SKKN phát huy trí tuệ của HS qua chứng minh bất đẳng thức

Phòng giáo dục huyện cao phong

trờng trung học cơ sở thị trấn cao phong

Sáng kiến kinh nghiệm:

Phát huy trí tuệ học sinh
thông qua chứng minh bất đẳng thức

Nguyễn Chí Chung

Họ và tên:
Đơn vị : Trờng trung học cơ sở thị trấn cao Phong
Năm học 2014 - 2015


A . đặt vấn đề
Toán học là bộ môn khoa học đòi hỏi tập trung cao độ về trí tuệ nhất đối với
cả ngời dạy và ngời học, nó còn là chìa khoá cho tất cả các bộ môn khoa học khác.
Vì vậy, việc dạy toán đối với thầy và học toán đối với trò cần có một phơng pháp
dạy học thật sự khoa học, thờng xuyên đổi mới cả phơng pháp dạy và học đối với
thầy và trò. Mặt khác, toán học ở bậc trung học cơ sở là nền móng quan trọng cho
việc học toán trong suốt bậc học phổ thông và các trờng chuyên nghiệp sau này của
học sinh. Bởi lẽ đó, cần và đòi hỏi ngời thấy giáo với điều kiện cần và đủ là phải có
phơng pháp truyền thụ với một nghệ thuật sáng tạo, tạo ra những phơng pháp thích
hợp trong giảng dạy nhằm phát huy trí tuệ của học sinh trong việc lĩnh hội những
kiến thức toán học. Các dạng toán ở trờng trung học cơ sở bao hàm nhiều nội dung,
nhiều vấn đề. Nói một cách đầy đủ và chính xác là gồm nhiều chuyên đề, nó rất
phong phú về thể loại và đa dạng về phơng pháp
Muốn giỏi toán cần phải rèn luyện, luyện tập nhiều thông qua việc giải các bài
toán đa dạng, giải các bài toán một cách khoa học, giải các bài toán với nhiều cách

giải khác nhau, kiên nhẫn và tỷ mỷ, để tìm ra đáp số đúng. Nhà Toán học Nguyễn
Cảnh Toàn đã viết: Ngời ta hay nói: Toán học là thể dục của trí não. Nói nh
vậy e cha lột tả hết ý nghĩa rèn luyện của t duy và tính cách của Toán học; phải lấy
hình ảnh của một ngời tập thể dục mà sức khoẻ càng tốt lên lại đòi hỏi trình độ bài
tập càng nâng lên, hai bên cứ thúc đẩy nhau mà tiến mãi. ( Ph ơng pháp luận duy
vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học. Tập II, trang 14; 15 Nhà
xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội- 1997).
Qua việc học và dạy toán nhiều năm ở trờng trung học cơ sở, chúng ta thấy:
Chuyên đề Bất đẳng thức với những bài tập thật là đa dạng phong phú và không ít
phức tạp đối với cả thầy và trò; chúng ta cần làm cho hai bên cứ thúc đẩy nhau mà
tiến mãi.
Xuất phát từ những lý do nêu trên, trong khuôn khổ kinh nghiệm của mình
trong dạy và học, tôi xin đợc đề xuất một vài suy nghĩ về việc phát huy trí tuệ của
học sinh thông qua giải các bài toán về bất đẳng thức mà tôi đã thực hiện trong quá
trình giảng dạy ở các nhà trờng phổ thông trong những năm vừa qua.
Mặc dù đã dành nhiều thời gian công sức tìm tòi, học hỏi và thực hiện trong quá
trình giảng dạy.

2


Song do nhiều lý do, nhất là còn hạn chế về kiến thức, về phơng pháp truyền
thụ cho học sinh, nên những kinh nghiệm của tôi chắc chắn còn thiếu sót nhiều, tôi
mong nhận đợc nhiều ý kiến đóng góp của tất cả các đồng chí, đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cám ơn.
Nội dung chính của bài viết này gồm có ba phần:
* Phần I:
* Phần II:
* Phần III:

Những kiến thức cơ bản
Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Kết luận rút ra từ thực tế

Tài liệu tham khảo:
- Sách giáo khoa Đại số lớp 9 của tác giả Nguyễn Duy Thuận
- Sách Ôn tập toán - Nhà xuất bản Giáo dục Hà Nội.
- Một số phơng pháp giải toán cấp II chọn lọc của Giáo s Phan Đức Chính,
Nguyễn Văn Mậu.
- Sáng tạo toán học - Giáo s Hoàng Chúng.
- Phơng pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học
Nguyễn Cảnh Toàn .
- Một số vấn đề phát triển đại số 8 của nhà giáo Vũ Hữu Bình, nhà xuất bản GD
năm 1996.
- Một số tạp chí Toán học và tuồi trẻ.
- Một số đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 & lớp 12 của tỉnh qua các năm

