Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ Navier-stokes

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
****************
TRIỆU QUỲNH NHƯ
SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM
CỦA HỆ NAVIER-STOKES
LUẬN VĂN THẠC SỸ
Chuyên ngành : Toán Giải tích
Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. Cung Thế Anh
Hà Nội, 2013

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS. TS. Cung Thế Anh đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các thầy cô
dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã ở bên,
cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2013
Tác giả
Triệu Quỳnh Như
2
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Cung Thế Anh luận văn
được hoàn thành không trùng với bất kì công trình khoa học nào khác.
Trong khi thực hiện luận văn tác giả đã sử dụng và tham khảo các thành tựu của
các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng.
Hà Nội, tháng 11 năm 2013
Tác giả

Triệu Quỳnh Như
3
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . 8
1.2. Các toán tử . . . . . . . . 9
1.2.1. Toán tử A . . . . . . 9
1.2.2. Toán tử B . . . . . . . . . . . 10
1.3. Các bất đẳng thức thường dùng. . . . . . 12
1.3.1. Bất đẳng thức H¨older. . . . . . . . . . . . 12
1.3.2. Bất đẳng thức Cauchy . . 12
1.3.3. Bất đẳng thức Young . . 12
1.3.4. Bất đẳng thức Poincaré . . . . . . . . . . 13
1.3.5. Bất đẳng thức Gronwall . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Bổ đề compact Aubin-Lions. . . . . . . . . . . . 13
Chương 2. Nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục trong trường hợp hai chiều . .
14
2.2. Sự tồn tại nghiệm yếu toàn cục trong trường hợp ba chiều 18
Chương 3. Nghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm mạnh toàn cục trong trường hợp hai chiều 22
4
3.2. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm mạnh địa phương trong trường hợp ba chiều
. . . . . . . . . . . . 27
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài

Hệ phương trình Navier-Stokes xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng
và khí như nước, không khí, dầu mỏ, . . . dưới những điều kiện tương đối tổng quát,
và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng
không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma, . . . .Hệ phương trình Navier-
Stokes được xây dựng từ sự bảo toàn của khối lượng, động lượng, và năng lượng được
viết cho một thể tích đang xem xét bất kì, và có dạng:
u
t
ν∆u u ∇ ∆p f
∇ u 0
ở đó u u x, t là hàm vectơ vận tốc, p p x, t là hàm áp suất, ν là hệ số nhớt,
f là ngoại lực. Những vấn đề lí thuyết cơ bản đặt ra khi nghiên cứu hệ phương trình
Navier-Stokes là:
• Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm: Nghiệm ở đây có thể là nghiệm yếu hoặc
nghiệm mạnh. Các kết quả nhận được là phụ thuộc theo số chiều của không gian.
• Tính chính qui của nghiệm: Tính chính qui ở đây có thể là tính chính qui theo
biến thời gian (tính giải tích, tính Gevrey) hoặc tính chính qui theo biến không
gian (tính chính qui Hilbert, tính chính qui Holder, mô tả tập điểm kì dị, . . .).
• Dáng điệu tiệm cận của nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời gian
t ra vô cùng. Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận rất quan trọng vì nó cho phép
dự đoán xu thế phát triển trong tương lai của hệ đang xét, từ đó có những điều
chỉnh thích hợp để đạt mục đích mong muốn.
Trong các vấn đề kể trên trên, vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ Navier-
Stokes là vấn đề quan trọng đầu tiên, là cơ sở cho việc nghiên cứu các vấn đề khác về
nghiệm của hệ Navier-Stokes và vẫn còn nhiều vấn đề mở, đặc biệt là trong trường hợp
ba chiều. Đây vẫn là vấn đề thời sự, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học
trong và ngoài nước. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: “Sự tồn tại và tính
duy nhất nghiệm của hệ Navier-Stokes”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu và nghiệm mạnh của hệ

Navier-Stokes trong cả hai trường hợp hai chiều và ba chiều.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Sự tồn tại của nghiệm yếu và nghiệm mạnh.
Nghiên cứu tính duy nhất của nghiệm yếu và nghiệm mạnh .
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu : Hệ phương trình Navier-Stokes.
Phạm vi nghiên cứu : Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu và nghiệm mạnh.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sự tồn tại : Phương pháp Galerkin.
Nghiên cứu tính duy nhất : phương pháp Lions, phương pháp Serrin.
6. Giả thiết khoa học
Chứng minh được sự tồn tại của nghiệm yếu và nghiệm mạnh.
Tìm được điều kiện đủ để nghiệm là duy nhất trong lớp hàm thích hợp.
7
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R
d
, d 2, 3 với biên Ω trơn. Xét bài toán biên
ban đầu đối với hệ phương trình Navier-Stokes
u
t
ν∆u u ∇ u ∇p f, x Ω, t 0
∇ u 0, x Ω, t 0
u x, t 0, x Ω, t 0
u x, 0 u
0
x , x Ω
(1.1)
Ở đó u u

1
, , u
d
T
, d 2, 3 là hàm vectơ vận tốc, p : Ω R là hàm áp suất,
v const 0 là hệ số nhớt.
1.1. Các không gian hàm
Kí hiệu
V u C
0
Ω
d
: ∇ u 0 .
Để nghiên cứu bài toán, ta giới thiệu các không gian hàm sau:
V V
H
1
0
Ω
d
bao đóng của V trong H
1
0
Ω
d
u H
1
0
Ω
d

: ∇ u 0 ,
H V
L
2
Ω
d
bao đóng của V trong L
2
Ω
d
.
8
Khi đó V và H là những không gian Hilbert với tích vô hướng lần lượt là
u, v u, v
H
Ω
u.vdx
Ω
d
i 1
u
i
v
i
dx,
u, v u, v
V
Ω
d
i 1

∇u
i
.∇v
i
dx
Ω
d
i,j 1
u
i
x
j
v
j
x
j
dx,
ở đó u u
1
, , u
d
T
, v v
1
, , v
d
T
.
Gọi H là phần bù trực giao của H trong L
2

Ω
d
. Từ kết quả trong Temam [4], ta có
H u L
2
Ω
d
: u gradp, p H
1
Ω .
Gọi V là không gian đối ngẫu của V . Kí hiệu |.|, ||.|| lần lượt là chuẩn trong H và
V, . kí hiệu chuẩn trong V .
1.2. Các toán tử
1.2.1. Toán tử A
Giả sử A : V V là toán tử xác định bởi
Au, v u, v , với mọi u, v V.
Kí hiệu D A là miền xác định của A, ta có:
D A u H : Au H H
2
Ω
d
V.
Dễ thấy toán tử tuyến tính không bị chặn, tự liên hợp, xác định dương và có nghịch
đảo A
1
: H D A compact vì phép nhúng H
1
0
Ω L
2

Ω là compact. Do đó phổ
của A gồm toàn giá trị riêng λ
j
j 1
với
0 λ
1
λ
2
λ
n
, λ
n
khi n ,
và các hàm riêng tương ứng w
j
j 1
D A lập thành một cơ sở trực chuẩn trong H.
9
1.2.2. Toán tử B
Đặt
b u, v, w
d
i,j 1
Ω
u
i
v
j
x

i
w
j
dx.
Khi đó dễ thấy b ., ., . là một dạng 3- tuyến liên tục trên H
1
0
Ω
d
, hay nói riêng trên
V . Ngoài ra, dễ dàng kiểm tra được
b u, v, w b u, w, v với mọi u, v, w V.
Nói riêng b u, v, w 0, với mọi u, v V.
Để thiết lập các đánh giá đối với b u, v, w , ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 1.2.1. [5] Với bất kì tập mở Ω R
d
, ta có
Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi d=2
v
L
4
Ω
2
1
4
v
1
2
L
2

Ω
∇v
1
2
L
2
Ω
với mọi v H
1
0
Ω .
Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi d=3
v
L
4
Ω
C v
1
4
L
2
Ω
∇v
3
4
L
2
Ω
với mọi v H
1

0
Ω .
Bổ đề 1.2.2. [5] a) Nếu d=2,3 thì
b u, v, w u
L
v w , u L , v V, w H.
b) Nếu u, v, w V thì
b u, v, w k
u
1 2
u
1 2
w
1 2
w
1 2
v , d 2
u
1 2
u
3 4
v w
1 4
w
3 4
, d 3.
c) u V, v D A , w H thì
b u, v, w k
u
1 2

u
1 2
v
1 2
Av
1 2
w , d 2
u v
1 2
Av
1 2
w , d 3.
Xét toán tử B : V V V xác định bởi
B u, v , w b u, v, w với mọi u, v, w V.
10
Đặt Bu B u, u .
Khi đó Bài toán đã cho có thế phát biểu dưới một trong hai dạng sau đây
Bài toán 1. Cho trước u
0
H và f L
2
0, T ; V . Tìm hàm u L
2
0, T ; V thỏa mãn
d
dt
u, v ν u, v b u, u, v f, v , với mọi v V và hầu khắp t 0, T ,
u 0 u
0
.

Để viết lại Bài toán 1 dưới dạng phương trình toán tử, ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 1.2.3. . Giả sử u L
2
0, T ; V . Khi đó hàm Bu xác định bởi
Bu t , v b u t , u t , v , với mọi v V,
sẽ thuộc L
1
0, T ; V .
Chứng minh. Với hầu khắp t 0, T , ta có Bu t V . Ta có
Bu t , v b u t , u t , v C u t
2
v V,
suy ra Bw
V
C w
2
với mọi w V . Do đó
T
0
Bw t
V
dt C
T
0
w t
2
V
dt .
Vậy Bu L
1

0, T ; V .
Bổ đề 1.2.4. Cho u L
2
0, T ; D A L 0, T ; V , khi đó hàm Bu L
2
0, T ; H .
Chứng minh. Từ Bổ đề 1.2.2, với hầu khắp t 0, T , ta có
Bu t c
3
u t
1 2
Au t
1 2
u t c u t
3 2
Au t
1 2
,
thì
T
0
Bu t
4
dt c
T
0
u t
6
Au t
2

dt c u
6
L 0,T ;V
T
0
Au t
2
dt .
Do đó Bu thuộc L
4
0, T ; H , nên cũng thuộc L
2
0, T ; H .
11
Từ đó ta có bài toán sau đây.
Bài toán 2. Cho trước u
0
H và f L
2
0, T ; V . Tìm hàm u L
2
0, T ; V thỏa mãn
u L
1
0, T ; V
u νAu Bu f trong V với hầu khắp t 0, T
u 0 u
0
.
Dễ thấy Bài toán 1 và Bài toán 2 tương đương nhau theo nghĩa nếu u là nghiệm của

bài toán này thì nó cũng là nghiệm của bài toán kia và ngược lại.
1.3. Các bất đẳng thức thường dùng
1.3.1. Bất đẳng thức H¨older
Giả thiết 1 p, q ;
1
p
1
q
1.
Khi đó nếu
u L
p
Ω , v L
q
Ω
thì ta có:
Ω
uv dx u
L
p
Ω
v
L
q
Ω
.
1.3.2. Bất đẳng thức Cauchy
ab
a
2

2
b
2
2
.
1.3.3. Bất đẳng thức Young
Cho 1 p, q ,
1
p
1
q
1. Khi đó
ab
a
p
p
b
q
q
, a, b 0 .
12
1.3.4. Bất đẳng thức Poincaré
Ω
∇u
2
dx C Ω
Ω
u
2
dx, u H

1
0
Ω .
1.3.5. Bất đẳng thức Gronwall
Giả sử x t là một hàm liên tục tuyệt đối trên 0, T và thỏa mãn
dx
dt
g t x h t , với hầu khắp t,
trong đó g t và h t là các hàm khả tích 0; T . Khi đó
x t x 0 e
G t
t
0
e
G t G s
h s ds,
với 0 t T, ở đó
G t
t
0
g r dr.
Nói riêng, nếu a và b là các hằng số và
dx
dt
ax b,
thì
x t x 0
b
a
e

at
b
a
.
1.4. Bổ đề compact Aubin-Lions
Giả sử E
1
E E
0
, ở đó E, E
0
, E
1
là các không gian Banach. Ta giả sử
p
1
1, p
0
1 và đặt
W
p
1
,p
0
0, T ; E
1
, E
0
u : u L
p

1
0, T ; E
1
, u L
p
0
0, T ; E
0
.
Khi đó phép nhúng sau là compact
W
p
1
,p
0
0, T ; E
1
, E
0
L
p
1
0, T ; E .
13
Chương 2
Nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes
2.1. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục
trong trường hợp hai chiều
Định lí 2.1.1. Cho trước u
0

H và f L
2
0, T ; V . Khi đó Bài toán 1 có duy nhất
một nghiệm u thỏa mãn
u C 0, T ; H L
2
0, T ; V ,
du
dt
L
2
0, T ; V .
Chứng minh. Ta chứng minh sự tồn tại nghiệm bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin.
Bước 1. Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ.
Giả sử
w
j
j 1
là một cơ sở của V gồm các véc tơ riêng của toán tử A. Với mỗi m 1,
tìm nghiệm xấp xỉ dưới dạng
u
m
t
m
i 1
g
im
t w
i
,

trong đó g
im
thỏa mãn
du
m
t
dt
, w
j
ν u
m
t , w
j
b u
m
t , u
m
t , w
j
f t , w
j
, j 1, , m,
u
m
0 u
0m
.
(2.1)
14
Ở đây u

0m
P
m
u
0
, với P
m
là phép chiếu từ H xuống span w
1
, , w
2
, không gian con
sinh ra bởi m véctơ riêng đầu tiên. Từ lí thuyết phương trình vi phân thường suy ra
nghiệm xấp xỉ u
m
t tồn tại và xác định trên 0, T .
Bước 2. Xây dựng các ước lượng tiên nghiệm đối với u
m
.
Nhân hai vế của (2.1) với g
im
t , sau đó lấy tổng theo j từ 1 đến m ta được
u
m
t , u
m
t ν u
m
t
2

f t , u
m
t .
Từ đây sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy ra
d
dt
u
m
t
2
2ν u
m
t
2
2 f t u
m
t
ν u
m
t
2
1
ν
f t
2
.
Do đó
d
dt
u

m
t
2
ν u
m
t
2
1
ν
f t
2
.
Lấy tích phân bất đẳng thức này từ 0 đến t, 0 t T , ta được
u
m
t
2
ν
t
0
u
m
s
2
ds u
0m
2
1
ν
t

0
f t
2
ds
u
0
2
1
ν
t
0
f t
2
dt.
Từ đây suy ra
u
m
bị chặn trong L 0, T ; H ;
u
m
bị chặn trong L
2
0, T ; V .
Do đó
Au
m
bị chặn trong L 0, T ; V .
Đánh giá Bu
m
Bu

m V
b u
m
, u
m V
c u
m
u
m
.
Suy ra
T
0
Bu
m
t
2
dt c
T
0
u
m
t
2
u
m
t
2
dt c u
m

L 0,T ;H
T
0
u
m
2
dt ,
15
nên Bu
m
bị chặn trong L
2
0, T ; V .
Vì
du
m
dt
νAu
m
P
m
Bu
m
P
m
f nên suy ra
du
m
dt
bị chặn trong L

2
0, T ; V .
Bước 3. Chuyển qua giới hạn.
Từ các ước lượng tiên nghiệm ở bước 2, ta có thể giả sử
u
m
u trong L
2
0, T ; V ;
Au
m
trong L
2
0, T ; V ;
du
m
dt
du
dt
trong L
2
0, T ; V .
Bây giờ ta cần chứng minh Bu
m
Bu trong L
2
0, T ; V .
Áp dụng Bổ đề compact Aubin-Lions, ta nhận được một dãy con của u
m
mà ta vẫn

kí hiệu là u
m
thỏa mãn
u
m
u trong L
2
0, T ; H .
Ta chứng minh kết quả sau
Bổ đề 2.1.1. Giả sử u
m
u trong L
2
0, T ; H và u
m
u trong L
2
0, T ; H . Khi đó
với mọi w C
1
Q
T
ta có
T
0
b u
m
t , u
m
t , w t dt

T
0
b u t , u t , w t dt.
Chứng minh. Ta có
T
0
b u
m
t , u
m
t , w t dt
T
0
b u
m
, w, u
m
dt
2
i,j 1
T
0 Ω
u
m
i
w
j
x
i
u

m
j
dxdt.
Do đó
T
0
b u
m
, w, u
m
dt
T
0
b u, u, w dt
2
i,j 1
T
0 Ω
u
m
i
u
i
w
j
x
i
u
j
u

m
i
w
j
x
i
u
m
j
u
j
dxdt.
Bởi vậy ta cần xét biểu thức dạng
E
m
T
0 Ω
v
m
v wv
m
dxdt,
16
ở đó v
m
v trong L
2
0, T ; H , w L
2
0, T ; H và v

m
bị chặn đều trong L 0, T ; H .Do
wv
m
L
2
0,T ;H
w
L
2
0,T ;H
v
m
L 0,T ;H
nên E
m
0. Từ đó suy ra bổ đề được chứng minh.
Từ các kết quả trên suy ra tồn tại hàm u L
2
0, T ; H L 0, T ; H thỏa mãn
du
dt
νAu Bu f trong L
2
0, T ; V ,
hay
du
dt
t νAu t Bu t f t trong V với hầu khắp t 0, T .
Để chứng minh u 0 u

0
, ta chọn hàm thử ϕ C
1
0, T với ϕ T 0, và lấy tích vô
hướng của phương trình trên với ϕ, sau đó tích phân từng phần ta được
T
0
u t , ϕ t dt ν
T
0
u t , ϕ t dt
T
0
b u t , u t , ϕ t dt
u 0 , ϕ 0
T
0
f t , ϕ t dt.
Mặt khác, làm tương tự với nghiệm xấp xỉ Galerkin u
m
ta có
T
0
u
m
t , ϕ t dt ν
T
0
u
m

t , ϕ t dt
T
0
b u
m
t , u
m
t , ϕ t dt
u
m
0 , ϕ 0
T
0
f t , ϕ t dt.
Sau đó chuyển qua giới hạn khi m ta được
T
0
u t , ϕ t dt ν
T
0
u t , ϕ t dt
T
0
b u t , u t , ϕ t dt
u 0 , ϕ 0
T
0
f t , ϕ t dt.
Từ đó suy ra u 0 , ϕ 0 u
0

, ϕ 0 với mọi ϕ và do đó u 0 u
0
.
Bước 4. Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện ban đầu.
Giả sử u
1
, u
2
là hai nghiệm của bài toán đã cho với dữ kiện ban đầu lần lượt lần lượt
là u
01
, u
02
. Đặt u u
1
u
2
ta có
u νAu Bu
1
Bu
2
u 0 u
01
u
02
.
17
Nhân hai vế của phương trình này với u ta có
d

dt
u t
2
2ν u t
2
2b u
2
t , u
2
t , u t 2b u
1
t , u
1
t , u t
2b u t , u
2
t , u t .
Sử dụng Bổ đề 2.2, ta có
d
dt
u t
2
2ν u t
2
2
3
2
u t u t u
t
t

2ν u t
2
1
ν
u t u
2
t
2
.
Do đó
d
dt
u t
2
1
ν
u t u
2
t
2
.
Suy ra
u t
2
u 0
2
exp
t
0
1

ν
u
2
s
2
ds .
Đây là điều phải chứng minh .
2.2. Sự tồn tại nghiệm yếu toàn cục trong trường
hợp ba chiều
Định lí 2.2.1. Cho f L
2
0, T ; V , u
0
H. Khi đó tồn tại một nghiệm yếu u của hệ
Navier-Stokes thỏa mãn
u L
2
0, T ; V C
w
0, T ; H ,
du
dt
L
4 3
0, T, V ,
u là liên tục yếu từ 0, T vào H: u C
w
0, T ; H .
Chứng minh. Ta chứng minh sự tồn tại nghiệm bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin.
Bước 1. Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ.

Giả sử w
j
j 1
là một cơ sở của V gồm các véc tơ riêng của toán tử A. Với mỗi m 1,
tìm nghiệm xấp xỉ dưới dạng
u
m
t
m
i 1
g
im
t w
i
,
18
trong đó g
im
thỏa mãn (2.1). Ở đây u
0m
P
m
u
0
, với P
m
là phép chiếu từ H xuống
span w
1
, , w

2
, không gian con sinh ra bởi m véctơ riêng đầu tiên. Từ lí thuyết phương
trình vi phân thường suy ra nghiệm xấp xỉ u
m
t tồn tại và xác định trên 0, T .
Bước 2. Xây dựng các ước lượng tiên nghiệm đối với u
m
.
Nhân hai vế của (2.1) với g
im
t , sau đó lấy tổng theo j từ 1 đến m ta được
u
m
t , u
m
t ν u
m
t
2
f t , u
m
t .
Từ đây sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy ra
d
dt
u
m
t
2
2ν u

m
t
2
2 f t u
m
t
ν u
m
t
2
1
ν
f t
2
.
Do đó
d
dt
u
m
t
2
ν u
m
t
2
1
ν
f t
2

.
Lấy tích phân bất đẳng thức này từ 0 đến t, 0 t T , ta được
u
m
t
2
v
t
0
u
m
s
2
ds u
0m
2
1
ν
t
0
f t
2
ds
u
0
2
1
ν
t
0

f t
2
dt.
Từ đây suy ra
u
m
bị chặn trong L 0, T ; H ;
u
m
bị chặn trong L
2
0, T ; V .
Dễ thấy
Au
m
bị chặn trong L 0, T ; V .
Đánh giá Bu
m
Bu
m
t
V
c u
m
t
1 2
u
m
t
3 2

.
Suy ra
T
0
u
m
t
4 3
V
dt c
T
0
u
m
t
2 3
u
m
t
2
dt c u
m
L 0,T ;H
T
0
u
m
t
2
dt .

Nên
Bu
m
bị chặn trong L
4 3
0, T ; V .
19
Vì
du
m
dt
νAu
m
P
m
Bu
m
P
m
f nên suy ra
du
m
dt
bị chặn trong L
4 3
0, T ; V .
Bước 3. Chuyển qua giới hạn.
Từ các ước lượng tiên nghiệm ở bước 2, ta có thể giả sử
u
m

u trong L
2
0, T ; V ;
Au
m
trong L
2
0, T ; V ;
du
m
dt
du
dt
trong L
4 3
0, T ; V .
Bây giờ ta cần chứng minh Bu
m
Bu trong L
4 3
0, T ; V .
Áp dụng Bổ đề compact Aubin-Lions, ta nhận được một dãy con của u
m
mà ta vẫn
kí hiệu là u
m
thỏa mãn
u
m
u trong L

2
0, T ; H .
Ta chứng minh kết quả sau
Bổ đề 2.2.1. Giả sử u
m
u trong L
2
0, T ; H và u
m
u trong L
2
0, T ; H . Khi đó
với mọi w C
1
Q
T
ta có
T
0
b u
m
t , u
m
t , w t dt
T
0
b u t , u t , w t dt.
Chứng minh. Ta có
T
0

b u
m
t , u
m
t , w t dt
T
0
b u
m
, w, u
m
dt
3
i,j 1
T
0 Ω
u
m
i
w
j
x
i
u
m
j
dxdt.
Do đó
T
0

b u
m
, w, u
m
dt
T
0
b u, u, w dt
3
i,j 1
T
0 Ω
u
m
i
u
i
w
j
x
i
u
j
u
m
i
w
j
x
i

u
m
j u
j
dxdt.
Bởi vậy ta cần xét biểu thức dạng
E
m
T
0 Ω
v
m
v wv
m
dxdt.
20
Ở đó v
m
v trong L
2
0, T ; H , w L
2
0, T ; H và v
m
bị chặn đều trong L 0, T ; H .Do
wv
m
L
2
0,T ;H

w
L
2
0,T ;H
w
m
L 0,T ;H
.
nên E
m
0. Từ đó suy ra bổ đề được chứng minh.
Từ các kết quả trên suy ra tồn tại hàm u L
2
0, T ; V L 0, T ; H thỏa mãn
du
dt
νAu Bu f trong L
4 3
0, T ; V .
hay
du
dt
t νAu t Bu t f t trong V với hầu khắp t 0, T
Để chứng minh u 0 u
0
, ta chọn hàm thử ϕ C
1
0, T với ϕ T 0, và lấy tích vô
hướng của phương trình trên với ϕ, sau đó tích phân từng phần ta được
T

0
u t , ϕ t dt ν
T
0
u t , ϕ t dt
T
0
b u t , u t , ϕ t dt
u 0 , ϕ 0
T
0
f t , ϕ t dt.
Mặt khác, làm tương tự với nghiệm xấp xỉ Galerkin u
m
ta có
T
0
u
m
t , ϕ t dt ν
T
0
u
m
t , ϕ t dt
T
0
b u
m
t , u

m
t , ϕ t dt
u
m
0 , ϕ 0
T
0
f t , ϕ t dt.
Sau đó chuyển qua giới hạn khi m ta được
T
0
u t , ϕ t dt ν
T
0
u t , ϕ t dt
T
0
b u t , u t , ϕ t dt
u 0 , ϕ 0
T
0
f t , ϕ t dt.
Từ đó suy ra u 0 , ϕ 0 u
0
, ϕ 0 với mọi ϕ và do đó u 0 u
0
.
Chú ý 2.2.1. Trong trường hợp 3 chiều tồn tại nghiệm toàn cục nhưng tính duy nhất
vẫn còn là vấn đề mở.
setcounterchapter2

21
Chương 3
Nghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes
3.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm mạnh toàn cục
trong trường hợp hai chiều
Định lí 3.1.1. Cho trước u
0
V và f L
2
0, T ; H . Khi đó tồn tại duy nhất một
nghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes
du
dt
νAu B u, u f
u 0 u
0
thỏa mãn
u L
2
0, T ; D A C 0, T ; H
du
dt
L
2
0, T ; H .
Chứng minh. Bước 1. Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ.
Giả sử w
j
j 1
là một cơ sở của V gồm các véc tơ riêng của toán tử A.Với mỗi m 1,

tìm nghiệm xấp xỉ dưới dạng
u
m
t
m
j 1
g
jm
t w
j
, (3.1)
22
trong đó g
jm
thoả mãn
d
dt
u
m
t , w
j
ν u
m
t , w
j
b u
m
t , u
m
t , w

j
f t , w
j
, j 1, m,
u
m
0 u
0m
.
(3.2)
Ở đây u
0m
P
m
u
0
, với P
m
là phép chiếu từ H xuống span w
1
, , w
2
, không gian con
sinh ra bởi m véctơ riêng đầu tiên. Từ định lí Peano, nghiệm xấp xỉ u
m
t tồn tại .
Bước 2. Xây dựng các ước lượng tiên nghiệm đối với u
m
. Từ (3.2) ta có
u

m
t , u
m
t ν u
m
t , u
m
t f t , u
m
t , j 1, m,
do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ta
1
2
d
dt
u
m
t
2
ν u
m
t
2
f t u
m
t
1
λ
1 2
1

f t . u
m
t
1
2νλ
1
f t
2
ν
2
u
m
t
2
.
Ta được
d
dt
u
m
t
2
ν u
m
t
2
1
νλ
1
f t

2
. (3.3)
Lấy tích phân (3.3) từ 0 đến t, 0 t T , ta được
u
m
t
2
ν
t
0
u
m
s
2
ds u
0m
2
1
νλ
1
t
0
f s
2
ds
K
1
u
0
2

1
νλ
1
T
0
f s
2
ds .
Từ đó ta có
sup
t 0,T
u
m
t
2
K
1
. (3.4)
Từ đây ta suy ra
u
m
là bị chặn trong L 0, T ; H .
23
Lấy tích phân (3.3) từ 0 đến T , ta được
u
m
T
2
ν
T

0
u
m
s
2
ds u
0m
2
1
νλ
1
T
0
f s
2
ds
u
0
2
1
νλ
1
T
0
f s
2
ds.
do đó
T
0

u
m
s
2
ds K
2
K
1
ν
. (3.5)
và ta suy ra
u
m
là bị chặn trong L
2
0, T ; V .
Mặt khác, nhân vô hướng (3.2) với Au
m
t ta có ,
1
2
d
dt
u
m
t , u
m
t Au
m
t

2
Bu
m
t , Au
m
t f t , Au
m
t
Áp dụng Bổ đề 1.2.2 và bất đẳng thức Young với 
3
8
cho ta
b u
m
t , u
m
t , Au
m
t c
1
u
m
t
1
2
u
m
t Au
m
t

3
2
3
8
Au t
2
2c
4
1
u t
2
u t
4
.
Do đó
1
2
d
dt
u
m
t
2
Au
m
t
2
f t Au
m
t Bu

m
t Au
m
t
f t
2
1
4
Au
m
t
2
3
8
Au
m
t
2
2c
4
1
u
m
t
2
u
m
t
4
, (3.6)

từ đây
d
dt
u
m
t
2
3
4
Au
m
t
2
2 f t
2
4c
4
1
α
u
m
t
2
u
m
t
4
,
đặt c
2

4c
4
1
α
, ta có
d
dt
u
m
t
2
2 f t
2
c
2
u
m
t
2
u
m
t
2
u
m
t , u
m
t
2
. (3.7)

Ta áp dụng kỹ thuật của bất đẳng thức Gronwall với
y t u
m
t
2
; g t c
2
u
m
t
2
u
m
t
2
; h t 2 f t
2
,
24