Đề thi tuyển công chức giáo viên THCS môn toán tỉnh lai châu năm học 2016 2017(có đáp án)

Vn Lõm - THCS Th Trn Tõn Uyờn

ubnd tỉnh lai châu
hội đồng tuyển dụng

cộng hoà x hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

đề chính thức

THI ST HCH KIN THC CHUYấN MễN
TUYN DNG VIấN CHC NGNH GIO DC V O TO
NM HC 2016 - 2017
MễN TON - CP THCS
Thi gian lm bi: 120 phỳt khụng k thi gian chộp ủ
( thi ch cú 01 trang)
Bi 1. (10 ủim). Thc hin phộp tớnh
3 4 7 4 7 7
1.1) + : + + :
7 11 11 7 11 11
2
2
2
1.2)
+
+ ... +
11.13 13.15
19.21
Cõu 2. (10 ủim)
2.1) Chng minh rng s t nhiờn cú dng abba chia ht cho 11
1 + 3y 1 + 5y 1 + 7y

2.2) Tỡm cp s (x, y) bit:
=
=
12
5x
4x
Cõu 3. (10 ủim)
3.1) Cho a, b, c, d 0 . Chng minh rng: (a + c)(b + d) ab + cd
c d
1
3.2) Cho a, b, c, d 0 , c + d = 1 v + =
. Chng minh rng a = b
a b ac + bd
Cõu 4 (20 ủim)
x 241 x 220 x 195 x 166
4.1) Gii phng trỡnh sau:
+
+
+
= 10
17
19
21
23
x 3 = 2y + 1
4.2) Gii h phng trỡnh: 3
y = 2x + 1
Câu 5. (10 ủim)
Cho phng trỡnh: x2 - mx + m - 1 = 0. Gi x1 v x2 l hai nghim ca phng trỡnh. Tỡm giỏ
2x1x 2 + 3

tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc: A = 2
x1 + x 22 + 2(x1x 2 + 1)
Câu 6. (30 ủim)
Cho ủng trũn tõm O ủng kớnh AB = 2R. Gi d v d' ln lt l cỏc tip tuyn vi
ủng trũn ti A v B. im C thuc ủng thng d (C khỏc A), ủng thng vuụng gúc vi OC ti
O ct d v d' th t ti M v D.
6.1) Chng minh tam giỏc CMD cõn v CD l tip tuyn ca ủng trũn (O);
6.2) Chng minh rng khi C di chuyn trờn ủng thng d thỡ tớch AC.BD khụng ủi;
6.3) im C v trớ no trờn ủng thng d thi din tớch t giỏc ABDC nh nht? Tớnh giỏ
tr nh nht ủú theo R.
Câu 7. (10 ủim) Cho a + b + c = 0, abc 0 . Rỳt gn biu thc sau:
a2
b2
c2
B= 2
+
+
a b 2 c 2 b 2 c2 a 2 c 2 a 2 b 2
Hết
- Thớ sinh khụng ủc s dng ti liu
- Giỏm th khụng gii thớch gỡ thờm


Đỗ Văn Lâm - THCS Thị Trấn Tân Uyên
h−íng dÉn gi¶i
Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo
C©u 1. (10 ñiểm)
2
2
2

 −3 4  7  −4 7  7
1.1)  +  : +  +  :
1.2)
+
+ ... +
11.13 13.15
19.21
 7 11  11  7 11  11
Giải
11
 −3 4  7  −4 7  7  −3 4 −4 7  7
1.1)  +  : +  +  : =  + +
+  : = ( −1 + 1) . = 0
7
 7 11  11  7 11  11  7 11 7 11  11
2
2
2
10
1 1 1 1
1 1  1 1
2.2)
+
+ ... +
=  −  +  −  + ... +  −  = − =
11.13 13.15
19.21  11 13   13 15 
 19 21  11 21 231
Câu 2. (10 ñiểm)
2.1) Chứng minh rằng số tự nhiên có dạng abba chia hết cho 11

