skkn một số bài TOÁN GIAO điểm của đồ THỊ hàm số bậc BA với một ĐƯỜNG THẲNG

Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong quá trình giảng dạy chương trình lớp 12, bồi dưỡng học
sinh giỏi, và ôn thi đại học tôi nhận thấy các bài toán tìm tham số m để
đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện cho trước là một mảng toán tương đối
khó đối với học sinh, trong đó có dạng toán về giao điểm của đồ thị hàm
số bậc ba với một đường thẳng.
Để góp phần giúp các em có thêm tài liệu tham khảo, hiểu sâu hơn
và hệ thống được các dạng bài tập liên quan đến dạng toán này vì thế tôi
đã chọn đề tài “MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ
HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG”
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
CỦA ĐỀ TÀI
1. Thuận lợi
Thường xuyên được phân công dạy lớp 12, bồi dưỡng học sinh
giỏi khối 12, cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi máy tính cầm tay và
thương xuyên ôn thi đại học cho các em nên tôi thường xuyên tiếp xúc
và tìm hiểu nghiên cứu loại toán này.
2. Khó khăn
Mới chỉ đưa ra một số dạng toán thường gặp thông qua các ví dụ,
chưa giải được các bài toán tổng quát.
3. Số liệu thống kê
Trước khi thực hiện chuyên đề học sinh khá lúng túng trong việc
giải cũng như lựa chọn phương pháp phù hợp để giải bài toán dạng này.
III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận:
- Thông qua qua qua trình dạy học tôi đã tìm tòi góp nhặt,
nghiên cứu các dạng bài toán liên quan.
- Trong thực tiễn tôi đã vận khá tốt các nội dung củ chuyên
đề. Từ đó hình thành cơ sở nghiên cứu chuyên đề này.

2. Nội dung , biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
- Nội của đề tài được nghiên cứu trên cơ sở lí thuyết và bài tập mà
các em đã được học trong chương trình THPT
- Đề tài cho các em thấy được các dạng bài toán có chứa tham số
về giao điểm của hàm số bậc ba với một đường thẳng.Giúp cho học sinh
tự phát hiện và lĩnh hội kiến thức.
Phương pháp 1. Nhẩm một một nghiệm của phương trình hoành
độ giao điểm.

Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

Tr. 1


Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

C : y = ax3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)
Cho hàm số bậc ba ( )
và đường thẳng

( d) : y = a'x +b'
Đồ thị của hai hàm số (C) và (d) cắt nhau tại k điểm khi và chỉ khi
phương trình hoành độ giao điểm của chúng có k nghiệm phân biệt, và
nghiệm đó chính là hoành độ của các giao điểm.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d), ta có:
ax3 + bx 2 + cx + d = a ' x + b ' ⇔ ax 3 + bx 2 + ( c − a ') x + d − b ' = 0

( a ≠ 0 ) ( *)

Nếu phương trình (*) có một nghiệm là x0 thì

(*) ⇔ ( x − x0 ) ( a1 x 2 + b1 x + c1 ) = 0
 x = x0
⇔ 2
 a1 x + b1 x + c1 = 0 ( **)

1/ Phương trình (*) có 1 nghiệm ⇔ phương trình (**) vô nghiệm
hoặc có nghiệm kép x0
2/ Phương trình (*) có 2 nghiệm ⇔ phương trình (**) có một nghiệm
kép khác x0 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là
x0

3/ Phương trình (*) có 3 nghiệm ⇔ phương trình (**) có hai nghiệm
phân biệt khác x0
Các ví dụ:
VÍ DỤ 1: Cho hàm số

y = x 3 − ( m + 1) x 2 + ( m 2 + m − 3 ) x + 3 − m 2

có đồ thị

(C) .Tìm m để đồ thị (C) cắt trục hoành Ox tại
a/ 3 điểm phân biệt
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

Tr. 2


Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

b/ 2 điểm

c/1 điểm
Định hướng.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là.
x 3 − ( m + 1) x 2 + ( m 2 + m − 3) x + 3 − m 2 = 0

(1)

Nhận xét: x = 1 là một nghiệm của phương trình (1)
Nếu ngay từ đầu các em không nhận thay x=1 là một nghiệm của
phương trình (1) thì các em có thể làm như sau:
Cho m nhận một số giá trị cụ thể, thay từng giá trị của m vào
PT(1), dung máy tính bỏ túi giải phương trình bậc ba nếu phương trình
nào cũng có chung một nghiệm thì đó có thể là một nghiệm cuả PT (1)
Chẳng hạn:
3
2
Cho m= 0 thì PT(1) trở thành x − x − 3x + 3 = 0 có nghiệm x = 1; x ≈ ±1,7
3
2
Cho m=1 thì PT(1) trở thành x − 2 x − x + 2 = 0 có nghiệm x = ±1; x = 2

