skkn phát huy trí lực của học sinh qua việc phân tích đa thức thành nhân tử

Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Phát huy trí lực của học sinh qua việc phân tích đa thức thành nhân tử
PHẦN I
ĐẶT VẤN ĐỀ
I/ LÝ DO CHỌN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ, rèn
luyện năng lực tư duy toán học. Phát huy trí lực học sinh là một điều vô cùng quan
trọng, nó là cơ sở vững chắc để các em học tập toán học được tốt.
Trong chương trình toán học phổ thông phân tích đa thức thành nhân tử là một
vấn đề dặc biệt quan tâm. Vì nó được sử dụng rất nhiều khi giải toán trên các đa
thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng nhất các
biểu thức hữu tỉ, chứng minh đẳng thức, giải phương trình và xuyên suốt quá trình
học tập sau này của học sinh.
Để phân tích một đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp. Việc tìm ra
phương pháp thích hợp cho lời giải một bài toán được ngắn gọn, chính xác, khoa học
hay tìm ra nhiều cách giải khác nhau trong một bài toán tất cả đều phụ thuộc vào
việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh. Khi lựa chọn các phương pháp để
phân tích giúp cho học sinh phát triển tư duy toán học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ năng
vận dụng kiến thức đã học khi giải một bài toán cụ thể. Không những thế khi phân
tích đa thức thành nhân tử học sinh được ôn lại hay sử dụng các kiến thức liên quan
như : Hằng đẳng thức, kỹ năng thêm bớt tách các hạng tử, tính nhẩm nghiệm của đa
thức Nói chung, các thủ thuật toán học để giải bài toán phân tích đa thức thành nhân
tử đòi hỏi học sinh phải tư duy nhiều nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt, sáng
tạo các kiến thức đó.
1
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Để giúp đỡ các em học sinh tiếp cận và khai thác lời giải các bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử và các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử trong quá
trình giải, cũng như nhằm nâng cao kiến thức cần thiết giúp các em học tốt môn toán
và đồng thời phát huy được trí tuệ của học sinh. Qua quá trình giảng dạy bộ môn
Toán 8 tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến và giải pháp thực hiện về việc “ Phát huy trí

lực của học sinh qua việc phân tích đa thức thành nhân tử ” nhằm giúp các em
nắm vững một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, một số bài tập nâng
cao, một số bài tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, thấy
được đó là công cụ đắc lực trong giải một số loại toán. Và qua đó cũng nhằm phát
huy trí lực của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học.
II/ MỤC TIÊU CỦA SÁNG KIẾN
1/ Nhằm đào sâu nội dung về phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh nắm
được các phương pháp phân tích, rèn luyện nhiều kĩ năng giải toán loại này và nhằm
phát tiển năng lực tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh.
2/ Giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản, có hệ thống về phân tích đa
thức thành nhân tử.
a/ Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử.
b/ Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử góp phần rèn luyện cho học sinh đức tính
cẩn thận, sáng tạo của người nghiên cứu khoa học.
c/ Bài tập có áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử nhằm củng cố kiến thức và
phân tích đa thức của học sinh thấy được tác dụng rất nhiều của kiến thức này trong
giải một số dạng bài tập, đồng thời qua đó phát triển trí tuệ của học sinh, kĩ năng vận
dụng của kiến thức đã học và những kiến thức tiếp theo, tư duy logic toán học, tính
sáng tạo.
III. PHẠM VI, GIỚI HẠN
2
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Một số phương pháp, một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử ở môn toán lớp 8.
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa Đaị số 8
- Sách giáo viên Đại số 8
- Sách bài tập đại số 8
- Sách toán bồi dưỡng học sinh lớp 8
- Các dạng toán đại số 8

3
Phương
pháp dùng
hằng đẳng
thức
Phương
pháp dùng
hằng đẳng
thức
Phối hợp
nhiều
phương
pháp
Phối hợp
nhiều
phương
pháp
Phương
pháp nhóm
nhiều hạng
tử
Phương
pháp nhóm
nhiều hạng
tử
Các phương
pháp đặc
biệt hoá
Các phương
pháp đặc

biệt hoá
Phương
pháp đặt
nhân tử
chung
Phương
pháp đặt
nhân tử
chung
CÁC PHƯƠNG
PHÁP PHÂN
TÍCH ĐA
THỨC THÀNH
NHÂN TỬ
CÁC PHƯƠNG
PHÁP PHÂN
TÍCH ĐA
THỨC THÀNH
NHÂN TỬ
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
4
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
PHẦN II
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Chương I: Các phương pháp cơ bản
I. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG
Khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp này thường làm như sau:
- Tìm nhân tử chung
CHƯƠNG II:
CÁC PHƯƠNG