3


Phần I : Những kiến thức cơ bản
1/ Bất đẳng thức và Định nghĩa
Với hai số a & b R, Chúng xẩy ra các mối quan hệ:
a>b a-b>0.
aa = b a - b = 0.
Mở rộng ra, với biểu thức A & B R có chứa biến số ta cũng có:
Định nghĩa bất đẳng thức:
A>B A-B>0.
A

A = B A - B = 0.
- Các biểu thức & đợc gọi là các bất đẳng thức( cần chỉ rõ cho học sinh)
nghiêm ngặt.
- Cần cho học sinh hiểu rõ và sâu sắc định nghĩa bất đẳng thức này để vận dụng
vào việc chứng minh bất đẳng thức sau này bằng cách dùng định nghĩa.
- Trong thực tế giải toán ta còn gặp các bất đẳng thức có dạng:
AB A-B0.
AB A-B0.
Các bất đẳng thức & đợc gọi là các bất đẳng thức không nghiêm ngặt, khi
chứng minh các bất đẳng thức này cần chỉ rõ khi nào xẩy ra dấu =, giá trị mà các
biến (hoặc tham số) nhận để xẩy ra dấu = .
1)
x2 0 x R, dấu = xẩy ra khi x = 0,
2) (x2 + y2) 0 x; y R, dấu = xẩy ra khi x = y = 0.
Song, trong khi giải toán bất đẳng thức, việc tìm điều kiện để xẩy ra dấu = là
không đơn giản, sẽ đợc đề cập trong các ví dụ sau.
Ví dụ 1:

2. Tính chất
2.1
a>b b2.2
a > b; b > c a > c ( tính bắc cầu)
2.3
a > b a + c > b + c ( tính đơn điệu của bất đẳng thức).
2.4
a>b;c>d a+c>b+d
Cần lu ý cho học sinh không đợc trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều
2.5
a>b;c<d a- c>b-d

4


a > b ; c > 0 ac > bc
a > b ; c < 0 ac < bc
a > b 0 ; c > d 0 ac > bd
a > b > 0 an > bn với n *( * là các số tự nhiên 0)
a > b an > bn với n lẻ
a > b an > bn với n chẵn
m > n > 0 thì: a > 1 am > an
a = 1 am = an
a < 1 am < an

2.6
2.7
2.8
2.9

2.10

a > b ; ac > 0

1 1
<
( Giáo viên hớng dẫn học sinh chứng minh
a b

và coi đây là một bổ đề).
Đây là những tính chất cơ bản của bất đẳng thức, giáo viên cần cho học sinh

nắm vững để áp dụng vào việc giải bài tập.
Trong các tính chất trên có nhiều dấu (>) hoặc (<) có thể thay thế bởi dấu ()
hoặc ().
3. Các hằng bất đẳng thức
Ngoài các bất đẳng thức, chúng ta cần cho học sinh nắm đợc các hằng bất đẳng
thức thờng gặp trong thực tế có liên quan đến giá trị tuyệt đối:
Chẳng hạn:
a 0
xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0 .
-a a a
xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0 .
a + b a + b xảy ra dấu đẳng thức khi ab 0;
a - b a - b xảy ra dấu đẳng thức khi ab 0 và a b
Có thể hớng dẫn học sinh chứng minh bất đẳng thức theo cách sau:
a + b a + b a2 + 2ab + b2 a2 + 2ab + b2 vì hai vế của
bất đẳng thức không âm ab ab . Bất đẳng thức đúng, các phép biến đổi
trên là tơng đơng, vậy bất đẳng thức đúng. Ta có điều phải chứng minh ( )
Ngoài ra cũng cần nhớ thêm một số hằng bất đẳng thức khác, nhng cần chú ý
khi sử dụng phải chứng minh, sau đó sử dụng coi nh một bổ đề:
3.1
a2 + b2 2ab
a+b 2
) ab hay ( a2 + b2) 4ab ( Bất đẳng thức Cô si )
2

3.2

(

3.3

1 1
4
+

a b
a+b

với ab > 0
5


3.4

a b
+
2
b a

với ab > 0

3.5
(a2 + b2)( x2 + y2) ( ax + by)2 (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki)
Xảy ra dấu đẳng thức khi ay = bx
Đây là những hằng bất đẳng thức rất hay đợc dùng trong quá trình giải toán khi
chứng minh bất đẳng thức.
Phần II:

Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

Thực tế giải toán ta thấy có rất nhiều phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
trong chơng trình phổ thông, nhng cần lu ý học sinh các phơng pháp chính thờng
dùng sau:
1. Dùng định nghĩa:
Nghĩa là, muốn chứng minh bất đẳng thức A B ta nên xét hiệu A - B và
chứng minh hiệu A - B > 0 và ngợc lại nếu hiệu A - B < 0 nghĩa là bất đẳng thức
cha đợc chứng minh.
Ví dụ 2:

Chứng minh rằng: x,y 0 ta luôn có
( x + y)2

x 2 + y2

1
(x + y)2
2

( Bài 3 câu a Đề thi chọn học

sinh giỏi vòng tỉnh bảng A bậc trung học cơ sở năm 2003 của tỉnh Hoà Bình).
Thực tế bài này có rất nhiều cách giải, nhng có thể chứng minh bất đẳng thức
này bằng phơng pháp dùng định nghĩa nh sau:
Xét hiệu:
x2 + 2xy + y2 x2 y2 2xy 0 vì x,y 0
Nên: ( x + y)2 x2 + y2 .
Đây là bất đẳng thức đúng, các phép
biến đổi trên là tơng đơng. Ta có
(1)
Tơng tự: Ta xét hiệu

x2 + y2

1
(x + y)2 x2 2xy + y2
2

( x y)2 0
Đây là bất đẳng thức đúng, các phép biến đổi trên là tơng đơng , nên ta có

(2)

.
Kết hợp (1)& (2) ta có

( x + y)2

x 2 + y2

1
(x + y)2 .
2

Ta có
6


Đối với học sinh bậc trung học cơ sở, đây là phơng pháp đợc áp dụng khá phổ
biến, dễ thành công, nhng cần chú ý đến các phép biến đổi tơng đơng trên cơ sở sử
dụng các tính chất của bất đẳng thức.

Ví dụ 3:

Chứng minh rằng nếu a; b; c là độ dài ba cạnh của tam giác thì:
( a + b c)( b + c a)( a+ c b) abc .
(Câu 3 - Đề thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh Hoà Bình năm 1996 bậc trung học cơ
sở bảng A).
Đây là một bài toán không áp dụng trực tiếp định nghĩa đợc, mà phải thông qua
một bớc trung gian( dùng bất đẳng thức Côsi- Hằng bất đẳng thức 3.2).
Ta chứng minh hằng bất đẳng thức này
( a2 + b2) 4ab ( Bất đẳng thức Côsi - Giáo viên hớng dẫn học sinh chứng
minh bằng phơng pháp dùng định nghĩa).
Chú ý: Bất đẳng thức Côsi còn đợc viết dới dạng
a+b
2



ab ; a; b không âm

Tổng quát :

a1 + a 2 + a3 + ....... + a n
n



n

a1 .a 2 .a3 .......a n

Trong đó ai ( i = 1 n ) là các số không âm.
Từ những bổ đề trên ta có lời giải tóm tắt nh sau:
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp số không âm đôi một x; y; z ta có:
( x + y)2 4xy
(1)
2
( y + z) 4yz
(2)
2
( z + x) 4zx
(3)
2
2
Từ (1),(2),(3) [( x + y)( y + z)( z + x)] 64(xyz)
Do hai vế đều không âm, ta khai căn hai vế đợc kết quả
( x + y)( y + z)( z + x) 8xyz
(4)
Đặt:
( a+ b c) = x
x + y = 2b
( b + c a) = y

y + z = 2c
( a+ c b) = z
z + x = 2a
Với kết quả này, theo Bất đẳng thức (4) ta có:
( x + y)(y + z)(z + x) 8xyz
hay:
8abc
8xyz

abc xyz


abc



Dấu đẳng thức xảy ra khi

( a + b c)( b + c a)( a+ c b).

Ta có

.

a = b = c nghĩa là tam giác đã cho đều.
7


Nh vậy: Việc áp dụng định nghĩa cần hết sức nhạy bén, đối với học sinh giỏi cần có
phép biến đổi trung gian, đòi hỏi ngời thầy cần định hớng cho học sinh mới có kết
quả cao đợc. ở đây các số không âm đợc thay là các cạnh của một tam giác
Tuy nhiên bài này còn có nhiều cách giải khác, chẳng hạn:
Có
a2 a2 ( b c)2 = ( a + b c)( a b + c)
b2 b2 ( a c)2 = ( b + c a)( b c + a)
c2 c2 ( a b) = ( c + a b)( c a + b)

a2b2 c2 ( a + b c)2( b + c a)2( c + a b)2

Do a; b; c là các số không âm nên khi khai căn hai vế ta có
Việc tìm tòi các lời giải khác nhau có tác dụng rất lớn đối với việc phát huy trí
tuệ học sinh trong quá trình giải toán mà mỗi giáo viên chúng ta cần khai thác.
2. Dùng phép biến đổi tơng đơng
Việc biến đổi tơng đơng các bất đẳng thức là khâu hết sức quan trọng trong
giải toán bất đẳng thức. Chẳng hạn:
Muốn chứng minh A > B ta biến đổi A M;
B N, rồi so sánh
M & N để rút ra kết luận.
Nếu M > N
A > B nhng phải dựa vào tính chất của bất đẳng
thức, chú ý đến các phép biến đổi tởng chừng là tơng đơng
Ví dụ 4:

Cho các số x; y thoả mãn điều kiện
Hãy chứng minh:

Ta có:

1
1
)(1 + ) 9
y
x

1
1
)(1 + ) 9
y
x

x +1 y +1
.
9
x
y

(1 +


(1 +

x + y =1.

