mô tả vi mô tán xạ đàn hồi của proton 65 mev trên các hạt nhân bền có số khối trung bình và nặng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
----------

NGUYỄN THỊ HƢỜNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

MÔ TẢ VI MÔ TÁN XẠ ĐÀN HỒI CỦA
PROTON 65 MeV TRÊN CÁC HẠT NHÂN BỀN
CÓ SỐ KHỐI TRUNG BÌNH VÀ NẶNG

Niên khóa: 2012 – 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
----------

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

MÔ TẢ VI MÔ TÁN XẠ ĐÀN HỒI CỦA
PROTON 65 MeV TRÊN CÁC HẠT NHÂN BỀN
CÓ SỐ KHỐI TRUNG BÌNH VÀ NẶNG
Ngành:

VẬT LÝ HỌC

Mã số sinh viên:

K38.105.074

Giảng viên hướng dẫn: ThS. Bùi Minh Lộc
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Hường

Niên khóa: 2012 – 2016


LỜI CẢM ƠN
“Muốn sang thì bắc cầu kiều
Muốn con hay chữ thì yêu lấy thầy”
Một bài ca dao rất hay, mang ý nghĩa sâu sắc, nhắc nhở chúng ta luôn nhớ đến công
ơn của “người thầy”. Trong kí ức mỗi chúng ta, ai cũng luôn ghi nhớ hình ảnh
những người thầy, người cô. Họ không chỉ là những người đứng trên bục giảng, dạy
ta những bài học hay mà còn là những người cha, người mẹ thứ hai dạy ta từng nét
chữ, nét người. Thầy là người đưa ta cập bến tương lai và cũng có thể là người bạn
đồng hành cùng ta trên con đường tìm kiếm tri thức và nhân cách con người. Chặng
đường đại học 4 năm tại trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã mở ra cho
tôi bước ngoặc mới trên chặng đường đi tìm tri thức. Tôi xin gửi lời tri ân đến các
thầy cô của trường, tập thể các thầy cô của khoa Vật Lý, những người thầy đã
truyền thụ kiến thức cho tôi. Để giờ đây, tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp, chuẩn
bị hành trang vào đời.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô khoa Vật Lý đã tạo điều kiện và giúp tôi
hoàn thành tốt khóa luận này. Đặc biệt, gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Bùi Minh
Lộc, người đã dạy tôi, cũng là người hướng dẫn tôi thực hiện khóa luận tốt nghiệp,
thầy đã chỉ dẫn nhiệt tình giúp tôi hoàn thành tốt khóa luận. Với tôi, thầy không chỉ
là một giảng viên truyền đạt kiến thức, mà còn là người bạn đã động viên chia sẻ,
rất tâm lý và nhiệt tình. Tôi rất yêu quý và kính trọng thầy, tôi xin gửi lời cảm ơn
chân thành đến thầy. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến ba mẹ, gia đình đã luôn ủng

hộ và động viên giúp tôi có đủ tự tin, nghị lực để cố gắng hoàn thành khóa luận này.
Ngoài ra, tôi cũng xin cảm ơn những người bạn đã động viên, giúp đỡ và góp ý
chân thành cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 21 tháng 5 năm 2016

Nguyễn Thị Hường

i


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................. i
MỤC LỤC .................................................................................................................. ii
CÁC TỪ VIẾT TẮT ................................................................................................. iii
DANH SÁCH HÌNH VẼ .......................................................................................... iv
DANH SÁCH BẢNG .................................................................................................v
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................1
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT .............................................................................4
1.1.

Tán xạ đàn hồi ...............................................................................................4

1.2.

Tiết diện tán xạ đàn hồi .................................................................................4

1.3.

Hệ tọa độ khối tâm và phương trình Schr dinger cho tán xạ ........................8

1.3.1.

Hệ tọa độ khối tâm ..................................................................................8

1.3.2.

Phương trình Schr dinger cho tán xạ ...................................................10

Chƣơng 2. MẪU QUANG HỌC VÀ TƢƠNG TÁC NN HIỆU DỤNG
MELBOURNE G-MA TRẬN ............................................................................15
2.1.

Mẫu quang học hạt nhân..............................................................................15

2.2.

Mẫu hiện tượng luận ....................................................................................16

2.3.

Mẫu quang học vi mô và mẫu folding đơn ..................................................18

2.4.

Tương tác NN hiệu dụng Melbourne G-ma trận .........................................23

Chƣơng 3. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN .............................................................30
3.1.

Tán xạ đàn hồi của proton lên bia 16O .........................................................30

3.2.

Tán xạ đàn hồi của proton lên bia 48Ca .......................................................31

3.3.

Tán xạ đàn hồi của proton lên bia 90Zr ........................................................32

3.4.