Ta nhận thấy với hai giá trị m khác nhau thì ta được hai phương trình cụ
thể đều có nghiệm chung là x =1. Vậy x= 1 có thể là một nghiệm của
phương trình (1)
Để chắc chắn x= 1 là nghiệm của (1) hay không ta cần thay x = 1 vào
phương trình (1), nếu thoả mãn thì x = 1 là một nghiệm cần tìm của
phương trình (1). Khi đó ta giải bài toán như sau.
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là.
x 3 − ( m + 1) x 2 + ( m 2 + m − 3) x + 3 − m 2 = 0

(1)

Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình (1) , ta có :
Pt (1) ⇔ ( x − 1) ( x 2 − mx + m 2 − 3) = 0
x =1
⇔ 2
2
 x − mx + m − 3 = 0
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

( 1')
Tr. 3


Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

2
2
∆ = 12 − 3m 2
Đặt g ( x ) = x − mx + m − 3 , g ( x)

Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục
hoành nên số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của (C) và trục hoành
Ox
a/ Đồ thị (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có 3
nghiệm phân biệt , hay phương trình (1’) có hai nghiệm phân biệt khác 1
2
 −2 < m < 2
 ∆ g ( x ) > 0

12 − 3m > 0
⇔
⇔
⇔ m ∈ ( −2; 2 ) \ { −1}

 2
m
≠
−
1;
m
≠
2
g
1
≠
0
m
−
m
−
2
≠
0
(
)





⇔

b/ Đồ thị (C) cắt Ox tại 2 điểm ⇔ Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm ,
hay phương trình (1’) có nghiệm kép khác 1 hoặc có 2 nghiệm phân biệt
trong đó có một nghiệm là 1
+ Phương trình (1’) có nghiệm kép khác 1
∆ g ( x ) = 0
12 − 3m 2 = 0
 m = 2; m = −2

⇔
⇔
⇔ m = −2
 −m
≠ 1 m ≠ 2
m ≠ 2
−
⇔ 2
.

+ Phương trình (1’) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là 1
∆ g ( x ) > 0
12 − 3m2 > 0
 −2 < m < 2
⇔
⇔
⇔
⇔ m = −1
m = 2; m = −1 m = 2; m = −1
 g ( 1) = 0

Vậy m = -1 ; m = -2 thì (C) cắt Ox tại 2 điểm
c/ Đồ thị (C) cắt Ox tại 1 điểm ⇔ Phương trình (1) có đúng 1 nghiệm ,
hay phương trình (1’) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép là x = 1
∆ g ( x) < 0
12 − 3m 2 < 0

 m ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞)

∆ =0
⇔   g ( x )
⇔  12 − 3m 2 = 0 ⇔ 


m = 2
 − − m = 1  m = 2
  2

Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

Tr. 4


Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Vậy với

m ∈ ( −∞; −2 ) ∪ 2; +∞ )

thì (C) cắt Ox tại 1 điểm .

3
2
VÍ DỤ 2: Tìm m để đồ thị hàm số y = x + 3x + ( m + 2 ) x + 2m cắt trục

hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm.
Bài giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là
x 3 + 3 x 2 + ( m + 2 ) x + 2m = 0

( 1)

 x = −2
⇔ ( x + 2) ( x2 + x + m ) = 0 ⇔  2
 x + x + m = 0 ( 1' )

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm
⇔ phương trình (1) có 3 nghiệm âm phân biệt
⇔ phương trình (1’) có 2 nghiệm âm phân biệt khác -2
 ∆( 1') = 1 − 4m > 0

S = − 1 < 0
m < 0
 ( 1')
2
⇔

 m ≠ −2
 P( 1') = m < 0


2

⇔ ( −2 ) + ( −2 ) + m ≠ 0

VÍ DỤ 3: (KHỐI A 2010)
3
2
Cho hàm số y = x − 2 x + ( 1 − m ) x + m (14), m là tham số

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b/ Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có
2
2
2
hoành độ x1 , x2 , x3 thoả mãn điều kiện x1 + x2 + x3 < 4

Bài giải:

Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

Tr. 5


Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

b/ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C) và trục hoành
là:
x 3 − 2 x 2 + ( 1 − m ) x + m = 0 ( 1)
x = 1
⇔ 2

 x − x − m = 0 ( 1' )

Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi
phương trình (1’) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
2
Kí hiệu g ( x ) = x − x − m và x1 = 1, x2 , x3 là các nghiệm của (1’)

Yêu cầu bài toán thoả mãn khi và chỉ khi

1
1


1 + 4m > 0
∆ g ( x ) > 0
m > − 4
m > − 4
 1




− < m < 1
⇔ m ≠ 0
⇔ m ≠ 0 ⇔  4
 g ( 1) ≠ 0 ⇔  − m ≠ 0
 2




 m ≠ 0
2
2
 x2 + x3 < 3 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 < 3 1 + 2m < 3  m < 1



3
2
2
3
VÍ DỤ 4: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = x − 3mx + 3m x − m (C)

luôn cắt (d): y=3x − 3m tại 3 điểm phân biệt . (m là tham số)
Định hướng:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d), ta có:
x 3 − 3mx 2 + 3m 2 x − m3 = 3 x − 3m
⇔ x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − m3 + 3m = 0

Đối với bài này khi cho m nhận một số giá trị cụ thể thì ta không tìm
được nghiệm chung x0 của các phương trình tương ứng như những ví
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

Tr. 6


Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

dụ ở trên. Khi đó ta thử nhẩm nghiệm của PT hoành độ giao điểm
theo m,

Chẳng hạn trong ví dụ 4 ta thấy x = m là một nghiệm của phương
trình.
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:
x 3 − 3mx 2 + 3m 2 x − m3 = 3x − 3m

(1)

⇔ x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − m3 + 3m = 0
⇔ ( x − m)( x 2 − 2mx + m 2 − 3) = 0
x = m
⇔ 2
2
 x − 2mx + m − 3 = 0

(2)

2
2
Đặt g ( x) = x − 2mx + m − 3

Ta có ∆ = 3 > 0, ∀m
Và g(m) = −3 ≠ 0, ∀m
Suy ra pt(2) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác m, khi đó pt(1) luôn có
ba nghiệm phân biệt. Vậy (C) luôn cắt (d) tại ba điểm phân biệt.
(đpcm)
VÍ DỤ 5: Tìm m để đồ thị hàm số

y = x 3 − 2mx 2 + ( 2m 2 − 1) x + m ( 1 − m 2 )

cắt

trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành dương.
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:
x 3 − 2mx 2 + ( 2m 2 − 1) x + m ( 1 − m 2 ) = 0 (1)
⇔ ( x − m)( x 2 − mx + m 2 − 1) = 0
x = m
⇔ 2
2
 x − mx + m − 1 = 0

(2)

2
2
Đặt g ( x) = x − mx + m − 1

Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

Tr. 7


Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Theo yêu cầu bài toán thì m < 0 và PT(2) phải có hai nghiệm phân
biệt âm, khác m
m < 0
m < 0



m < 0
2
∆ g ( x ) > 0
4 − 3m > 0

2
2

 2
 2
⇔  P > 0 ⇔  m − 1 > 0 ⇔ −
⇔−
< m < −1
3
3
S < 0
m < 0
 3


m < −1 ∨ m > 1
 g(m) ≠ 0 m 2 − 1 ≠ 0

3
2
VÍ DỤ 6: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − ( 2m + 1) x − 9 x cắt trục hoành tại

3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Giải:
3
2
Đồ thị hàm số y = x − ( 2m + 1) x − 9 x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

có hoành độ lập thành một cấp số cộng ⇔ phương trình
x 3 − ( 2m + 1) x 2 − 9 x = 0 ( 1)

có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số

cộng.
Phương trình

x = 0
x 3 − ( 2m + 1) x 2 − 9 x = 0 ⇔ x  x 2 − ( 2m + 1) x − 9  = 0 ⇔  2
 x − ( 2m + 1) x − 9 = 0 ( 1' )

Phương trình (1’) có

x1.x2 =

c
= −9 < 0
a
nên luôn có 2 nghiệm trái dấu

Do đó hoành độ giao điểm của đồ thị với Ox sẽ là x1 < x0 = 0 < x2

Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

Tr. 8


Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Để x1 , x0 , x2 lập thành 1 cấp số cộng

⇔ x1 + x2 = 2 x0 ⇔ 2m + 1 = 0 ⇔ m = −

VÍ DỤ 7: Tìm m để đồ thị hàm số

1
2

y = f ( x) = x 3 − 3mx 2 + 2m(m − 4) x + 9m 2 − m ( Cm )

