giải phương trình bậc 4

Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

02. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1. Giải phương trình x 4 − 2 x3 + x 2 − 6 x − 1 = 0.
Lời giải:
ĐK: x ∈ ℝ
(*)

Khi đó (1) ⇔ ( x 2 − x + 1) − 2 x 2 − 4 x − 2 = 0
2

⇔ ( x 2 − x + 1) = 2 ( x + 1) ⇔ x 2 − x + 1 = ± ( x + 1) 2.
2

2

(

)

•

TH1. x 2 − x + 1 = ( x + 1) 2 ⇔ x 2 − 1 + 2 x + 1 − 2 = 0 ⇔ x =

•

TH2. x 2 − x + 1 = − ( x + 1) 2 ⇔ x 2 − 1 − 2 x + 1 + 2 = 0.

(

Phương trình vô nghiệm vì ∆ = 1 − 2

Đ/s: x =

)

(

2

(

)

1 + 2 ± 6 2 −1
thỏa mãn (*)
2

)

− 4 1 + 2 = −1 − 6 2 < 0.

1+ 2 ± 6 2 −1
2

Câu 2. Giải phương trình x 4 − 2 x3 − 4 x 2 − 4 x − 2 = 0.
Lời giải:

ĐK: x ∈ ℝ
(*)

Khi đó (1) ⇔ ( x 2 − x − 1) − 3 x 2 − 6 x − 3 = 0
2

 x 2 − x − 1 = ( x + 1) 3
⇔ ( x − x − 1) = 3 ( x + 1) ⇔ 
 x 2 − x − 1 = − ( x + 1) 3

1+ 3 ± 8 + 6 3
x =
 x2 − 1 + 3 x − 1 − 3 = 0
2
thỏa mãn (*)
⇔
⇔

 x2 − 1 + 3 x − 1 + 3 = 0
1
+
3
±
8
−
2
3

x =


2
2

2

(
(

2

)
)


1+ 3 ± 8 + 6 3
x =
2
Đ/s: 

x = 1+ 3 ± 8 − 2 3

2

Câu 3. Giải phương trình 2 x 4 − 2 x 3 − 15 x 2 − 2 x + 11 = 0.
Lời giải:
ĐK: x ∈ ℝ
(*)
Khi đó (1) ⇔ x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 1 = 3 x 4 − 12 x 2 + 12

⇔ ( x 2 + x + 1) = 3 ( x 2 − 2 ) ⇔ x 2 + x + 1 = ± ( x 2 − 2 ) 3.

2

•

TH1. x 2 + x + 1 = ( x 2 − 2 ) 3 ⇔

(

2

)

3 − 1 x2 − x − 1 − 2 3 = 0 ⇔ x =

1 ± 21 − 4 3
2

(

)

3 −1

thỏa mãn (*)

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

•

(

)

TH2. x 2 + x + 1 = − ( x 2 − 2 ) 3 ⇔ 1 + 3 x 2 + x + 1 − 2 3 ⇔ x =

Facebook: Lyhung95

−1 ± 21 + 4 3

(

2 1+ 3

)

thỏa mãn (*)


1 ± 21 − 4 3
x =

2 3 −1
Đ/s: 

−1 ± 21 + 4 3
x =


2 1+ 3


(

)

(

)

Câu 4. Giải phương trình x 4 − 11x 2 + 18 x − 8 = 0.
Lời giải:
ĐK: x ∈ ℝ

(*)

Khi đó (1) ⇔ x 3 ( x − 1) + x 2 ( x − 1) − 10 x ( x − 1) + 8 ( x − 1) = 0

x = 1
x = 1

⇔ ( x − 1) ( x + x − 10 x + 8) = 0 ⇔  3
⇔  x = 2 thỏa mãn (*)
2
 x + x − 10 x + 8 = 0
 x = −4
3

2

x = 1
Đ/s:  x = 2
 x = −4
Câu 5. Giải phương trình x 4 − 25 x 2 + 60 x − 36 = 0.
Lời giải:
ĐK: x ∈ ℝ

(*)

Khi đó (1) ⇔ x3 ( x − 1) + x 2 ( x − 1) − 24 x ( x − 1) + 36 ( x − 1) = 0

x =1
 x = −6
x = 1
3
2
⇔ ( x − 1) ( x + x − 24 x + 36 ) = 0 ⇔  3
⇔
thỏa mãn (*)
2
x = 3
 x + x − 24 x + 36 = 0

x = 2
x = 1
 x = −6
Đ/s: 
x = 3


x = 2
Câu 6. Giải phương trình x 4 − 8 x 2 + 9 x − 2 = 0.
Lời giải:
ĐK: x ∈ ℝ

(*)

