ON THI CAO HOC TOAN CC 1 Chuong 3 T4

Đại học Quốc gia TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Khoa: Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn: Toán Ứng Dụng

Chương 3: Chuỗi Có Dấu
Bất Kỳ

1


Chương 3:

CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ

I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI
a.Định lý

∞

Cho chuỗi số

I = ∑ un , trong đó un ∈ R
n =1

∞

Nếu chuỗi

J = ∑ un

hội tụ thì

n =1

cũng hội tụ và
Chương 3: Chuỗi Có Dấu
Bất Kỳ

∞

un
∑
n =1

≤

∞

un
∑
n =1

∞

un
∑
n =1
2

b. Định nghĩa

∞

un
∑
n =1

∗ Nếu chuỗi

∞

hội tụ thì chuỗi

được gọi là hội tụ tuyệt đối.
∗ Nếu chuỗi
∞

∞

un
∑
n =1

hội tụ mà

un được gọi là bán hội tụ.
∑
n =1

un
∑
n =1

∞

un
∑
n =1

phân kỳ thì chuỗi

Chú ý: Nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hoặc
Cauchy
∞
hoặc điều kiện cần mà biết được chuỗi
∞

phân kỳ thì lúc này chuỗi
Chương 3: Chuỗi Có Dấu
Bất Kỳ

un
∑
n =1

un
∑
n =1

cũng phân kỳ.
3


I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt)
VD1: Xét chuỗi

∞

2

sin n
∑
2
n
n =1
2

Ta có:

sin n ≤ 1
2
2
n
n

hội tụ

(α = 2 > 1)
∞

Vậy chuỗi
Chương 3: Chuỗi Có Dấu
Bất Kỳ

∞

Mà chuỗi

1
∑
2
n =1 n

∞

nên

2

sin n
∑
2
n =1 n

hội tụ.

2

sin n

∑
2
n =1 n

hội tụ tuyệt đối.
4


I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt)
n

3
(
−
1
)
.
∑
3
n
n =1
n
n 3
un = (−1) ⋅ 3
n

VD2: Xét chuỗi
Đặt

∞

Ta có:

n

3

u n +1
 n 
= 3 ×
÷ →D = 3 > 1
un
 n + 1

∞

Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi
∞

phân kỳ nên chuỗi
Chương 3: Chuỗi Có Dấu
Bất Kỳ

un
∑
n =1

un
∑
n =1

cũng phân kỳ.
5


I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt)
∞

VD3: Xét chuỗi
Đặt

n

2n −1

(−1) .

∑
 3n + 2 
n =1
n

n

2n −1

un = (−1) ⋅ 

 3n + 2 

Ta có:

n

n

 2n − 1 
2
un = 
÷→ C = < 1
3
 3n + 2 

Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi
∞

hội tụ nên chuỗi
Chương 3: Chuỗi Có Dấu
Bất Kỳ

un
∑
n =1

∞

un
∑
n =1

hội tụ tuyệt đối.
6


I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt)
∞

VD4: Xét chuỗi
Đặt

un = (−1)

Ta có:

n

1
un ~ ⋅
n

1
1
⋅ tg ⋅ sin
n
n
1 = 1
3
n n2
∞

∞

Mà

1 .sin 1
(
−
1
)
.
tg
∑
n
n
n =1
n

1
3
∑
2
n =1 n

∑

3
un hội tụ(ss2)
hội tụ (α = > 1) nên
2
n =1

∞

Vậy
Chương 3: Chuỗi Có Dấu
Bất Kỳ

un
∑
n =1

hội tụ tuyệt đối.
7


II. CHUỖI ĐAN DẤU
a. Định nghĩa Chuỗi có dạng

±(a1 − a2 + a3 − a4 + ... + (−1) n +1 an + ...)
với

an > 0

được gọi là chuỗi đan dấu.

b. Tiêu chuẩn Leibnitz

∞

∑ (−1)

n

an , an > 0

∗ Nếu dãy an đơn điệu giảm và

lim an = 0

Xét chuỗi đan dấu

n =1

n →∞

thì chuỗi

đan dấu trên hội tụ.
∗ Chuỗi đan dấu thoả mãn tiêu chuẩn Leibnitz được gọi
là chuỗi Leibnitz.
8

Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ


II. CHUỖI ĐAN DẤU (tt)
∞

VD1: Xét chuỗi

1

(
−
1
)
⋅
∑
n ln n
n=2
n

Nhận xét

1
Đây là chuỗi đan dấu với a n =
dương và
n ln n
đơn điệu giảm và

lim an = 0
n →∞

Vậy theo tiêu chuẩn Leibnitz

∞

∑ (−1)

n

n =1

an

hội tụ và còn được gọi là chuỗi Leibnitz
Chương 3: Chuỗi Có Dấu
Bất Kỳ

9


II. CHUỖI ĐAN DẤU (tt)
VD2: Xét chuỗi

∞

n
(−1) ⋅ 2
∑
n + n +1
n =1
n

n
Nhận xét: Đây là chuỗi đan dấu với a n = 2
n
+
n
+
1
x

Xét hàm

f (x) =

2

x + x +1
2
− x +1
Ta có: f ′( x ) = 2
2 < 0 ; ∀x > 1
( x + x +1)

n
là dãy số dương giảm và
an = 2
n + n +1

Vậy

an→0

nên chuỗi đan dấu trên hội tụ theo Leibnitz

Chương 3: Chuỗi Có Dấu
Bất Kỳ

10