Tán xạ đàn hồi của proton lên bia 208Pb ......................................................32

KẾT LUẬN ..............................................................................................................34
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................35

ii


CÁC TỪ VIẾT TẮT
CMS (Centre of mass system): hệ tọa độ khối tâm
D (direct part): thành phần trực tiếp
EX (exchange part): thành phần trao đổi
HF: Hartree-Fock
Im (Imaginary part): phần ảo
IS (Iso scalar): đồng vị vô hướng
IV (Iso vector): đồng vị vector
LAB (Laboratory coordinate system): hệ tọa độ phòng thí nghiệm

MQH: mẫu quang học
NN: nucleon-nucleon
Re (Real part): phần thực
TQH: thế quang học
WS: Woods-Saxon

iii


DANH SÁCH HÌNH VẼ
Hình 1.1. Tán xạ đàn hồi của proton lên các hạt nhân bền ......................................... 4
Hình 1.2. Bố trí thí nghiệm đo tiết diện tán xạ............................................................ 5
Hình 1.3. Sơ đồ minh họa quá trình va chạm trong hệ tọa độ thí nghiệm .................. 8
Hình 1.4. Sơ đồ minh họa quá trình va chạm trong hệ tọa độ khối tâm. .................... 9
Hình 1.5. Sơ đồ minh họa các vector vận tốc và góc tán xạ trong hai hệ tọa độ. ..... 10
Hình 1.6. Gắn tọa độ khối tâm cho các hạt tương tác. .............................................. 11
Hình 2.1. Đồ thị biểu diễn độ sâu của thế thực và thế ảo hiện tượng luận .............. .18
Hình 2.2. Các vector tính toán trong mẫu folding đơn. ............................................ 20
Hình 2.3. Hình dạng thế tương tác của thế thực trong mẫu vi mô. ........................... 22
Hình 2.4. Hình dạng thế tương tác của thế ảo trong mẫu vi mô. .............................. 23
Hình 3.1. Tán xạ đàn hồi của proton lên bia

16

O tại năng lượng 65 MeV. Kết quả

tính toán folding, sử dụng tương tác NN hiệu dụng Melbourne G-ma trận và mật độ
hạt nhân 16O lấy theo tính toán Hartree-Fock-Bogolubov (HFB) [21]. .................... 30
Hình 3.2. Tán xạ đàn hồi của proton lên bia 48Ca tại năng lượng 65 MeV. Kết quả
tính toán folding, sử dụng tương tác NN hiệu dụng Melbourne G-ma trận và mật độ

hạt nhân 48Ca lấy theo tính toán Hartree-Fock-Bogolubov (HFB) [21]. .................. 31
Hình 3.3. Tán xạ đàn hồi của proton lên bia

90

Zr tại năng lượng 65 MeV. Kết quả

tính toán folding, sử dụng tương tác NN hiệu dụng Melbourne G-ma trận và mật độ
hạt nhân 90Zr lấy theo công trình L. Ray và đồng nghiệp [12]. ................................ 32
Hình 3.4. Tán xạ đàn hồi của proton lên bia

208

Pb tại năng lượng 65 MeV. Kết quả

tính toán folding, sử dụng tương tác NN hiệu dụng Melbourne G-trận và mật độ hạt
nhân 208Pb lấy theo công trình của L. Ray và đồng nghiệp [12]. .............................. 33

iv


DANH SÁCH BẢNG
Bảng 2.1. Giá trị cường độ S tại năng lượng 65 MeV, mật độ  = 0 hạt/fm3 của thế
vô hướng V00 và thế spin đồng vị V01. ...................................................................... 25
Bảng 2.2. Giá trị cường độ S tại năng lượng 65 MeV, mật độ  = 0,049 hạt/fm3 của
thế vô hướng V00 và thế spin đồng vị V01. ................................................................ 26
Bảng 2.3. Giá trị cường độ S tại năng lượng 65 MeV, mật độ  = 0,090 hạt/fm3 của
thế vô hướng V00 và thế spin đồng vị V01. ................................................................ 27
Bảng 2.4. Giá trị cường độ S tại năng lượng 65 MeV, mật độ  = 0,150 hạt/fm3 của
thế vô hướng V00 và thế spin đồng vị V01. ................................................................ 28

v


LỜI MỞ ĐẦU
Vật Lý Hạt Nhân là ngành khoa học có vị trí hàng đầu trong Khoa học hiện đại.
Đây là ngành khoa học ứng dụng trong nhiều lĩnh vực nhằm phát triển kinh tế-xã hội
ở Việt Nam nói riêng và trên thế giới. Nghiên cứu hạt nhân được phát triển mạnh mẽ
từ thế kỉ trước. Hiện nay, các nhà khoa học tập trung nghiên cứu sâu về phản ứng
hạt nhân và cấu trúc hạt nhân. Phản ứng hạt nhân trực tiếp (direct reaction) được cho
là công cụ hữu hiệu để đo các hiệu ứng cấu trúc hạt nhân, đặc biệt là thí nghiệm tán
xạ hạt nhân đã và đang được ứng dụng rất hiệu quả trong nghiên cứu cấu trúc hạt
nhân. Thế tương tác mạnh giữa hai hạt nhân tán xạ và tiết diện tán xạ là hai thông số
quan trọng của nghiên cứu tán xạ. Thế tương tác mạnh giữa các nucleon NN (tương
tác nucleon-nucleon) là một đối tượng nghiên cứu rất phức tạp nên ta cần lựa chọn
phương pháp tính toán hợp lý cho tương tác này. Hai quá trình tán xạ đàn hồi và phi
đàn hồi là các quá trình cơ bản của phản ứng tán xạ. Thông qua nghiên cứu tính toán
vi mô tán xạ xác định các thông số vật lý quan trọng của thế tương tác mạnh NN hạt
nhân và tiết diện phản ứng giúp ta hiểu rõ về bản chất vật lý của hạt nhân và phản
ứng hạt nhân từ đó mở rộng nghiên cứu về cấu trúc hạt nhân.
Mặc dù tương tác NN giữa hai nucleon tự do đã được mô tả và giải thích khá
chính xác từ những nguyên lý cơ bản của sắc động lực học lượng tử dựa trên cấu
trúc quark của nucleon, tương tác NN xảy ra trong một phản ứng tán xạ hạt nhân
hoàn toàn khác với tương tác NN tự do. Đây là tương tác giữa hai nucleon nằm
trong môi trường vật chất hạt nhân có mật độ khác nhau và chỉ có thể được tính gần
đúng theo các phương pháp lý thuyết lượng tử nhiều hạt. Do đó thế tương tác NN
dùng trong các tính toán nghiên cứu vi mô phản ứng và cấu trúc hạt nhân thường
được xây dựng theo các mẫu lý thuyết gần đúng khác nhau và được biết đến như
tương tác NN hiệu dụng. Tương tự như tương tác NN tự do, thế tương tác NN hiệu
dụng cũng phải đảm bảo thỏa mãn các bất biến đối xứng cơ bản của vật lý [17] và

