Sự tồn tại và dáng tiệm cận nghiệm đối với bao hàm thức vi phân điều kiện không cục bộ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (517.59 KB, 34 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2
BÙI THẾ KỶ
S ự• TỒN TẠI• VÀ DÁNG ĐIỆU• TIỆM
•
CẬN NGHIỆM ĐỐI VỚI BAO HÀM
THỨC VI PH Â N VỚI ĐIỀU KIỆN
KHÔNG CỤC BỘ
L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C
H À N Ộ I, 2015
BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2
BÙI THẾ KỶ
S ự• TỒN TẠI• VÀ DÁNG ĐIỆU• TIỆM
•
CẬN NGHIỆM ĐỐI VỚI BAO HÀM
THỨC VI PH Â N VỚI ĐIỀU KIỆN
KHÔNG CỤC BỘ
C h u y ê n n g à n h : T o á n g iả i t í c h
M ã số : 6 0 4 6 01 02
L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C
N g ư ờ i h ư ớ n g d ẫ n k h o a học:
TS. N G U Y Ễ N T H À N H A N H
H À N Ộ I, 2015
Lời Cảm ơ n
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin gửi lời
cảm ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn T hành Anh người thầy đã luôn tận tình
hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong quá trình làm luận văn.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy, cô phòng sau đại
học và thầy cô giảng dậy lớp K17 toán giải tích đợt 2 trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học
tập tại trường.
Qua đây, tác giả xin chân thành cảm ơn tới bạn bè và người thân trong
gia đình đã luôn động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả về mọi m ặt trong
suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Mặc dù tác giả đã rất cố gắng trong quá trình thực hiện luận văn, tuy
nhiên khó trán h khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong được sự đóng góp
ý kiến của các quý thầy cô, để luận văn được hoàn thiện hơn.
X in t r â n t r ọ n g c ả m ơn!
Hà Nội, ngày ỉ tháng 12 năm 2015
Học viên
Bùi T hế Kỷ
Lời Cam Đ oan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam
đoan rằng mọi sự giúp đõ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm
ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả
Bùi T hế Kỷ
2
M ục lục
Lời cảm ơ n ....................................................................................................
Lời cam đ o a n .............................................................................................
Mục l ụ c .......................................................................................................
M ở đầu
1
2
3
4
1
M ột
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
số k iế n t h ứ c c h u ẩ n b ị
Một số tính chất hình học của không gian B a n a c h ..............
Độ đo k h ô n g -c o m p a c t....................................................................
Lý thuyết nửa n h ó m .......................................................................
Lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị n é n ....................
Toán tử m-tiêu t á n .......................................................................
Một số kết quả đối với bài toán với điều kiện ban đầu cục bộ
2
S ự t ồ n t ạ i v à d á n g đ iệ u tiệ m c ậ n n g h iệ m đ ố i với b a o h à m
t h ứ c vi p h â n với đ iề u k iệ n k h ô n g cụ c b ộ
2.1 P h át biểu bài t o á n ...........................................................................
2.2 Sự tồn tại nghiệm trong trường hợp S(t) đồng liên tục . . .
2.3 Sự tồn tại nghiệm trong trường hợp S(t) không compact,
không đồng liên t ụ c ........................................................................
2.4 Dáng điệu tiệm cận n g h i ệ m .........................................................
2.5 Ví dụ áp d ụ n g .................................................................................
Tài liệu tham k h ả o ..................................................................................
3
7
7
8
10
11
13
14
16
16
17
22
25
28
32
M ở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết bao hàm thức vi phân, hay còn gọi là phương trình vi phân
đa trị là lĩnh vực nghiên cứu được phát triển rất mạnh trong lý thuyết
tổng quát về phương trình vi phân hiện nay. Như chúng ta đã biết, mọi
lĩnh vực mới trong toán học đều xuất hiện và phát triển, hoặc là do mục
đích phát triển tự nhiên của toán học hướng đến các khái niệm và kết quả
ngày càng tổng quát hơn, hoặc là do nhu cầu ứng dụng đòi hỏi. Lý thuyết
bao hàm thức vi phân không phải là trường hợp ngoại lệ của qui luật này.
X uất hiện ban đầu như là sự mở rộng của khái niệm phương trình vi
phân thường, lý thuyết bao hàm thức vi phân ngày càng thâm nhập mạnh
mẽ vào các lĩnh vực khác nhau của toán học và các ngành khoa học khác
nhiều ứng dụng to lớn của nó.
Trong lịch sử phát triển của lý thuyết bao hàm thức vi phân trước
hết phải kể đến các công trình nghiên cứu của Marchaud và Zaremba từ
những năm 30 đã đề cập đến bài toán tồn tại nghiệm và các tính chất
tập nghiệm của bao hàm thức vi phân trong không gian hữu hạn chiều.
Các công trình chủ yếu đặt nền móng cho sự phát triển mạnh mẽ của lý
thuyết bao hàm thức vi phân như một lĩnh vực nghiên cứu độc lập được
công bố tập trung vào những năm 60 bởi các tác giả như Filippov, Plis,
W azewsk... Lý thuyết này tiếp tục được đẩy m ạnh nghiên cứu vào những
năm 70, 80 trong hàng loạt các công trình nghiên cứu của các tác giả như
Castaing, Valadier, Aubin, Tolstonogov...