PHÁP ĐẶC BIỆT
CHƯƠNG II:
CÁC PHƯƠNG
PHÁP ĐẶC BIỆT
CHƯƠNG III:
PHÁT HUY TRÁ
LỰC HỌC SINH
QUA VIỆC PHÁN
TÁCH ĐA THỨC
THÁNH NHÁN TỬ
CHƯƠNG III:
PHÁT HUY TRÁ
LỰC HỌC SINH
QUA VIỆC PHÁN
TÁCH ĐA THỨC
THÁNH NHÁN TỬ
CHƯƠNG I:
CÁC PHƯƠNG
PHÁP CƠ BẢN
CHƯƠNG I:
CÁC PHƯƠNG
PHÁP CƠ BẢN
PHẦN II:
NỘI DUNG
CỤ THỂ
PHẦN II:
NỘI DUNG
CỤ THỂ
5
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o

- Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung, các nhân tử khác.
- Viết nhân tư chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử
ở trong dấu ngoặc với dấu của chúng.
Khi phân tích bằng phương pháp này ta dựa vào tính chất phân phối của phép nhân
đối với phép cộng các đa thức: A.B + A.C =A.(B +C)

II. PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. Kiến thức
cơ bản là :
1.
Bình phương của một tổng : ( A + B )
2
= A
2
+ 2AB +B
2
2.
Bình phương của một hiệu: ( A - B )
2
= A
2
- 2AB +B
2
3.
Hiệu hai bình phương: A
2
- B
2
=( A + B ).( A - B )
4.

Lập phương của một tổng: ( A + B )
3
= A
3
+ 3A
2
B +3AB
2
+ B
3
5.
Lập phương của một hiệu: ( A - B )
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
6.
Tổng hai lập phương : A
3
+ B
3
=( A +B ).(A
2
- AB + B
2

)
7.
Hiệu hai lập phương : A
3
- B
3
=( A - B ).(A
2
+ AB + B
2
)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 8x
3
y
6
-1 =(2xy
2
)
3
- 1
3
Giải
8x
3
y
6
- 1 =(2xy
2
)
3

- 1
3
= ( 2xy
2
- 1 ).(4x
2
y
4
+ 2xy
2
+ 1)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
6
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Giải
25x
4
+ 10x
2
y + y
2
= (5x
2
)
2
+ 2.5x
2
.y + y
2
= ( 5x

2
+ y)
2
III. PHƯƠNG PHÁP NHÓM NHIỀU HẠNG TỬ
Khi sử dụng phương pháp này ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử rồi kết
hợp các hạng tử thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng dẳng thức hoặc xuất hiện
nhân tử chung của các nhóm rồi dùng các phương phap đã biết để phân tích đa thức
thành nhân tử.
Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x
2
+8xy - 3x - 6y
Giải
4x
2
+8xy - 3x - 6y = (4x
2

+ 8xy ) - (3x + 6y) = 4x.(x+2y) - 3(x+2y) = (x+2y)(4x-3)
Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x
2
- y
2
+ 2xz + z
2
Giải
x
2
- y
2
+ 2xz + z

2
=( x
2
+ 2xz + z
2
) - y
2
=(x+z)
2
- y
2
=(x+y+z)(x-y+z)
IV. PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
Thường được tiến hành theo các trình tự sau :
+ Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức còn lại đơn giản hơn dễ nhận xét hơn
+ Nhóm hạng tử
+ Dùng hằng đẳng thức
7
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

x
2
+ 2xy + y
2
- xz – yz
Giải
x
2
+ 2xy + y

2
- xz – yz = (x
2
+ 2xy + y
2
) – (xz + yz) = (x+y).(x+y-z)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
3x
3
y - 6x
2
y- 3xy
3
- 6axy
2
- 3a
2
xy +3xy