Khi đó (1) ⇔ x3 ( x − 1) + x 2 ( x − 1) − 7 x ( x − 1) + 2 ( x − 1) = 0


x =1

thỏa mãn (*)
⇔ ( x − 1) ( x3 + x 2 − 7 x + 2 ) = 0 ⇔ ( x − 1)( x − 2 ) ( x 2 + 3 x − 1) = 0 ⇔  x = 2

 x = −3 ± 13

2
Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95


x = 1

Đ/s:  x = 2


 x = −3 ± 13

2

Câu 7. Giải phương trình x 4 − 4 x 2 + x + 2 = 0.
Lời giải:
ĐK: x ∈ ℝ

(*)

Khi đó (1) ⇔ x3 ( x − 1) + x 2 ( x − 1) − 3x ( x − 1) − 2 ( x − 1) = 0


x = 1

thỏa mãn (*)
⇔ ( x − 1) ( x3 + x 2 − 3 x − 2 ) = 0 ⇔ ( x − 1)( x + 2 ) ( x 2 − x − 1) = 0 ⇔  x = −2

x = 1± 5

2

x = 1

Đ/s:  x = −2

x = 1± 5

2

Câu 8. Giải phương trình x 4 − 9 x 2 − 6 x + 4 = 0.
Lời giải:
ĐK: x ∈ ℝ

(*)

Khi đó (1) ⇔ x 2 ( x 2 − 2 x − 1) + 2 x ( x 2 − 2 x − 1) − 4 ( x 2 − 2 x − 1) = 0

x = 1± 2
⇔ ( x 2 − 2 x − 1)( x 2 + 2 x − 4 ) = 0 ⇔ 
thỏa mãn (*)
 x = −1 ± 5
x = 1± 2
Đ/s: 
 x = −1 ± 5
Câu 9. Giải phương trình x 4 = 3 x 2 + 10 x + 4 .
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với: x 4 + 2 x 2 + 1 = 5 x 2 + 10 x + 5 ⇔ ( x 2 + 1) = 5 ( x + 1) .
2

2

 x2 − 5x + 1 − 5 = 0
⇔  x 2 + 1 − 5 ( x + 1)   x 2 + 1 + 5 ( x + 1)  = 0 ⇔ 
 x 2 + 5 x + 1 + 5 = 0

5 − 1+ 4 5
x =
2
( vì phương trình x 2 + 5 x + 1 + 5 = 0 vô nghiệm ).

⇔ x2 − 5x + 1 − 5 = 0 ⇔ 

x = 5 + 1+ 4 5

2

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

5 ± 1+ 4 5
.
2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x =
Câu 10. Giải phương trình 5 − x − ( 5 − x 2 ) = 0 .
2

Lời giải:
Cách 1. Phương trình đã cho tương đương với: 5 − x − ( 25 − 10 x 2 + x 4 ) = 0 ⇔ x 4 − 10 x 2 + 25 = 5 − x .
2

2

81
1
9 

1

⇔ x = 10 x − x − 20 ⇔ x − 9 x + = x 2 − x + ⇔  x 2 −  =  x −  .
4
4
2 
2

4

2

4

2


1 ± 17
x =

x
−
x
−
4
=
0
2
.
⇔ ( x 2 − x − 4 )( x 2 + x − 5 ) = 0 ⇔  2

⇔

−1 ± 21
x + x − 5 = 0
x =
2

2

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm kể trên.
2
2
2
2
5 − x − y = 0
 x + y = 5
 x + y = y + x
Cách 2. Đặt y = 5 − x 2 , khi đó ta có hệ phương trình 
⇔
⇔


2
2
2
 y = 5 − x
 y + x = 5
 x + y = 5



1 ± 17
 x = y
x=
2

 x − y = ( x − y )( x + y )

x
−
x
−
4
=
0

2
.
⇔
⇔   x + y = 1 ⇔⇔  2
⇔
2

−1 ± 21

x + x − 5 = 0
 x + y = 5
2
x =
x + y = 5


2
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm kể trên.

Câu 11. Giải phương trình x 4 − 9 x 2 − 2 x + 15 = 0 .
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với ( x 2 − m ) + ( 2m − 9 ) x 2 − 2 x + 15 − m 2 = 0
2

Ta chọn m sao cho ∆ ' = 1 − (15 − m 2 ) ( 2m − 9 ) = 0 ta tìm được m = 4 .


−1 ± 21
x=

x + x − 5 = 0
2
2
2
Nên ta có ( x 2 − 4 ) − ( x − 1) = 0 ⇔ ( x 2 + x − 5 )( x 2 − x − 3) = 0 ⇔  2
⇔

1 ± 13
x − x − 3 = 0
x =

2
2

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm kể trên.