(1)


xy + x + y +1 9 xy
( vì xy > 0)

(x + y) +1 8xy
( vì ( x+ y = 1)

2
8xy

1
4xy
( vì ( x+ y = 1)
2

( x+ y)
4xy
2

( x y)
0
(2)
Bất đẳng thức (2) đúng, các phép biến đổi trên là tơng đơng, bất đẳng thức (1) đợc
chứng minh.
Dấu = xảy ra khi x = y .

8


Khi dùng phép biến đổi tơng đơng cần chú ý các bớc biến đổi có điều kiện,
chẳng hạn a2 > b2 a > b với điều kiện a; b không âm.
m > n am > bn với m; n nguyên dơng và a > 1.
Xin nhắc lại: cần chú ý đến các phép biến đổi tởng chừng là tơng đơng nếu
không chú ý tới điều kiện.
Ta có cách giải khác:
1
x+ y
x
1
x+ y
y
) = (2 + )(2 + ) khai triển ta
)( 1 +
)(1 + ) = (1 +
y

y
y
x
x
x
x y
x y
đợc: 5 + 2( + ) nhng ( + ) 2 ( do x; y dơng) có .
y x
y x

(1 +

3. Phơng pháp sử dụng các tính chất của bất đẳng thức
Trong chơng trình toán trung học cơ sở ta thấy có một bất đẳng thức rất quen
thuộc, nhng ứng dụng của nó rất hiệu quả . Chúng ta thờng gọi đó là bất đẳng thức
kép.
Nội dung của bất đẳng thức này nh sau:
a; b ta luôn có:
@
(a 2 + b 2 )
2
2
a +b
2ab
2

Các bất đẳng thức:
2(a2 +b2) (a + b)2
( a + b)2 4ab

a2 + b2 2ab
đều tơng đơng với @.

(1)
(2)
(3)

Ta hãy vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để làm một số ví dụ sau:
Ví dụ5 :

Cho a + b = 1. Hãy chứng minh

a2 +b2

1
. ;
2

a4 + b 4

1
8

. ;

a8 + b 8

Giải
áp dụng bất đẳng thức (1) và giả thiết ta có
2(a2 +b2) (a + b)2 (a2 +b2)

Tơng tự ta

a 4 + b4

1
.
128

1
( a + b) 2
= ; có
2
2

1
1
a2 + b2
( )2/ 2 = ;
2
8
2

.

có .
9


Và

1
8

2(a8 + b8 ) (a4 + b4)2 ( )2 =

1
128

Các bất đẳng thức này trở thành đẳng thức khi

a = b =

Cách giải khác: Ta có a + b > 1 > 0 bình phơng hai vế:
(a + b)2 > 1 a2 + 2ab + b2 > 1 theo (3) ta có
(a b)2 0 a2 2ab + b2 0
Cộng (4) & (5) ta đợc: 2(a2 +b2)
1


1
2

(4)
(5)
có .

Các ý thứ và của bài toán này chính là sự phát triển của ý thứ , điều
này gợi cho mỗi thầy giáo chúng ta cần định hớng cho học sinh cách phát triển một
bài toán từ những cái gốc sâu xa của vấn đề. ở ví dụ 4 cũng là sự phát triển một bài

toán mới; từ đó giúp học sinh có thể tự ra một số đề toán ở phạm vi cho phép, trên
cơ sở sử dụng tính chất của một bất đẳng thức một cách thành thạo.
ý nghĩa của bất đẳng thức @ là nêu lên mối quan hệ giữa tổng 2 số với tích của
chúng hoặc với tổng các bình phơng cuả 2 số đó
Ta xét thêm một ví dụ khác
Ví dụ 6 : Chứng minh rằng a; b; c ta luôn có:
a2 + b2 + c2 ab + bc +ca
Giải: áp dụng bất đẳng thức (3) ta có:

a 2 + b2
b2 + c2
c2 + a2

cộng lại ta có
2(a2 + b2 +c2) 2( ab + bc + ca) .
có .
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

2ab
2bc
2ac

4. Phơng pháp làm trội
Phơng pháp này dùng cho các bất đẳng thức là dãy số. Để chứng minh A< B, ta
làm trội A thành C ( A < C) rồi chứng minh C B biểu thức C đóng vai trò trung
gian để so sánh A & B.

10

Ta thờng làm trội bằng cách giảm mẫu số của mỗi phân số trong dãy số đã cho;
chẳng hạn:
1
1
<
A Am

cho phù hợp.

