skkn một số PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
SƠ
LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
Đơn vị: Trường THCS & THPT Bàu Hàm
Mã số: ................................
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

1. Họ và tên: Lê Văn Anh
2. Ngày tháng nămSÁNG
sinh: 28/09/1978
KIẾN KINH NGHIỆM
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: Khu 2. Ấp Thuận Hòa, Xã Sông Thao, Huyện Trảng Bom, Tỉnh
Đồng Nai.

MỘT SỐ
5. Điện thoại: 0976008701
6. Fax:

PHƯƠNG
PHÁP
(CQ)/ 0613.670611

E-mail:

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

7. Chức vụ: Phó Hiệu Trưởng.

8. Đơn vị công tác: Trường THCS & THPT Bàu Hàm.
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học sư phạm
- Năm nhận bằng: 2009
- Chuyên ngành đào tạo: Toán
III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán
- Số năm có kinh nghiệm: 10Người thực hiện: Lê Văn Anh
Hiệu
- Các sáng kiến kinh nghiệmChức
đã cóVụ:
trong 5Phó
năm
gầnTrưởng
đây:
Lĩnhbài
vựctậpnghiên
cứu:
1. Phương pháp rèn học sinh làm
hình học.
- Quản
lý giáo
dục
2. Hướng dẫn học sinh phân tích
bài toán
theo
sơ đồ hệ
thống.

- Phương
pháp
dạylập
học
bộ môn:
...TOÁN...
3. Một số phương pháp giải bài
toán bằng
cách
phương
trình.
4. Một số phương pháp giải toán phân tích đa thức thành nhân tử.
- Lĩnh vực khác: .......................................... 
Có đính kèm:
 Mô hình
 Phần mềm

 Phim ảnh

 Hiện vật khác

Năm học: 2011 – 2012
Người Thực hiện: Lê Văn Anh

1


Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Toán học là môn học cơ bản trong chương trình các trường phổ thông. Thông
qua việc dạy học môn toán giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo, suy luận lô gíc.
Đối với học sinh việc học giỏi môn toán là điều kiện học giỏi các cán bộ môn khác.
Thông qua việc học toán giúp các em hình thành các phẩm chất của nhân cách như
tính cần cù chịu khó, tính tự lực, tính kiên trì sáng tạo, không chịu khuất phục khó
khăn. Thông qua việc học toán giúp các em cảm thụ cái hay, cái đẹp của tự nhiên,
xã hội. Học giỏi toán là yếu tố quan trọng để khởi nguồn cảm hứng học tập tốt các
môn khác cho học sinh. Trong quá trình giảng dạy nói chung và việc học toán nói
riêng thì việc dạy toán để học sinh dễ hiểu và thông qua đó để học sinh phát triển
tính sáng tạo, suy luận lôgíc là nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên dạy toán.
Bài tập toán có nhiều loại: Bài tập đại số, bài tập hình học, bài tập số học.
Trong mỗi loại có nhiều dạng khác nhau, mỗi dạng có tính chất, đặc thù riêng nên
cần phải có phương pháp giải phù hợp. Dạng toán “Giải phương trình nghiệm
nguyên” là một dạng toán khi giải cần vận dụng tổng hợp nhiều kiến thức một cách
linh hoạt, sáng tạo, nhiều khi gặp khó khăn khi giải. Dạng toán “Giải phương trình
nghiệm nguyên” có một vai trò quan trọng, thường gặp trong các phần ôn tập, trong
các tài liệu toán và có mặt trong các kì thi TN THCS, thi vào lớp 10 và đặc biệt là
trong các kì thi học sinh giỏi các cấp.
Toán “Giải phương trình nghiệm nguyên” là một dạng toán rất phong phú.
Khi giải cần phải có một lượng kiến thức cơ bản vững chắc để vận dụng và người
giải phải có tư duy sáng tạo. Do vậy đối với giáo viên thì vấn đề khó khăn nhất là
phương pháp giải. Tư duy về kiến thức là tương đối khó, vận dụng kiến thức nào,
vận dụng như thế nào cho phù hợp, làm thế nào để các em hiểu bài và biết cách
giải. Vấn đề đó là một khó khăn do thực tế giáo viên đứng lớp hiện nay có trình độ
nhận thức chuyên môn còn hạn chế, chưa thực sự đổi mới phương pháp, chưa biết
Người Thực hiện: Lê Văn Anh

2

Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

phối hợp phương pháp giảng dạy một cách hiệu quả. Cho nên học sinh khó tiếp thu
dẫn đến chán nản, bi quan, nhận thức thụ động. Bên cạnh đó nhiều bài toán giải
phương trình nghiệm nguyên mà nhiều đội ngũ giáo viên còn chưa thống nhất qua
cách hiểu, cách giải hoặc là có rất nhiều cách giải khác nhau.
Là một giáo viên dạy Toán. Qua thực tế và qua khảo sát chất lượng ở các lớp,
nhất là lớp 8 và 9 về việc giải phương trình nghiệm nguyên tôi thấy chất lượng học
sinh chưa cao, nhiều em chưa biết làm thế nào để giải được bài, cơ sở để giải dạng
toán này là gì. Điều đó gợi ý cho tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương
trình nghiệm nguyên”.
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI.
1. Cơ sở lý luận.
Trong chương trình toán THCS thì phần kiến thức về phương trình đóng một
vai trò rất quan trọng. Ngay từ khi còn học tiểu học học sinh đã được làm quen với
các bài toán tìm x, đó là một cách tiếp cận dần dần với một mảng kiến thức rất
phong phú của môn toán học đó là phương trình. Các loại phương trình, cách giải
từng loại phương trình, lần lượt sẽ được giới thiệu trong chương trình toán bậc
trung học cơ sở và trung học phổ thông.
Các bài toán giải phương trình nghiệm nguyên có một đặc thù rất riêng ở
chỗ: phương trình ta xét đến thường là phương trình có nhiều ẩn số mà ta phải tìm
các nghiệm là các số nguyên của nó. Chính vì thế, để giải phương trình nghiệm
nguyên thì ngoài việc nắm chắc các bước giải phương trình nói chung thì học sinh
phải có tư duy sáng tạo, vận dụng linh hoạt nhiều kiến thức về số học, đại số để
giải.
Trong giảng dạy môn toán, con đường tìm tòi cách giải là cả một quá trình tư
duy suy luận lôgíc của học sinh được rèn luyện thông qua cả một quá trình học
toán. Đằng sau một bài toán đơn giản lại chứa đựng bao điều thú vị, đó là các cách
giải khác nhau và các bài tập phát triển dần thành các bài toán tổng quát. Do đó các

bài tập được xây dựng theo một trình tự nhất định, được phân chia thành các dạng
Người Thực hiện: Lê Văn Anh

3


Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

cơ bản, đảm bảo phù hợp với sự phát triển dần nâng cao nhận thức của học sinh. Hệ
thống các bài tập được xây dựng từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, tập trung
vào việc đảm bảo được mục đích và yêu cầu đạt được thông qua giải các dạng bài
tập đó. Hình thành cho học sinh thói quen nhìn nhận một bài toán khoa học, không
bị động, lúng túng khi giải và đồng thời các em chủ động tìm tòi, khai thác những
vấn đề nảy sinh từ các bài toán đó.
Phương trình nghiệm nguyên là một trong những mảng kiến thức rất phong
phú, có nhiều dạng và có nhiều cách giải khác nhau. Cho nên đứng trước một bài
toán giải phương trình nghiệm nguyên thì điều quan trọng nhất là học sinh phải
nhận được dạng của phương trình để từ đó có phương pháp giải cho phù hợp. Nhiều
khi giải một phương trình nghiệm nguyên ta phải biết kết hợp nhiều phương pháp
giải thì lời giải bài toán mới trở nên hay và ngắn gọn.
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài.
Trong quá trình giảng dạy học sinh lớp 8 và 9, khi giải phương trình nghiệm
nguyên tôi thấy đa số các em học sinh chưa có tư duy, suy luận toán học lôgíc. Học
sinh thường không biết bắt đầu từ đâu và không định hình được cách giải như thế
nào. Đối với học sinh giải được thì các em ít có thói quen đúc rút kinh nghiệm để
phân chia thành từng dạng và phương pháp giải từng cho từng dạng. Trong quá
trình giải các em trình bày thiếu chặt chẽ, không lôgíc, không hiểu cơ sở các dạng
bài. Chính vì thế mà các em học tập không có chuyển biến rõ rệt khi tiếp xúc với
loại toán này.
Khảo sát:

Đề bài: Tìm các số nguyên x,y thoả mãn: xy = x + y
Kết quả khảo sát của 10 học sinh được chọn ra từ 40 học sinh lớp 8A 1 (lớp chọn)
và 39 học sinh lớp 9A1 (lớp chọn) làm bài kiểm tra như sau:

Người Thực hiện: Lê Văn Anh

4


Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

Lớp Tổng số
8A1
9A1

Sai kiến thức Sai phương pháp
SL
%
SL
%
10
3
30
2
20
39
7
17.9
14
35.9

Với kết quả trên tôi thấy việc giải toán: “Giải

Sai cả bài
Đúng cả bài
SL
%
SL
%
5
50
0
0
10
25.6
8
20.5
phương trình nghiệm nguyên”

là khó đối với học sinh. Hầu hết các em chưa biết và chưa nắm vững phương pháp
giải, những kiến thức cần vận dụng nên dẫn đến giải sai.Chính vì thế mà tôi đã đề
cập và nghiên cứu đề tài về việc giải phương trình nghiệm nguyên. Song vì điều
kiện thời gian và tính ứng dụng thực tế của nó nên tôi chỉ nghiên cứu một số dạng
cơ bản phù hợp chủ yếu với học sinh ở trường.
Giải pháp thực hiện.
1. Các kiến thức cơ bản:
Một phương trình có nhiều ẩn số với các hệ số là số nguyên và ta phải tìm
nghiệm nguyên của nó được gọi là một phương trình nghiệm nguyên.
Phương trình nghiệm nguyên cũng được gọi là phương trình vô định (vì
thường có nhiều nghiệm) hay phương trình Diophante (mang tên nhà toán học cổ
Hi Lạp Diophante).

Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là N
N= { 0;1;2;3;4;5... }
Tập hợp các số nguyên kí hiệu là Z
Z= {...;−3;−2;−1;0;1;2;3;... }
Tập hợp N là tập con của tập hợp Z ( N ⊂ Z )
Chú ý: Cùng với các bài toán giải phương trình nghiệm nguyên ta cũng gặp
bài toán tìm nghiệm tự nhiên, nghiệm nguyên dương, nghiệm nguyên tố ... của
phương trình có hệ số nguyên hoặc có hệ số không nguyên, phương trình có ẩn ở
mẫu, phương trình vô tỉ ... .Người ta cũng nói: Giải các phương trình đó trong tập
hợp các số nguyên, tập hợp các số nguyên dương ... .
2. Các phương pháp giải:
Người Thực hiện: Lê Văn Anh

5


Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

Phương pháp 1: Đưa về dạng tích
Phương pháp giải: Biến đổi phương trình về dạng mà vế trái là một tích của
các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên.
Các ví dụ áp dụng:
Thí dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
xy = x + y

(1)

Lời giải:
xy = x + y
⇔

xy – x – y = 0
⇔ x(y-1)-(y-1)=1
⇔ (x-1)(y-1)=1

Vì x,y là số nguyên nên x-1, y-1 cũng là số nguyên mà 1=1.1=-1.(-1) nên có 2
khả năng sau:
x − 1 = 1

(I)  y − 1 = 1

 x − 1 = −1

và (II)  y − 1 = −1

Giải hệ (I) ta được: (x = 2;y = 2)
Giải hệ (II) ta được:(x = 0;y = 0)
Vậy phương trình (1) có các nghiệm nguyên là: (x = 0; y = 0) và (x = 2; y = 2)
Thí dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
3xy – 3 = 5x + 2y

(2)

Lời giải: Nhân cả 2 vế của phương trình (2) với 3 ta được:
9xy-9=15x+6y
⇔ 9xy - 15x - 6y =9
⇔
⇔

3x(3y-5)-2(3y-5)=19

(3x-2)(3y-5)=19=19.1=-19.(-1)

Có 4 khả năng sau:
Người Thực hiện: Lê Văn Anh

6


Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :
3 x − 2 = 1
3 x − 2 = 19
3 x − 2 = −1
3 x − 2 = −19




(I) 3 y − 5 = 19 ; (II) 3 y − 5 = 1 ; (III) 3 y − 5 = −19 ;(IV) 3 y − 5 = −1

Hệ (I) &(II) có nghiệm là (x=1;y=8) và (x=7;y=2)
Hệ (III) & (IV) không có nghiệm nguyên
Vậy PT (2) có các nghiệm nguyên là: (x=1;y=8) & (x=7;y=2)
Nhận xét: Nếu phương trình có dạng axy+bx+cy=d với a,b,c,d ⊂ Z ,a ≠ 0 thì
để đưa về PT dạng tích ta nhân cả hai vế của PT với a
Thí dụ 3:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
x2 + x+ 1 = xy - y (3)
Lời giải:
x2 + x + 1=xy - y
⇔ (x2-x)+(2x-2)+3=y(x-1)

⇔ x(x-1)+2(x-1)-y(x-1)=-3
⇔ (x-1)(y-x-2)=3

Vì x nguyên dương nên x-1 là số tự nhiên mà 3=3.1 nên có 2 khả năng xảy ra:
x − 1 = 3

(I)  y − x − 2 = 1

x − 1 = 1

; (II)  y − x − 2 = 3

Hệ (I) & (II) có nghiệm nguyên dương là (x=4;y=7) & (x=2; y=7). Vậy PT
(3) có 2 nghiệm nguyên dương là 2 nghiệm trên.

Chú ý: Ta có thể giải phương trình trên bằng phương pháp sử dụng tính chất
x2 + x +1
3
= x+2+
x − 1 , từ đó ta thấy
chia hết như sau: Biểu thị y theo x ta được y= x − 1

y nguyên khi x-1 là ước của 3 (xem phương pháp 3)

Người Thực hiện: Lê Văn Anh

7


Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

Thí dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
x2(x+2y)-y2(y+2x)=1991

(4)

Lời-giải:
x 2(x+2y)-y2(y+2x)=1991
⇔ x3+2x2y-y3-2xy2=1991
⇔ (x3-y3)+(2x2y-2xy2)=1991
⇔ (x-y)(x2+xy+y2)+2xy(x-y)=1991
⇔ (x-y)(x2+3xy+y2)=1991(1)

Vì x,y nguyên dương nên x2+3xy+y2 >0 và x2+3xy+y2>x-y.
Từ (1) suy ra x - y nguyên dương. Mà 1991=1.1991=11.181 nên có 2 trường hợp:
x − y = 1
 x − y = 11
 2
 2
2
2
(I)  x + 3xy + y = 1991 và (II)  x + 3xy + y = 181

Giải các hệ PT trên với nghiệm nguyên dương ta được (x=12;y=1), đó là
nghiệm nguyên dương của PT (4)
Các bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình :
a,

xy - 2x + 3y = 27

b,

3xy + x + y = 17

c,

3x2 + 10xy + 8y2 = 96

d,

x3 - y3 = 91

Bài 2: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và
số đo diện tích bằng số đo chu vi.
Phương pháp 2: Sắp thứ tự các ẩn

Người Thực hiện: Lê Văn Anh

8


Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

Nếu các ẩn x, y, z, ... có vai trò bình đẳng, ta có thể giả sử x ≤ y ≤ z ≤ ...,để tìm
các nghiệm thoả mãn điều kiện này. Từ đó, dùng phép hoán vị để suy ra các nghiệm
của phương trình đã cho.
Thí dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
x + y + z = xyz

(5)

Lời giải :
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình , trước hết ta xét
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do

x≤ y≤ z.

x≤ y≤z

⇒ xyz = x + y + z ≤ 3z ⇒ xy ≤ 3 ⇒ xy ∈ {1;2; 3}

Nếu xy =1 suy ra x = y = 1, thay vào (5) ta có : 2 + z = z, vô lí.
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1và y = 2, thay vào (5), suy ra z = 3.
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1và y = 3, thay vào (5), suy ra z = 2.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (5) là các hoán vị của (1; 2; 3).
1 1 1
+ + =2
x
y z
Thí dụ 6: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
(6)

Lời giải: Do vai trò bình đẳng x,y,z, trước hết xét x ≤ y ≤ z .
1 1 1
1
3
+ + ≤ 3.
≤
x , suy ra x 2 , suy ra x=1.

Ta có: 2 = x y z

Thay x=1 vào (6) ta có :
1 1
1 1 2
+ +1 = 2 ⇒ 1 = + ≤ ⇒ y ≤ 2
y z
y z y

Người Thực hiện: Lê Văn Anh

9


Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

Suy ra: y = 1

⇒

1
=0
z
(vô lí)

hoặc y = 2

⇒

1 1

= ⇒z=2
z 2

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (6) là các hoán vị của (1;2;2).
Bài tập áp dụng:
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
a,

x + y + 1 = xyz

b,

y3 + 7x = x3 + 7y

c,

xy + yz + zx = xyz + 2

d,

1 1 1
1
+ + =
x y z 1995

Bài 4: Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên dương:
1
1
1
+

+ 2 =1
2
xy y
x

Phương pháp 3: Sử dụng tính chất chia hết:
Phương pháp này sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình
vô nghiệm hoặc tìm nghiệm của phương trình.
Thí dụ 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x2 - 2y2 = 5

(7)

Lời giải: Từ PT (7) suy ra x phải là số lẻ. Thay x = 2k + 1 (k là số nguyên)
vào (7) ta được:
4k2 + 4k + 1 - 2y2 = 5
⇔ 2(k2+k-1) = y2, suy ra y2 là số chẵn, suy ra y là số chẵn.

Đặt y = 2t (t là số nguyên), ta có:
2(k2+k-1) = 4t2
⇔ k(k+1) = 2t2 + 1
Người Thực hiện: Lê Văn Anh

(**)
10


Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

Nhận xét: k(k+1) là số chẵn, 2t2+1 là số lẻ, suy ra PT (**) vô nghiệm.
Vậy PT (7) không có nghiệm nguyên.

Thí dụ 8: Tìm nghiệm nguyên của PT: xy + x - 2y = 3 (8)
Lời giải: Ta có (8) tương đương với y(x - 2) = -x + 3
Vì x = 2 không phải là nghiệm của PT nên (8) tương đương với
− x+3
1
⇔ y = −1 +
x−2
y= x − 2

Ta thấy: y là số nguyên khi x-2 là ước của 1, từ đó suy ra x-2=1 hoặc
x - 2 = - 1 suy ra x = 1 hoặc x = 3
Với x = 1 thì y = -1 - 1= - 2
Với x = 3 thì y = -1 + 1=0
Vậy PT (8) có nghiệm nguyên là (1;-2) và (3;0)


Chú ý: Có thể dùng phương pháp 1 để giải bài toán này, nhờ đưa PT về
dạng:
(x-2)(y+1)=1.
Thí dụ 9: Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình:

y2 - 2x2 = 1 (9)

Lời giải: PT (9) tương đương với PT : y2 = 2x2 + 1, suy ra y2 là lẻ, suy ra y lẻ.
Đặt y = 2k +1, thay vào PT ta được:
(2k+1)2=2x2 + 1
⇔ 4k2+4k+1=2x2+1
⇔ x2 =2k2+2k

Từ đó suy ra x2 là chẵn, suy ra x chẵn, mà x là số nguyên tố nên x =2, suy ra y2 =9,

suy ra y = 3
Vậy PT (9) có nghiệm nguyên tố là (2;3)
Bài tập áp dụng:
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
a,

x2 - 3y2 = 17

Người Thực hiện: Lê Văn Anh

11


Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

b,

3x2 + 5y2 = 12

c,

xy + 3x – y = 38

d,

19x2 + 28y2 = 729

Phương pháp 4: Đưa về phương trình về dạng:
A2 + B2 + C2 +...= 0
Thí dụ 10: Tìm nghiệm nguyên của PT: (x – 1)(y + 1) = (x + y)2 (10)

Lời giải:

(x – 1)(y + 1) = (x + y)2

Ta có (x+y)2= [ ( x − 1) + ( y + 1)] =(x-1)2+(y+1)2+2(x-1)(y+1)
2

Nên PT (10) tương đương với PT
(x – 1)2 + (y + 1)2 + 2(x – 1)(y + 1)=(x – 1)(y + 1)
⇔ (x-1)2+(y+1)2+(x-1)(y+1)=0
2

1


(
x
−
1
)
+
( y + 1)  3

2
 + 4 (y+1)2=0
⇔

y +1 = 0



1
( x − 1) + 2 ( y = 1) = 0
⇔

 y = −1

⇔ x = 1

Vậy PT (10) có nghiệm nguyên là (1;-1)
Thí dụ 11: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + 4 = 0

(11)

Lời giải:
x 2+y2+z2-xy-3y-2z+4=0
⇔ x2-xy+y2+z2-3y-2z+4=0

Người Thực hiện: Lê Văn Anh

12


Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :
1
3
y)
⇔ (x- 2 2+ 4 y2-3y+z2-2z+4=0

1

y2
y)
⇔ (x- 2 2+3( 4 -y)+z2-2z+4=0
1
y
y)
−1
⇔ (x- 2 2+3( 2
)2+(z-1)2=0

y

x − 2 = 0

y
 −1 = 0
2
z − 1 = 0

⇔

x = 1

y = 2

⇔ z = 1

Vậy PT (11) có nghiệm nguyên là (1;2;1)
Bài tập áp dụng:
Bài 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

a,

2x2 + y2 - 2xy + 2y -6x + 5 = 0

b,

x2 - 4xy + 5y2 =16

Bài 8: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
a,

x2y2 + 2x2 - 2x2y - 2x + 1 = 0

b,

2x2 + 2y2 - 8x - 8y + 16 = 0

Phương pháp 5: Dùng các bất đẳng thức:
2
+ Dùng bất đẳng thức A ≥ 0

+ Dùng bất đẳng thức Côsi :

Người Thực hiện: Lê Văn Anh

13


Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

Với a,b dương có

a+b
≥ ab
2
, dấu “=” xảy ra khi a=b.

+ Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
(a1b1+a2b2+...+anbn) ≤ (a12+a22+...+an2)(b12+b22+...+bn2)
a
a1 a 2
=
= ... = n
bn
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b1 b2

Thí dụ 12: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – xy + y2 = 3 (12)
y
3y2
Lời giải: x2 – xy + y2 = 3 ⇔ (x- 2 )2=3- 4

Vì

y
3y2
(x- 2 )2 ≥ 0 , suy ra 3- 4 ≥ 0, suy ra -2 ≤ y ≤ 2

Lần lượt thay y = -2; -1; 0; 1; vào PT(12) để tính x ta được các nghiệm
nguyên của PT là:
(-1;-2); (1;2); (-2;-1); (2;1); (-1;1); (1;-1)

Thí dụ 13: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
(x2 + 1)(y2 + 1) = 4xy (13)
Lời giải :
Theo bất đẳng thức Côsi ta thấy
2
x2+1 ≥ 2 x hay x2+1 ≥ 2x , dấu bằng xảy ra khi x2=1, suy ra x=1

2
y2+1 ≥ 2 y hay y2+1 ≥ 2y , dấu bằng xảy ra khi y2=1, suy ra y=1

Do vậy (x2+1)(y2+1) ≥ 4xy, dấu bằng xảy ra khi x=1,y=1
Vậy PT (13) có nghiệm nguyên dương là (1;1)
Bài tập áp dụng:
Người Thực hiện: Lê Văn Anh

14


Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

Bài 9: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
a,

b,
c,

(x + y + 1)2=3(x2 + y2 + 1)
x + y −1 + z − 2 =

1

( x + y + z)
2

2x2 + 4x = 19 - 3y2

III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI.
Qua một năm học áp dụng phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên tại
trường THCS & THPT Bàu Hàm nơi tôi công tác, tôi nhận thấy từ bước đầu các
em lúng túng cảm thấy rất sợ khi gặp các bài toán giải phương trình nghiệm nguyên
.Do các em chưa hiểu bài, chưa biết phương pháp giải cho từng dạng bài thì bây giờ
các em có sự tiến bộ rõ rệt. Các em cảm thấy hứng thú khi giải loại toán này. Khi
giải các em trình bày rõ ràng, nhiều em có sáng tạo trong khi giải dẫn đến nhiều
cách giải hay, ngắn gọn và chính xác.
Kết quả khảo sát của 10 học sinh được chọn ra từ 40 học sinh lớp 8A 1 ( lớp
chọn) và 39 học sinh lớp 9A1 ( lớp chọn) được chọn khảo sát ban đầu, đạt được cụ
thể như sau:
Sai kiến thức Sai phương pháp
Sai cả bài
SL
%
SL
%
SL
%
8A1
10
0
0
1
10

2
20
9A1
39
2
5.1
1
2.6
2
5.1
IV: ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG.
Lớp Tổng số

Đúng cả bài
SL
%
7
70
34
87.2

Từ việc nghiên cứu đề tài tôi nhận thấy rằng không những áp dụng ở lớp 8 &
9 mà có thể áp dụng ở các khối khác theo mức độ phù hợp. Tôi nghĩ rằng với những
phương pháp tương tự chúng ta có thể nghiên cứu thành bộ sưu tập các phương
pháp dạy toán từ đơn giản đến phức tạp của nhiều dạng toán cơ bản.
Vấn đề phương pháp giải toán ở bậc THCS hiện nay đang là vấn đề đáng
quan tâm trong công tác giáo dục đào tạo. Việc tìm ra phương pháp tối ưu nhằm
đưa chất lượng dạy và học toán đi lên là vấn đề cần thiết và quan trọng. Từ việc
Người Thực hiện: Lê Văn Anh

15


Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

nghiên cứu đề tài phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên tôi thấy thông qua
các hoạt động học toán các em có thói quen suy nghĩ, nhìn nhận vấn đề một cách
khoa học, cách khai thác, phát triển bài toán đó thành các bài toán cơ bản nâng cao.
Với mong muốn ngày càng nâng cao chất lượng giảng dạy, những kết quả
đem lại chưa hẳn đã thành công. Chắc chắn còn nhiều phương pháp để giải phương
trình nghiệm nguyên và còn nhiều ví dụ hấp dẫn khác. Song với sự giúp đỡ nhiệt
tình của bạn bè đồng nghiệp cũng như của học sinh trong quá trình giảng dạy phần
nào đã khích lệ tôi rất nhiều khi bắt tay vào viết đề tài này. Trong đề tài chắc hẳn sẽ
còn nhiều thiếu sót, rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và đồng
nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn./.
V: TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1. Toán tuổi thơ.
2. Tài liệu BDTX.
3. Toán phát triển của Vũ Hữu Bình.
4. Em muốn giỏi toán 9 của Võ Đại Mau.
5. Toán bồi dưỡng học sinh đại số 9 của
“Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều”
6. Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8 &9 của
“Nguyễn Ngọc Đạm – Nguyễn Việt Hải – Vũ Dương Thụy”
7. Toán nâng cao chọn lọc đại số THCS của
“Nguyễn Vĩnh Cận- Lê Khắc Bảo- Vũ Thế Hựu
Lê Đình Phi- Phan Thanh Quang- Phạm Đan Quế”
Trảng Bom. Ngày 15 tháng 5 năm 2012
Người thực hiện.

Người Thực hiện: Lê Văn Anh

16


Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

Lê Văn Anh

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Trường THCS & THPT Bàu Hàm
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Trảng Bom., ngày20 tháng 5 năm 2012

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2011 – 2012
–––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm:
“Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên”
Họ và tên tác giả: Lê Văn Anh

Chức vụ: Phó Hiệu Trưởng

Đơn vị: Trường THCS & THPT Bàu Hàm
Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán ................... . 

- Phương pháp giáo dục



- Lĩnh vực khác: ........................................................

Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị 

Trong Ngành 

1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây)
-

Có giải pháp hoàn toàn mới

-

Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có




2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)
Người Thực hiện: Lê Văn Anh

17

Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên :

-

Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng
trong toàn ngành có hiệu quả cao 
-

Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại
đơn vị có hiệu quả 
3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Tốt 
Khá 
Đạt 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ
đi vào cuộc sống:
Tốt 
Khá 
Đạt 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả
trong phạm vi rộng:
Tốt 
Khá 
Đạt 

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)

Người Thực hiện: Lê Văn Anh

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)

18