Câu 12. Giải phương trình ( x − 4 )( x − 3) x ( x + 1) = 60

( x ∈ ℝ) .

Lời giải.
Điều kiện x ∈ ℝ .
Phương trình đã cho tương đương với

( x − 4 )( x + 1)   x ( x − 3)  = 60 ⇔ ( x 2 − 3 x − 4 )( x 2 − 3 x ) = 60 .

Đặt x 2 − 3 x − 2 = t thu được
Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

( t − 2 )( t + 2 ) = 60 ⇔ t 2 − 4 = 60 ⇔ t 2 − 64 = 0 ⇔ ( t − 8 )( t + 8 ) = 0
x = 5
⇔ ( x 2 − 3 x − 10 )( x 2 − 3 x + 6 ) = 0 ⇔ 
 x = −2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
Câu 13. Giải phương trình ( x 2 + 2 x − 3)( x 2 + 8 x + 12 ) = −36

( x ∈ ℝ) .

Lời giải.
Điều kiện x ∈ ℝ .

Phương trình đã cho tương đương với

( x − 1)( x + 3)( x + 2 )( x + 6 ) = −36 ⇔ ( x − 1)( x + 6 )  ( x + 3)( x + 2 )  = −36
2
x = 0
⇔ ( x 2 + 5 x − 6 )( x 2 + 5 x + 6 ) + 36 = 0 ⇔ ( x 2 + 5 x ) − 36 + 36 = 0 ⇔ x ( x + 5 ) = 0 ⇔ 
 x = −5

Vậy tập nghiệm của phương trình: S = {−5;0} .

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Câu 1: Giải phương trình 4( x + 5)( x + 6)( x + 10)( x + 12) = 3 x 2
Câu 2: Giải phương trình ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 6) = 168 x 2
Câu 3: Giải phương trình ( x + 3)( x + 2)( x + 4)( x + 6) = 14 x 2
Câu 4: Giải phương trình ( x + 6)( x + 8)( x + 9)( x + 12) = 2 x 2
Câu 5: Giải phương trình x 4 + 3 x 3 − 6 x 2 + 6 x + 4 = 0
Đáp số: x =

−5 ± 17
2

Câu 6: Giải phương trình x 4 − 8 x3 + 21x 2 − 24 x + 9 = 0
Đáp số: x =

5 ± 13
2

Câu 7: Giải phương trình 2 x 4 + 3 x3 − 16 x 2 + 3 x + 2 = 0
1
Đáp số: x = 2; x = ; x = −2 ± 3

2

Câu 8: Giải phương trình x 4 − 13 x3 + 46 x 2 − 39 x + 9 = 0
Câu 9: Giải phương trình x 4 − 3 x3 − 6 x 2 + 3 x + 1 = 0
Câu 10: Giải phương trình x 4 + x 2 − 6 x + 1 = 0
Đáp số: PT ⇔ ( x 2 + 2 ) = 3( x + 1) 2
2

Câu 11: Giải phương trình ( x 2 + 3x + 4 )( x 2 + x + 2 ) = 8 ( x + 1)

2

Câu 12: Giải phương trình ( 2 x 2 − 2 x + 1)( 4 x 2 + 2 x − 1) = 5 ( 2 x − 1)

2

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

LỜI GIẢI BÀI TẬP
Câu 1: Giải phương trình 4( x + 5)( x + 6)( x + 10)( x + 12) = 3 x 2
PT ⇔ 4 ( x + 60 + 16 x )( x + 60 + 17 x ) = 3 x
2

2

Lời giải:
2

Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của PT cho x 2 ta được:


 x = −8
60
1

x
+
+
16
=


60
60
15



x
2
PT ⇔ 4  x + + 16  x + + 17  = 3 ⇔ 
⇔ x = −

x
x

2



 x + 60 + 16 = − 2


1
x
3
 x = −35 ± 265

4

(

)

Câu 2: Giải phương trình ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 6) = 168 x 2
Lời giải:

PT ⇔ ( x 2 + 6 + 5 x )( x 2 + 6 + 7 x ) = 168 x 2

Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của PT cho x 2 ta được:


x = 1

6
6




PT ⇔  x + + 5  x + + 7  = 168 ⇔  x = 6
x
x




1
 x = −19 ± 337

2

(

)

Câu 3: Giải phương trình ( x + 3)( x + 2)( x + 4)( x + 6) = 14 x 2

(

)

1
Đ/s: x =  −15 − 57 ± 30 3 + 57 
4


Câu 4: Giải phương trình ( x + 6)( x + 8)( x + 9)( x + 12) = 2 x 2
Đ/s: x =

(

1
−19 ± 73
2

)

Câu 5: Giải phương trình x 4 + 3x 3 − 6 x 2 + 6 x + 4 = 0 (*)
Lời giải:
PT ⇔ ( x 2 − 2 x + 2 )( x 2 + 5 x + 2 ) = 0 ⇔ x =

(

)

1
−5 ± 17
2
Chú ý: Cách phân tích trên dựa vào công nghệ cao (máy tính fx-570MS (ES cũng được)).
Vấn đề bây giờ của ta đặt ra là giải PT (*) như thế nào, vì như ở trên ta cũng thấy PT này không có nghiệm
hữu tỉ nên không thể nhẩm được và không thể sử dụng PP phân tích thành nhân tử được.