Giải
3x
3
y - 6x
2
y-3xy
3
- 6axy
2
-3a
2

xy +3xy
= 3xy(x
2
-2x-y
2
-2ay-a
2
+1)
= 3xy[(x
2
-2x+1)-(y
2
+2ay+a
2
)]
= 3xy[(x-1)
2
-( y+a)
2
]
= 3xy(x-1-y-a)(x-1+y+a)
Chương II : Các phương pháp đặc biệt
I . PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
Trong một số trường hợp bằng các phương pháp đã học không thể giải được mà
ta phải nghĩ tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để có thể áp dụng được các
phương pháp đã biết.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

x
2

- 6x + 8
Giải
Cách 1 : x
2
- 6x + 8 = x
2
- 2x- 4x+8 =x(x-2)-4(x-2) =(x-2)(x-4)
Cách 2 : x
2
- 6x + 8 = x
2
- 6x +9-1 = (x-3)
2
-1
2
=(x-3+1)(x-3-1)= (x-2)(x-4)
8
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Cách 3 : x
2
- 6x + 8 = x
2
- 4-6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2) = (x-2)(x+2-6)= (x-2)(x-4)
Cách 4 : x
2
- 6x + 8 = x
2
- 4x +4-2x+4=(x-2)
2
- 2(x-2)= (x-2)(x-4)

Có nhiều cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khảctong đó có 2 cách thông
dụng là :
Cách 1 : Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các
hạng tử và đặt nhân tử chung.
Cách 2 : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu hai
bình phương
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

9x
2
+6x-8
Giải
9x
2
+6x-8 =9x
2
-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)
Hoặc: =9x
2
-6x+1 – 9 =(3x+1)
2
-3
2
=(3x+1-3)(3x+1+3) =(3x -2)(3x+4)
*Chú ý : Khi tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử ta có thể dựa vào hằng đẳng
thức đáng nhớ: mpx
2
+ (mq +np)x +nq = (mx +n)(px +q)
Như vậy trong tam thức bậc hai :a x
2

+bx+c hệ số b = b
1
+ b
2
sao cho b
1
. b
2
= a.c.
Trong thực hành ta làm như sau :
- Tìm tích a.c
- Phân tích a.c ra thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách
- Chọn hai thừa số mà tổng bằng b
Ví dụ 3: Khi phân tích đa thức 9x
2
+6x-8 thành nhân tử
Ta có : a = 9 ; b = 6 ; c = -8
9
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
+ Tích a.c =9.(-8) =-72
+ Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số dương có giá trị
tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6)
-72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).12 = (-6).12 = (-8).9
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng 6, đó là -6 và 12
Từ đó ta phân tích
9x
2
+6x-8 =9x
2
-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)

Ví dụ 4 : Khi phân tích đa thức x
2
–x -6 thành nhân tử
Ta có : a = 1 ; b = -1 ; c = -6
+ Tích a.c =1.(-6) = -6
+ Phân tích -6 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số âm có giá trị tuyệt
đối lớn hơn vì b=-1 < 0 (để tổng hai thừa số bằng -1)
-6 = 1.(-6) = 2.(-3)
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng -1, đó là : 2 và -3
Từ đó ta phân tích
x
2
-x -6 = x
2
+ 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3)
*Chú ý : Trong trường hợp tam thức bậc hai : ax
2
+ bx + c có b là số lẻ, hoặc không
là bình phương của một số nguyên thì nên giải theo cách một gọn hơn so với cách
hai.
II . PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ
10
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Khi đa thức đã cho mà các hạng tử trong đa thức đó không chứa thừa số chung,
không có dạng của một hằng đẳng thức nào. cũng như không thể nhóm các số hạng
thì ta phải biến đổi hạng tử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã
biết.
Ví dụ 5 : Phân tích đa thức x
4
+ 4 thành nhân tử

Ta thấy x
4
=(x
2
)
2
; 4 = 2
2
Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử
4x
2

x
4
+ 4 = (x
4
+ 4 + 4x
2
)– 4x
2
= (x
2
+2)
2
– (2x)
2
= (x
2
+ 2x +2)( x
2

- 2x +2)
Ví dụ 6 : Phân tích đa thức 64a
2
+ b
4
thành nhân tử
Ta thấy 64a
4
=(8a
2
)
2
; b
4
= (b
2
)
2
Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng
hạng tử 16a
2
b
2
64a
2
+ b
4
= 64a
2
+ b

4
+ 16a
2
b
2
- 16a
2
b
2
= (8a
2
+ b
2
)
2
- (4ab)
2
= (8a
2
+ b
2
-4ab)( 8a
2
+ b
2
+4ab)
III . PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ( ĐẶT ẨN PHỤ)
Ví dụ 7 : Phân tích đa thức (x
2
+x)

2
+ 4x
2
+ 4x - 12 thành nhân tử
Ta có : (x
2
+x)
2
+ 4x
2
+ 4x - 12 = (x
2
+x)
2
+ 4(x
2
+ x) - 12
Nhận thấy nếu đặt x
2
+ x = y thì có đa thức đơn giản hơn y
2
+ 4y -12 là tam thức bậc
hai của biến y
Ta có : y
2
+ 4y -12 = y
2
+6y - 2y -12 = (y+6)(y-2) = (x
2
+ x+6)( x

2
+ x -2)
=(x
2
+ x+6)( x
2
+2x-x -2)
=(x
2
+ x+6)[x ( x +2)- ( x +2) ]
11
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
=(x
2
+ x+6)(x+2)(x-1)
*Chú ý : x
2
+ x+6 không phân tích được nữa trong phạm vi số hữu tỉ (vì tích a.c = 6
= 1.6 =2.3 không có hai thừa số nào có tổng bằng 1 - cách 1 phần I)
Ví dụ 8 : Phân tích đa thức (x
2
+ 3x + 1) (x
2
+ 3x + 2)- 6 thành nhân tử
Giải Đặt (x
2
+ 3x + 1) = y
Ta có : (x
2
+ 3x + 1) (x

2
+ 3x + 2)- 6 =y(y + 1 ) - 6 = y
2
+ y - 6 = y
2
+ 3y - 2y - 6
= (y + 3)(y - 2) = (x
2
+ 3x + 1 +3)( x
2
+ 3x + 1 -2)
= (x
2
+ 3x + 4)( x
2
+ 3x -1)
IV . PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
( PHƯƠNG PHÁP HẠ BẬC ĐA THỨC )
Tổng quát : cho đa thức f(x); a là nghiệm của f(x) nếu f(a) = 0 như vậy nếu f(x)
chứa nhân tử x - a thì a phải là nghiệm của đa thức
- Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng
tử không đổi
- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử x-1
Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì
đa thức chứa nhân tử x + 1
Ví dụ 9 : Phân tích đa thức x
3
+ 3x
2
-4 thành nhân

Nếu đa thức có nghiệm là a thì nhân tử còn lại có dạng x
2
+ bx +c.
12
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Suy ra: a.c = -4, tức là a phải là ước của -4 (
±
1;
±
2;
±
4). Kiểm tra thấy 1 là
nghiện của đa thức. Như vậy đa thức chứa nhân tử x – 1. Do đó ta tách các hạng tử
của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1
Cách 1: x
3
+ 3x
2
-4 = x
3
- x
2
+ 4x
2
-4 = x
2
(x-1) +4(x-1) = (x-1)(x
2
+4x+4)
= (x-1)(x+2)

2
Cách 2: x
3
+ 3x
2
-4 = x
3
-1+ 3x
2
-3 =(x-1)(x
2
+ x +1) +3(x-1)(x+1)
=(x-1)( x
2
+ x +1 +3x+3) =(x-1)(x
2
+4x+4) = (x-1)(x+2)
2
Ở ví dụ trên ta càng nhận thấy tổng các hệ số của đa thức là 1+3-4 = 0 nên đa thức
chứa nhân tử x-1. Do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử
chung x-1
Ví dụ 10 : Phân tích đa thức 2x
3
- 5x
2
+ 8x-3 thành nhân tử
Các ước của -3 là :
±
1 ;
±

3 mà
±
1;
±
3 không là nghiệm của đa thức. Như vậy
đa thức không có nghiệm nguyên. Nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ.
*Chú ý : Trong đa thức với số nguyên, nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng
q
p

với p là ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử cao nhất.
Như vậy trong đa thức trên nghiệm hữu tỉ nếu có chỉ có thể là :
-1 ; -
2
1
; - 3 ; -
2
3
Kiểm tra thấy x=
2
1
là một nghiệm của đa thức nên đa thức chứa nhân tử
x-
2
1
hay 2x-1
13
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung 2x-1
Ta có: 2x