1 + 3y 1 + 5y 1 + 7y
2.2) Tìm cặp số (x, y) biết:
=
=
12
5x
4x
Giải
2.1) Vì abba = a.1001 + b.110 = 11.91a + 11.10b = 11(91a + 10b)⋮11
2.2) ĐKXĐ x ≠ 0.
1 + 5y 1 + 7y
−1
- Vì x ≠ 0 nên từ :
=
⇒ 4(1 + 5y) = 5(1 + 7y) ⇔ 15y = -1 ⇒ y =
5x
4x
15
1 + 3y 1 + 5y
12(1 + 5y)
−1
- Từ
=
⇒x=
= 2 . Vậy (x, y) = (2;
)
12
5x
5(1 + 3y)
15

Câu 3. (10 ñiểm)
3.1) Cho a, b, c, d ≥ 0 . Chứng minh rằng: (a + c)(b + d) ≥ ab + cd
c d
1
3.2) Cho a, b, c, d ≠ 0 , c + d = 1 và + =
. Chứng minh rằng a = b
a b ac + bd
Giải
3.1) (a + c)(b + d) ≥ ab + cd ⇔ (a + c)(b+ d) ≥ ab+ cd + 2 ab.cd ⇔ ad + bc ≥ 2 ad. bc
⇔

(

ad − bc

)

2

≥ 0 (ñúng). Từ ñó suy ra ñiều phải chứng minh.

c d
1
1− d d
1
b − bd + ad
1
+ =
⇒
+ =

⇔
=
a b ac + bd
a
b a − ad + bd
ab
a − ad + bd
⇒ (b - bd + ad)(a - ad + bd) = ab
⇔ ab - abd + b2d - abd + abd2 - b2d2 + a2d - a2d2 + abd2 - ab = 0 (Chú ý d ≠ 0 )
⇔ - 2ab + b2 + a2 + 2abd - b2d - a2d = 0 ⇔ (a - b)2 - d(a - b)2 = 0 ⇔ (a - b)2(1 - d) = 0
Vì c + d = 1 và c ≠ 0 ⇒ d ≠ 1 nên (a - b)2 = 0 ⇒ a = b
Câu 4. (20 ñiểm)
x − 241 x − 220 x − 195 x − 166
4.1) Giải phương trình sau:
+
+
+
= 10
17
19
21
23
 x 3 = 2y + 1
4.2) Giải hệ phương trình:  3
 y = 2x + 1
Gi¶i
x − 241 x − 220 x − 195 x − 166
4.1)
+
+

+
= 10
17
19
21
23
 x − 241   x − 220
  x − 195   x − 166

⇔ 
− 1 + 
− 2 + 
− 3 + 
− 4 = 0
 17
  19
  21
  23

1 
 1 1 1
⇔ (x - 258)  + + +  = 0 ⇔ x − 258 = 0 ⇔ x = 258 . Vậy x = 258
 17 19 21 23 

3.2) Từ c + d = 1 và


Đỗ Văn Lâm - THCS Thị Trấn Tân Uyên
 x = 2y + 1
4.2)  3

⇒ x3 - y3 + 2(x - y) = 0 ⇔ (x - y)(x2 + xy + y2 + 2) = 0
 y = 2x + 1
x − y = 0
2
⇔ 
⇔ x = y.
(x + y )2 + 3y + 2 = 0

2
4
x = y
x = y
x = y
Khi ñó ta có hệ:  3
⇔ 3
⇔
2
 x − 2x − 1 = 0
(x + 1) − 2(x + 1) = 0
(x + 1)(x − x − 1) = 0
TH1: x = y = -1
x = y
x = y

TH2:  2
⇔
1± 5 .
x
x
1

0
−
−
=
x
=



2
1± 5
Vậy x = y =1 hoặc x = y =
2
Câu 5. (10 ñiểm) Cho phương trình: x2 - mx + m - 1 = 0. Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương
2x1x 2 + 3
trình. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2
x1 + x 22 + 2(x1x 2 + 1)
Giải
Điều kiện ñể phương trình bậc có hai nghiệm x1, x2 là:
∆ ≥ 0 ⇔ m2 - 4m + 4 ≥ 0 ⇔ (m - 2)2 ≥ 0 ñúng ∀ m. Khi ñó áp dụng hệ thức Vi-Ét ta có:
2x1x 2 + 3
2(m − 1) + 3 2m + 1
A=
=
= 2
2
(x1 + x 2 ) + 2
m2 + 2
m +2
+) Tìm giá trị lớn nhất của A:

2m + 1 m 2 + 2 − (m 2 − 2m + 1)
(m − 1)2
A= 2
=
= 1− 2
≤ 1 . Dấu "=" xảy ra khi m = 1
m +2
m2 + 2
m +2
Vậy: Max A = 1 khi m = 1
+) Tìm giá trị nhỏ nhất của A:
−(m 2 + 2) + (m 2 + 4m + 4) (m + 2)2 1
1
=
− ≥ − . Dấu "=" xảy ra khi m = -2
A=
2
2
2(m + 2)
2(m + 2) 2
2
1
Vậy: Min A = khi m = -2
C
2
2
Câu 6. (30 ñiểm)
F
1
E

6.1). Chứng minh ∆CMD cân và CD là tiếp tuyến của (O)
+) Xét ∆AOM và ∆BOD có:
3

A = B = 900 (t/c của tiếp tuyến)
OA = OB = R (gt)
O1 = O 2 (ñối ñỉnh)
⇒ ∆AOM = ∆BOD (g.c.g)
⇒ OM = OD mà CO ⊥ MD (gt)
⇒ ∆CMD cân tại C
+) Từ O kẻ OE ⊥ CD tại E ∈ CD
Xét ∆AOC và ∆EOC có:
A = E = 900
OC - cạnh chung

A

2
1

O

M

C1 = C2 (t/c ñường cao trong tam giác cân CMD)
⇒ ∆AOC = ∆EOC (cạnh huyền-góc nhọn) ⇒ OA = OE = R ⇒ CD là tiếp tuyến của (O)
6.2) Chứng minh AC.BD không ñổi

D

B


Đỗ Văn Lâm - THCS Thị Trấn Tân Uyên
- Vì CD là tiếp tuyến của (O) tại tiếp ñiểm E ⇒ AC = CE, BD = DE (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
- Áp dụng hệ thức giữa cạnh và ñường cao trong tam giác vuông OCD ta có:
OE2 = EC.ED ⇒ OE2 = AC.BD ⇒ AC.BD = R2 không ñổi
6.3) Tìm vị trí của C ñể diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất, tìm diện tích nhỏ nhất ñó theo R
Gọi F là trung ñiểm của CD ⇒ OF là ñường trung bình của hình thang vuông ABDC
AC + BD
2.OF
.AB =
2R = 2R.OF ⇒ SABDC nhỏ nhất khi OF nhỏ nhất ⇒ E ≡ F
Khi ñó: SABDC =
2
2
⇒ ABDC là hình chữ nhật và AC = R. Vậy Min SABDC = 2R2 khi C cách A một khoảng bằng R.
C©u 7. (10 ®iÓm)
Cho a + b + c = 0, abc ≠ 0 . Rút gọn biểu thức sau:
a2
b2
c2
B= 2
+
+
a − b 2 − c 2 b 2 − c2 − a 2 c 2 − a 2 − b 2
Giải
3
+) Từ a + b + c = 0 ⇒ a + b = - c ⇒ (a + b) = -c3 ⇒ a3 + b3 + 3ab(a + b) = -c3
⇒ a3 + b3 - 3abc = -c3 ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc

+ ) Từ a + b + c = 0 ⇒ a + b = -c ⇒ a2 + b2 + 2ab = c2 ⇒ c2 - a2 - b2 = 2ab
Tương tự: a2 - b2 - c2 = 2bc và b2 - c2 - a2 = 2ca
a2
b2
c2
Khi ñó: B = 2
+
+
a − b 2 − c 2 b 2 − c2 − a 2 c 2 − a 2 − b 2
a2
b2
c2
a 3 + b3 + c3 3abc 3
=
+
+
=
=
=
2bc 2ac 2ab
2abc
2abc 2