Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số 1

Lê Văn Hoàng 17/02/1999

Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số
y=ax4 +bx2 +c và ứng dụng
Lê Văn Hoàng -12A 1 -PT Nguyễn Mộng Tuân
I.Cơ sở lý thuyết
Xét hàm số y=ax4 +bx2 +c (a≠0) trên R .
Ta có y’=4ax3 +2bx=2x(2ax2+b).
’

Suy ra y =0 




x =0
2 ax 2 +b=0 (1)

Đồ thị hàm số y=ax4 +bx2 +c có ba điểm cực trị phân biệt khi và chỉ khi y’=0
có ba điểm phân biệt hay phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 
ab<0 (*)
Với điều kiện (*) ,đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A(0,c) ,B(và C(

−b
b2
,c −
)
2a
4a

−b

b2
,c −
).
2a
4a

Khi đó AB =AC =

− 2b
b 4 − 8ab
và BC=
.
2
a
16a

Sau đậy là một số tính chất thường gặp của các điểm cực trị này .
1) Điều kiện để ba cực trị A,B,C tạo thành ba đỉnh của một ta giác vuông
Vì AB=AC nên tam giác ABC cân tại A .suy ra ABC là tam giác vuông khi
và chỉ khi ∠BAC =90  hay tam giác ABC vuông cân tại A.Khi đó
BC=AB 2  BC2 =2AB2
2b
b 2 − 8ab
 b3+8a =0
= 2.
2
a
16a
Tính chất 1.Đồ thị hàm số y=ax4 +bx2 +c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh
của một tam giác vuông khi và chỉ khi ab<0 và b3 +8a=0.

2)Điều kiện để ba cực trị A,B,C tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều
Ta có ABC là tam giác đều khi và chỉ khi AB=AC=BC  AB2 =BC2

b 4 − 8ab
2b

=
−
<=> b 3 + 24a = 0
2
a
16a
Tính chất 2.Đồ thị hàm số y=ax4 +bx2 +c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh
của một tam giác đều khi và chỉ khi ab<0 và b3 +24a=0.

Chúc các bạn thành công !

1


Lê Văn Hoàng 17/02/1999
3) Điều kiện để ba cực trị A,B,C tạo thành ba đỉnh của một tam giác cân có
một góc α cho trước
Trường hợp 1. α > 90 
Khi đó ABC là tam giác tù .Vì tam giác ABC cân tại A nên ∠BAC = α .
Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có
BC2 =AB2 +AC2 -2AB.AC.cos ∠BAC  BC2=2AB2(1-cos α )
2b
b 4 − 8ab
= 2.

(1 − cos α )
- a
 -16a =(b3-8a )(1-cos α )
16a 2
 b3+ 8a –(b3 -8a)cos α =0
Trường hợp 2. α = 90  (đã xét ở t/c 1)
Trường hợp 3. α < 90 
+Nếu ∠B = ∠C = α thì ∠A = 180  − 2α ,suy ra cos ∠A = cos(180  − 2α ) = − cos 2α .
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC có
BC2 =AB2 +AC2 -2AB.AC.cos ∠BAC  BC2 = 2AB2 (1+cos2 α )
2b
b 4 − 8ab
= 2.
(1 + cos 2α )
<=> a
 -16a =(b3-8a )(1+cos 2 α )
16a 2
 b3 +8a+ (b3-8a)cos 2 α =0.
+ Nếu ∠A = α thì tương tự trường hợp 1, ta có b3 +8a-(b3-8a)cos2 α =0.
Tính chất 3.Đồ thị hàm số y=ax4 +bx2 +c có ba điểm cực trị A,B,C tạo thành
ba đỉnh của một tam giác cân cân có một góc α cho trước khi và chỉ khi
ab<0 và
Hoặc b3+ 8a –(b3 -8a)cos α =0 nếu α > 90 
Hoặc b3 +8a=0 nếu α = 90 
Hoặc b3 +8a+ (b3-8a)cos 2 α =0 nếu α < 90  .
4) Điều kiện để ba cực trị A,B,C thỏa mãn BC=OA (với O là gốc tọa độ)
Ta có BC=OA  BC2 = OA2  -

2b
= c 2  ac2 +2b =0.

a

Tính chất 4. Đồ thị hàm số y=ax4 +bx2 +c có ba điểm cực trị A,B,C thảo mãn
điều kiện =OA (với O là gốc tọa độ) khi và chỉ khi ab<0 và ac2 +2b =0.
5) Điều kiện để ba cực trị A,B,C tạo thành ba đỉnh của một tam giác và tính
diện tích tam giác đó
Gọi H là giao điểm của BC với trục Oy thì AH là đường cao của tam giác
− b2
b2
b2
=
ABC .Khi đó H(0,c- ) .Suy ra AH =
.
4a
4a
4a

Chúc các bạn thành công !