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số
cộng.
Định hướng: Đối với bài toán này nếu xét phương trình hoành độ giao
điểm thì ta không dễ dàng tìn ra các nghiệm của phương trình, vì vậy ta
có thể sử dụng tính chất của cấp số cộng để tìm ra m, sau đó thay m cụ
thể vào hàm số để kiểm tra lại và nhận giá trị m thoả mãn yêu cầu bài
toán.
Chú ý: Nếu đa thức

y = f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )

có các nghiệm là

x1; x2 ; x3 thì y = f ( x) = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 )

Giải:
Giả sử (Cm ) cắt Ox tại ba điểm phân biệt x1; x2 ; x3 khi đó:
x3 − 3mx 2 + 2m(m − 4) x + 9m 2 − m = ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 )
⇔ x3 − 3mx 2 + 2m(m − 4) x + 9m 2 − m = x 3 − ( x1 + x2 + x3 ) x 2 + ( x1x2 + x2 x3 + x3 x1 ) x − x1x2 x3
Từ đó ta có:
x1 + x2 + x3 = 3m
Vì x1; x2 ; x3 tạo thành cấp số cộng nên x1 + x3 = 2 x2 khi đó:
x1 + x2 + x3 = ( x1 + x3 ) + x2 = 3x2 = 3m ⇔ x2 = m
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

Tr. 9


Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Vì x2 là hoành độ giao điểm nên
f ( x2 ) = 0 ⇔ m 2 − m = 0 ⇔ m = 0; m = 1
3
Với m = 0 thì f ( x ) = x = 0 ⇔ x = 0 (loại)

Với m = 1 thì
f ( x) = x 3 − 3x 2 − 6 x + 8 = 0

(

)

⇔ ( x − 1) x 2 − 2 x − 8 = 0

x = 1

x −1 = 0

⇔ 2
⇔  x = −2
x − 2x − 8 = 0
x = 4

Ta thấy các số: -2 ; 1 ; 4 tạo tành cấp số cộng với công sai bằng 3
Vậy m = 1 thoả mãn yêu cầu bài toán.
3
2
VÍ DỤ 8: Tìm m để đồ thị hàm số y = x + ( 5 − m ) x + ( 6 − 5m ) x − 6m ( Cm )

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số
nhân.
Giải:
3
2
Đồ thị hàm số y = x + ( 5 − m ) x + ( 6 − 5m ) x − 6m ( Cm ) cắt trục hoành tại 3

điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân ⇔ phương trình
x 3 + ( 5 − m ) x 2 + ( 6 − 5m ) x − 6m

=0 (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành một

cấp số nhân.

Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

Tr. 10

Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Phương trình

x 3 + ( 5 − m ) x 2 + ( 6 − 5m ) x − 6m = 0 ⇔ ( x + 2)  x 2 + ( 3 − m ) x − 3m  = 0
 x = −2
x + 2 = 0
⇔ 2
⇔  x = −3
 x + ( 3 − m ) x − 3m = 0 ( 1' )
 x = m

Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì

m ≠ { −3; −2}

Trường hợp 1 : m < −3 < −2
Để dãy số m; −3; −2 lập thành 1 cấp số nhân thì
m.(−2) = ( −3) ⇔ m = −9 / 2
2

Trường hợp 2 : −3 < m < −2
Để dãy số −3; m; −2 lập thành 1 cấp số nhân thì
−3.(−2) = m 2 ⇔ m 2 = 6 ⇔ m = ± 6

Trường hợp 2 : −3 < −2 < m
Để dãy số −3; −2; m lập thành 1 cấp số nhân thì
−3.m = ( −2 ) ⇔ m = −4 / 3

2

Vậy với

{

} thoả mãn yêu cầu bài toán.

m = −9 / 2; ± 6; −4 / 3

VÍ DỤ 9: Tìm m để đồ thị hàm số

y = f ( x) = x3 − ( 3m + 1) x 2 + ( 5m + 4 ) x − 8 ( Cm )

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số
nhân.
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

Tr. 11


Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Định hướng: Đối với bài toán này nếu xét phương trình hoành độ giao
điểm thì ta không dễ dàng tìm ra các nghiệm của phương trình, vì vậy ta
có thể sử dụng tính chất của cấp số nhân ,tìm ra m, sau đó thay m cụ thể
vào hàm số để kiểm tra lại và nhận giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán.
Giải:
Giả sử (Cm ) cắt Ox tại ba điểm phân biệt x1; x2 ; x3 khi đó:
x3 − ( 3m + 1) x 2 + ( 5m + 4 ) x − 8 = ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 )