3
- 5x
2
+ 8x-3 =2x
3
- x
2
-4x
2
+2x+6x-3
=x
2
(2x-1)-2x(2x-1)+3(2x-1) =(2x-1)(x
2
-2x-3)
V . PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
Ví dụ 11: Phân tích đa thức 2x
3
-5x
2
+8x-3 thành nhân tử
Giải : Nếu đa thức tiện phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
(ax+b)(cx
2
+dx+m)=acx
3
+(ad+bc)x
2
+(am+bd)x+bm
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho 2x

3
-5x
2
+8x-3 , ta được:
2x
3
-5x
2
+8x-3 = acx
3
+(ad+bc)x
2
+(am+bd)x+bm
Suy ra : a.c = 2 ; ad+bc =-5 ; am+bd = 8 ; b.m = -3
Có thể giả thiết a>0 (vì nếu a<0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử). Do đó a=2 hoặc
a=1
Xét a=2 thì c=1 suy ra : 2d+b=-5 ; 2m+bd=8 ; bm=-3
=> b có thể là
±
1 hoặc
±
3
Xét b=-1 thì m=3 => d=-2 thoả mãn các điều kiện trên.
=> a=2 ; b=-1 ; c=1 ;d=-2 ; m=3
Vậy 2x
3
-5x
2
+8x-3 = (2x-1)(x
2

-2x+3).
VI . PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG
Ví dụ 12 : Phân tích đa thức P= ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) thành nhân tử
Giải
14
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Sử dụng phương pháp xét giá trị riêng ta có. Nếu ta thay a bởi b thì P= 0+ bc(b-c) +
bc(c-b) =0, nên p chia hết cho a-b. vai trò của a,b,c như nhau trong đa thức nên p
chia hết cho (a-b)(b-c)(c-a)
Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức
chia (a-b)(b-c)(c-a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thương là hằng số
k
ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)=k(a-b)(b-c)(c-a)
Trong đẳng thức trên cho ta các biến nhận giá trị riêng a=2 ; b=1 ; c=0, ta được :
2.1.1+0 +0 =k.1.1.(-2)
2 = -2k => k=-1
Vậy P = (a-b)(b-c)(c-a)
Ví dụ 13 : Phân tích đa thức Q = (a+b+c)
3
-a
3
-b
3
-c
3
thành nhân tử
Giải
Sử dụng phương pháp xét giá trị riêng ta có. Nếu ta thay a bởi -b thì
Q= (0+c)
3

+b
3
-b
3
-c
3
=0. Vậy Q chia hết cho (a+b). vai trò của a,b,c như nhau trong đa
thức nên Q chia hết cho (a+b)(b+c)(c+a)
Trong phép chia đó, đa thức bị chia Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức
chia (a+b)(b+c)(c+a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thương là hằng
số k
(a+b+c)
3
-a
3
-b
3
-c
3
= k(a+b)(b+c)(c+a)
Cho biến nhận các giá trị riêng a=0; b=1; c=2 . ta có :
(0+1+2)
3
-0 -1
3
-2
3
= k(0+1)(1+2)(2+0)
15
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o

18 = 6 k => k=3
Vậy : (a+b+c)
3
-a
3
-b
3
-c
3
= 3(a+b)(b+c)(c+a)
*Chú ý : Khi đa thức có nhiều biến số và vai trò các biến như nhau trong đa
thức thì ta sử dụng phương pháp xét giá trị riêng như trên.
Chương III
Phát huy trí lực của học sinh qua việc
Phân tích đa thức thành nhân tử
I. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ CHIA HẾT
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng : x
3
- x chia hết cho3 với mọi số nguyên x.
Giải : Ta có P = x
3
- x =x(x
2
-1) = x(x+1)(x-1)
Vì x nguyên nên x+1,x-1 là số nguyên . Do đó:
P = (x+1). x .(x-1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp sẽ chia hết cho 3
Vậy P

3
∀

x
∈
Z.
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : x
5
- 5x
3
+ 4x chia hết cho 120 với mọi số nguyên x.
Giải : Ta có M = x
5
-5x
3
+ 4x
= x(x
4
-5x
2
+4)=x( x
4
- x
2
-4x
2
+4)
=x[ x
2
(x
2
-1)-4(x
2