thành phần xuyên tâm của tương tác NN thường được biểu diễn dưới dạng hàm phụ
thuộc khoảng cách r giữa hai nucleon như sau:
1


vnn (r )  v00 (r )  v10 (r )(1 2 )  v01 (r )(1 2 )  v11 (r )(1 2 )(1 2 ) (*)
Các số hạng trong biểu thức trên lần lượt là thành phần vô hướng, thành phần phụ
thuộc spin, thành phần phụ thuộc spin đồng vị và thành phần phụ thuộc cả spin và
spin đồng vị. Ngoài thành phần xuyên tâm (*), tương tác NN còn có tương tác spinquỹ đạo và tương tác tensor không xuyên tâm [17]. Hiện tại, các phiên bản tương tác
NN hiệu dụng có thể được chia làm hai nhóm. Nhóm thứ nhất tương tác NN hiệu
dụng được xây dựng bằng phương pháp hiện tượng luận (như tương tác Skyrme),
không có liên kết logic nào với tương tác NN tự do. Còn tương tác NN hiệu dụng
nhóm thứ hai thường được xây dựng dựa trên cơ sở một G-ma trận là nghiệm của
phương trình Bethe-Goldstone cho tương tác NN trong hệ đa nucleon. Những hiệu
ứng tương tác NN bậc cao hơn mà chưa được tính đến trong G-ma trận được xét đến
gần đúng qua việc đưa vào tương tác G-ma trận một hàm phụ thuộc vào mật độ hạt
nhân, với các thông số được chỉnh chuẩn theo các tính chất bão hòa của hạt nhân.
Trong quá trình tán xạ đàn hồi, các trạng thái vật lý sau tán xạ của hai hạt nhân va
chạm không thay đổi và phương trình Schr ̈ dinger cho tán xạ lượng tử thường được
dùng để tính toán tiết diện tán xạ. Phép tính gần đúng của một kênh tán xạ đàn hồi
được biết là mẫu quang học (MQH) hạt nhân và thế tán xạ hạt nhân còn được gọi là
thế quang học (TQH). Phương pháp phổ biến nhất để phân tích các số liệu tiết diện
tán xạ đàn hồi trong MQH là dùng một TQH hiện tượng luận dưới dạng hàm
Woods-Saxon (WS) với các tham số được hiệu chỉnh để mô tả tốt tiết diện thực
nghiệm tốt nhất bởi nghiệm của phương trình Schr ̈ dinger [7]. Tuy nhiên, TQH hiện
tượng luận không thấy được mối liên hệ giữa cấu trúc vật lý của các hạt nhân va
chạm với số liệu tán xạ thực nghiệm. Để nghiên cứu những hiệu ứng cấu trúc hạt
nhân trong phản ứng tán xạ, mẫu folding được dùng để tính vi mô tán xạ đàn hồi.
Đây là mẫu tính TQH vi mô với các tham số vật lý đầu vào cho các phép tính là hàm
sóng hai hạt nhân va chạm và sử dụng phiên bản tương tác NN hiệu dụng cho tương

tác giữa các nucleon của hạt tới và hạt nhân bia [2].
Như đã bàn luận, đại lượng vật lý quan trọng nhất trong các phương pháp trên là
thế tán xạ hạt nhân tương ứng với các kênh tán xạ khác nhau. Để xây dựng phù hợp

2


các mẫu cấu trúc hạt nhân với các số liệu tán xạ thực nghiệm người ta thường xây
dựng thế tán xạ hạt nhân cho các kênh tán xạ khác nhau, sử dụng hàm sóng tương
ứng của hạt nhân kích thích và tương tác NN hiệu dụng giữa nucleon của hạt tới và
nucleon trong hạt nhân bia.
Đối tượng nghiên cứu cụ thể của khóa luận này là tán xạ đàn hồi của proton lên
các hạt nhân bia 16O, 48Ca, 90Zr, 208Pb tại năng lượng 65 MeV. Tương tự như tương
tác NN (*), nhưng thế tương tác giữa proton và các hạt nhân bia này chỉ có thành
phần vô hướng và thành phần phụ thuộc spin đồng vị do spin của các hạt nhân bia
đều bằng không.
Đối với TQH proton-hạt nhân, phương pháp thường được dùng để xác định thành
phần phụ thuộc spin đồng vị của TQH là nghiên cứu tán xạ đàn hồi đồng thời của
proton và neutron trên cùng một hạt nhân bia, tại cùng một năng lượng. Trong bài
khóa luận này, tôi sử dụng MQH vi mô, cụ thể là mẫu folding đơn và tương tác hiệu
dụng Melbourne G-ma trận để tính thế tương tác và tiết diện tán xạ đàn hồi.
Kể cả phần mở đầu, luận văn này gồm có năm phần. Các lý thuyết cơ sở và hàm
sóng mô tả tán xạ được trình bày trong chương 1; chương 2 trình bày chi tiết các
công thức liên quan đến MQH và TQH, đồng thời trong chương này cũng trình các
công thức tính toán tương tác NN hiệu dụng Melbourne G-ma trận; chương 3 trình
bày các kết quả tính toán tiết diện tán xạ đàn hồi (p, p). Tóm tắt ngắn gọn về những
kết quả thu được và hướng phát triển nghiên cứu được trình bày trong phần kết luận.