Ví dụ 7: Chứng minh

98 <

trong đó m là một số hay một tham số tuỳ chọn sao

3 8 15
9999
+ + + ...... +
< 99 .
4 9 16
10000

(1)

( Đề thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh Hoà Bình bậc trung học cơ sở năm 2004 bảng
A- Bài 2)
Ta có cách giải
3 8 15
9999
+ + + ...... +

4 9 16
10000

Xét dãy số:


1
4

(1 ) + (1-

Nh vậy (2) 99 (

1
1
1
) + (1- )++(1)
9
16
10000

(2)

1 1
1
1
+ + +.+
)
4 9 16
10000

Ta làm trội dãy số này nh sau:
1
4

<

1
1
1
= = 1
42
2
2

1
9

<

1
1 1
=
93
2 3

1
16

<

1
1 1
=
16 4
3 4

..
1
1
<
=
10000
10000 100

1

1
1
1
=
10000
99 100

Cộng từng vế với vế ta đợc
1 1
1
1
+ + + .+
<

4 9 16
10000



1
1
1
+
+.+
42 93
10000 100

1 1
1
1
1 1 1
1
1
1
+ + + .+
< 1 + +.+
= 1
4 9 16
10000
2 2 3
99 100
100

11

1 1 1
1
1
+ +.+
< 1 nên
2 2 3
99 100

Dễ dàng nhận thấy dãy số

1 1 1
1
1
+ +.+
<1 .
2 2 3
99 100

1

Điều đó chứng tỏ có .

Thực ra bài toán này chỉ cần kiến thức lớp 6 với những kỹ năng tính toán trên
dãy phân số là đủ. Vấn đề ở đây là cần tìm cho đúng hớng đi, điều này ngời thầy
cần thật lu ý trong quá trình truyền tải kiến thức cho hoc sinh trong khi giải toán.
5. Phơng pháp quy nạp
Quy nạp toán học là phơng pháp dợc dùng nhiều trong quá trình chứng minh
toán học, nó giúp ta khẳng định của một dự đoán toán học có liên quan đến số tự

nhiên.
Có hai phơng pháp quy nạp toán học, đó là phơng pháp quy nạp hoàn toàn và
không hoàn toàn.
Ví dụ 8:
Chứng minh bất đẳng thức: 2n > n3 n ; n 10.

(1)

Lời giải tóm tắt:
*

Bất đẳng thức (1) đúng với n = 10 vì 210 = 1024 > 103

*

Giả sử (1) đúng với n = k, nghĩa là ta có: 2k > k3
Ta phải chứng minh
Xét hiệu:

( k 10 ) (2)

2k + 1 > (k + 1)3

2k + 1 (k + 1)3 = 2.2k k3 3k2 3k 1
= 2( 2k k3) + k3 3k2 3k 1

Theo (2) ta cần chứng minh: k3 3k2 3k 1 > 0.
Thật vậy:

k3 3k2 3k 1 = k(k2 3k 3) 1

= k[k( k - 3) - 3] 1

Do k 10 k( k- 3) 70 k[k( k - 3) - 3] 1 669 > 0.
Vậy:
*

2k + 1 > (k + 1)3.

Kết luận:

2 n > n3

n ; n 10.

Phơng pháp quy nạp toán học đợc áp dụng khá phổ biến khi chứng minh các
dự đoán liên quan đến dãy số tự nhiên.

12


ở bớc 1 ta chứng minh mệnh đề đúng với n = 10, sau đó ở bớc 2 ta chứng minh
mệnh đề đúng n ; với n 10.
Cần lu ý ở bớc 2 khi chứng minh mệnh đề đúng với mọi trờng hợp cần khéo
léo tách hoặc phân tích biểu thức chữ hoặc số để có kết quả mong muốn.
6. Phơng pháp phản chứng
Để chứng minh mệnh đề A > B ta giả sử A < B và tìm ra điều vô lý trong quá
trình suy diễn( hoặc trong cách biến đổi) . Từ đó dẫn đến kết quả cần chứng minh.
Ví dụ 9: Chứng minh rằng a+ b 2, biết rằng a2 + b2 2.
Lời giải tóm tắt:
Giả sử a+ b > 2, vì hai vế không âm ta bình phơng hai vế dợc:

a2 + 2ab + b2 > 4
(1)
2
2
Nhng theo bất đẳng thức (3) tại mục 3 thì a + b 2ab
a2 + 2ab + b2 2( a2 + b2), mà 2( a2 + b2) 4 ( theo giả thiết), do đó
a2 + 2ab + b2 4, điều này trái với (1).
Nghĩa là ta có:

a+ b 2

.

Tất nhiên bài này còn có thể giải bằng cách khác: Cụ thể là
có:

a2 + b2 2

và 2ab a2 + b2 nên

2ab a2 + b2 2 cộng (1) & (2) ta có:
a2 + 2ab + b2 4



-2 a+b 2

.