⇔ x3 − ( 3m + 1) x 2 + ( 5m + 4 ) x − 8 = x3 − ( x1 + x2 + x3 ) x 2 + ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) x − x1x2 x3
Từ đó ta có:
x1.x2 .x3 = 8
x . x = ( x2 )
Vì x1; x2 ; x3 tạo thành cấp số nhân nên 1 3
khi đó:
2

x1.x2 .x3 = ( x2 ) = 8 ⇔ x2 = 2
3

Vì x2 là hoành độ giao điểm nên
f ( x2 ) = f (2) = 0 ⇔ 2(2 − m) = 0 ⇔ m = 2
Với m = 2 thì
f ( x ) = x 3 − 7 x 2 + 14 x − 8 = 0

(

)

⇔ ( x − 1) x 2 − 6 x + 8 = 0

x = 1
x −1 = 0

⇔ 2
⇔ x = 2
x − 6x + 8 = 0
x = 4


Ta thấy các số: 1 ; 2 ; 4 tạo tành cấp số nhân với công bội bằng 2
Vậy m = 2 thoả mãn yêu cầu bài toán.
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

Tr. 12


Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Phương pháp 2. Sử dụng đồ thị hàm số bậc 3 và vị trí cực trị.
Nếu trường hợp phương trình hoành độ giao điểm không dễ dàng
trong việc nhẩm nghiệm hay bài toán không có các điều kiện phức tạp về
toạ độ giao điểm thì ta có thể sử dụng đồ thị hàm số bậc ba để giải quyết
bài toán.
C : y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)
Giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba ( )
và

đường thẳng ( d ) : y = a ' x + b ' đưa về bài toán xét giao điểm của đồ thị
C ') : y = ax 3 + bx 2 + ( c − a ') x + d − b '
(
hàm số

(a ≠ 0)

với trục hoành.

Hai đồ thị của hai hàm số (C) và (d) cắt nhau tại k điểm khi và chỉ
khi đồ thị hàm số (C’) cắt trục hoành tại k điểm.

Bảng tóm tắt dạng đồ thị hàm số :

y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )

a>0
y’ = 0 có hai

y

nghiệm phân biệt

I

2
⇔ ∆ = b − 4ac > 0

0

a<0
y

x

0

I

x

y’ = 0 có nghiệm

kép
2
⇔ ∆ = b − 4ac = 0

y’ = 0 vô nghiệm
2
⇔ ∆ = b − 4ac < 0

y

y
I

0

I

x

0

x

1/ Đồ thị (C) cắt trục hoành tại 1 điểm

Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

Tr. 13

Chuyờn ờ: MT S BI TON GIAO IM CA TH HM S BC BA VI MT NG THNG

f khoõng coự cửùc trũ
f coự 2 cửùc trũ

yCẹ .yCT > 0

y ' 0

y ' > 0
(h.1b)
y .y > 0
Cẹ CT

(h.1a)

2/ th (C) ct trc honh ti 2 im
f coự 2 cửùc trũ

yCẹ .yCT = 0

> 0
y'
yCẹ .yCT = 0

(h.2)

3/ th (C) ct trc honh ti 3 im
f coự 2 cửùc trũ

yCẹ .yCT < 0


>0

y'
yCẹ .yCT < 0

(h.3)

y

y

(C)

(C)
yCẹ
A
x0

O

(h.1a)

x

A
x0

y

y

yCT
x1 o

x2

(h.1b)

(C)

(C)
yCẹ

(h.2)
A

A
x0 o

B
x1

x'0

x

yCẹ

B x2
C
x"0
x0 x1 x'0 o
yCẹ

x
(h.3)

(yCT = f(x0) = 0)

4/ th (C) ct trc honh ti 3

im

phõn bit cú honh dng


f ( x ) coự 2 cửùc trũ x1 > 0; x2 > 0

yCẹ .yCT < 0
y(0) < 0

Ngi thc hiờn: Phan Thi Tõm- THPT Xuõn My

(h4)

Tr. 14

x

Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

5/ Đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm

⇔

 f ( x ) coù 2 cöïc trò x1 < 0; x2 < 0

 yCÑ .yCT < 0
 y(0) > 0
(h5)