3

Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1.

Tán xạ đàn hồi
Tán xạ đàn hồi của hạt tới a và hạt nhân bia A tức là hạt tới a và hạt nhân bia

A giữ nguyên trạng thái nội tại của chúng, có nghĩa là nhiệt lượng của phản ứng

Q  0 và động năng ở trước và sau phản ứng bằng nhau. Ta thường kí hiệu là
A(a,a)A hay:

a Aa A

(1.1)

p  208 Pb  p  208 Pb

(1.2)

n 208 Pb  n 208 Pb

(1.3)

p  48Ca  p  48Ca

(1.4)

Ví dụ:

θ
p
A

Hình 1.1. Tán xạ đàn hồi của proton lên các hạt nhân bền.
Trong bài khóa luận này trình bày về tán xạ của proton lên các hạt nhân bền, bài
toán mô tả vi mô tán xạ đàn hồi của proton sẽ trình bày ở chương sau.
1.2.

Tiết diện tán xạ đàn hồi

4


Xét một tán xạ A(a,b)B. Nếu ta bắn chùm hạt đạn a với thông lượng I0 tới bia có
chứa N hạt nhân A, khi đó số hạt b phát ra trên một đơn vị thời gian sẽ tỉ lệ với N và
I0. Hằng số tỉ lệ được gọi là tiết diện tán xạ, kí hiệu là σ và có thứ nguyên của diện
tích.
dΩ

I0

θ

Chùm tia tới

Bia
Hình 1.2. Bố trí thí nghiệm đo tiết diện tán xạ.
Tiết diện tán xạ là:



Nb
N
Na / S

(1.5)

với Na: số hạt tới, Nb: số hạt phát ra, S: diện tích bia (cm2) và N: số hạt nhân bia.
Đơn vị của tiết diện được dùng trong phản ứng hạt nhân là barn, kí hiệu là b: 1
barn = 10-24 cm2 = 100 fm2.
Vì số hạt b phát ra trong một đơn vị thời gian trong phạm vi góc khối dΩ. Hằng
số tỉ lệ trong trường hợp này là tiết diện vi phân dσ/dΩ.
Phương trình liên hệ tiết diện tích phân và vi phân:



4

 (d / d )d 

(1.6)

0

Mặt khác do dΩ = sinθ.dθ.dφ, nên suy ra:




0

0

   sin  d  d (d / d )
5

(1.7)


Nếu không có sự phân cực spin thì dσ/dΩ không phụ thuộc vào φ, phương trình
trên trở thành:


  2  (d / d )sin  d

(1.8)

0

Ở trên, trình bày sơ lược về tiết diện tán xạ, nhưng để tính được tiết diện tán xạ
cần phải giải phương trình Schr ̈ dinger, tìm nghiệm cho hạt tán xạ trên trường thế
và sử dụng hàm sóng để tính tiết diện tán xạ. Đặc biệt là tính tiết diện tán xạ đàn hồi
từ hàm sóng và biên độ sóng thu được mô tả va chạm giữa hai hạt nhân.
Trong thí nghiệm tán xạ, hàm sóng của chùm hạt tới của kênh vào (α) có dạng là
sóng phẳng:

a  A0 expi(ka ra  at )
trong đó ka 

2

a



1

là số sóng, a  2 

Ea

(1.9)
và Ea  ha , pa  ka

a

Biên độ A0 xác định thông qua thông lượng của chùm hạt I0 là A0  (

I0 2
) với va
va

vận tốc của hạt tới.
Tương tự ta có hàm sóng của hạt nhân bia A là:

 A  N 1/2 expi(k A rA  A t)

(1.10)

với N là số hạt nhân bia.
Hàm sóng xác định ở trên là không đầy đủ, nó chỉ mô tả chuyển động tương đối
của hạt tới a và hạt nhân bia A. Các hạt nhân này có các trạng thái nội tại khác nhau
được mô tả bởi hàm sóng  a và  A . Hàm sóng miêu tả trạng thái của hệ sau va
chạm là:

  A0 exp(ik r ) a A

(1.11)

Khi xảy ra va chạm giữa hạt tới và hạt nhân bia, sẽ có sóng bị tán xạ phát ra. Va
chạm này có thể tạo ra nhiều kênh phản ứng khác nhau (β) tương ứng với hạt đi ra b
và hạt nhân con B.
Dạng hàm sóng đầy đủ:

6


  A0 exp(ik r ) a A   tx.