2


Lê Văn Hoàng 17/02/1999
2

Vậy S

1
1
2b b

ABC = 2 BC.AH= . −
.
=
2
a 4a

b5
−
.
32a 3

Tính chất 5. Đồ thị hàm số y=ax4 +bx2 +c có ba cực trị A,B,C tạo thành ba
đỉnh của một tam giác có diện tích là S cho trước khi và chỉ khi ab<0 và S=

b5
.
−
32a 3
6) Điều kiện để ba cực trị A,B,C tạo thành ba đỉnh của một tam giác và tính
bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là giao điểm
b2
của BC với trục Oy . Khi đó H(0, c- ) .Suy ra AH =
4a

− b2
b2
=
.
4a

4a

Từ tam giác vuông AHC ,ta có :
Sin ∠ACH =

AH AH
=
.
AC
AB

Áp dụng định lí Sin vào tam giác ABC được
2R=

AB
sin ∠ACH

b 3 − 8a
R=
.
AB 2 b 4 − 8ab 4 a
8
a
b
=
=
. 2 suy ra
2
AH

16a

b

Tính chất 6. Đồ thị hàm số y=ax4 +bx2 +c có ba cực trị A,B,C tạo thành ba
đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R khi và chỉ khi
b 3 − 8a
.
ab<0 và R= 8 a b

II,Ứng dụng
Ví dụ 1. Cho hàm số y=x4 -2mx2 -3 (1) .Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba
điểm cực trị và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực
trị đó đạt giá trị nhỏ nhất .

Chúc các bạn thành công !

3


Lê Văn Hoàng 17/02/1999
Lời giải : Áp dụng tính chất 6 ,đồ thị hàm số (1) có ba cực trị và bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực trị là R khi và chỉ khi

− 2m < 0

 ab < 0
3

3


 m>0
 R = b − 8a ⇔  R = ( −2m) − 8 ⇔ 
m3 + 1
R=


8ab
8(−2m)

2m


1 2 1
Suy ra R= ( m + ) . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ,ta
2
m
có

3 1
33
1
1
1
1
1 1
2.
R= (m 2 +
= .3 =
+

) ≥ .3.3 m 2 .
.
2
2m 2m
2
2m 2m 2 4 4
Vậy min R=

1
1
33
⇔m=3 .
2 ⇔ m2 =
2m
2
4

Ví dụ 2. Cho hàm số y=x4-2mx2+1 (1) .Tìm các giá trị của tham số m để
đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán
kính bằng 1.
Lời giải :Áp dụng tính chất 6 ,đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường
tròn đi qua ba điểm này có bán kính R khi và chỉ khi

 ab < 0
m>0

3


3

 R = b − 8a ⇔  R = m + 1 .


8ab
2m


m3 + 1
Theo đề bài R=1 suy ra 1=
2m

⇔ m 3 − 2m + 1 = 0 ⇔ (m − 1)(m 2 + m − 1) = 0
m =1

⇔
− 1 ± 5 đối chiếu với điều kiện m>0 ta được m=1 ,m= − 1 ± 5 .
2
m =
2

Ví dụ 3.Cho hàm số y= x 4 − 2mx 2 + m + 2 . Tìm m để đồ thị hàm số có ba
điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có ột góc bằng 30 
Lời giải : theo tính chất 3 ,đò thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành ba đỉnh
của một tam giác cân có một góc α = 30  khi và chỉ khi ta có hai trường hợp
sau
• Nếu góc ở đỉnh α = 30  thì
Chúc các bạn thành công !

4

Lê Văn Hoàng 17/02/1999

ab < 0

 3
3
b + 8a − (b − 8a) cos α = 0

2m < 0

⇔ 3
3

8m + 8 − (8m − 8) cos 30 = 0
m<0

⇔
3
(2 − 3 )m + 2 + 3 = 0

⇔ m = − 3 (2 + 3 ) 2

.

• Nếu góc ở đáy α = 30  thì

ab < 0

 3

3
b + 8a + (b − 8a) cos 2α = 0

2m < 0

⇔ 3
3

8m +8 +(8m −8) cos 60 = 0

 m<0
1
⇔ 3
⇔ m=−3
3
3m + 1 = 0
Vậy m=- 3

1
3

hoặc m=- 3 (2 + 3 ) 2 .

Bài tập
1) Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + m -1 (1), với m là tham số thực. Xác
định các giá trị của tham số m để hàm số (1) có ba cực trị, đồng thời
các giá trị của hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn
ngoại tiếp bằng 1.
2) Cho hàm số y = x4 - 8m2x2 + 1 (1), với m là tham số thực. Tìm các
giá trị của m để hàm số (1) có 3 cực trị A, B, C và diện tích tam giác

ABC bằng 64.
3) Cho hàm số y = x4 – 2(1 – m2)x2 + m + 1 (1). Tìm m để hàm số có
cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam
giác có diện tích lớn nhất.
4) Cho hàm số y = x4 + 2mx2 + m2 + m. Tìm m để hàm số có ba điểm
cực trị và ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng
120.
5) Cho hàm số: y = x4 – 2x2 + m + 2 (Cm). Xác định giá trị của tham số
m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm?

Chúc các bạn thành công !

5


Lê Văn Hoàng 17/02/1999
6) Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m (1), m là tham số. Tìm m để đồ
thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc
tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.

Chúc các bạn thành công !

6