Các vấn đề được nghiên cứu trong bao hàm thức vi phân là vấn đề tồn
tại nghiệm, các tính chất định tính và cấu trúc của tập nghiệm. Các tính
chất phụ thuộc liên tục vào tham số và điều kiện ban đầu, các nghiệm tuần
hoàn, lý thuyết rẽ n h á n h ... Trong đó sự tồn tại nghiệm là một trong những
vấn đề chính được nhiều nhà khoa học quan tâm. Với mong muốn tìm hiểu
4
sâu về vấn đề này, cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy TS.Nguyễn T hành
Anh tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “S ự t ồ n t ạ i v à d á n g đ iệ u t i ệ m c ậ n
n g h i ệ m đ ố i với b a o h à m t h ứ c v i p h â n với đ iề u k iệ n k h ô n g c ụ c
b ộ ”. Luận văn sẽ được hoàn thành dựa chủ yếu vàocác kết quả
được
công bố trong bài báo
“Existence and asymptotic properties of solutions
of nonlinear multivalued differential inclusions with nonlocal conditions”,
J. Math. Anal. Appl. 390 (2012) 523-534, của các tác giả Lanping Zhu,
Qianglian Huang, Gang Li.
2. M ục đích nghiên cứu
Chứng minh được sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của bao
hàm thức vi phân.
3. N h iệm vụ nghiên cứu
+
+
+
+
+
tổng
Tìm hiểu về không gian Banach.
Tìm hiểu về lý thuyết nửa nhóm, toán tử m-tiêu tán.
Tìm hiểu lý thuyết về độ đo không compact.
Tìm hiểu lý thuyết
điểm bất động.
Chứng minh sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của bài toán
quát.
4. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: bao hàm thức vi phân với điều kiện không cục
bộ.
+ Phạm vi nghiên cứu: sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của
bài toán.
5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ giải tích bao gồm:
+ Lý thuyết nửa nhóm
+ Lý thuyết điểm bất động.
5
6. D ự kiến đóng góp
Chứng minh chi tiết và trình bày hệ thống những kết quả trong bài báo
trích dẫn trên.
6
Chương 1
M ột số kiến thứ c chuẩn bị
1.1
M ột số tín h chất hình học của không
nach
gian Da
Cho X là không gian Banach với chuẩn ||.|| và X * là đối ngẫu của nó.
Chúng ta kí hiệu hội tụ yếu trong X bởi ” —^
J : X —ì X* được định nghĩa bởi
Ánh xạ đa trị đối ngẫu
J ( x ) = {x* e X : z*(:r) = ||:rỊỊ2 = ỊỊ:r*ỊỊ2} , Vz e X .
Đầu tiên, chúng ta đưa vào khái niệm tính lồi của không gian Banach X .
Không gian Banach X được gọi là lồi ngặt khi và chỉ khi
S ( X ) = {x G X : ||x|| = lỊk h ô n g chứa các đoạn không tầm thường nào.
Không gian Banach được gọi là lồi đều khi và chỉ khi cho
ố > 0 sao cho Va;, y G S ( x ) mà ||a; — y\\ > £ ta có
£>
Không gian Banach X được gọi là trơn đều nếu
/Oz(0) = lim
H y ’
t“ 0
t
^ ^ = 0.
X* là lồi đều khi và chỉ khi X là trơn đều.
Một số tính chất hình học của không gian Banach X .
i) Nếu X là trơn đều, thì J là đơn trị và liên tục đều trên các
tập con bị chặn của X .
7
0tồn tại
ii) Nếu X là phản xạ và lồi ngặt, mỗi tập con khác rỗng lồi
đóng К của X là một tập Chebyshev. Trong trường hợp
này, chúng ta gọi P k là phép chiếu điểm gần nhất ánh xạ từ
X lên K .
iii) Chuẩn của X là khả vi Fréchet với mọi X € S ( x ) ,
||æ + ty II — 1Ы1 v
v
„
lim --------------------- tồn tại đều theo y ẽ s .
Í-Г о
t
iv)Không gian đối ngẫu X * có chuẩn khả vi Fréchet nếu và chỉ
nếu X là phản xạ, lồi ngặt và thỏa mãn tính chất sau: Nếu
x n —*■X khi n —> + 0 0 và ||жп|| —»• ||ж|| khi n —> + 0 0 , thì
I I —жII —> 0 khi n —> + 0 0 . Khi đó X có chuẩn Kadec-Klee
Kí hiệu C ( [ 0 ,T ];X ) là không gian của hàm liên tục từ [0,T] tới X với
chuẩn
IHIoo = s u p { ||u (í)|| : t e [0,T]}.
và L 1([0 ,T ];X ) là không gian của hàm khả tích Bochner X từ [0,T] tới
X với chuẩn
m || i
1.2
= /
||w(£)||cỉt.
Đ ộ đo không-com pact
Cho X là không gian Banach. Kí hiệu:
V ( X ) = { В С X : В ф 0},
V b ( X ) = { В G V { X ) : В bị chặn},
V f X = { В G V { X ) : В đóng},
V b f X = { В G V f ( x ) : В bị chặn},
V b f X = {В G V f { X ) : В lồi},
K ( X ) = { В G V ( X ) : В compact},
K V{ X ) = { В G К Ọ С) : В lồi}.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.1. Hàm ß : V b ( x ) —¥ ]R+ được gọi ỉà một độ đo không
compact trên X nếu
ßicöQj) = /3(íỉ) vớiMQ, G Vb (X),
trong đó, CÕÍ2 là bao lồi đóng của Í2. Độ đo không-compact ß được gọi là
г) đơn điệu nếu fỉ(b ^ i € V b ( x ) , í l о с ÍỈ 1 suy ra
ßi^o) < ßfä i);
ii) không suy biến nếu /3({a} и íỉ) = /3(íỉ) với bất kì
ữ G X , rỉ G 'Pị^X^Ị
in) bất biến với hợp các tập compact nếu ß ( K и íỉ) = /3(fỉ)
với mọi tập compact tương đối к с X và íỉ ẽ V b { x ) ;
iv)nửa cộng tính đại số nếu /3(íỉo + ^ l ) < ß {^0 + ß ) { ^ i ) với
mọi ^ 0 , ^ 1 £ Vb{X);
v)chính quy nếu /3(Í2) = 0 khi và chỉ khi Í2 là tập compact
tương đối .
Định nghĩa độ đo Hausdorff X : Pb{X) —> M+ bằng
X = inf{r > 0 : В có thể phủ bởi hữu hạn hình cầu bán kính r}
M ệ n h đ ề 1.1. Cho X là độ đo không-compact H ausdorff trong X và íĩ с
X là một tập bị chặn. Khi đó, với Ve > 0, 3 {жп} с íỉ sao cho
x(tt) < 2ỵ{{xn}) +6 .
Chúng ta cần kết quả sau m à phép chứng minh có thể tìm thấy trong
([14]).
M ệ n h đ ề 1.2. ([14]). Nếu { w } n С L l ( ữ , T ] X ) sao cho :
||^п(^)||л: < v (t),v ớ i hầu k h ắ p t e [0,т]
và V & L 1(0 ,T ) nào đó. Khi đó, ta có
x{{Jữwn(s)ds}) <2J x({wn(s)})ds
với t e [0,T\.
Sử dụng Mệnh đề 1.1 và 1.2, ta có mệnh đề sau.
M ệ n h đ ề 1.3. ([15]). Cho D с L 1( 0 , T ; X ) sao cho:
1- ||£(í)|| < v {t)> với mọi £ € D và với hầu khắp t ẽ [0,T],
2. x ( D ( t )) < q( t) với hầu khắp t ẽ [0,T], trong đó V, q ẽ L 1(0 ,T ). Khi
đó,
x ( Ị D(s)ds)
<
Jo
[ q(s)ds ,
4
•'о
trong đó f* D ( s ) d s = { / ^ ( s ^ s : £ G D } .
9
Chứng minh. Cho e > 0, từ M ệnh đề 1.1 suy ra 3 {£n} c D sao cho:
X(J0 D(sìds) - 2ỵ({Jữ£n(s)ds})+eÁp dụng Mệnh đề 1.2, ta có
x ({ ^
£ n (s )d s } ) < 2 J
x({tn(s)})ds.
Do đó
x(/
D(s)ds)
< 4 ^
x ( { £ n(s)})d s + e < 4
I
q(s)ds + e.
Vì e là bất kì nên suy ra điều phải chứng minh.
□
B ổ đ ề 1.1. ([7]) Cho Y là một không gian Banach tách được và {Ym} m>1
là một dãy tăng của không gian con hữu hạn chiều sao cho Y = \J™=1Ym.
Khi đó
x ( A ) = lim lim sup d(xk, Ym),
m->°° k—
^00
đối với bất kỳ A — {Xfc : k ^ 1} c Y.
B ổ đ ề 1.2. ([7], B ổ đề 2) Cho X là không gian Banach và w c i-1([0, T]; X )
là khả tích đều. Giả sử rằng tồn tại tập compact tương đối yếu C ( t ) c X
sao cho f ( t ) € C ( t ) hầu khắp nơi trên [0,T], với mọi f ( t ) ẽ w . Khi đó
w là compact tương đối yếu trong L 1([0 ,T ]),X ).
1.3 Lý th u yết nửa nhóm
Đ ị n h n g h ĩ a 1.2. Cho X là không gian Banach. X é t ánh xạ
s : R + -> C Ụ C )
t !-»■ S ( t )
thỏa mãn:
1. 5(0) = I,
2. S ( t + s) = S ( t ) . S ( s ) , Ví, s > 0,
3. t I—>■S ( t ) x liên tục với mỗi X € X .
Khi đó, s được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh hay Co-nửa nhóm trên X .
Nếu thay (3) bởi ( 3 ’): í K S ( t ) liên tục thì ta nói s là nửa nhóm liên tục
đều.
10
Đ ị n h n g h ĩ a 1.3. (Phần tử sinh của Co-nửa nhóm)
Giả sử
là Cf)-nửa nhóm trên X .
s
„N
r
D ( Á ) := { ì ẽ I
,
S(h)(x) —X
: ] lim -------J--------- };
h—
y0
h
với X € D ( Á ) , định nghĩa
_ 1™
- x•
AAt( x )\ =
lim s -(h)(x
' v )-----h—¥ 0
h
Khi đó, ( A : D ( Á ) ) được gọi là phần tử sinh của nửa nhóm s.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.4. Giả sử (S'(í) là một Cũ-nửa nhóm trên X . Khi đó, s
được gọi là nửa nhóm compact nếu S ( t ) là toán tử compact với mọi t > 0.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.5. Cf)-nửa nhóm S ( t ) trên không gian Banach X gọi là co
nếu
||S(t)|| < 1, Ví > 0.
1.4
Lý th u yết điểm bất động cho ánh x ạ đa trị nén
Cho A : B € P b f ( x ) và cho X € A. Khi đó
d ( x , B ) = in f{ d ( x , y ) : y G B }
và
p(A, B ) = sup{d(a:, B ) : X e ^4}.
Hàm H : P ị,f{ x) X
—¥ R + định nghĩa bằng
H (A, B ) = m a x { p ( A :
^4)}
là một metric và được gọi là metric Hausdorff trên X .
Đ ị n h n g h ĩ a 1.6. Cho X , Y ỉà hai tập con bất kì và T : X —> 2y là ánh
xạ từ X vào tập hợp toàn bộ các tập con của Y . Khi đó, ta nói T là ánh
xạ đa trị từ X vào Y , tức là với mỗi X G X ì Jr (x) là tập con của Y .
Đ ị n h n g h ĩ a 1.7. ([6]) Một ánh xạ đa trị T : [0,T] —> P f ( X ) được gọi là
đo được, nếu d(x, J 7(.)) là đo được với mọi X € X .
11
Đ ị n h n g h ĩ a 1.8. Tập con в с X , в ^ 0, gọi là khả co nếu tồn tại x ữ G в
và hàm liên tục
h
: [0,1] X
В
->
В
sao cho
h ( о, X ) = x 0, h ( 1, x ) — X t rê n B .
Cho Y là một không gian metric.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.9. Ánh xạ đa trị T : Y —> V ( X ) được gọi là:
i) nửa liên tục trên nếu
) = {y € Y : J~(y) и V Ф 0} là
tập con đóng của Y với mọi tập đóng V с X ;
ii)nửa liên tục trên yếu nếu J 7_1( y ) là tập con đóng của Y với
mọi tập đóng yếu V с X ;
iii)đóng nếu đồ thị của nó Tjr = { ( y : z) : 2 ẽ
là tập
đóng của Y X X ;
iv)compact nếu T là compact tương đối trong X ;
V) tựa compact nếu hạn chế của T trên A là compact với
А С Y là tập compact bất kì.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.10. ([6]) Một ánh xạ đa trị T : X P f ( X )
(1) 7 — L i p s c h i tz khi và chỉ khi tồn tại 7 > 0 sao cho
gọi
con
là
H (J7 (x ), T ( y ) ) < 7 d(x, y ), với mỗi x , y G X ,
(2 ) co nếu và chỉ nếu nó là 7 -Lipschitz với 7 < 1 ,
(3) có điểm bất động nếu có X G X sao cho X G
bất động của ánh xạ đa trị T được kí hiệu bởi F ỉ x T .
Tập hợp các điểm
B ổ đ ề 1.3. ([7], B ổ đề 1) Cho X là một không gian Banach, 0 Ф D с X
compact lồi và T : D
P ( D ) nửa liên tục trên với giá trị co đóng. Khi
đó T là điểm cố định.
Bổ đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn để kiểm tra một ánh xạ đa trị là
nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới).
B ổ đ ề 1.4. ([14], Định lí 1.1.12). Cho G : Y —> V ( X ) là một ánh xạ đa
trị đóng tựa compact với giả trị compact. Khi đó, G là nửa liên tục trên.
12
B ổ đ ề 1.5. ([3], Mệnh đề 2). Cho X là một không gian Banach và íỉ là
tập con khác rỗng của một không gian Banach khác. Giả sử
T : Q ^ V { X )
là ánh xạ đa trị có giá trị compact yếu và lồi. Khi đó, T là nửa liên tục
t rê n y ế u n ế u và chỉ n ế u { x n } с Í2 vớ i x n —¥ X q €
Уп
v à y n G J - ( x n ) s u y ra
Уо € ^ ( x ^ f i h e o một dãy con nào đó).
Bây giờ chúng ta đưa ra khái niệm ánh xạ đa trị nén.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.11. Ánh xạ đa trị T : z ç X —>• V ( X ) được gọi là nén
v ới độ đo k h ô n g - c o m p a c t ß (ß-nen ) n ế u v ới tậ p bị chặn bất kì
с z,
ạự ì) < ạ ự m
thì íỉ là tập compact tương đối
Cho ß là độ đo không-compact đơn điệu, không suy biến trong X . Lý
thuyết về bậc tô-pô đối với định lý ánh xạ nén đưa đến nguyên lý điểm
bất động sau đây (xem[l, 11]).
Đ ị n h lý 1.1. ([14]ĩ Hệ quả 3.3.1) Cho Л4 là tập con đóng lồi, bị chặn của
X và cho T : A4 —> K V(A4) là nửa liên tục trên và ß-nen. Khi đó, tập
điểm bất động F ix ^ J 7 := {x G
khác rỗng và compact.
Từ đó ta có kết quả sau sẽ được sử dụng cho định lí tồn tại nghiệm.
B ổ đ ề 1.6. ([19]) Cho ( X , d ) là không gian metric đầy. Nếu
N :X
P f{X )
là một ánh xạ đa trị co, thì F i x N ^ 0 .
1.5
Toán tử m -tiêu tán
Đ ị n h n g h ĩ a 1.12. ([5]) Một ánh xạ đa trị A với miền xác định D ( A )
được gọi là tiêu tán nếu | | a ; i — ж 2 II ^ И Ж 1 — x 2 ~ A ( У1 — 2 / 2 ) II với mọi
Л > 0, Xị € D ( A ) , ĩji € A xị, ỉ = 1,2. Hơn nữa nếu R ự — А ) = X , thì А
được gọi là m —tiêu tán.
13
Theo [9], nếu A là r a —tiêu tán, thì A sinh ra nửa nhóm co
{S ( t ) : t > 0} trên D ( A ) .
Nửa nhóm { S ( t ) : t > 0} được gọi là đồng liên tục nếu
{S(.)x : X
e A}
là đồng liên tục với bất kì t > 0 với mọi tập con bị chặn A c. X .
1.6
M ột số kết quả đối với bài toán với điều kiện
ban đầu cục bộ
Cho A là 777,—tiêu tán, cho x 0 G D ( A ) và / G L 1([0 ,T ];X ), ta xét bài
toán sau
Ị u ' ( t ) e A u ị t ) + f { t ) , 0 < t < T,
U(0) = *0.
1 j
Đ ị n h n g h ĩ a 1.13. Một hàm u : [0,T] —> X được gọi là nghiệm tích phân
của bài toán (1.1) trên [0, T] nếu u G C([0,T]', X ) với lí(o) = Xq và bất
đẳng thức
IIu{t) - x\\2 < Ị|m(s) - ícỊỊ2 + Ị {u (t ) - X, / ( r ) + y ) sd r
Js
đúng với mọi [X, y] E A (nghĩa là : y G A x ) v à O < s < t < T .
ở đây hàm
ị) )s ; X X X —^ M
được định nghĩa bởi
( x , y ) s = s u p { x * ( y ) : X* G
Hơn nữa, chúng ta kí hiệu u bằng u = K Xũf , trong đó K Xữf là từ L l {[0, T]; X )
tới ơ ( [ 0 , T ] ; X ) .
B ổ đ ề 1.7. ([17]) Cho X là không gian Banach và cho
A : DỤ4) C I 4 X
là m —tiêu tán. Khi đó với mỗi Xq G D ( A ) và f G L l {0 ,T ] ;X ) , tồn tại
n g h i ệ m tíc h p h â n d u y n h ấ t củ a ( 1 . 1 ) t rê n [ 0 ,T ] m à th ỏa m ã n w (0 ) = X q .
14
B ổ đ ề 1.8. ([17]) Cho X là không gian Banach và cho
A : D{A) C X - ) J Í
là m —tiêu tán. Nếu / 15/2 £ ■^1([0, T ] ; X ) và u , v là nghiệm tích phân của
(1.1) lần lượt tương ứng với f l và Ỉ 2 ■ Khi đó ta có bất đẳng thức
I\u{t) - v ( t ) II < IIu(s) - u(s)|| + í
l l / i ( r ) - / 2( r ) | |á r .
(1.2)
J s
u ( t ) - v ( t ) \ \ 2 < ||w ( s ) -'ỉ;(s )||2+ 2
í
( u (t ) -
v ( t ),
/ i ( r ) - / 2( r ) ) sd r. (1.3)
J s
vói mọi 0 < s < t < T.
B ổ đ ề 1.9. ([22]) Nếu X là một hàm trơn đều, Y c X ỉà một không gian
con hữu hạn chiều, A thỏa mãn (HÀ) và B c -^1([0, T]; Y ) là khả tích đều,
thì K Xo c ơ ( [ 0 ,T ] ; X ) là tiền compact.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.14. Tập con G c -^([O, T ) ] X ) được gọi là khả tích đều
nếu f E \\f\\dt hội tụ về 0 đều theo f G G khi n ( E )
0, trong đó n ( E ) là
độ đo Lebesgue trên [0,T].
B ổ đ ề 1.10. ([23], Định lí 2.1) Nếu A sinh ra nửa nhóm đồng liên tục
S ( t ) , B G L 1([0 ,T ]);X ) là khả tích đều và c c D ( A ) là compact, thì tập
n = { u : u là n g h i ệ m tí c h p h ẫ n củ a ( 1 .1 ) v ới f ẽ B v à Uq € c } là đ ồn g
liên tục và bị chặn trong ơ ( [ 0 ,T ] ; X ) .
B ổ đ ề 1.11. ([9], B ổ đề 2.3.2) Cho X là một không gia Banach mà tô
pô đối ngẫu là đều lồi, và cho { u n} , { v jfc} là hai dãy trong C([a,b]’, X ) , và
{ fn }i { f'kì là hai dãy trong L 1([a: &]). Nếu lim u n = u, lim Vk = V hội
n->+ 00
k—¥+00
tụ mạnh trong C([a, &]; X ) , và lim f n = / , lim Jk = f hội tụ yếu trong
/c->+00
L 1([a, b]; X ) , khi đó
lim
/ {un( s ) - v k( s ) , f n( s ) - f ' k( s ) ) sd s =
n,fc->+ oc J a
15
u ( s ) - v ( s ) , f ( s ) - f ' ( s ) ) sds.
Chương 2
Sự tồ n tạ i và dáng điệu tiệm cận
nghiệm đối với bao hàm thứ c vi
phân với điều kiện không cục bộ
2.1
P h á t biểu bài toán
Giả sử X là một không gian Banach với chuẩn II. II.
Chúng tôi nghiên cứu bài toán sau đây:
Ị u ' ( t ) e A u ( t ) + F ( t u ( t )), 0 < t < T,
\u (0 )= g (u ),
trong đó A : D ( A ) c X
X là toán tử phi tuyến r a —tiêu tán sinh nửa
nhóm S ( t ) và F là hàm đa trị nửa liên tục trên yếu theo biến thứ hai của
nó trong không gian Banach thực X và g : ơ ( [ 0 ,T ] ; X ) —> X là hàm nửa
liên tục.
Đ ị n h n g h ĩ a 2.1. Một hàm u : [0,T] —> X được gọi là nghiệm tích phẫn
của bài toán ( 2 . 1) trên [0,T] nếu u € ơ ( [ 0 , T ] ; X ) với w(0) = g{ù) và tồn
tại f ẽ £*([0, T ] , X ) sao cho f ( t ) € F ( t , u ( t )) hầu khắp nơi trên [0,T] và
bất đẳng thức
t
\u (■t ) — x ||2 < ||m (s) — x\\2 +
í
{ u (t ) - x , f ( r ) + y ) sd r
đúng với mọi [x, y] E A (nghĩa là : y G A x ) và 0 < s < t < T .
ỏ đây hàm
)s ; X
X
16
X —y M
được định nghĩa bởi
( x , y ) a = su p {x*(y) : X*
tới C { [ 0 ,T ] - X ) .
Đ ị n h n g h ĩ a 2.2. Một hàm liên tục u ị t ) gọi là nghiệm tích phân của (2.1)
nếu tồn tại f e L 1([0 ,T ];X ) với f ( t ) e F ( t , u ( t ) írển [0,T] sao cho u là
n g h i ệ m tíc h p h â n củ a ( 1 . 1 ) với Uq = g ( u ) .
2.2
Sự tồ n tạ i nghiệm trong trường hỢp S (t) đồng
liền tụ c
Trong mục này, giả sử X * là lồi đều. Chúng tôi đưa ra một số giả thiết
{H a ) Cho A là ra-tiêu tán sao cho A sinh ra nửa nhóm liên tục {51(t) : t > 0}
trên D (A)
(Hg) g :C([0,T]] X ) —> X thỏa mãn:
(1) g là liên tục và compact;
(2) tồn tại hằng số a, b sao cho với u G C'QO, T]; X ),
\\g(u)\\ < aỊỊuỊỊoo + b
(Hp) F : [0,T] X X —> P f c( X ) thỏa mãn:
(1) với X € X , hàm F ( . , z ) là hàm đo được;
(2) t € [0,T], hàm F ( í , .) là hàm nửa liên tục trên yếu;
(3) tồn tại a,ĩ] G L 1 ([ 0 ,T ] ;iỉ+) sao cho
\F {t,x )\ := sup{||y|| : y e F { t , x ) } < a{t)\\x\\ + ĩ](t).
(4) tồn tại ụ, G L 1([0, T]; i?+) sao cho Ị3(F(t, B ) ) ^
C h ú ý 2.1. .Dướỉ đỉềií Hển (H F)( 1) — (3), vớỉ mọi u G C ([ 0 ,T ];X ) ,
5eZ(«) := { / € ^ ( [ O . T Ị i X ) : / ( í ) e F (t, u(t)) trên [0,T]}
là tập lồi đóng và khác rỗng của L 1([0 ,T ];X ).
17
B ổ đ ề 2.1. Nếu X * là một hàm lồi đều và A thỏa mẫn (H a ), thì đối với
bất kỳ dẫy khả tích đều {Wk}^=1 с -^1( [ 0
nghĩa là
lim sup / \\wk(t)\\dt = 0,
Л—у00
и
{1Ы1 > Al
và tập compact tương đối
с D ( A ) , chúng ta có
x ( { ( K Xkw k) : к > 1}) < [ x { { w k(s) : к > 1} ) d s , t e [0,T].
■'О
Chứng minh. Vì Wỵ G L 1([0 ,T ];X ) là dãy đo được mạnh với к Ф 1, chúng
ta có thể giả sử x 0 — s p a n (Uj^iüjfcQO, T )) là tách được.
Do X là phản xạ, theo Định lí v.2.3 trong [11], có một không gian con
đóng tách được Y của X chứa x 0, và một phép chiếu tuyến tính liên tục
V từ X vào Y với IIPII = 1.
Với tập bị chặn В С Y , chúng ta có x ( B ) = X y (B). Do y là tách được,
tồn tại một dãy tăng {Ym}m=i c^c không gian con hữu hạn chiều sao cho
Y = п°°
ỸL
Định nghĩa V m : Y —>Ym bởi
v mx = {y e Y m : ||ж - y II = d(x, Ym)}.
là tập compact lồi và
||T^mÆII < 2||ж|| với bất kì X G Y.
Cho w(t) € ^ ( [ 0 , 7 ] ; Y ) ,
v mw ( t ) = Ym n (w ( t ) + d ( w ( t ) , Ym) S ( Y ) .
( 2 .2 )
trong đó б '(у ) là hình cầu đơn vị của Y .
Điều đó suy ra
S pmv{.) = { v e L l ([Ũ, T b Ym),v{t) e v mw ( t ) } Ф 0.
Định nghĩa Qm : Ь х([0,Т ];У ) -»■ р { ь г{[0, T]; Ym)) bởi Qm = s ị w{ )
Từ (2.2) và bất đẳng thức (1.2) trong Bổ đề 1.8 chúng ta có được
d ( ( K Xkw k) ( t ) , ( K XkQmw k)(t) < / d(wk( s ) , Y m)ds.
Jữ
18
với b ấ t k ỳ
к>
1.
Từ { K XkW]Ị : к < n } С C ( [ 0 ,T ];X ) là compact, chúng ta có
x ( { { K Xkw k)(t) : k ^ l } ) = x { { K Xkw k : к ^ n}).
Theo Bổ đề 1.9 và Định lí 2.1 trong [4], ta có điều sau
x { { { K Xkw k){t) : к ^ 1}) < p ( { K Xkw k(t) : k ^ n } .
{(K Xk(Q mw k) ) ( t ) : /c ^ 1}) <
d(w k( s ) ) , Y m) d s , k ^ n | .
Cho n , m —¥ oo, áp dụng Bổ đề 1.1 ta có
{ ( K Xk(wk))(t) : к ^ 1}) <
=
J
J
ỵ Y {{wk{s) : /г > l} )d s
x ( { w k{s) : к > ĩ } ) d s .
Bổ đề đã được chứng minh
□
Đ ị n h lý 2.1. ơ iả sử các giả thiết (Нд), (Hg)( 1) — (2) vồ ( i / p ) ( l ) — (4)
được thỏa mẫn. Khi đó bài toán (2.1) có ít nhất một nghiệm tích phân với
điều kiện
а + ||a ||i < 1
trong đó ЦскII1 =
a(t)d t.
Chứng minh. Cho G : C([0,T]] X )
ơ ( [ 0 ,T ] ; X ) xác định bởi
G { y ) = {и G C([0,T]; X ) :u là nghiệm tích phân của (1.4) với
/ € S e l ( v ) và lí(o) = g(v)}
Nghĩa là, G(v) = { K g{v)f : / G Sel( v)}.
Với mọi [x, y] thuộc A cố định và и G G(v), ta có
\\u(t)\\ < a|M | + b + 2\\x\\ + T\\y\\ + II77II1 + í a ( s ) ||v ( s ) ||d s
Jữ
với
t
ẽ
[ о,
T]
,khi
a+
IICKII1 <
1, đ ặ t
= g M + b + T \\y\\ ± IMIi
1 — а — ЦскII1
19
’
trong đó \\ri\\í = /0 T](s)ds. Khi đó ЦиЦоо < r khi ỊỊ^ỊỊoo < r.
Đặt
lV„ = { « 6 C ( [ 0 , T ] ; A - ) : | | u | | 0 0< r }
■1 VJ XCIi vU i l l
Civ
1
К-/ II/ /
a
l/
\J J ICu VAV/ilg l l v l l u Li vy VCli \J.Ẩ.
J XCIi VI Li l l g ^ VСи г Т
đồng liên tục theo Bổ đề 1.10.
Hơn thế nữa, chúng ta đặt W n+1 = c o n v ( G W n), với n = 1 ,2 ,..., thì
chúng ta có đươc W n+1 с W n với n = 1 ,2 ,... khi W ị с Wq. Rõ ràng
là {Wn}“=1 là dãy giảm của tập đồng liên tục lồi đóng và bị chặn của
Wq с C([0, T]; X ).T heo bất đẳng thức (2) trang 673 của [3] ,với bất kỳ
£ > 0, tồn tại dãy {Wjfe}£^ с W n và {fk}k=i с L 1([0 ,T ];X ) sao cho
fk & S e l ( u k) VA: > 1 và
x ( W n+1(t)) = x ( { K g{u)f : f e S e ỉ ( u ) , u £ W n})
< 2x { { K g[uJ k : к > 1}) + e.
Do g là ánh xạ compact, kết hợp Bổ đề 2.1 ta có
x { W n+1{t)) < 2 í x { { f k { s ) d s : к > l} )d s + £
Jo
<
2 /
x ( F { s , W n {s)))ds + e
Jo
<
2 í ß ( s ) x ( W n (s))ds + £
JQ
Do £ > 0 tùy ý, chúng ta có
x ( W u+1(t)) < 2
Ị Ị t ( s ) x ( W n (s))ds.
Jo
Cho n —> 0 0 , cho nên
lim x ( W n(t) < 2 [ ị i ( s ) ( ì i m ỵ ( W n( s ) ) ) d s , v ó i t & [0,г].
n —¥00
n —¥00
từ bất đẳng thức Gronwall, cho ta kết quả
lim x ( W n(t) = 0 với mọi t £
71 —>00
20
[о, T ].
Hơn thế nữa, chúng ta biết rằng { W n} n>0 là dãy giảm các tập con bị chặn
và đồng liên tục của ơ ( [ 0 ,T ] ; X ) . Điều này có nghĩa là
lim X c { W n) =
n—
>00
0.
trong đó Xc là độ đo Hausdorff của ƠQO, T]; X ) .
Từ Chương 2 trong [4], chúng ta có được w = n^oVl^i là tập compac lồi,
khác rỗng trong ơ ( [ 0 , T ] ; X ) và G ( W ) c w .
Bây giờ chúng ta hãy kiểm tra g r a p h ( G ) đóng. Chứng minh được chia
làm 3 bước.
Đầu tiên, cho vn c w với vn —ì V trong CQO, T]; X ) và u n —¥ u trong
C ( [ 0 ,T ];X ) và cho
{ /„ } ”_! C L 1( [ 0 ,Ĩ 1 ;X )
là dãy thỏa mãn f n G S e l( v n) với n > 1 và u n = Kg(v ) / n.
Theo (IỈF) ( 3 ) , { f n}™=ị c L 1([0 ,T ];X ) là khả tích đều.
Hơn nữa, f n thỏa mãn fn(t) G C ( t ) := F ( t , {vn (t) : n > 1}).
Do X * là lồi đều, chúng ta biết rằng X là phản xạ, vì thế F có giá trị
compact yếu và tập C ( t ) là compact yếu với mọi t € [0, T] theo Bổ đề 1.5.
Vì thế chúng ta có thể giả thiết rằng f n —^ f trong L 1([0 , T ) ] X ) theo Bổ
đề 1.2.
Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng / G Sel(v).
T h ật vây f n ẽ co n v{fk : k > n } sao cho f n —> f trong L 1([0, T]; X ) theo
Định lí Mazur. Vì thế có dãy con f n , f n —> f ( t ) trên [0, T\.
Giả sử í G [0,T] thỏa mãn f n (t) G F ( t , v n (t) với mọi n > 1 và f n (t ) —>
f ( t ) . Vì X* ẽ X*, X* o F ( t , .) là nửa liên tục trên yếu với giá trị compact
lồi. Do đó với bất kỳ £ > 0, chúng ta có
x * ( f n {t)) E x*(F (t, v(t))) + (—£,£) với mọi n đủ lớn.
Hơn nữa, do g là liên tục, nên g(vn) —> g(v). Theo (1.3) trong Bổ đề
1.8, chúng ta có
IM Í) < II9
= ịị(K,M f n {t) - ( J f ,w / ) ( í ) II2
-
s ( » ) ||2 + 2 [ ( u J
■^0
t)
- ( K í M f ) ( T ) , ỉ , J t ) - / ( r ) > ,d r .
Do đó, khi n —> 00, kết hợp bất đẳng thức ở trên với Bổ đề 1.11 cho thấy
u = Kg(v)f với / e S e lịy ) . Nghĩa là lí ẽ G(v). Do đó G là nửa liên tục
21
trên trên w
Tiếp theo chúng ta sẽ cho thấy G có giá trị khả co. Giả Sử c = G ( v ) với
mọi V G M nào đó, cố định / G S e l ị y ) và định nghĩa h : [0,1] X c —> c
bởi
h(s u)(t) = {
_
1 ’ )K )
\ ũ ( t \ sT, u ( s T ) ) ,
nếu 1 e í°’
nếu t e [sT, T],
trong đó ũ(t] t ữ, x 0) là nghiệm của lư (í) G A w ( t ) + f ( t ) trên [t0, T ] , w ( t 0) =
x 0. Từ u = K g ^ f với mọi / ẽ Sel(v), chúng ta có h ( s , u ) = Kg(v) f với
/
:=
/ X [ 0 ,sT] +
ĨX[sT,T] e
-5 e / ( ? ; ) .
do đó h ánh xạ vào c . Hơn nữa, h là liên tục do sự phụ thuộc liên tục của
w ( í ; í o 5 ^o) y ào đ iề u k iệ n b a n đ ầ u (to, Xo) e [ 0 ,T ] X ^ ( ^ 4 ) và
h ( 0 ,u ) = K g{v)J , h ( l , u ) = K g{v)f = u
Cuối cùng, kết hợp với Bổ đề 1.1 cho thấy G có một điểm cố định
u E C ([0 ,T ];X ) . Rõ ràng điểm cố định u cũng là nghiệm tích phân của
bài toán (2.1). Định lí được chứng minh.
□
C h ú ý 2.2. Dối với trường hợp phi tuyến không cục bộ, Bổ đề 2.1 là
mới trong không gian Banach không tách được, mà cũng rất quan trọng để
chứng minh Định lí 2.1.
2.3
Sự tồ n tạ i nghiệm trong trường hợp S (t) không
com pact, không đồng liên tụ c
Trong phần này chúng ta giả sử X là tách được, chúng ta tập trung
chú ý vào trường hợp S ( t ) không compact và không đồng liên tục, đó là
mối quan tâm lớn trong lý thuyết bao hàm thức vi phân không cục bộ.
Bây giờ chúng ta chuẩn bị trình bày kết quả chính.
Đ ị n h lý 2.2. Cho X * là lồi đều. Giả thiết điều kiện (H p)( 1) — (2) và các
đi ều k i ệ n s a u (H g) và ( H ị ) thỏa m ã n :
(H g) g : C ([0 ,T ];X ) —> D ( A ) là Lipschitz liên tục với hệ số Lipschitz k ;
(Hị) tồn t ạ i p ( t ) , q ( t ) £
T]; M+) sao cho
)) <
22
pịt)\\x
-
2/ 11,
và
||.F (í,z)|| < q(t){ 1 + INI)
với mọi t £ [О,T] và x , y £ X
Khi đó bài toán (2.1) có ít nhất một nghiệm tích phân trên [0,T] với
điều kiện к + Q < 1,trong đó Q = J q p(s)ds.
Chứng minh. Chúng ta kí hiệu toán tử
N :С([0,Т]-Х)^С([0,Т]-Х)
bằng
N v = { y G C7([0, T]; X ) : y là nghiệm tích phân của (2.1) với lí(o) = g ( v )
và / ẽ Sel( v)}.
Rõ ràng điểm cố định của N là nghiệm tích phân của bài toán (2.1). Vì
vậy ta chỉ cầm chỉ ra tồn tại một điểm и E С([0, T]; X ) sao cho и G F i x N .
Với mục đích này, trước hết ta thấy rằng, bởi
và phần thứ hai
của (Hi ), với mỗi V ẽ с([0,т]', X ) , Se l(v ) Ф 0 vì F có hàm chọn đo được
([15], Định lí III.6).
Ngoài ra, sử dụng lập luận tương tự với cách chứng minh của Định lí 2.1,
chúng ta có thể dễ dàng suy ra rằng toán tử đa trị N định nghĩa ở trên có
giá trị đóng.
Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng N là co được.
Cho г>1 ,г >2 G ơ ( [ 0 , T ] ; X ) và Uị G N ( v i). Khi đó tồn tại f i ( t ) G
F ( t , V ị ( t )) sao cho Ml là nghiệm tích phân của (1.1) trên [0,T] với Wi(0) =
g (v i) và / = / i .
Theo (H ị ) có
H ( F { t , v 1( t ) , F ( t , v 2{t))) < p (í)||ũ i(í) - v2{t)\\.
Vì vậy nên có z £ F ( t, v2(t)) sao cho
||/i(í) - z\\
ộ(t) = {z £ X
: ||/i(í) -
z\\ <
e [°>T]p ( x ) xác định bởi
p(í)||vi(í) -
v2(t)\\}.
Chúng ta cũng có thể viết
ệ{t) = М ^ + р ШМ*) - ^(í)l|SpO23