(1.12)



Đối với tán xạ đàn hồi thì a = b, A = B và    .
Ở những khoảng cách lớn tính từ bia r
sóng cầu đi theo kênh α có dạng

 , sự phụ thuộc xuyên tâm của hàm

exp(ik r )
, do đó cường độ của chúng sẽ suy giảm
r

theo bình phương khoảng cách rα giữa hai hạt nhân sau va chạm. Thêm vào biên độ
của các sóng cầu này là thừa số f ( , ) sẽ phụ thuộc vào góc tán xạ θ và φ (góc
phương vị theo hướng của chùm hạt tới).
Sóng tán xạ theo mỗi kênh α có dạng:

 tx (r , , )  A0 . f ( , )

exp(ik r )
 a B
r

(1.13)

Ở đây  a và  A là các hàm sóng biểu diễn trạng thái nội tại của hạt a và A. Biên
độ f ( , ) chỉ là biên độ tán xạ ở kênh chỉ có 1 hạt / 1 đơn vị thể tích chiếu tới (A0
= 1) và có năng lượng cho trước.
Tiết diện tán xạ A(a,b)B có thể được suy ra từ hàm sóng tán xạ của phương trình
(1.12). Tuy nhiên, detector luôn đặt ở khoảng cách xa bia, nên dùng hàm sóng tiệm
cận (1.13) là phù hợp. Mặt khác, hàm sóng (1.12) tương ứng với tán xạ từ bia chỉ có
1 hạt nhân / 1 đơn vị thể tích. Mật độ của hạt a đã tán xạ ở điểm (r,θ,φ) là bình
phương mô đun các tích phân của hàm sóng (1.12) của các biến nội của hai hạt
nhân, tức là bình phương mô đun của phần  tx đề cập đến chuyển động tương đối
của a và A; từ phương trình (1.13) thì tích phân đó là:
1
2
A0 f ( , )

2
r

(1.14)

Vì các hạt này chuyển động ra xa hạt nhân con B với vận tốc v , nên số hạt phát
ra trong một yếu tố góc khối dΩ trên một đơn vị thời gian là v A0 fb d  , thông
2

2

lượng của chùm hạt chiếu tới là v A0 . Khi đó ta có tiết diện vi phân là:

7


d v
2

f ( , )
d  v

(1.15)

Đối với tán xạ đàn hồi thì v  v nên tiết diện vi phân là:
d
2
2
 f ( , )  f ( , )
d

(1.16)

Để tính được tiết diện tán xạ đàn hồi cần tìm được biên độ tán xạ f (θ,φ). Như
vậy cần phải giải phương trình Schr ̈ dinger, phần sau sẽ trình bày cụ thể phương
trình Schr ̈ dinger cho tán xạ.
1.3.

Hệ tọa độ khối tâm và phƣơng trình Schr ̈ dinger cho tán xạ
Hệ tọa độ khối tâm

1.3.1.

b

LAB
a

qb

A
C

θLAB
∅LAB

qa

B
qB

Hình 1.3. Sơ đồ minh họa quá trình va chạm trong hệ tọa độ thí nghiệm.

Trong phản ứng hạt nhân thông thường hạt nhân bia đứng yên bị bắn phá bởi hạt
tới chuyển động và hạt nhân bia thường nặng hơn hạt nhân tới. Trên hình (1.3) minh
họa quá trình va chạm trong hệ tọa độ thí nghiệm (Laboratory coordinate systemLAB), hệ tọa độ gắn với người quan sát thí nghiệm. Ta sử dụng hệ tọa độ này thuận
tiện trong việc bố trí thí nghiệm quan sát cũng như nhận kết quả. Tuy nhiên, các
phép toán lý thuyết thì không phù hợp, các nhà khoa học thường chọn hệ tọa độ
khối tâm (Centre of mass system-CMS) để các bài toán đơn giản hơn.

8


Trong hệ CMS tổng xung lượng của hệ sau va chạm bằng không, so với hệ LAB
thì hệ CMS chuyển động với vận tốc khối tâm vCM của hệ va chạm. Ta chọn hệ qui
chiếu chuyển động sao cho khối tâm là đứng yên. Sơ đồ biểu diễn mối liên hệ giữa
vận tốc và góc tán xạ của hai hệ trên hình (1.5).

b

CMS

Pb
a

A

C

Pa

C

𝛉CM
∅CM

- Pa
B

PB
Hình 1.4. Sơ đồ minh họa quá trình va chạm trong hệ tọa độ khối tâm.

Ta có, vận tốc chuyển động của khối tâm trong hệ LAB là:
vCM  vaLAB

với va là vận tốc hạt tới,  

ma
ma  mA

(1.17)

ma .mA
là khối lượng rút gọn.
ma  mA

Khi đó vận tốc chuyển động trong hệ CMS là:
vaCMS  vaLAB  vCM 

mA
va

ma  mA LAB

(1.18)

Trong khi đó vận tốc của hạt bia vA  vCM nên năng lượng của hệ hạt trong hệ
CMS là:
ECMS 

mA
ELAB
ma  mA

Biểu thức liên hệ góc tán xạ trong hệ LAB và hệ CMS là:
9

(1.19)


tan  LAB 

sin CMS
v
cosCMS  CM
vCMS

(1.20)

𝑣𝑎𝐿𝐴𝐵
𝑣𝑎𝐶𝑀𝑆
θLAB

θCM

𝑣𝐶𝑀
αLAB

𝑣𝐴𝐿𝐴𝐵

αCM

𝑣𝐴𝐶𝑀𝑆

Hình 1.5. Sơ đồ minh họa các vector vận tốc và góc tán xạ trong hai hệ tọa độ.
1.3.2.

Phƣơng trình Schr ̈ dinger cho tán xạ

Để tính toán tán xạ, ta cần tìm nghiệm phương trình Schr ̈ dinger dưới dạng
(1.12) hoặc (1.13). Ở đây ta xét tán xạ của hệ hai hạt có khối lượng m1, m2 và thế V
(r1,r2) thì phương trình Schr ̈ dinger là:
2
2


2
1 
 22  V  r1 , r2    E

2m2
 2m1



(1.21)

Bài toán tán xạ trở nên đơn giản hơn nếu đưa về bài toán khối tâm của hai vật.
Tức là giải hệ phương trình (1.21) trong hệ tọa độ khối tâm. Gắn hệ tọa độ khối tâm
như hình (1.6), khi đó phương trình Schr ̈ dinger theo biến R và r. Trong đó:

r  r1  r2 là khoảng cách của hai hạt và R 

10

m1 r1  m2 r2
khoảng cách khối tâm.
m1  m2


y

𝑟 = 𝑟1 − 𝑟2

m1

CM
𝑟1
𝑅=

m2

𝑚1 𝑟1 . 𝑚2 𝑟2

𝑚1 + 𝑚2
𝑟2

O

x2

x

x1
x
X
Hình 1.6. Gắn hệ tọa độ khối tâm cho các hạt tương tác.

Biến đổi phương trình (1.21) theo hai biến R và r thu được phương trình:
 2 2


  
 r  V (r )   E
2M
 2

2

2
R

trong đó M  m1  m2 và  

(1.22)

m1.m2
lần lượt là tổng khối lượng của hai hạt và
m1  m2

khối lượng rút gọn.

11


Để thuận tiện cho việc tính toán chia phương trình Schr ̈ dinger thành hai thành
phần:
- Thành phần mô tả chuyển động tương đối có dạng:
 2 2


 r  V (r )   
 2


(1.23)

- Thành phần chuyển động của khối tâm có dạng:



2

2M

 2R   0

(1.24)

Khi đó bài toán tán xạ trở nên đơn giản chỉ cần tìm nghiệm của phương trình
chuyển động tương đối thay vì giải phương trình (1.21) phức tạp.
Xét tán xạ đàn hồi A(a,a)A, xác định toán tử Halmilton của hạt nhân bia HA.
Hàm sóng mô tả trạng thái nội tại của hạt A là ψA, nghiệm của phương trình
Schr ̈ dinger là:

H A A   A A

(1.25)

với ɛA là năng lượng riêng của hạt nhân bia khi chưa tương tác.
Hàm sóng toàn phần ψα của kênh α lúc này là:

     A ' (r ) A '

(1.26)

A'

trong đó χA’ là hàm sóng mô tả chuyển động tương đối của hạt nhân bia. Phương
trình cần giải có dạng:

H   E 

(1.27)

với toán tử Halmilton tổng cộng:
H  HA 

2

2

  V

(1.28)

Thay H ở phương trình (1.28) vào phương trình (1.27), ta được:
2







E

V




A'
   A ' ( r ) A '  0 (AA’)

 2


(1.29)

Nhân hai vế của phương trình (1.29) cho ψa*ψA*, lấy tích phân theo các biến số nội
độc lập của a và A và sử dụng tính trực chuẩn của các hàm sóng nội, ta có:
12


  U A (r )  k 2 A   A (r )   A' (r ) UA,A' (r )
2 ( E   A )

với

k2A 

và

U A,A' (r ) 

(1.31)

2

2
2

(1.30)

A V A '

(1.32)

trong đó ( E   A ) là động năng chuyển động tương đối, k A là số sóng tương ứng và
U A, A ' (r ) là yếu tố ma trận của thế tương tác V , ta viết công thức (1.32) dưới dạng

tích phân:
U A, A ' (r ) 

2
2



V  A 'd 3 xA


A 

(1.33)

vì tích phân trên lấy theo biến số nội xA nên yếu tố ma trận của thế tương tác chỉ là
hàm của rα.
Đối với tán xạ đàn hồi, vì không xuất hiện các trạng thái kích thích a ', A ' sau tán
xạ nên vế phải phương trình (1.30) bằng không, thu được phương trình Schr ̈ dinger
quen thuộc. Khi vế phải khác không, phương trình (1.30) miêu tả tán xạ không đàn
hồi và những ảnh hưởng của nó lên tán xạ đàn hồi. Nếu biết tất cả các yếu tố ma
trận U A, A ' (r ) thì giải các phương trình liên kết (1.30) và thu được thông tin về tán
xạ. Do đó (1.30) còn gọi là hệ phương trình liên kênh. Vì hệ phương trình liên kênh

là một tập hợp của vô số phương trình, nên trên thực tế chỉ giải một số kênh quan
trọng và các kênh còn lại có thể bỏ qua hoặc được miêu tả bằng TQH phức.
Hệ phương trình liên kênh được giải bằng chương trình máy tính ECIS97
(Equations Couplées en Itérations Séquentielles-1997) của GS. Raynal. Chương
trình ECIS đầu tiên (ECIS68-1968) được phát triển từ chương trình INCH của Bock
và Hill. Đến nay, phiên bản ECIS97 được phát triển lên nhiều phiên bản khác nhau
và phiên bản ECIS06 được xây dựng dựa trên ECIS97. ECIS06 được ứng dụng vào
nhiều mục đích khác nhau trong đó có giải phương trình liên kênh, của bài toán tán
xạ hạt nhân hay bài toán MQH hạt nhân.
Tìm nghiệm phương trình Schr ̈ dinger ta sẽ thu được biên độ tán xạ, đối với tán
xạ đàn hồi biên độ tán xạ là:
13


1 
(2 L  1)(e2i L  1) PL cos 

2ik Lo

f ( ) 

với  L là độ lệch pha, S L  e2i L ma trận tán xạ và k 

2mE

(1.34)

số sóng.