H.4

H.5

3
VÍ DỤ 10: Tìm m để đồ thị hàm số y = f ( x) = x − 3x + 1 − m cắt trục hoành

Ox : y = 0
a/ Tại 3 điểm phân biệt.
b/ Tại 2 điểm
c/ Tại 1 điểm
Bài giải
Nhận xét:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là
x 3 − 3x + 1 − m = 0

( 4)

Ta không nhẩm được nghiệm của phương trình (4)
3
Giải: y = f ( x) = x − 3x + 1 − m

2
Ta có y ' = 3x − 3

x = 1
y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 3 ⇔ 
 x = −1

Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

Tr. 15


Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Do đó hàm số luôn có cực đại, cực tiểu
a/ Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt , ta có
ycd . yct < 0 ⇔ y ( 1) . y ( −1) < 0 ⇔ ( − m − 1) ( 3 − m ) < 0 ⇔ ( m + 1) ( m − 3 ) < 0 ⇔ −1 < m < 3

b/ Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm,ta có

 m = −1
ycd . yct = 0 ⇔ y ( 1) . y ( −1) = 0 ⇔ ( −m − 1) ( 3 − m ) = 0 ⇔ 
m = 3

c/ Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm, ta có

 m < −1
ycd . yct > 0 ⇔ y ( 1) . y ( −1) > 0 ⇔ ( −m − 1) ( 3 − m ) > 0 ⇔ ( m + 1) ( m − 3 ) > 0 ⇔ 
m > 3

Vì hàm số luôn có cực đại cực tiểu nên không xẩy ra trường hợp hàm số
luôn đồmg biến.
Nhận xét: Ví dụ 10 ta có thể sử dụng phương pháp 3,củng kha đơn giản.
3
2
VÍ DỤ 11: Tìm m để đồ thị hàm số y = f ( x ) = x − x + 18mx − 2m cắt trục

hoành tại 3 điểm phân biệt
Nhận xét:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là
x 3 − x 2 + 18mx − 2m = 0

( *)

Nhận thấy không nhẩm được nghiệm của phương trình (*) này
3
2
Giải: y = f ( x ) = x − x + 18mx − 2m

y ′ = 3 x 2 − 2 x + 18m, ∆′y′ = 1 − 54m

Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

Tr. 16

Chuyờn ờ: MT S BI TON GIAO IM CA TH HM S BC BA VI MT NG THNG

th hm s

y = f ( x ) = x 3 x 2 + 18mx 2m

ct trc honh ti 3 im

phõn bit


f coự 2 cửùc trũ
y .y < 0
Cẹ CT

Ta cú
+ Hm s cú 2 cc tr y = 0 cú 2 nghim phõn bit

y > 0 m <

1
54

2
x 1
y = y( x). ữ+ 12m ữx
9
3 9

+ Ta cú

Gi s x1; x2 l honh ca cỏc im cc tr thỡ x1; x2 l nghim ca
phng trỡnh y= 0 hay y '( x1 ) = 0; y '( x1 ) = 0
Suy ra
2

y1 = 12m ữx1
9

2

y2 = 12m ữx2
9


2

2

2
2


y1. y1 < 0 12m ữ x1 x2 < 0 12m ữ 6m < 0
9
9


m<0

Do ú

Vy m < 0 tho món yờu cu bi toỏn.
Nhn xột : Trong vớ d ny nu tớnh ycd . yct theo vớ d 7 thỡ quỏ trỡnh tớnh
toỏn tr nờn phc tp, vỡ th ta s dng tớnh cht ca im cc tr ôNu
hm s cú o hm trờn khong (a;b) v t cc i hoc cc tiu ti

Ngi thc hiờn: Phan Thi Tõm- THPT Xuõn My

Tr. 17


Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

x0 thì f '( x0 ) = 0 » chú ý 3, trang 14 sgk giải tíc12, chương trình chuẩn
xuất bản năm 2008. Nhà xuất bản BGD.
3
2
2
VÍ DỤ 12: Tìm m để đồ thị hai hàm số y= f ( x ) = x − 3mx + 3m x + 1 ( Cm )

và đường thẳng ( dm ) y = 3x + m cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành
2

độ dương.
Bài giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
x 3 − 3mx 2 + 3m 2 x + 1 = 3x + m 2

⇔ x 3 − 3mx 2 − 3 ( 1 − m 2 ) x + 1 − m2 = 0

Đặt

y = g ( x) = x 3 − 3mx 2 − 3 ( 1 − m 2 ) x + 1 − m 2

y ' = g '( x) = 3 x 2 − 6mx − 3 ( 1 − m 2 )

( 1)

có đồ thị ( Cm ’)

;

Đồ thị ( Cm ) cắt ( dm ) tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương khi
đồ thị ( Cm ’) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương ⇔

 y = g( x ) coù 2 cöïc trò x1 > 0; x2 > 0

 yCÑ .yCT < 0
 y(0) < 0

∆ 'g ( x ) = ( −3m ) + 9 ( 1 − m 2 ) = 9 > 0, ∀m
2

* Vì

>0 nên hàm số luôn có hai cực trị

x1; x2 với mọi m.

Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

Tr. 18


Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

 x = m −1
y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6mx − 3 ( 1 − m 2 ) = 0 ⇔  1
 x2 = m + 1

* Gọi y1; y2 là các giá trị cực trị thì
y1 = ( m 2 − 3) ( m − 1)

y2 = ( m 2 − 2m − 1) ( m + 1)

m 2 − 3) ( m 2 − 1) ( m 2 − 2m − 1)
Khi đó, yCÑ .yCT = (

Do đó:

( )( )(
)
⇔ m ∈ ( − 3; −1) ∪ ( 1 − 2;1) ∪ ( 3;1 + 2 )

yCÑ .yCT < 0 ⇔ m 2 − 3 m 2 − 1 m 2 − 2m − 1 < 0

1 − m 2 < 0 ⇔ m ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ )
y
(0)

<
0
⇔
*

Vậy

(

) (

m ∈ − 3; −1 ∪

3;1 + 2

) thì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại 3 điểm

phân biệt có hoành độ dương
Chú ý:
′
* Hàm số f không có cực trị ⇔ Phương trình f ( x ) = 0 vô nghiệm hoặc

có nghiệm kép ⇔

∆′f ′( x ) = b 2 − 4ac ≤ 0

′
* Hàm số f có 2 cực trị ⇔ Phương trình f ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔

∆′f ′( x ) = b 2 − 3ac > 0

Phương pháp 3. Phương pháp hàm số
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

Tr. 19


Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Nếu phương trình hoành độ giao điểm F ( x, m ) = 0 biến đổi được về dạng
f ( x) = g ( m)

trong đó:

* f ( x ) là hàm số có đồ thị (C)
* g ( m ) là hàm hằng (phụ thuộc tham số m) có đồ thị là đường thẳng d:
song song trục hoành và đi qua ( 0; g ( m ) )
Khi đó ta có thể giải bài toán như sau:
Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 2: Dựa vào BBT ⇒ Số giao điểm của (C) và d
VÍ DỤ 13: Biện luận theo tham số m số giao điểm của ( Cm ):

y=

1 3
x −x+m
3
và trục hoành Ox .

Bài giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành
1 3
x −x+m =0
3

(*)

Nhận thấy ta không thể nhẩm được nghiệm của phương trình này. Do đó
ta phải dùng phương pháp 2 hoặc phương pháp3. Tuy nhiên ta có thể
nhận xét thấy :
1 3
x3
x −x+m =0⇔ − +x =m
3
Phương trình 3

Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

(**)

Tr. 20


Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

1
g ( x ) = − x3 + x
3

Vì hàm số
(C) không phụ thuộc vào tham số nên hình

dáng của đồ thị của hai hàm số ở hai vế của phương trình (**) ta đều có
thể biết được, từ đó ta suy ra được số giao điểm của chúng.
Ta có thể giải bài toán như sau:
Giải.
Phương trình hoành độ giao điểm là:
1 3
x3
x −x+m =0⇔ − +x =m
3
3

1
g ( x ) = − x3 + x
3
Xét hàm số
(C)

TXD: D = R
x =1
f ′ ( x ) = − x 2 + 1, f ′ ( x ) = 0 ⇔ 
 x = −1
Ta có

Bảng biến thiên:
x

−∞

f ′( x)
f ( x)

-

-1
0

+

1
0

+∞

-

2
3

+∞

−

2
3

−∞

Số giao điểm của ( Cm ) với trục hoành là số giao điểm của đường cong
(C) với đường thẳng y = m
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

Tr. 21


Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Từ bảng biến thiên ta có:

Với

2

m > 3

m < − 2

3 , (C) cắt trục hoành tại 1 điểm

Với

2

m = 3

m = − 2

3 , (C) cắt trục hoành tại 2 điểm

Với

−

2
2
3
3 , (C) cắt trục hoành tại 3 điểm

VÍ DỤ 14: Tìm m để đồ thị hàm số

( C ) : y = f ( x) = x3 + x 2 + mx + 3 cắt
m

trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành
x 3 + x 2 + mx + 3 = 0 (1)

Nhận thấy ta không thể nhẩm được nghiệm của phương trình này. Do đó
Tuy nhiên ta có thể nhận xét thấy :
x3 + x 2 + 3
x + x + mx + 3 = 0 ⇔ − m =
x
Phương trình
3

Vì hàm số

2

y = g ( x) =

(2)

x3 + x 2 + 3
x
hoàn toàn lập được bảng biến thiên

Và đường thẳng y = - m song song với trục hoành.
Ta có thể giải bài toán như sau:
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm là:
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

Tr. 22


Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

x3 + x 2 + 3
x

x 3 + x 2 + mx + 3 = 0 ⇔ − m =

y = g ( x) =

Xét hàm số

TXD : D =

x3 + x 2 + 3
( Cm ' )
x

D = R \ { 0}

2 x3 + x 2 − 3
x2

g '( x) =

g '( x) = 0 ⇔ 2 x 3 + x 2 − 3 = 0 ⇔ ( x − 1) ( 2 x 2 + 3 x + 3) = 0
x −1= 0
⇔ 2
⇔ x =1
2
x
+
3
x
+
3
=
0
(
VN
)


Bảng biến thiên
x -∞
y’
y +∞

0
-

+∞
-∞

Để

( C ) cắt trục hoành
m

phải cắt

( C ')
m

1
0

+∞
+
+∞

5

tại ba điểm phân biệt thì đường thẳng y = -m

tại ba điểm phân biệt.

Dựa vào bảng biến thiên ta có: - m > 5 ⇔ m < - 5

VÍ DỤ 15: Tìm m để đồ thị hàm số

( C ) : y = f ( x ) = x3 − 3x 2 + ( m + 2 ) x + 4
m

cắt trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt thoả mãn: - 2 < x1 < x2 < x3
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

Tr. 23


Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm là:
x3 − 3x 2 + 2 x + 4
x − 3 x + ( m + 2 ) x + 4 = 0 ⇔ −m =
x
3

Xét hàm số

TXD : D =

2

y = g ( x) =

x3 − 3x 2 + 2 x + 4
( Cm ' )
x

D = R \ { 0}

2 x3 − 3x 2 − 4
g '( x) =
x2
g '( x ) = 0 ⇔ 2 x3 − 3 x 2 − 4 = 0 ⇔ ( x − 2 ) ( 2 x 2 + x + 2 ) = 0
x − 2 = 0
⇔ 2
⇔ x=2
2
x
+
x
+
2
=
0
(
VN
)


Bảng biến thiên
x -∞
y’
y +∞

-2

0
-

-

2
0

+∞

+∞
+
+∞

10
-∞

Để

( C ) cắt trục hoành
m

2

tại ba điểm phân biệt thoả mãn - 2 < x1 < x2 < x3

thì đường thẳng y = -m phải cắt

( C ')
m

tại ba điểm phân biệt thoả mãn

- 2 < x1 < x 2 < x 3
Dựa vào bảng biến thiên ta có: 2 < - m < 10 ⇔ - 10 < m < -2

Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

Tr. 24


Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

VÍ DỤ 16: Tìm m để đồ thị hàm số

( C ) : y = f ( x) = x 3 − 2 x 2 + mx − 4 cắt
m

trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt thoả mãn: x1 <-3 < x2 < x3
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm là:
x3 − 2 x2 − 4

x − 2 x + mx − 4 = 0 ⇔ −m =
x
3

2

x3 − 2 x 2 − 4
y = g ( x) =
( Cm ' )
x
Xét hàm số

TXD : D =

D = R \ { 0}

2 x3 − 2 x 2 + 4
g '( x) =
x2
g '( x) = 0 ⇔ 2 x 3 − 2 x 2 + 4 = 0 ⇔ ( x + 1) ( 2 x 2 − 4 x + 4 ) = 0
x +1= 0
⇔ 2
⇔ x = −1
2
x
−
4
x
+
4

=
0
(
VN
)


Bảng biến thiên
x

-∞

y’
y +∞

-3
+∞

-1
-

0

+

m

+∞
-∞

7

( C ) cắt trục hoành

+
+∞

49/3

Để

+∞

0

tại ba điểm phân biệt thoả mãn x1 < -3 < x2 < x3

thì đường thẳng y = -m phải cắt

( C ')
m

tại ba điểm phân biệt thoả mãn

x1 < -3 < x2 < x3
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ

Tr. 25