-1)]= x(x
2
-1) (x
2
-4)
=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)
M Là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên M

2;3;4;5
16
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Vì M

2 và M

4 nên M

8 ( 8 là BCNN của 2và 4)
Vậy M

8.3.5 =120 ( vì 3;8;5nguyên tố cùng nhau từng đôi một )
Ví dụ 3 : Chứng minh đa thức x
3
- x
2
+x -1 chia hết cho đa thức x-1
Giải : Ta có P = x
3
- x
2

+x -1= x
2
(x-1)+(x-1) = (x-1)(x
2
+1)
Đa thức P chứa nhân tử x-1 nên P

(x-1)
Để giải các bài toán trên tôi đã đi phân tích các đa thức bị chia thành nhân tử (sử
dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử) để biến đa thức chia thành tích sau đó
tiếp tục sử dụng các kiến thức về tính chia hết suy ra điều phải chứng minh.
Khi chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác ta có nhiều cách
chứng minh. ở ví dụ 3 ta có thể chứng minh bằng cách thực hiện phép chia, số dư
bằng 0 có thể dùng lược đồ Hoocme tìm số dư ( dư 0 ). Hoặc chứng minh nghiệm
của đa thức chia là nghiệm của đa thức bị chia. Nhưng cách làm đó dài, hoặc đơn
điệu hoặc phức tạp hơn so với cách làm trên (áp dụng phân tích đa thức thành nhân
tử) biến đổi đa thức thành tích khi đó biểu thức đã cho chia hết cho nhân tử cho tích
đó đã làm cho phép giải của bài toán nhanh hơn và lời giải thông minh hơn.
II. BÀI TOÁN CHỨNG MINH BIỂU THỨC LUÔN DƯƠNG, LUÔN ÂM,
HOẶC KHÔNG ÂM
Bài toán này kích thích tư duy của học sinh phải đi tìm đường lối giải và khi
giải phải nắm được kiến thức:
- Biểu thức luôn dương (lớn hơn 0) khi tử thức và mẫu thức cùng dấu
- Biểu thức không âm (lớn hơn 0) khi biểu thức cho bằng luỹ thừa bậc chẵn
của biểu thức khác.
17
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
- Bên cạnh đó cần chú ý với trường hợp biểu thức nguyên ta xét sự luôn luôn
dương hoặc luôn âm của biểu thức dựa vào dấu của các nhân tử kết hợp với qui tắc
nhân dấu trong dấu nguyên.

Ví dụ 1 : Cho biểu thức P = 4x
2
- 12x + 9 . Chứng minh rằng P không âm với mọi x
Giải : Ta có P = 4x
2
-12x + 9 = (2x)
2
-2.2x.3 +(-3)
2
= (2x-3)
2

≥
0
Vậy P
≥
0 với
∀
x . Hay biểu thức P không âm với
∀
x.
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng biểu thức M =
223
1
234
34
++++
+−−
xxxx
xxx

không âm với mọi x
Giải
Ta có : M =
223
1
234
34
++++
+−−
xxxx
xxx
=
223
)1()1(
234
3
++++
−−−
xxxx
xxx
=
223
)1)(1(
234
3
++++
−−
xxxx
xx
=

)1)(2(
)1()1(
22
22
+++
++−
xxx
xxx
=
)2(
)1(
2
2
+
−
x
x
Vì x
2
+x +1 = x
2
+x +
4
1
+
4
3
=(x+
2
1

)
2
+
4
3
>0
∀
x
Mặt khác (x-1)
2

≥
∀
x và x
2
+2 > 0
∀
x
Vậy M
≥
0
∀
x . Hay M không âm
∀
x.
Với những bài toán này các em phải phân tích đa thức thành nhân tử hoặc rút
gọn biểu thức. Qua đó kỹ năng phân tích của các em được rèn luyện và phát triển
cùng với những kỹ năng giải toán khác
III. BÀI TOÁN RÚT GỌN VÀ VÀ TÍNH SỐ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.
18

Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Đây là bài toán áp dụng gần gũi nhất đối với việc phân tích đa thức thành nhân
tử. Đường lối giải là vận dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số để thu thành
nhân tử sau đó rút gọn thành nhân tử chung. ở đây cơ bản là rèn kỹ năng phân tích đa
thức thành nhân tử bên cạnh đó sử dụng một số tính chất toán học khác để giải. Sự
kết hợp đó có tác dụng rèn trí tuệ cho học sinh giúp các em thấy sự liên hệ chặt chẽ
giữa các kiến thức toán học phát triển trí tuệ thông minh và tư duy logickhoa học ở
các em.
Ví dụ : Cho P =
78
55
2
++
+
xx
x
a/ Rút gọn P
Giải P =
78
55
2
++
+
xx
x
=
)77()(
)1(5
+++
−

xxx
x
=
)1(7)1(
)1(5
+++
−
xxx
x
=
7
5
+x
( với x
≠
-1; x
≠
-7)
b/ Tính giá trị của P với x=2001
Giải P =
7
5
+x
=
72001
5
+
=
2008
5

IV. BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC.
Loại toán này đường lối giải là ta phải đi bến đổi, rút gọn biểu thức phức tạp ở vế
này đến kết quả là biểu thức đơn giản hơn ở vế kia nhưng cũng có bài ta phải biến
đổi rút gọn ở cả hai vế để đi đến 1 kết quả giống nhau.
Thực chất của bài toán này là bài toán rút gọn biểu thức.
Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau :
78
55
2
++
+
xx
x
=
7
5
+x
Giải Biến đổi VT ta có : VT =
78
55
2
++
+
xx
x
=
)7)(1(
)1(5
++
+

xx
x
=
7
5
+x
=VP
19
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Vậy đẳng thức được chứng minh .
Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau
1
2
−
−−
x
x
=
)42)(1(
8
2
3
+−−
+
xxx
x

Giải Biến đổi VP ta có : VP =
)42)(1(
8

2
3
+−−
+
xxx
x
=
)42)(1(
)42)(2(
2
2
+−−
+−+
xxx
xxx
=
x
x
−
+
1
2
Biến đổi VT ta có : VT =
1
2
−
−−
x
x
=

1
)2(
−
+−
x
x
=
x
x
−
+
1
2
VT =VP Vậy đẳng thức được chứng minh.
Với học sinh các em rất thích thú với dạng bài tập này vì các em cho rằng đây là
dạng toán đã cho sẵn kết quả.
V. BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN SỐ ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ
NGUYÊN.
Để giải bài toán này đường lối chung là tách phần nguyên để còn xét phần
phân thức ở dạng đơn giản hơn (Phần lớn các bài toán sau khi rút gọn kết quả chỉ
còn phân thức đơn giản hơn). Tiếp thea ta dùng giá trị tử của biến số để phân thức ấy
có giá trị nguyên. Muốn đạt được giá trị nguyên thì tử thức phải chia hết cho mẫu
thức hay nói cách khác: Mộu thúc phải là ước của tử thức. Từ đó ta tìm được giá trị
của biến.
Ví dụ : Cho P =
78
55
2
++
+

xx
x
Tìm giá trị của xđể biểu thức có giá trị nguyên.
Giải:
Theo VD1 ở IV -3 ta có: P=
78
55
2
++
+
xx
x
=
7
5
+x
P đạt giá trị nguyên
⇔
x+7 là ước của 5 (
±
1;
±
5)
20
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
Do đó x+7 =-1
⇒
x=-8
x+7 = 1
⇒

x=-6
x+7 =-5
⇒
x=-12
x+7 = 5
⇒
x=-2
Vậy khi biến số nhận một trong các giá trị { -12;-8;-6;-2} thì P đạt giá trị nguyên.
PHẦN III
KẾT LUẬN
Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung chủ yếu trong chương trình toán 8, muốn
phát huy được trí lực của học sinh ta cần sử dụng nhiều phương pháp khác nhau.
Trong quá trình giảng dạy, tôi đã vận dụng các phương pháp trên để phát huy trí tuệ
của học sinh thông qua việc phân tích đa thức thành nhân tử, tôi thấy kết quả học
sinh có tiến bộ rõ rệt, nhiều em đã say mê học toán.
Trên đây là một vài sáng kiến mà tôi đã áp dụng trong năm học này, rất mong sự
đóng góp của các đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn.
Tuân Đạo, ngày 12 tháng 05 năm 2009
Người thực hiện
Nguyễn Thị Hải Lý
21
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o


22
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o

23
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o
24