Khi đó thu được tiết diện tán xạ đàn hồi là:

 el 


k2

2



 (2L  1) 1  S
L o

(1.35)

L

Tiết diện hấp thụ :

r 





k

L o



(2 L  1) 1  S L
2 

Trong đó: hệ số truyền qua TL  1  S L

2






k2



 (2L  1)T

L

L o

(1.36)

2

Từ đó ta suy ra tiết diện toàn phần:

 tot

2
  el   r  2
k



 (2L  1) 1  Re(S
L 0

L

)

2

(1.37)

Như vậy, để tính tiết diện tán xạ cần phải tìm nghiệm phương trình Schr ̈ dinger
cho tán xạ. Điều quan trọng để giải được phương trình Schr ̈ dinger là cần phải xây
dựng thế tương tác U A, A ' (r ) 

2
2



V  A 'd 3 xA . Nhưng việc tìm thế tương tác



A 

của các kênh tán xạ là bài toán phức tạp. Để đưa về bài toán đơn giản hơn, các nhà
khoa học đưa ra một số mẫu hạt nhân xây dựng thế tương tác. Trong đó, mẫu quang
học hạt nhân xây dựng thế tương tác cho tán xạ đàn hồi đơn giản, các tính toán vi
mô tương tác NN hiệu dụng trong hạt nhân hiệu quả nhất. MQH và tương tác NN
hiệu dụng được trình bày cụ thể ở chương sau.

14


Chƣơng 2. MẪU QUANG HỌC VÀ TƢƠNG TÁC NN HIỆU DỤNG
MELBOURNE G-MA TRẬN
2.1.

Mẫu quang học hạt nhân

Ta đã biết, nếu một vật hình cầu là đen đối với bức xạ có bước sóng

thì tiết

diện hấp thụ là  ( R  )2 , với R là bán kính hình cầu. Sự phân bố góc của bức xạ
tán xạ biểu diễn một mô hình nhiễu xạ Fraunhofer. Các mô hình như vậy đã tìm
thấy trong những phản ứng hạt nhân như tán xạ của hạt alpha, mô hình này cũng chỉ
là một sự gần đúng. Tuy nhiên, sự tán xạ của proton và neutron năng lượng thấp với
môi trường không thể hiện rõ mô hình nhiễu xạ, hơn nữa nó kéo theo các hạt nhân
bia là trong suốt một phần đối với các nucleon. Từ những quan sát về hấp thụ yếu
dẫn đến việc xây dựng “mẫu quang học hạt nhân” gọi tắt là MQH (optical model).
Mẫu này có thể giải thích các hiện tượng trong phản ứng hạt nhân một cách định
lượng. MQH là một trong những mẫu hạt nhân đơn giản và thành công nhất hiện

nay.
MQH tập trung nghiên cứu dựa trên việc phân tích và xây dựng trường thế để tìm
các đặc trưng tương tác nucleon-nucleon (hạt nhân-hạt nhân). Sự mô tả tốt thế năng
có thể đi sâu vào phân tích tán xạ, chẳng hạn như cho phép mô tả sự tán xạ khi sự
hấp thụ yếu. Trong mẫu hấp thụ mạnh chỉ quan tâm biên độ tán xạ, chúng cho phép
ta xây dựng nên sóng ở khoảng cách vượt ngoài khoảng lực hạt nhân. Ví dụ: ở
những khoảng cách lớn, nơi detector đo sự tán xạ, nhưng lại không cho biết hàm
sóng trong vùng lực hạt nhân tác động. Nhưng đối với MQH, ta sử dụng sự mô tả
TQH xây dựng hàm sóng ở mọi nơi bằng việc giải phương trình Schr ̈ dinger.
Sự tương tác của hai hạt nhân là bài toán nhiều vật phức tạp. Để mô tả tán xạ đàn
hồi, MQH thay bài toán này bằng bài toán đơn giản hơn là: bài toán tương tác giữa
hai vật không có cấu trúc thông qua TQH U. Giả thiết TQH chỉ phụ thuộc vào
khoảng cách R giữa khối tâm của hai hạt nhân, U = U( R ).
Việc phát hiện sự tán xạ của những neutron lên hạt nhân mang nhiều đặc trưng
giống như tán xạ của ánh sáng bởi những quả cầu gần như trong suốt đã dẫn đến sự
phát triển MQH mô tả tán xạ đàn hồi của proton, hạt alpha, nucleon và các hạt nhân
15


nặng. Sự tương đồng của MQH và tán xạ sóng ánh sáng trên quả cầu khúc xạ nên
tương tác giữa hai hạt nhân theo MQH được xây dựng tương tự như các hiện tượng
trong quang học sóng. Nếu hạt nhân không có cấu trúc và không bị kích thích thì
tán xạ đàn hồi là kênh duy nhất. Tuy nhiên các kênh phản ứng khác có thể xảy ra và
ảnh hưởng tới tán xạ đàn hồi làm suy yếu thông lượng dòng hạt kênh đàn hồi. Như
vậy TQH phải mang tính hấp thụ, dẫn đến tạo ra thế phức. Việc sử dụng thế phức
tương tự như việc đưa ra chỉ số phức của sự khúc xạ cho quá trình lan truyền ánh
sáng trong môi trường hấp thụ. Thế phức này bao gồm phần thực và phần ảo lần
lượt là phần nhiễu xạ và khúc xạ của sóng tới.
Thay vì giải phương trình (1.30), thay thế thực V (R) trong phương trình
Schr ̈ dinger bằng thế phức U (R):

U ( R)  V ( R)  iW ( R)

(2.1)

Phần thực V (R) đặc trưng cho kênh tán xạ đàn hồi (sóng tới bị phản xạ).
Phần ảo W (R) thêm vào để tính đến các kênh không phải đàn hồi (sóng tới bị hấp
thụ). Phương trình Schr ̈ dinger cho tán xạ trong trường hợp này là:
 2

  2   V ( R)  iW (R)   ( R)  E  ( R)



(2.2)

Trong đó  ( R) là hàm sóng mô tả chuyển động tương đối của hạt tới và hạt nhân
bia.
Như vậy để giải được phương trình Schr ̈ dinger (2.2) cần phải xây dựng được
TQH. Trong bài viết này sẽ trình bày thế hiện tượng luận và thế vi mô.
2.2.

