Bất dẳng thức Côsi

3. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA
3. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA


TRUNG
TRUNG
BÌNH CỌNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN
BÌNH CỌNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN
a.
a.
Âäúi våïi hai s äú khäng ám
Âäúi våïi hai s äú khäng ám
H
A B
O
C
D
Cho HA = a, HB =b. Tính OD và HC theo a
Cho HA = a, HB =b. Tính OD và HC theo a
và b. So sánh OD và CH
và b. So sánh OD và CH
OD =
OD =
a b+
2
CH =
CH =

ab
Ta có :OD ≥ CH
Ta có :OD ≥ CH
⇔
⇔


a b+
2
ab
≥
≥
Định lí
Định lí
: với mọi a ≥ 0, b≥ 0 ta có:
: với mọi a ≥ 0, b≥ 0 ta có:


a b
ab
+
≥
2
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b

Ví dụ 1
Ví dụ 1
:
:

Cho a, b ,c
Cho a, b ,c
∈
∈
R
R
+
+
•


Chứng minh:
Chứng minh:


Ví dụ 2
Ví dụ 2
: cho 3 số không âm a, b, c.
: cho 3 số không âm a, b, c.
Chứng minh: (a+b)(ab+1) ≥ 4ab
Chứng minh: (a+b)(ab+1) ≥ 4ab
a b b c a c
c a b
+ + +
+ +
≥ 6
Hệ quả
Hệ quả
:
:

Cho a, b
Cho a, b
∈
∈
R
R
+
+
•


Nếu a+b = k không đổi thì ab lớn nhất
Nếu a+b = k không đổi thì ab lớn nhất
⇔
⇔
a = b
a = b
•


Nếu a.b = k không đổi thì a+b nhỏ nhất
Nếu a.b = k không đổi thì a+b nhỏ nhất
⇔
⇔
a = b
a = b
Ứng dụng
Ứng dụng
:
:

•


Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi,
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi,
hình vuông có diện tích lớn nhất.
hình vuông có diện tích lớn nhất.
•


Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện
tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

Ví dụ 1
Ví dụ 1
:
:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
y= (x+2)(3-x) trên đoạn [-2; 3]
y= (x+2)(3-x) trên đoạn [-2; 3]
Ví dụ 2
Ví dụ 2
:
:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
y x

x
= +
−
4
1
với x >1
với x >1
Ta có
Ta có
:
:
y x
x
= − + +
−
4
1 1
1
X-1 > 0 và
X-1 > 0 và
x −
4
1
> 0
> 0
∀
∀
x >1
x >1
Áp dụng BĐT Côsi ta có:

Áp dụng BĐT Côsi ta có:
x
x
− + ≥ =
−
2
1 2 4 4
1
⇒
⇒
y ≥ 5
y ≥ 5
Vậy Miny = 5 khi x = 3
Vậy Miny = 5 khi x = 3
Dấu = xẩy ra
Dấu = xẩy ra
⇔
⇔
(x-1)
(x-1)
2
2
= 4
= 4
⇒
⇒
x= 3
x= 3

b.

b.
Âäúi våïi ba s äú khäng ám
Âäúi våïi ba s äú khäng ám
Với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 , ta có:
Với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 , ta có:
a b c
abc
+ +
≥
3
3
Đẳng thức xẩy ra
Đẳng thức xẩy ra
⇔
⇔
a = b = c
a = b = c
Ví dụ
Ví dụ
:
:
Cho a, b ,c
Cho a, b ,c
∈
∈
R
R
+.
+.
Ch

Ch
ứng minh:
ứng minh:
(a b c)
a b c
 
+ + + + ≥
 ÷
 
1 1 1
9
•


Nếu a+b+c = k không đổi thì abc lớn nhất
Nếu a+b+c = k không đổi thì abc lớn nhất
⇔
⇔
a=b=c
a=b=c
•


Nếu a.b.c= k không đổi thì a+b+c nhỏ nhất
Nếu a.b.c= k không đổi thì a+b+c nhỏ nhất
⇔
⇔
a=b=c
a=b=c
Hệ quả

Hệ quả
:
:

Củng cố
Củng cố
•


Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân
Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân
Cho 2 số:
Cho 2 số:
a b
ab
+
≥
2
Đẳng thức xẩy ra
Đẳng thức xẩy ra
⇔
⇔
a = b
a = b
Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có:
Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có:
Với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 , ta có:
Với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 , ta có:
a b c
abc

+ +
≥
3
3
Đẳng thức xẩy ra
Đẳng thức xẩy ra
⇔
⇔
a = b = c
a = b = c
Cho 3 số:
Cho 3 số:
•
Ứng dụng để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số
Ứng dụng để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số