Việc tìm tòi nhiều lời giải cho một bài toán là rất quan trọng và cần thiết nó

giúp chúng ta đào sâu kiến thức, phát huy tính sáng tạo trong mỗi cách giải, hình
thành trí tuệ cho học sinh, đúng nh nhiều nhà toán học đã từng nói: Toán học biến
hoá khôn lờng quả là không sai chút nào.
Trong quá trình hớng dẫn học sinh chứng minh bằng phơng pháp phản chứng
cần chú ý đến việc lập mệnh đề đảo đối với kết luận mà bài toán yêu cầu sao cho
phù hợp để quá trình chứng minh, suy diễn đợc thuận tiện.

13


Song, việc chứng minh bất đẳng thức là một vấn đề khó trong nhà trờng phổ
thông, nhiều bài toán cho dới dạng biết một số điều kiện nào đó, chẳng hạn biết mối
quan hệ giữa các biến, hoặc các điều kiện khác, chúng ta cần hớng dẫn học sinh biết
vận dụng tổng hợp các phơng pháp đã nêu trên, nh vậy vẫn còn cha đủ, phải thực sự
năng động, sáng tạo, biết cởi nút các vấn đề để tìm ra kết quả.
Mỗi bài toán cụ thể là một cái dễ nhỏ trong muôn vàn cái dễ trong một cây đại
thụ, vì vậy có một vài chú ý khi giải toán bất đẳng thức nh sau.
III.

Một vài chú ý

1. Chú ý tới sự bình đẳng của các ẩn khi chúng có vai trò nh nhau ta có thể sắp
xếp thứ tự các biến.
ở ví dụ 3, phần II, mục 1 chúng ta đã xét một câu 3 trong đề thi chọn học sinh
giỏi vòng tỉnh năm 1996 bậc trung học cơ sở bảng A, giờ xin có thêm ý kiến nhỏ:
Các điều kiện a, b, c là các số dơng đợc thay bằng độ dài các cạnh của một tam
giác(điều kiện tơng đơng).Ta xem lời giải khác:
* Lời giải cách 1, cách 2 nh đã trình bày;
(xin chú ý cách giải khác nh sau)
+) Cách 3: Do vai trò của a, b, c là bình đẳng nh nhau, ta giả sử:

a b c . Xét hai trờng hợp:
a) nếu b + c a khi đó vế phải của biểu thức đã cho là một số dơng,
còn vế trái không dơng. Nh thế bất đẳng thức đợc chứng minh.
b)
nếu b + c > a khi đó cả hai vế đều dơng, ta có thể giải tiếp nh bớc
(4) đã trình bày để đi đến kết luận.
+)

Cách 4: Trong ba số a + b - c; b + c - a; c + a - b không có quá một số âm.
Giả sử nếu b + c - a < 0; c + a - b < 0 ta thấy ngay( do cộng hai bất đẳng

thức cùng chiều) 2c < 0 thật là vô lý.

Có

.

Nếu có đúng một số âm thì vế trái của bất đẳng thức đã cho có một số âm, nghĩa
là bất đẳng thức đợc chứng minh.
Nếu không có số âm nào thì vế trái của bất đẳng thức đã cholà một số d ơng ta
đã giải nh bớc (4).

14


2. Có thể đổi biến của bất đẳng thức: nh chúng ta đã thực hiện ở bớc (4)
trong ví dụ đã nêu; nhân đây xin lấy thêm ví dụ khác:
Ví dụ 10:

Chứng minh rằng:

a2 + b2 +c2

1
. Biết rằng: a + b + c = 1
3

Lời giải tóm tắt nh sau:
1
1
1
+ x; b = + y; c = + z. Do a + b + c = 1 nên x + y + z = 0.
3
3
3
1
1
1
Ta có
a2 + b2 +c2 = ( + x)2 +( + y)2 + ( + z)2
3
3
3
2
1
2
1
2
1
= ( x2 + x + ) +( y2 + y + ) + (z2 + z + )

3
9
3
9
3
9
1
2
1
1
= + (x + y + z) + x2 + y2 + z2 = + x2 + y2 + z2
.
Có .
3
3
3
3

Đặt a =

3. Ví dụ 11:

Chứng minh rằng:

a8 - a7 + a2 - a + 1 > 0.

Lời giải:
Đặt vế trái là M :
Cách 1: Nếu a 1 thì M viết dới dạng: a7(a - 1) + a( a - 1) + 1
M>0.

Nếu a < 1 thì M viết dới dạng a8 + a2(1- a5) + (1 - a)
Do a < 1 nên 1 - a5 và 1 - a luôn dơng, do đó M > 0
Có
Cách 2: M = a7(a - 1) - (a - 1) + a2 = (a - 1)(a7 - 1) + a2 .
Nếu a 1 thì a7 1 nên (a - 1)(a7 - 1) 0 thêm vào a2 > 0,
chứng tỏ M > 0 .
Nếu a < thì a7 < 1 nên (a - 1)(a7 - 1) 0
thêm vào a2 > 0,
chứng tỏ M > 0 .
Có

.

.

Nh vậy khi chứng minh bất đẳng thức, trong nhiều trờng hợp ta xét từng khoảng
giá trị của biến. Khi đó bài toán trở nên đơn giản hơn. Giúp học sinh có nền tảng
vững chắc cho việc lĩnh hội kiến thức ở bậc phổ thông trung học

15


4. Trong nhiều trờng hợp , muốn giải phơng trình f (x, y) = 0 ta sử dụng ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức:
f (x, y) 0 hoặc f (x, y) 0 rồi chỉ ra điều kịên cần và đủ xảy ra dấu
đẳng thức.
Ta xét ví dụ sau :
Ví dụ 12 Giải phơng trình
x2 + y2 + z2 = x( y + z)
Ta hãy chứng minh: x2 + y2 + z2 xy + xz .
(1)

2
2
2
(1) 2x + 2y + 2z 2xy 2xz 0
(x y)2 + (x z)2 + y2 + z2 0
(2)
Bất đẳng thức (2) luôn đúng nên (1) cũng luôn đúng
Xảy ra dấu đẳng thức khi x = y = z = 0. Đây cũng chính là nghiệm của phơng
trình.
Tất nhiên có cách giải khác:
Ta biến đổi phơng trình đã cho trở thành
x2 + y2 + z2 = x( y + z) 2x2 + 2y2 + 2z2 2xy 2xz = 0
(x y)2 + (x z)2 + y2 + z2 = 0
x=y=z=0
Ví dụ 13:
Giải phơng trình:
x 2 + 4 x = x2 6x + 11.
(Bài 4 - Đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 12 vòng tỉnh Hoà Bình ngày 29 tháng
12 năm 1997)
Lời giải tóm tắt:
Xét hàm số y = x 2 + 4 x .
D = { xR: x[ 2; 4 ] }
(*)
2
2
Theo @, áp dụng bất đẳng thức (2): 2( a + b ) ( a + b )2
Ta đợc: 2(x 2 + 4 x) ( x 2 + 4 x )2
4 y2 khi x 2 = 4 x hay x = 3 thoả mãn (*)
(1)
2

2
Mặt khác ta thấy: x 6x + 11 = (x 3) + 2 2 x
(2)
Từ (1) & (2)


{

x2 +

4 x = 2

x2 6x + 11

= 2



x=3

16


Phần III:

Kết luận rút ra từ thực tế

Qua quá trình giảng dạy thực tế ở các nhà trờng phổ thông, tôi nhận thấy
chuyên đề bất đẳng thức là một vấn đề khó, phức tạp đối với cả thầy và trò. Việc
vận dụng các phơng pháp để chứng minh bất đẳng thức là kết quả tổng hợp của tất

cảc các phơng pháp, không có một phơng nào mang tính đặc thù đơn điệu, không
có một bài toán nào lại chỉ có một lời giải duy nhất.
Song chúng ta biết phát hiện ra cái gốc của vấn đề là ở chỗ nào? Phát triển nó
ra sao? Làm thế nào để phát huy trí tuệ học sinh qua mỗi bài toán.
Thử đề xuất một vài ý kiến:
1. Những suy nghĩ:
- Gây hứng thú cho học sinh qua mỗi lời giải hay: Trớc hết giáo viên cần tìm
nhiều lời giải, chọn lời giải hay nhất, đơn giản nhất, dễ hiểu nhất đa đến học sinh
theo hớng gợi mở vấn đề. Không áp đặt, tránh một chiều đơn điệu.
- Đi từ những bài toán đơn giản, quen thuộc, từ đó phát triển sâu rộng cái gốc của
một bài toán thành nhiều bài toán, đa dạng về thể loại, phong phú về hình thức.
- Biết sáng tạo ra tình huống mới, vấn đề mới cho mỗi bài toán.
2. Tìm, phát hiện thêm nhiều bài tập áp dụng khác:
Xin nêu lại một số ý đã trình bày ở mục 3 (phơng pháp sử dụng các tính chất của
bất đẳng thức) phần II:
Bất đẳng thức kép thờng gặp trong nhà trờng
Nội dung của bất đẳng thức này nh sau:
a; b ta luôn có:
@
(a 2 + b 2 )
a2 + b2
2ab
Các bất đẳng thức:
2
2
2
2
2(a +b ) (a + b)
(1)
2

( a + b) 4ab
(2)
2
2
a + b 2ab
(3)
đều tơng đơng với @ và tơng đơng với (a b)2 0, chúng xảy ra dấu đẳng thức
khi và chỉ khi a = b.
ý nghĩa của nó là nói lên mối quan hệ giữa tổng hai số với tích của nó, hoặc với
tổng các bình phơng của hai số đó. Để phát huy trí tuệ của học sinh, nhất là học
sinh khá, giỏi, chúng ta cần khai thác thêm nhiều vấn đề mới nảy sinh từ những cái
gốc của vấn đề nh bất đẳng thức @ chẳng hạn
Ta vận dụng bất đẳng thức này vào việc giải các bài tập áp dụng:
17


2.1/ Bài toán 1: Nh ví dụ 5 đã trình bày tại mục 3, cũng xin đợc nhấn mạnh:
các ý thứ và của bài toán là sự phát triển của ý mà thôi.
2.2/ Bài toán 2: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) 8abc.
ở ví dụ 3 đã trình bày lời giải theo các bớc (1), (2), (3), (4).
Sau đây xin giải theo cách khác:
áp dụng bất đẳng thức (2) có:
(a + b)2 4ab
(b + c)2 4bc
(c + a)2 4ac
Từ đó suy ra:
[(a + b)(b + c)(c + a)]2 64(abc)2.
(5)
Dễ dàng nhận thấy cả hai vế của bất đẳng thức (5) không âm

.
2.3/ Bài toán 3: Giáo viên giúp học sinh phát triển thêm bài toán mới trên cơ sở
vận dụng ba bất đẳng thức trên: Chẳng hạn
Chứng minh rằng: a, b, c là các số thực không âm, ta luôn có:
a4 + b4 + c4 + d4 4abcd .
Tóm tắt lời giải: áp dụng bất đẳng thức (3) ta có:
a4 + b4 + c4 + d4 2a2b2 + 2c2d2 = 2(a2b2 + c2d2).
Cũng theo (3) ta lại có (ab)2 + (cd)2 2abcd . Nh vậy ta có
.
2.4/ Bài toán 4: Một tứ giác lồi ABCD có tổng hai đờng chéo bằng d.
d2
Chứng minh rằng diện tích (S) của tứ giác thoả mãn: S
8

Lời giải: ( hình vẽ bên)
Ta có S

1
AC.BD .
2

B

Theo bất đẳng thức (2) thì:
AC.BD

C

O

( AC + BD)
d
=
4
4
2

2

d2
Từ hai kết quả trên S
8

A

D

Chú ý: Dấu đẳng thức xảy ra khi AC BD và AC = BD .
2. 5 / Bài toán 5: Chứng minh rằng a, b, c ta có:
(a + b)2(b + c)2 4abc(a + b + c)
Tóm tắt lời giải nh sau:
18


Có (a + b)2(b + c)2 = (ab + ac + b2 + bc)2
= [(ac +(a + b + c)b]2
áp dụng bất đẳng thức(2) cho hai số ac và (a + b + c)b ta sẽ đợc:
[(ac +(a + b + c)b]2 4ac. [(a + b + c)b]
.
ở đây ta khéo lựa chọn các cặp số để vận dụng các bất đẳng thức @ và các bất

đẳng thức tơng đơng với nó.
Một vấn đề nảy sinh: Có thể gợi ý cho học sinh ra đề cho một bài toán mới đợc
không? Câu trả lời mang tính khẳng định là có. Tôi và các bạn sẽ cùng tìm hiểu sau.
2.6/ Bài toán 6: Các số thực a, b, c thoả mãn:

{

a+b+c =2
a2 + b2 + c2 = 2

Chứng minh rằng: a, b, c [ 0 ;

4
]
3

Lời giải tóm tắt: Ta sẽ chứng minh cho: 0 a

4
. Các trờng hợp b, c còn
3

lại chứng minh tơng tự.
Theo bất đẳng thức (1) ta có 2(b2 + c2) (b + c)2 2(2 a2) (2 a)2
4 2a2 4 4a + a2 0 3a2 4a
Giải bất phơng trình cuối ta có điều phải chứng minh:

0 a

4

.
3

Các bạn cần khai thác thêm nhiều ví dụ áp dụng khác nữa khi áp dụng bất đẳng
thức này.
3. Lời kết:
Là một giáo viên, đồng thời cũng là một học sinh, đã tham gia giảng dạy nhiều
năm, song tôi thấy mình còn quá nhỏ bé, để có văn hoá toán học, phần nào đó nâng
cao nghiệp vụ chuyên môn, góp phần nhỏ bé của mình vào việc nâng cao chất lợng
học tập của học sinh với môn toán học. Tôi mạnh dạn đề xuất một số suy nghĩ trong
lĩnh vực phát huy trí tuệ của học sinh thông qua việc chứng minh bất đẳng thức.
Tôi xin ghi nhận và cảm ơn những ý kiến đóng góp của các bạn đồng nghiệp./.
Cao Phong tháng 05 năm 2005
Ngời viết

19