diễn tính quy luật các hoạt động, hành vi của một thực
thể trong quá trình tương tác với thực thể khác.

Cơ sở lý thuyết trường điện từ

22


Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ
II. Các thông số cơ bản của trƣờng điện từ và môi trƣờng mang điện
1. Biến trạng thái cơ bản của vật mang điện
 Biến trạng thái cơ bản của vật mang điện là điện tích q của vật mang điện.
 Đo năng lực tương tác lực (chịu tác dụng lực) của vật với trường điện từ.

 Hạt và vật mang điện được chia làm 2 loại:

 Hạt mang điện tích âm e = -1,6.10-19 (C).
 Hạt mang điện tích dương.
 Hạt và vật mang điện có điện tích bằng không nếu nó không có khả năng tương
tác lực với trường điện từ.
Cơ sở lý thuyết trường điện từ

23


Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ
II. Các thông số cơ bản của trƣờng điện từ và môi trƣờng mang điện
2. Biến trạng thái cơ bản của trƣờng điện từ
a. Vector cường độ điện trường E:
 Xét một vật nhỏ mang điện tích dq, đặt tĩnh trong một hệ quy chiếu có quán
tính, chịu một lực dFE. Khi đó ta có thể nói ở lân cận vật mang điện có một
điện trường.
Vector trạng thái về cường độ điện trường là biến trạng thái đo và biểu diễn

năng lực tác động của lực Lorenx về điện ở lân cận vật mang điện trong trường
điện từ:
Thứ nguyên:

Cơ sở lý thuyết trường điện từ

dFE = dqE
[ F ] N Nm V
[E] 
 


[q] C Cm m
24


Chƣơng 2: Khái niệm cơ bản về trƣờng điện từ
II. Các thông số cơ bản của trƣờng điện từ và môi trƣờng mang điện
2. Biến trạng thái cơ bản của trƣờng điện từ
b. Vector cường độ từ cảm B:
 Xét một vật nhỏ mang điện tích dq, chuyển động trong một hệ quy chiếu có
quán tính, chịu một lực dFM. Khi đó ta có thể nói ở lân cận vật mang điện có
một từ trường.
Lực dFM hướng theo chiều eF, vuông góc với vận tốc v của hạt mang điện, và

vuông góc với một chiều eB xác định trong mỗi điểm trong hệ quy chiếu.

dFM  dq( v  B)  dqvBev  eB
dl
Mặt khác: dqv  dq
 idl
dt
Ta có:
dFM  iBdlev  eB [T]
Cơ sở lý thuyết trường điện từ

25