Mẫu hiện tƣợng luận

Hiện tượng luận là phương pháp đầu tiên và đơn giản để xây dựng nên TQH.
TQH hiện tượng luận được biểu diễn dưới dạng các tham số được fit từ số liệu thực
nghiệm [15]. Dạng tổng quát của TQH này là:

U ( R)  V0 f ( R)  iW0 g ( R)

(2.3)

Trong đó V0 và W0 lần lượt là độ sâu của thế thực và thế ảo, hai hàm số f (R) và g
(R) phụ thuộc vào khoảng cách R giữa hai khối tâm của hai hạt nhân, mô tả hình

16


dạng của các thế. Để mô tả sự thay đổi độ sâu của thế thực theo khoảng cách của
các nucleon hàm f (R) được biểu diễn dưới dạng hàm Woods-Saxon:
f ( R) 

1
1 e

(2.4)

( R  R0 )/ a

Trong đó tham số R0 là độ rộng của thế, ta có thể xem là bán kính hạt nhân và
tham số a là độ nhòe của thế trên bề mặt hạt nhân. Khi đưa vào phương trình cơ học
lượng tử cho thấy sự khác biệt rõ giữa tiết diện tán xạ đàn hồi và tiết diện phản ứng
của các hạt mang điện và không mang điện.
Hàm g (R) của thế ảo phụ thuộc vào năng lượng của hạt tới. Với những năng
lượng dưới 10 MeV, sự hấp thụ chỉ xảy ra trên bề mặt. Khi đó hàm g (R) có dạng
đạo hàm của hàm WS tại bề mặt hạt nhân:
f ( R)
e( R  R0 )/ a
g ( R)  4a
4

R
(1  e( R  R0 )/ a )2

(2.5)

Tại những năng lượng lớn hơn 10 MeV, phần ảo có hai thành phần, một là số
hạng thể tích Wv có dạng hàm WS và số hạng bề mặt Ws có dạng tương tự như
trường hợp năng lượng thấp. Mặt khác, thế spin-quỹ đạo VLS (R) được thêm vào thế
tương tác NN giữa hai hạt nhân để tính tương tác giữa spin
VLS ( R) 

và mô men quỹ đạo

1 df ( R)
L.S
R dR

:

(2.6)

Ngoài ra, nếu các hạt nucleon mang điện, cần phải đưa vào thế tương tác
Coulomb VC (R) để mô tả tương tác giữa điện tích z của hạt tới với điện tích Z hạt
nhân bia và RC là bán kính Coulomb bằng tổng bán kính hạt tới và hạt nhân bia. Ta
coi gần đúng hạt nhân có dạng hình cầu, thế Coulomb [15]:

zZe 2
VC ( R) 
, R  RC
4 0 R

1

zZe 2
R2
VC ( R) 
(3  2 ), R  RC
4 0 2 RC
RC
1

(2.7)

Tổng hợp tất cả các thành phần trên, TQH U (R) là:

U ( R)  V0 f ( R)  iWv f ( R)  iWs g ( R)  VLS ( R)  VC ( R)

17

(2.8)


Hình 2.1. Đồ thị biểu diễn độ sâu của thế thực và thế ảo hiện tượng luận.
Những tham số của TQH này là hàm theo khối lượng, năng lượng và điện tích
của hạt tới. Nhiều bộ tham số được xây dựng rất thành công cho dải năng lượng
rộng từ 1 keV đến 200 MeV với nhiều bia khác nhau có số khối từ 24 < A < 209.
Hai mẫu tiêu biểu đó là thế quang học CH89 của Varner và đồng nghiệp [14] và thế
KD của Koning và Delaroche [1]. Đây là phương pháp bán thực nghiệm nhưng
dùng để dự đoán TQH nucleon-hạt nhân khi số liệu tán xạ đàn hồi không có hoặc
không thể đo. Tuy nhiên, mẫu này lại hạn chế vì không phải tán xạ hạt nhân-hạt
nhân nào cũng có bộ tham số TQH trên, thường thì các bộ tham số chỉ đúng trong

phạm vi hẹp.
Khác với mẫu hiện tượng luận, TQH vi mô được xây dựng để mô tả một cách vi
mô từ các bậc tự do của nucleon của hạt nhân, ta gọi là mẫu folding.
2.3.

Mẫu quang học vi mô và mẫu folding đơn

Mẫu vi mô là một MQH dành cho tán xạ nucleon-hạt nhân mô tả sự tương tác
giữa hạt tới và hạt nhân bia. Để xây dựng TQH của mẫu vi mô ta phải dựa trên
tương tác NN.
Trải qua mấy thập niên, nhưng hiện tại vẫn chưa có mẫu vi mô nào là hoàn chỉnh
phù hợp cho hệ hai hạt nhân tương tác. Tuy nhiên Feshbach đã xây dựng một
18