Sử dụng chiều biến thiên của hàm số chứng minh bất đẳng thức

Bài 03 – Chuyên ñề 01: Hàm số - Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI SỬ DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ CHỨ
NG
MINH BẤT ðẲNG THỨC

Bài 1: Chứng minh rằng:
2
sinx ; 0;
2
x
π
x
π
 
> ∀ ∈
 
 
.
Giải:
Do
sinx 2
0; ( ) ; 0;
2 2
π π
x BDT f x x
x π
   
∀ ∈ ⇒ ⇔ = > ∀ ∈
   

   

Ta có
2 2
cos sinx ( )
'( )
x x g x
f x
x x
−
= =
. Xét
( ) cos sinx
g x x x
= −
.
Ta có:
'( ) cos sin cos sin 0; 0;
2
π
g x x x x x x x x
 
= − − = − < ∀ ∈
 
 
.

( )
g x
⇒

nghịch biến trên
2
( )
0; ( ) (0) 0 '( ) 0; 0;
2 2
π g x π
g x g f x x
x
   
⇒ < = ⇒ = < ∀ ∈
   
   

Vậy hàm f(x) luôn nghịch biến trên
2
0; ( )
2 2
π π
f x f
π
   
⇒ > = ⇒
   
   
ðPCM.
Bài 2: CMR:
sinx tanx 1
2 2 2 ; 0;
2
π

x
x
 
+
+ > ∀ ∈
 
 

Giải:
Theo BðT Côsi ta có:
sinx+tanx sinx+tanx
1
sinx tanx
2 2
2 2 2.2 2
+
+ ≥ =

Ta sẽ chứng minh:
sinx+tanx
1
1
2
2 2 sinx+ t anx 2 ; 0;
2
π
x
x x
+
 

+
> ⇔ > ∀ ∈
 
 


( ) sinx+ t anx-2 0; 0;
2
π
f x x x
 
⇔ = > ∀ ∈
 
 

Ta có:
2
2
1
'( ) cos 2. 0; cos os
2
os
π
f x x Do x x c x
c x
 
= + − ∈ ⇒ >
 
 

2 2
2 2
1 1
'( ) cos 2 2 cos . 2 0 '( ) 0
os os
f x x x f x
c x c x
⇒ > + − ≥ − = ⇒ >


( )
f x
⇒
ñồng biến trên
0; ( ) (0) 0
2
π
f x f
 
⇒
> =
⇒
 
 
ðPCM
Bài 03 – Chuyên ñề 01: Hàm số - Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3
Bài 3: CMR:
(

)
ln 1 ; 0
x x x
+ < ∀ >

Giải:
BðT
1
( ) ln( 1) 0 '( ) 1 0; 0
1 1
x
f x x x f x x
x x
−
⇔ = + − < ⇒ = − = < ∀ >
+ +


( )
f x
⇒
luôn ngh
ị
ch bi
ế
n v
ớ
i m
ọ
i

0
x
>
.

( ) (0) ln1 0 0
f x f
⇒
< = − =
⇒
ð
PCM
Bài 4:
CMR:
( )
1
1 ; 3
n
n
n n n N
+
> + ∀ ≤ ∈
.

Giải:
L
ấ
y logarit c
ơ
s

ố
e 2 v
ế
ta có:
B
ð
T
ln ln( 1)
( 1)ln ln( 1)
1
n n
n n n n
n n
+
⇔ + > + ⇔ >
+
.
Ta s
ẽ
ph
ả
i ch
ứ
ng minh
ln
( )
x
f x
x
= ngh

ị
ch bi
ế
n trên
(
)
3;
+∞
.
Th
ậ
t v
ậ
y ta có:
ln
1 ln
3
'( ) 0. 3
2 2
e
x
f x Do e
x x
 
 
−
 
= = < <
.
V

ậ
y f(x) ngh
ị
ch bi
ế
n mà
ln( ) ln( 1)
n 1 n ( 1) ( )
1
n n
f n f n
n n
+
+ > ⇒ + < ⇔ > ⇒
+
ð
PCM
Bài 5:
CMR: V
ớ
i m
ọ
i tam giác ABC ta luôn có:

1 os 1 os 1 os
2 2 2
3 3
A B B
c c c
P

A B B
+ + +
= + + >


Giải:
Tr
ướ
c h
ế
t ta có:
2
2 2 2
0 sin sin sin
2 4
x x
x x x x< < ⇔ < ⇒ <


2 2
2
cos 1 2sin 1 2. 1
2 4 2
x x x
x⇒ = − > − = − . Áp d
ụ
ng vào tam giác ABC ta có:

Bài 03 – Chuyên ñề 01: Hàm số - Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi tr

ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t Page 3 of 3

( )
2
cos 1
2 8
2
1 1 1 1
cos 1 2
2 8 8
2
cos 1
2 8
9 18
2.
8 8
A A
B B
P A B C
A B C
C C
A B C π
P

A B C π

> −




 
> − ⇒ > + + − + +

 
 



> −


+ +
⇔ ≥ − = −
+ +

Ta dễ dàng chứng minh ñược
18
3 3
8
π
π
− > ⇒
ðPCM

………………….Hết…………………

Nguồn: Hocmai.vn