Ta giả sử: x 4 + 3 x3 − 6 x 2 + 6 x + 4 = ( x 2 + ax + b )( x 2 + cx + d ) = 0 ta luôn có quyền giả sử như thế nhờ một

định lí của đại số. Đến đây ta có thể nhân phá ra rồi sử dụng phép đồng nhất các hệ số để giải một hệ PT.
Hôm nay (Đã nói nhiều rồi, nhưng chưa nói trong khóa này thì phải) mình không hướng dẫn các bạn giải hệ

PT đó mà hướng dẫn các bạn một cách khác là sử dụng máy tính bỏ túi casio và định lý viète. Chắc hẳn các
bạn đều biết cách dò nghiệm của PT bằng máy tính fx-570MS và fx-500ES nhưng khi ra nghiệm thì thường
nó ở dạng số thập phân và ta không thể biết chính xác nghiệm đó là bao nhiêu? Chúng ta thực hiện giải bài
toán như sau.

Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

-) Bước 1: Dò nghiệm, nhập biểu thức của PT cần giải: x 4 + 3 x 3 − 6 x 2 + 6 x + 4 = 0 ấn phím shift + solve đến
đây ta cần nhập một giá trị ban đầu vào để máy tính thực hiện việc dò nghiệm của nó. Ở đây mình nhập giá
trị ban đầu là 0. Sau vài giây máy tính cho ra nghiệm của ta là −0.43844⋯ ta lưu nghiệm này lại vào 1 ô
nhớ A bằng cách ấn Ans + shift + sto + A. Lặp lại công việc trên nhưng lần này mình để giả trị của biến ban
đâu là -5 và kết quả nghiệm máy cho là −4.56155⋯ ta lưu nó vào ô nhớ B.
-) Bước 2: Ta tính các biểu thức A + B; AB và theo định lý viète ta có A;B là nghiệm của PT

x 2 − ( A + B ) x + AB = 0 và đa thức x 4 + 3 x 3 − 6 x 2 + 6 x + 4 sẽ chia hết cho x 2 − ( A + B ) x + AB = 0
Ta có: A + B = −5; AB = 2 ⇒ x 4 + 3 x 3 − 6 x 2 + 6 x + 4 = ( x 2 + 5 x + 2 )( x 2 + cx + d ) thực hiện phép chia đa thức

để tìm ra x 2 + cx + d đến đây công việc đã quá đơn giản rồi.
Câu 6: Giải phương trình x 4 − 8 x3 + 21x 2 − 24 x + 9 = 0
Lời giải:
1
PT ⇔ ( x 2 − 5 x + 3)( x 2 − 3 x + 3) = 0 ⇔ x = 5 ± 13
2

(

)

Câu 7: Giải phương trình 2 x 4 + 3 x3 − 16 x 2 + 3 x + 2 = 0
Lời giải:

 x = −2 ± 3

2
PT ⇔ ( x − 2 )( 2 x − 1) ( x + 4 x + 1) = 0 ⇔  x = 2

1
x =

2

Câu 8: Giải phương trình x 4 − 13 x3 + 46 x 2 − 39 x + 9 = 0
Lời giải:
 x = 4 ± 13
PT ⇔ ( x − 8 x + 3)( x − 5 x + 3) = 0 ⇔ 
 x = 1 5 ± 13

2
2

2

(

)

Câu 9: Giải phương trình x 4 − 3 x3 − 6 x 2 + 3 x + 1 = 0
Lời giải:
x = 2 ± 5
PT ⇔ ( x − 4 x − 1)( x + x − 1) = 0 ⇔ 
 x = 1 −1 ± 5

2
2

2

(

)

Câu 10: Giải phương trình x 4 + x 2 − 6 x + 1 = 0
Lời giải:
PT ⇔ x 4 + 4 x 2 + 4 = 3 x 2 − 6 x + 3 ⇔ ( x 2 + 2 ) = 3 ( x + 1) ⇔ x = ±
2

2

1
2

(

3 ± 4 3 −5

)

Thầy Đặng Việt Hùng
Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !